1. ‫שאלון 308 שאלה 5, בגרות חורף תשע"ג‬
‫נתונה הפונקציה 2‪.f (x) = −4x3 + 6x‬‬
‫א. נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:‬
‫‪f (x) = −4 · 3x2 + 6 · 2x = −12x2 + 12x‬‬
‫0 = )1 − ‪−12x2 + 12x = 0 → −x2 + x = 0 → −x(x‬‬
‫למשוואה שני פתרונות 0 = 1‪ x‬ו־ 1 = 2‪ .x‬נקווה את סוג הקיצון ע"י נגזרת שנייה:‬
‫21 + ‪f (x) = −24x‬‬
‫0 > )0 = ‪f (x‬‬
‫מכיוון שהנגזרת השנייה גדולה מאפס בנקודה שבה 0 = ‪ x‬אז זו נקודת מינימום.‬
‫0 < )1 = ‪f (x‬‬
‫מכיוון שהנגזרת השנייה קטנה מאפס בנקודה שבה 1 = ‪ x‬אז זו נקודת מקסימום.‬
‫נציב את הנקודות בפונקציה המקורית ונקבל:‬
‫‪(0, 0) min‬‬
‫‪(1, 2) max‬‬
‫ב. בנקודה ‪ A‬נתון 0 = )‪ f (x‬ולכן:‬
‫)3 − ‪0 = −4x3 + 6x2 = −2x2 (2x‬‬
‫למשוואה שני פתרונות 0 = 1‪ x‬ו־ 5.1 = ‪ ,x‬נתון שנקודה ‪ A‬אינה בראשית הצירים ולכן‬
‫)0 ,5.1(‪.A‬‬
‫ג. נחשב את השטח ע"י שני אינטגרלים:‬
‫2‪S = S1 + S‬‬
‫1´‬ ‫1´‬
‫= ‪S1 = −1 (−4x + 6) − (−4x3 + 6x2 )dx = −1 4x3 − 6x2 − 4x + 6dx‬‬
‫4‪x‬‬ ‫3‪x‬‬ ‫2‪x‬‬
‫·4=‬ ‫4‬ ‫·6−‬ ‫3‬ ‫·4−‬ ‫2‬ ‫= 1|‪+ 6x‬‬
‫1−‬
‫= ]6 − 2)1−( · 2 − 3)1−( · 2 − 4)1−([ − ]1 · 6 + 21 · 2 − 31 · 2 − 41[‬
‫8 = )5−( − 3 =‬
‫5.1 ´‬ ‫5.1 ´‬
‫= ‪S2 = 1 (−4x3 + 6x2 ) − (−4x + 6)dx = 1 −4x3 + 6x2 + 4x − 6dx‬‬
‫4‪x‬‬ ‫3‪x‬‬ ‫2‪x‬‬
‫· 4− =‬ ‫4‬ ‫·6+‬ ‫3‬ ‫·4+‬ ‫2‬ ‫= 5.1|‪− 6x‬‬
‫1‬
‫= ]1 · 6 − 21 · 2 + 31 · 2 + 41−[ − ]5.1 · 6 − 25.1 · 2 + 35.1 · 2 + 45.1−[ =‬
‫54‬ ‫3‬
‫= )3−( − 61 − =‬ ‫61‬
‫3‬
‫+ 8 = ‪ ,S‬שטחו של השטח המקווקו הוא 781.8 יח"ר.‬ ‫61‬ ‫ולכן 781.8 =‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