1. MAKALAH MEKANIKA II
GERAK PELURU PADA MEDIUM BERPENGHAMBAT DAN
GAYA IMPULSIF
Makalah ini disusun untuk sebagai tugas ujian tengah semester mata kuliah Mekanika
II
Dosen pengampu: Ai Nurlaela, M.Si
Nama/NIM : Adnavi Ulfa
Semester/Tahun : Empat/P.Fisika 2013
NIM : 1113016300016
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA 2015

2. ii
KATA PENGANTAR
Asalamu’alaikum Wr. Wb.
Alhamdulillahi rabbil ‘alamin, segala puji syukur kehadirat Allah SWT atas
rahmatNya yang telah memberi kekuatan pada penulis baik rohani maupun jasmani
sehingga mampu menyelesaikan penulisan makalah ini yang berjudul “Gerak Peluru
Pada Medium yang Berpenghambat dan Gaya Impulsif”. Shalawat serta salam tak
lupa terhadap Baginda Rasul, Nabi Muhammad SAW yang telah memperjuangkan
Islam sehingga umatnya mampu membuka pintu ilmu pengetahuan.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih kepada Ibu Ai Nurlaela selaku
dosen pengampu mata kuliah mekanika II atas bimbingannya yang penuh sabar dalam
menjelaskan matakuliah ilmu fisikaan sejak awal semester saya masuk kuliah. Rekan-
rekan kelas dan teman seperjuangan UKM KSR PMI yang telah menyemangati dan
memberikan pengarahan dalam menyelesaikan makalah ini.
Saran dan kritik tentunya saya harapkan dalam pengembangan makalah ini,
sehingga bisa lebih baik untuk ke depannya. Semoga tulisan makalah ini bisa
membantu pembaca dalam memahami gerak peluru dan gaya impulsif.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Ciputat, 01 Mei 2015
Penulis

3. iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ..................................................................................................ii
DAFTAR GAMBAR...................................................................................................iv
BAB I............................................................................................................................1
PENDAHULUAN........................................................................................................1
A. Latar Belakang ...................................................................................................1
B. Rumusan Masalah..............................................................................................2
C. Tujuan Penulisan................................................................................................3
BAB II...........................................................................................................................4
GERAK PELURU.......................................................................................................4
A. Pengertian Gerak Peluru serta Besarannya ........................................................4
1. Gerak Dua Dimensi........................................................................................4
2. Gerak Peluru...................................................................................................4
3. Besaran Gerak Peluru.....................................................................................5
B. Gerak Peluru Pada Medium Penghambat...........................................................5
C. Persamaan Gerak Peluru Tanpa Hambatan dan Pada Medium Hambatan ........5
1. Gerak Peluru Tanpa Hambatan ......................................................................5
2. Persamaan Gerak Peluru Pada Medium Hambatan........................................7
D. Kasus Gerak Peluru..........................................................................................12
BAB III.......................................................................................................................14
GAYA IMPULSIF.....................................................................................................14
A. Pengertian Gaya Impulsif dan Contoh .............................................................14
B. Impuls dan Momentum ....................................................................................15
1. Momentum ...................................................................................................15
2. Kekekalan Momentum Linear......................................................................16
3. Tumbukan.....................................................................................................17
4. Impuls dan Rata-rata Waktu Sebuah Gaya...................................................21

4. iv
C. Hubungan antara Impuls dan Momentum........................................................21
D. Kasus Impuls-Momentum................................................................................23
BAB III.......................................................................................................................24
PENUTUP..................................................................................................................24
A. Kesimpulan.......................................................................................................24
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................27
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Ilustrasi gerak peluru tanpa hambatan.........................................................7
Gambar 2. Grafik laju terhadap waktu pada medium resistif .......................................8
Gambar 3. Grafik x terhadap waktu..............................................................................8
Gambar 4. Grafik 𝑣0 terhadap 𝑥∞ pada medium resistif .............................................9
Gambar 5. Grafik gerak vertikal laju terhadap waktu.................................................10
Gambar 6. Grafik H terhadap waktu pada gerak vertikal ke atas pada medium resistif
.....................................................................................................................................11
Gambar 7. Grafik laju terhadap H gerak vertikal ke atas pada medium resistif .........11
Gambar 8. Grafik Impuls (Gaya terhadap waktu).......................................................22

5. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Sering kita jumpai fenomena alam, yang tak lepas kaitan pembahasannya
dengan ilmu fisika. Mulai dari mekanika yang cakupannya adalah kinematika dan
dinamika, termodinamika, listrik, dll. Hal ini tak lepas dengan hubungan gaya yang
mempengaruhi benda sehingga menghasilkan usaha. Bagaimana kita bisa melihat
suatu proses itu mempunyai usaha? Ketika terjadinya perpindahan itulah dia sudah
melakukan usaha, sesuai dengan pengertian usaha secara matematis.
W = F.s
Perpindahan dihasilkan dari sebuah gaya yang membuat suatu objek bergerak.
Gerak yang dihasilkan bermacam-macam ada gerak lurus, gerak melingkar , gerak
jatuh bebas secara beraturan maupun tidak beraturan. Ada sebuah gerak yang
mengalami 3 peritiwa sekaligus, pertama ia bergerak vertical ke atas dan
mengalami gerak jatuh bebas ketika sudah mencapai titik maximum, tetai
lintasannya berbentuk lingkaran. Jika digambarkan dengan koordinat x dan y, maka
pada sumbu x ditinjau sebagai gerak lurus beraturan. Gerak ini biasa dikenal
dengan gerak peluru.
Gerak peluru merupakan kejadian yang sering dijumpai dalam kehidupan
sehari-hari, misalnya gerakan bola tenis saat dipukul oleh pemain dan peluncuran
rudal oleh seorang pilot yang ditujukan pada sasaran tertentu. Secara geometri,
gerak peluru membentuk lintasan parabola. Hal ini disebabkan oleh pengaruh gaya
gravitasi bumi. Gaya gravitasi menyebabkan benda yang ditembakkan dengan
sudut elevasi tertentu kecepatannya semakin berkurang dan pada saat mencapai
ketinggian maksimum kecepatan vertikalnya nol, untuk selanjutnya benda
mengalami percepatan ke bawah sampai akhirnnya benda menyentuh permukaan
tanah. Gaya lain yang mempengaruhi gerak peluru adalah gaya hambat udara, yaitu

