1. Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева
Факультет технической кибернетики и информатики
Направление 210200 «Проектирование и технология электронных средств»
Дисциплина «Информационные технологии электромагнитной совместимости ЭС»
Лекция №13 «Модель для анализа импульсных
помех на шине земли МПП»
Автор - Чермошенцев С.Ф.
Казань 2008

2. Модель для анализа импульсных помех на шине земли
МПП
1. Помехи по цепям питания и заземления.
2. Математическая модель для анализа импульсных помех в шине земли
МПП. Граничные и начальные условия.
3. Решения уравнения для моделирования импульсных помех в шине
земли МПП методом граничных элементов.
4. Алгоритм программы по анализу импульсных помех в шине земли МПП.
5. Пример анализа импульсных помех в шине земли МПП.

3. 1. Помехи по цепям питания и заземления.
Задача обеспечения ЭМС ЭС является наиболее сложной, если применяются
интегральные схемы с высоким быстродействием: ЭСЛ, ТТЛ и КМОП схемы. В этом
случае время переключения элементов схем соизмеримо со временем
распространения сигнала в межсоединениях и длительностью помех, возникающих от
них. При этом возрастают требования к помехоустойчивости интегральных схем,
особенно по отношению к импульсным помехам по цепям питания и заземления [20,
100 , 334].
Помехи по цепям заземления и питания представляют собой токовые выбросы,
возникающие при изменениях состояния логических интегральных схем [20, 189].
Связанные с процессами включения импульсы тока вызывают главным образом на
индуктивностях шин земли/питания напряжения помех, которые приводят к снижениям
напряжения питания и к кратковременным повышениям напряжения системы опорного
потенциала. Система опорного потенциала (также называемая нулевым проводом,
массой или землёй) служит на плате общим обратным проводом для различных
контуров тока. В то время как снижение напряжения питания имеет следствием
изменения состояния высокого уровня других цепей, из-за повышений напряжения
системы опорного потенциала могут измениться низкие уровни цепей, подключенных к
данной системе опорного потенциала, т.е. помехозащищённость интегральных схем
при передаче сигналов между ними уменьшается на величину разности потенциалов
между узлами в шине нулевого потенциала.

4. Импульсные помехи в шинах земли/питания могут приводить к ложному
срабатыванию
логических
элементов
интегральных
схем,
искажению
информационных сигналов, гонке сигналов, изменению питающего напряжения,
появлению дополнительной задержки. Поэтому уровень импульсных помех на шинах
земли/питания не должен превышать допустимых значений.
Влияние импульсных помех на работоспособность ЭС и их расчёт различными
методами были рассмотрены в работах [76, 81, 94, 339]. Недостатком этих методов
являются или низкая точность, или отсутствие универсальности, или сложность в
подготовке исходных и промежуточных данных при расчёте и т. д.
В МПП (рис. 2.44) желательно выполнять шины питания в виде проводящих
плоскостей, сеток или решёток (рис. 2.45), расположенных в соседних слоях [233]. В
данной работе строятся модели именно для такого конструктивного исполнения шин
земли/питания. Система опорного потенциала в виде сетки или решетки очень
хорошо удовлетворяет требованию малой индуктивности. При этом диагонали ячеек
должны быть меньше λ/20, где λ – длина волны наивысшей возможной частоты
сигнала [334].

5. 1
2
3
Рис. 2.44. Фрагмент МПП: расположение шин земли (1),
питания (2) и сигнальных слоев (3)
2.45. Шина земли МПП в виде сетки и в виде решетки

6. В работе моделируются импульсные помехи в проводящем слое земли МПП (рис.
2.46). В точках 1 и 2 подсоединены выводы земли двух интегральных схем, в точке 1 ток
втекает, а в точке 2 вытекает. Для моделирования используется уравнение вида [27, 28,
67]:
∂U ( x, y, t )
∇ 2U ( x, y, t ) = ( RC + LΘ) ⋅
,
∂t
(2.135)
где U –потенциал в слое земли МПП; R, C, L, Θ –соответственно сопротивление, ёмкость,
индуктивность и проводимость единичного квадрата слоя земли [86, 91]; при
соответствующих зависящих от времени граничных условиях следующих двух типов:
на Gr1 и
на Gr2 в момент времени 0 и
на Gr1 и
на Gr2 в момент времени t,
где Gr1 и Gr2 – части границы, где задается то или иное условие. Полная граница
рассматриваемой области равна Gr=Gr1∪Gr2. Пусть заданы некоторые начальные
значения в области исследования Ω в момент времени t=0: U(0)=0.
Уравнение (2.135) включает функцию времени. Один из путей его решения состоит в
использовании шаговой по времени процедуры, когда задача решается для каждого
временного интервала, и значения, полученные на каждом предыдущем шаге,
используются как псевдоначальные условия на последующем шаге.

