...

1. Містерство освіти і науки України
Департамент освіти і науки Полтавської облдержадміністрації
Полтавське територіальне відділення МАН України
Миргородське міське наукове товариство учнів "Мала академія наук"
Відділення фізики і астрономії
Секція теоритичної фізики
Визначення меж застосування формули Х.Гюйгенса для
вільних коливань математичного маятника
Роботу виконала: Мартиненко
Юлія Віталіївна учениця 11 класу
Загальноосвітньої Школи I-III
ступенів 7 Миргородської міської
ради Полтавської області
Науковий керівник: Маркович
Людмила Михайлівна учитель фізики
Миргородської Загальноосвітньої
Школи I-III ступенів 7 Миргородської
міської ради Полтавської області
спеціаліст 2 кваліфікаційної категорії,
кандидат педагогічних наук

2. 2
Миргород-2016

3. 3
ТЕЗИ
науково - дослідницької роботи
" Визначення меж застосування формули Х.Гюйгенса для вільних коливань
математичного маятника "
Автор: Мартиненко Юлія Віталіївна
Миргодської Загальноосвітня Школа I-III ступенів 7 Миргородської міської ради
Полтавської області, 11 класу, місто Миргород.
Науковий керівник: Маркович Людмила Михайлівна учитель фізики
Миргородської Загальноосвітньої Школи I-III ступенів 7 Миргородської міської
ради Полтавської області спеціаліст 2 кваліфікаційної категорії, кандидат
педагогічних наук
У сучасних умовах розвитку науково-технічного процесу фізика є фундаментальною
наукою про природу і вивчає загальні закономірності перебігу природних явищ,
закладає основи світорозуміння на різних рівнях пізнання природи і дає загальне
обґрунтування природничо-наукової картини світу. Вона є невід'ємною складовою
культури високотехнологічного інформаційного суспільства.
Фізика - наука точна. Вона вимагає не лише логіки, а й чіткості у зазначені меж
використання законів природи, особливо якщо ці закони відображаються у знакові
формі у вигляді формул. Більшість фізичних формул має певні межі свого
заснування. Розуміння цього, глибинний аналіз фізичних явищ і параметрів, що на
них впливають, намагання виявити і зазначити межі застосування кожної конкретної
формули є рушійною силою у розвитку та вдосконаленні фізичного знання. Адже не
секрет, що саме завдяки такій прискіпливості інколи фундаментальні положення
фізики зазнають суттєвих змін або часткового коректування.
Мета досліджень полягає у виявлені меж застосування формули Х.Гюйгенса для
визначення періоду вільних коливань математичного маятника.
Актуальність досліджень
Коливання - найпоширеніша форма руху у навколишнього середовищі. Тому будь-

4. 4
які дослідження ,уточнення з цього питання як теоретичного, так і практичного
характеру мають неоцінення значення.
Завдання досліджень:
1) Аналіз характеристик коливального процесу
2) Історичних екскурс досліджень коливального руху
3) Експериментальна перевірка щодо впливу довжини нитки математичного
маятника на межі використання формули Х.Гюйгенса та аналіз отриманих
результатів.
Об'єкт дослідження: вільні коливання математичного маятника.
Предмет дослідження: вплив одного із параметрів математичного маятника
( довжини нитки) на точність формули Х.Гюйгенса.
Наукова новизна дослідження полягає в тому, що було експериментально
виявлено співвідношення між довжиною нитки математичного маятника та
розмірами кульки, за якого формула Х.Гюйгенса щодо періоду коливань
математичного маятника справжнюється.
Практичне значення
Отриманні результати дослідження можна:
-розмістити у підручнику з фізики при вивченні теми "Коливальний рух. Амплітуда
коливань. Період коливань. Маятники" (7 клас)," Математичний маятник. Період
коливань математичного маятника " (10 класу, академічний рівень) ;
- використати при виконанні лабораторної роботи " Дослідження коливань нитяного
маятника "(7 клас), " Виготовлення маятника і визначення періоду його коливання "
(10 клас, академічний рівень);
- використати при виконанні фізичного практикуму " Дослідження нитяного
маятника " (10 клас, академічний рівень) ;
- використати для створення джерела різних видів хвильових процесів із подальшим
дослідження хактеристик і властивостей отриманих хвиль ;
- використати при подальшому дослідженні характеристик математичного маятника
( залежність періоду коливань від кута відхилення математичного маятника) ;

5. 5
- використати при дослідженні особливостей коливального руху фізичного
маятника тощо.

