1. Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева
Факультет технической кибернетики и информатики
Направление 210200 «Проектирование и технология электронных средств»
Дисциплина «Информационные технологии электромагнитной совместимости ЭС»
Лекция №8 «Методы анализа электромагнитных
процессов в межсоединениях электронных средств»
Автор - Чермошенцев С.Ф.
Казань 2008

2. Методы анализа электромагнитных процессов в
межсоединениях электронных средств.
1.Основные уравнения распространения волн в межсоединениях ЭС в
частотной и временной областях.
2.Электромагнитные влияния в частотной и временной областях. Переход
из временной области в частотную и наоборот.
3.Параллельный и антипараллельный режим работы линий.
4.Отражения и искажения сигналов в длинных линиях. Схемы согласования
цепей.
5.Методы анализа электромагнитных процессов в межсоединениях.
6.Метод нормальных волн во временной области. Достоинства и
недостатки.
7.Пример применения метода нормальных волн во временной области.

3. 1. Основные уравнения распространения волн в
межсоединениях ЭС в частотной и временной областях.
Решение уравнений Максвелла во временной области позволяет исследовать
электромагнитные процессы в ЭС. Однако это решение оказывается
довольно
сложным
даже
для
простейших
структур
и
трудноосуществимым
на
высокопроизводительных ЭВМ. Поэтому обычно прибегают к определенным
приближениям, следующим из особенностей структур и существенно упрощающим
анализ.
Во-первых, межсоединения конструктива кусочно-однородны по длине. На
концах нагружены элементами, представляющими произвольные цепи. Если вдоль
линии имеются неоднородности, то межсоединения можно разбить на ряд
однородных участков, а влияние неоднородностей учесть, вводя соответствующие
эквивалентные цепи.
Во-вторых, в линиях связи МПП распространяются квази-ТЕМ-волны [70], а для
анализа межсоединений в СБИС применимы методы теории цепей [200].
С учетом этих особенностей межсоединения конструктива можно описать
системой дифференциальных уравнений в частных производных во временной области
и системой обыкновенных дифференциальных уравнений в частотной области.
Существует несколько методов решения подобных уравнений: методы нормальных
волн в частотной и временной области, метод функции Грина, метод пошагового
продвижения по времени.

4. Рассмотрим межсоединения конструктива, состоящие в общей сложности из (N+1)
проводников (рис. 2.11). Предполагается, что N проводников являются сигнальными, а
проводник с номером (N+1) представляет собой земляной проводник. Будем также
полагать, что земля имеет нулевой потенциал, а линия имеет произвольное
поперечное сечение, но по длине однородна. Пусть ось X направлена вдоль линии,
причем точка X=0 соответствует положению генератора, а X=D – положению нагрузки.
Рис. 2.11. Схема межсоединений конструктива ЭС из (N+1)
проводников с нагрузочными цепями
Если диэлектрик линии однороден, а проводники не имеют потерь, то в такой
линии существуют ТЕМ-волны любой частоты. Эти волны обладают тем
фундаментальным свойством, что вектор электрического поля и вектор магнитного
поля имеют лишь составляющие, перпендикулярные направлению распространения
волн вдоль линии. Иными словами, для этих волн Ex=0 и Hx=0.

5. Строго говоря, при наличии неоднородных диэлектриков и (или) потерь в
межсоединениях волны, распространяющиеся по линии, не могут быть волнами типа
ТЕМ. В общем случае это гибридные или смешанные волны, то есть волны, которые
представляют собой некоторую комбинацию ТЕ- и ТМ-волн; для них Ex¹ 0 и Hx¹ 0.
Однако при максимальных поперечных
размерах
межсоединений,
достаточно
малых по сравнению с длиной волны для представляющей интерес составляющей
наивысшей частоты, продольные составляющие напряженности поля будут много
меньше поперечных составляющих. Поэтому такие гибридные волны можно
аппроксимировать квази-ТЕМ-волнами. При анализе межсоединений конструктивов
будем полагать, что в линии происходит распространение только квази-ТЕМ-волн.
Распространение квази-ТЕМ-волн можно исследовать либо с помощью теории поля,
то есть на основе
уравнений
Максвелла,
либо с помощью теории цепей с
распределенными параметрами. Для межсоединений с низкими потерями на не слишком
высоких частотах (соответствует нашему случаю) оба подхода дают практически
одинаковые результаты.
Считаем электрические параметры межсоединений, рассматриваемые
в разделе 2.1, известными, то есть будем полагать, что известны следующие (N×N)матрицы: матрица [L] погонных индуктивностей, матрица [R] погонных сопротивлений,
матрица [B] погонных коэффициентов электростатической индукции и матрица [G]
погонных проводимостей. Заметим, что элементы матрицы [B] часто называют
емкостными коэффициентами, однако эти коэффициенты не равны собственным и
взаимным емкостям между проводниками, поэтому термин “емкостный коэффициент”
может ввести в заблуждение. Напомним, что собственная емкость k-го проводника равна
сумме коэффициентов электростатической индукции k-й строки матрицы [B], тогда как
взаимная емкость между k-м и i-м проводниками равна коэффициенту Bki матрицы [B],
взятому с обратным знаком. Заметим, что взаимные емкости всегда положительны,
тогда как недиагональные коэффициенты матрицы [B] всегда отрицательны.