6. 2
gaya yang bekerja karena adanya gesekan antara benda dengan udara dan arahnya
berlawanan dengan arah gerak benda yang menyebabkan lintasan gerak peluru
menjadi lebih pendek jika dibandingkan dengan gerak peluru tanpa hambatan
udara.1
Ada juga penyebab lain yang menimbulkan benda bergerak, gaya impulsif dari
sebuah benda. Ketika benda dikenai oleh gaya maka benda itu akan terkena impuls
pemukul untuk melakukan pergerakan. Pergerakan benda bergantung pada
besarnya impul pemukul apakah usahanya mampu melampaui kelembaman benda
terebut.
Di makalah ini akan dibahas apa yang membuat gerak peluru itu terjadi
hambatan dan peristiwa gaya impulsif. Semoga makalah ini bermanfaat untuk para
pembaca dan mampu dimengerti.
B. Rumusan Masalah
1. Apa pengertian gerak peluru serta besaran-besarannya?
2. Apa perbedaan gerak peluru tanpa hambatan dengan gerak peluru pada
medium hambatan?
3. Apa persamaan gerak peluru tanpa hambatan dan gerak peluru berpenghambat
mediumnya yang proporsional terhadap kecepatannya?
4. Apa kasus yang berkaitan dengan gerak peluru?
5. Apa pengertian dari gaya impulsif?
6. Apa yang dimaksud dengan impuls dan momentum?
7. Apa persamaan hubungan dari impuls dan momentum dan contoh kasusnya?
1 A. Rido, 2013. Profil Gerak Peluru Dengan Spin Dan Hambatan Linier.Jember: Universitas Jember.
hal.1

7. 3
C. Tujuan Penulisan
1. Memahami pengeritian gerak peluru dan besarannya.
2. Membandingkan kerja gerak peluru tanpa hambatan dengan gerak peluru
berpenghambat.
3. Mengetahui persamaan gerak peluru tanpa hambatan dengan gerak peluru
berpenghambat.
4. Menemukan kasus yang berkaitan dengan gerak peluru.
5. Memahami pengertian gaya impulsif beserta contohnya.
6. Memahami pengertian impuls dan momentum.
7. Menurunkan persamaan hubungan antara impuls dan momentum.
8. Menyelesaikan beberapa kasus berkaitan dengan impuls dan momentum.

8. 4
BAB II
GERAK PELURU
A. Pengertian Gerak Peluru serta Besarannya
1. Gerak Dua Dimensi
Sebelumnya kita sering mempelajari kinematika pada dua dimensi, contoh
posisi benda terhadap waktu yang melukiskan sebuah kecepatan benda.
a. Vektor Posisi
𝑟⃗ = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧𝑘̂
b. Vektor Kecepatan
Selama selang waktu ∆t partikel bergerak dari P1 posisi 𝑟⃗1 menuju P2 dengan
vector posisi 𝑟⃗2, maka perubahan selama selang waktu ini adalah2
∆𝑟⃗ = 𝑟⃗2 - 𝑟⃗1
2. Gerak Peluru
Terapan yang menarik dari gerakan dalam dua dimensi adalah gerakan
proyektil, yaitu sebuah benda yang diluncurkan ke udara dan kemudian
dibiarkan bergerak secara bebas, yang lebih dikenal dengan gerak peluru.
Gerakan proyektil dipersulit oleh hambatan udara, gerakan bumi, dan variasi
percepatan gravitasi.3 Biasanya untuk mudahnya, kita abaikan kerumitan ini.
2 Arif Hidayat.Gerak dalamDua atau Tiga Dimensi.
3 Tipler.1998. Fiika Untuk Sains dan Teknik Ed.3. Jakarta:Penerbit Erlangga