6. 6
ЗМІСТ
1.ВСТУП……………………………………………………………………………6
2.ОСНОВНА ЧАСТИНА………………………………………………………….8
РОЗДІЛ 1 Аналіз характеристик коливального процесу ………………….8
РОЗДІЛ 2 Історичний екскурс дослідження коливального руху….………13
РОЗДІЛ 3 Експериментальна перевірка щодо впливу довжини
математичного маятника на межі використання формули
Гюйгенса……………………………………………………………………..17
3. ВИСНОВКИ ………………………………………………………………………20
4.СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………………..22

7. 7
ВСТУП
У сучасних умовах розвитку науково-технічного процесу фізика є фундаментальною
наукою про природу і вивчає загальні закономірності перебігу природних явищ,
закладає основи світорозуміння на різних рівнях пізнання природи і дає загальне
обґрунтування природничо-наукової картини світу. Вона є невід'ємною складовою
культури високотехнологічного інформаційного суспільства.
Фізика - наука точна. Вона вимагає не лише логіки, а й чіткості у зазначені меж
використання законів природи, особливо якщо ці закони відображаються у знакові
формі у вигляді формул. Більшість фізичних формул має певні межі свого
заснування. Розуміння цього, глибинний аналіз фізичних явищ і параметрів, що на
них впливають, намагання виявити і зазначити межі застосування кожної конкретної
формули є рушійною силою у розвитку та вдосконаленні фізичного знання. Адже не
секрет, що саме завдяки такій прискіпливості інколи фундаментальні положення
фізики зазнають суттєвих змін або часткового коректування.
Мета досліджень полягає у виявлені меж застосування формули Х.Гюйгенса для
визначення періоду вільних коливань математичного маятника.
Актуальність досліджень
Коливання - найпоширеніша форма руху у навколишнього середовищі. Тому будь-
які дослідження ,уточнення з цього питання як теоретичного, так і практичного
характеру мають неоцінення значення.
Завдання досліджень:
1) Аналіз характеристик коливального процесу
2) Історичних екскурс досліджень коливального руху
3) Експериментальна перевірка щодо впливу довжини нитки математичного
маятника на межі використання формули Х.Гюйгенса та аналіз отриманих
результатів.
Об'єкт дослідження: вільні коливань математичного маятника.
Предмет дослідження: вплив одного із параметрів математичного маятника
( довжини нитки) на точність формули Х.Гюйгенса.

8. 8
Наукова новизна дослідження полягає в тому, що було експериментально
виявлено співвідношення між довжиною нитки математичного маятника та
розмірами кульки, за якого формула Х.Гюйгенса щодо періоду коливань
математичного маятника справжнюється.
Практичне значення
Отриманні результати дослідження можна:
-розмістити у підручнику з фізики при вивченні теми "Коливальний рух. Амплітуда
коливань. Період коливань. Маятники" (7 клас)," Математичний маятник. Період
коливань математичного маятника " (10 класу, академічний рівень) ;
- використати при виконанні лабораторної роботи " Дослідження коливань нитяного
маятника "(7 клас), " Виготовлення маятника і визначення періоду його коливання "
(10 клас, академічний рівень);
- використати при виконанні фізичного практикуму " Дослідження нитяного
маятника " (10 клас, академічний рівень) ;
- використати для створення джерела різних видів хвильових процесів із подальшим
дослідження хактеристик і властивостей отриманих хвиль ;
- використати при подальшому дослідженні характеристик математичного маятника
( залежність періоду коливань від кута відхилення математичного маятника) ;
- використати при дослідженні особливостей коливального руху фізичного
маятника тощо.

