SlideShare a Scribd company logo
Nguy¹n Minh Tu§n
Nguy¹n Minh Tu§n 
Sinh vi¶n K62CLC - Khoa To¡n Tin HSPHN 
Tu§n 
TUYšN CHÅMinh N 410 H› PH×ÌNG 
TRœNH „I SÈ 
BÇI D×ÏNG HÅC SINH GIÄI V€ LUY›N THI „I HÅC - CAO 
NG 
(Phi¹¶n b£n n 2 : câ sûa chúa, bê sung c¡c b i to¡n mîi) 
Nguy
Nguy¹n Minh Tu§n 
H  Nëi, ng y 9 th¡ng 10 n«m 2013
Möc löc 
§n 
Líi nâi ¦u 6 
1 Mët sè ph÷ìng ph¡p v  c¡c lo¤i h» cì b£n Tu7 
1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
2 Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 9 
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 . . . . . Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 
2.5 C¥u 121 ¸n c¥u n 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 
2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 
Nguy¹2.7 C¥u 181 ¸n c¥u 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
2.8 C¥u 211 ¸n c¥u 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 
2.9 C¥u 241 ¸n c¥u 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 
2.10 C¥u 271 ¸n c¥u 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 
2.11 C¥u 301 ¸n c¥u 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 
2.12 C¥u 331 ¸n c¥u 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 
2.13 C¥u 361 ¸n c¥u 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 
2.14 C¥u 391 ¸n c¥u 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 
3 Cªp nhªt c¡c b i to¡n mîi 230 
3.1 Tø c¥u 411 ¸n c¥u 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
Möc Löc 5 
3.2 Tø c¥u 441 ¸n c¥u 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 
T i li»u tham kh£o 256 
Nguy¹n Minh Tu§n 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
Líi nâi ¦u 
n 
H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè nâi chung v  h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè hai ©n nâi ri¶ng §l  mët ph¦n 
quan trång cõa ph¦n ¤i sè gi£ng d¤y ð THPT . Nâ th÷íng hay xu§t hi»n trong c¡c k¼ thi håc 
sinh giäi v  k¼ thi tuyºn sinh ¤i håc - Cao ¯ng. 
T§t nhi¶n º gi£i tèt h» ph÷ìng tr¼nh hai ©n khæng ph£i ìn gi£Tun . C¦n ph£i vªn döng tèt 
c¡c ph÷ìng ph¡p, h¼nh th nh c¡c k¾ n«ng trong qu¡ tr¼nh l m b i. Trong c¡c k¼ thi ¤i håc, c¥u 
h» th÷íng l  c¥u l§y iºm 8 ho°c 9. 
¥y l  mët t i li»u tuyºn tªp nh÷ng kh¡ d y n¶n tæi tr¼nh b y nâ d÷îi d¤ng mët cuèn s¡ch 
câ möc löc rã r ng cho b¤n åc d¹ tra cùu. Cuèn s¡ch l  tuyºn tªp kho£ng 400 c¥u h» °c s­c, 
tø ìn gi£n, b¼nh th÷íng, khâ, thªm ch½ ¸n ¡nh è v  kinh iºn. °c bi»t, ¥y ho n to n l  
h» ¤i sè 2 ©n. Tæi muèn khai th¡c thªt s¥u mët kh½a c¤nh cõa ¤i sè. N¸u coi B§t ¯ng thùc 
3 bi¸n l  ph¦n µp nh§t cõa B§t ¯ng Minh thùc, mang trong m¼nh sü uy nghi cõa mët æng ho ng th¼ 
H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè 2 ©n l¤i mang trong m¼nh v´ µp gi£n dà, trong s¡ng cõa cæ g¡i thæn 
qu¶ l m say ­m bi¸t bao g¢ si t¼nh. 
Xin c£m ìn c¡c b¤n, anh, chà, th¦y cæ tr¶n c¡c di¹n  n to¡n, tr¶n facebook ¢ âng gâp v  
cung c§p r§t nhi·u b i h» hay. Trong cuèn s¡ch ngo i vi»c ÷a ra c¡c b i h» tæi cán lçng th¶m 
mët sè ph÷ìng ph¡p r§t tèt º gi£i. Ngo i ra tæi cán giîi thi»u cho c¡c b¤n nhúng ph÷ìng ph¡p 
°c s­c cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c . Mong ¥y s³ l  mët nguçn cung c§p tèt nhúng b i h» hay cho 
gi¡o vi¶n v  håc sinh. 
n NguyTrong qu¡ tr¼nh bi¹¶n so¤n cuèn s¡ch t§t nhi¶n khæng tr¡nh khäi sai sât.Thù nh§t, kh¡ nhi·u 
b i to¡n tæi khæng thº n¶u rã nguçn gèc v  t¡c gi£ cõa nâ. Thù hai : mët sè léi n y sinh trong 
qu¡ tr¼nh bi¶n so¤n, câ thº do léi ¡nh m¡y, c¡ch l m ch÷a chu©n, ho°c tr¼nh b y ch÷a µp do 
ki¸n thùc v· LATEX cán h¤n ch¸. T¡c gi£ xin b¤n åc l÷ñng thù. Mong r¬ng cuèn s¡ch s³ ho n 
ch¿nh v  th¶m ph¦n ç së. Måi þ ki¸n âng gâp v  sûa êi xin gûi v· theo àa ch¿ sau ¥y : 
Nguy¹n Minh Tu§n 
Sinh Vi¶n Lîp K62CLC 
Khoa To¡n Tin Tr÷íng HSP H  Nëi 
Facebook :https://www.facebook.com/popeye.nguyen.5 
Sè i»n tho¤i : 01687773876 
Th nh vi¶n www.k2pi.net : Popeye
Ch֓ng 1 
n 
Mët sè ph÷ìng ph¡p v  c¡c lo¤i h§» cì 
b£n 
Tu1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 
I. Rót x theo y ho°c ng÷ñc l¤i tø mët ph÷ìng tr¼nh 
II. Ph÷ìng ph¡p th¸ 
1. Th¸ h¬ng sè tø mët ph÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i 
2. Th¸ mët biºu thùc tø mët phMinh ÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i 
3. Sû döng ph²p th¸ èi vîi c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ho°c th¸ nhi·u l¦n. 
III. Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành 
1. Cëng trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau 
2. Nh¥n h¬ng sè v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi em cëng trø cho nhau. 
3. Nh¥n c¡c biºu thùn c cõa bi¸n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi cëng trø cho nhau 
NguyIV. Ph÷ìng ph¡p ¹°t ©n phö 
V. Ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè 
VI. Ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa 
VII. Ph÷ìng ph¡p nh¥n chia c¡c ph÷ìng tr¼nh cho nhau 
VIII. Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 
1. Bi¸n êi v· têng c¡c ¤i l÷ñng khæng ¥m 
2. ¡nh gi¡ sü r ng buëc tr¡i ng÷ñc cõa ©n, cõa biºu thùc, cõa mët ph÷ìng tr¼nh 
3. ¡nh gi¡ düa v o tam thùc bªc 2 
4. Sû döng c¡c b§t ¯ng thùc thæng döng º ¡nh gi¡ 
IX. Ph÷ìng ph¡p phùc hâa 
X. K¸t hñp c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n
8 Ch÷ìng 1. Mët sè ph÷ìng ph¡p v  c¡c lo¤i h» cì b£n 
1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n 
A. H» ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t 2 ©n 
I. D¤ng 
( 
ax + by = c (a2 + b26= 0) 
a0x + b0y = c (a02 + b026= 0) 
II. C¡ch gi£i 
1. Th¸ 
n 
2. Cëng ¤i sè 
3. Dòng ç thà 
§4. Ph÷ìng ph¡p ành thùc c§p 2 
B. H» ph÷ìng ( 
tr¼nh gçm mët ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v  mëTut ph÷ìng tr¼nh bªc hai 
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 
I. D¤ng 
a0x + b0y = c 
II. C¡ch gi£i: Th¸ tø ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v o ph÷ìng tr¼nh bªc hai 
C. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i I 
I. D§u hi»u 
êi vai trá cõa x v  y cho nhau th¼ h» ¢ cho khæng êi 
II. C¡ch gi£i: 
Minh Th÷íng ta s³ °t ©n phö têng t½ch x + y = S; xy = P (S2  4P) 
D. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i II 
I. D§u hi»u 
êi vai trá cõa x v  y cho nhau th¼ ph÷ìng tr¼nh n y bi¸n th nh ph÷ìng tr¼nh kia 
II. C¡ch gi£i: 
Th÷íng ta s³ trø hai n ph÷ìng tr¼nh cho nhau 
NguyE. H» ¯ng c§p 
I. D§u hi»u 
¹( 
ax2 + bxy + cy2 = d 
¯ng c§p bªc 2 
( 
a0x2 + b0xy + c0y2 = d0 
ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = e 
¯ng c§p bªc 3 
a0x3 + b0x2y + c0xy2 + d0y3 = e0 
II. C¡ch gi£i: 
Th÷íng ta s³ °t x = ty ho°c y = tx 
Ngo i ra cán mët lo¤i h» núa tæi t¤m gåi nâ l  b¡n ¯ng c§p, tùc l  ho n to n câ thº ÷a 
v· d¤ng ¯ng c§p ÷ñc .Lo¤i h» n y khæng khâ l m, nh÷ng nh¼n nhªn ra ÷ñc nâ c¦n ph£i 
kh²o l²o s­p x¸p c¡c h¤ng tû cõa ph÷ìng tr¼nh l¤i. Tæi l§y mët v½ dö ìn gi£n cho b¤n åc 
Gi£i h» : 
( 
x3  y3 = 8x + 2y 
x2  3y2 = 6 
Vîi h» n y ta ch¿ vi»c nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ s³ t¤o th nh ¯ng c§p. V  khi â ta câ quy·n 
chån lüa giúa chia c£ 2 v¸ cho y3 ho°c °t x = ty 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
Ch֓ng 2 
n 
Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
§2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 
Tu 
(x  y) (x2 + y2) = 13 
C¥u 1 
(x + y) (x2  y2) = 25 
Gi£i 
D¹ d ng nhªn th§y ¥y l  mët h» ¯ng c§p bªc 3, b¼nh th÷íng ta cù nh¥n ch²o l¶n rçi chia 2 
v¸ cho x3 ho°c y3. Nh÷ng h¢y xem mMinh ët c¡ch gi£i tinh t¸ sau ¥y: 
L§y (2)  (1) ta ÷ñc : 2xy(x  y) = 12 (3) 
L§y (1)  (3) ta ÷ñc : (x  y)3 = 1 , x = y + 1 
V¼ sao câ thº câ h÷îng n y ? Xin th÷a â l  düa v o h¼nh thùc èi xùng cõa h». Ngon l nh 
rçi. Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc 
n  
1)2 y2 y = 2 
(y + + = 13 , 
y = 3 
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m (x; y) = (3; 2); (2;3) 
 
x3  8x = y3 + 2y 
C¥u 2 
x2  3 = 3 (y2 + 1) 
Gi£i 
º þ nh÷ sau : Ph÷ìng tr¼nh 1 gçm bªc ba v  bªc nh§t. Ph÷ìng tr¼nh 2 gçm bªc 2 v  bªc 0 
(h¬ng sè). 
Rã r ng ¥y l  mët h» d¤ng nûa ¯ng c§p. Ta s³ vi¸t l¤i nâ º ÷a v· ¯ng c§p 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng : 
 
x3  y3 = 8x + 2y 
x2  3y2 = 6 
Gií ta nh¥n ch²o hai v¸ º ÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p 
, 6 
 
x3  y3 
= (8x + 2y) 
 
x2  3y2 
, 2x (3y  x) (4y + x) = 0
10 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
TH1 : x = 0 thay v o (2) væ nghi»m 
TH2 : x = 3y thay v o (2) ta câ: 
6y2 = 6 , 
 
y = 1; x = 3 
y = 1; x = 3 
TH3 : x = 4y thay v o (2) ta câ: 
n 
2 
§13y2 = 6 , 
TuMinh ¹n Nguy664 
y = 
r 
6 
13 
r 
; x = 4 
6 
13 
r 
y =  
6 
13 
r 
; x = 4 
6 
13 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (3; 1); (3;1); 
  
4 
r 
6 
13 
; 
r 
6 
13 
! 
; 
  
4 
r 
6 
13 
r 
; 
6 
13 
! 
 
C¥u 3 
 
x2 + y2  3x + 4y = 1 
3x2  2y2  9x  8y = 3 
Gi£i 
º þ khi nh¥n 3 v o PT(1) rçi trø i PT(2) s³ ch¿ cán y . Vªy 
3:PT(1)  PT(2) , y2 + 4y = 0 , 
2 
64 
y = 0 , x = 
p 
7 
2 
3  
y = 4 , x = 
p 
7 
2 
3  
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
  
3  
p 
7 
2 
! 
; 
; 0 
  
3  
p 
7 
2 
! 
 
;4 
C¥u 4 
 
x2 + xy + y2 = 19(x  y)2 
x2  xy + y2 = 7 (x  y) 
Gi£i 
Nhªn x²t v¸ tr¡i ang câ d¤ng b¼nh ph÷ìng thi¸u, vªy ta thû th¶m bît º ÷a v· d¤ng b¼nh 
ph÷ìng xem sao. N¶n ÷a v· (x  y)2 hay (x + y)2. Hiºn nhi¶n khi nh¼n sang v¸ ph£i ta s³ 
chån ph÷ìng ¡n ¦u 
 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
(x  y)2 + 3xy = 19(x  y)2 
(x  y)2 + xy = 7 (x  y) 
°t x  y = a v  xy = b ta câ h» mîi 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 11 
 
b = 6a2 
a2 + b = 7a 
, 
 
a = 0; b = 0 
a = 1; b = 6 
, 
2 
664 
 
x  y = 0 
 xy = 0 
x  y = 1 
xy = 6 
, 
2 
4 
x = 0; y = 0 
x = 3; y = 2 
x = 2; y = 3 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 0) ; (3; 2) (2;3) 
n 
 
x3 + x3y3 + y3 = 17 
C¥u 5 
x + xy + y = 5 
§Gi£i 
H» èi xùng lo¤i I rçi. No Tu 
problem!!! 
(x + y)3  3xy(x + y) + (xy)3 = 17 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
(x + y) + xy = 5 
°t x + y = a v  xy = b ta câ h» mîMinh i 
2 
 
 
a3  3ab + b3 = 17 
a = 2; b = 3 
, 
, 
a + b = 5 
a = 3; b = 2 
¹n Nguy664 
 
x + y = 2 
 xy = 3 
x + y = 3 
xy = 2 
, 
 
x = 2; y = 1 
x = 1; y = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 1) 
C¥u 6 
 
x(x + 2)(2x + y) = 9 
x2 + 4x + y = 6 
Gi£i 
¥y l  lo¤i h» °t ©n têng  
t½ch r§t quen thuëc 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
(x2 + 2x) (2x + y) = 9 
(x2 + 2x) + (2x + y) = 6 
°t x2 + 2x = a v  2x + y = b ta câ h» mîi 
 
ab = 9 
a + b = 6 
, a = b = 3 , 
 
x2 + 2x = 3 
2x + y = 3 
, 
 
x = 1; y = 1 
x = 3; y = 9 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1); (3; 9) 
C¥u 7 
 
x + y  
p 
p xy = 3 
x + 1 + 
p 
y + 1 = 4 
Gi£i 
Khæng l m «n g¼ ÷ñc ð c£ 2 ph÷ìng tr¼nh, trüc gi¡c ¦u ti¶n cõa ta l  b¼nh ph÷ìng º ph¡ sü 
khâ chàu cõa c«n thùc 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
12 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
p 
(2) , x + y + 2 + 2 
xy + x + y + 1 = 16 
M  tø (1) ta câ x + y = 3 + 
p 
xy n¶n 
(2) , 3 + 
q 
xy + 
p 
xy + 2 + 2 
p 
xy + 4 = 16 , 
p 
xy = 3 , 
 
xy = 9 
x + y = 6 
, x = y = 3 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 3) 
§n 
 p 
p 
p x + 5 + 
p 
y  2 = 7 
C¥u 8 
x  2 + 
y + 5 = 7 
TuGi£i 
èi xùng lo¤i II. Khæng cán g¼ º nâi. Cho 2 ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhau rçi b¼nh ph÷ìng tung 
tâe º ph¡ sü khâ chàu cõa c«n thùc 
i·u ki»n : x; y  2 
Tø 2 ph÷ìng tr¼nh ta câ 
p 
Minh p 
p 
p 
x + 5 + 
y  2 = 
x  2 + 
y  5 
p 
p 
, x + y + 3 + 2 
(x + 5)(y  2) = x + y + 3 + 2 
(x  2)(y + 5) 
p 
p 
, 
(x + 5)(y  2) = 
(x  2)(y + 5) , x = y 
Thay l¤i ta câ 
n p 
p 
x + 5 + 
x  2 = 7 , x = 11 
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (11; 11) 
 p 
p 
p 
x2 + y2 + 
2xy = 8 
2 
C¥u 9 
p p 
x + 
y = 4 
Gi£i 
H» ¢ cho câ v´ l  nûa èi xùng nûa ¯ng c§p, º þ bªc cõa PT(2) ang nhä hìn PT(1) mët 
chót. Ch¿ c¦n ph²p bi¸n êi b¼nh ph÷ìng (2) s³ vøa bi¸n h» trð th nh ¯ng c§p vøa ph¡ bä 
bît i c«n 
i·u ki»n : x; y  0 
H» ¢ cho 
, 
 p 
2(x2 + y2) + 2 
p 
xy = 16 
x + y + 2 
p 
xy = 16 
, 
p 
2 (x2 + y2) = x + y , x = y 
p 
x = 4 , x = 4 
Thay l¤i ta câ : 2 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 13 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 4) 
C¥u 10 
 
6x2  3xy + x = 1  y 
x2 + y2 = 1 
Gi£i 
n 
Mët c¡ch trüc gi¡c khi nh¼n th§y h» chùa tam thùc bªc 2 â l  thû xem li»u câ ph§¥n t½ch ÷ñc 
th nh nh¥n tû hay khæng ? Ta s³ thû b¬ng c¡ch t½nh  theo mët ©n câ ch½nh ph÷ìng hay 
khæng. Ngon l nh l  PT(1) x µp nh÷ ti¶n. 
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìp 
ng ֓ng (3x  1)(2x  y + 1) = 0 
1 
2 
2 
TuVîi x = 
) y =  
3 
3 
 
x = 0; y = 1 
Vîi y = 2x + 1 ) x2 + (2x + 1)2 = 1 , 
4 
3 
x =  
; y = 
  
Minh p 
! 
5 
 
5 
 
1 
2 
2 
4 
3 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 
; 
; (0; 1); 
 
; 
 
3 
3 
5 
5 
 
p 
x p  2y  
C¥u 11 
p 
xy = 0 
x  1 + 
4y  1 = 2 
Gi£i 
Ph÷ìng tr¼nh ¦u l  d¤ng n ¯ng c§p rçi 
1 
i·u ki»n x  1; y  
Nguy¹4 
p 
p 
 p 
p 
 
Tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ : 
x + 
y 
x  2 
y 
= 0 , x = 4y 
Thay v o (2) ta câ p 
p 
x  
 1 + 
 
x  1 = 2 , x = 2 
1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 
2; 
 
2 
 
xy + x + y = x2  2y2 
C¥u 12 
p 
p 
x 
2y  y 
x  1 = 2x  2y 
Gi£i 
i·u ki»n : x  1; y  0 
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng 
(x + y) (2y  x + 1) = 0 , 
 
x = y 
x = 2y + 1 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
14 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
Vîi x = y lo¤i v¼ theo i·u ki»n th¼ x; y ph£i còng d§u 
Vîi x = 2y + 1 th¼ ph÷ìng tr¼nh 2 s³ t÷ìng ÷ìng 
(2y + 1) 
p 
2y  y 
p 
2y = 2y + 2 , 
p 
2y(y + 1) = 2y + 2 , y = 2 ) x = 5 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (5; 2) 
n 
 p 
p 
x + 1 + 
y + 2 = 6 
C¥u 13 
x + y = 17 
§Gi£i 
Tui·u ki»n x; y  1 
 p 
p 
x + 1 + 
y + 2 = 6 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
(x + 1) + (y + 2) = 20 
p 
p 
°t 
x + 1 = a  0; 
y + 2 = b  0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
 
 
 
a + b = 6 
a = 4; b = 2 
x = 15; y = 2 
, 
, 
a2 + b2 = 20 
a = 2; b = 4 
x = 3; y = 14 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (15; Minh 2); (3; 14) 
 
y2 = (5x + 4)(4  x) 
C¥u 14 
y2  5x2  n 4xy + 16x  8y + 16 = 0 
Gi£i 
NguyPh÷ìng tr¼nh 2 t÷ìng ¹÷ìng 
 
y2 y = 0 
+ (5x + 4)(4  x)  4xy  8y = 0 , 2y2  4xy  8y = 0 , 
y = 2x + 4 
 
x = 4 
Vîi y = 0 th¼ suy ra : (5x + 4) (4  x) = 0 , 
4 
x =  
5 
Vîi y = 2x + 4 th¼ suy ra (2x + 4)2 = (5x  
+ 4)(4  
 x) , x = 0 
4 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 0); 
 
; 0 
; (0; 4) 
5 
C¥u 15 
 
x2  2xy + x + y = 0 
x4  4x2y + 3x2 + y2 = 0 
Gi£i 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 15 
 
x2 + y = x(2y  1) 
(x2 + y)2 + 3x2 (1  2y) = 0 
) x2(2y  1)2 + 3x2(2y  1) = 0 , x2(2y  1)(2y  4) = 0 
, 
n 
Tu§Minh n Nguy¹2 
64 
x = 0; y = 0 
y = 
1 
2 
(L) 
y = 2; x = 1 [ 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 2); (2; 2) 
C¥u 16 
 
x + y + xy(2x + y) = 5xy 
x + y + xy(3x  y) = 4xy 
Gi£i 
PT(1)  PT(2) , xy(2y  x) = xy , 
 
xy = 0 
x = 2y  1 
Vîi xy = 0 ) x + y = 0 , x = y = 0 
Vîi x = 2y  1 
) (2y  1) + y + (2y  1)y(5y  2) = 5(2y  1)y , 
2 
6664 
y = 1; x = 1 
y = 
p 
41 
20 
9  
; x =  
p 
41 
10 
1 + 
y = 
p 
41 
20 
9 + 
; x = 
p 
41  1 
10 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 1); 
  
 
p 
41 
10 
1 + 
; 
p 
41 
20 
9  
! 
; 
 p 
41  1 
10 
; 
p 
41 
20 
9 + 
! 
 
