Наукова робота: "Моделювання при розвязуванні фізичних задач"

1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ
УКРАЇНИ
СХІДНОЄВРОПЕЙСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ЛЕСІ УКРАЇНКИ
Кафедра загальної фізики та методики викладання фізики
НАУКОВА РОБОТА
МОДЕЛЮВАННЯ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ
ФІЗИЧНИХ ЗАДАЧ
Виконала студентка 53м групи
фізичного факультету
спеціальності 8.070101 -«фізика»
спеціалізації «фізика та інформатика»
Гоцик Тетяна Анатоліївна
Науковий керівник
кандидат пед. наук, доцент
Кобель ГригорійПетрович
Ковель - 2013

2. 2
Зміст
Вступ ....................................................................................................................3
§1.Моделювання у розв'язуванні фізичних задач.................................................4
§2. Математичне моделювання у розв'язуванні фізичних задач .........................5
2.1. Поняття про математичне моделювання....................................................5
2.2. Використання математичного моделювання при розв’язуванні фізичних
задач .................................................................................................................8
§3. Комп’ютерне моделювання.......................................................................... 18
§4. Моделювання процесу падіння тіла з великої висоти.................................. 21
4.1. Математична модель................................................................................ 21
4.2. Початкові дані.......................................................................................... 23
4.3. Обчислення математичної моделі............................................................ 26
4.4. Результати................................................................................................ 27
Висновки............................................................................................................ 29
Література .......................................................................................................... 30

3. 3
Вступ
Моделювання є невід’ємною частиною наукового пізнання. Під
моделюванням розуміється процес побудови, дослідження та використання
моделей. Модель – це об’єкт або опис об’єкту, який використовується для
заміщення однієї системи (оригіналу) іншою з метою вивчення оригіналу або
відтворення певних його властивостей.
Теоретичнізасадивикористання моделювання при вивченні курсу фізики в
середній та вищій школі розроблені й розробляються багатьма науковцями та
методистами, серед них Редько Г.Б., Калапуша Л.Р., Венніков В.А., Уємов А.І.,
Амосов М.М., Люмбарський Г.Я., Аванесов Ю.Г. та інші.
Метод моделювання дозволяє розв’язувати, або спрощувати розв’язання
задач, які складно чи неможливо розв’язувати іншими методами.
Мета: Описати й охарактеризувати методичні особливості моделювання,
навести приклади його використання під час розв’язування складних задач.
Актуальність даної теми зумовлено загальною потребою наукового
осмислення різних типів моделювання з метою використання при розв’язуванні
фізичних задач.
Завдання:
 розглянути наукові основи моделювання, як методу у фізиці;
 охарактеризувати специфічні особливості технології моделювання при
розв’язуванні фізичних задач;
 побудувати модель вільно падаючого тіла з великої висоти.
Для розв’язання поставлених завдань були обрані такі методи
дослідження:
-аналіз літератури з теми дослідження;
-аналіз передового педагогічного досвіду;
-метод моделювання;
- педагогічний експеримент у різноманітних формах (для аналізу стану
розглядуваної проблеми та апробації окремих елементів методики, що
розглядалася);

4. 4
§1.Моделювання у розв'язуванні фізичних задач
Одним з найважливіших видів навчальної діяльності студентів при
вивченні курсу фізики, який сприяє глибокому засвоєнню фізичних знань, є
розв’язування фізичних задач. На думку авторів головним показником
засвоєння знань з фізики без певного формалізму є вміння розв’язувати фізичні
задачі. Як свідчить практика, формування навичок розв’язування задач
студентами є складним завданням для викладача. Одним з методів, який дає
можливість викладачу розв’язати цю проблему, є використання моделювання.
Зміст методу математичного моделювання у фізиці полягає в тому, що для
конкретної задачі створюється її математичний аналог, тобто математична
модель. Потім ця задача розв’язується засобами математичного апарату, а
результат розв’язку інтерпретується у фізичних термінах. У цьому випадку
перед викладачем постає задача навчити студента побачити математичну
основу задачі.
Г. В. Касянова виділяє два випадки використання моделювання при
розв’язуванні задач: побудова моделі до певної задачі й використання задачі –
моделі. У першому випадку засобами математики будується модель, що
ілюструє явище, про яке йдеться в умові задачі. У другому випадку, під
задачею – моделлю розуміється абстрактна задача, в умові якої акцент робиться
на основні параметра явища.
У процесі розв’язування абстрактної задачі, студент, по суті, будує
математичну модель згідно тих фізичних законів, про які йдеться в задачі.
Розв’язок такої задачі має значну цінність, бо дозволяє встановити певну
закономірність, що вказує на характер залежності відомих та шуканої
величини. Окрім того, при розв’язанні абстрактної задачі виробляється певний
алгоритм розв’язку, який може бути використано для розв’язання багатьох
конкретних задач такої ж структури, але іншого змісту.
Фізичною задачею, зазвичай, називають певну проблему, яка в загальному
випадку розв’язується за допомогою логічної побудови, математичних дій або
експерименту на основі законів і методів фізики.