6. Обозначим через Vk(x,t) напряжение между k-м сигнальным проводником и
землей на расстоянии x от генераторного конца в некоторый момент времени t.
Обозначим через ik(x,t) ток, протекающий по k-му проводнику
на расстоянии
x от генераторного конца в некоторый момент времени t. Предполагается, что
направление тока отсчитывается от генераторного конца к нагрузке. Согласно теории
цепей, напряжения и токи в межсоединениях конструктива при распространении ТЕМволн связаны телеграфными уравнениями [46]:
N
∂ V k ( x, t )
=−
∂x
∑R
∂ i k ( x, t )
=−
∂x
N
i ( x, t ) −
kl l
kl
∑L
kl
l =1
l =1
∑G
∂i l ( x, t )
N
V l ( x, t ) −
N
∑B
, k=1,...,N, 0<x<D;
∂t
∂Vl ( x, t )
kl
(2.19)
, k=1,...,N, 0<x<D.
(2.20)
В этих уравнениях собственные (Rkk) и взаимные (Rkl, k¹l) сопротивления
обусловлены потерями в проводниках, собственные (Lkk) и взаимные (Lkl, k¹l)
индуктивности определяют наводимую ЭДС, обусловленную электромагнитной
индукцией, собственные (Gkk) и взаимные (Gkl, k¹l) проводимости
обусловлены
потерями в диэлектриках, а собственные (Bkk) и взаимные (Bkl, k¹l) коэффициенты
электростатической индукции обусловлены электростатическими эффектами. Следует
отметить, что уравнения (2.19) и (2.20) справедливы только для линии, параметры
которой не зависят от частоты. Если это условие не соблюдается, то межсоединение
должно описываться более сложными уравнениями.
l =1
l =1
∂t

7. Уравнения (2.19) и (2.20) можно представить в более простой форме, если
использовать векторную форму записи. Таким образом, вместо (2.19) и (2.20) запишем
матричные уравнения:
∂[V ( x, t )]
∂[i ( x, t )]
= −[ R][i ( x, t )] − [ L]
∂x
∂t
∂[i ( x, t )]
∂[V ( x, t )]
= −[G ][V ( x, t )] − [ B ]
∂x
∂t
,
(2.21)
.
(2.22)
В частотной области эти уравнения преобразуются к следующему виду:
d [V ( x)]
= −[ Z ][ I ( x)]
dx
d [ I ( x)]
= −[Y ][V ( x)]
dx
, 0<x<D;
(2.23)
, 0<x<D.
(2.24)
где [V(x)] и [I(x)] – соответственно векторы комплексных напряжений и токов линии;
[Z]=[R]+jw[L] и [Y]=[G]+jw[B] - матрицы погонных импедансов и полных
проводимостей. Заметим, что последние выражения для матриц [Z] и [Y] допускают
изменения элементов матриц [R] и [G], а также матриц [L] и [B] с изменением
частоты;
w – угловая частота.

8. Телеграфные уравнения (2.21) и (2.22) во временной области или (2.23) и
(2.24) в частотной области полностью описывают межсоединения. Однако для
нахождения характеристики линии, нагруженной определенными цепями, необходимо
рассмотреть систему уравнений, объединяющую телеграфные уравнения с
уравнениями, описывающими нагруженные цепи. Последние уравнения выражают
граничные условия, налагаемые на телеграфные уравнения при x=0 и x=D. Эти
уравнения дают соотношения между [V(0,t)] и [i(0,t)] при x=0 и [V(D,t)] и [i(D,t)] при
x=D. Общей формы для этих уравнений нет, так как они зависят от вида нагружающих
цепей. Заметим также, что обычно предполагается, что нагружающие цепи
взаимосвязаны только через межсоединения, то есть предполагается, что другого
схемного элемента, связывающего обе нагружающие цепи, нет.
Если нагружающие цепи состоят из независимых генераторов и линейных
инвариантных во времени резисторов, то напряжения и токи линии удовлетворяют
следующим граничным условиям:
[V(0,t)]=[VG(t)] – [RG][ i(0,t)],
(2.25)
[V(D,t)]=[VL(t)] – [RL][ i(D,t)],
(2.26)
где [RG] – матрица сопротивлений генераторной цепи; [RL] – матрица
сопротивлений нагружающей цепи; [VG(t)] и [VL(t)] – векторы напряжений холостого
хода соответственно генераторной и нагружающей цепей. Предполагается, что
генераторы могут быть на обоих концах линии, которые лишь условно названы
генераторными и нагрузочными концами.
В частотной области граничные условия, аналогичные условиям (2.25) и (2.26),
можно записать и для более сложных нагружающих цепей, состоящих из произвольно
соединенных между собой линейных элементов (резисторов, конденсаторов, катушек
индуктивности) и генераторов.