9. 5
Namun, hambatan udara seperti dorongan angin yang besar tidak bisa
diabaikan. Sering ketika kita bermain bulu tangkis, cock yang kita pukul tidak
melayang pada jarak yang kita harapkan. Padahal kita udah memberikan gaya
yang besar dan tumbukan yang besar antara cock dan raket, Sehingga jika
digambarkan secara geometri, lintasan tidak berbentuk parabola sempurna. Hal
ini terjadi jika angin yang berhembus lebih besar dari gaya cock. Maka dari itu,
perlombaan bulu tangkis sering dilakukan di ruangan indoor.
3. Besaran Gerak Peluru
Besaran yang dibutuhkan dalam gerak peluru yakni, kecepatan (jarak dan
waktu) m/s, percepatan gravitasi m/s2, sudut ϴ. Pada medium hambatan
terdapat viskositas fluida (Hukum Stokes) .
B. Gerak Peluru Pada Medium Penghambat.
Berkenaan dengan gerak peluru, Hidayat (2006) telah mengkaji tentang model
gerak peluru dengan hambatan linier dan mengasumsikan peluru tidak mengalami
spin. Hidayat menganalis pengaruh hambatan udara linier terhadap lintasan,
ketinggian maksimum dan jarak maksimum suatu peluru dibandingkan dengan
gerak peluru tanpa hambatan udara. Ainurrafiq (2011) melakukan simulasi dan
visualisasi gerak peluru tanpa hambatan dan dengan hambatan udara dengan
memvariasi parameter-parameter yang mempengaruhi gerak peluru tersebut.
Hasilnya disimpulkan bahwa jarak maksimum dan ketinggian maksimum simulasi
gerak peluru dengan hambatan linier lebih dibandingkan dengan hasil simulasi
gerak peluru.
C. Persamaan Gerak Peluru Tanpa Hambatan dan Pada Medium Hambatan
1. Gerak Peluru Tanpa Hambatan
Abaikan hambatan, proyektil kita anggap saja mempunyai percepatan
konstan yang berarah vertickal ke bawah dengan besar g = 9,81 m/s2 = 32,2
ft/s2. Dalam gerakan proyektil, komponen horizontal dan vertical gerakan ini

10. 6
adalah saling bebas. Perhatikan sebuah partikel yang diluncurkn dengan suatu
kecepatan awal yang mempunyai komponen vertikal dan horizontal relative
terhadap titik asal yang tepat jika kita ambil sumbu vertical y dengan arah
positif ke atas dan sumbu horizontal x dengan arah positif searah komponen
horizontal awal kecepatan proyektil, maka perceatan proyektil:
ay = -g persamaan 2.1a
dan
ax = 0 peramaan 2.1b
misalkan kita luncurkan sebuah proyektil dari titik asal dengan kelajuan
awal v0 dengan sudut ϴ terhadap sumbu horizontal. Jadi, kecepatan awal
mempunyai komponen
v0x = v0 cos ϴ persamaan 2.2a
v0y = v0 sin ϴ persamaan 2.2b
karena tidak ada percepatan horizontal, kompnen x adalah konstan:
vx = v0x persamaan 2.3 a
komponen y berubah dengan waktu sesuai dengan
vy = v0y – gt persamaan 2.3 b
(ini adalah sama dengan Persamaan 2.9 dengan a = -g). komponen
perpindahan proyektil adalah
∆x = v0xt persamaan 2.4 a
∆y = v0yt –
1
2
gt2 persamaan 2.4 b
Sehingga, dengan mengeliminasi t4
  2
0
22
0
0
cos2
tan x
g
xy

 
4 Tipler.1998. Fisika Untuk Sains dan Teknik Ed.3. Jakarta: Penerbit Erlangga

11. 7
Gambar 1. Ilustrasi gerak peluru tanpa hambatan
2. Persamaan Gerak Peluru Pada Medium Hambatan
a. Gerak yang hambatannya sebanding dengan kecepatan
Jika gaya hambat berbanding dengan kecepatan, maka persamaanya:
𝑚𝑥̈ = −𝑏𝑥̇ Persamaan 2.5
Dimana 𝛾 = 𝑏/𝑚 adalah konstan damping, dibagi keduannya dengan m
massa maka:
𝑥̈ = −𝛾𝑥̇ Persamaan 2.6
b. Gaya hambat
Gaya hambat yang sebanding dengan besarnya laju, diintegralkan dari
persamaan 2.6
𝑣 = 𝑣0 𝑒−𝛾𝑡
Persamaan 2.7
𝑣0 adalah laju awal
Pada gerak peluru laju ditinjau dari sumbu x dan sumbu y sehingga:
𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒−𝛾𝑡
persamaan 2.8 a
𝑣0𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑒−𝛾𝑡
persamaan 2.8 b

12. 8
laju awal berkurang di waktu setengahnya
Gambar 2. Grafik laju terhadap waktu pada medium resistif
𝑡1
2
=
𝑙𝑛2
𝛾
=
0.693
𝛾
Persamaan 2.9
Integral kedua 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
dengan x = 0 ketika t = 0
𝑥 = 𝑥∞(1 − 𝑒−𝛾𝑡
) Persamaan 2.10
Dimana 𝑥∞ =
𝑣0
𝛾
.
Gambar 3. Grafik x terhadap waktu

13. 9
Kita bisa menghasilkan integral ruang dengan mengeliminasi t dari dua
integral waktu, jika ditulis persamaannya
𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −𝛾𝑣 persamaan 2.10
Pada saat 𝑣 = 𝑣0 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 0,
𝑣 = 𝑣0 − 𝛾𝑥, persamaan 2.11
Laju berkurang sepanjak jarak mendekati nol setelah menempuh 𝑥∞ =
𝑣0 /𝛾 pada waktu tak hingga.
Gambar 4. Grafik 𝑣0 terhadap 𝑥∞ pada medium resistif
c. Benda yang dilempar secara vertikal, laju awal v0
Jika kita ukur tinggi dari tanah, persamaan geraknya adalah
𝑦̈ = −𝑔 − 𝛾𝑣 = −𝛾(𝑣̂ + 𝑣) persamaan 2.12
Integral waktu pertama
𝑣 = −𝑣̂ + (𝑣0 + 𝑣̂)𝑒−𝛾𝑡
persamaan 2.13