5. 5
§2. Математичне моделювання у розв'язуванні фізичних задач
2.1. Поняття про математичне моделювання
Як правило, в основі створення моделі лежить математичне моделювання.
Математичне моделювання — це відображення причинно-наслідкових зв'язків і
відповідних закономірностей протікання тих чи інших фізичних явищ за
допомогою системи рівнянь. Наприклад, система рівнянь
𝑥 = 𝑣0t𝑐𝑜𝑠α, 𝑦 = 𝑣0 𝑡𝑠𝑖𝑛𝛼 −
𝑔𝑡2
2
є математичною моделлю руху тіла, кинутого під кутом до горизонту у
гравітаційному полі. Якщо розглядати дану математичну модель у сукупності з
графічною моделлю цього явища (рис. 2.1), а також системою відповідних
понять (траєкторія, система відліку, початкова швидкість у прискорення
вільного падіння та ін.), то будемо мати теоретичну модель даного руху. Отже,
теоретичний метод дослідження фізичного явища полягає у побудові аналізу
його теоретичної, а отже, й математичної моделі.
Рис.2.1. Рух тіла кинутого під кутом до горизонту
Розглянемо маятник, який складається із важкого тягарця, підвішеного на
кінці нитки, відомо, що модель коливання цього маятника може бути рівняння
𝛸 = А 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
де х відхилення від положення рівноваги
Рис. 2.2. Модель маятника

6. 6
Якщо подивитися на коливання реального маятника, то можна помітити, що
з часом розмах коливань стає все менше і врешті-решт маятник зупиняється.
Рівняння
𝛸 = А 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
не передбачає такої поведінки, тобто в наявності явний не
ізоморфізм в поведінці конструктивного об'єкта і його моделі.
Проте, якщо ввести такі обмеження:
- відхилення х від положення рівноваги мале (малі коливання);
- час t спостереження за маятником мале, то наведене рівняння досить добре
буде описувати поведінку маятника, у чому можна переконатися за допомогою
безпосереднього експерименту.
Можна сказати, що при дотриманні вищезгаданих умов рівняння
𝛸 = А 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
адекватно описує рух реального маятника.
У психолого-педагогічній літературі, присвяченій теорії і методиці
розв'язування задач з фізики показано, що розв'язування фізичної задачі є
процесом моделювання. Побудова адекватної теоретичної моделі фізичної
ситуації, про яку йдеться у задачі, є запорукою успішного її розв'язку. У
педагогічній психології це називають етапом розуміння задачі або етапом
побудови суб'єктом власної (внутрішньої) задачі. Без сумніву, що з таким
завданням успішніше впорається той, хто володіє узагальненою математичною
моделлю і може на її основі скористатися відповідною аналогією.
Узагальнюючи явище математичного моделювання, зауважимо, що аналогії
між явищами можуть будуватися на основі спільної математичної моделі, як це
показано на схемі (рис.2.3). Ідеальна математична модель, як правило,
будується на основі аналізу, порівняння й узагальнення теоретичних моделей
окремо взятих фізичних явищ.

7. 7
Рис. 2.3. Математична модель
Математична модель може бути різного рівня узагальнення.
Практика переконує, що учні, які володіють математичною моделлю на
достатньо високому рівні узагальнення, здатні успішно розв'язувати широке
коло задач. Маються на увазі не тільки задачі, в яких розглядаються коливання
тягарця на пружині або математичного маятника, але й інші ситуації.
Наприклад, коливання поплавка на поверхні води, коливання рідини в U-
подібній трубці та ін.
Якщо оцінювати наведені вище математичні моделі з погляду діяльного
підходу, то можна стверджувати, що вони складають орієнтовану основу
успішного розв'язання учнями широкого кола фізичних задач. Знання учнями
відповідних математичних моделей високого рівня узагальнення, а також
вміння користуватися на їх основі методом аналогії є важливим структурним
елементом методологічних знань, формування яких передбачено стандартом
фізичної освіти.
Формування згаданих методологічних знань може здійснюватися таким
шляхом: від конкретного до загального, потім — від загального до конкретного.
Спочатку шляхом порівняння й узагальнення результатів аналізу конкретних
фізичних явищ будується спільна математична модель розв'язування фізичних
задач. Потім на основі цієї моделі розв'язуються конкретні фізичні задачі,
аналізуються фізичні явища за аналогією, побудованою на основі даної
математичної моделі.

8. 8
2.2. Використання математичного моделювання при розв’язуванні
фізичних задач
Математичне моделювання у розв`язуванні задач з механіки
Розглянемо окремі задачі, у процесі розв’язування яких, тією або іншою
мірою використані ідеї математичного моделювання.
Задача 1. Знайти період малих коливань пляшки, яка плаває на поверхні
води у вертикальному положенні, якщо її маса m, площа поперечного перерізу
s. Густина води .
Розв‘язування: Умова рівноваги пляшки FA1 = mg. Якщо пляшка буде
занурена глибше на х від положення рівноваги, то сила, яка змушує її
коливатися рівна архімедовій силі, яка діє на додатково занурений об‘єм
V = sx, Fx = -gV, Fx = -gsx.
Пляшка рухається під дією сили
Fx =- kx, де k = gs.
Сила напрямлена проти зміщення. Модуль сили пропорційний
зміщенню. Отже, закон руху пляшки:
-gsx = m x
або х
+
gs
m
x  0 .
Позначимо: 
2

gs
m
.
Тоді період коливань пляшки T
m
gs
 
2
2




.
Задача2. Математичний маятник довжиною підвішений у вагоні, який
рухається з прискоренням a . Який період коливань такого маятника?