9. 9
РОЗДІЛ 1
АНАЛІЗ ХАРАКТЕРИСТИК КОЛИВАЛЬНОГО ПРОЦЕСУ
Коливаннями називають фізичні процеси, які точно чи майже точно повторюються
через однакові проміжки часу. Коливання бувають механічними та
електромагнітними. З коливаннями ми зустрічаємося не тільки в техніці, а й у
природі та житті людини. Наприклад, коливається поршень двигуна, листя дерев,
струни музичних інструментів, б’ється серце. Головною особливістю коливального
руху є його періодичність [11], [7].
Існує кілька видів коливального руху: вільні ,вимушені коливання та
автоколивання.
Вільні коливання — це коливання, які відбуваються в механічній системі під дією
внутрішніх сил системи після короткочасної дії зовнішніх сил.
Система тіл, які можуть виконувати вільні коливання, називається коливальною
системою.
Вимушені коливання — коливання, що виникають під дією зовнішніх сил, які
змінюються з часом за модулем та напрямом.
— коливання, амплітуда і період яких залежать від властивостей самої системи і не
залежать від початкових умов, наприклад від початкового запасу енергії. Цим
автоколивання відмінні від власних і вимушених коливань.
Вільні коливання не можуть існувати вічно,внаслідок втрати енергії,тому поступово
їх амплітуда зменшується, коливання затухають. Коливання, амплітуда яких з часом
зменшується, називаються затухаючими [5].
Характеристики коливального руху:
• Амплітуда — модуль найбільшого відхилення тіла від положення
рівноваги. Позначається літерою А та вимірюється в метрах.

10. 10
• Період — мінімальний проміжок часу, за який відбувається одне
коливання. Період позначається літерою Т та вимірюється в секундах.
• Частота — число коливань за одиницю часу. Позначається
літерою ν та вимірюється в герцах. Частота обернено пропорційна періоду,
тому для того щоб знайти частоту, необхідно одиницю поділити на період.
Цікавим і важливим прикладом коливального руху є рух маятника. Маятник
називається математичним, якщо він є точковим тілом, підвішеним до
нерозтяжної й невагомої нитки. Тіло, підвішене на пружину, так само буде
коливатися. Такий маятник називають пружинним. Період коливання
математичного маятника не залежить ні від маси тіла, ні від амплітуди коливань.
Період пружинного маятника так само не залежить від амплітуди коливань[9].
Математичним маятником вважають точкове тіло, підвішене до нерозтяжної і
невагомої нитки. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому що: по-
перше, у природі не існує точкових тіл, а по-друге, немає абсолютно нерозтяжних і
невагомих ниток.
Проте з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку,
підвішену на нитці .

11. 11
Коли кулька перебуває в стані рівноваги, то на неї діють сила тяжіння та сила
пружності нитки які зрівноважують одна одну, тобто рівнодійна цих сил
дорівнює нулю.
Якщо ж маятник відхилити від положення рівноваги на кут ер, то на кульку так само
діятимуть сили тяжіння та пружності нитки, але їх рівнодійна тепер
уже має певне значення, напрямлена перпендикулярно до нитки маятника і діє у
напрямку до положення рівноваги. Саме ця сила і викликає коливання маятника.
Якщо кут φ малий, то sinφ ~ φ і сила, що викликає коливання, пропорційна куту
відхилення нитки:
Такий самий характер має сила, що спричиняла коливання кульки, прикріпленої до
пружини, яку розглядали вище.Ця сила діє по дотичній до траєкторії руху кульки
маятника і надає їй так званого тангенціального прискорення:
де — довжина маятника (сумарна довжина нитки маятника і радіуса кульки); ε —Ɩ
кутове прискорення руху маятника.
За другим законом Ньютона
Останнє рівняння аналогічне рівнянню
к
а = - — х, що описує коливання тягаря на пружині.
m

12. 12
Розв'язки обох рівнянь однакові. Якщо позначити то колова частота
коливань математичного маятника
Оскільки період коливань то період коливань математичного маятника буде
де — довжина маятника; g — прискорення вільного падіння у точці, де перебуваєƖ
маятник.
Це формула Гюйгенса для періоду коливань
математичного маятника.Загальною умовою
виникнення механічних коливань є пропорційність
прискорення руху тіл зміщеню, взятому зі знаком
мініс:
У випадку криволінійного руху прискорення можна
розділити на доцентрове, яке характеризує
швидкість зміни напрямку швидкості, та тангенціальне, що характеризує швидкість
зміни швидкості за значенням. Кутове прискорення
характеризує швидкість зміни кута повороту тіла при обертовому русі чи
коливаннях навколо певних осей
Період коливань математичного маятника
Формула Гюйгенса для періоду коливань математичного маятника:
За допомогою маятників можна знаходити корисні копалини

13. 13
— тверде тіло довільної форми, яке під дією сили
тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не
проходить через центр маси тіла.
В нашому дослідженні ми використовуватимемо лише математичний маятник.
Отже ми зясували ,які види коливаннь існують .Окреслили основні поннятя
коливального руху ,а саме амплітуду ,період і частоту. Крім того ,ми зазначили ,що
є математичним маятником ,оскільки саме цю математичну модель будемо
досліджувати.
Врізних місцях земної кулі прискорення вільного падіння різне. Воно залежить не
лише від форми Землі, а й від наявності під поверхнею важчих (руди різних
металів ) чи легших (газ, нафта) речовин. Тому й період коливань маятника у таких
місцях різний. Отже, за допомогою маятників можна знаходити корисні копалини,
тобто допомагати геологічній розвідці.Таким чином ,ми розглянули різні види
коливань та основні харктерсткиколивального руху .