9. .
В этом случае имеем
[V(0)]=[VG] – [ZG][ I(0)],
(2.27)
[V(D)]=[VL] + [ZL][ I(D)],
(2.28)
где [VG] и [VL] – векторы комплексных напряжений холостого хода обеих нагружающих
цепей; [ZG] и [ZL] – матрицы импедансов этих цепей.
Помимо граничных условий при проведении анализа во временной области
необходимо знать совокупность начальных условий, которым удовлетворяют
напряжения и токи линии в определенный момент времени t. Будем полагать, что в
момент t=0 напряжения и токи в линии отсутствуют. Иными словами, начальные
условия имеют следующий вид:
[V(x,0)]=0,
0<x<D;
[i(x,0)]=0,
0<x<D.
Для применения метода нормальных волн необходимо из телеграфных уравнений
получить волновые уравнения. Выполнив некоторые преобразования, запишем
волновые уравнения во временной области:
∂ 2 [V ( x, t )]
∂x 2
∂ 2 [i ( x, t )]
∂x 2
∂[V ( x, t )]
∂ 2 [V ( x, t )]
= [ R ][G ][V ( x, t )] + {[ R ][ B ] + [ L][G ]} ⋅
+ [ L][ B ]
∂t
∂t 2
,0<x<D; (2.29)
∂[i ( x, t )]
∂ 2 [i ( x, t )]
= [G ][ R][i ( x, t )] + {[ B][ R ] + [G ][ L]} ⋅
+ [ B][ L]
∂t
∂t 2
,0<x<D. (2.30)

10. Из этих уравнений можно сразу записать волновые уравнения во временной
области для линии без потерь:
∂ 2 [V ( x, t )]
∂x
2
∂x
2
∂ 2 [i ( x, t )]
= [ L][ B ]
= [ B ][ L]
∂ 2 [V ( x, t )]
∂t 2
∂ 2 [i ( x, t )]
, 0<x<D;
∂t 2
(2.31)
, 0<x<D.
(2.32)
Уравнения (2.29) и (2.30) или (2.31) и (2.32) представляют пару матричных
уравнений соответственно для напряжений и токов межсоединений, но они не
независимы, так как напряжения и токи взаимосвязаны телеграфными уравнениями
(2.21) и (2.22).
Из телеграфных уравнений (2.23) и (2.24) в частотной области можно получить
волновые уравнения в частотной области для линии с потерями:
d 2 [V ( x)]
dx
2
d 2 [ I ( x)]
dx
2
= [ Z ][Y ][V ( x)]
, 0<x<D;
= [Y ][ Z ][ I ( x)]
, 0<x<D.

11. 2. Электромагнитные влияния в частотной и временной областях.
Переход из временной области в частотную и наоборот.
Рассмотрим описание электромагнитных влияний в частотной и временной
областях [334]. Если электромагнитные влияния проявляются преимущественно в
форме дискретных частот или шума, их следует рассматривать в частотной области,
если как импульсы, переходные и электромагнитные процессы – во временной. Однако
поскольку передаточные свойства путей связи и средств помехоподавления
удобнее
представлять в частотной области, такое представление чаще всего
предпочитают и для помех, выраженных во временной области. Пересчет
периодических процессов из временной области в частотную выполняют при помощи
ряда Фурье, пересчет однократных импульсных процессов – при помощи интеграла
Фурье.
Распространение импульсных помех, их затухание вдоль пути распространения, а
также их влияющее воздействие на различные места подверженной помехе системы
могут быть описаны непосредственно во временной или частотной областях. В
частотной области при аналитическом решении часто пользуются так называемой
ЭМС-номограммой – графической реализацией преобразования Фурье.
ЭМС номограмма служит:
– для графического определения огибающей (наихудший случай) плотности
распределения амплитуд заданного импульса помехи стандартной формы
(графическое преобразование «временная область – частотная область»);

12. – синтеза формы импульса, эквивалентного помехе, из заданного спектра помехи
(графическое обратное преобразование «частотная область – временная область»);
– учета частотозависимых передаточных свойств путем связи, средств помехозащиты
и т. п.
Переход из временной области в частотную возможен при помощи
преобразования Фурье. Для трапецеидального импульса (рис. 2.12) «физическая»
плотность распределения амплитуд импульса определяется как
sin πfτ sin πf τ фр
U ( f ) = 2U m τ
⋅
πfτ
πf τ фр
При tфр = 0 трапецеидальный импульс преображается в прямоугольный, при τ = tфр –
в треугольный импульс. Таким образом, трапецеидальный импульс включает большую
часть встречающихся на практике мешающих импульсов.
tфр
τ
Um
Рис. 2.12. Трапецеидальный
импульс
Наше рассмотрение основывается на аппроксимации огибающей плотности
распределения амплитудной плотности трапецеидального импульса тремя отрезками
прямой (рис. 2.13).

13. дБ
(2Umτ)
U(f),дБ
fн=1/πτ
fв=1/πtф
log f
Рис. 2.13. Огибающая «физической» плотности
распределения амплитуд трапецеидального
импульса (линейная аппроксимация): fн – нижняя, fв
– верхняя сопрягающая частоты
При разработке конструктивов ЭС, например, на основе печатных плат [334], если
два или более сигнальных проводника на протяженных участках проводятся
параллельно и близко друг к другу, из-за взаимного влияния на входах пассивных
цепей могут возникать виртуальные сигнальные напряжения (помехи). На рис. 2.14
показана типичная ситуация: полезный сигнал в активной линии наводит в соседней
(пассивной) линии сигнал помехи, который при превышении допустимых пороговых
значений приводит к ложному срабатыванию элемента, а тем самым и всей системы.
Особенно трудна оценка взаимного влияния в электрически длинных линиях.
1
Uпол (t)
1
1
2
1
Uном (t)
1
Uном (t)
Рис. 2.14. Возникновение помех из-за взаимного влияния между
параллельными сигнальными линиями: 1 – передатчик; 2 – приемник