14. 10
Gambar 5. Grafik gerak vertikal laju terhadap waktu
Tinggi maksimum setelah waktu T, ketika v = 0 (a = -g):
T =
1
𝛾
ln (1 +
𝑣0
𝑣̂
) persamaan 2.17
Integral waktu kedua (didapatkan dengan menulis v menjadi v dv/dy di
persamaan 2.16) dan integral ruang (didapatkan dengan menulis 𝛾̈
menjadi v dv/dy di persamaan gerak) , hasilnya adalah
𝑦 =
( 𝑣0+ 𝑣̂)
𝛾
(1 − 𝑒−𝛾𝑡) − 𝑣̂𝑡 persamaan 2.18
𝑣 = 𝑣0 − 𝛾𝑦 − 𝑣̂𝑙𝑛 (
𝑣̂+𝑣0
𝑣̂+𝑣
) persamaan 2.19
Persamaan di atas diilustrasikan sebagai

15. 11
Gambar 6. Grafik H terhadap waktu pada gerak vertikal ke atas pada medium resistif
Gambar 7. Grafik laju terhadap H gerak vertikal ke atas pada medium resistif
Pada peristiwa ini, untuk mendapatkan persamaan integral ruang tidak
bisa menggunakan eliminasi t antara dua peramaan integral waktu, kamu
harus memastikan bahwa untuk t kecil 𝑣 ≈ 𝑣0 − 𝑔𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≈ 𝑣0 𝑡; dan
untuk y kecil 𝑣2
≈ 𝑣0 − 2𝑔𝑦
Tinggi H maksimum yang dicapai ketika v = 0 di persamaan 2.19
𝐻 =
1
𝛾
[𝑣0 − 𝑣̂𝑙𝑛 (1 +
𝑣0
𝑣
)] persamaan 2.20
H
T

16. 12
Percepatan dari turunan terhadap x
𝑥 = −𝜇𝑔 − 𝛾𝑥̇̈ Persamaan 2.21
d. Persamaan gerak peluru di medium resistif
𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒−𝛾𝑡
persamaan 2.8 a
𝑣0𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑒−𝛾𝑡
persamaan 2.8 b
Tinjau gerak pada sumbu y
𝑣 𝑦 = −𝑣̂ + (𝑣0𝑦 + 𝑣̂)𝑒−𝛾𝑡
persamaan 2.13
𝑣̂ = laju terminal 𝑣 = 𝑔/𝛾̂
H maksimum saat v = 0
𝐻 =
1
𝛾
[𝑣0𝑦 − 𝑣̂𝑙𝑛 (1 +
𝑣0
𝑣
)] persamaan 2.20
Percepatan dari turunan terhadap x
𝑥 = −𝜇𝑔 − 𝛾𝑥̇̈ Persamaan 2.21
D. Kasus Gerak Peluru
1. Sebuah bola dilemparkan ke udara dengan kecepatan awakl 50 m/s pada 370
terhadap horizontal. Cari waktu total bola berada di udara dan jarak horizontal
yang ditempyuhnya dengan menggunakan pendekatan g = 10m/s2.
Penyelesaian:
Komponen – komponen, vector kecepatan awal adalah
v0x = (50 m/s) cos 370 = 40 m/s
v0y = (50 m/s) sin 370 = 30 m/s
waktu total bola berada di udara dapat ditemukan dari Persamaan 2.4 b
dengan mengambil y = 0 dan mencari t:
∆y = v0yt -
1
2
gt2 = t(v0y -
1
2
gt) = 0
Persamaan ini mempunyai solusi t = 0, yang berhubungan dengan kondisi
awal, dan

17. 13
𝑡 =
2𝑣0𝑦
𝑔
=
2 (30 𝑚/𝑠)
10 𝑚/𝑠2
= 6𝑠
Waktu total bila berada di udara adalah dua kali waktu t1 yang dibutuhkan
bola untuk mencapai titik tertingginya, yang dapat ditemukan dengan
mengambil vy = 0 pada persamaan 2.3 b:
vy = v0y – gt = 0
t1 =
v0y
𝑔
=
30 𝑚/𝑠
10 𝑚/𝑠2 = 3𝑠
karena bola bergerak secara horizntal dengan kecepatan konstan 40 m/s,
jarak total horizontal yang ditempuh adalah
∆x = v0xt = 40 m/s x 6s = 240 m
Jarak ini dinamakn jangkauan proyektil.5
2.
5 Tipler.1998. Fisika Untuk Sains dan Teknik Ed.3. Jakarta: Penerbit Erlangga

18. 14
BAB III
GAYA IMPULSIF
A. Pengertian Gaya Impulsif dan Contoh
Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul,
tongkat bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yangsangat singkat,
sedangkan pada waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada
bola. Gaya yang cukup besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini
disebut gaya impulsif.
Pada peristiwa tumbukan semacam itu, tongkat memberikan gaya kepada bola
dengan arah gaya yang tetap. Tumbukan dimulai pada saat t1 dan berakhir pada
saat t2. Sebelum dan sesudah tumbukan gayanya adalah nol, namun selama rentang
t1 dan t2 gaya berubah dari nol menjadi sangat besar sebelum akhirnya kembali ke
nol lagi.6
Dari contoh kasus diatas kita dapat simpulkan bahwa gaya impulsif timbul
akibat terjadinya tumbukan. Sehingga gaya impulsif ini melibatkan hukum –
hukum Newton.
Aplikasi gaya impulsif ini diterapkan pada pesawat jet dan cara yang dipakai
cumi-cumi atau gurita untuk mendorong mereka. Mereka mengeluarkan air dari
tubuh mereka dengan gaya yang besar, dan air yang dikeluarkan mengerjakan gaya
yang sama dan berlawanan pada cumi-cumi atau gurita, mendorongnya ke depan.
Sebuah roket mendapatkan dorongan dengan membakar bahan bakar dan
membuang gas yang terbentuk lewat belakang. Roket mengerjakan gaya pada gas
buang, dan darihukum keiga Newton, gas menggerakan gaya yang sama dan
berlawanan pada roket, mendorongnya ke depan. Momentum yang hilang karena
6 http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/momentum-linear-dan-tumbukan.pdf