14. 14
РОЗДІЛ 2
ІСТОРИЧНИЙ ЕКСКУРС ДОСЛІДЖЕНЯ КОЛИВАЛЬНОГО РУХУ.
Історичні пам`ятки давніх цивілізацій, що залишились нам у спадок, не містять
ніяких загадок про дослідження коливального руху в цілому або якихось його
характеристик. Це свідчить про те, що аби цих досліджень взагалі не існувало, або
ці знання загубилися у віках[4].
У XVI столітті спостерігався швидкий технічний прогрес, повязанний із бурхливим
розвитком природничих наук ,у тому числі і фізичні знання.
Безпосереднє дослідження коливальних процесів почалося із створенням
механічного годинника. Вигадані у Давній Греції сонячний годинник, водяний чи
вогняний годинник у Давньому Китаї були незручними для індивідуального
користування. Але й механічний годинник винайшли не відразу. Довгий час
механічний годинник був громістким і недосконалим. На той час не було відомо
жодного механічного явища, яке періодично повторювалося би через один і той
самий невеликий проміжок часу[10], [6].
Таке явище було виявлено лише на початку створення нової механіки Галілео
Галілеєм. Саме Галілей виявив, що коливання маятника ізохронні, тобто їх період,
зокрема, не змінюється при затуханні коливань.
Саме Галілей запропонував скористатися маятником для створення годинника. До
створення годинника він приступив у 1641 році, за рік до своєї смерті. Робота не
була завершеною. Її продовжив син Галілея Вінченсо, який розпочав її у 1649 році
також незадовго до смерті, так і не створивши годинника[3].
Деякі вчені вже використовували ізохронність маятника в лабораторних
дослідженнях, але значних успіхів не досягли.
У 1657 році 27-річний Х.Гюйгенс, на той час вже відомий вчений, що відкрив кільце
Сатурна, розпочав роботу над дослідженнями щодо роботи механічного
годинника[2], [3], [12]. 1657 року Гюйгенс опублікував опис устрою винайденого
ним годинника із маятником. Тоді вчені не мали такого необхідного для
експериментів приладу, як точний годинник.Галілей, наприклад, для вивчення

15. 15
законів падіння вимірював час за ударами власного пульсу. Годинники із колесами,
які приводилися в рух гирями, були у вжитку здавна, але мали незадовільну
точність. А от маятник із часів Галілея вживали окремо для точного виміру
невеликих проміжків часу, коли доводилося підраховувати кількість гойдань.
Годинник Гюйгенса мав хорошу точність, і вчений далі неодноразово, протягом 40
років, звертався до свого винаходу, удосконалюючи й вивчаючи його властивості.
Гюйгенс мав намір застосувати маятниковий годинник для вирішення завдання
визначення довготи на морі, але істотного прогресу не здобув. Надійний і точний
морський хронометр з'явився лише у 1735року (у Великобританії).1673 року
Гюйгенс опублікував класичну працю з механіки «Маятниковий годинник»
(«Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum an horologia aptato
demonstrationes geometrica»). Скромна назва не повинна вводити в оману. Окрім
теорії годинника, твір містив безліч першокласних відкриттів у
галузі аналізу та теоретичної механіки. Гюйгенс також наводить
там квадратуру низки поверхонь обертання. Цей та інші його твори мали величезний
вплив на молодого Ісаака Ньютона.У першій частині праці Гюйгенс описує
вдосконалений, циклоїдальний маятник, який мав постійний період
коливань незалежно від амплітуди. Поясненню цієї властивості він присвячує другу
частину книги: виведення загальних законів руху тіл у полі тяжіння — вільних,
на похилій площині, та таких, що котяться циклоїдою. Слід зазначити, що це
вдосконалення не знайшло практичного застосування, оскільки при малих
коливаннях підвищення точності від циклоїдального приросту ваги незначне. Проте
методика дослідження увійшла до золотого фонду науки.Гюйгенс виводить
закони рівноприскореного руху тіл у вільному падінні, виходячи з припущення, що
дія сталої сили на тіло, не залежить від величини й напряму початковій швидкості.
Виводячи залежність між висотою падіння і квадратом часу, Гюйгенс робить
зауваження, що висоти падінь відносяться як квадрати набутих швидкостей. Далі,
розглядаючи вільний рух тіла, підкинутого вгору, він знаходить, що тіло
підіймається на найбільшу висоту, втративши всю надану йому швидкість, і отримує
її знову при поверненні назад.Галілей допускав без доказу, що під час сковзання