7. 1
2
Рис. 2.46. Модель шины земли МПП
Решение подобного уравнения возможно различными численными методами:
методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом граничных
элементов (МГЭ) [320]. Общей проблемой методов конечных разностей и конечных
элементов является высокая размерность результирующей системы алгебраических
уравнений. Суть МГЭ [27, 28] состоит в преобразовании дифференциального уравнения
в частных производных, описывающего поведение неизвестной функции внутри и на
границе области, в интегральное уравнение, и затем отыскании численного решения
этого уравнения. Результатом перехода от дифференциального уравнения в частных
производных к интегральному уравнению в конечном счете является система
уравнений, включающая значения переменных только на границе заданной области.

8. Если требуется найти значения потенциала во внутренних точках области, то их
можно вычислить, используя известные решения на границе. Поскольку все
обусловленные численными расчетами приближения связаны только с границей,
получаемая система уравнений имеет меньшую размерность по сравнению с
размерностью исходной системы дифференциальных уравнений. Поэтому в отличие от
других методов дискретизация задачи в МГЭ проводится только на границе
исследуемой области, в результате нужно решить систему уравнений более низкого
порядка (размерность задачи уменьшается на единицу). Последнее обусловливает,
во-первых, более высокую по сравнению с другими методами точность решения, вовторых, существенно меньший объем входных данных при реализации метода на ЭВМ.
Применение МГЭ в задачах моделирования полей было рассмотрено, например, в
[357].

9. 2. Математическая модель для анализа импульсных помех в шине
земли МПП. Граничные и начальные условия.
В данной работе предлагается математическая модель для анализа
импульсных помех в шине земли МПП на основе решения уравнения (2.135) с
соответствующими граничными и начальными условиями методом граничных
элементов [319-325].
Граница слоя земли Gr при использовании МГЭ разбивается на N сегментов, или
граничных элементов, из которых часть элементов относятся к части Gr1 границы, a
часть элементов – к Gr2 (рис. 2.47). Точки, в которых рассматриваются неизвестные
величины, называются узлами; они находятся в середине каждого постоянного
элемента. Значения функций U и Q=∂U/∂n предполагаются постоянными для каждого
элемента и равными их значениям во внутреннем узле элемента. Для каждого
элемента известна одна из двух функций (U или Q).

10. Граничное интегральное уравнение можно получить с помощью метода
взвешенных остатков [27, 28]:
s ⋅U i +
1
1
1
⋅ ∫ U ⋅ Q * dGr =
⋅ ∫ Q ⋅ U * dGr + ⋅ ∫ U 0 ⋅ U * dΩ
RC + LΘ Gr
RC + LΘ Gr
∆t Ω
где
U* =
, (2.136)
RC + LΘ
1 RC + LΘ
RC + LΘ (2.137)
⋅ ln −
⋅ ln
2π
r
4π
∆t
фундаментальное решение для уравнения (2.135);
∂U * RC + LΘ
RC + LΘ
Q =
=
⋅ ( x − x i ) ⋅ cos (n, ox ) +
⋅ ( y − y i ) ⋅ cos (n, oy )
∂n
2π
2π
*
производная функции U* по нормали; r –расстояние между двумя точками на границе;
s=1 во внутренних точках, s=1/2 на границе; cos(n, ox) и cos(n, oy) –направляющие
косинусы нормали, где (n, ox) и (n, oy) –углы между нормалью и осями координат.
Фундаментальное решение U* в (2.137) представляет собой решение уравнения
для бесконечной области и для заданного в некоторой точке границы сосредоточенного
значения потенциала, равного единице, т. е. ∇2U*=δi, где δI – дельта-функция Дирака,
представляющая собой единичный сосредоточенный потенциал в точке i. Соотношение
(2.136) записано для отдельного i-го узла. Это отношение связывает значение функции
U в точке i со значениями функций Q и U на границе Gr (рис. 2.48). Для того чтобы
сформулировать задачу с помощью интегралов, взятых по границе, нужно взять точку i
на границе (соотношение (2.136) справедливо также, когда точка i располагается
внутри области Ω). В выражение (2.136) входит поверхностный интеграл, но он не
вводит никаких дополнительных внутренних неизвестных.