19. 15
gaya yang dikeluarkan sama dengan momentum yang diperoleh roket. Suatu salah
pengertian yang terjadi sebelum rket di ruang angkasa menjadi hal yang biasa
adalah bahwa roket membutuhkan udara untuk mendorongnya. Ini tidak benar.
Roket mendorong melawan gas buangnya sendiri, yang mendrong kembali
melawan rket tersebut. Dorongan jet malah lebih efisien di ruang kosong yang tak
ada hambatan udara. 7
B. Impuls dan Momentum
1. Momentum
Momentum sebuah partikel adalah sebuah vektor P yang didefinisikan
sebagai perkalian antara massa partikel m dengan kecepatannya, v, yaitu:
𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ Persamaan 3.1
Isaac Newton dalam Principia menyebut hukum gerak yang kedua dalam
bahasa momentum yang ia sebut sebagai ”kuantitas gerak”. Dalam istilah
modern, hukum kedua Newton berbunyi: ”Perubahan momentum (kuantitas
gerak) benda tiap satuan waktu sebanding dengan gaya resultan yang bekerja
pada benda dan berarah sama dengan gaya tersebut.” Secara matematis
pernyataan ini dituliskan:
𝐹⃗ =
𝑑𝑝⃗
𝑑𝑡
Persamaan 3.2
Jika komponen P diuraikan, dengan menganggap m bernilai konstan,
maka hukum II Newton dituliskan sebagai:
𝐹⃗ =
𝑑(𝑚𝑣⃗⃗)
𝑑𝑡
= 𝑚
𝑑𝑣⃗⃗
𝑑𝑡
= 𝑚𝑎⃗ Persamaan 3.3
Pada kenyataannya, Hukum II Newton lebih sering dituliskan dalam
bentuk Persamaan (3) di atas.
Pada sebuah sistem partikel yang memiliki n buah partikel,
masing-masing memiliki momentum p1, p2 , ... , pn. Jika dilihat secara
kesuluruhan, sistem partikel tersebut mempunyai momentum P,
77 tipler

20. 16
𝑃⃗⃗ = 𝑝⃗1 + 𝑝⃗2… . +𝑝⃗ 𝑛 Persamaan 3.4
Selengkapnya dituliskan:
𝑃⃗⃗ = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 … + 𝑚 𝑛 𝑣 𝑛 Persamaan 3.5
Jika massa total sistem adalah M dan kecepatan pusat massanya adalah
vpm, maka:
𝑃⃗⃗ = 𝑀𝑣⃗ 𝑝𝑚 Persamaan 3.6
“ Momentum total item partikel ama dengan perkalian massa total istem
partikel dengan kecepatan pusat massanya”
Jika Persamaan (6) dibagi dengan dt , maka diperoleh:
𝑑𝑃⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑀𝑣⃗⃗ 𝑝𝑚)
𝑑𝑡
= 𝑀
𝑑(𝑣⃗⃗ 𝑝𝑚)
𝑑𝑡
, Persamaan 3.7
Dan ahirnya diperoleh:
𝑑𝑃⃗⃗
𝑑𝑡
= 𝑀𝑎⃗ 𝑝𝑚 Persamaan 3.8
𝑀𝑎⃗ 𝑝𝑚 didefinisikan sebagai gaya eksternal (Feks);
𝑑𝑃⃗⃗
𝑑𝑡
= 𝐹⃗𝑒𝑘𝑠 Persamaan 3.9
Feks didefinisikan sebagai gaya eksternal yang bekerja pada system partikel.
Penyebutan ini bermaksud agar tidak rancu dengan keberadaan gaya internal antar
partikel. Adapun jumlahan gaya internal antar partikel adalah nol, karena masing-
masing saling meniadakan.
2. Kekekalan Momentum Linear
Seandainya jumlah semua gaya eksternal yang bekerja pada system
sama dengan nol, maka:
𝑑𝑃⃗⃗⃗
𝑑𝑡
= 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃⃗⃗⃗ = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 Persamaan 3.10
Bila momentum total sistem 𝑃⃗⃗⃗ = 𝑝⃗⃗1 + 𝑝⃗⃗2 …. +𝑝⃗⃗ 𝑛 , maka:
𝑃⃗⃗⃗ = 𝑝⃗⃗1 + 𝑝⃗⃗2 …. +𝑝⃗⃗ 𝑛 = Konstan = 𝑃⃗⃗⃗0 Persamaan 3.11