14. 3. Параллельный и антипараллельный режим работы линий.
У электрически длинных линий различают параллельный и
антипараллельный режим. При параллельном (согласном) режиме линий на
одном конце линий находятся передатчики, а на другом – приемники (рис. 2.15, а).
Поток сигналов в обеих линиях имеет одинаковое направление. При
антипараллельном (встречном) режиме приемник одной линии располагается
напротив передатчика другой (рис. 2.15, б). В этом случае потоки сигналов
направлены навстречу друг другу.
Рис. 2.15. Параллельный (а) и антипараллельный (б) режимы работы двух
сигнальных линий цифровых узлов: 1 – передатчик; 2 – приемник

15. Другим возможным подходом к снижению затрат при решении СЛАУ является
применение итерационных методов решения [169, 172]. Вычислительный процесс в
итерационных методах (простой итерации, Гаусса-Зейделя, последовательной верхней
релаксации) начинается с задания начального приближения решения, выполнения ряда
итераций и заканчивается когда разница между решениями, полученными в двух
последовательных приближениях, станет меньше некоторой заданной величины. На
каждом шаге итерационного алгоритма необходимо проводить проверку точности
полученного решения и невязок правой части. Важно, чтобы итерационный процесс был
сходящимся к решению.
Условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя для системы из N
уравнений и с N неизвестными выполняется, если: 1) абсолютные значения
диагональных элементов больше или равны сумме модулей членов строки для всех
строк; 2) по крайней мере для одной строки значение диагонального элемента по
модулю больше суммы абсолютных значений всех элементов строки. Первое условие
выполняется для всех строк в глобальной матрице энергий, соответствующих
свободным узловым потенциалам, а второе условие соблюдается для строк с
фиксированными потенциалами (граничные узлы и узлы, принадлежащие элементам
источникам). Так как задачи анализа полей в печатных платах имеют всегда свободные
узлы и хотя бы один фиксированный узел, то итерационный процесс по методу ГауссаЗейделя сходится.
Особенностью итерационного метода является возможность хранения только
ненулевых элементов. При этом число элементов в строке матрицы энергий
определяется типом используемых КЭ и составляет 9, 13, 17 и 25 (табл. 2). Также в
пакете анализа электрических параметров межсоединений конструктивов не
выполняется перенумерация узлов конечно-элементной модели, а элементы матрицы
энергий в строке хранятся без упорядочивания их индексов. Для хранения индексов
элементов матрицы энергий введен специальный массив.

16. Кроме того, возникающие из-за взаимного влияния помехи могут быть разделены
на односторонние и двусторонние. Влияние одностороннее, если линия, подверженная
помехе, находится в стационарном состоянии низкого или высокого уровня, т. е.
пассивна. При двустороннем влиянии обе линии активны.
Меры по уменьшению взаимного влияния проводников.
На форму и амплитуду импульсов помехи, вызванных взаимным влиянием,
оказывает труднооцениваемое
влияние
большое
число геометрических,
электрических и характеризующих материалы параметров, таких как:
•
длина и ширина проводников, расстояние между ними и до слоев земли
и питания;
• выходное полное сопротивление передатчиков, входное полное сопротивление
приемников;
• относительная диэлектрическая проницаемость материала платы.
Чтобы выдерживать напряжения помехи малыми, следует стремиться
к возможно более коротким связанным участкам проводников. Например,
у быстродействующих типов переключающих схем (усовершенствованные
и высокоскоростные КМОП – ТТЛ-схемы) критические напряжения помехи могут
возникать уже при длинах связанных участков в 3 – 6 см. Увеличение расстояния между
проводниками эффективно прежде всего при малых расстояниях (< 2 мм).

17. В критических случаях напряжения помехи могут быть существенно уменьшены
путем введения экранирующего проводника (рис. 2.16). При этом последний должен
на обоих концах малоиндуктивно соединяться с системой опорного потенциала
схемы. Благодаря этому образуется короткозамкнутый контур, собственное
магнитное поле которого частично компенсирует магнитное поле возбуждающего
контура. Дополнительно экранирующий проводник действует как электрический
экран, который уменьшает емкостную связь. Наконец, разработчики всегда должны
ограничиваться необходимым пределом крутизны фронта полезных сигналов и
тактовой частоты.
Рис. 2.16. Экранирующий проводник 1 для уменьшения
напряжения помехи, соединенный с обеих
сторон с системой опорного потенциала 2

18. 4. Отражения и искажения сигналов в длинных линиях. Схемы
согласования цепей.
Отражения и искажения сигналов в длинных линиях и связанные
с ними повышения напряжений из-за наложения прямых и обратных волн получаются
в цифровых узлах, в основном, по причине рассогласования между волновым
сопротивлением проводника и выходным либо входным сопротивлением
подключенных интегральных схем. Кроме того, места неоднородностей, разветвления
и изломы проводника определяют дискретность волнового сопротивления участков,
которая при определенных обстоятельствах тоже может быть причиной
возникновения отражений [249].
При электрически коротких линиях помехоустойчивость цифровых схем не
вызывает сомнений из-за рассогласования, но отражения сигналов, возникающие при
электрически длинных линиях, приводят к искажениям переднего и заднего фронта
сигнала, а на вершине импульса наблюдаются положительные и отрицательные
ступеньки. Другими отрицательными явлениями оказываются усиленная взаимосвязь
по сигналу, а также расширение частотного спектра излучения всего узла.
Попытки согласования волнового сопротивления сигнального проводника с
полным сопротивлением узлов, как правило, не приводят к удовлетворительному
результату. Волновое сопротивление для распространенных конструкций печатных
плат меняется между значениями 20 и 250 Ом, так что согласование нереализуемо
прежде всего вследствие высоких входных сопротивлений логических элементов (ТТЛ
– несколько десятков кОм, КМОП – примерно 1 МОм, ЭСЛ – единицы кОм).