х
mg
mg

FA1 FA2

9. 9
Розв‘язування: Якщо маятник не коливається, то рівняння його руху
має вигляд:
  
N mg ma  ,
або в проекціях на осі: ох: N masin  , оy: N mgcos   0 .
Або: N masin  ; N mgcos  ; N m a2 2 2 2
sin   ; N m g2 2 2 2
cos   .
Додамо два останні співвідношення і знайдемо N:
22
gamN  .
Перейдемо до неінерціальної системи відліку, яка рухається
горизонтально із прискоренням а

.
У цій системі на маятник діє сили натягу і сила
gmgamF  22
.
Отже маятник перебуває у силовому полі з напруженістю 22
gag  .
Тоді період коливань маятника
22
22
gag
l
T





 .
Задача3. Припустимо, що вздовж осі обертання Землі прорито тунель.
Скільки часу падало б тіло в такому тунелі до центра Землі? Швидкість тіла
біля поверхні Землі рівна нулю. Вважати Землю кулею з середньою густиною
. Опором повітря нехтувати.
y


x

10. 10
Розв‘язування: Розглянемо тіло в момент, коли його відстань від центра
Землі рівна х. На тіло діє сила
F G
M m
x
 1
2 (1).
Маса внутрішньої частини Землі M x1
34
3
   ,
а маса всієї Землі рівна M R
4
3
3
  .
Тоді M M
x
R1
3
3 .
Підставляючи останній вираз у формулу (1), отримаємо:
F G
Mx m
R x
G
Mm
R
x 
3
3 2 3 .
На поверхні Землі G
M
R
g2  .
Отже, F
mg
R
x .
Оскільки при русі у напрямі сили зміщення х зменшується, то
F
mg
R
x kx    .
Отже, тіло рухалося б в тунелі під дією сили, яка пропорційна зміщенню і
завжди напрямлена до положення рівноваги ( центра Землі ). Тіло здійснювало
б коливальний рух подібно до тіла на пружині. Рівняння такого руху має
вигляд:
mx
mg
R
x   0 або   x
g
R
x 0 .
Позначимо:  2

g
R
.
R
х

11. 11
Тоді період коливань тіла рівний T
R
g
 2 .
До центра Землі тіло буде рухатися чверть періоду. Тому шуканий час
рівний t
T R
g
 
4 2

.
Обчислимо t c  
314
2
6371200
9 81
1266 5 211
,
,
, , хв.
Метод математичного моделювання можна застосовувати і до випадку,
коли тіло не буде коливатися, а лише його рух подібний до коливального на
якійсь ділянці амплітуди.
Задача4. Тонкий однорідний брусок довжиною  ковзає по гладкому
горизонтальному столі, а потім попадає на ділянку з коефіцієнтом тертя .
Брусок зупиняється, в’їхавши наполовину своєї довжини. Знайти його
початкову швидкість і час гальмування.
Розв‘язання:
Гальмування бруска зумовлює сила тертя, яка змінюється із збільшенням
відстані х. F m gтр   , де  m sx .
Маса всього бруска рівна m s  .
Звідки s
m


. Тоді F
mg
xтр  

.
Отже, закон руху бруска до зупинки має вигляд: mx
mg
x  

0 , або
  x
g
x


0 .
Позначимо 
2

g

.
Рух бруска аналогічний коливальному руху лише на чверті періоду.
х

12. 12
Час, за який брусок в‘їде на половину своєї довжини
t
T
g g
  
4
2
4 2




 
.
Амплітуда таких коливань А=

2
, тоді х міняється за законом:
x
g
t

2
sin

.
Закон зміни швидкості: 
 
  x
g g
t

 2
cos
Початкова швидкість тіла при
t  0:  

0
2
1
2
  



g
g .
Математичне моделювання у розв`язуванні задач з молекулярної фізики
Розглянемо приклад розв`язування задачі з молекулярної фізики, у якій
використовується математичне моделювання.
Задача5. Циліндр завдовжки 2l поділений пополам поршнем масою m,
який може рухатися без тертя. У кожній частині циліндра знаходиться 1 моль
ідеального газу при температурі Т. Знайти період коливань, які виникають при
малому зміщенні поршня. Процес вважати ізотермічним. Товщиною поршня
можна знехтувати.
Розвязання:
Дано:
2l
m
ν = 1 моль
Т
τ -?
Якщо поршень знаходиться в рiвновазi, то об`єм кожної частини циліндра
V = l S, тиск р.
При зміщенні поршня на х тиски будуть рівні р1 і р2 ,
а об’єми V = (l+x )S ; V =(l - x )S .
T
p0
V0
T
p0
V0
l l x
F
p1 V1 p2
V2

13. 13
Сила, яка змусить поршень коливатися, F= –(р2 – р1 )S, де S - площа
поршня.
Враховуючи, що процес ізотермічний, знайдемо тиски р1 і р2.
З рівняння Бойля - Маріотта р0·V0 = р1·V1.
Звідки знаходимо
1
00
1
V
Vp
p  .
Аналогічно
2
00
2
V
Vp
p  .
Тоді: S
V
Vp
V
Vp
F 






1
00
2
00
.
Після спрощення
    22
00
00
12
00
21111
xl
Vxp
S
SxlSxl
VpS
VV
VpF
















 .
Оскільки зміщення поршня х мале, то х << l i величиною х2 порівняно з l2
можемо знехтувати.
Тодi маємо x
l
Vp
F 2
002
 .
Оскільки RTVp 00 , то x
l
RT
F 2
2
 .
Отже, сила, яка зумовлює коливання поршня, змінюється за законом F = -
к х, де 2
2
l
RT
k

 .
Процес коливань поршня описується таким самим рівнянням, як і
коливання пружинного маятника: 0 kxxm , 0 x
m
k
x .
Тоді період коливань поршня
RT
ml
T