16. 16
вниз похилими площинами із різним нахилом, але однаковою висотою, тіла
набувають рівних вертикальних швидкостей. Гюйгенс доводить це таким чином. Дві
прямі різного нахилу і рівної висоти приставляються нижніми кінцями одна до
іншої. Якщо тіло, спущене з верхнього кінця однієї з них, набуває більшої
швидкості, ніж спущене з верхнього кінця іншої, то можна пустити його по першій з
такої точки нижче за верхній кінець, щоб придбана внизу швидкість була достатня
для підйому тіла до верхнього кінця другої прямої; але тоді б вийшло, що тіло
піднялося на висоту, більшу за ту, з якої воно впало, а цього бути не може.Від руху
тіла похилою прямою Гюйгенс переходить до руху ламаною лінією і далі до руху
будь-якою кривою, і доводить, що швидкість, яку тіло набуває при падінні з будь-
якої висоти кривою, дорівнює швидкості, яку тіло набуває при вільному
вертикальному падінні з тієї ж висоти, і що така ж швидкість необхідна для підйому
того ж тіла на ту ж висоту як вертикально вгору, так і кривою. У третій частині
твору викладається теорія еволют і евольвент, відкрита автором ще 1654 р.; він тут
знаходить вигляд і положення еволюти циклоїди.У четвертій частині викладається
теорія фізичного маятника; тут Гюйгенс вирішує завдання, яке давалася багатьом
сучасним йому геометрам, — завдання про визначення центру коливань. Він
ґрунтується на наступній пропозиції:Якщо складний маятник, вийшовши із стану
спокою, здійснив певну частину свого коливання, більшу ніж половина розмаху, і
якщо зв'язок між всіма його складовими частинами був знищений, то кожна з цих
частин підніметься на таку висоту, що її загальний центр тяжіння при цьому буде на
тій висоті, на якій він був при виведенні маятника із стану спокою.Ця пропозиція не
доведена Гюйгенсом, він сформулював лише основну ідею, тоді як тепер вона є
простим наслідком закону збереження енергії.
Теорію фізичного маятника подано Гюйгенсом у повному обсязі в загальному
вигляді й у застосуванні до різноманітних тіл. Гюйгенс виправив помилку Галілея і
довів, що проголошена останнім ізохронність коливань маятника справедлива лише
приблизно.У останній п'ятій частині свого твору, Гюйгенс подає тринадцять теорем
про відцентрову силу. Цей розділ вперше приводить точний кількісний вираз для

17. 17
відцентрової сили, який згодом зіграв важливу роль у дослідженні руху планет і
відкритті закону всесвітнього тяжіння. Гюйгенс подає у ньому (словесно) декілька
фундаментальних формул:
• для періоду коливань;
• для доцентрового прискорення.
1657 року Гюйгенс написав додаток «Про рахунки в азартній грі» до книжки свого
вчителя ван Схоотена «Математичні етюди». Це був змістовний виклад
початків теорії ймовірності, що зароджувалася в той час. Гюйгенс, поруч
із Ферма і Паскалем, заклав її основи. За цією книжкою ознайомився з теорією
ймовірності Якоб Бернуллі, який і завершив формулювання основних принципів
теорії.
Таким чином ,основні дослідження коливального руху математичного маятника
здійснювалися лише у 17ст. Дослідження Галілео Галілея та його сина Вінченсо
заклали фундамент для ґрунтовних досліджень Гюйгенса у галузі вільних коливань.
Х.Гюйгенс описав процес вільних коливань та запропонував формулу для
визначення періоду коливань математичного маятника. Він експериментально
довів ,що період коливань математичного маятника залежить від довжини нитки .
Але точних співвідношень ,до довжини нитки ,за якої виконується ця формула не
вказав.