19. Дальнейшее уменьшение эффекта отражений сигнала достигается путем
согласования передатчика с волновым сопротивлением подключенной линии. Для
этого рекомендуется включать последовательно дополнительное сопротивление RП
(рис. 2.17, а). Сопротивление RП следует выбирать так, чтобы полное
сопротивление приблизительно соответствовало волновому сопротивлению линии.
Согласование на стороне приемника может производиться путем подключения
сопротивления RВ к источнику питания, по значению равному волновому
сопротивлению линии (рис. 2.17, б). Согласование достигается подключением
параллельно входу приемника
(между входом
элемента и системой
опорного потенциала) сопротивления RН (рис. 2.17, в). Используют и комбинации
сопротивлений RВ и RН (рис. 2.17, г). При этом значения сопротивлений должны
выбираться равными удвоенному волновому сопротивлению. Для КМОП-элементов
вследствие их высокого входного сопротивления применяется специальный вид
согласования с последовательно включенным конденсатором с емкостью около
1000 пФ (рис. 2.17, д). Выбор вида согласования и требуемых элементов
определяется характеристикой изменения сопротивления логического элемента.
Детальные сведения по этому поводу содержатся в паспортах интегральных схем.
Наряду с ограничительными диодами, иногда уже встроенными в схему
изготовителем, существует возможность дополнительно подключить ко входу цепи
диоды для ослабления эффектов отражения (рис. 2.17, е). При их помощи
положительные и отрицательные выбросы искаженного полезного сигнала, а
также наведенные помехи могут быть ограничены до безопасных значений.

20. Рис. 2.17. Цепи для согласования на стороне передатчика и приемника

21. Для логических элементов идеальное согласование из-за их нелинейных
входных и выходных характеристик принципиально недостижимо. Однако часто
достаточно одностороннего согласования. При этом допускается рассогласование
до 20%. Применение согласующих цепей снижает уровень статической
помехоустойчивости, так как введение согласующих сопротивлений на приемной
стороне смещает низкий или высокий потенциал к порогу срабатывания, а при
комбинированном согласовании смещаются оба потенциала. Дополнительное
потребление тока согласующими
цепями
требует увеличения мощности
передающей цепи, так как часть мощности рассеивается на согласующих
элементах. Затраты на дополнительный источник вспомогательного напряжения
стоит производить лишь тогда, когда на печатной плате должны быть согласованы
несколько длинных линий. Для волновых сопротивлений менее 50 Ом согласующие
цепи часто оказываются непригодными, так как недопустимо возрастает
потребление тока. Другой недостаток согласующих цепей состоит в том, что
на
печатной
плате с соответствующими затратами должны быть размещены
дополнительные детали.

22. 5. Методы анализа электромагнитных процессов в межсоединениях.
Рассмотрим методы решения телеграфных и волновых уравнений (табл. 4)
при анализе электромагнитных процессов в межсоединениях конструктивов
ЭС и при соответствующих граничных и начальных условиях [70, 117].
Таблица 4
Методы анализа электромагнитных процессов
№
п/п
Метод
Недостатки
1
Метод нормальных волн во временной области
(система ДУ – дифференциальных уравнений
в частных производных)
Межсоединения только без потерь
и однородные по длине
2
Метод нормальных волн
в частотной области (система ОДУ –
обыкновенных дифференциальных
уравнений)
Только линейные нагружающие цепи и
инвариантные во времени
3
Метод функций Грина (системы ОДУ и ДУ в
частных производных)
Большие затраты машинных ресурсов,
длительность отклика межсоединений превышает
несколько периодов прохождения сигнала
4
Метод продвижения во времени (система ДУ в
частных производных)
Сложные эквивалентные цепи для частотнозависимых параметров межсоединений

23. 6. Метод нормальных волн во временной области.
Достоинства и недостатки.
Метод нормальных волн во временной области позволяет рассматривать
линии без потерь. В силу квази-ТЕМ-аппроксимации такие линии имеют частотнонезависимые матрицы [L] и [B]. Линия без потерь, окруженная неоднородным
диэлектриком (свойства которого изменяются только по поперечному сечению, но не
по длине линии), представляет собой дисперсную среду передачи. Однако возможен
ряд частных совокупностей напряжений и токов проводников, распространение при
которых будет бездисперсным. Эти совокупности называются собственными модами.
В случае линии с потерями такие методы во временной области, как правило, не
существуют.
Напряжения и токи линий для собственной моды можно представить в виде
(2.33)
(2.34)
где индекс m
указывает
на m-ю собственную моду; cm – скорость
распространения в линии сигнала m-й собственной моды;
и
– два набора
констант, выражающих относительные амплитуды напряжений и токов проводника;
– произвольная функция времени, которую называют интенсивностью моды.