2
2
2
 .
Математичнемоделюванняу розв`язуваннізадач з електродинаміки
Розглянемо деякі приклади задач з електродинаміки, у процесі
розв’язування яких, тією або іншою мірою використані ідеї математичного
моделювання.
Має місце чітка аналогія між законом всесвітнього тяжіння і законом
Кулона: 2
21
r
mm
Fг

  і 2
21
r
qq
kFk

 . Обидва закони виражають силу, яка

14. 14
обернено пропорційна квадрату відстані між тілами, обидва встановлені
експериментально з допомогою крутильних терезів Кавендіша.
Електричне поле
Гравітаційне поле
q m
k γ
2
r
qQ
kF

 2
r
mM
Fг

 
Напруженість та потенціал
електричного поля
q
F
E  ,
q
Wn
 .
Напруженість та потенціал
гравітаційного поля
m
F
G  ,
m
Wn
 .
Напруженість та потенціал
поля точкового заряду Q або
зарядженої кулі на відстані r від її
центра: 2
r
Q
kE  ,
r
Q
k .
Напруженість та потенціал
гравітаційного поля матеріальної
точки або кулі масою M на відстані r
від її центра: 2
r
M
G  ,
r
M
 
Проте перший описує лише притягання тіл, а другий в залежності від
знаків зарядів описує і притягання заряджених тіл, і відштовхування.
Гравітаційне та електричне поля є потенціальними. Подамо в таблиці
електромеханічну аналогію фізичних величин.
Розглянемо прикладизадач з електродинаміки, розв’язування якихзручно
виконати з використанням математичного моделювання.
Задача6. Пилинка радіусом 0,1 мм із позитивним зарядом 0,5 нКл
розміщена на відстані 1 мм від поверхні провідної кулі радіусом 1 см і
зарядженої зарядом 1 нКл того ж знаку. Знайти силу, яка діє на пилинку
Розв‘язування:
Якщо розв’язувати задачу з допомогою закону Кулона,
вважаючи заряди точковими, то заряди відштовхуються із
r=0,1мм=10-4
м
R=1см=10-2 м
h=1мм=10-3 м
q1=0,5нКл
q2=1нКл
F - ?
R
hq1
q2

15. 15
силою:
   
 H
hrR
qkq
F 4
2444
189
2
21
1 10365,0
101010110100
1015,0109 







 .
В даній задачі відстань від пилинки до кулі невелика і тому заряди не можна
вважати точковими. В провідній кулі виникає “зображення ” заряду пилинки,
до якого вона буде притягуватися із силою:
 
 H
h
kq
F 4
6
189
2
2
1
2 10625,5
104
1025,0109
2







Результуюча сила, яка діє на пилинку в проекції на радіальний напрям
рівна різниці сил F1 та F2. F= F1- F2 =0,365·10-4 – 5,625·10-4 = - 5,26·10-4 (Н).
Отже, однойменно заряджені тіла притягуються, а не відштовхуються.
Цей ефект має місце лише на невеликих відстанях між тілами.
У нашому випадку знайдемо цю відстань із умови, що F1 = F2.
R
q
q
R
h 55,0
12
1
2


 . На відстані більшій від h = 0,55·R пилинка буде
відштовхуватися від кульки.
Дана задача не лише ілюструє застосування методу електростатичних
зображень, а й дає можливість глибше з’ясувати модельний характер поняття
точкового заряду.
З допомогою математичного моделювання можна полегшити
розрахунок з’єднань конденсаторів. Нагадаємо формули для послідовного
з’єднання: 

n
i
iRR
1
, 

n
i iCC 1
11
; та паралельного з’єднання резисторів та
конденсаторів: 

n
i iRR 1
11
, 

n
i
iCC
1
.
+
-
q
q
h

16. 16
Крім того, аналогічні наступні вирази: U→U, I→ Q, R→
С
1
, U=R·I →
U=
С
1
·Q.
Наприклад, для знаходження зарядів на конденсаторах необхідно
зобразитисхему, яка містить опори з врахуванням, наведених вище аналогій.
Задача7. З’єднанняконденсаторів показано на рис. а. С2 = 2 мкФ, С3=С4
=С6 =5 мкФ, С5 =10 мкФ. Знайти заряд на конденсаторі С5.
Розв‘язання:
Зобразимо аналогічну електричну схему (рис.2.), в якій замість
конденсаторів увімкнуто опори. Замість зарядженого спочатку конденсатора
С1 увімкнемо джерело з е.р.с. 10 В.
Обчислимо значення відповідних опорів використовуючи наведену
вище аналогію:
R2~ кОм500105
102
1 5
6

 
, R3=R4=R6~200 кОм, R5 ~100 кОм.
Внутрішнім опором джерела нехтуємо. Знайдемо силу струму в опорі R5.
Для цього потрібно знайти спочатку І4 та І2, тоді І5 = І4 – І2 .
10В
R2 R3
R5
R4 R6
ε
Рис.2
10В
R2 R3
r46
r45 r56
ε
Рис.3
10В
r25 r35
r23
R4 R6
ε
Рис.4
Рис.1
11111
10В
С2 С3
С5
С4 С6
С1

17. 17
З’єднані “трикутником” опори R4, R5, R6 (рис.3) та R2, R5, R3 (рис.4)
перетворимо у з’єднання “зіркою”.
Із першого з’єднання (рис.в) знайдемо І2 (рис.г), а з другого – І4.
654
64
46
RRR
RR
r


 ,
654
54
45
RRR
RR
r


 ,
654
65
56
RRR
RR
r


 .
352
32
23
RRR
RR
r


 ,
352
52
25
RRR
RR
r


 ,
352
53
35
RRR
RR
r


 .
Числове значення І5 буде рівне значенню заряду на конденсаторі С5.