C¥u 17 
 
x2  xy + y2 = 3 
2x3  9y3 = (x  y)(2xy + 3) 
Gi£i 
N¸u ch¿ x²t tøng ph÷ìng tr¼nh mët s³ khæng l m «n ÷ñc g¼. Nh÷ng º þ 2 ng÷íi n y bà r ng 
buëc vîi nhau bði con sè 3 b½ ©n. Ph²p th¸ ch«ng ? óng vªy, thay 3 xuèng d÷îi ta s³ ra mët 
ph÷ìng tr¼nh ¯ng c§p v  k¸t qu£ µp hìn c£ mong ñi 
Th¸ 3 tø tr¶n xuèng d÷îi ta câ 
2x3  9y3 = (x  y) 
 
x2 + xy + y2 
, x3 = 8y3 , x = 2y 
(1) , 3y2 = 3 , y = 1; x = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (2;1) 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
16 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 18 
 p 
x + y + 
p 
x  y = 1 + 
p 
x2  y2 
p 
x + 
p 
y = 1 
Gi£i 
i·u ki»n :x  y  0 
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng 
 p 
 
p 
p 
p 
p 
 
x + y = 1 x = 
1  y 
n 
x + y  1 = 
x  y 
x + y  1 
, 
p 
, 
p 
x  y = 1 
x = 
1 + y 
 2 
§p 
p 
y = 0; x = 1 
p 1  y + 
y = 1 
Tø â ) 
p 
, 
4 
y = 1; x = 0(L) 
y + 1 + 
y = 1 
y = 0; x = 1 
TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0) 
 
p 
2x  y = 1 + 
x(y + 1) 
C¥u 19 
x3  y2 = 7 
Minh Gi£i 
i·u ki»n : x(y + 1)  0 
Tø (2) d)  p 
¹ th§y p 
x  0   
p 
y 1 
p 
 
(1) , 
x  
y + 1 
2 
x + 
y + 1 
= 0 , x = y + 1 
) (y + 1)3  y2 = 7 , y = 1; x = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1) 
NguyTø c¥u 20 trð ¹i tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh º 
gi£i quy¸t gån µp r§t nhi·u c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. â gåi h» sè b§t ành 
(trong ¥y tæi s³ gåi nâ b¬ng t¶n kh¡c : UCT). S³ m§t kho£ng hìn chöc v½ dö º 
di¹n t£ trån vµn ph÷ìng ph¡p n y 
Tr÷îc h¸t iºm qua mët mµo ph¥n t½ch nh¥n tû cõa a thùc hai bi¸n r§t nhanh b¬ng m¡y 
t½nh Casio. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute. 
V½ dö 1 : A = x2 + xy  2y2 + 3x + 36y  130 
Thüc ra ¥y l  tam thùc bªc 2 th¼ câ thº t½nh  ph¥n t½ch công ÷ñc. Nh÷ng thû ph¥n t½ch 
b¬ng Casio xem . 
Nh¼n th§y bªc cõa x v  y ·u b¬ng 2 n¶n ta chån c¡i n o công ÷ñc 
Cho y = 1000 ta ֖c A = x2 + 1003x  1964130 = (x + 1990) (x  987) 
Cho 1990 = 2y  10 v  987 = y  13 
A = (x + 2y  10) (x  y + 13) 
V½ dö 2 : B = 6x2y  13xy2 + 2y3  18x2 + 10xy  3y2 + 87x  14y + 15 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 17 
Nh¼n th§y bªc cõa x nhä hìn, cho ngay y = 1000 
B = 5982x2  12989913x + 1996986015 = 2991 (2x  333) (x  2005) 
Cho 2991 = 3y  9 ,333 = 
y  1 
3 
, 2005 = 2y + 5 
B = (3y  9) 
 
2x  
y  1 
3 
 
(x  2y  5) = (y  3) (6x  y + 1) (x  2y  5) 
n 
V½ dö 3 : C = x3  3xy2  2y3  7x2 + 10xy + 17y2 + 8x  40y + 16 
Bªc cõa x v  y nh÷ nhau 
Cho y = 1000 ta ֖c C = x3  7x2  2989992x  1983039984 
§Ph¥n t½ch C=(x  1999) (x + 996)2 
Cho 1999 = 2y  1 v  996 = y  4 
C = (x  2y + 1) (x + y  4)2 
TuV½ dö 4 : D = 2x2y2 + x3 + 2y3 + 4x2 + xy + 6y2 + 3x + 4y + 12 
Bªc cõa x v  y nh÷ nhau 
Cho y = 1000 ta ֖c D = (x + 2000004) (x2 + 1003) 
Cho 2000004 = 2y2 + 4 v  1003 = y + 3 
D = (x + 2y2 + 4) (x2 + y + 3) 
Minh V½ dö 5 : E = x3y + 2x2y2 + 6x3 + 11x2y  xy2  6x2  7xy  y2  6x  5y + 6 
Bªc cõa y nhä hìn 
Cho x = 1000 ta ֖c E = 1998999y2 + 1010992995y + 5993994006 = 
2997 (667y + 333333) (y + 6) 
ƒo hâa E=999 (2001y + 999999) (y + 6) 
Cho 999 = x  1; 2001 = 2y + 1; 999999 = x2  1 
E = (x  1) (y + 6) (x2 + 2xy n + y  1) 
Nguy¹V½ dö 6 : F = 6x4y + 12x3y2 + 5x3y  5x2y2 + 6xy3 + x3 + 7x2y + 4xy2  3y3  2x2  8xy + 
3y2  2x + 3y  3 
Bªc cõa y nhä hìn 
Cho x = 1000 ta ֖c F = 5997y3 + 11995004003y2 + 6005006992003y + 997997997 
Ph¥n t½ch F=(1999y + 1001001) (3y2 + 5999000y + 997) 
Cho 1999 = 2x  1; 1001001 = x2 + x + 1; 5999000 = 6x2  x; 997 = x  3 
F = (x2 + 2xy + x  y + 1) (6x2y  xy + 3y2 + x  3) 
L m quen ÷ñc rçi chù ? B­t ¦u n o 
C¥u 20 
8 
: 
x2 + y2 = 
1 
5 
4x2 + 3x  
57 
25 
= y(3x + 1) 
Gi£i 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
18 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
Líi gi£i gån µp nh§t cõa b i tr¶n l  
25:PT(1) + 50:PT(2) , (15x + 5y  7)(15x + 5y + 17) = 0 
¸n ¥y d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m cõa h» : (x; y) = 
 
2 
5 
; 
1 
5 
 
; 
 
11 
25 
; 
2 
25 
 
 
 
n 
14x2  21y2  6x + 45y  14 = 0 
C¥u 21 
35x2 + 28y2 + 41x  122y + 56 = 0 
§Gi£i 
TuLíi gi£i gån µp nh§t cõa b i n y l  
49:PT(1)  15:PT(2) , (161x  483y + 218)(x + 3y  7) = 0 
V  ¸n ¥y công d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2; 3); (1; 2) 
Qua 2 v½ dö tr¶n ta °t ra c¥u häi : V¼ sao l¤i th¸ ? C¡i nhâm th nh nh¥n tû th¼ tæi khæng 
nâi bði ­t h¯n c¡c b¤n ¢ åc nâ ð tr¶n rçi. V¼ sao ð ¥y l  t¤i sao l¤i ngh¾ ra nhúng h¬ng sè 
kia nh¥n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh, mët sMinh ü t¼nh cí may m­n hay l  c£ mët ph÷ìng ph¡p. Xin th÷a 
â ch½nh l  mët v½ dö cõa UCT. UCT l  mët cæng cö r§t m¤nh câ thº qu²t s¤ch g¦n nh÷ to n 
bë nhúng b i h» d¤ng l  hai tam thùc. C¡ch t¼m nhúng h¬ng sè nh÷ th¸ n o. Tæi xin tr¼nh 
b y ngay sau ¥y. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute. 
 
a1x2 + b1y2 + c1xy + d1x + e1y + f1 = 0 
Têng Qu¡t: 
a2x2 + n b2y2 + c2xy + d2x + e2y + f2 = 0 
Nguy¹Gi£i 
Hiºn nhi¶n nhªn x²t ¥y l  h» gçm hai tam thùc bªc hai. M  nh­c ¸n tam thùc th¼ khæng 
thº khæng nh­c tîi mët èi t÷ñng â l  . Mët tam thùc ph¥n t½ch ÷ñc nh¥n tû hay khæng 
ph£i xem x ho°c y cõa nâ câ ch½nh ph÷ìng hay khæng. N¸u h» lo¤i n y m  tø ngay mët 
ph÷ìng tr¼nh  ra k¼ di»u th¼ ch¯ng nâi l m g¼, th¸ nh÷ng c£ hai ph÷ìng tr¼nh  ·u ra r§t 
k¼ cöc th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Khi â UCT s³ l¶n ti¸ng. Ta s³ chån h¬ng sè th½ch hñp nh¥n v o 
mët (ho°c c£ hai ph÷ìng tr¼nh) º ²p sao cho  ch½nh ph÷ìng. 
Nh÷ vªy ph£i t¼m h¬ng sè k sao cho PT(1) + k:PT(2) câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû 
°t a = a1 + ka2; b = b1 + kb2; c = c1 + kc2; d = d1 + kd2; e = e1 + ke2; f = f1 + kf2 
Sè k l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi a= 60 
cde + 4abf = ae2 + bd2 + fc2 
D¤ v¥ng câ h¯n mët cæng thùc º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh lo¤i n y. T¡c gi£ cõa nâ kh¡ xu§t 
s­c !!!. Thû kiºm chùng l¤i v½ dö 21 nh² 
a = 14 + 35k; b = 21 + 28k; c = 0; d = 6 + 41k; e = 45  122k; f = 14 + 56k 
Sè k s³ l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh 
4(14+35k)(21+28k)(14+56k) = (14+35k)(45122k)2+(21+28k)(6+41k)2 , k =  
15 
49 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 19 
Nh÷ vªy l  PT(1)  
15 
49 
:PT(2) hay 49:PT(1)  15:PT(2) 
Mët chót l÷u þ l  khæng ph£i h» n o công ¦y õ c¡c h¬ng sè. N¸u khuy¸t thi¸u ph¦n n o th¼ 
cho h¬ng sè â l  0. Ok!! 
Xong d¤ng n y rçi. H¢y l m b i tªp vªn döng. ¥y l  nhúng b i h» tæi têng hñp tø nhi·u 
nguçn. 
 
x2 + 8y2  6xy + x  3y  624 = 0 
n 
1. 
 
21x2  24y2  30xy  83x + 49y + 585 = 0 
x2 + y2  3x + 4y = 1 
§2. 
 
3x2  2y2  9x  8y = 3 
y2 = (4x + 4)(4  x) 
3. 
 
y2  5x2  4xy + 16x  8y + 16 = 0 
Tuxy  3x  2y = 16 
4. 
 
x2 + y2  2x  4y = 33 
x2 + xy + y2 = 3 
5. 
 
x2 + 2xy  7x  5y + 9 = 0 
(2x + 1)2 + y2 + y = 2x + 3 
6. 
 
xy + x = 1 
x2 + 2y2 = 2y  2xy + 1 
7. 
 
3x2 + 2xy  y2 = 2x  y + 5 
Minh (x  1)2 + 6(x  1)y + 4y2 = 20 
8. 
 
x2 + (2y + 1)2 = 2 
2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y  2 = 0 
9. 
 
x2 + y2 + 4xy + 2y = 0 
2x2 + 3xy = 3y  13 
10. 
 
3y2 + 2xy = 2x + 11 
4x2 + 3y(x  1) = 7 
11. 
n  
3y2 + 4x(y  1) = 3 
Nguyx2 + 2 = x(y  ¹1) 
12. 
 
y2  7 = y(x  1) 
x2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0 
13. 
xy + y2 + 3y + 1 = 0 
 
x3  y3 = 35 
C¥u 22 
2x2 + 3y2 = 4x  9y 
Gi£i 
Líi gi£i ng­n gån cho b i to¡n tr¶n â l  
PT(1)  3:PT(2) , (x  2)3 = (y + 3)3 , x = y + 5 
Thay v o (2) ta d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2;3); (3;2) 
C¥u häi °t ra ð ¥y l  sû döng UCT nh÷ th¸ n o ? T§t nhi¶n ¥y khæng ph£i d¤ng tr¶n núa 
rçi. Tr÷îc h¸t ¡nh gi¡ c¡i h» n y ¢ 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
20 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
- Bªc cõa x v  y l  nh÷ nhau 
- C¡c bi¸n x,y ëc lªp vîi nhau 
- Ph÷ìng tr¼nh mët câ bªc cao hìn PT(2) 
Nhúng nhªn x²t tr¶n ÷a ta ¸n þ t÷ðng nh¥n h¬ng sè v o PT(2) º PT(1) + a:PT(2) ÷a 
÷ñc v· d¤ng h¬ng ¯ng thùc A3 = B3 
PT(1) + a:PT(2) , x3 + 2ax2  4ax  y3 + 3ay2 + 9ay  35 = 0 
C¦n t¼m a sao cho v¸ tr¡i câ d¤ng (x + )3  (y +
)3 = 0 
n 
C¥n b¬ng ta ÷ñc : 
Tu§Minh ¹n Nguy8 
: 
3
3 = 35 
3 = 2a 
32 = 4a 
, 
8 
: 
a = 3 
 = 2
= 3 
Vªy PT(1)  3:PT(2) , (x  2)3 = (y + 3)3 
OK ?? Thû mët v½ dö t÷ìng tü nh² 
Gi£i h»: 
 
x3 + y3 = 91 
4x2 + 3y2 = 16x + 9y 
Gñi þ : PT(1)  3:PT(2) , (x  4)3 = (y + 3)3 
C¥u 23 
 
x3 + y2 = (x  y)(xy  1) 
x3  x2 + y + 1 = xy(x  y + 1) 
Gi£i 
H¢y còng tæi ph¥n t½ch b i to¡n n y. Ti¸p töc sû döng UCT 
¡nh gi¡ h» : 
-Bªc cõa x cao hìn bªc cõa y 
-C¡c bi¸n x,y khæng ëc lªp vîi nhau 
-Hai ph÷ìng tr¼nh câ bªc cao nh§t cõa x v  y nh÷ nhau 
V¼ bªc x ang cao hìn bªc y v  bªc cõa y t¤i 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau n¶n ta h¢y nh¥n tung 
rçi vi¸t l¤i 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n y. Cö thº nh÷ sau : 
 
y2 (x + 1)  y (x2 + 1) + x3 + x = 0 
y2x  y (x2 + x  1) + x3  x2 + 1 = 0 
B¥y gií ta mong ÷îc r¬ng khi thay x b¬ng 1 sè n o â v o h» n y th¼ s³ thu ÷ñc 2 ph÷ìng 
tr¼nh t÷ìng ÷ìng. Tùc l  khi â c¡c h» sè cõa 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t¿ l» vîi nhau . Vªy : 
x + 1 
x 
= 
x2 + 1 
x2 + x  1 
= 
x3 + x 
x3  x2 + 1 
) x = 1 
R§t may  m­n ta ¢ t¼m ÷ñc x = 1. Thay x = 1 l¤i h» ta câ 
2 (y2  y + 1) = 0 
y2  y + 1 = 0 
) 2:PT(2)  PT(1) s³ câ nh¥n tû x  1 
Cö thº â l  (x  1) (y2  (x + 3) y + x2  x  2) = 0 
TH1 :x = 1 thay v o th¼ væ nghi»m 
TH2: K¸t hñp th¶m vîi PT(1) ta ÷ñc h» mîi : 
 
y2  (x + 3) y + x2  x  2 = 0 (3) 
x3 + y2  x2y + x + xy2  y = 0 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 21 
Nhªn x²t h» n y câ °c iºm gièng vîi h» ban ¦u â l  bªc y nh÷ nhau. Vªy ta l¤i vi¸t l¤i h» 
theo ©n y v  hi vång nâ s³ l¤i óng vîi x n o â. Thªt vªy, â l  x =  
1 
2 
. Ti¸p töc thay nâ 
v o h» v  ta s³ rót ra : 
2PT(2)  PT(1) , (2x + 1) 
 
y2  (x  1) y + x2  x + 2 
 
p 
1 
5  3 
5 
TH1 : x =  
) y = 
2 
4 
n 
TH2 : K¸t hñp vîi (3) ta ÷ñc 
 
y2  (x  1) y + x2  x + 2 = 0 
§y2  (x + 3) + x2  x  2 = 0 
Vîi h» n y ta ch¿ vi»c trø cho nhau   
s³ ra y = 1 ) ! 
x2   
+ 2 = 0 (Væ nghi»m) 
p 
p 
Tu! 
1 
5 + 3 
5 
1 
5  3 
5 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = 
 
; 
; 
 
; 
 
2 
4 
2 
4 
 
2 (x + y) (25  xy) = 4x2 + 17y2 + 105 
C¥u 24 
x2 + y2 + 2x  2y = Minh 7 
Gi£i 
H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gièng vîi c¥u 23 
Mët chót ¡nh gi¡ v· h» n y 
- C¡c bi¸n x v  y khæng ëc lªp vîi nhau 
- Bªc cao nh§t cõa x ð 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau , y công vªy 
Vîi c¡c °c iºm n y ta thû vi¸t h» th nh 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n x v  y v  xem li»u h» câ 
óng vîi x ho°c y n o khæn ng. C¡ch l m v¨n nh÷ c¥u 23. Vi¸t theo x ta s³ khæng t¼m ÷ñc y, 
Nguynh÷ng vi¸t theo y ta ¹s³ t¼m ÷ñc x = 2 khi¸n h» luæn óng. Thay x = 2 v o h» ta ÷ñc 
 
21y2  42y + 21 = 0 
 
 
) PT(1)  21PT(2) , (x  2) 
2y2 y2 + 2xy + 4y  17x  126 
= 0 
 2y + 1 = 0 
TH1 :  
x = 2 ) y = 1 
2y2 + 2xy + 4y  17x  126 = 0 
TH2 : 
x2 + y2 + 2x  2y  7 = 0 
H» n y ¢ câ c¡ch gi£i rçi nh¿ ?? 
3:PT(2)  PT(1) , (x  y + 5)2 + 2x2 + x + 80 = 0 (Væ nghi»m) 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) 
Ti¸p theo chóng ta s³ ¸n vîi c¥u VMO 2004. 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
22 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 25 
 
x3 + 3xy2 = 49 
x2  8xy + y2 = 8y  17x 
Gi£i 
Líi gi£i ng­n gån nh§t cõa b i tr¶n â l  : 
 
 
n 
PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) 
(x + 1)2 + 3(y  4)2= 0 
§¸n ¥y d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (1; 4); (1;4) 
C¥u häi ÷ñc °t ra l  b i n y t¼m h¬ng sè nh÷ th¸ n o ? Câ r§t nhi·u c¡ch gi£i th½ch nh÷ng 
tæi xin tr¼nh b y c¡ch gi£i th½ch cõa tæi :tuzki: 
TuL m t÷ìng tü theo nh÷ hai c¥u 23 v  24 xem n o. Vi¸t l¤i h» ¢ cho th nh 
 
3xy2 + x3 + 49 = 0 
y2 + 8(x + 1)y + x2  17x = 0 
Mët c¡ch trüc gi¡c ta thû vîi x = 1. V¼ sao ? V¼ vîi x = 1 ph÷ìng tr¼nh 2 s³ khæng cán 
ph¦n y v  câ v´ 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t÷ìMinh ng ÷ìng. Khi thay x = 1 h» ¢ cho trð th nh 
 
3y2 + 48 = 0 
y2  16 = 0 
Hai ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng ÷ìng. Tríi th÷ìng rçi !! Vªy x = 1 ch½nh l  1 nghi»m cõa 
h» v  tø h» thù hai ta suy ra ngay ph£i l m â l  PT(1) + 3:PT(2). Vi»c cán l¤i ch¿ l  ph¥n 
t½ch nèt th nh nh¥n tû. 
Ti¸p theo ¥y chóng ta s³ ¸n vîi mët chòm h» dà b£n cõa þ t÷ðng tr¶n. Tæi khæng tr¼nh 
b y chi ti¸t m  ch¿ gñi þ vn   k¸t qu£ 
Nguy¹ 
y3 + 3xy2 = 28 
C¥u 26 
x2  6xy + y2 = 6x  10y 
Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (y + 1) (3(x  3)2 + (y + 1)2) = 0 
Nghi»m cõa h» : (x; y) = (3;1); (3;1) 
C¥u 27 
 
6x2y + 2y3 + 35 = 0 
5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = 0 
Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (2y + 5) 
  
3 
 
x + 
1 
2 
2 
+ 
 
y + 
5 
2 
2 
! 
= 0 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 23 
C¥u 28 
 
x3 + 5xy2 = 35 
2x2  5xy  5y2 + x + 10y  35 = 0 
Gñi þ : PT(1) + 2:PT(2) , (x  2) (5(y  1)2 + (x + 3)2) = 0 
 
n 
x3 + 3xy2 = 6xy  3x  49 
C¥u 29 
x2  8xy + y2 = 10y  25x  9 
§Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) ((x + 1)2 + 3(y  5)2) = 0 
Tuiºm qua c¡c c¥u tø c¥u 23 ¸n c¥u 29 ta th§y d÷íng nh÷ nhúng c¥u h» n y kh¡ °c bi»t. 
Ph£i °c bi»t th¼ nhúng h» sè kia mîi t¿ l» v  ta t¼m ÷ñc x =  hay y =
l  nghi»m cõa 
h». Th¸ vîi nhúng b i h» khæng câ ÷ñc may m­n nh÷ kia th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Tæi xin giîi 
thi»u mët ph÷ìng ph¡p UCT r§t m¤nh. Câ thº ¡p döng r§t tèt º gi£i nhi·u b i h» húu t¿ (kº 
c£ nhúng v½ dö tr¶n). â l  ph÷ìng ph¡p T¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa x v  y. V  ta s³ 
khæng ch¿ nh¥n h¬ng sè v o mët ph÷ìng tr¼nh m  thªm ch½ nh¥n c£ mët h m f(x) hay g(y) 
v o nâ. Tæi s³ ÷a ra v i v½ dö cö thMinh º sau ¥y : 
 
3x2 + xy  9x  y2  9y = 0 
C¥u 30 
2x3  20x n  x2y  20y = 0 
Nguy¹Gi£i 
B i n y n¸u thû nh÷ c¥u 23, 24, 25 ·u khæng t¼m ra nêi x hay y b¬ng bao nhi¶u l  nghi»m cõa 
h». Vªy ph£i dòng ph²p düng quan h» tuy¸n t½nh giúa x v  y. Quan h» n y câ thº x¥y düng 
b¬ng hai c¡ch th÷íng dòng sau : 
- T¼m tèi thiºu hai c°p nghi»m cõa h» 
- Sû döng ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ 
Tr÷îc h¸t tæi xin ph¡t biºu l¤i ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ : 
X²t a thùc : P(x) = anxn + an1xn1 + :::: + a1x + a0 
p 
a thùc câ nghi»m húu t¿ 
, p l  ÷îc cõa a0 cán q l  ÷îc cõa an 
q 
OK rçi chù ? B¥y gií ta h¢y thû x¥y düng quan h» theo c¡ch ¦u ti¶n, â l  t¼m tèi thiºu hai 
c°p nghi»m cõa h» ( Casio l¶n ti¸ng :v ) 
D¹ th§y h» tr¶n câ c°p nghi»m l  (0; 0 v  (2;1) 
Chån hai nghi»m n y l¦n l÷ñt ùng vîi tåa ë 2 iºm, khi â ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng qua 
chóng s³ l  : x + 2y = 0 , x = 2y 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
24 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
Nh÷ vªy quan h» tuy¸n t½nh ð ¥y l  x = 2y. Thay l¤i v o h» ta ÷ñc 
 
9y (y + 1) = 0 
20y (y + 1) (y  1) = 0 
Sau â ta chån biºu thùc phò hñp nh§t nh¥n v o 2 ph÷ìng tr¼nh. 
Ð ¥y s³ l  20 (y  1) :PT(1) + 9:PT(2) 
Nh÷ vªy 
 
 
n 
20 (y  1) :PT(1) + 9:PT(2) , (x + 2y) 
18x2 + 15xy  60x  10y2  80y 
§= 0 
TH1 : x = 2y thay v o (1) 
TH2 : K¸t hñp th¶m vîi PT(1) núa th nh mët h» gám hai tam thùc ¢ bi¸t c¡ch gi£i 
Nghi»m cõa h» : 
  
p 
! 
  
p 
! 
15  
145 
p 
15 + 
Tu145 
p 
(x; y) = (0; 0); (2;1); (10; 15); 
; 11  
145 
; 
; 11 + 
145 
 
2 
2 
Sû döng c¡ch n y chóng ta th§y, mët h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿ ch¿ c¦n t¼m ÷ñc mët c°p 
nghi»m l  ta ¢ x¥y düng ÷ñc quan h» tuy¸n t½nh v  gi£i quy¸t b i to¡n. ¥y ch½nh l  ÷u 
iºm cõa nâ. B¤n åc thû vªn döng nâ v o gi£i nhúng v½ dö tø 23 ¸n 29 xem. Tæi thû l m 
c¥u 25 nh² : C°p nghi»m l  (1; 4); (1;4) n¶n quan h» x¥y düng ð ¥y l  x = 1. Thay l¤i 
v o h» v  ta câ h÷îng chån h» sè º nh¥n. 
Tuy nhi¶n c¡ch n y s³ chàu ch¸t vMinh îi nhúng b i h» ch¿ câ mët c°p nghi»m ho°c nghi»m qu¡ 
l´ khæng thº dá b¬ng Casio ÷ñc. ¥y l  nh÷ñc iºm lîn nh§t cõa nâ 
N o b¥y gií h¢y thû x¥y düng quan h» b¬ng ành lþ nh². 
Vîi h» n y v¼ ph÷ìng tr¼nh d÷îi ang câ bªc cao hìn tr¶n n¶n ta s³ nh¥n a v o ph÷ìng tr¼nh 
tr¶n rçi cëng vîi ph÷ìng tr¼nh d÷îi. V¼ bªc cõa x ang cao hìn n¶n ta vi¸t l¤i biºu thùc sau 
khi thu gån d÷îi d¤ng mët n ph÷ìng tr¼nh bi¸n x. Cö thº â l  
Nguy2x3 + ¹(3a  y) x2 + (ay  9a  20) x  y (ay + 9a + 20) = 0() 
 
	 
Nghi»m cõa (*) theo ành lþ s³ l  mët trong c¡c gi¡ trà 
1;1 
;y 
;y; :::: 
2 2 1 
T§t nhi¶n khæng thº câ nghi»m x =  
hay x = 1 ÷ñc. H¢y thû vîi hai tr÷íng hñp cán l¤i. 
 