18. 18
РОЗДІЛ 3
ЕКСПЕРЕМТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА ЩОДО ВПЛИВУ ДОВЖИНИ
МАТЕМАТИЧНОГО МАЯТНИКА НА МЕЖІ ВИКОРИСТАННЯ ФОРМУЛИ
ГЮЙГЕНСА.
При вивченні літератури з даного питання нас зацікавила встановлення точних меж
використання формули Х. Гюйгенса для визначення періоду коливаннь
математичного маятника. Адже такі неточні зауваження, що кути відхилення кульки
від точки стійкої рівноваги мають бути малими, а довжина нитки великою
порівняно із розмірами кульки, на нашу думку, у фізиці не припустимі. Мають бути
чітко окреслені параметри, в межах яких справджується формула Гюйгенса.
Ми вирішили дослідити вплив саме довжини нитки на точність виконання формули
Гюйгенса. Кут відхилення кульки становить у наших дослідженнях приблизно 5
градусів. Ясна річ, не маючи сучасного лабораторного устаткування, доволі складно
було забезпечити точність кутів відхилення математичного маятника. Лабораторна
установка складалася із кульки радіусом см з ниткою, закріплених на двірному
отворі. Здійснювалося 10 коливань і визначався точний час цих коливань.Далі
обчислили середній час коливань як середнє арифметичне 10 значень часу. Потім
використовували дві робочі формули. Перша формула , де Т – період коливань,
t – час десяти коливань, n – кількість коливань, та формула Гюйгенса , де –Ɩ
довжина нитки математичного маятника, g – прискорення вільного падіння.
Наведемо таблицю із результатами проведених нами дослідів.
Довжина
нитки ,мƖ
Кількість
коливань N
Середній час
коливань t , с
Період коливань
підрахованих за
формулою
с,
Період коливань
підрахованих за
формулою
с,
1,2 10 20,7 2,07 2,078
1,15 10 20,3 2,03 2,0347
1,1 10 19,89 1,989 1,9899

19. 19
1,05 10 19,44 1,944 1,94423
1 10 18,97 1,897 1,8973757
0,95 10 18,49 1,849 1,8493325
0,9 10 18 1,8 1,8000081
0,85 10 17,49 1,749 1,7492933
0,8 10 16,97 1,697 1,6970644
0,75 10 16,43 1,643 1,6431745
0,7 10 15,87 1,587 1,5874577
0,65 10 15,29 1,529 1,5297125
0,6 10 14,69 1,469 1,4697008
0,55 10 14,07 1,407 1,40713
0,5 10 13,41 1,341 1,3416466
0,45 10 12,727 1,2727 1,2727977
0,4 10 12 1,2 1,2000056
0,35 10 11,225 1,1225 1,122501
0,3 10 10,4 1,04 1,392344
0,25 10 9,5 0,95 0,9486869
0,2 10 8,5 0,85 0,8485322
0,15 10 7,57 0,757 0,7348485
0,1 10 6,42 0,642 0,6000012
0,05 10 4,82 0,482 0,4242648
Внаслідок обчислення періоду коливань математичного маятника, з`ясувалося, що
якщо використовувати для даної місцевості прискорення вільного падіння
g=9,8Н/кг, то період коливань, обчислений за цими двома формулами дає
розходження результатів. Отже, прискорення вільного падіння має інше значення.
Звідси прискорення вільного падіння ми визначили за формулою . За
нашими розрахунками для нашої місцевості g = 10,955м/ .Така величина
присклрення вільного падіння може вказувати на наявність у надрах покладів
важких металів. Аналізуючи результати таблиці ми помітили, що коли довжина
нитки зменшувалася до 30 см і менше, то з'являлися розходження у результатах
обчислення періоду коливань математичного маятника. Тому ми представили
наступну таблицю, у якій наводимо результати відносної похибки періоду коливань
математичного маятника.
Довжина нитки ,мƖ
Відносна похибка періоду коливань підрахованих за
формулою , %
0,3 0,0737