24. Верхние знаки в приведенных выше соотношениях соответствуют сигналу
собственной моды, проходящему от генератора к нагрузочному концу, то есть в
положительном направлении оси x. Этот тип собственной волны обычно называют
падающей волной. Нижние знаки соответствуют сигналу собственной моды,
проходящему в противоположном направлении, то есть отраженной волне.
Для линии передачи с N сигнальными проводниками в общем случае
существует N линейно независимых векторов и соответствующих векторов ,
которые с точностью до мультипликативной постоянной являются единственными,
то есть существует N различных собственных мод. Каждая мода имеет свою
собственную скорость распространения. Однако в некоторых случаях эти скорости
могут совпадать (например, если диэлектрик линии однородный), и векторы
напряжений и токов мод не будут линейно независимыми.
Заметим, что
и
связаны уравнениями (2.21) и (2.22), в которых надо
положить [R]=[0] и [G]=[0]. Кроме того, соотношения (2.33) и (2.34) представляют
собой частное решение волновых уравнений (2.31) и (2.32).
Подставляя решение (2.33) в уравнение (2.31), получаем
(2.35)
где [U] – единичная матрица. Для того чтобы уравнение (2.35) имело
нетривиальные решения относительно напряжений на линии, определитель первого
члена должен обращаться в нуль, то есть
(2.36)

25. Уравнение
(2.36)
представляет
собой
характеристическое
уравнение, а 1/c2m – собственное значение матрицы [L][B]. Поэтому мы в праве
считать
собственным вектором матрицы [L][B], соответствующим собственному
значению 1/c2m. Поскольку [L][B] является (N×M)-матрицей, будет существовать N
собственных значений (необязательно различных) и N собственных векторов. Эти
собственные значения и собственные векторы можно вычислить с помощью
стандартных методов.
Аналогичным образом путем подстановки решения (2.34) можно преобразовать
уравнение (2.32) в характеристическое уравнение
(2.37)
В этом случае находится –
собственный вектор матрицы [B][L],
соответствующий собственному значению 1/c2m. Заметим, что собственные
значения матриц [L][B] и [B][L] совпадают, но собственные векторы в общем случае
различны. Как уже указывалось, собственные векторы напряжений и токов
связаны соотношениями (2.21) и (2.22), и, следовательно:
(2.38)
(2.39)
Здесь удобно ввести две квадратные матрицы [SV] и [SL], каждая размером
N×N. Столбцы этих матриц представляют собой собственные векторы
соответственно напряжений и токов, то есть
(2.40)
(2.41)

26. Из соотношений (2.38) – (2.41) следует, что
(2.42)
(2.43)
где [Λ] – диагональная матрица с элементами
, m=1,…, N:
[Λ]=diag [1/c1,…, 1/cN].
(2.44)
Напряжения и токи проводников можно представить в виде сумм падающих
и отраженных волн, выражаемых матрицами [SV] и [SI]. Следовательно,
[v(x,t)]=[vinc(x,t)] + [vref(x,t)]= [SV] {[ginc(x,t)] + [gref(x,t)]},
(2.45)
[i (x,t)]=[iinc(x,t)] + [iref(x,t)]= [SI] {[ginc(x,t)] - [gref(x,t)]},
(2.46)
где
(2.47)
(2.48)
Матрица характеристических импедансов [ZC] линии передачи определяется
соотношениями
[vinc(x,t)]= [ZC] [iinc(x,t)],
(2.49)
[vref(x,t)]= −[ZC] [iref(x,t)],
(2.50)
которые должны быть справедливы для любой падающей и отраженной волны
соответственно.

27. Матрица характеристических полных проводимостей линии [YC] будет
(2.51)
Ясно, что в силу соотношений (2.45) и (2.46) матрица характеристических
импедансов должна удовлетворять уравнению
[SV] = [ZC] [SI].
(2.52)
Тогда из формул (2.42) и (2.43) получаем
(2.53)
Одновременный анализ линии и нагружающих цепей можно осуществить двумя
способами. Один из них заключается в учете нагружающих цепей при
анализе
линии.
В
этом
случае
необходимо
в
каждый
момент
времени знать эквивалентные параметры нагружающих цепей, наблюдаемых
со стороны линии передачи. Этими параметрами могут служить, например,
мгновенные Z-параметры нагружающих цепей. Другой способ состоит в учете линии
передачи при анализе нагружающих цепей. В этом случае необходимо знать
мгновенные параметры линии, наблюдаемые со стороны обеих нагружающих цепей.
Рассмотрим первый способ. Предположим, что известно эквивалентное
представление нагружающих цепей по теореме Тевенина [70], т. е. известны
матрицы сопротивлений [RG] и [RL], а также векторы напряжений холостого хода
[υG(t)] и [υL(t)]. Заметим, что допустимо считать матрицы сопротивлений зависимыми
от времени. Такие эквивалентные мгновенные параметры могут определяться не
только для чисто резистивных линейных цепей, которые могут содержать
генераторы, но и для любых видов линейных цепей, даже инерционных.