11. Граничный элемент Узел
Gr2
Gri
Gri
Gr2
Gr
Рис. 2.47. Разбиение границы области Gr на
постоянные
граничные элементы при использовании МГЭ
j
i
Gr
Рис. 2.48. Связь значения функции U в
точке I
со значениями функций Q и U на границе
Gr

12. Для его нахождения область Ω разбивается на ряд ячеек, или внутренних
треугольных элементов, подобных тем, что используются в методе конечных
элементов, но по существу совершенно отличных от них, так как здесь отсутствуют
внутренние неизвестные (рис. 2.49), необходимых для проведения процедуры
численного интегрирования. Интегралы по поверхности элементов вычисляются
численным методом. Соотношение (2.136) в дискретном случае можно записать для
точки i (не задавая конкретных граничных условий) в следующем виде:
N
N
1
1 M
1
*
*
sU i +
∫
∫
∑ ∫ UQ dGr = RC + LΘ ∑ Gr QU dGr + ∆t ∑ Gr U 0U *dGr .
j =1
k =1
RC + LΘ j =1 Gr j
j
k
Граничный элемент
Узел
Внутренний элемент (ячейка) Gr
Рис. 2.49. Разбиение области на внутренние элементы (ячейки)
(2.138)

13. 3. Решения уравнения для моделирования импульсных помех
в шине земли МПП методом граничных элементов.
Функции Uj и Qj можно вынести из-под знака интеграла, поскольку они
предполагаются постоянными по длине элемента, что дает:
N
N
1
1
1 M
sU i +
( ∫ Q*dGr ) U j =
( ∫ U * dGr ) Q j +
∑
∑ ( ∫ U 0U * dGr )
∑1
RC + LΘ j = Gr j
RC + LΘ j =1 Gr j
Δt k =1 Grk
.
(2.139)
*
ИнтегралQ dGr устанавливает связь i-ro узла с j-м сегментом, по которому
∫
Gr
проводится интегрирование, и обозначается Hij. Аналогично интегралы ∫ U * dGr в
Gr
правой части этого соотношения будут обозначаться через Gij. Эти интегралы можно
без труда вычислить аналитически, но в случае элементов более высокого порядка
сделать это становится затруднительным и тогда, как правило, прибегают к
численным методам. Тогда соотношение (2.138) примет вид:
j
j
N 
1
1
sU i +
H ij U j =
∑
RC + LΘ j =1
RC + LΘ
1
Gij Q j +
∑1
∆t
j=
N
M
∑ ( ∫U U
0
*
dGr ).
(2.140)
Выражение (2.140) можно записать для каждого i-ro рассматриваемого узла.

Вводится следующее обозначение:
H ij при i ≠ j ,

H ij =  
1
при i = j.
H ij +

2
k =1
Grk

14. Тогда (2.140) может быть переписано в виде:
N
N
j =1
j =,
1
Bi + ∑ H ijU j = ∑ Gij Q j
где 
H ij =
.
;
1
*
∫ Q dGr
RC + LΘ Gri
Gij =
;
1
U * dGr
∫
RC + LΘ Gri
1
1 M
*
*
Bi = ∫ U 0U ∆t dΩ = ∑ ( ∫ U 0U ∆t dGr )
∆t Ω
∆t k =1 Grk
Интегралы Hij и Gij можно вычислить, используя для всех элементов (за
исключением того элемента, которому соответствует рассматриваемый узел)
простые квадратурные формулы Гаусса. Применяя квадратурную формулу,
получаем:
K
lj
1
1
Q * dGr =
⋅ ∑ (Q * ) k ω k
∫
RC + LΘ Gri
RC + LΘ 2 k =1
;
lj K
1
1
*
*
Gij =
∫ U dGr = RC + LΘ ⋅ 2 ∑ (U ) k ω k
RC + LΘ Gri
k =1

H ij =
,
где lj – длина элемента; ωk – гауссов коэффициент (весовое число, соответствующее
точке k при численном интегрировании).
В этой же точке должны быть вычислены значения функции U* или Q*. Длина
элемента lj делится на 2, поскольку формулы численного интегрирования обычно
используют значения от -1 до +1 с весом 2. Для получения требуемой точности в
двумерных задачах, как правило, достаточно взять четыре точки на интервале
интегрирования. В данной работе интегралы вычислялись при использовании
квадратурной формулы Гаусса с восемью узлами.