20. 20
0,25 0,13841
0,2 0,17298
0,15 3,01443
0,1 6,99978
0,05 13,60829
У процесі дослідження довжину нитки зменшували від 120 см до 5 см через кожні 5
см. При довжині нитки 30 см відносна похибка періоду коливань становила
0,0737%, при 25 см – 0,13841%, при 20 см – 0,17298%, при 15 см – 3,01443 %, при 10
см – 6,99978 %, при 5 см – 13,60829 %. При цьому радіус кульки становить 0,5 см.
Таким чином, на нашу думку формула Гюйгенса справджується з точністю менше
ніж 1% відносної похибки при довжині нитки до 15 см, що відповідає 30 радіусам
кульки. При довжині нитки, що відповідає 10 радіусам кульки, формула Гюйгенса
втрачає достовірність.
Нами було зроблено припущення, що оскільки математичний маятник – фізична
модель, яка являє собою математичну точку, підвишену на нитці, то радіус кульки
можна додавати до загальної довжини нитки. Але за таких умов відносна похибка
значно збільшилась. Отже, наше припущення виявилися хибними.
Оскільки прискорення вільного падіння для нашої місцевості виявилося 10,955м/ ,
то це означає, що у надрах землі під нашими знаходяться металеві руди. Це
припущення потребує подальшої перевірки.

21. 21

22. 22
ВИСНОВКИ
Коливальний рух – найпоширеніший вид руху на нашій планеті .
Існує кілька видів коливального руху :
• вільні коливання;
• вимушені коливання;
• автоколивання.
Серед усіх видів коливань вільні коливання є затухаючими ,оскільки енергія ,набута
тілом з зовні ,згодом витрачається .
Основними характеристиками коливального руху є період, частота та амплітуда
коливань.
Давні часи коливальний рух майже не досліджувався. Це підтверджується тим, що
не залишилося задокументованих згадок з того часу. Грунтовним дослідження
вільних коливань займалися лише у 17 ст, зокрема Галілео Галілей та його син
Вінченсо. На основі отриманих даних Гюйгенс продовжив роботу на цим питанням і
доволі ґрунтовно дослідив коливальний рух математичного маятника і винайшов
формулу періоду вільних коливань, яку потім на його честь назвали формулою
Гюйгенса.
Х.Гюйгенс визначив, що період коливань математичного маятника не залежить від
маси, а лише прямо пропорційна квадратному кореню із довжини нитки та обернено
пропорційна квадратному кореню із прискорення вільного падіння. При цьому
вчений зазначив, що формула справжнюється при малих кутах відхилення маятника
і значній довжині нитки.
Наша задача полягала у дослідженні коливального руху, утвореного математичним
маятником та та визначення меж застосування формули Х.Гюйгенса для обчислення
періоду математичного маятника щодо довжини нитки.
Отримані нами результати показали, що :
• по-перше, прискорення вільного падіння для нашої місцевості становить
10,955 м/ ;

23. 23
• по-друге, формула Х.Гюйгенса не справжнюється при довжині нитки менше
30 радіусів кульки ;
• по-третє, якщо враховувати радіус кульки у загальному довжину
математичного маятника, то відносна похибка значно зростає, що означає про
хибність нашого припущення.

24. 24
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Галилей Г. Избранные труды . –М.: Наука, 1964 р. , -2т ., 215с.
2. Гюйгенс Х. Трактат о свете . –М.: Л., 1935р. ,217 с.
3. Гюйгенс Х. Три трактата о механике . –М.: Изд-во АН СССР 1991р. , 191 с.
4. Данник М.А. Материалисты Древней Греции // Собрание текстов Геракрита ,
Демокрита и Эпикура . – М: Политиздат, 1995 р. , 514 с.
5. Енонохович А.С. Справочник по физике . 2-е изд. ,перераб. и доп. –М.:
Просвезение , 1990 р. ,384 с.
6. Кудрявцев П.С История физики. –М.: Учпедгиз, 1956-1971р.р. , - 3 т., 317 с.
7. Кудрявцев П.С. Курс истории физики . – М: Просвещение , 1982 р. ,273 с.
8. Кузнецов Б.П. Галилей.–М.: Наука, 1964р. , 112 с.
9. Мощанский В.Н. Формирование мировозрения учащихся при изучении
физики. – М.: Просвещение ,1989 р.
10.Спаский Б.И. История физики .-2е Изд. –М.: Висшая школа ,1977р. -2ч.
11.Тарасов Л.В. Современная фізика в средней школе . М. «Просвещение» ;
1990р. ,283с.
12.Франквурт У.И. ,Френк А.Н., Гюйгенс Х. –М.: Изд-во АН СССР , 1962р. , 315
с.
13. Храмов Ю.А. Физики: Биографический справочник . – 2-е изд. ,перераб. и
доп. –М.: Наука, Главная редакція фізико- матиматической литературы ,1983р.
398 с.