18. 18
§3. Комп’ютерне моделювання
Процес побудови моделі називають моделюванням. Всі способи
моделювання можна розділити на дві великі групи. В одному випадку моделлю
є предмет, який відтворює ті або інші геометричні, фізичні і т.п.
характеристики оригіналу. Це - матеріальне (фізичне) моделювання. По
іншому відбувається робота з інформаційними (ідеальними) моделями, які є
описами об'єктів-оригіналів за допомогою схем, графіків, формул, креслень і
т.п. Одним з найважливіших видів інформаційного моделювання є математичне
- коли опис формулюються на мові математики. Відповідно, і дослідження
таких моделей ведеться з використанням математичних методів. Саме
математичним моделюванням користуються при вирішенні кількісних завдань
на уроках фізики.
Математичні моделі, що використовуються при вирішенні сучасних
практичних завдань, настільки складні, що досліджувати їх вручну практично
неможливо. Доводитьсявдаватися до допомогикомп'ютера. Як же відбувається
процес комп'ютерного моделювання?
Всяка модель створюється для цілком певної мети, і це в значній мірі
визначає її вибір. Тому перше, що необхідно зробити, - поставити завдання,
тобто визначити питання, відповіді на які ми хочемо отримати, і необхідні для
цього вихідні дані.
По-друге, потрібно вибрати серед законів, яким підкоряється
модельована система, істотні для пошуку відповідей на поставлені питання.
Можливо, доведеться висувати і якісь припущення. Знайдені закономірності
слід представити у формі математичних співвідношень.
Комп’ютерне моделювання — метод розв’язування задачі аналізу або
синтезу складної системи, що ґрунтується на використанні її комп’ютерної
моделі. Сутність комп’ютерного моделювання полягає у відшуканні кількісних
і якісних результатів із залученням наявної моделі. Якісні висновки, зроблені на
підставі такого дослідження, дають змогу розкривати невідомі досі властивості
складної системи: її структуру, динаміку розвитку, стійкість, цілісність тощо.

19. 19
Кількісні висновки мають переважно характер прогнозу майбутніх чи
пояснення минулих значень змінних, що характеризують систему.
Під комп’ютерною моделлю найчастіше розуміють:
 умовний образ об’єкта чи деякої системи об’єктів (або процесів),
описаних за допомогою взаємозалежних комп’ютерних таблиць, схем,
діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін.,
що відбивають структуру та взаємозв’язки між елементами об’єкта чи
системи. Комп’ютерні моделі такого типу називають структурно-
функціональними;
 окрему програму, сукупність програм чи програмний комплекс, що дає
змогу виконанням послідовності обчислень з подальшим графічним
відображенням їх результатів відтворювати (імітувати) процеси
функціонування об’єкта (системи об’єктів), що функціонує під впливом
різних, як правило випадкових, факторів. Такі моделі називають
імітаційними моделями.
Комп'ютерне моделювання є одним з ефективних методів вивчення
складних систем. Комп'ютерні моделі простіше і зручніше досліджувати у силу
їх можливості, в тих випадках коли реальні експерименти утруднені або
можуть дати непередбачуваний результат. Логічність комп'ютерних моделей
дозволяєвиявитиосновні фактори, що визначають властивості досліджуваного
об'єкта-оригіналу (або цілого класу об'єктів).
До основних етапів комп'ютерного моделювання відносяться:
 постановка задачі, визначення об'єкта моделювання;
 розробкаконцептуальної моделі, виявлення основних елементів системи і
елементарних актів взаємодії;
 формалізація, тобто перехід до математичної моделі; створення
алгоритму та написання програми;
 планування та проведення комп'ютерних експериментів;
 аналіз та інтерпретація результатів.

20. 20
Комп'ютерне моделювання дозволяє ілюструвати фізичні експерименти
та явища, відтворювати їх тонкі деталі, які можуть бути непоміченими
спостерігачем в реальному експерименті. Використання комп'ютерних моделей
та віртуальних лабораторій надає викладачеві (вчителю) унікальну можливість
візуалізації спрощеної моделі реального явища. При цьому є можливість
поетапно додавати до розгляду додаткові факти, які поступово будуть
ускладнювати модель та наближувати її до реального фізичного явища. Крім
того, комп'ютер дозволяє моделювати ситуації, що неможливо реалізувати в
умовах кабінету фізики (наприклад: роботу ядерної установки).
Таким чином використання комп'ютерних моделей надає можливість
викладачеві досягти позитивних результатів:
 збільшення об'єму зорової інформації, що суттєво підвищує якість та
ефективність викладання предмету;
 яскравість комп'ютерної графіки дозволяєрозвивати наочно - образове
мислення;
 реалізується можливість опрацювання великої кількості інформації;
 створюються умови для індивідуальної дослідницької роботи з
комп'ютерними моделями, в ході якої учні можуть самостійно ставити
експерименти, швидко перевіряти свої гіпотези, встановлювати
закономірності.
З іншого боку, можливостівикористання комп'ютерного моделювання не
повинно створювати ілюзію легкості розв'язання педагогічних проблем.
Використання таких підходів потребує від педагогів розробки системи завдань,
які будуть направлені на формування високого рівня розвитку мислених
операцій: аналізу, синтезу, узагальнення тощо. Робота педагога при цьому не
тільки не спрощується, але й ускладнюється і потребує більш високої
кваліфікації. І наскільки педагог готовий к змістовному осмисленню
традиційних підходів до викладання, їх дієвому аналізу з урахуванням
активного впровадження комп'ютерного моделювання в навчальний процес та
практичної реалізації, настільки ефективними будуть і результати навчання.