2 
3y2  18y = 0 
* Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc 
y3  40y = 0 
Khi â ta s³ ph£i l§y (y2 40):PT(1)3(y  
6):PT(2). Rã r ng l  qu¡ phùc t¤p. Lo¤i c¡i n y. 
y2 = 0 
* Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc 
3y3 = 0 
Khi â ta s³ l§y 3y:PT(1) + PT(2). Qu¡ ìn gi£n rçi. Khi â biºu thùc s³ l  
 
 
 
(x + y) 
2x2 + 6xy  
3y2 + 27y + 20 
= 0 
C¡ch sè hai r§t tèt º thay th¸ c¡ch 1 trong tr÷íng hñp khæng t¼m nêi c°p nghi»m. Tuy nhi¶n 
y¸u iºm cõa nâ l  khæng ph£i h» n o dòng ành lþ công t¼m ÷ñc nghi»m. Ta ph£i bi¸t k¸t 
hñp nhu¦n nhuy¹n hai c¡ch vîi nhau. V  h¢y thû dòng c¡ch 2 l m c¡c c¥u tø 23 ¸n 29 xem. 
Nâ s³ ra nghi»m l  h¬ng sè. 
L m mët c¥u t÷ìng tü núa. Tæi n¶u luæn h÷îng gi£i. 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 25 
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 
C¥u 31 
 
x2y2 + 3x + 3y  3 = 0 
x2y  4xy  3y2 + 2y  x + 1 = 0 
Gi£i 
 
 
PT(1)  (y  1):PT(2) , (x + y  1) 
3y2 + xy  2y + 2 
= 0 
n 
TH1 :  
x = 1  y . No problem !!! 
3y2 + xy  2y + 2 = 0 
§Th2 : 
x2y  4xy  3y2 + 2y  x + 1 = 0 
¥y l¤i l  h» °c bi»t, ta t¼m ÷ñc x = 3 l  nghi»m cõa h». Thay v Tuo v  rót ra k¸t qu£ 
PT(1) + PT(2) , (x  3) (xy  1) = 0 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1); (1; 0) 
B i vi¸t v· ph÷ìng ph¡p UCT hay Minh cán gåi l  h» sè b§t ành k¸t thóc ð ¥y. Qua hìn chöc 
c¥u ta ¢ th§y : sû döng ph÷ìng ph¡p UCT n¥ng cao (t¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa c¡c ©n) l  
mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh v  r§t tèt º gi£i quy¸t nhanh gån c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. Tuy 
nhi¶n nh÷ñc iºm cõa nâ trong qu¡ tr¼nh l m l  kh¡ nhi·u. Thù nh§t : t½nh to¡n qu¡ tr¥u bá 
v  h¤i n¢o. Hiºn nhi¶n rçi, düng quan h» tuy¸n t½nh ¢ khâ, sau â cán ph£i nhåc cæng ph¥n 
t½ch mët a thùc hén ën th nh nh¥n tû. Thù hai, n¸u sû döng nâ mët c¡ch th¡i qu¡ s³ khi¸n 
b£n th¥n trð n¶n thüc döng, m¡y mâc, khæng chàu m y má suy ngh¾ m  cù nh¼n th§y l  lao 
¦u v o UCT, câ kh¡c g¼ lao n ¦u v o ¡ khæng ? 
Mët c¥u häi °t ra. Li»u UCT câ n¶n sû döng trong c¡c k¼ thi, kiºm tra hay khæng ? Xin 
Nguyth÷a, trong nhúng · ¹VMO, còng l­m þ t÷ðng cõa hå l  dòng UCT d¤ng cì b£n, tùc l  nh¥n 
h¬ng sè thæi. UCT d¤ng cì b£n th¼ tæi khæng nâi l m g¼ chù UCT d¤ng n¥ng cao th¼ tèt nh§t 
khæng n¶n x i trong c¡c k¼ thi. Thù nh§t m§t r§t nhi·u thíi gian v  sùc lüc. Thù hai g¥y khâ 
kh«n v  ùc ch¸ cho ng÷íi ch§m, hå ho n to n câ thº g¤ch bä to n bë m°c dò câ thº b¤n l m 
óng. Vªy n¶n : CÒNG ×ÍNG LM RÇI MÎI DÒNG NH’ !! :D 
¥y câ l³ l  b i vi¸t lîn nh§t m  tæi k±m v o trong cuèn s¡ch. Trong nhúng c¥u ti¸p theo 
tæi s³ c i nhúng b i vi¸t nhä hìn v o. ân xem nh². Nhúng c¥u ti¸p theo câ thº cán mët sè 
c¥u sû döng ph÷ìng ph¡p UCT. Vªy n¶n n¸u th­c m­c cù quay trð l¤i tø c¥u 20 m  xem. T¤m 
thíi g¡c l¤i , ta ti¸p töc ¸n vîi nhúng c¥u ti¸p theo. 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
26 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 32 
 
x5 + y5 = 1 
x9 + y9 = x4 + y4 
Gi£i 
Nhªn th§y rã r ng ¥y l  lo¤i h» b¡n ¯ng c§p. Ta nh¥n ch²o hai v¸ vîi nhau ÷ñc 
x9 + y9 = (x4 + y4)(x5 + y5) , x4y4(x + y) = 0 
n 
TH1 : x = 0 ) y = 1 
§TH2 : y = 0 ) x = 1 
TH3 : x = y thay v o (1) rã r ng væ nghi»m 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (0; 1) 
Tu 
x3 + 2xy2 = 12y 
C¥u 33 
8y2 + x2 = 12 
Gi£i 
L¤i th¶m mët h» còng lo¤i, nh¥n ch²Minh o hai v¸ cho nhau ta ÷ñc 
x3 + 2xy2 = y(8y2 + x2) , x = 2y 
Khi â (2) s³ t÷ìng ÷ìng 
12y2 = 12 , y = 1; x = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1); (2;1) 
Nguy¹C¥u 34 
8 
: 
x2 + y2 + 
2xy 
x + y 
= 1 
p 
x + y = x2  y 
Gi£i 
i·u ki»n : x + y  0 
Rã r ng khæng l m «n ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (2). Thû bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1) xem 
(1) , (x + y)2  1 + 
2xy 
x + y 
 2xy = 0 
, (x + y + 1)(x + y  1)  
2xy(x + y  1) 
x + y 
= 0 
Câ nh¥n tû chung rçi. Vîi x + y = 1 thay v o (2) ta ÷ñc 
1 = (1  y)2  y , y = 0; y = 3 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 27 
Gií ta x²t tr÷íng hñp cán l¤i. â l  x + y + 1 = 
2xy 
x + y 
, x + y + 1 = 1  x2  y2 , x2 + y2 + x + y = 0 
Rã r ng sai v¼ tø i·u ki»n ¢ cho ngay x + y  0 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (2; 3) 
n 
 
x3  y3 = 3(x  y2) + 2 
§C¥u 35 
p 
p 
x2 + 
1  x2  3 
2y  y2 + 2 = 0 
Gi£i 
Tui·u ki»n : 1  x  1, 0  y  2 
Th÷íng th¼ b i n y ng÷íi ta s³ l m nh÷ sau. º þ ph÷ìng tr¼nh (1) mët chót 
(1) , x3  3x = (y  1)3  3(y  1) 
X²t f(t) = t3  3t vîi 1  t  1 th¼ f0(t) = 3t2  3  0 
Suy ra f(t) ìn i»u v  tø â suy ra x = y  1 thay v o (2) 
C¡ch n y ên. Tuy nhi¶n thay v o l m Minh v¨n ch÷a ph£i l  nhanh. H¢y xem mët c¡ch kh¡c r§t mîi 
m´ m  tæi l m 
p 
p 
(2) , x2 + 
1  x2 + 2 = 3 
2y  y2 , f(x) = g(y) 
13 
X²t f(x) tr¶n mi·n [1; 1] ta s³ t¼m ÷ñc 3  f(x)  
p 
4 
y + 2  y 
Ta l¤i câ : g(y) = 3 
y(2  y)  3 
= 3 
2 
Vªy f(x)  g(y). D§u b¬ng n x£y ra khi 
y = 1 
NguyThay ¹v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ch¿ câ c°p (x; y) = (0; 1) l  thäa m¢n 
x = 1; x = 0 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1) 
 
x3  3x = y3  3y 
C¥u 36 
x6 + y6 = 1 
Gi£i 
D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh (1) c¦n x²t h m rçi, tuy nhi¶n f(t) = t33t l¤i khæng ìn i»u, c¦n ph£i 
bâ th¶m i·u ki»n. Ta s³ dòng ph÷ìng tr¼nh (2) º câ i·u ki»n. Tø (2) d¹ th§y 1  x; y  1. 
Vîi i·u ki»n â rã r ng f(t) ìn i»u gi£m v  suy ra ÷ñc x = y 
Thay v o (2) ta ÷ñc 
2x6 = 1 , x =  
1 
6 p 
2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = 
 
1 
6 p 
2 
; 
1 
6 p 
2 
 
; 
 
 
1 
6 p 
2 
; 
1 
6 p 
2 
 
 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
28 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 37 
 
x3(2 + 3y) = 1 
x(y3  2) = 3 
Gi£i 
Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
§n 
TuMinh ¹n Nguy8 
: 
3y + 1 = 
1 
x3 
3 
x 
+ 2 = y3 
) y = 
1 
x 
Thay l¤i (1) ta câ 
2x3 + 3x2  1 = 0 , 
 
x = 1 ) y = 1 
x = 
1 
2 
) y = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (1;1); 
 
1 
2 
 
 
; 2 
C¥u 38 
 
x2 + y2 + xy + 1 = 4y 
y(x + y)2 = 2x2 + 7y + 2 
Gi£i 
Sû döng UCT s³ th§y y = 0 l  nghi»m cõa h». Thay l¤i v  ta s³ câ 
2PT(1) + PT(2) , y(x + y + 5)(x + y  3) = 0 , 
2 
4 
y = 0 
x = 5  y 
x = 3  y 
Vîi y = 0 thay l¤i væ nghi»m 
Vîi x = 5  y khi â ph÷ìng tr¼nh (1) s³ t÷ìng ÷ìng 
(y + 5)2 + y2  y2  5y + 1 = 4y , V L 
T÷ìng tü vîi x = 3  y công væ nghi»m 
Vªy h» ¢ cho væ nghi»m  
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 29 
C¥u 39 
( p 
x + y  
p 
x  y = 
y 
2 
x2  y2 = 9 
Gi£i 
i·u ki»n : y  minfxg 
y 
Ta khæng n¶n °t ©n têng hi»u v¼ v¨n cán sât l¤i 
s³ l m b i to¡n khâ kh«n hìn. Mn 
ët c¡ch 
2 
trüc gi¡c ta b¼nh ph÷ìng (1) l¶n. Tø (1) ta suy ra 
p 
y2 
§2x  2 
x2  y2 = 
4 
p 
¸n ¥y nh¼n th§y 
x2  y2 theo (2) b¬ng 3. Vªy suy ra 
Tuy2 
2x  6 = 
, y2 = 8x  24 
4 
Thay v o (2) ta ÷ñc 
Minh 2 
x = 3 ) y = 0(TM) 
x2  8x + 15 = 0 , 
4 
x = 5 ) y = 4(TM) 
x = 5 ) y = 4(TM) 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 0); (5; 4); (5;4) 
C¥u 40 
¹n Nguy8 
: 
x  
p 
y + 1 = 
5 
2 
p 
x + 1 =  
y + 2(x  3) 
3 
4 
Gi£i 
i·u ki»n : x; y  1 
Khæng p 
t¼m ÷ñc mèi p 
quan h» cö thº n o. T¤m thíi ta °t ©n º d¹ nh¼n 
°t 
x + 1 = a  0; 
y + 1 = b  0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
8 
: 
a2  1  b = 
5 
2 
b2  1 + 2a(a2  4) =  
3 
4 
Ta th¸ b = 
7 
2 
 a2 tø (1) v o (2) v  câ : 
 
7 
2 
 a2 
2 
+ 2a(a2  4)  
1 
4 
= 0 , 
2 
66666664 
a = 3 ) b = 
11 
2 
(L) 
a = 2 ) b = 
1 
2 
(L) 
a = 1 ) b =  
5 
2 
(TM) 
a = 2 ) b = 
1 
2 
(L) 
) 
( 
x = 0 
y =  
3 
4 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
30 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
0; 
3 
4 
 
 
p 
x2 + y2 = 185 
C¥u 41 
Tu§n 
Minh n Nguy¹ 
(x2 + xy + y2) 
p 
x2 + y2 = 65 
(x2  xy + y2) 
Gi£i 
Tho¤t nh¼n qua th¼ th§y ¥y l  mët h» ¯ng c§p bªc 3 rã r ng. Tuy nhi¶n n¸u tinh þ ta em 
cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau s³ ch¿ cán l¤i x2 + y2 
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta câ 
p 
x2 + y2 = 250 , 
2(x2 + y2) 
p 
x2 + y2 = 5 
Khi â thay l¤i h» ta câ 
 
(25 + xy):5 = 185 
(25  xy):5 = 65 
) 
 
xy = 12 
x2 + y2 = 25 
, 
2 
664 
x = 3; y = 4 
x = 4; y = 3 
x = 3; y = 4 
x = 4; y = 3 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 4); (4; 3); (3;4); (4;3) 
C¥u 42 
8 
: 
r 
y 
x 
+ 
r 
x 
y 
= 
7 
p 
xy 
+ 1 
x 
p 
xy + y 
p 
xy = 78 
Gi£i 
i·u ki»n : xy  0 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 
: 
x + y 
p 
xy 
= 
p 
xy 
p 
xy 
7 + 
p 
xy(x + y) = 78 
°t x + y = a, 
p 
xy = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
 
a  b = 7 
ab = 78 
, 
2 
664 
 
a = 13 
 b = 6 
a = 6 
b = 13 
(L) 
, 
 
x + y = 13 
xy = 36 
, 
 
x = 9; y = 4 
x = 4; y = 9 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4); (4; 9) 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 31 
C¥u 43 
 
x3  y3 = 9 
x2 + 2y2  x + 4y = 0 
Gi£i 
Dòng UCT 
PT(1)  3:PT(3) , (x  1)3 = (y + 2)3 , x = y + 3 
n 
¸n ¥y d¹ d ng t¼m nghi»m (x; y) = (1;2); (2;1) 
§ 
8x3y3 + 27 = 18y3 
C¥u 44 
4x2y + 6x = y2 
TuGi£i 
¥y l  mët h» hay. Ta h¢y t¼m c¡ch lo¤i bä 18y3 i. V¼ y = 0 khæng l  nghi»m n¶n (2) t÷ìng 
֓ng 
72x2y2 + 108xy = 18y3 
¸n ¥y þ t÷ðng rã r ng rçi chù ? ThMinh ¸ 18y3 tø (1) xuèng v  ta thu ÷ñc 
2 
8x3y3  72x2y2  108xy + 27 = 0 , 
¹n Nguy666664 
xy =  
3 
2 
xy = 
p 
5 
4 
21  9 
xy = 
p 
5 
4 
21 + 9 
Thay v o (1) ta s³ t¼m ÷ñc y v  x 
) 
2 
66664 
y = 0(L) 
r 
y = 3 
8(xy)3 + 27 
18 
=  
3 
2 
p 
 
) x = 
5  3 
1 
4 
 
3  
 
p 
5 
r 
y = 3 
8(xy)3 + 27 
18 
= 
3 
2 
 
3 + 
 
) x = 
p 
5 
1 
4 
 
3 + 
 
p 
5 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
1 
4 
 
3  
 
; 
p 
5 
3 
2 
p 
 
5  3 
; 
 
1 
4 
 
3 + 
 
; 
p 
5 
3 
2 
 
3 + 
 
 
p 
5 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
32 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 45 
8 
: 
(x + y) 
 
1 + 
1 
xy 
 
= 5 
(x2 + y2) 
 
1 + 
1 
x2y2 
 
= 9 
Gi£i 
i·u ki»n : xy= 60 
n 
Ta cù nh¥n ra ¢. H» t÷ìng ÷ìng 
Tu§Minh ¹n Nguy8 
: 
x + y + 
1 
x 
+ 
1 
y 
= 5 
x2 + y2 + 
1 
x2 + 
1 
y2 = 9 
, 
8 
: 
 
x + 
1 
x 
 
+ 
 
y + 
1 
y 
 
= 5 
 
x + 
1 
x 
2 
+ 
 
y + 
1 
y 
2 
= 13 
, 
2 
64 
x + 
1 
x 
= 2; y + 
1 
y 
= 3 
x + 
1 
x 
= 3; y + 
1 
y 
= 2 
, 
2 
64 
x = 1; y = 
p 
5 
2 
3  
x = 
p 
5 
2 
3  
; y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
  
1; 
p 
5 
2 
3  
! 
; 
  
3  
p 
5 
2 
! 
 
; 1 
C¥u 46 
 
x2 + y2 + x + y = 18 
x(x + 1)y(y + 1) = 72 
Gi£i 
Mët b i °t ©n têng t½ch công kh¡ ìn gi£n 
°t x2 + x = a, y2 + y = b. Ta câ 
 
a + b = 18 
ab = 72 
, 
 
a = 12; b = 6 
a = 6; b = 12 
, 
2 
664 
 
x2 + x = 6 
 y2 + y = 12 
x2 + x = 12 
y2 + y = 6 
, 
2 
664 
 
x = 2; x = 3 
 y = 3; y = 4 
x = 3; x = 4 
y = 2; y = 3 
Vªy h» ¢ cho câ c£ th£y 8 nghi»m  
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 33 
C¥u 47 
 
x3 + 4y = y3 + 16x 
1 + y2 = 5(1 + x2) 
Gi£i 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng  
x3  16x = y (y2  4) 
y2  4 = 5x2 
n 
Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1) s³ l  
2 
§x = 0; y = 2 
x3  16x = 5x2y , 
4 
x2  16 
y = 
5x 
TuTr÷íng hñp 2 thay v o (2) s³ l  
 
(x2  16)2 
x2  
= 1 
5x2 x = 1; y = 3 
 4 = , 
64 
, 
25x2 
x2 =  
x = 1; y = 3 
31 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 2); (0;2); (1;3); (1; 3) 
 
p 
x C¥u 48 
p 
+ 
y2  x2 = 12  y 
x 
y2  x2 = 12 
n Gi£i 
i·u kip 
»n : y2  x2 
Nguyº þ x 
y2  x2 sinh ¹ra tø vi»c ta b¼nh ph÷ìng (1). Vªy thû b¡m theo h÷îng â xem. Tø (1) 
ta suy ta 
p 
x2 + y2  x2 + 2x 
y2  x2 = (12  y)2 
, y2 + 24 = (12  y)2 , y = 5 
Thay v o (2) ta câ 
p 
x 
25  x2 = 12 , x = 3; x = 4 
èi chi¸u l¤i th§y thäa m¢n 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 5); (4; 5) 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
34 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 49 
 
x4  4x2 + y2  6y + 9 = 0 
x2y + x2 + 2y  22 = 0 
Gi£i 
º þ n¸u °t x2 = a th¼ h» ¢ cho bi¸n th nh h» tam thùc bªc 2 ta ho n to n ¢ bi¸t c¡ch 
gi£i. Cö thº ð ¥y s³ l  
n 
PT(1) + 2:PT(2) , (x2 + y)2  2(x2 + y)  35 = 0 
§TH1 : x2 + y = 7 , x2 = 7  y thay (2) ta câ 
 
y = 3 ) x = 2 
(7  y)y + 7  y + 2y  22 = 0 , 
Tup 
y = 5 ) x =  
2 
TH2 : x2 + y = 5 , x2 = 5  y. Ho n to n t÷ìng p 
tü thay (p 
2) s³ cho y væ nghi»m 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3); (2; 3); ( 
2; 5); ( 
2; 5) 
C¥u 50 
Minh n Nguy¹8 
: 
x2 + y + x3y + xy + y2x =  
5 
4 
x4 + y2 + xy(1 + 2x) =  
5 
4 
Gi£i 
¥y l  c¥u Tuyºn sinh khèi A - 2008. Mët c¡ch tü nhi¶n khi g°p h¼nh thùc n y l  ta ti¸n h nh 
nhâm c¡c sè h¤ng l¤i 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 
: 
(x2 + y) + xy + (x2 + y)xy =  
5 
4 
(x2 + y)2 + xy =  
5 
4 
¸n ¥y h÷îng i ¢ rã r ng. °t x2 + y = a, xy = b ta câ 
8 
: 
a + b + ab =  
5 
4 
a2 + b =  
5 
4 
, 
2 
64 
a = 0; b =  
5 
4 
a =  
1 
2 
; b =  
3 
2 
, 
2 
6666664 
( 
x2 + y = 0 
xy =  
5 
4 8 
: 
x2 + y =  
1 
2 
xy =  
3 
2 
, 
2 
64 
r 
x = 3 
5 
4 
r 
; y =  3 
25 
16 
x = 1; y =  
3 
2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 
  
r 
3 
5 
4 
r 
; 3 
25 
16 
! 
; 
 