15. .
Интегралы по поверхности элементов Bi вычисляются следующим образом:
1
1 M K
*
*
Bi =
∫ U 0U ∆t dΩ = ∆t ∑ (∑ (ω k (U 0U ∆t ) k ) Am ,
∆t Ω
m=1 k =1
где ωk – веса, функцию U0U*∆t следует задавать в K точках интегрирования; M –
число ячеек, на которые была разбита область Ω ; Am – площадь каждой из них; Вi
определено для каждого значения фундаментального решения, заданного в i-м
узле. Метод квадратур Гаусса был реализован в программе MGE [320, 324] в виде
одной из функций библиотеки. Полная система NxN уравнений для N узлов может
быть представлена в матричной форме:
[H][U] =[G][Q] +[B].
(2.141)
Если на границе Gr известны N1 значений функции U и N2 значений Q, то в
уравнении (2.141) будет содержаться только N неизвестных, которые могут быть
выражены через исходные значения, и эту систему следует преобразовать, с тем
чтобы её порядок был уменьшен и равен числу рассматриваемых неизвестных.
Уравнение (2.141) можно преобразовать путем переноса всех неизвестных в левую
часть, тогда в правой части остается вектор, получаемый умножением элементов
матрицы на известные значения потенциала и потока, что дает:
[A][X]=[F],
(2.142)
где [Х] – вектор, компонентами которого являются неизвестные значения функций U
и Q. Вектор [F] включает вектор [В].

16. .
Матрица [А] является полностью заполненной матрицей порядка N. Система
линейных алгебраических уравнений (2.142) может быть решена методом Гаусса.
Данный метод реализован в программе MGE также в виде одной из функций
библиотеки.
Решив уравнение (2.142), можно найти значения U и Q на границе. Поскольку
значения U и Q известны на всей границе, можно вычислить значения и в
произвольных внутренних точках, учтя вклад членов, содержащих функцию B, с
помощью соотношения (2.137):
1
1
1
Ui =
⋅ ∫ Q ⋅ U * dGr −
⋅ ∫ U ⋅ Q * dGr − ⋅ ∫ U 0 ⋅ U * dΩ
RC + LΘ Gr
RC + LΘ Gr
∆t Ω
Это соотношение дает в интегральной форме связь между внутренней точкой i и
значениями функций U и Q на границе. Функция U может быть определена
непосредственно из соотношения (2.137) путем представления последнего в
дискретной форме:
.

U i = ∑ Gij Q j − ∑ H ijU j − Bi
N
N
j =1
j =1
Таким образом, изложенная математическая модель [320] позволяет проводить
анализ потенциалов и импульсных помех в шинах земли МПП.

17. 4. Алгоритм программы по анализу импульсных помех в
шине земли МПП.
Алгоритм программы. Программа MGE была разработана на языке
программирования С++ и позволяет рассчитать неизвестные значения потенциалов и
импульсных помех как на границе, так и внутри области исследования при источниках,
расположеных на границе. Размер программы 860 Кб. Алгоритм программы
представлен на рис. 2.50 [324].
Входные данные программы MGE: 1) размеры области исследования (длина,
ширина); 2) номера граничных элементов, на которых расположены источники; 3)
координаты точек наблюдения (точки, в которых требуется получить результат).
Выходные данные: значения потенциалов и импульсных помех в точках наблюдения.
Выходные данные представляются в виде таблицы и осциллограмм.
В качестве примера моделирования была взята шина земли МПП размером
120х100 мм (рис. 2.51) с параметрами R=10‑3 Ом, C=15,6 пФ, L=9,6 нГн, Θ=10‑15 См
[324]. В точках 1 и 2 подсоединены выводы земли двух интегральных схем. В точке 1
втекает трапецеидальный импульс с фронтом 1 нс, амплитудой 1 В и длительностью
7 нс. Внутренние точки 3, 4, 5, 6 и 7 выбраны точками наблюдения (рис. 2.51). Так как
при использовании метода граничных элементов нужно задавать на каждом элементе
значения либо U, либо dU/dn, в остальных точках границы задаём dU/dn=0.
Координаты точек 1 и 2 по x, y, (мм.): 1: 0, 80; 2: 120, 30. Координаты точек
наблюдения по x, y, (мм.): 3: 20, 70; 4: 10, 10; 5: 70, 50; 6: 80, 20; 7: 110, 80.

19. 7
1
3
5
4
6
2
Рис. 2.51. Объект моделирования: шина земли МПП
В результате работы программы получены осциллограммы импульсных помех в
точках наблюдения (рис. 2.52). В табл. 10 приведены максимальные значения
импульсных помех (В) в точках наблюдения для различного количества взятых
элементов по границе при моделировании.
Таким образом, предложенная математическая модель для анализа импульсных
помех (потенциалов) на шинах земли МПП и её программная реализация [319, 321,
324] позволяют оценивать уровни данных помех в различных конструктивных
исполнениях МПП, отличающихся видом слоя земли (сплошная, сетка и решётка) и
величинами электрических параметров R, C, L и Θ. Результаты анализа импульсных
помех по величине амплитуды согласуются с известными экспериментальными
данными [247, 334] с погрешностью ±12%.