21. 21
§4. Моделювання процесу падіння тіла з великої висоти
Один стрибок - три світових рекорди. Це досягнення австрійського
скайдайвера Фелікса Баумґартнера. Напередодні спортсмен під час однієї
подорожі у надземні висоти здійснив: найвищий політ на стратостаті,
найвисотніший стрибок з парашутом і найшвидше вільне падіння.
Стартував Баумґартнер з околиці міста Розуелла в американському штаті
Нью-Мексико. Звідти він, одягнений у спеціальний скафандр, піднявся у
стратосферу в космічній капсулі, що прикріплена до повітряної кулі з гелієм, а
потім стрибнув з висоти приблизно 39-ти кілометрів над поверхнею Землі. Під
час вільного падіння Баумґартнер подолав швидкість звуку і став першим у
світі парашутистом, кому це вдалося. Протягом 4-х хвилин 20-ти секунд такого
падіння його швидкість сягнула позначки у 1173 кілометри на годину
.Швидкість Баумгартнера перевищила звуковий бар’єр, В результаті
спортсмен став першою людиною, яка перевищила швидкість звуку без
двигуна.
У даній роботі розглядається вільне падіння тіла з великої висоти за
допомогою математичної моделі, що дозволяє отримати залежності висоти,
швидкості та прискорення від часу, час падіння з будь-якої висоти,
знаходження тіла в будь-який момент часу. Дану модель зіставлено з даними на
відео.
4.1. Математична модель
Відомо, що сила тертя в рідині чи газі за великих швидкостей пропорційна
в’язкості речовини та квадрату швидкості:
𝐹т~𝜂𝑣2
(4.1)
В’язкість газу, у свою чергу, прямо пропорційно залежить від його
густини. Під час падіння Фелік рухався у середовищі зі змінною густиною,
тому в’язкість в цьому випадку є змінною величиною. При чому:
𝜂~𝜌 (4.2)

22. 22
Сила тертя ще залежить від геометричних розмірів, але в даній моделі
будемо вважати, що ні розміри скафандру, ні кут нахилу спортсмена не
змінюються.
З цих міркувань випливає:
𝐹т = 𝛼𝜌𝑣2
, (4.3)
де 𝛼 – деякий невідомий коефіцієнт пропорційності.
Для його визначення розглянемо момент, коли швидкість скайдайвера була
максимальна. В цей момент прискорення дорівнювало нулю. Тобто сила тертя
зрівноважувала силу тяжіння:
𝐹т = 𝑚𝑔 (4.4)
або
𝛼𝜌1 𝑣max
2
= 𝑚𝑔, (4.5)
де 𝑣max – максимальна швидкість, 𝜌1 – густина повітря на висоті, де швидкість
була максимальна.
Звідси
𝛼 =
𝑚𝑔
𝜌1 𝑣max
2 . (4.6)
Сила тертя напрямлена проти сили тяжіння. Будемо розглядати, що вона
надає тілу прискорення f, яке протилежне g.
𝐹т = 𝑚𝑓. (4.7)
Підставивши (4.3) в (4.7) отримаємо:
𝛼𝜌𝑣2
= 𝑚𝑓. (4.8)
Тобто
𝑓 =
1
𝑚
𝛼𝜌𝑣2
. (4.9)
Позначимо
𝛽 =
1
𝑚
𝛼 =
1
𝑚
𝑚𝑔
𝜌1 𝑣max
2 =
𝑔
𝜌1 𝑣max
2 . (4.10)
(4.9) набуде вигляду:
𝑓 = 𝛽𝜌𝑣2
. (4.11)
Тоді в будь-який момент падіння загальне прискорення a, яке є сумою f та
g буде рівне:

23. 23
𝑎 = 𝑔 − 𝑓 = 𝑔 − 𝛽𝜌𝑣2
(4.12)
При чому g - також змінна величина. Хоча для даного випадку зміна
прискорення з висотою не є значною, але для уніфікації моделі будемо її
враховувати. Із закону всесвітнього тяжіння:
𝑔 = 𝐺
𝑀з
(𝑅з+ℎ)2
, (4.13)
де G – гравітаційна стала, Мз – маса Землі, Rз – радіус Землі.
Формула (4.12) з врахуванням (4.13) дозволяє знайти прискорення в будь-
який момент падіння. А отже ми можемо знайти зміну швидкості на
невеликому проміжку часу, на якому швидкість можна вважати сталою.
Δ𝑣 = 𝑎Δ𝑡. (4.14)
Підставивши (4.11), (4.12) та (4.13) в (4.14) отримаємо шукану
математичну модель:
Δ𝑣 = (𝐺
𝑀з
(𝑅з+ℎ)2
− 𝛽𝜌𝑣2
)∙ Δ𝑡. (4.15)
4.2. Початкові дані
З відеозйомки стрибка Баумгартнера можна отримати наступні початкові
дані:
 Висота: 39000 м над рівнем моря
 Атмосферний тиск на висоті 39000 м: p ≈ 0,004 bar = 400 Па
 Загальний час падіння: 4 хв. 17 сек.
 Максимальна швидкість: 1173 км/год=325,8 м/с
 Також на відео зафіксовано значення швидкостей під час падіння в
періоди від 21 по 46, та від 61 по 63 секунди з інтервалом в 0,5 с.
(див. Додаток 1)
Значення густини атмосфери, яка змінюється з висотою, можна отримати з
міжнародного стандарту атмосфери (див. Додаток 2) – графіків
середньостатистичнихзалежностейосновнихпараметрів атмосфери від висоти.
Для використання залежності густини від висоти графік густини
розбиваєтьсяна проміжки, в межах яких крива може вважатися прямою лінією.
(див. Таблицю 1)