28. Объединяя выражения (2.25) и (2.26) с первыми частями формул (2.45) и (2.46)
и с выражениями (2.49) и (2.50), получаем следующие соотношения:
(2.54)
(2.55)
Здесь [τG], [ρG], [τL] и [ρL] называются соответственно генераторным
коэффициентом передачи, генераторным коэффициентом отражения, нагрузочным
коэффициентом передачи и нагрузочным коэффициентом отражения. Все четыре
матрицы имеют одинаковые размеры NxN и определяются выражениями
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
Напряжения [υinc(x,t)] и [υref(x,t)] можно связать c интенсивностями мод [ginc(x,t)] и
[gref(x,t)], используя соответственно формулы (2.45) и (2.46). В результате получаем
(2.60)
(2.61)

29. m
m
m
m
где NxN-матрицы [τ G ] [ ρ G ] [τ L ]и[ ρ L ]называют модовыми коэффициентами передачи
,
,
и отражения; они определяются выражениями
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
Использование модовых коэффициентов передачи и отражения выгодно тем, что
это дает возможность непосредственно фиксировать отдельные моды,
не определяя напряжения и токи проводников. Однако если известны модовые
сигналы, то напряжения и токи проводников в любой точке можно рассчитать по
формулам (2.45) и (2.46).
Полагая Z-параметры нагрузочных цепей известными, можно далее определить
интенсивности мод [ginc(x,t)] и [gref(x,t)]. Если параметры нагрузочных цепей заданы в
аналитической форме, то интенсивности мод можно получить аналитическим
способом. Однако для каждой моды потребуется проследить за волной, вышедшей
из одного конца линии, достигшей другого ее конца, отражающейся от этого
конца, прошедшей к первому концу, вновь отразившейся от него, и т. д. При каждом
отражении любая мода, как правило, возбуждает эту же моду и все остальные
моды. В случае нескольких прохождений сигнала по линии аналитическая
процедура может стать довольно трудоемкой и непригодной для реализации на
ЭВМ.

30. Если аналитический способ выделения мод оказывается практически
невыполнимым, то простой для вычислений и эффективный алгоритм выделения
мод можно получить, используя для этой цели лишь одни временные отсчеты
интенсивностей мод. Будем полагать, что эта дискретизация осуществляется через
равные интервалы Δt. Возьмем также в качестве начальной точку t=0 и будем
считать, что справедливы начальные условия. В этом случае отсчеты
интенсивностей [ginc(0,kΔt)] и [gref(D,kΔt)] k=0,1,…, вначале получить легко, так как
векторы напряжений холостого хода [υG(kΔt)] и [υL(kΔt)] известны. (Предполагается,
что генераторы имеются у обоих концов линии.) В этот начальный период времени
падающая волна еще не достигла нагрузочного конца, а отраженная волна не
достигла генераторного конца. Однако по истечении одного периода прохождения
сигнала по линии, который для каждой моды равен D/cm, падающая и отраженная
волны появятся соответственно у нагрузочного и генераторного концов. Отсчеты
этих волн уже известны, так как их интенсивности в точности те же, что и у конца
линии, из которого они вышли, но имеется только запаздывание во времени на D/cm.
Следовательно, отсчеты волн, вышедших из концов линии, вновь легко определить
по формулам (2.60) и (2.61). В этом случае легко выделить моды после сколь угодно
большого интервала времени. Достаточно занести отсчеты интенсивностей [ginc(0,t)]
и [gref(D,t)] в соответствующие сдвигающие регистры и вычислить напряженияи (или)
токи проводников на обоих концах линии. Длина регистров (т. е. число отсчетов,
занесенных в эти регистры) должна быть такой, чтобы охватываемый отсчетами
временной интервал (SΔt) был длиннее наибольшего периода прохождения волны
определенной моды от одного конца линии к другому, т. е.
(2.66)

31. Единственная трудность, связанная с таким методом выделения моды,
заключается в том, что в общем случае величина D/cm, m=l…, N, не кратна Δt.
Поэтому отсчеты [ginc(D,kΔt)] нельзя получить непосредственно из отсчетов
[ginc(D,kΔt)], просто задерживая последние. Аналогичный вывод справедлив
и в отношении процедуры получения отсчетов [gref(0,kΔt)] из отсчетов [gref(D,kΔt)].
Однако можно прибегнуть к интерполяции отсчетных значений. Так, если применить
линейную интерполяцию для момента t в интервале
kΔt > t > (k+1)Δt,
(2.67)
то получим
(2.68)
(2.69)
Уравнения (2.68) и (2.69) позволяют найти интерполированные значения
вышедших волн, необходимые для получения волн, прошедших к другому концу
(конечно, задержанных на D/cm).
Описанная методика неприменима в случае нелинейных нагрузочных цепей, так
как для таких цепей нельзя получить эквивалентную цепь по теореме
Тевенина (т. е. мгновенные Z-параметры). В данном случае необходима
специальная программа, дающая решение для нагрузочных цепей, причем, проводя
анализ этих цепей, необходимо учитывать и влияние линии передачи, а также знать
мгновенные Z-параметры линии передачи со стороны нагрузочных цепей.

32. Нетрудно показать, что линию без потерь можно со стороны ее выводов представить
двумя эквивалентными цепями, каждая из которых соответствует одному концу линии.
Это — чисто резистивные цепи с независимыми от времени сопротивлениями, причем
матрицы сопротивлений этих цепей совпадают с матрицей характеристических
импедансов линии передачи. Последовательно с такой резистивной цепью включены
идеальные генераторы напряжения с ЭДС, равной удвоенному напряжению поступающей
на данную пару выводов волны. Это эквивалентное представление показано
на рис. 2.18.
2Vref 1(0,t)
2Vref N(0,t)
Линии
передачи
ZC
2Vinc 1(0,t)
ZC
2Vinc N(0,t)
Рис. 2.18. Эквивалентное представление линии передачи
без потерь на основе теоремы Тевенина