1; 
3 
2 
 
 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 35 
C¥u 51 
 
x2 + 1 + y(y + x) = 4y 
(x2 + 1)(x + y  2) = y 
Gi£i 
H» g¦n nh÷ ch¿ l  c¥u chuy»n cõa x2 + 1 v  x + y. Tuy nhi¶n y chen v o ¢ khi¸n h» trð n¶n 
khâ chàu. H¢y di»t y i ¢. C¡ch tèt nh§t â l  chia khi m  y = 0 khæng ph£i l  nghi»m cõa 
h». H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 
§n 
TuMinh ¹n Nguy: 
x2 + 1 
y 
+ x + y  2 = 2 
x2 + 1 
y 
(x + y  2) = 1 
H÷îng i rã r ng. °t 
x2 + 1 
y 
= a, x + y  2 = b 
H» ¢ cho trð th nh 
 
a + b = 2 
ab = 1 
, 
 
a = 1 
b = 1 
, 
 
x2 + 1 = y 
x + y = 3 
, 
 
x = 1; y = 2 
x = 2; y = 5 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 5) 
C¥u 52 
 
y + xy2 = 6x2 
1 + x2y2 = 5x2 
Gi£i 
Lo¤i h» n y khæng khâ. Þ t÷ðng ta s³ chia º bi¸n v¸ ph£i trð th nh h¬ng sè 
Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
8 
: 
y 
x2 + 
y2 
x 
= 6 
1 
x2 + y2 = 5 
, 
8 
: 
y 
x 
 
1 
x 
+ y 
 
= 6 
 
1 
x 
+ y 
2 
 2 
y 
x 
= 5 
°t 
y 
x 
= a, 
1 
x 
+ y = b. H» trð th nh 
 
ab = 6 
b2  2a = 5 
, 
 
a = 2 
b = 3 
, 
( 
y = 2x 
1 
x 
+ y = 3 
, 
 
x = 1; y = 2 
x = 
1 
2 
; y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); 
 
1 
2 
 
 
; 1 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
36 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 53 
 
x2 + 2y2 = xy + 2y 
2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2y 
Gi£i 
º þ mët chót ¥y l  h» b¡n ¯ng c§p. N¸u ta vi¸t l¤i nh÷ sau 
 
x2 + 2y2  xy = 2y 
n 
2x3 + 3xy2  3x2y = 2y2 
§Tø â ta câ 
 
 
 
2y2(x2 + 2y2  xy) = 2y 
2x3 + 3xy2  3x2y 
, 4y (y  x) 
Tu 
x2  xy + y2= 0 
TH1 : y = 0 ) x = 0 
TH2 : x = y = 0 
TH3 : x = y thay v o (1) ta ÷ñc 
 
2y2 x = y = 0 
= 2y , 
x = y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 0); (1; 1) 
 
2x2y + y3 2x4 x6 
C¥u 54 
p 
= + (x + 2) 
y + 1 = (x + 1)2 
n Gi£i 
i·u ki»n : y  1 
NguyKhai th¡c tø (1). Câ ¹v´ nh÷ l  h m n o â. Chån chia cho phò hñp ta s³ ÷ñc möc ½ch, ð ¥y 
s³ chia cho x3 v¼ x = 0 khæng l  nghi»m cõa h». PT(1) khi â s³ l  
 
y 
y 
3 
y 
2 
+ 
= 2x + x3 , 
= x , y = x2 
x 
x 
x 
Thay v o (2) ta s³ ÷ñc 
p 
 
 
 
p 
(x + 2) 
x2 + 1 = (x + 1)2 ) (x + 2)2 x2 x = 
3; y = 3(TM) 
+ 1 
= (x + 1)4 , 
p 
x =  
3; y = 3(TM) 
p 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 
3; 3) 
Ta s³ ¸n mët c¥u t÷ìng tü nâ 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 37 
C¥u 55 
 
x5 + xy4 = y10 + y6 
p 
4x + 5 + 
p 
y2 + 8 = 6 
Gi£i 
5 
i·u ki»n : x   
4 
Th§y y = 0 khæng l  nghi»m cõa h». Chia 2 v¸ cõa (1) cho y5 ta ÷ñc 
n 
 
x 
5 
x 
x 
+ 
= y5 + y , 
= y , x = y2 
§y 
y 
y 
Thay v o (2) ta ÷ñc 
p 
p 
Tu4x + 5 + 
x + 8 = 6 , x = 1 ) y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1) 
 
xy + x + 1 = 7y 
C¥u 56 
x2y2 + xy + 1 = 13y2 
Minh Gi£i 
¥y l  c¥u Tuyºn sinh khèi B - 2009. C¡c gi£i thæng th÷íng nh§t â l  chia (1) cho y, chia (2) 
cho y2 sau khi kiºm tra y = n 0 khæng ph£i l  nghi»m. Ta s³ ÷ñc 
Nguy¹8 
: 
x + 
x 
y 
+ 
1 
y 
= 7 
x2 + 
x 
y 
+ 
1 
y2 = 13 
, 
8 
: 
x + 
1 
y 
+ 
x 
y 
= 7 
 
x + 
1 
y 
2 
 
x 
y 
= 13 
, 
 
a + b = 7 
a2  b = 13 
, 
 
a = 4; b = 3 
a = 5; b = 12 
, 
2 
6666664 
8 
: 
x + 
1 
y 
= 4 
x = 3y 1 
x + 
: 
y 
8 = 5 
x = 12y 
, 
 
x = 1; y = 
1 
3 
x = 3; y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
1; 
1 
3 
 
; (3; 1) 
Ti¸p töc ta ¸n th¶m mët c¥u tuyºn sinh núa 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
38 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 57 
 
x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 
x2 + 2xy = 6x + 6 
Gi£i 
º þ thªt k¾ n¸u ta th¸ kh²o l²o xy l¶n (1) s³ ch¿ cán l¤i ph÷ìng tr¼nh ©n x. Dò s³ l  bªc 4 
nh÷ng li·u th¼ «n nhi·u. H» vi¸t l¤i 
§n 
TuMinh ¹n Nguy8 
: 
x4 + 2x2(xy) + x2y2 = 2x + 9 
6x + 6  x2 
xy = 
2 
Tø â (1) s³ t÷ìng ÷ìng 
x4 + x2(6x + 6  x2) + 
 
6x + 6  x2 
2 
2 
= 2x + 9 , 
 
x = 4 
x = 0 
) 
 
y = 
17 
4 
V L 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 
 
4; 
17 
4 
 
 
C¥u 58 
 
3 p 
1 + x + 
p 
1  y = 2 
x2  y4 + 9y = x(9 + y  y3) 
Gi£i 
i·u ki»n : y  1 
Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (1). X²t (2). º þ 1 tµo th¼ (2) câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh 
(x  y) (9  x  y3) = 0 , 
 
x = y 
x = 9  y3 
Vîi x = y thay v o (1) ta s³ ÷ñc 
3 p 
p 
1  y = 2 , 
1 + y+ 
8 
: 
a + b = 2 
a3 + b2 = 2 
b  0 
, 
2 
4 
a = 1; b = 1 
a = 1  
p 
3; b = 3 + 
p 
3 
a = 
p 
3  1; b = 3  
p 
3 
, 
2 
4 
y = 0 
y = 6 
p 
3  11 
p 
3  11 
y = 6 
Vîi x = 9  y3 thay v o (1) ta s³ ÷ñc 
3 p 
10  y3 + 
p 
1  y = 2 
Ta câ 
3 p 
10  y3 + 
p 
1  y  3 p 
9  2 
p 
3  11; 6 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (6 
p 
3  11); (6 
p 
3  11;6 
p 
3  11) 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 39 
C¥u 59 
 p 
xy + 
p 
1  y = 
p 
y 
p 
y 
2 
p 
x  1  
p 
y = 1 
Gi£i 
i·u ki»n : x  1; 0  y  1 
Tho¤t nh¼n b i to¡n ta th§y nh÷ l¤c v o m¶ cung nhúng c«n thùc. Tuy nhi¶n ch¿ vîi nhúng 
¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n ta câ thº ch²m µp b i to¡n 
n 
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) nh÷ sau 
p 
p 
p 
§2 
y 
x  1 = 
y  1 
Tø i·u ki»n d¹ th§y V T  0  V P 
D§u b¬ng x£y ra khi x = y = 1 
TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1) 
 
p 
p 
x 
17  4x2 + C¥u 60 
p p 
y 
19 Minh  9y2 = 3 
17  4x2 + 
19  9y2 = 10  2x  3y 
Gi£i 
p 
p 
p 
p 
i·u ki»n :  
17 
 x  
17 
; 
19 
 y  
19 
2 2 3 3 
B i to¡n n y xu§t hi»n tr¶n · thi thû l¦n 2 page Y¶u To¡n håc v  tæi l  t¡c gi£ cõa nâ. Þ 
t÷ðng cp 
õa nâ kh¡ ìn gi£n, phò hñp vîp 
i 1 · thi tuyp 
ºn sinh 
º þ x 
17  4x2 li¶n quan ¸n 2x v  
17  4x2, y 
19  9y2 li¶n quan ¸n 3y v  19  9y2. 
V  têng bp 
¼nh ph÷ìng cõa n chóng p 
l  nhúng h¬ng sè. §y l  cì sð º ta °t ©n 
°t 2x + 
17  4x2 ¹= a , 3x + 
19  9y2 = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
Nguy8 
: 
a + b = 10 
a2  17 
4 
+ 
b2  19 
6 
= 3 
, 
 
a = 5; b = 5 
a = 3; b = 7 
TH1 : 
 
2x + 
p 
17  4x2 = 5 
3y + 
p 
19  9y2 = 5 
$ 
8 
: 
 
x = 
1 
2 
x = 2 
y = 
5  
p 
13 
6 
TH2 : 
 
2x + 
p 
17  4x2 = 3 
3y + 
p 
19  9y2 = 7 
(Lo¤i) 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
  
1 
2 
; 
5 + 
p 
13 
6 
!  
1 
2 
; 
5  
p 
13 
6 
!  
2; 
5 + 
p 
13 
6 
!  
2; 
5  
p 
13 
6 
! 
 
V  ¥y l  þ t÷ðng gèc cõa nâ. H¼nh thùc ìn gi£n hìn mët chót 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
40 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 
C¥u 61 
 
p 
p 
p x 
5  x2 + y 
5  4y2 = 1 
5  x2 + 
p 
5  4y2 = x  2y 
Nghi»m : (x; y) = (1;1); 
§n 
TuMinh ¹n Nguy 
2; 
1 
2 
 
 
C¥u 62 
 
x3  xy2 + y3 = 1 
4x4  y4 = 4x  y 
Gi£i 
Rã r ng l  mët h» ÷a v· ÷ñc d¤ng ¯ng c§p b¬ng c¡ch nh¥n ch²o v¸ vîi v¸. Tuy nhi¶n, b i 
n y n¸u sû döng ph²p th¸ tèt ta s³ ÷a v· mët k¸t qu£ kh¡ µp m­t 
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 
4x(x3  1) = y(y3  1) 
¸n ¥y ta rót x3  1 v  y3  1 tø (1). Cö thº tø (1) ta câ 
 
x3  1 = y3  y2x 
y3  1 = xy2  x3 
Thay t§t c£ xuèng (2) v  ta thu ÷ñc 
4xy2(y  x) = xy(x2  y2) , 
2 
664 
x = 0 
y = 0 
x = y 
4y = y + x 
, 
2 
66664 
y = 1 
x = 1 
x = y = 1 
1 
y = 
3 p 
25 
; x = 
3 
3 p 
25 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1); (1; 0); (1; 1); 
 
1 
3 p 
25 
; 
3 
3 p 
25 
 
 
C¥u 63 
8 
: 
x + 
p 
x2  y2 
x  
p 
x2  y2 
+ 
x  
p 
x2  y2 
x + 
p 
x2  y2 
= 
17 
4 
x(x + y) + 
p 
x2 + xy + 4 = 52 
Gi£i 
i·u ki»n : x6=  
p 
x2  y2, x2  y2  0, x2 + xy + 4  0 
H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ khõng bè nh÷ng nhúng þ t÷ðng th¼ ¢ lë h¸t. Ta câ thº khai th¡c c£ 
2 ph÷ìng tr¼nh. Pt(1) câ nhi·u c¡ch xû l½ : ¯ng c§p, °t ©n, li¶n hñp. Tæi s³ xû l½ theo h÷îng 
sè 3. (1) khi â s³ l  
 
x + 
p 
x2  y2 
2 
x2  (x2  y2) 
+ 
 
x  
p 
x2  y2 
2 
x2  (x2  y2) 
= 
17 
4 
, 
2 (2x2  y2) 
y2 = 
17 
4 
, y =  
4x 
5 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 41 
Ti¸p töc khai th¡c (2). D¹ th§y °t 
p 
x2 + xy + 4 = t  0 th¼ (2) trð th nh 
t2 + t = 56 , 
 
t = 7 
t = 8(L) 
) x2 + xy = 45 
K¸t hñp l¤i ta ÷ñc 
( 
4 
y =  
x 
5 
, 
x2 §n 
+ xy = 45 
TuMinh ¹n Nguy2 
664 
x = 5; y = 4 
x = 5; y = 4 
x = 15; y = 12 
x = 15; y = 12 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5;4); (5; 4); (15; 12); (15;12) 
C¥u 64 
 p 
x + 
p 
y + 
p 
x  
p 
p y = 2 
p 
p 
y + 
x  
y  
p 
x = 1 
Gi£i 
i·u ki»n : x; y  0 , 
p 
y  minfxg , 
p 
x  minfyg 
Khæng t¼m ÷ñc mèi li¶n h» g¼ tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh, ta ti¸n h nh b¼nh ph÷ìng nhi·u l¦n º 
ph¡ vï to n bë c«n thùc khâ chàu. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 
2x + 2 
p 
x2  y = 4 , 
p 
x2  y = 2  x ) x2  y = x2  4x  4 , 4x  y = 4 
L m t÷ìng tü ph÷ìng tr¼nh (2) ta s³ câ : 4x  4y = 1. K¸t hñp 2 k¸t qu£ l¤i d¹ d ng t¼m 
֖c x,y 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
17 
12 
; 
5 
3 
 
 
C¥u 65 
8 
: 
x + 
2xy 
3 p 
x2  2x + 9 
= x2 + y 
y + 
2xy 
3 p 
y2  2y + 9 
= y2 + x 
Gi£i 
H¼nh thùc cõa b i h» l  èi xùng. Tuy nhi¶n biºu thùc kh¡ cçng k·nh v  l¤i nhªn x²t th§y 
x = y = 1 l  nghi»m cõa h¶. Câ l³ s³ ¡nh gi¡ 
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh l¤i ta câ 
x2 + y2 = 2xy 
  
1 
3 p 
x2  2x + 9 
+ 
1 
3 p 
y2  2y + 9 
! 
Tø â ta nhªn x²t º câ nghi»m th¼ xy  0 v  º þ l  3 p 
t2  2t + 9  2 n¶n ta ¡nh gi¡ 
x2 + y2  2xy 
 
1 
2 
+ 
1 
2 
 
, (x  y)2  0 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
42 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1) 
C¥u 66 
Tu§n 
Minh n Nguy¹( 
6 
x 
y 
 2 = 
p 
3x  y + 3y 
p 
3x + 
2 
p 
3x  y = 6x + 3y  4 
Gi£i 
i·u ki»n : y6= 0 , 3x  y, 3x + 
p 
3x  y  0 
Ph÷ìng tr¼nh (1) khi â s³ t÷ìng ÷ìng 
6x  2y = y 
p 
3x  y + 3y2 , 2 (3x  y)  y 
p 
3x  y  3y2 = 0 , 
 p 
3x  y = y 
p 
3x  y = 
3y 
2 
TH1 : 
p 
3x  y = y. Tø ¥y suy ra y  0 v  3x = y2 + y thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc 
p 
y2 + y  y = 2 
2 
 
y2 + y 
 
+ 3y  4 , 
 
2y2 + 7y  4 = 0 
y  0 
, y = 4 ) x = 4 
TH2 : 
p 
3x  y = 
3y 
2 
. Tø ¥y suy ra y  0 v  3x = 
9y2 
4 
+ y thay t§t c£ v o (2) ta công s³ t¼m 
֖c y = 
8 
9 
) x = 
8 
9 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 4); 
 
8 
9 
; 
8 
9 
 
 
C¥u 67 
 
p 
2  x  2y 
(3  x) 
p 
2y  1 = 0 
3 p 
p 
y + 2 = 5 
x + 2 + 2 
Gi£i 
i·u ki»n : x  2; y  
1 
2 
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 
p 
2  x + 
(2  x) 
p 
2y  1 + 
p 
2  x = (2y  1) 
p 
2y  1 , f( 
p 
2y  1) 
p 
2x  1) = f( 
Vîi f(x) = x3 + x ìn i»u t«ng. Tø â suy ra 
p 
2  x = 
p 
2y  1 , x = 3  2y thay v o (2) 
ta câ 
3 p 5  2y + 2 
p 
y + 2 = 5 , 
 
a + 2b = 5 
a3 + 2b2 = 9 
, 
2 
6664 
a = 1; b = 2 
a = 
p 
65 
4 
3  
; b = 
p 
65 
8 
23 + 
a = 
p 
65  3 
4 
; b = 
p 
65 
8 
23  
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 43 
, 
2 
6664 
y = 2 
y = 
233 + 23 
p 
65 
32 
y = 
p 
65 
233  23 
32 
Vªy h» ¢ cho câ   
nghi»m 
p 
p 
!  
p 
p 
! 
23 
65  185 
233  23 
65 
23 
65 + 185 
233 + 23 
65 
(x; y) = (1; 2); 
; 
 
; 
 
16 
32 
16 
32 
n 
Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè công l  mët h÷îng kh¡ phê bi¸n trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh. 
Ch¿ c¦n kh²o l²o nh¼n ra d¤ng cõa h m, ta câ thº rót ra nhúng i·u k¼ di»u tø nh§úng ph÷ìng 
tr¼nh khæng t¦m th÷íng chót n o 
Tu p 
p 
1 + xy + 
1 + x + y = 2 
C¥u 68 
x2y2  xy = x2 + y2 + x + y 
Gi£i 
i·u ki»n : xy  1 , x + y  1 
Mët chót bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2) ta Minh s³ ÷ñc 
 
x2y2 y)2 x + y = xy 
+ xy = (x + + x + y , (xy  x  y)(xy + x + y + 1) = 0 , 
x + y = xy  1 
TH1 : xy = x + y thay v o (1) ta ÷ñc 
p 
2 
1 + xy = 2 , xy = 0 , x = y = 0 
TH2 : x + y = xy  1 thay n v o (1) ta ÷ñc 
p 
p 
1 + xy + 
xy = 2(V L) 
NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (0; 0) 
C¥u 69 
8 
: 
x + 
3x  y 
x2 + y2 = 3 
y  
x + 3y 
x2 + y2 = 0 
Gi£i 
Tæi khæng nh¦m th¼ b i to¡n n y ¢ xu§t hi»n tr¶n THTT, tuy nh¼n h¼nh thùc cõa h» kh¡ µp 
m­t v  gån nhµ nh÷ng khæng h· d¹ gi£i mët chót n o. H÷îng l m tèi ÷u cõa b i n y â l  phùc 
hâa. Düa v o þ t÷ðng h» kh¡ èi xùng çng thíi d÷îi m¨u nh÷ l  b¼nh ph÷ìng cõa Moun m  
ta sû döng c¡ch n y. H÷îng gi£i nh÷ sau 
PT(1)+i.PT(2) ta s³ ÷ñc 
x + yi + 
3(x  yi)  (xi + y) 
x2 + y2 = 0 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
44 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
°t z = x + yi khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh 
z + 
3z  iz 
jzj2 = 3 , z + 
3z  iz 
z:z 
= 3 , z + 
3  i 
z 
= 3 , 
 
z = 2 + i 
z = 1  i 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (1;1) 
H¼nh thùc cõa nhúng b i h» n y kh¡ d¹ nhªn th§y. Thû l m mët sè c¥u t÷ìng tü nh². 
§n 
C¥u 70 
TuMinh ¹n Nguy8 
: 
x + 
5x + 7 
p 
5y 
x2 + y2 = 7 
y + 
p 
5x  5y 
x2 + y2 = 0 
7 
C¥u 71 
8 
: 
x + 
5x  y 
x2 + y2 = 3 
y  
x + 5y 
x2 + y2 = 0 
C¥u 72 
8 
: 
x + 
16x  11y 
x2 + y2 = 7 
y  
11x + 16y 
x2 + y2 = 0 
C¥u 73 
 
(6  x)(x2 + y2) = 6x + 8y 
(3  y)(x2 + y2) = 8x  6y 
Gñi þ : Chuyºn h» ¢ cho v· d¤ng 
8 
: 
x + 
6x + 8y 
x2 + y2 = 6 
y + 
8x  6y 
x2 + y2 = 3 
Nghi»m : (x; y) = (0; 0); (2; 1); (4; 2) 
Phùc hâa l  mët ph÷ìng ph¡p kh¡ hay º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh mang t½nh ¡nh è cao. Khæng 
ch¿ vîi lo¤i h» n y m  trong cuèn s¡ch tæi s³ cán giîi thi»u mët v i c¥u h» kh¡c công sû döng 
phùc hâa kh¡ µp m­t. 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 45 
C¥u 74 
 
4x2y2  6xy  3y2 = 9 
6x2y  y2  9x = 0 
Gi£i 
¥y l  mët b i to¡n công kh¡ µp m­t. Th§y x = 1 l  nghi»m cõa h» . Ta suy ra 
PT(1) + PT(2) , (x  1)(4y2(x + 1) + 6xy  9) = 0 
n 
TH1 : x = 1 ) y = 3 
TH2 : 4y2(x + 1) + 6xy  9 = 0 
§V¼ x = 0 khæng l  nghi»m. Suy ra 4y2x(x + 1) + 6x2y  9x = 0 (*) 
V¼ sao nh¥n x v o §y. UCT ch«ng ? Tæi ch¿ giîi thi»u cho c¡c b¤n UCT n¥ng cao thæi chù 
tæi ch£ dòng bao gií. L½ do ch¿ ìn gi£n tæi muèn xu§t hi»n 6x2y  Tu9x = y2 tø (2) thæi 
Vªy (*) , 4y2x(x + 1) + y2 = 0 , y2(2x + 1)2 = 0 
TH1 : y = 0 væ nghi»m 
1 
3 
TH2 : x =  
) y = 3; y =  
2 
2 
Minh  
 
 
 
1 
1 
3 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3); 
 
; 3 
; 
 
; 
 