24. 24
Під час заповнення таблиці виникає складність визначення густини на
висоті 39000 метрів. З графіку це зробити неможливо. Так як на відео було
вказано температуру та тиск атмосфери, то можна обрахувати густину
виходячи з рівняння Мендєлєєва-Клапейрона: 𝑝 =
𝜌
𝜇
𝑅𝑇. Звідси 𝜌 =
𝑝𝜇
𝑅𝑇
=
400Па∙0,029
кг
моль
8,314
Дж
моль∙К
∙268К
≈ 0,0052
кг
м3
.
Таблиця 4.1. Залежність густини атмосферивід висоти
Висота над рівнем моря (м) Густина (кг/м3)
0 1,29
3000 0,92
6000 0,68
8000 0,52
10000 0,4
12000 0,3
15000 0,2
19000 0,1
22000 0,06
25000 0,04
30000 0,017
40000 0,004
100000 0
Щоб переконатися в правильності розбиття графіка, побудуємо на основі
цієї таблиці новий графік залежності висоти від густини, який є більш
наглядним (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Залежність висоти від густини
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

25. 25
Перед тим, як приступати до безпосередніх обрахунків, необхідно
побудувати допоміжну таблицю залежності густини від висоти на основі
таблиці 1 з інтервалом висоти хоча б в 10 метрів.
Для чисельного обрахунку моделі ще треба визначити за формулою (4.10)
коефіцієнт 𝛽. Для його визначення потрібно мати значення максимальної
швидкості, густини атмосфери в точці, де швидкість максимальна та значення
прискорення вільного падіння. Максимальна швидкість відома 1342,8 км/год.
Ця швидкість відрізняється від значень, отриманих з відео. Справа в тому, що
на відео розглядалася тільки вертикальна складова швидкості, без врахування
горизонтального переміщення та руху повітряних мас.
Для знаходження густини необхідно знайти висоту, на якій швидкість була
максимальною.
Побудуємо графік залежності прискорення, отриманого з відео, від часу.
Рис. 4.2. Графік залежності прискорення від часу, отриманий на основі відео.
З цього графіку можна зробити припущення, що перші 21 секунду
прискорення лінійно зменшувалося від 9,7 до 8,89.
Щоб знайти розподіл швидкостей, використаємо метод інтегрування –
швидкість рівна площі під кривою графіка прискорення. Весь період (21 сек.)
розбивається на відрізки по 0,5 сек. Прискорення на кожному відрізку
вважається сталим, і визначається за формулою:
𝑎 𝑡 = 𝑎0 − ( 𝑎0 − 𝑎21) ∙
𝑡
21
. (4.16)
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 10 20 30 40 50 60 70

26. 26
де 𝑎0 = 𝑔.
Швидкість у кожен наступний момент часу рівна сумі швидкості в
попередній момент плюс приріст швидкості за даний період часу.
𝑣𝑡 = 𝑣𝑡−∆𝑡 +
1
2
𝑎 𝑡∆𝑡2
. (4.17)
Якщо обрахувати швидкість за таким принципом, то вона становитиме 190
м/с, що ідеально узгоджується з даними на відео.
Для знаходження висоти також використовується метод інтегрування:
ℎ 𝑡 = ℎ 𝑡−∆𝑡 − 𝑣𝑡∆𝑡. (4.18)
Провівши дані обчислення ми отримуємо висоту 30000 м. На цій висоті
густина становить 0,017 кг/м3.
Отже,
𝛽 =
𝑔
𝜌1 𝑣max
2 =
9,7
м
с2
0,017
кг
м3∙(373
м
с
)
2 =0,004102. (4.19)
4.3. Обчислення математичної моделі
Числові обчислення для даної моделі також ґрунтуються на методі
інтегрування.
В першу чергу визначаються початкові значення:
𝑎0 = 𝑔0; 𝑣0 = 0; ℎ0 = 39000; 𝑔0 = 𝑔(39000); 𝜌0 = 𝜌(39000).
Усі ці величини у кожен наступний момент часу визначаються на основі
значень у попередній момент часу:
𝑎 𝑡 = 𝑔𝑡−∆𝑡 − 𝛽𝜌𝑡−∆𝑡 𝑣𝑡−∆𝑡
2
;
𝑣𝑡 = 𝑣𝑡−∆𝑡 + 𝑎 𝑡∆𝑡;
ℎ 𝑡 = ℎ 𝑡−∆𝑡 − 𝑣𝑡∆𝑡; (4.20)
𝑔𝑡 = 𝐺
𝑀з
(𝑅з+ℎ 𝑡)2
;
𝜌𝑡 = 𝜌(ℎ 𝑡) – визначається з додаткової таблиці.
Усі ці обчислення дуже просто реалізуються у табличному процесорі
Microsoft Excel.