33. Анализ нагружающих цепей должен проводиться во временной области (что для
нелинейных цепей представляет собой практически единственную возможность) с
помощью некоторого варианта пошагового во времени метода. При этом легко учесть
модель линии, так как в этом случае на каждом временном шаге в распоряжении имеется
эквивалент линии. Заметим, что ЭДС эквивалентной цепи известны, так как они
выражаются через задержанные интенсивности мод, выходящих из противоположных
концов линии (задержки равны D/cm). Для того чтобы подготовить данные для очередных
временных шагов, необходимо найти (и запомнить) сигналы, вышедшие из концов линии.
Таким образом, волна напряжения, вышедшая от генераторного конца по направлению к
нагрузочному концу, будет определяться выражением
[vinc(0,t)] = [v(0,t)] − [vref(0,t)],
(2.70)
тогда как волна напряжения, вышедшая от нагрузки к генераторному концу, будет
определяться формулой
[vref(D,t)] = [v(D,t)] − [vinc(D,t)].
(2.71)
Заметим, что в приведенных соотношениях [υref(0,t)] и [υinc(D,t)] известны, a [υ(0,t)] и
[υ(D,t)] получаются в ходе решения, вырабатываемого для генераторной и нагрузочной
цепей, и соответствуют текущему временному отсчету. Зная [υinc(0,t)] и [υref(D,t)], можно
из уравнения (2.45) найти [ginc(0,t)] и [gref(0,t)] и проследить за модами при перемещении
к другому концу
линии.
Получение решения в случае нелинейных цепей без инерционных элементов сводится
к решению на каждом временном шаге системы нелинейных уравнений, которое можно
осуществить с помощью того или иного итеративного метода (например, метода НьютонаРафсона или одного из методов оптимизации). Решение для нелинейных цепей с
инерционными элементами основано на решении нелинейных дифференциальных
уравнений, для чего и в данном случае можно воспользоваться рядом приемов.

34. 7. Пример применения метода нормальных волн во временной области.
Для иллюстрации метода нормальных волн во временной области рассмотрим в
качестве примера печатную плату (рис. 2.20), содержащую пять сигнальных
проводников и заземленный плоский экран. Длина межсоединений платы равна 20 см
(остальные параметры указаны на рис. 2.20 в мм.). Со стороны одного плеча линии
1, 2, 4 и 5 возбуждаются идентичными генераторами напряжения с внутренним
сопротивлением 50 Ом, ЭДС которых предполагается имеющими начальные линейно
нарастающие участки, продолженные постоянным напряжением, как показано на рис.
2.21, а. Такие ЭДС аппроксимируют передние фронты импульсов (tфр = 0,2 нс).
Проводник 3 на генераторном конце соединен с землей через сопротивление
100 Ом. Межсоединения не имеют потерь (ρ = 100 Ом), и на нагрузочном конце
все проводники соединены с землей через резисторы 100 Ом. Таким образом,
пассивный проводник 3 согласован на обоих концах.

35. Рис. 2.20. Печатная плата
Отклик линии в этом случае, полученный методом нормальных волн во временной
области, показан на рис. 2.21.
Анализ помех отражений в межсоединении печатной платы на основе метода
нормальных волн (падающих и отраженных) во временной области сведен к решению
линейных алгебраических уравнений и требует незначительных затрат машинного
времени [16, 98, 102]. При этом нелинейный характер нагрузочных цепей учитывается с
помощью кусочно-линейной или сплайн-аппроксимации. Известно также применение
метода характеристик (частного
случая
метода
нормальных волн) в анализе
электромагнитных процессов в витой паре и структурированных кабельных системах
[336].

36. Рис. 2.21. Формы сигналов на активном проводнике (а) (метод
нормальных волн во временной области) и перекрестных
помех на пассивном межсоединении (б)
Отсутствие возможности в методе нормальных волн во временной области
проводить анализ межсоединений с потерями (в проводниках и (или) диэлектриках), а
именно такие межсоединения имеются в СБИС (RC) и МПП (RLC) и представляют
перспективные виды структур ЭС, делает метод плохо пригодным к решению
рассматриваемой задачи анализа ЭМС.

37. Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Какие приближения используются при анализе межсоединений в МПП и СБИС.
Поясните смысл квази-ТЕМ-волны.
В каких случаях гибридные волны можно аппроксимировать квази-ТЕМ-волнами.
Запишите и поясните телеграфные уравнения.
Представьте телеграфные уравнения в векторной форме и в частотной области.
Поясните граничные и начальные условия для телеграфных уравнений.
Запишите и поясните волновые уравнения во временной области.
Запишите и поясните волновые уравнения в частотной области.
Приведите описание электромагнитных влияний в частотной и временной областях.
Каким образом осуществляется переход из временной области в частотную и
наоборот.

38. Контрольные вопросы
11. Поясните параллельный и антипараллельный режим работы линий цифровых узлов.
12. Назовите причины отражения и искажения сигналов в длинных линиях.
13. Назовите величины входных и выходных сопротивлений элементов ТТЛ-, КМОП- и
ЭСЛ-типа.
14. Охарактеризуйте основные варианты цепи для согласования на стороне передатчика
и приёмника.
15. Сравните методы анализа электромагнитных процессов в межсоединениях
конструктивов ЭС.
16. Поясните метод нормальных волн во временной области.
17. Что даёт использование модовых коэффициентов передачи и отражения в методе
нормальных волн во временной области.
18. Приведите пример иллюстрации метода нормальных волн во временной области.