21. 17
Momentum masing-masing partikel dapat berubah, tetapi momentum sistem
tetap konstan.8
3. Tumbukan
Dalam sebuah tumbukan, dua benda saling mendekati, berinteraksi dengan
kuat, dan saling menjauh sebelum tumbukan, ketika saling berjauhan, kedua
benda itu bergerak dengan kecepatan konstan. Setelah tumbukan, keduannya
bererak dengan kecepatan konstan yang berbeda biasanya, kita ingin
menemukan kecepatan akhir benda jika kecepatan-kecepatan awal dan
karakteristik tumbukan diketahui.
Ketika energi kinetik total kedua benda setelah tumbukan adalah sama
seperti sebelumnya, tumbukan dinamakan tumbukan elastik. Bila energi kinetik
total tidak sama setelah tumbukan, tumbukan dikatakan tumbukan tak elastik.
Tumbukan tak elastik terjadi di anatara ststem makroskopik ketika gaya-aya tak
konservatif yang bekerja mengubah energt mekanik sistem sebuah contoh
adalah gumpalan dempul yang dijatuhkan ke lantai. Tumbukan tak elastik
terjadi antara sisem makroskopik ketika salah satu sistem dibiarka pada
keadaan energi internal lain.
Dalam tumbukan tak elastik, energi kinetik relatif terhadap pusat massa
berubah, tetapi energi kinetik pusat massa
1
2
𝑀𝑣2
𝑐𝑚 tetap konstan karena
kecepatan pusat massa tak berubah jika gaya-gaya eksternal yang bekerja pada
sitem dapat diabaikan. Dalam satu kasus istimewa, semua energi relatif hilang
dan benda-benda bergerak bersama-sama dengan kecepatan pusat massa.
Tumbukan semacam itu dinamakan tumbukan tak elastik sempurna. Peluru
yang tertanam di dalam balok adalah contoh khas tumbukan tak elastik
sempurna.
8 http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/momentum-linear-dan-tumbukan.pdf

22. 18
a. Tumbukan dalam satu dimensi
Kekekalan momentum satu dimensi:
𝑚1 𝑣1𝑓 + 𝑚2 𝑣2𝑓 = 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 Persamaan 3.12
Persamaan 3.12 memberikan satu hubungan antara dua kecepatan 𝑣1𝑓
dan 𝑣2𝑓 yang tak diketahui (jika kecepatan awal 𝑣1𝑖 dan 𝑣2𝑖 diketahui).
Untuk mendapatkan kecepatan yang tak diketahui ini, kita harus
mempunyai hubungan kedua dari tinajuan energi.
1) Tumbukan Elastik
Untuk tumbukan elastik, energi awaldan dan akhir sama jika tidak ada
perbahan energi potensial internal sistem , energi kinetik akhir sama dengan
energi kinetik awal:
1
2
𝑚1 𝑣2
1𝑓 +
1
2
𝑚2 𝑣2
2𝑓 =
1
2
𝑚1 𝑣2
1𝑖 +
1
2
𝑚2 𝑣2
2𝑖 Persamaan 3.13
Persamaan ini dapat disederhanakan:
𝑚2(𝑣2
2𝑓 − 𝑣2
2𝑖 ) = 𝑚1(𝑣2
1𝑖 − 𝑣2
1𝑓) Persamaan 3.14
Dihasilkan
𝑣2𝑓 − 𝑣1𝑓 = −(𝑣2𝑖 − 𝑣1𝑖) Persamaan 3.15
“untuk tumbukan elastik, kejauhan saling menjauh relatif setelah
tumbukan sama dengan kelajuan saling mendekat relatif sebelum
tumbukan.”
Koefisen restitusi = 1
2) Tumbukan Tak Elastik
Untuk tumbukan tak elastik sempurna , hubungan kedua antara
kecepatan-kecepatan akhir adalah kedua kecepatan itu sama dan juga
sama dengan kecepatan pusat massa:
𝑣1𝑓 = 𝑣2𝑓 = 𝑣𝑐𝑚

23. 19
Hasil ini bila digabungkan dengan kekekalan momentum
menghasilkan
( 𝑚1 + 𝑚2) 𝑣𝑐𝑚= 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 persamaan 3.16
Pada umumnya, tumbukan terjadi di antara kasus-kasus ekstrim,
yaitu tumbukan elastik, dimana kecepatan relatif dibalik, dan tumbukan
tak elastik sempurna, dimana tidak ada kecepatan relatif setelah
tumbukan. Koefisien restitusi e, yang merupakan ukuran keelastikan
suatu tumbukan, didefinisikan sebagai rasio antara kelajuan saling
menjauh relatif adalah
𝑣2𝑓 − 𝑣1𝑓 = −𝑒(𝑣2𝑖 − 𝑣1𝑖) persamaan 3.17
b. Tumbukan dalam tiga dimensi
Dalam tiga dimeni, sifat vektor kekekalan momentum linier adalah
penting tumbukan tak elastik sempurna tidak menghasilkan kesulitan
khusus momentum total awal didapakan dengan menjumlahkan vektor
momentum awal kedua benda. Karena benda-benda itu merekat menjadi
satu dan momentum akhirnya sama dengan momentum awal, keduanya
bergerak dalam arah momentum m
𝑣𝑐𝑚 =
𝑃
𝑚1+𝑚2
persamaan 3.18
Dengan P adalah momentum total sistem
Contoh: Sebuah mobil kecil bermassa 1,2 Mg (1,2x103 kg) yang
bergerak ke timur dengan 60km/j bertumbukan di persimpangan dengan
sebuah truk yang masanya 3 Mg yang bergerak ke utara dengan kelajuan 40
km/j, seperti ditunjukkan
3 Mg
40
km/j
m
1,2 Mg
60 km/j