2 
2 
2 
C¥u 75 
¹n Nguy8 
: 
x2 
(y + 1)2 + 
y2 
(x + 1)2 = 
1 
2 
3xy = x + y + 1 
Gi£i 
i·u ki»n x; y6= 1 
B i to¡n n y câ kh¡ nhi·u c¡ch gi£i. Tæi xin giîi thi»u c¡ch µp ³ nh§t cõa b i n y 
p döng B§t ¯ng thùc AM  GM cho v¸ tr¡i cõa (1) ta câ 
V T  
2xy 
(x + 1)(y + 1) 
= 
2xy 
xy + x + y + 1 
= 
2xy 
xy + 3xy 
= 
1 
2 
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1); 
 
 
1 
3 
; 
1 
3 
 
 
C¥u 76 
 
3y2 + 1 + 2y(x + 1) = 4y 
p 
x2 + 2y + 1 
y(y  x) = 3  3y 
Gi£i 
i·u ki»n : x2 + 2y + 1  0 
Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (2). Thû bi¸n êi (1) xem sao. PT(1) t÷ìng ÷ìng 
4y2  4y 
p 
x2 + 2y + 1 + x2 + 2y + 1 = x2  2xy + y2 , 
 
2y  
p 
x2 + 2y + 1 
2 
= (x  y)2 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
46 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
, 
 p 
px2 + 2y + 1 = 3y  x 
x2 + 2y + 1 = x + y 
Câ v´ hìi £o nh¿ ? Nh÷ng º þ mët chót th¼ (1) câ vâc d¡ng cõa c¡c h¬ng ¯ng thùc n¶n ta 
ngh¾ ¸n h÷îng n y 
B¥y gií xû l½ hai tr÷íng hñp kia th¸ n o ? Ch­c b¼nh ph÷ìng thæi. Tèt qu¡ ! Ph÷ìng tr¼nh s³ 
ch¿ cán l¤i xy v  y m  nhúng c¡i â th¼ (2) ¢ câ c£ 
TH1 : 
p 
x2 + 2y + 1 = 3y  x 
 
n 
3y  x 
, 
, 
x2 + 2y + 1 = 9y2  6xy + x2 Tu§Minh n Nguy¹8 
: 
3y  x 
6xy = 9y2  2y  1 
xy = y2 + 3y  3(2) 
, 
 
x = 1; y = 1(TM) 
x = 
415 
51 
; y = 
17 
3 
(TM) 
TH2 : 
p 
x2 + 2y + 1 = x + y 
, 
 
x + y  0 
x2 + 2y + 1 = x2 + 2xy + y2 , 
8 
: 
x + y  0 
2xy = y2 + 2y + 1 
xy = y2 + 3y  3 
, 
 
x = 1; y = 1 
x = 
41 
21 
; y =  
7 
3 
(L) 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 
 
415 
51 
; 
17 
3 
 
 
Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t. Tam thùc bªc hai câ kh¡ nhi·u ùng döng trong gi£i to¡n v  h» công 
khæng ph£i l  ngo¤i l». Ch¿ vîi nhúng ¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n : °t i·u ki»n cõa  º tam 
thùc câ nghi»m m  ta câ thº t¼m ra cüc trà cõa c¡c ©n. Tø â ¡nh gi¡ v  gi£i quy¸t nhúng 
b i to¡n m  c¡c ph÷ìng ph¡p thæng th÷ìng công bâ tay. Lo¤i h» sû döng ph÷ìng ph¡p n y 
th÷íng cho d÷îi hai d¤ng ch½nh. Thù nh§t : cho mët ph÷ìng tr¼nh l  tam thùc, mët ph÷ìng 
tr¼nh l  têng ho°c t½ch cõa hai h m f(x) v  g(y). Thù hai : cho c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ·u l  
ph÷ìng tr¼nh bªc hai cõa 1 ©n n o â. H¢y thû l÷ît qua mët chòm h» lo¤i n y nh². 
C¥u 77 
( 
x4 + y2 = 
698 
81 
x2 + y2 + xy  3x  4y + 4 = 0 
Gi£i 
H¼nh thùc cõa h» : mët ph÷ìng tr¼nh l  tam thùc bªc hai mët câ d¤ng f(x) + g(y) v  mët sè 
kh¡ khõng bè. Ta h¢y khai th¡c ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng c¡ch ¡nh gi¡  
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) d÷îi d¤ng sau 
 
x2 + (y  3)x + (y  2)2 = 0() 
y2 + (x  4)y + x2  3x + 4 = 0() 
º (*) câ nghi»m th¼ x  0 , (y  3)2  4(y  1)2  0 , 1  y  
7 
3 
º (**) câ nghi»m th¼ y  0 , (x  4)4  4(x2  3x + 4)  0 , 0  x  
4 
3 
Tø i·u ki»n ch°t cõa hai ©n gií ta x²t (1) v  câ mët ¡nh gi¡ nh÷ sau 
x4 + y2  
 
4 
3 
4 
+ 
 
7 
3 
2 
= 
697 
81 
 
698 
81 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 47 
Vªy h» ¢ cho væ nghi»m  
Thû mët c¥u t÷ìng tü nh² 
( 
50 
x3 + y2 = 
C¥u 78 
27 
x2 + xy + y2  y = 1 
§n 
Gi£i 
49 
50 
L m t÷ìng tü v  tø (1) ta s³ rót ra x3 + y2  
 
27 
27 
Tu 
(2x2  3x + 4)(2y2  3y + 4) = 18 
C¥u 79 
x2 + y2 + xy  7x  6y + 14 = 0 
Gi£i 
H¼nh thùc kh¡ quen thuëc nh÷ng ph÷ìng tr¼nh ¦u cho ð d¤ng f(x):f (y). Ch£ sao ! Cù l m 
nh÷ ban n¢y. 
Minh Tø ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng ¡nh gi¡ quen thuëc ta rót ra 
¹n Nguy8 
: 
2  x  
10 
3 
1  y  
7 
3 
i·u ki»n tr¶n õ º f(x) v  f(y) ìn i»u t«ng v¼ f0(x) = 4x  3  0 vîi x nh÷ tr¶n 
Vªy ta câ 
f(2):f (1)  f(x):f (y)  f 
 
10 
3 
 
:f 
 
7 
3 
 
, 18  f(x):f (y)  
10366 
81 
D§u b¬ng x£y ra khi x = 2 v  y = 1 thay l¤i v o (2) th§y khæng thäa. 
Vªy h» ¢ cho væ nghi»m  
C¥u 80 
( 
(2x2  1)(2y2  1) = 
7 
2 
xy 
x2 + y2 + xy  7x  6y + 14 = 0 
Gi£i 
Mët chót bi¸n êi ta s³ ÷a v· gièng c¥u 79 
Nhªn th§y x = y = 0 khæng l  nghi»m cõa h». Chia c£ 2 v¸ ph÷ìng tr¼nh (1) cho xy v  ta s³ 
֖c  
2x  
1 
x 
 
2y  
1 
y 
 
= 
7 
2 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
48 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
Quen thuëc rçi nh¿. B i n y v¨n væ nghi»m  
C¥u 81 
 
x2y2  2x + y2 = 0 
2x2  4x + 3 + y3 = 0 
Gi£i 
n 
H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gån nhµ nh÷ng khæng d¹ g¼ gi£i ÷ñc b¬ng c¡c c¡ch th§æng th÷íng. 
Nh÷ng º þ c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u l  bªc hai vîi ©n x. Vªy n¶n gi£ sû câ nghi»m x th¼ rã 
r ng x  0 
Nh÷ vªy tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh ta câ 
 
 
Tu1  y4  0 
1  y  1 
, 
) y3) y = 1 
4  2(3 +  0 
y  1 
Thay l¤i v  ta s³ t¼m ÷ñc x = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1) 
OK ? Tæi s³ ÷a th¶m 3 v½ dö núa º Minh c¡c b¤n test 
 
x2  2x + 2  y2 = 0 
C¥u 82 
x2y3  2x + y = 0 
Nghi»m : (x; y) = (1; 1) 
n  
Nguyx2y2  x2 + 4y2  12x = 4 
C¥u 83 
2x2 + ¹2y2  8x + 9y + 18 = 0 
Nghi»m : (x; y) = (2;2) 
 
x2y2  8x + y2 = 0 
C¥u 84 
2x2  4x + 10 + y3 = 0 
Nghi»m : (x; y) = (1;2) 
N­m rã rçi chù ? Ti¸p töc ¸n vîi c¡c c¥u ti¸p theo. 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 49 
C¥u 85 
 
(x + 1)(y + 1) + 1 = (x2 p 
+ x + 1)(y2 + y + 1) 
x3 + 3x + (x3  y + 4) 
x3  y + 1 = 0 
Gi£i 
i·u ki»n : x3  y + 1  0 
Tho¤t nh¼n b i to¡n câ v´ d¹ d ng khi º þ mët chót th¼ (2) câ d¤ng h m sè. Tuy nhi¶n §y 
v¨n ch÷a ph£i l  nót th­t. ¥y l  mët b i to¡n y¶u c¦u kh£ n«ng xû l½ ph÷ìng tr¼nh n 
bªc cao 
tèt. Tam thíi ta xû l½ (2) tr÷îc ¢. 
p 
§°t 
x3  y + 1 = t khi â ph÷ìng tr¼nh (2) s³ l  
x3 + 3x + t3 + 3t = 0 , x3 + 3x = (t)3 + 3(t) , Tut = x 
 
x  0 
, 
y = x3  x2 + 1 
i·u ki»n x  0 kh¡ quan trång. Nâ gióp ta câ ¡nh gi¡ tèt hìn sau ¥y 
PT(1) , 1 = x2y + x2 + y2x + y2 + x2y2 
, 1 = x2(x3  x2 + 1) + x2 + Minh x(x3  x2 + 1)2 + (x3  x2 + 1)2 + x2(x3  x2 + 1)2 
, x8  x7 + 2x5 + x2 + x = 0 
TH1 : x = 0 ) y = 1 (TM) 
TH2 : x7 + 2x4 + x = x6  1 
 
x(x3 1)2 (x3 1)(x3 x = 1 ! y = 1(TM) 
, + =  + 1) , 
x4  x3 + x + 1 = 0() 
n 1 
1 
1 
() , x4 + x + 1 = x3 , x4  x2 + 
+ x2 + x + 
+ 
= x3 
4 
4 
2 
 
 
1 
2 
1 
2 
1 
Nguy¹, 
x2  
+ 
x + 
+ 
= x3 
2 
2 
2 
Do V T  0  V P n¶n væ nghi»m 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); (1;1) 
 
p 
x3(4y2 + 1) p 
+ 2(x2 + 1) 
x = C¥u 86 
p 
6 
x2y(2 + 2 
4y2 + 1) = x + 
x2 + 1 
Gi£i 
i·u ki»n : x  0 
H¼nh thùc cõa b i h» rã r ng l  kh¡ r­c rèi. Tuy nhi¶n, º þ ð (2) n¸u ta chia c£ 2 v¸ cho x2 
th¼ s³ cæ lªp ÷ñc x v  y v  hi vång s³ ra ÷ñc i·u g¼. 
Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. Chia 2 v¸ cõa (2) cho x2 ta ÷ñc 
2y + 2y 
p 
4y2 + 1 = 
1 
x 
+ 
1 
x 
r 
1 
x2 + 1 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
50 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
p 
t2 + 1 v  h m n y ìn i»u t«ng. Vªy tø â ta suy ra 
Rã r ng 2 v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + t 
֖c 2y = 
1 
x 
thay v o (1) ta câ 
x3 
 
1 
x2 + 1 
 
+ 2(x2 + 1) 
p 
x = 6 
p 
, x3 + x + 2(x2 + 1) 
x = 6 
n 
Rã r ng v¸ tr¡i ìn i»u t«ng vîi i 
·u ki 
»n cõa x. Vªy x = 1 l  nghi»m duy nh§t 
1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
1; 
 
Tu§2 
 p 
p 
p 7x + y + 
2x + y = 5 
C¥u 87 
2x + y + x  y = 2 
Gi£i 
¥y l  c¥u trong · VMO 2000-2001. Khæng h¯n l  mët c¥u qu¡ khâ 
i·u ki»n : y  minf2x;7xg 
p 
Minh p 
Xu§t hi»n hai c«n thùc vªy thû °t 
7x + y = a , 
2x + y = b xem 
Nh÷ng cán x  y th¼ th¸ n o ? Ch­c s³ li¶n quan ¸n a2; b2. Vªy ta sû döng çng nh§t thùc 
3 
8 
x  y = k(7x + y) + l(2x + y) , k = 
; l =  
5 
5 
Vªy h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
¹n Nguy8 
: 
a + b = 5 
b + 
3a2 
5 
 
8b2 
5 
= 2 
a; b  0 
, 
8 
: 
a = 
p 
77 
2 
15  
b = 
p 
77  5 
2 
, 
8 : 
7x + y = 
p 
77 
151  15 
2 
2x + y = 
p 
77 
2 
51  5 
, 
8 
: 
x = 10  
p 
77 
y = 
p 
77 
2 
11  
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
  
10  
p 
77; 
p 
77 
2 
11  
! 
 
Mët c¡ch kh¡c công kh¡ tèt. °t 
p 
7x + y = a; 
p 
2x + y = b v  ta x¥y düng mët h» t¤m sau 
 
a + b = 5 
a2  b2 = 5x 
, 
 
a + b = 5 
a  b = x 
, b = 
5  x 
2 
Thay v o (2) v  ta ÷ñc 
5  x 
2 
+ x  y = 2 , x = 2y  1 
¸n ¥y thay l¤i v o (2) v  ta công ra k¸t qu£ 
Mët v½ dö t÷ìng tü cõa b i n y 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 51 
C¥u 88 
 p 
11x  y  
p 
y  x = 1 
p 
y  x + 6y  26x = 3 
7 
Nghi»m : (x; y) = 
 
37 
20 
; 
81 
10 
 
 
§n 
C¥u 89 
TuMinh ¹n Nguy8 
: 
p 
3x 
 
1 + 
1 
x + y 
 
= 2 
p 
7y 
 
1  
1 
x + y 
 
p 
2 
= 4 
Gi£i 
¥y l  c¥u trong · VMO 1995-1996. Mët þ t÷ðng kh¡ µp m­t m  s¡ng t¤o 
i·u ki»n : x; y  0; x + y  0 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
8 
: 
1 + 
1 
x + y 
= 
2 
p 
3x 
1  
1 
x + y 
= 
p 
4 
2 
p 
7y 
, 
8 
: 
1 
x + y 
= 
1 
p 
3x 
 
p 
2 
2 
p 
7y 
1 = 
1 
p 
3x 
+ 
p 
2 
2 
p 
7y 
, 
1 
x + y 
= 
  
1 
p 
3x 
 
p 
2 
2 
p 
7y 
!  
1 
p 
3x 
+ 
p 
2 
2 
p 
7y 
! 
, 
1 
x + y 
= 
1 
3x 
 
8 
7y 
, 21xy = (x + y)(7y  3x) 
, (y  6x)(7y + 4x) = 0 , y = 6x 
Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc 
1 + 
1 
7x 
= 
2 
p 
3x 
, x = 
11 + 4 
p 
7 
21 
) y = 
22 
7 
+ 
8 
p 
7 
Mët p 
c¡ch kh¡c câ thº sû döng trong b i n y â l  phùc hâa. Nâ mîi xu§t hi»n g¦n ¥y 
p 
°t 
x = a  0 , 
y = b  0. Ta câ h» mîi nh÷ sau 
8 
: 
a + 
a 
a2 + b2 = 
2 
p 
3 
b  
b 
a2 + b2 = 
p 
2 
p 
7 
4 
PT(1) + i:PT(2) , (a + bi) + 
a  bi 
a2 + b2 = 
2 
p 
3 
+ 
p 
2 
p 
7 
4 
i 
°t z = a + bi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh 
z + 
1 
z 
= 
2 
p 
3 
+ 
p 
2 
p 
7 
4 
i ) z ) a; b ) x; y 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
52 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
  
11 + 4 
p 
7 
21 
; 
22 
7 
+ 
8 
p 
7 
! 
 
B i h» n y câ kh¡ nhi·u dà b£n phong phó. Tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n 
C¥u 90 
Tu§n 
Minh n Nguy¹8 
: 
p 
x 
3 
 
1 + 
6 
x + y 
 
= 
p 
2 
p 
y 
 
1  
6 
x + y 
 
= 1 
Nghi»m : (x; y) = (8; 4) 
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 
C¥u 91 
8 
: 
p 
x 
 
1  
12 
y + 3x 
 
= 2 
p 
y 
 
1 + 
12 
y + 3x 
 
= 6 
p 
3; 12 + 6 
Nghi»m : (x; y) = (4 + 2 
p 
3) 
C¥u 92 
8 
: 
p 
10x 
 
1 + 
3 
5x + y 
 
= 3 
p 
y 
 
1  
3 
5x + y 
 
= 1 
Nghi»m : (x; y) = 
 
2 
5 
 
 
; 4 
C¥u 93 
8 
: 
4 p 
x 
 
1 
4 
+ 
p 
x + 
2 
p 
y 
x + y 
 
= 2 
4 p 
y 
 
1 
4 
 
p 
x + 
2 
p 
y 
x + y 
 
= 1 
Ti¸p theo ta ¸n mët v i v½ dö v· sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 53 
C¥u 94 
 
x 
p 
1  y2 + y 
p 
1  x2 = 1 
(1  x)(1 + y) = 2 
Gi£i 
i·u ki»n : jxj  1 , jyj  1 
h 
i 
 
 
i·u ki»n n y cho ta þ t÷ðng l÷ñng gi¡c hâa. °t x = sina , y = sinb vîi a; b 2 
 
; 
2 
2 
n 
Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng 
 
sinacosb + sinbcosa = 1 , sin(a + b) = 1 , a + b = 
§2 
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 
 
Tu 
 
a =  
b =  
(1  sina)(1 + sinb) = 2 , (1  sina)(1 + cosa) = 2 , 
2 
, 
 
a = 0 
b = 
2 
 
x = 1; y = 0(L) 
, 
x = 0; y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; Minh 1) 
 
2y = x(1  y2) 
C¥u 95 
3x  x3 = y(1  3x2) 
Gi£i 
Tho¤t nh¼n ta th§y câ v´ hn » n y công xo ng, ch£ câ g¼ khi vi¸t nâ d÷îi d¤ng 
 
xy2 = x  2y 
Nguy¹x3  3x2y = 3x  y 
÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p, nh÷ng c¡i ch½nh ð ¥y l  nghi»m nâ qu¡ l´. Vªy thû h÷îng kh¡c 
xem. Vi¸t l¤i h» ¢ cho sau khi ¢ x²t 
8 
: 
x = 
2y 
1  y2 
y = 
3x  x3 
1  3x2 
Nh¼n biºu thùc v¸ ph£i câ quen thuëc khæng ? R§t gièng cæng thùc l÷ñng gi¡c nh¥n æi v  
nh¥n ba cõa tan. Vªy þ  
t÷ðng ¢ n£y ra 
°t x = tan vîi  2 
 
 
2 
; 
 
2 
 
. Tø PT(2) ta s³ câ 
y = 
3 tan   tan3 
1  3tan2 
= tan 3 
M  nh÷ th¸ theo (1) ta s³ câ 
x = 
2 tan 3 
1  tan23 
= tan 6 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
54 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
Tø â suy ra 
tan  = tan 6 ,  = 
k 
5 
,  = 
 
 
2 
5 
; 
 
5 
; 0; 
 
5 
; 
2 
5 
 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
tan 
2 
5 
; tan 
6 
5 
 
; 
 
tan 
 
5 
; tan 
3 
5 
 
; (0; 0) 
L m mët b i t÷ìng tü nh². 
§n 
C¥u 96 
TuMinh ¹n Nguy8 
: 
y = 
3x  x3 
1  3x2 
x = 
3y  y3 
1  3y2 
Sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh c¦n ph£i n­m rã c¡c h¬ng 
¯ng thùc, ¯ng thùc, cæng thùc l÷ñng gi¡c, v  c¦n mët nh¢n quan tèt º ph¡t hi»n mët biºu 
thùc n o â gièng vîi mët cæng thùc l÷ñng gi¡c. 
C¥u 97 
 
x3y(1 + y) + x2y2(2 + y) + xy3  30 = 0 
x2y + x(1 + y + y2) + y  11 = 0 
Gi£i 
¥y l  mët h» kh¡ m¤nh nh÷ng hay. Nh¼n v o 2 ph÷ìng tr¼nh ta th§y c¡c bi¸n k¸t d½nh vîi 
nhau kh¡ tèt v  h¬ng sè câ v´ nh÷ ch¿ l  k´ ùng ngo i. Vªy h¢y vùt h¬ng sè sang mët b¶n v  
thüc hi»n bi¸n êi v¸ tr¡i. H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
 
xy(x + y)(x + y + xy) = 30 
xy(x + y) + x + y + xy = 11 
¸n ¥y þ t÷ðng ¢ rã r ng. °t a = xy(x + y) , b = xy + x + y v  h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
 
ab = 30 
a + b = 11 
, 
 
a = 5; b = 6 
a = 6; b = 5 
, 
2 
664 
 
xy(x + y) = 5 
 xy + x + y = 6 
xy(x + y) = 6 
xy + x + y = 5 
TH1 : 
 
xy(x + y) = 6 
xy + x + y = 5 
, 
2 
664 
 
xy = 2 
 x + y = 3 
xy = 3 
x + y = 2 
(L) 
, 
 
x = 2; y = 1 
x = 1; y = 2 
TH2 : 
 
xy(x + y) = 5 
xy + x + y = 6 
, 
2 
664 
 
xy = 5 
x + y = 1 
(L) 
 
xy = 1 
x + y = 5 
, 
2 
64 
x = 
5  
p 
21 
2 
; y = 
5 + 
p 
21 
2 
x = 
5 + 
p 
21 
2 
; y = 
5  
p 
21 
2 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 55 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2); (2; 1); 
  
5  
p 
21 
2 
; 
5  
p 
21 
2 
! 
 