20. 1
3
4
5
6
7
Рис. 2.52. Осцилограммы импульсных помех в точках 1, 3, 4, 5, 6 и 7
Таблица 10
Максимальные значения импульсных помех
Число
элементов
Точки наблюдения
3
4
5
6
7
880
0,7554
0,5502
0,3826
0,2005
0,0253
440
0,7554
0,5500
0,3826
0,2000
0,0251
220
0,7552
0,5495
0,3821
0,1992
0,0248
110
0,7531
0,5450
0,3784
0,1990
0,0243

21. Математическая модель в данной работе имеет следующие ограничения: область
моделирования должна быть однородна; в случае сетчатой или решётчатой шины
диагонали её ячеек должны быть меньше λ/20; источники должны располагаться на
границе области, в противном случае потребуется модификация модели.
1.Анализ электрических параметров (емкостей, индуктивностей)
межсоединений
конструктивов цифровых электронных средств целесообразен на основе расчета
электро- и магнитостатических полей структур методом конечных элементов.
Относительная погрешность определения электрических параметров межсоединений в
этом случае не превышает ± 5%.
2.Значительную часть затрат машинного времени (до 90%) при анализе полей структур
конструктивов методом конечных элементов занимает решение СЛАУ. При решении
СЛАУ больших размерностей эффективен итерационный метод Гаусса-Зейделя в
сочетании с алгоритмом квадратичной сходимости, применяемым после нескольких
подряд сходящихся итераций.
3.Применение плоских и объемных бесконечных элементов позволяет снижать
размерность задач анализа структур конструктивов методом конечных элементов на 10 –
70%.
4.Методы анализа электромагнитных процессов (нормальных волн во временной и
частотных областях, продвижения во времени) в межсоединениях цифровых печатных
плат имеют линейный характер зависимостей затрат машинного времени от длины
проводников.
5.Метод пошагового продвижения во времени наиболее приемлем в анализе
электромагнитных процессов в межсоединениях с потерями и без потерь, с нелинейными
и произвольными нагрузками, характеризуется относительно экономичными затратами
вычислительных ресурсов.

22. 6.
Реализация эффективных программных моделей для анализа задержек сигналов,
их искажений и отражений, а также перекрестных помех в конструктивах цифровых
электронных средств возможна только на компонентном уровне, и предпочтительны
в этом случае модели с внутренним итерированием.
7. Метод Эйлера обеспечивает адекватное моделирование электромагнитных
процессов в межсоединениях печатных плат. Относительная погрешность в этом
случае составляет ±3%. Для этого условие дискретизации межсоединений
выполняется в виде соблюдения ограничения – время задержки сигнала на одном
звене должно быть в 8-12 раз меньше длительности фронта сигнала, а величина
начального шага интегрирования равна 0,01-0,1 времени прохождения сигнала в
одном звене.
8. Значительное сокращение затрат машинного времени (1 – 3 порядка) при
прогнозировании задержек сигналов и перекрестных помех в межсоединениях
конструктивов при сохранении приемлемой точности можно получить, применяя
экспертную стратегию фрагментации.
9. Поиск наиболее неблагоприятных сочетаний входных сигналов фрагментов
межсоединений цифровых печатных плат, приводящих к перекрестным помехам
наибольшей
величины,
предпочтительно
проводить
используя
систему
программирования Пролог.
10. Математическая модель и программа для анализа импульсных помех на шине
земли (сплошная, сетка, решётка) печатной платы на основе применения метода
граничных элементов позволяют моделировать импульсные помехи с погрешностью
±12%.

23. Контрольные вопросы
1.
2.
Охарактеризуйте помехи по цепям питания и заземления.
В каком случае система опорного потенциала МПП в виде сетки или решётки
удовлетворяет требованию малой индуктивности.
3. Поясните уравнение для моделирования потенциалов и импульсных помех в слое
земли МПП.
4. Объясните по п.3 граничные условия двух типов.
5. Поясните математическую модель для анализа импульсных помех в шине земли
МПП.
6. Приведите основные этапы метода граничных элементов в анализе импульсных
помех в шине земли МПП.
7. Приведите алгоритм программы по анализу потенциалов и импульсных помех в
шинах земли МПП.
8. Поясните пример моделирования потенциалов и импульсных помех в шинах земли
МПП.
9. Каковы основные ограничения математической модели для анализа потенциалов и
импульсных помех на шинах земли МПП?
10. Какова точность математической модели по анализу потенциалов и импульсных
помех на шинах земли МПП?