24. 20
Mobil dan truk mendekat menjadi sau. Carilah kecepatan rongsokan
tepat setelah tumbukan.
Kita memilih sistem koordinat agar mula-mula mobil bergerak dalam
arah x dan truk bergerak dalam arah y. momentum awal mobil adalah
Pm = (1,2 Mg) (60 km/j) i = 72 Mgkm/j
Dan momentum awal truk adalah
P1 = (3 Mg) (40 km/j) j = 120 Mgkm/j
Momentum totalnya adalah
P = Pm +Pt
Rongsokan mempunyai massa total 4,2 Mg, dan bergerak dengan
kecepatan pusat massa, yang diberikan oleh
𝑣𝑐𝑚 =
𝑃
𝑀
=
72 𝑀𝑔𝑘𝑚/𝑗 𝑖 + 120𝑀𝑔𝑘𝑚/𝑗 𝑗
4,2 𝑀𝑔
= 17,1
𝑘𝑚
𝑗
𝑖 + 28,6
𝑘𝑚
𝑗
𝑗
Besarnya kecepatan akhir didpatkan dengan menggunakan teorema
Phytagoras
𝑣2
𝑐𝑚 = (17,1
𝑘𝑚
𝑗
)2 + (28,6
𝑘𝑚
𝑗
)2 = 1,11 𝑥 103(
𝑘𝑚
𝑗
)
𝑣𝑐𝑚 = 33,3 𝑘𝑚/𝑗
Pm
P
P1
ϴ

25. 21
Arah kecepatan akhir adalah sama dengan arah vektor momentum. Sudut ө
dalam gambar didapatkan dari9
tan ө =
𝑃𝑦
𝑃𝑥
= 1,67
ө = 590
4. Impuls dan Rata-rata Waktu Sebuah Gaya
Pada saat anda menendang bola, gaya yang diberikan kaki pada bola terjadi
dalam waktu yang sangat singkat gaya seperti ini disebut sebagai gaya impulsif.
Sedangkan, impuls sendiri didefinisikan sebagai gaya yang bekerja dalam
waktu singkat. Secara matematis ditulis:
I = F.∆t = F. (t2-t1) Persamaan 3.18
Dengan:
I : Impuls gaya yang bekerja dalam waktu singkat (Ns)
F : Gaya Impulsif (N)
∆t : Selang waktu saat benda dikenai gaya (sekon)
Impuls adalah hasil kali antara besaran vektor (gaya) dengan besaran skalar
(waktu), sehingga termasuk ke dalam besaran vektor, yang arahnya sama
dengan arah gaya.10
C. Hubungan antara Impuls dan Momentum
Pada peristiwa tumbukan semacam itu, tongkat memberikan gaya kepada bola
dengan arah gaya yang tetap. Tumbukan dimulai pada saat t1 dan berakhir pada
saat t2. Sebelum dan sesudah tumbukan gayanya adalah nol, namun selama rentang
t1 dan t2 gaya berubah dari nol menjadi sangat besar sebelum akhirnya kembali ke
nol lagi. Perubahan gaya impulsif terhadap waktu ketika terjadi tumbukan dapat
digambarkan sebagai berikut:
9 tipler
10 https://fisika79.files.wordpress.com/2010/06/impuls-dan-momentum.pdf

26. 22
Gambar 8. Grafik Impuls (Gaya terhadap waktu)
Tampak bahwa gaya impulsif tersebut tidak konstan. Dari Persamaan (2)
tentang hukum II Newton diperoleh:
𝐹⃗ =
𝑑𝑃⃗⃗
𝑑𝑡
Persamaan 3.19
Persamaan tersebut dapat ditampilkan dalam bentuk:
∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑃⃗⃗𝑃2
𝑃1
𝑡2
𝑡1
Persamaan 3.20
𝐹⃗. (t2 - t1) = 𝑃⃗⃗2 − 𝑃⃗⃗1 Persamaan 3.21
Ruas kiri Persamaan (3.21) tersebut dikenal sebagai impuls sedangkan ruas
kanan merupakan perubahan momentum. Impuls menunjukan besarnya gaya yang
bekerja pada suatu benda dalam rentang waktu yang sangat kecil. Berdasarkan
Persamaan di atas, impuls juga didefinisikan sebagai perubahan momentum.
Persamaan (3.22) juga dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut:
Persamaan (3.23) tentang Hukum II Newton dapat dituliskan dengan cara:
𝐹⃗ =
∆𝑃⃗⃗
∆𝑡
Persamaan 3.23
Persamaan tersebut dapat ditata-ulang menjadi:
𝐹⃗∆𝑡 = ∆𝑃⃗⃗ Persamaan 3.24
Besaran F∆t adalah impuls J, sehingga akhirnya diperoleh:
𝑗 = 𝐹⃗∆𝑡 = ∆𝑃⃗⃗ = 𝑃⃗⃗2 − 𝑃⃗⃗1 Persamaan 3.25
“Teorema Impuls-Momentum: Impuls dari sebuah gaya sama dengan
perubahan momentum partikel”