T¡c gi£ cõa nâ ¢ r§t kh²o l²o trën nhi·u l¦n c¡ch °t ©n têng t½ch v o mët h», g¥y nhi·u khâ 
kh«n cho ng÷íi l m 
§n 
C¥u 98 
TuMinh ¹n Nguy8 
: 
r 
sin2x + 
1 
sin2x 
+ 
r 
cos2y + 
1 
cos2y 
= 
r 
20y 
r x + y 
sin2y + 
1 
sin2y 
+ 
r 
cos2x + 
1 
cos2x 
= 
r 
20x 
x + y 
Gi£i 
B i to¡n xu§t hi»n trong · VMO 2012-2013. H¼nh thùc b i h» câ sü kh¡c l¤ khi câ c£ h m 
l÷ñng gi¡c chen ch¥n v o. Vîi kiºu h» n y ¡nh gi¡ l  c¡ch tèt nhp 
§t 
Ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh vîi nhau v  s³ chùng minh V T  2 
10  V P 
p döng B§t ¯ng thùc Cauchy  Schwarz cho v¸ ph£i ta ÷ñc 
r 
20y 
x + y 
+ 
r 
20x 
x + y 
 
s 
2 
 
20y 
x + y 
+ 
20x 
x + y 
 
p 
10 
= 2 
p 
10 tùc l  ph£i chùng minh 
Gií ta s³ chùng minh : V T  2 
r 
sin2x + 
1 
sin2x 
+ 
r 
cos2x + 
1 
cos2x 
 
p 
10 
V T = 
s 
sin x  
1 
sin x 
2 
+ 
p 
2 
2 
+ 
s 
cos x  
1 
cos x 
2 
+ 
p 
2 
2 
 
s 
1 
sin x 
+ 
1 
cos x 
2 
 (sin x + cos x) 
+ 
 
2 
2 
p 
2 
Hiºn nhi¶n ta câ sinx + cosx  
p 
2 n¶n 
1 
sin x 
+ 
1 
cos x 
 (sin x + cos x)  
4 
sin x + cos x 
 
p 
2  
4 
p 
2 
 
p 
2 = 
p 
2 
Vªy V T  
p 
2 + 8 = 
p 
10. T÷ìng tü vîi bi¸n y v  ta câ i·u ph£i chùng minh 
¯ng thùc x£y ra khi x = y = 
 
4 
+ k2 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
56 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 99 
 
x 
p 
x  
p 
x = y 
p 
y + 8 
p 
y 
x  y = 5 
Gi£i 
i·u ki»n : x; y  0 
Æ h» n y cho mët ph÷ìng tr¼nh ìn gi£n qu¡. Th¸ th¯ng l¶n (1) ch«ng ? Khæng n¶n ! Bi¸n êi 
1 tµo ¢ rçi h¢y th¸. H÷îng bi¸n êi kh¡ ìn gi£n l  l m ph¡ vï c«n thùc 
n 
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 
p 
p 
§x(x  1) = 
y(y + 8) ) x(x  1)2 = y(y + 8)2 
¸n ¥y thüc hi»n th¸ x = y + 5 l¶n (1) v  ta ÷ñc 
Tu(y + 5)(y + 4)2 = y(y + 8)2 , y = 4 ) x = 9 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4) 
C¥u 100 
Minh n Nguy¹8 
: 
1 
p 
x 
+ 
y 
x 
= 
p 
x 
y 
2 
+ 2 
y 
p 
 
= 
x2 + 1  1 
p 
3x2 + 3 
Gi£i 
i·u ki»n : x  0; y6= 0 
Rã r ng vîi i·u ki»n n y th¼ tø (2) ta th§y ngay º câ nghi»m th¼ y  0 
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 
p 
x + y 
x 
= 
p 
x + y) 
y 
2 ( 
, 
 p 
x + y = 0(L) 
y = 2x 
Vîi y = 2x thay v o (2) ta ÷ñc 
2x 
p 
 
= 
x2 + 1  1 
p 
3x2 + 3 , 
 
2x  
p 
p 
3 
x2 + 1 = 2x , 
p 
x2 + 1 = 
2x 
2x  
p 
3 
Rã r ng vp 
¸ tr¡i ìn ip 
»u t«ng v  v¸ ph£i ìn i»u gi£m n¶n ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m duy 
nh§t x = 
3 ) y = 2 
3 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = ( 
p 
3; 2 
p 
3) 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 57 
C¥u 101 
 
y = x3 + 3x + 4 
x = 2y3  6y  2 
Gi£i 
H¼nh thùc b i h» kh¡ gån nhµ nh÷ng công õ khi¸n nhi·u ng÷íi ph£i lóng tóng. Nhªn x²t 
x = y = 2 l  nghi»m. Ta ti¸n h nh t¡ch nh÷ sau 
 
n 
y  2 = (x + 1)2(x  2) 
x  2 = (y + 1)2(y  2) 
§¸n ¥y nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ ta ÷ñc 
2(y  2)2(y + 1)2 = (x + 1)2(x  2)2 
TuD¹ th§y V T  0  V P. Ð ¥y ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 2 
 
x3  xy2 + 2000y = 0 
C¥u 102 
y3  yx2  500x = Minh 0 
Gi£i 
D¹ d ng ÷a ÷ñc v· h» ¯ng c§p. Nh÷ng ta bi¸n êi mët tµo º nâ tèi ÷u. 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
n 2 
 
x (x2  y2) = 2000y 
¹) 500x2(x2  y2) = 2000y2(x2  y2) , 
y(x2  y2) = 500x 
Nguy664 
x = y 
x = y 
x = 2y 
x = 2y 
Thay l¤i vîi méi tr÷íng hñp v o (1) v  ta ÷ñc 
2 
66664 
y = 0; x r 
= 0 
y = 10 
10 
3 
r 
; x = 20 
10 
3 
r 
y = 10 
10 
3 
r 
; x = 20 
10 
3 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); 
  
20 
r 
10 
3 
r 
;10 
10 
3 
! 
 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
58 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 103 
8 
: 
3 
x2 + y2  1 
+ 2 
y 
x 
= 1 
x2 + y2 + 4 
x 
y 
= 22 
Gi£i 
y 
Þ t÷ðng °t ©n phö ¢ rã r ng. °t x2 + y2  1 = a , 
= b . H» ¢ cho t÷ìng ÷ì§ng 
x 
n 
TuMinh ¹n Nguy8 
: 
3 
a 
+ 2b = 1 
a + 
4 
b 
= 21 
, 
2 
64 
a = 7; b = 
2 
7 
a = 9; b = 
1 
3 
, 
2 
664 
 
x2 + y2 = 8 
 2x = 7y 
x2 + y2 = 10 
x = 3y 
2 
4 y = 4 
r 
2 
53 
r 
; x = 14 
2 
53 
x = 3; y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;1) 
  
14 
r 
2 
53 
r 
;4 
2 
53 
! 
 
C¥u 104 
8 
: 
r 
x + 
1 
y 
+ 
p 
x + y  3 = 3 
2x + y + 
1 
y 
= 8 
Gi£i 
i·u ki»n : y6= 0; x + 
1 
y 
 0; x + y  3 
Þ t÷ðr 
ng °t ©n phö công ¢ kh¡ rã r ng. 
°t 
x + 
1 
y 
= a  0; 
p 
x + y  3 = b  0 . H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
 
a + b = 3 
a2 + b2 = 5 
, 
 
a = 1; b = 2 
a = 2; b = 1 
, 
2 
6666664 
8 : 
x + 
1 
y 
= 1 
x + y  3 = 4 1 
x + 
= 4 
: 
8 
y 
x + y  3 = 1 
, 
2 
664 
x = 4  
p 
10; y = 3 + 
p 
10 
x = 4 + 
p 
10; y = 3  
p 
10 
x = 3; y = 1 
x = 5; y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 1); (5;1)(4  
p 
10; 3  
p 
10) 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 59 
C¥u 105 
 
x3(2 + 3y) = 8 
x(y3  2) = 6 
Gi£i 
¥y l  mët c¥u kh¡ gièng c¥u sè 37 
Nghi»m : (x; y) = (2;1); (1; 2) 
n 
 
§2x2y + 3xy = 4x2 + 9y 
C¥u 106 
7y + 6 = 2x2 + 9x 
TuGi£i 
B i n y n¸u l÷íi ngh¾ câ thº dòng mæn vã th¸ th¦n ch÷ðng y v o PT(1). Nh÷ng h¢y dòng UCT 
ð ¥y s³ tèt hìn. 
Nhªn th§y y = 3 l  nghi»m (c¡i n y gið l¤i nh², tæi khæng gi£i th½ch núa), thay y = 3 v o h» 
ta câ  
Minh 2x2 + 9x  27 = 0 
27  2x2 + 9x = 0 
Nh÷ vªy h÷îng cõa ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh ban ¦u l¤i v  nh¥n tû y 3 s³ xu§t hi»n. Vªy 
 
 
PT(1) + PT(2) , (3  y) 
2x2 + 3x  2 
= 0 
 
 
 
 
  
p 
! 
n 16 
1 
1 
3(3  
33) 
¸n ¥y d¹ d ng gi£i ra (x; y) = 
2; 
; 
; 
; 
 
; 3 
 
7 
2 
7 
4 
Nguy 
¹x2 + 3y = 9 
C¥u 107 
y4 + 4(2x  3)y2  48y  48x + 155 = 0 
Gi£i 
¥y l  mët c¥u kh¡ hâc, khæng ph£i ai công câ thº d¹ d ng gi£i nâ ÷ñc. 
Th¸ 3y = 9  x2 tø (1) xuèng (2) ta ÷ñc 
y4 + 8xy2  12y2  16(9  x2)  48x + 155 = 0 
 
y2 y4 + 4x = 1 
, + 8xy2 + 16y2  12(y2 + 4x) + 11 = 0 , 
y2 + 4x = 11 
TH1 : 
y2 + 4x = 11 , 
 
9  x2 
3 
2 
+ 4x = 11 , x4  18x2 + 36x  18 = 0 
, x4 = 18(x  1)2 , 
 
x2  3 
p 
2x + 3 
p 
2 = 0 
x2 + 3 
p 
2 = 0 
p 
2x  3 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
60 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
, 
2 
664 
x = 
p 
2  
3 
p 
18  12 
p 
2 
p 
2 
18  12 
) y = 
p 
36  24 
p 
2  6 
12 
p 
2 
12 
x = 
p 
2  
3 
p 
2 
2 
) y = 
p 
36  24 
p 
2  6 
12 
p 
2 
12 
TH2 : 
y2 + 4x = 1 , 
§n 
TuMinh n Nguy¹ 
9  x2 
3 
2 
+ 4x = 1 , x4  18x2 + 36x + 72 = 0 
, 
 
x2  6x + 12 
  
x2 + 6x + 6 
 
= 0 , x = 3  
p 
3 ) y = 1  2 
p 
3 
Vªy h» câ c£ th£y 6 nghi»m nh÷ tr¶n  
Mët th­c m­c nhä l  ð TH2 v¼ sao x4  18x2 + 36x + 72 = (x2  6x + 12)(x2 + 6x + 6). T¡ch 
nh¥n tû kiºu g¼ hay vªy ? Casio truy nh¥n tû ch«ng ? Câ thº l­m. Nh÷ng thüc ra ph÷ìng tr¼nh 
bªc 4 ¢ câ c¡ch gi£i têng qu¡t b¬ng cæng thùc Ferrari. èi vîi v½ dö tr¶n ta l m nh÷ sau 
x4  18x2 + 36x + 72 = 0 , x4  2ax2 + a2 = (18  2a) x2  36x + a2  72 
Ta ph£i t¼m a sao cho v¸ ph£i ph¥n t½ch ÷ñc th nh b¼nh ph÷ìng. Nh÷ th¸ ngh¾a l  
182 = (18  2a) 
 
a2  72 
 
, a = 9 
Nh÷ vªy 
x4  18x2 + 36x + 72 = 0 , (x2 + 9)2 = 9(2x  1)2 , (x2  6x + 12)(x2 + 6x + 6) = 0 
Chi ti¸t v· gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4 c¡c b¤n câ thº t¼m d¹ d ng tr¶n google. Gií ta ti¸p töc c¡c 
b i h». Ti¸p theo l  mët chòm h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ d¹ nh¼n. 
C¥u 108 
8 
: 
 
x + 
p 
x2 + 1 
  
y + 
p 
y2 + 1 
 
= 1 
y + 
y 
p 
x2  1 
= 
35 
12 
Gi£i 
i·u ki»n : x2  1 
Khæng thº l m «n ÷ñc g¼ tø (2). Tø (1) ta nhªn x²t th§y hai h m gièng nhau nh÷ng chóng 
l¤i d½nh ch°t vîi nhau, khæng chàu t¡ch ríi. Vªy ta dùt chóng ra. Ph²p li¶n hñp s³ gióp ta 
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 
 
x + 
p 
x2 + 1 
  
y + 
p 
y2 + 1 
 p 
y2 + 1  y 
 
= 
p 
y2 + 1y , x+ 
p 
x2 + 1 = y + 
p 
y2 + 1 
T¡ch ÷ñc rçi nh÷ng câ v´ hai b¶n khæng cán gièng nhau núa. Khoan !! N¸u thay y2 = (y)2 
th¼ sao nh¿. Qu¡ tèt. Nh÷ vªy c£ hai v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + 
p 
t2 + 1 v  h m n y ìn i»u 
t«ng. Tø â ta rót ra x = y 
Thay l¤i v o (2) ta ÷ñc 
y + 
y p 
y2  1 
= 
35 
12 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 61 
¥y thüc ra l  mët ph÷ìng tr¼nh kh¡ khâ chàu. Tho¤t ti¶n khi th§y lo¤i n y ta s³ b¼nh ph÷ìng 
2 v¸ l¶n. i·u ki»n b¼nh ph÷ìng l  y  0 khi â ta câ 
y2 + 
2y2 
p 
y2  1 
+ 
y2 
y2  1 
= 
 
35 
12 
2 
, 
y4  y2 + y2 
y2  1 
+ 
2y2 
p 
y2  1 
= 
 
35 
12 
2 
y2 
¸n ¥y ¢ kh¡ rã r ng . °t 
p 
= t  0 v  ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng 
y2  1 
n 
2 
 
35 
2 
Tu§t2 + 2t  
= 0 , 
12 
Minh ¹n Nguy64 
t =  
49 
12 
(L) 
t = 
25 
12 
, 
y2 
p 
y2  1 
= 
25 
12 
, 
2 
64 
y =  
5 
4 
y =  
5 
3 
èi chi¸u i·u ki»n b¼nh ph÷ìng ch¿  
l§y 2 gi¡ trà d÷ìng. 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
5 
4 
; 
5 
4 
 
; 
 
 
5 
3 
; 
5 
3 
 
 
C¥u 109 
 
p 
5  2y = 0 
(4x2 + 1)x + (y  3) 
4x2 + y2 + 2 
p 
3  4x = 7 
Gi£i 
i·u ki»n : y  
5 
2 
; x  
3 
4 
Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (1) nh÷ sau 
(4x2 + 1)x = (3  y) 
p 
5  2y , (4x2 + 1)2x = (6  2y) 
p 
5  2y , f (2x) = f 
p 
5  2y 
 
Vîi f(t) = t3 + t l  h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ 2x = 
p 
5  2y ) x  0 thay v o (2) ta câ 
4x2 + 
 
5 
2 
 2x2 
2 
+ 2 
p 
3  4x = 7 
Gií cæng vi»c cõa ta l  kh£o s¡t h m sè v¸ tr¡i tr¶n 
 
0; 
3 
4 
 
v  chùng minh nâ ìn i»u gi£m. 
Xin nh÷íng l¤i b¤n åc 
Vîi h m sè v¸ tr¡i ìn i»u gi£m ta câ x = 
1 
2 
l  nghi»m duy nh§t ) y = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
1 
2 
 
 
; 2 
H¢y º þ k¾ mèi t÷ìng quan giúa c¡c biºu thùc trong mët ph÷ìng tr¼nh va ta s³ ¤t möc ½ch 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
62 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 110 
 
p y3 + y = x3 + 3x2 + 4x + 2 
p 
1  x2  
y = 
p 
2  y  1 
Gi£i 
i·u ki»n : 0  y  2;1  x  1 
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 
n 
y3 + y = (x + 1)3 + (x + 1) , y = x + 1 
§Thay v o (2) ta câ p 
p 
p 
1  x2  
1 + x = 
1  x  1 
p 
p 
p 
t2  2 
Ph÷ìng tr¼nh n y khæng qu¡ khâ. °t t = 
1 + x + 
1  x ) 
Tu1  x2 = 
. Thay v o 
2 
ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc 
 
 p 
p 
t2  2 
t = 0 
p 1  x + 
p 
1 + x = 0 
= t  1 , 
, 
, x = 0; y = 1 
2 
t = 2 
1  x + 
1 + x = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 1) 
Nhúng b i n y th÷íng s³ n°ng v· gi£Minh i ph÷ìng tr¼nh væ t¿ hìn. 
 p 
p 
p 
p 
p 
p 
x + 1 + 
x + 3 + 
x + 5 = 
y  1 + 
y  3 + 
y  5 
C¥u 111 
x + y + x2 n + y2 = 80 
Gi£i 
Nguyi·u ki»n : x  1; y ¹ 5 
Ph÷ìng tr¼nh ¦u câ d¤ng 
f(x + 1) = f(y  5) 
p 
p 
p 
Vîi f(t) = 
t + 
t + 2 + 
t + 4 l  h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ y = x + 6 thay v o (2) ta 
câ 
p 
p 
5 
5  7 
5 
5 + 5 
x + x + 6 + x2 + (x + 6)2 = 80 , x = 
) y = 
  
2 
2 
p 
p 
! 
5 
5  7 
5 
5 + 5 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
; 
 
2 
2 
Ð ¥y tæi ¢ ÷a ra mët sè c¥u h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ ìn gi£n. Nâi l  ìn 
gi£n v¼ tø mët ph÷ìng tr¼nh ta nh¼n th§y ngay ho°c mët chót bi¸n êi º nh¼n ra d¤ng cõa 
h m c¦n x²t. Tæi s³ cán giîi thi»u kh¡ nhi·u nhúng b i c¦n bi¸n êi tinh t¸ º nh¼n ra d¤ng 
h m, ð nhúng c¥u sau cõa cuèn s¡ch. 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 63 
C¥u 112 
 p 
x + 4 p 
32  x  y2 = 3 
4 p 
x + 
p 
32  x + 6y = 24 
Gi£i 
i·u ki»n : 0  x  32 
Câ v´ ¥y l  mët h» kh¡c r­c rèi khi xu§t hi»n c«n bªc 4. Ta s³ dòng c¡c ¡nh gi¡ º gi£i 
quy¸t c¡i h» n y 
n 
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc 
p 
p 
x + 
32  x + x + 32  x = y2  6y + 21 
§Hiºn nhi¶n ta câ : V P  12 
Gií ta ti¸n h nh ¡nh gi¡ v¸ tr¡i. p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz Tucho v¸ tr¡i ta câ 
p 
p 
p 
x + 
32  x  
(1 + 1)(x + 32  x) = 8 
x + 32  Minh x  
4 p 
4 4 n Nguy¹p 
p 
4 p 
q 
(1 + 1)( 
p 
x + 
p 
32  x)  4 
Vªy V T  V P 
D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (16; 3) 
Tæi cán mët c¥u þ t÷ðng gièng b i n y nh÷ng hìi khâ hìn mët chót. B¤n åc câ thº gi£i nâ 
C¥u 113 
 p 
p 
2 
2x + 2 4 p 
6  x  y2 = 2 
4 p 
2x + 2 
p 
6  x + 2 
p 
2y = 8 + 
p 
2 
Nghi»m : (x; y) = (2; 
p 
2) 
C¥u 114 
 
x2(y + 1)(x + y + 1) = 3x2  4x + 1 
xy + x + 1 = x2 
Gi£i 
B i n y câ l³ khæng c¦n suy ngh¾ nhi·u. Cù th¸ y + 1 l¶n (1) coi sao 
Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 
x(y + 1) = x2  1 , y + 1 = 
x2  1 
x 
Thay l¶n (2) ta s³ ÷ñc 
x(x2  1) 
 
x + 
x2  1 
x 
 
= 3x2  4x + 1 , 
 
x = 2 ) y =  
5 
2 
x = 1 ) y = 1 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); 
 
2; 
5 
2 
 
 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
64 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
C¥u 115 
8 
: 
4xy + 4(x2 + y2) + 
3 
(x + y)2 = 7 
2x + 
1 
x + y 
= 3 
Gi£i 
i·u ki»n : x + y6= 0 
¥y l  mët b i h» khæng ìn gi£n chót n o. Tuy nhi¶n ta câ mët nhªn x²t kh¡ tèt sau n 
¥y : 
a(x2 + y2) + bxy = k(x + y)2 + l(x  y)2 
§Gií h¢y ph¥n t½ch 4x2 + 4y2 + 4xy = k(x + y)2 + l(x  y)2 
C¥n b¬ng h» sè ta thu ÷ñc : 4x2 + 4y2 + 4xy = 3(x + y)2 + (x  y)2 
Nh÷ vªy þ t÷ðng s³ l  °t ©n phö têng-hi»u ch«ng ? C ng câ cì sð khi Tu2x = x+y +xy. Nh÷ 
vªy þ t÷ðng sì bë l  th¸. Bi¸n êi h» th nh 
Minh n Nguy¹8 
: 
3(x + y)2 + (x  y)2 + 
3 
(x + y)2 = 7 
x + y + 
1 
x + y 
+ x  y = 3 
øng vëi °t ngay. º þ mët chót 3(x + y)2 + 
3 
(x + y)2 = 3 
 
x + y + 
1 
x + y 
2 
 6. Nh÷ vªy 
c¡ch °t ©n cõa ta s³ tri»t º hìn. 
°t x + y + 
1 
x + y 
= a; x  y = b ta thu ÷ñc h» mîi 
8 
: 
b2 + 3a2 = 13 
a + b = 3 
jaj  2 
, 
 
a = 2; b = 1 
a =  
1 
2 
; b = 
7 
2 
(L) 
, 
8 
: 
x + y + 
1 
x + y 
= 2 
x  y = 1 
, 
 
x + y = 1 
x  y = 1 
, 
 
x = 1 
y = 0 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0) 
OK ch÷a ? Ti¸p töc th¶m mët c¥u t÷ìng tü nh² 
C¥u 116 
8 
: 
x2 + y2 + 6xy  
1 
(x  y)2 + 
9 
8 
= 0 
2y  
1 
x  y 
+ 
5 
4 
= 0 
Gi£i 
i·u ki»n : x6= y 
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 
8 
: 
2(x + y)2  (y  x)2  
1 
(y  x)2 + 
9 
8 
= 0 
 
y  x + 
1 
y  x 
 
+ (x + y) + 
5 
4 
= 0 
, 
8 
: 
2(x + y)2  
 
y  x + 
1 
y  x 
2 
+ 
25 
8 
= 0 
 
y  x + 
1 
y  x 
 
+ (x + y) + 
5 
4 
= 0 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 65 
°t x + y = a; y  x + 
1 
y  x 
= b; jbj  2 ta câ h» mîi 
8 
: 
a + b =  
5 
4 
25 
2a2  b2 =  
8 
§n 
TuMinh ¹n Nguy, 
8 
: 
a = 
5 
4 
b =  
5 
2 
, 
2 
6666664 
( 
y + x = 
5 
4 
y  x = 2 8 
: 
y + x = 
5 
4 
y  x =  
1 
2 
, 
2 
64 
x = 
13 
8 
; y =  
3 
8 
x = 
7 
8 
; y = 
3 
8 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 
 
7 
8 
; 
3 
8 
 
; 
 
13 
8 
; 
3 
8 
 
 
Tæi s³ ÷a th¶m 2 c¥u núa cho b¤n åc luy»n tªp 
C¥u 117 
8 
: 
3(x2 + y2) + 2xy + 
1 
(x  y)2 = 20 
2x + 
1 
x  y 
= 5 
Nghi»m : (x; y) = (2; 1); 
  
4  
p 
10 
3 
; 
p 
10  3 
3 
! 
; 
  
4 + 
p 
10 
3 
; 
p 
10 
3 
3  
! 
 
C¥u 118 
 
(4x2  4xy + 4y2  51)(x  y)2 + 3 = 0 
(2x  7)(x  y) + 1 = 0 
Thû ëng n¢o mët chót xem v¼ sao l¤i ÷a ÷ñc v· gièng 3 c¥u tr¶n ? 
Nghi»m :(x; y) = 
  
5  
p 
3 
2 
; 
p 
3 
2 
1 + 
! 
; 
  
5 + 
p 
3 
2 
; 
p 
3 
2 
1  
! 
 