27. 27
4.4. Результати
Результати обчислень можна оформити у вигляді графіку залежностей
швидкості від часу.
Рис. 4.3. Залежність швидкості від часу
Теоретичний графік добре узгоджується з експериментальним.
Рис. 4.4. Узгодження теорії та експерименту (штрихована лінія – теорія, суцільна лінія
– експеримент)
Максимальна теоретично обрахована швидкість становить 335 м/с, яка
добре узгоджується з експериментом.
З теоретичної моделі випливає, що висота розкриття парашута становить
3345 м. Насправді парашут розкрився на висоті 1500 м. Це можна пояснити
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 50 100 150 200 250 300
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 10 20 30 40 50 60 70

28. 28
тим, що спортсмен після досягнення максимальної швидкості змінив кут
нахилу для збільшення сили тертя, що згадувалося при побудові моделі.
Графік залежності висоти від часу має наступний вигляд:
Рис. 4.5. Графік залежності висоти від часу
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
0 50 100 150 200 250 300

29. 29
Висновки
В даній науковій роботі показано роль моделювання при вивченні
основних законів фізики, використання основних методів моделювання при
розв’язуванні фізичних задач, показано ефективність використання методу
моделювання та приклади його застосування під час розв’язування фізичних
задач.
Розглянуто методику використання методу моделювання під час навчання
студентів для розв’язування складних задач. Проведений аналіз традиційної
методики вивчення фізики в засвідчив, що метод моделювання при вивченні
фізики використовуються недостатньо.
Організація навчального процесу з методу моделювання сприяє розвитку
мислення студентів. Рушійною силою стимулювання розвитку мислення є
зв'язок розглядуваних моделей з повсякденним життям.
Результати, отримані в даній роботі можуть використовувати не лише під
час навчання у вищій школі, але й середніх загальноосвітніх школах, гімназіях,
ліцеях природничого профілю.

30. 30
Література
1. Калапуша Л.Р. Моделювання у вивченні фізики. - К.: Рад. Школа, 1982.-
158 с.
2. Шапиро А. И., Бодик В.А. Оригинальные методы решения физических
задач: Пособ. для учителя. - К.: “Магістр - S”, 1996.
3. Галатюк Ю.М. Методи розв’язання фізичних задач. Методи
моделювання та аналогії / Ю.М. Галатюк, Я.Ф. Левшенюк, В.Я. Левшенюк, В.І.
Тищук – Х.: Основа, 2007. – 144 с.
4. Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы.- М.: Высш.
школа, 1986.

31. 31
Додаток1.
Таблиця значеннь швидкості та прискорення, отримані з відео
Час
(с) Швидкість(км/год) Швидкість(м/с) Прискорення(м/с^2) Висота(м)
0 0 0,00 9,70 39000
… … … …
21 681 189,17 8,89
21,5 697 193,61 8,89
22 713 198,06 8,89
22,5 729 202,50 8,33
23 744 206,67 8,89
23,5 760 211,11 8,33
24 775 215,28 8,89
24,5 791 219,72 8,33
25 806 223,89 8,33
25,5 821 228,06 8,33
26 836 232,22 7,78
26,5 850 236,11 7,78
27 864 240,00 7,78
27,5 878 243,89 7,78
28 892 247,78 7,22
28,5 905 251,39 7,78
29 919 255,28 7,22
29,5 932 258,89 7,22
30 945 262,50 6,67
30,5 957 265,83 6,67
31 969 269,17 6,67
31,5 981 272,50 6,11
32 992 275,56 6,11
32,5 1003 278,61 6,11
33 1014 281,67 5,56
33,5 1024 284,44 5,56
34 1034 287,22 5,56
34,5 1044 290,00 5,00
35 1053 292,50 5,00
35,5 1062 295,00 5,00
36 1071 297,50 5,56
36,5 1081 300,28 5,00
37 1090 302,78 5,00
37,5 1099 305,28 4,44

32. 32
38 1107 307,50 4,44
38,5 1115 309,72 4,44
39 1123 311,94 3,89
39,5 1130 313,89 3,89
40 1137 315,83 3,33
40,5 1143 317,50 2,78
41 1148 318,89 2,78
41,5 1153 320,28 2,78
42 1158 321,67 1,67
42,5 1161 322,50 2,22
43 1165 323,61 1,11
43,5 1167 324,17 1,67
44 1170 325,00 0,56
44,5 1171 325,28 0,56
45 1172 325,56 0,56
45,5 1173 325,83 0,00
46 1173 325,83 0,00
46,5 1173 325,83
… … … …
61 1032 286,67 -3,33
61,5 1026 285,00 -3,89
62 1019 283,06 -3,89
62,5 1012 281,11 -3,89
63 1005 279,17

33. 33
Додаток2.
Міжнародний стандарт атмосфери.
Густина (density) відзначена оранжевимкольором.

34. 34
Анотація
Мета: Описати й охарактеризувати методичні особливості моделювання,
навести приклади його використання під час розв’язування складних задач.
Актуальність даної теми зумовлено загальною потребою наукового
осмислення різних типів моделювання з метою використання при розв’язуванні
фізичних задач.
Завдання:
 розглянути наукові основи моделювання, як методу у фізиці;
 охарактеризувати специфічні особливості технології моделювання при
розв’язуванні фізичних задач;
 побудувати модель вільно падаючого тіла з великої висоти.
Для розв’язання поставлених завдань були обрані такі методи
дослідження:
-аналіз літератури з теми дослідження;
-аналіз передового педагогічного досвіду;
-метод моделювання;
-педагогічний експеримент у різноманітних формах (для аналізу стану
розглядуваної проблеми та апробації окремих елементів методики, що
розглядалася);
Загальна характеристика роботи: В даній науковій роботі показано
роль моделювання при вивченні основних законів фізики, використання
основних методів моделювання при розв’язуванні фізичних задач, показано
ефективність використання методу моделювання та приклади його
застосування під час розв’язування фізичних задач.