27. 23
D. Kasus Impuls-Momentum
Seseorang melempar bola bermassa 0,4 kg menumbuk dinding. Bola
menumbuk dinding dengan kecepatan 30 m/s ke kiri dan memantul horizontal ke
kanan pada 20 m/s. a) Carilah impuls dari gaya rtotal pad bola selama tumbukan
dengan dinding! b) jika bla bersentuhan dengan diding elama 0,01 s, carilah gaya
horizontal rata-rata yang diberikan oleh dinding pada bola selama tumbukan!
Penyelesaian:
a) Dengan menggunakan Persamaan 3.25 dan menganggap gerakan ke kanan
sebagai positif sedangkan ke kiri sebaai negatif, diperoleh:
𝑗 = 𝑃⃗⃗2 − 𝑃⃗⃗1 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣1
𝐽 = [(0,4 𝑘𝑔)(20
𝑚
𝑠
) − (0,4 𝑘𝑔)(−30
𝑚
𝑠
)]
𝐽 = 8𝑘𝑔
𝑚
𝑠
− (−12𝑘𝑔
𝑚
𝑠
)
𝐽 = 20𝑘𝑔
𝑚
𝑠
= 20 𝑁𝑠
b) Jika waktu tumbukan adalah ∆t = 0,01 s, maka dari Persamaan 3.25 juga
diperoleh:
𝑗 = 𝐹⃗∆𝑡 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹⃗ =
𝑗
∆𝑡
=
20
0,01
𝑁 = 2000𝑁11
11 http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/momentum-linear-dan-tumbukan.pdf

28. 24
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Gerak peluru merupakan yaitu sebuah benda yang diluncurkan ke udara dan
kemudian dibiarkan bergerak secara bebas, yang lebih dikenal dengan gerak
peluru.
2. Pengertian gerak peluru pada medium hambatan.
“Gerakan proyektil dipersulit oleh hambatan udara, gerakan bumi, dan variasi
percepatan gravitasi”
3. Persamaan
a. Persamaan gerak peluru dengan hambatan diabaikan
ay = -g ax = 0
v0x = v0 cos ϴ v0y = v0 sin ϴ
vy = v0y – gt
∆x = v0xt ∆y = v0yt –
1
2
gt2
  2
0
22
0
0
cos2
tan x
g
xy

 
b. Persamaan gerak peluru pada medium resistif
𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑒−𝛾𝑡 𝑣0𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑒−𝛾𝑡
Tinjau gerak pada sumbu y
𝑣 𝑦 = −𝑣̂ + (𝑣0𝑦 + 𝑣̂)𝑒−𝛾𝑡
𝑣̂ = laju terminal 𝑣̂ = 𝑔/𝛾
H maksimum saat v = 0
𝐻 =
1
𝛾
[𝑣0𝑦 − 𝑣̂𝑙𝑛 (1 +
𝑣0
𝑣
)]

29. 25
Percepatan dari turunan terhadap x
𝑥 = −𝜇𝑔 − 𝛾𝑥̇̈
4. Fenomena gerak peluru dalam kehidupan sehari-hari, permainan bulu tangkis,
tembakan meriam, dll.
5. Gaya Impulsif adalah gaya timbul akibat terjadinya tumbukan. Contoh:
permainan billiard, tumbukan partikel, pesawat jet.
6. Impuls dan Momentum
a. Momentum
adalah sebuah vektor P yang didefinisikan sebagai perkalian antara
massa partikel m dengan kecepatannya v, 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗
b. Kekekalan momentum
𝑃⃗⃗⃗ = 𝑝⃗⃗1 + 𝑝⃗⃗2 …. +𝑝⃗⃗ 𝑛 = Konstan = 𝑃⃗⃗⃗0
c. Tumbukan
1) Tumbukan dalam satu dimensi
Kekekalan momentum satu dimensi:
𝑚1 𝑣1𝑓 + 𝑚2 𝑣2𝑓 = 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖
Tumbukan elastik e = 1
Tumbukan elastik tidak sempurna e = 0 < e <1
Tumbukan non elastik e = 0
2) Tumbukan dalam tiga dimensi
Dalam tiga dimensi, sifat vektor kekekalan momentum linier
adalah penting tumbukan tak elastik sempurna tidak menghasilkan
kesulitan khusus momentum total awal didapakan dengan
menjumlahkan vektor momentum awal kedua benda. Karena benda-

30. 26
benada itu merekat menjadi satu dan momentum akhirnya sama dengan
momentum awal, keduanya bergerak dalam arah momentum m
d. Impuls
I = F.∆t = F. (t2-t1) Persamaan 3.18
Dengan:
I : Impuls gaya yang bekerja dalam waktu singkat (Ns)
F : Gaya Impulsif (N)
∆t : Selang waktu saat benda dikenai gaya (sekon)
Impuls adalah hasil kali antara besaran vektor (gaya) dengan
besaran skalar (waktu), sehingga termasuk ke dalam besaran vektor,
yang arahnya sama dengan arah gaya
7. Hubungan Momentum dan Impuls
𝑗 = 𝐹⃗∆𝑡 = ∆𝑃⃗⃗ = 𝑃⃗⃗2 − 𝑃⃗⃗1 Persamaan 3.25
“Teorema Impuls-Momentum: Impuls dari sebuah gaya sama dengan
perubahan momentum partikel”

31. 27
DAFTAR PUSTAKA
Ainurrofiq, R. (2011). Profil Gerak Peluru dengan Hambatan dan Tanpa Hambatan Udara.
Universitas Jember.
Hidayat, R. (2006). Persamaan Diferensial Parsial. UPT Penerbitan Universitas Jember.
Rido, A. (2013). Profil Gerak Peluru dengan Spin dan Hambatan Linear. Skripsi Universitas
Jember, 1.
Tipler. (1998). Fisika Untuk Sains dan Teknik Ed. 3. Jakarta: Penerbit Erlangga.