C¥u 119 
8 
: 
2x2 + x  
1 
y 
= 2 
y  y2x  2y2 = 2 
Gi£i 
i·u ki»n : y6= 0 
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi 
1 
y 
 x  2 =  
2 
y2 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
66 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 
°t a = 
1 
y 
ta chuyºn h» v· 
 
2x2 + x  a = 2 
2a2 + a  x = 2 
p 
3 
2 
, 
n 
Tu§Minh n Nguy¹2 
666664 
x = 1; a = 1 
x = 1; a = 1 
1  
x = 
; a = 
p 
3  1 
2 
x = 
p 
3  1 
2 
; a = 
p 
3 
2 
1  
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); 
  
1  
p 
3 
2 
; 1  
! 
 
p 
3 
C¥u 120 
 
4x2 + y4  4xy3 = 1 
4x2 + 2y2  4xy = 2 
Gi£i 
H¼nh thùc kh¡ gån nhµ nh÷ng công r§t khâ chìi. Mët chót tinh þ ta nhªn th§y y2 = 1 l  
nghi»m cõa h». Thay v o v  ta rót ra 
PT(1)  PT(2) , y4  4xy3  2y2 + 4xy + 1 = 0 , (y2  1)(y2  4xy  1) = 0 
Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1 
Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1 
Vîi y2 = 4xy + 1. Khæng c¦n ngh¾ nhi·u, th¸ tr¥u bá v o cho nhanh !!! 
Ta rót ra x = 
y2  1 
4y 
thay v o (2) ta câ 
 
y2  1 
4 
4y 
2 
+ 2y2 + 1  y2 = 2 , 5y4  6y2 + 1 = 0 , 
2 
666664 
y = 1 ) x = 0 
y = 1 ) x = 0 
y =  
1 
p 
5 
) x = 
1 
p 
5 
y = 
1 
p 
5 
) x =  
1 
p 
5 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1); (0; 1); (0;1); 
 
1 
p 
5 
; 
1 
p 
5 
 
; 
 
 
1 
p 
5 
; 
1 
p 
5 
 
 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150 67 
2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150 
C¥u 121 
 
x4 + x3y + 9y = y3x + x2y2 + 9x 
x(y3  x3) = 7 
Gi£i 
Khæng c¦n bi¸t Tê quèc nìi ¥u, chi¸n ph÷ìng tr¼nh ¦u ¢ 
n 
PT(1) , (x  y)(x(x + y)2  9) = 0 
§Vîi x = y k¸t hñp vîi (2) rã r ng khæng thäa 
Cán l¤i ta k¸t hñp th nh mët h» mîi 
 
x (y3  x3) = 7 
Tux(x + y)2 = 9 
¥y l  mët b i to¡n kh¡ quen thuëc v  h§p d¨n ¢ tøng xu§t hi»n tr¶n b¡o THTT, c¡ch l m 
phê bi¸n nh§t v¨n l  tr¥u bá 
r 
7 
Tr÷îc h¸t câ ¡nh gi¡ x  0 v  rót ra y = 3 
x3 + 
. Thay xuèng ta câ 
x 
  
r 
!2 
7 
x 
x + 3 
x3 + 
= Minh 9 , x3 + 2x x6 + 7x2 + x(x4 + 7)2 = 9 
x 
°t v¸ tr¡i l  f(x). Ta câ 
  
f0(x) = 3x2 + 2 
n Nguy3 3 p 
p 
¹3 p 
x6 + 7x2 + 
6x6 + 14x2 
3 3 p 
(x6 + 7x2)2 
! 
+ 
1 
3 
: 
9x8 + 70x4 + 49 
3 p 
x2(x4 + 7)4 
 0 
Vªy f(x) = 9 câ nghi»m duy nh§t x = 1 ) y = 2 
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2) 
v 
!u 
!Ti¸p theo tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët sè c¥u h» sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski º 
gi£i. B§t ¯ng thùc Minkowski l  mët b§t ¯ng thùc khæng khâ v  công th÷íng ÷ñc dòng, 
b§t ¯ng thùc · cªp ¸n v§n · ë d i cõa vectì trong khæng gian m  sau n y håc sinh quen 
gåi nâ l  b§t ¯ng thùc V ector 
Vîi hai vectì ;b§t k¼ ta luæn câ 
j!u 
j + j!v 
j  j!u 
+ !v 
j 
N¸u tåa ë hâa 2 vecto n y ta s³ thu ÷ñc 
p 
a1 
2 + b1 
2 + 
p 
a2 
2 + b2 
2  
q 
(a1 + a2)2 + (b1 + b2)2 
¯ng thùc x£y ra khi (a1; a2) v  (b1; b2) l  2 bë t¿ l» 
¥y l  mët h» qu£ hay dòng trong gi£i h» 
Th¼ khi n o nh¼n v o mët b i h» ta câ thº ngh¾ ¸n sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski. Th÷íng 
khi nh¼n th§y têng hai c«n thùc m  bªc cõa biºu thùc trong c«n khæng v÷ñt qu¡ 2 th¼ ta câ 
thº chån h÷îng n y. Tæi s³ n¶u 3 v½ dö º b¤n åc hiºu rã hìn 
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn
Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn

More Related Content

What's hot

Công thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớCông thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớ
Doan Hau
 
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phân
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phânÔn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phân
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phân
Linh Nguyễn
 
Gia đình (family)
Gia đình (family)Gia đình (family)
Gia đình (family)
minhphuongpnt07
 
Công thức toán 10.docx
Công thức toán 10.docxCông thức toán 10.docx
Công thức toán 10.docx
LuTinh4
 
đạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.marked
đạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.markedđạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.marked
đạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.markedHọc Huỳnh Bá
 
Chuyên đề nhị thức newton và ứng dụng
Chuyên đề nhị thức newton và ứng dụngChuyên đề nhị thức newton và ứng dụng
Chuyên đề nhị thức newton và ứng dụngThế Giới Tinh Hoa
 
BĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấu
nhankhangvt
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Điện Môi Phân Cực
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
Hoàng Thái Việt
 
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchThế Giới Tinh Hoa
 
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
Nguyen Vietnam
 
Dãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnDãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạn
Chàng Trai Cô Đơn
 
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo pThuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Bui Loi
 
Tích phân từng phần
Tích phân từng phầnTích phân từng phần
Tích phân từng phầnroggerbob
 
Diophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophant
Bui Loi
 
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookboomingChuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookboomingThế Giới Tinh Hoa
 
Nganhangcauhoionthitriet
NganhangcauhoionthitrietNganhangcauhoionthitriet
Nganhangcauhoionthitriet
dongaduythuat123
 
Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914
Nam Cengroup
 

What's hot (20)

Công thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớCông thức lượng giác cần nhớ
Công thức lượng giác cần nhớ
 
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phân
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phânÔn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phân
Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán về nguyên hàm và tích phân
 
Gia đình (family)
Gia đình (family)Gia đình (family)
Gia đình (family)
 
Công thức toán 10.docx
Công thức toán 10.docxCông thức toán 10.docx
Công thức toán 10.docx
 
đạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.marked
đạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.markedđạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.marked
đạI lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất.image.marked
 
Chuyên đề nhị thức newton và ứng dụng
Chuyên đề nhị thức newton và ứng dụngChuyên đề nhị thức newton và ứng dụng
Chuyên đề nhị thức newton và ứng dụng
 
BĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấuBĐT Côsi ngược dấu
BĐT Côsi ngược dấu
 
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHNHai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
Hai bí kíp thiết lập công thức sai số - ĐHBKHN
 
Đệ Quy, Quay Lui, Nhánh Cận
Đệ Quy, Quay Lui, Nhánh CậnĐệ Quy, Quay Lui, Nhánh Cận
Đệ Quy, Quay Lui, Nhánh Cận
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
 
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
 
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
[Math educare.com] giai tich ham nhieu bien-phep tinh vi phan ham nhieu bien_...
 
Dãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạnDãy số và giới hạn
Dãy số và giới hạn
 
Chuong03
Chuong03Chuong03
Chuong03
 
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo pThuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
Thuật toán berlekamp và đa thức chia đường tròn modulo p
 
Tích phân từng phần
Tích phân từng phầnTích phân từng phần
Tích phân từng phần
 
Diophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophant
 
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookboomingChuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
 
Nganhangcauhoionthitriet
NganhangcauhoionthitrietNganhangcauhoionthitriet
Nganhangcauhoionthitriet
 
Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914Xstk 07 12_2015_9914
Xstk 07 12_2015_9914
 

Similar to Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn

hoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọc
hoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọchoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọc
hoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọc
Học Cơ Khí
 
Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc
Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.docVận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc
Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc
DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149
 
Phan thuc huu ty va cac dang toan
Phan thuc huu ty va cac dang toanPhan thuc huu ty va cac dang toan
Phan thuc huu ty va cac dang toan
Vui Lên Bạn Nhé
 
Cac ham so so hoc
Cac ham so so hocCac ham so so hoc
Cac ham so so hoc
Vui Lên Bạn Nhé
 
Xuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thuc
Xuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thucXuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thuc
Xuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thucMinh Đức
 
hệ thống công thức trong cơ học đất
hệ thống công thức trong cơ học đấthệ thống công thức trong cơ học đất
hệ thống công thức trong cơ học đất
Anh Anh
 
Hệ thống công thức cơ học đất
Hệ thống công thức cơ học đấtHệ thống công thức cơ học đất
Hệ thống công thức cơ học đất
Ttx Love
 
Phân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.doc
Phân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.docPhân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.doc
Phân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.doc
Dịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnTam Vu Minh
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnTam Vu Minh
 
Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2
Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2
Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2
tho van tran
 
Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc
Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.docĐồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc
Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc
DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149
 
Giáo trình Mật mã học.pdf
Giáo trình Mật mã học.pdfGiáo trình Mật mã học.pdf
Giáo trình Mật mã học.pdf
Man_Ebook
 
5 cuong-toan van-luan_an_130107144049
5 cuong-toan van-luan_an_1301071440495 cuong-toan van-luan_an_130107144049
5 cuong-toan van-luan_an_130107144049
Phong Tân
 
Cơ học lý thuyết.
Cơ học lý thuyết. Cơ học lý thuyết.
Cơ học lý thuyết.
www. mientayvn.com
 
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docTính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc
DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149
 
10 chuyên đề hình học tổ hợp
10 chuyên đề hình học tổ hợp10 chuyên đề hình học tổ hợp
10 chuyên đề hình học tổ hợpThế Giới Tinh Hoa
 
Toan dai so to hop-chuong3
Toan dai so to hop-chuong3Toan dai so to hop-chuong3
Toan dai so to hop-chuong3
Long Nguyen
 
Ky thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinhKy thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinh
tienhien110293
 

Similar to Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn (20)

hoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọc
hoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọchoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọc
hoccokhi.vn Cơ Học Lý Thuyết (Tóm Tắt Lý Thuyết & Bài Tập Mẫu) - Trịnh Anh Ngọc
 
Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc
Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.docVận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc
Vận Dụng Phép Đếm Nâng Cao Vào Giải Một Số Bài Toán Thi Học Sinh Giỏi.doc
 
Phan thuc huu ty va cac dang toan
Phan thuc huu ty va cac dang toanPhan thuc huu ty va cac dang toan
Phan thuc huu ty va cac dang toan
 
Cac ham so so hoc
Cac ham so so hocCac ham so so hoc
Cac ham so so hoc
 
Xuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thuc
Xuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thucXuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thuc
Xuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thuc
 
hệ thống công thức trong cơ học đất
hệ thống công thức trong cơ học đấthệ thống công thức trong cơ học đất
hệ thống công thức trong cơ học đất
 
Hệ thống công thức cơ học đất
Hệ thống công thức cơ học đấtHệ thống công thức cơ học đất
Hệ thống công thức cơ học đất
 
Phân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.doc
Phân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.docPhân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.doc
Phân Tích Phân Biệt, Phân Loại Và Phân Tích Cụm.doc
 
Hd btd-ccd
Hd btd-ccdHd btd-ccd
Hd btd-ccd
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnn
 
Cac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnnCac phuong phap tim gtlngtnn
Cac phuong phap tim gtlngtnn
 
Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2
Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2
Thuyết minh đồ án bê tông cốt thép 2
 
Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc
Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.docĐồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc
Đồng quy và thẳng hàng Trong hình học phẳng.doc
 
Giáo trình Mật mã học.pdf
Giáo trình Mật mã học.pdfGiáo trình Mật mã học.pdf
Giáo trình Mật mã học.pdf
 
5 cuong-toan van-luan_an_130107144049
5 cuong-toan van-luan_an_1301071440495 cuong-toan van-luan_an_130107144049
5 cuong-toan van-luan_an_130107144049
 
Cơ học lý thuyết.
Cơ học lý thuyết. Cơ học lý thuyết.
Cơ học lý thuyết.
 
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docTính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc
 
10 chuyên đề hình học tổ hợp
10 chuyên đề hình học tổ hợp10 chuyên đề hình học tổ hợp
10 chuyên đề hình học tổ hợp
 
Toan dai so to hop-chuong3
Toan dai so to hop-chuong3Toan dai so to hop-chuong3
Toan dai so to hop-chuong3
 
Ky thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinhKy thuat lap_trinh
Ky thuat lap_trinh
 

Recently uploaded

NHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦN
NHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦNNHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦN
NHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦN
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
Nguyen Thanh Tu Collection
 
GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...
GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...
GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
Diễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh Tuệ
Diễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh TuệDiễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh Tuệ
Diễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh Tuệ
Little Daisy
 
tiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ h
tiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ htiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ h
tiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ h
huynhanhthu082007
 
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdfCác bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
linhlevietdav
 
CD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdf
CD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdfCD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdf
CD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdf
Nguyntrnhnganh
 
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí MinhhhhhhhhhhhhhTóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
nnguyenthao204
 
CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...
CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...
CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdfTừ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Man_Ebook
 
Ngon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptx
Ngon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptxNgon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptx
Ngon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptx
linhlevietdav
 
kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...
kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...
kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...
Luận Văn Uy Tín
 
Từ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docx
Từ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docxTừ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docx
Từ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docx
Nguyntrnhnganh
 
Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...
Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...
Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...
williamminerva131
 
khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...
khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...
khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...
Luận Văn Uy Tín
 
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdfDANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
thanhluan21
 
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang ThiềuBiểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
lamluanvan.net Viết thuê luận văn
 
TRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdf
TRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdfTRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdf
TRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdf
Man_Ebook
 
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
NamNguynHi23
 
Bài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.doc
Bài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.docBài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.doc
Bài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.doc
phamvanchinhlqd
 

Recently uploaded (20)

NHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦN
NHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦNNHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦN
NHO GIÁO VÀ ẢNH HƯỞNG ĐẾN ĐỜI SỐNG TINH THẦN
 
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
BÀI TẬP DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 12 - CẢ NĂM - THEO FORM THI MỚI BGD 2025 (DÙNG C...
 
GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...
GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...
GƯƠNG ĐIỂN HÌNH NGƯỜI TỐT - VIỆC TỐT DƯƠNG THU NGA - NỮ KỸ THUẬT VIÊN PHỤC HỒ...
 
Diễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh Tuệ
Diễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh TuệDiễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh Tuệ
Diễn giải Tâm lý - Chiêm tinh Thầy Minh Tuệ
 
tiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ h
tiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ htiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ h
tiếng việt dành cho sinh viên ngoại ngữ h
 
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdfCác bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
Các bình diện Ngôn ngữ học đối chiếu.pdf
 
CD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdf
CD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdfCD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdf
CD6_DAI_CUONG_KIMLOAI_12CB218LTTTHU5.pdf
 
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí MinhhhhhhhhhhhhhTóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
Tóm tắt Tư tưởng Hồ Chí Minhhhhhhhhhhhhh
 
CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...
CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...
CHỮ “TRÍ” THEO TƯ TƯỞNG NHO GIÁO VÀ Ý NGHĨA TRONG ĐỔI MỚI GIAÓ DỤC Ở VIỆT NAM...
 
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdfTừ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
Từ ngữ về con người và chiến tranh trong Nhật ký Đặng Thùy Trâm.pdf
 
Ngon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptx
Ngon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptxNgon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptx
Ngon_ngu_hoc_doi_chieu Các phạm trù cơ bản.pptx
 
kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...
kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...
kltn_Nâng Cao Chất Lượng Đội Ngũ Công Chức Cấp Phường Trên Địa Bàn Quận Hà Đô...
 
Từ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docx
Từ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docxTừ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docx
Từ khoá Địa Lí giup ban dat 9 diem .docx
 
Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...
Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...
Atomic Habits - Thay Đổi Tí Hon, Hiệu Quả Bất Ngờ - James Clear & L...
 
khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...
khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...
khoaluan_Chính Sách Tiền Lương Tại Công Ty Cổ Phần Đầu Tư Hải Đường, Tỉnh Nam...
 
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdfDANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
DANH SÁCH XÉT TUYỂN SỚM_NĂM 2023_học ba DPY.pdf
 
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang ThiềuBiểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
Biểu tượng trăng và bầu trời trong tác phẩm của Nguyễn Quang Thiều
 
TRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdf
TRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdfTRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdf
TRÁCH NHIỆM PHÁP LÝ CỦA CÁN BỘ, CÔNG CHỨC TRONG HOẠT ĐỘNG CÔNG VỤ.pdf
 
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
[NBV]-CHUYÊN ĐỀ 3. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT).pdf
 
Bài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.doc
Bài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.docBài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.doc
Bài 4. Khảo sát mạch dao động điện từ.doc
 

Tuyển chọn 410 Hệ phương trình ver2 Nguyễn Minh Tuấn

  • 2. Nguy¹n Minh Tu§n Sinh vi¶n K62CLC - Khoa To¡n Tin HSPHN Tu§n TUYšN CHÅMinh N 410 H› PH×ÌNG TRœNH „I SÈ BÇI D×ÏNG HÅC SINH GIÄI V€ LUY›N THI „I HÅC - CAO NG (Phi¹¶n b£n n 2 : câ sûa chúa, bê sung c¡c b i to¡n mîi) Nguy
  • 3. Nguy¹n Minh Tu§n H  Nëi, ng y 9 th¡ng 10 n«m 2013
  • 4. Möc löc §n Líi nâi ¦u 6 1 Mët sè ph÷ìng ph¡p v  c¡c lo¤i h» cì b£n Tu7 1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 9 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 . . . . . Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 C¥u 121 ¸n c¥u n 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Nguy¹2.7 C¥u 181 ¸n c¥u 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.8 C¥u 211 ¸n c¥u 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.9 C¥u 241 ¸n c¥u 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.10 C¥u 271 ¸n c¥u 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2.11 C¥u 301 ¸n c¥u 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.12 C¥u 331 ¸n c¥u 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 2.13 C¥u 361 ¸n c¥u 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2.14 C¥u 391 ¸n c¥u 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3 Cªp nhªt c¡c b i to¡n mîi 230 3.1 Tø c¥u 411 ¸n c¥u 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 5. Möc Löc 5 3.2 Tø c¥u 441 ¸n c¥u 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 T i li»u tham kh£o 256 Nguy¹n Minh Tu§n Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 6. Líi nâi ¦u n H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè nâi chung v  h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè hai ©n nâi ri¶ng §l  mët ph¦n quan trång cõa ph¦n ¤i sè gi£ng d¤y ð THPT . Nâ th÷íng hay xu§t hi»n trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi v  k¼ thi tuyºn sinh ¤i håc - Cao ¯ng. T§t nhi¶n º gi£i tèt h» ph÷ìng tr¼nh hai ©n khæng ph£i ìn gi£Tun . C¦n ph£i vªn döng tèt c¡c ph÷ìng ph¡p, h¼nh th nh c¡c k¾ n«ng trong qu¡ tr¼nh l m b i. Trong c¡c k¼ thi ¤i håc, c¥u h» th÷íng l  c¥u l§y iºm 8 ho°c 9. ¥y l  mët t i li»u tuyºn tªp nh÷ng kh¡ d y n¶n tæi tr¼nh b y nâ d÷îi d¤ng mët cuèn s¡ch câ möc löc rã r ng cho b¤n åc d¹ tra cùu. Cuèn s¡ch l  tuyºn tªp kho£ng 400 c¥u h» °c s­c, tø ìn gi£n, b¼nh th÷íng, khâ, thªm ch½ ¸n ¡nh è v  kinh iºn. °c bi»t, ¥y ho n to n l  h» ¤i sè 2 ©n. Tæi muèn khai th¡c thªt s¥u mët kh½a c¤nh cõa ¤i sè. N¸u coi B§t ¯ng thùc 3 bi¸n l  ph¦n µp nh§t cõa B§t ¯ng Minh thùc, mang trong m¼nh sü uy nghi cõa mët æng ho ng th¼ H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè 2 ©n l¤i mang trong m¼nh v´ µp gi£n dà, trong s¡ng cõa cæ g¡i thæn qu¶ l m say ­m bi¸t bao g¢ si t¼nh. Xin c£m ìn c¡c b¤n, anh, chà, th¦y cæ tr¶n c¡c di¹n  n to¡n, tr¶n facebook ¢ âng gâp v  cung c§p r§t nhi·u b i h» hay. Trong cuèn s¡ch ngo i vi»c ÷a ra c¡c b i h» tæi cán lçng th¶m mët sè ph÷ìng ph¡p r§t tèt º gi£i. Ngo i ra tæi cán giîi thi»u cho c¡c b¤n nhúng ph÷ìng ph¡p °c s­c cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c . Mong ¥y s³ l  mët nguçn cung c§p tèt nhúng b i h» hay cho gi¡o vi¶n v  håc sinh. n NguyTrong qu¡ tr¼nh bi¹¶n so¤n cuèn s¡ch t§t nhi¶n khæng tr¡nh khäi sai sât.Thù nh§t, kh¡ nhi·u b i to¡n tæi khæng thº n¶u rã nguçn gèc v  t¡c gi£ cõa nâ. Thù hai : mët sè léi n y sinh trong qu¡ tr¼nh bi¶n so¤n, câ thº do léi ¡nh m¡y, c¡ch l m ch÷a chu©n, ho°c tr¼nh b y ch÷a µp do ki¸n thùc v· LATEX cán h¤n ch¸. T¡c gi£ xin b¤n åc l÷ñng thù. Mong r¬ng cuèn s¡ch s³ ho n ch¿nh v  th¶m ph¦n ç së. Måi þ ki¸n âng gâp v  sûa êi xin gûi v· theo àa ch¿ sau ¥y : Nguy¹n Minh Tu§n Sinh Vi¶n Lîp K62CLC Khoa To¡n Tin Tr÷íng HSP H  Nëi Facebook :https://www.facebook.com/popeye.nguyen.5 Sè i»n tho¤i : 01687773876 Th nh vi¶n www.k2pi.net : Popeye
  • 7. Ch÷ìng 1 n Mët sè ph÷ìng ph¡p v  c¡c lo¤i h§» cì b£n Tu1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh I. Rót x theo y ho°c ng÷ñc l¤i tø mët ph÷ìng tr¼nh II. Ph÷ìng ph¡p th¸ 1. Th¸ h¬ng sè tø mët ph÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i 2. Th¸ mët biºu thùc tø mët phMinh ÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i 3. Sû döng ph²p th¸ èi vîi c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ho°c th¸ nhi·u l¦n. III. Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành 1. Cëng trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau 2. Nh¥n h¬ng sè v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi em cëng trø cho nhau. 3. Nh¥n c¡c biºu thùn c cõa bi¸n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi cëng trø cho nhau NguyIV. Ph÷ìng ph¡p ¹°t ©n phö V. Ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè VI. Ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa VII. Ph÷ìng ph¡p nh¥n chia c¡c ph÷ìng tr¼nh cho nhau VIII. Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 1. Bi¸n êi v· têng c¡c ¤i l÷ñng khæng ¥m 2. ¡nh gi¡ sü r ng buëc tr¡i ng÷ñc cõa ©n, cõa biºu thùc, cõa mët ph÷ìng tr¼nh 3. ¡nh gi¡ düa v o tam thùc bªc 2 4. Sû döng c¡c b§t ¯ng thùc thæng döng º ¡nh gi¡ IX. Ph÷ìng ph¡p phùc hâa X. K¸t hñp c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n
  • 8. 8 Ch÷ìng 1. Mët sè ph÷ìng ph¡p v  c¡c lo¤i h» cì b£n 1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n A. H» ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t 2 ©n I. D¤ng ( ax + by = c (a2 + b26= 0) a0x + b0y = c (a02 + b026= 0) II. C¡ch gi£i 1. Th¸ n 2. Cëng ¤i sè 3. Dòng ç thà §4. Ph÷ìng ph¡p ành thùc c§p 2 B. H» ph÷ìng ( tr¼nh gçm mët ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v  mëTut ph÷ìng tr¼nh bªc hai ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 I. D¤ng a0x + b0y = c II. C¡ch gi£i: Th¸ tø ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v o ph÷ìng tr¼nh bªc hai C. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i I I. D§u hi»u êi vai trá cõa x v  y cho nhau th¼ h» ¢ cho khæng êi II. C¡ch gi£i: Minh Th÷íng ta s³ °t ©n phö têng t½ch x + y = S; xy = P (S2 4P) D. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i II I. D§u hi»u êi vai trá cõa x v  y cho nhau th¼ ph÷ìng tr¼nh n y bi¸n th nh ph÷ìng tr¼nh kia II. C¡ch gi£i: Th÷íng ta s³ trø hai n ph÷ìng tr¼nh cho nhau NguyE. H» ¯ng c§p I. D§u hi»u ¹( ax2 + bxy + cy2 = d ¯ng c§p bªc 2 ( a0x2 + b0xy + c0y2 = d0 ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = e ¯ng c§p bªc 3 a0x3 + b0x2y + c0xy2 + d0y3 = e0 II. C¡ch gi£i: Th÷íng ta s³ °t x = ty ho°c y = tx Ngo i ra cán mët lo¤i h» núa tæi t¤m gåi nâ l  b¡n ¯ng c§p, tùc l  ho n to n câ thº ÷a v· d¤ng ¯ng c§p ÷ñc .Lo¤i h» n y khæng khâ l m, nh÷ng nh¼n nhªn ra ÷ñc nâ c¦n ph£i kh²o l²o s­p x¸p c¡c h¤ng tû cõa ph÷ìng tr¼nh l¤i. Tæi l§y mët v½ dö ìn gi£n cho b¤n åc Gi£i h» : ( x3 y3 = 8x + 2y x2 3y2 = 6 Vîi h» n y ta ch¿ vi»c nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ s³ t¤o th nh ¯ng c§p. V  khi â ta câ quy·n chån lüa giúa chia c£ 2 v¸ cho y3 ho°c °t x = ty Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 9. Ch÷ìng 2 n Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c §2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 Tu (x y) (x2 + y2) = 13 C¥u 1 (x + y) (x2 y2) = 25 Gi£i D¹ d ng nhªn th§y ¥y l  mët h» ¯ng c§p bªc 3, b¼nh th÷íng ta cù nh¥n ch²o l¶n rçi chia 2 v¸ cho x3 ho°c y3. Nh÷ng h¢y xem mMinh ët c¡ch gi£i tinh t¸ sau ¥y: L§y (2) (1) ta ÷ñc : 2xy(x y) = 12 (3) L§y (1) (3) ta ÷ñc : (x y)3 = 1 , x = y + 1 V¼ sao câ thº câ h÷îng n y ? Xin th÷a â l  düa v o h¼nh thùc èi xùng cõa h». Ngon l nh rçi. Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc n 1)2 y2 y = 2 (y + + = 13 , y = 3 NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m (x; y) = (3; 2); (2;3) x3 8x = y3 + 2y C¥u 2 x2 3 = 3 (y2 + 1) Gi£i º þ nh÷ sau : Ph÷ìng tr¼nh 1 gçm bªc ba v  bªc nh§t. Ph÷ìng tr¼nh 2 gçm bªc 2 v  bªc 0 (h¬ng sè). Rã r ng ¥y l  mët h» d¤ng nûa ¯ng c§p. Ta s³ vi¸t l¤i nâ º ÷a v· ¯ng c§p H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng : x3 y3 = 8x + 2y x2 3y2 = 6 Gií ta nh¥n ch²o hai v¸ º ÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p , 6 x3 y3 = (8x + 2y) x2 3y2 , 2x (3y x) (4y + x) = 0
  • 10. 10 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c TH1 : x = 0 thay v o (2) væ nghi»m TH2 : x = 3y thay v o (2) ta câ: 6y2 = 6 , y = 1; x = 3 y = 1; x = 3 TH3 : x = 4y thay v o (2) ta câ: n 2 §13y2 = 6 , TuMinh ¹n Nguy664 y = r 6 13 r ; x = 4 6 13 r y = 6 13 r ; x = 4 6 13 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (3; 1); (3;1); 4 r 6 13 ; r 6 13 ! ; 4 r 6 13 r ; 6 13 ! C¥u 3 x2 + y2 3x + 4y = 1 3x2 2y2 9x 8y = 3 Gi£i º þ khi nh¥n 3 v o PT(1) rçi trø i PT(2) s³ ch¿ cán y . Vªy 3:PT(1) PT(2) , y2 + 4y = 0 , 2 64 y = 0 , x = p 7 2 3 y = 4 , x = p 7 2 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 7 2 ! ; ; 0 3 p 7 2 ! ;4 C¥u 4 x2 + xy + y2 = 19(x y)2 x2 xy + y2 = 7 (x y) Gi£i Nhªn x²t v¸ tr¡i ang câ d¤ng b¼nh ph÷ìng thi¸u, vªy ta thû th¶m bît º ÷a v· d¤ng b¼nh ph÷ìng xem sao. N¶n ÷a v· (x y)2 hay (x + y)2. Hiºn nhi¶n khi nh¼n sang v¸ ph£i ta s³ chån ph÷ìng ¡n ¦u H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x y)2 + 3xy = 19(x y)2 (x y)2 + xy = 7 (x y) °t x y = a v  xy = b ta câ h» mîi Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 11. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 11 b = 6a2 a2 + b = 7a , a = 0; b = 0 a = 1; b = 6 , 2 664 x y = 0 xy = 0 x y = 1 xy = 6 , 2 4 x = 0; y = 0 x = 3; y = 2 x = 2; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 0) ; (3; 2) (2;3) n x3 + x3y3 + y3 = 17 C¥u 5 x + xy + y = 5 §Gi£i H» èi xùng lo¤i I rçi. No Tu problem!!! (x + y)3 3xy(x + y) + (xy)3 = 17 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x + y) + xy = 5 °t x + y = a v  xy = b ta câ h» mîMinh i 2 a3 3ab + b3 = 17 a = 2; b = 3 , , a + b = 5 a = 3; b = 2 ¹n Nguy664 x + y = 2 xy = 3 x + y = 3 xy = 2 , x = 2; y = 1 x = 1; y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 1) C¥u 6 x(x + 2)(2x + y) = 9 x2 + 4x + y = 6 Gi£i ¥y l  lo¤i h» °t ©n têng t½ch r§t quen thuëc H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x2 + 2x) (2x + y) = 9 (x2 + 2x) + (2x + y) = 6 °t x2 + 2x = a v  2x + y = b ta câ h» mîi ab = 9 a + b = 6 , a = b = 3 , x2 + 2x = 3 2x + y = 3 , x = 1; y = 1 x = 3; y = 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1); (3; 9) C¥u 7 x + y p p xy = 3 x + 1 + p y + 1 = 4 Gi£i Khæng l m «n g¼ ÷ñc ð c£ 2 ph÷ìng tr¼nh, trüc gi¡c ¦u ti¶n cõa ta l  b¼nh ph÷ìng º ph¡ sü khâ chàu cõa c«n thùc Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 12. 12 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c p (2) , x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16 M  tø (1) ta câ x + y = 3 + p xy n¶n (2) , 3 + q xy + p xy + 2 + 2 p xy + 4 = 16 , p xy = 3 , xy = 9 x + y = 6 , x = y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 3) §n p p p x + 5 + p y 2 = 7 C¥u 8 x 2 + y + 5 = 7 TuGi£i èi xùng lo¤i II. Khæng cán g¼ º nâi. Cho 2 ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhau rçi b¼nh ph÷ìng tung tâe º ph¡ sü khâ chàu cõa c«n thùc i·u ki»n : x; y 2 Tø 2 ph÷ìng tr¼nh ta câ p Minh p p p x + 5 + y 2 = x 2 + y 5 p p , x + y + 3 + 2 (x + 5)(y 2) = x + y + 3 + 2 (x 2)(y + 5) p p , (x + 5)(y 2) = (x 2)(y + 5) , x = y Thay l¤i ta câ n p p x + 5 + x 2 = 7 , x = 11 NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (11; 11) p p p x2 + y2 + 2xy = 8 2 C¥u 9 p p x + y = 4 Gi£i H» ¢ cho câ v´ l  nûa èi xùng nûa ¯ng c§p, º þ bªc cõa PT(2) ang nhä hìn PT(1) mët chót. Ch¿ c¦n ph²p bi¸n êi b¼nh ph÷ìng (2) s³ vøa bi¸n h» trð th nh ¯ng c§p vøa ph¡ bä bît i c«n i·u ki»n : x; y 0 H» ¢ cho , p 2(x2 + y2) + 2 p xy = 16 x + y + 2 p xy = 16 , p 2 (x2 + y2) = x + y , x = y p x = 4 , x = 4 Thay l¤i ta câ : 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 13. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 13 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 4) C¥u 10 6x2 3xy + x = 1 y x2 + y2 = 1 Gi£i n Mët c¡ch trüc gi¡c khi nh¼n th§y h» chùa tam thùc bªc 2 â l  thû xem li»u câ ph§¥n t½ch ÷ñc th nh nh¥n tû hay khæng ? Ta s³ thû b¬ng c¡ch t½nh theo mët ©n câ ch½nh ph÷ìng hay khæng. Ngon l nh l  PT(1) x µp nh÷ ti¶n. Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìp ng ÷ìng (3x 1)(2x y + 1) = 0 1 2 2 TuVîi x = ) y = 3 3 x = 0; y = 1 Vîi y = 2x + 1 ) x2 + (2x + 1)2 = 1 , 4 3 x = ; y = Minh p ! 5 5 1 2 2 4 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = ; ; (0; 1); ; 3 3 5 5 p x p 2y C¥u 11 p xy = 0 x 1 + 4y 1 = 2 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh ¦u l  d¤ng n ¯ng c§p rçi 1 i·u ki»n x 1; y Nguy¹4 p p p p Tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ : x + y x 2 y = 0 , x = 4y Thay v o (2) ta câ p p x 1 + x 1 = 2 , x = 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 2; 2 xy + x + y = x2 2y2 C¥u 12 p p x 2y y x 1 = 2x 2y Gi£i i·u ki»n : x 1; y 0 Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng (x + y) (2y x + 1) = 0 , x = y x = 2y + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 14. 14 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c Vîi x = y lo¤i v¼ theo i·u ki»n th¼ x; y ph£i còng d§u Vîi x = 2y + 1 th¼ ph÷ìng tr¼nh 2 s³ t÷ìng ÷ìng (2y + 1) p 2y y p 2y = 2y + 2 , p 2y(y + 1) = 2y + 2 , y = 2 ) x = 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (5; 2) n p p x + 1 + y + 2 = 6 C¥u 13 x + y = 17 §Gi£i Tui·u ki»n x; y 1 p p x + 1 + y + 2 = 6 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x + 1) + (y + 2) = 20 p p °t x + 1 = a 0; y + 2 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a + b = 6 a = 4; b = 2 x = 15; y = 2 , , a2 + b2 = 20 a = 2; b = 4 x = 3; y = 14 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (15; Minh 2); (3; 14) y2 = (5x + 4)(4 x) C¥u 14 y2 5x2 n 4xy + 16x 8y + 16 = 0 Gi£i NguyPh÷ìng tr¼nh 2 t÷ìng ¹÷ìng y2 y = 0 + (5x + 4)(4 x) 4xy 8y = 0 , 2y2 4xy 8y = 0 , y = 2x + 4 x = 4 Vîi y = 0 th¼ suy ra : (5x + 4) (4 x) = 0 , 4 x = 5 Vîi y = 2x + 4 th¼ suy ra (2x + 4)2 = (5x + 4)(4 x) , x = 0 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 0); ; 0 ; (0; 4) 5 C¥u 15 x2 2xy + x + y = 0 x4 4x2y + 3x2 + y2 = 0 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 15. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 15 x2 + y = x(2y 1) (x2 + y)2 + 3x2 (1 2y) = 0 ) x2(2y 1)2 + 3x2(2y 1) = 0 , x2(2y 1)(2y 4) = 0 , n Tu§Minh n Nguy¹2 64 x = 0; y = 0 y = 1 2 (L) y = 2; x = 1 [ 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 2); (2; 2) C¥u 16 x + y + xy(2x + y) = 5xy x + y + xy(3x y) = 4xy Gi£i PT(1) PT(2) , xy(2y x) = xy , xy = 0 x = 2y 1 Vîi xy = 0 ) x + y = 0 , x = y = 0 Vîi x = 2y 1 ) (2y 1) + y + (2y 1)y(5y 2) = 5(2y 1)y , 2 6664 y = 1; x = 1 y = p 41 20 9 ; x = p 41 10 1 + y = p 41 20 9 + ; x = p 41 1 10 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 1); p 41 10 1 + ; p 41 20 9 ! ; p 41 1 10 ; p 41 20 9 + ! C¥u 17 x2 xy + y2 = 3 2x3 9y3 = (x y)(2xy + 3) Gi£i N¸u ch¿ x²t tøng ph÷ìng tr¼nh mët s³ khæng l m «n ÷ñc g¼. Nh÷ng º þ 2 ng÷íi n y bà r ng buëc vîi nhau bði con sè 3 b½ ©n. Ph²p th¸ ch«ng ? óng vªy, thay 3 xuèng d÷îi ta s³ ra mët ph÷ìng tr¼nh ¯ng c§p v  k¸t qu£ µp hìn c£ mong ñi Th¸ 3 tø tr¶n xuèng d÷îi ta câ 2x3 9y3 = (x y) x2 + xy + y2 , x3 = 8y3 , x = 2y (1) , 3y2 = 3 , y = 1; x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (2;1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 16. 16 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 18 p x + y + p x y = 1 + p x2 y2 p x + p y = 1 Gi£i i·u ki»n :x y 0 Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng p p p p p x + y = 1 x = 1 y n x + y 1 = x y x + y 1 , p , p x y = 1 x = 1 + y 2 §p p y = 0; x = 1 p 1 y + y = 1 Tø â ) p , 4 y = 1; x = 0(L) y + 1 + y = 1 y = 0; x = 1 TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0) p 2x y = 1 + x(y + 1) C¥u 19 x3 y2 = 7 Minh Gi£i i·u ki»n : x(y + 1) 0 Tø (2) d) p ¹ th§y p x 0 p y 1 p (1) , x y + 1 2 x + y + 1 = 0 , x = y + 1 ) (y + 1)3 y2 = 7 , y = 1; x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1) NguyTø c¥u 20 trð ¹i tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh º gi£i quy¸t gån µp r§t nhi·u c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. â gåi h» sè b§t ành (trong ¥y tæi s³ gåi nâ b¬ng t¶n kh¡c : UCT). S³ m§t kho£ng hìn chöc v½ dö º di¹n t£ trån vµn ph÷ìng ph¡p n y Tr÷îc h¸t iºm qua mët mµo ph¥n t½ch nh¥n tû cõa a thùc hai bi¸n r§t nhanh b¬ng m¡y t½nh Casio. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute. V½ dö 1 : A = x2 + xy 2y2 + 3x + 36y 130 Thüc ra ¥y l  tam thùc bªc 2 th¼ câ thº t½nh ph¥n t½ch công ÷ñc. Nh÷ng thû ph¥n t½ch b¬ng Casio xem . Nh¼n th§y bªc cõa x v  y ·u b¬ng 2 n¶n ta chån c¡i n o công ÷ñc Cho y = 1000 ta ÷ñc A = x2 + 1003x 1964130 = (x + 1990) (x 987) Cho 1990 = 2y 10 v  987 = y 13 A = (x + 2y 10) (x y + 13) V½ dö 2 : B = 6x2y 13xy2 + 2y3 18x2 + 10xy 3y2 + 87x 14y + 15 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 17. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 17 Nh¼n th§y bªc cõa x nhä hìn, cho ngay y = 1000 B = 5982x2 12989913x + 1996986015 = 2991 (2x 333) (x 2005) Cho 2991 = 3y 9 ,333 = y 1 3 , 2005 = 2y + 5 B = (3y 9) 2x y 1 3 (x 2y 5) = (y 3) (6x y + 1) (x 2y 5) n V½ dö 3 : C = x3 3xy2 2y3 7x2 + 10xy + 17y2 + 8x 40y + 16 Bªc cõa x v  y nh÷ nhau Cho y = 1000 ta ÷ñc C = x3 7x2 2989992x 1983039984 §Ph¥n t½ch C=(x 1999) (x + 996)2 Cho 1999 = 2y 1 v  996 = y 4 C = (x 2y + 1) (x + y 4)2 TuV½ dö 4 : D = 2x2y2 + x3 + 2y3 + 4x2 + xy + 6y2 + 3x + 4y + 12 Bªc cõa x v  y nh÷ nhau Cho y = 1000 ta ÷ñc D = (x + 2000004) (x2 + 1003) Cho 2000004 = 2y2 + 4 v  1003 = y + 3 D = (x + 2y2 + 4) (x2 + y + 3) Minh V½ dö 5 : E = x3y + 2x2y2 + 6x3 + 11x2y xy2 6x2 7xy y2 6x 5y + 6 Bªc cõa y nhä hìn Cho x = 1000 ta ÷ñc E = 1998999y2 + 1010992995y + 5993994006 = 2997 (667y + 333333) (y + 6) ƒo hâa E=999 (2001y + 999999) (y + 6) Cho 999 = x 1; 2001 = 2y + 1; 999999 = x2 1 E = (x 1) (y + 6) (x2 + 2xy n + y 1) Nguy¹V½ dö 6 : F = 6x4y + 12x3y2 + 5x3y 5x2y2 + 6xy3 + x3 + 7x2y + 4xy2 3y3 2x2 8xy + 3y2 2x + 3y 3 Bªc cõa y nhä hìn Cho x = 1000 ta ÷ñc F = 5997y3 + 11995004003y2 + 6005006992003y + 997997997 Ph¥n t½ch F=(1999y + 1001001) (3y2 + 5999000y + 997) Cho 1999 = 2x 1; 1001001 = x2 + x + 1; 5999000 = 6x2 x; 997 = x 3 F = (x2 + 2xy + x y + 1) (6x2y xy + 3y2 + x 3) L m quen ÷ñc rçi chù ? B­t ¦u n o C¥u 20 8 : x2 + y2 = 1 5 4x2 + 3x 57 25 = y(3x + 1) Gi£i Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 18. 18 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c Líi gi£i gån µp nh§t cõa b i tr¶n l  25:PT(1) + 50:PT(2) , (15x + 5y 7)(15x + 5y + 17) = 0 ¸n ¥y d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m cõa h» : (x; y) = 2 5 ; 1 5 ; 11 25 ; 2 25 n 14x2 21y2 6x + 45y 14 = 0 C¥u 21 35x2 + 28y2 + 41x 122y + 56 = 0 §Gi£i TuLíi gi£i gån µp nh§t cõa b i n y l  49:PT(1) 15:PT(2) , (161x 483y + 218)(x + 3y 7) = 0 V  ¸n ¥y công d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2; 3); (1; 2) Qua 2 v½ dö tr¶n ta °t ra c¥u häi : V¼ sao l¤i th¸ ? C¡i nhâm th nh nh¥n tû th¼ tæi khæng nâi bði ­t h¯n c¡c b¤n ¢ åc nâ ð tr¶n rçi. V¼ sao ð ¥y l  t¤i sao l¤i ngh¾ ra nhúng h¬ng sè kia nh¥n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh, mët sMinh ü t¼nh cí may m­n hay l  c£ mët ph÷ìng ph¡p. Xin th÷a â ch½nh l  mët v½ dö cõa UCT. UCT l  mët cæng cö r§t m¤nh câ thº qu²t s¤ch g¦n nh÷ to n bë nhúng b i h» d¤ng l  hai tam thùc. C¡ch t¼m nhúng h¬ng sè nh÷ th¸ n o. Tæi xin tr¼nh b y ngay sau ¥y. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute. a1x2 + b1y2 + c1xy + d1x + e1y + f1 = 0 Têng Qu¡t: a2x2 + n b2y2 + c2xy + d2x + e2y + f2 = 0 Nguy¹Gi£i Hiºn nhi¶n nhªn x²t ¥y l  h» gçm hai tam thùc bªc hai. M  nh­c ¸n tam thùc th¼ khæng thº khæng nh­c tîi mët èi t÷ñng â l  . Mët tam thùc ph¥n t½ch ÷ñc nh¥n tû hay khæng ph£i xem x ho°c y cõa nâ câ ch½nh ph÷ìng hay khæng. N¸u h» lo¤i n y m  tø ngay mët ph÷ìng tr¼nh ra k¼ di»u th¼ ch¯ng nâi l m g¼, th¸ nh÷ng c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u ra r§t k¼ cöc th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Khi â UCT s³ l¶n ti¸ng. Ta s³ chån h¬ng sè th½ch hñp nh¥n v o mët (ho°c c£ hai ph÷ìng tr¼nh) º ²p sao cho ch½nh ph÷ìng. Nh÷ vªy ph£i t¼m h¬ng sè k sao cho PT(1) + k:PT(2) câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû °t a = a1 + ka2; b = b1 + kb2; c = c1 + kc2; d = d1 + kd2; e = e1 + ke2; f = f1 + kf2 Sè k l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi a= 60 cde + 4abf = ae2 + bd2 + fc2 D¤ v¥ng câ h¯n mët cæng thùc º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh lo¤i n y. T¡c gi£ cõa nâ kh¡ xu§t s­c !!!. Thû kiºm chùng l¤i v½ dö 21 nh² a = 14 + 35k; b = 21 + 28k; c = 0; d = 6 + 41k; e = 45 122k; f = 14 + 56k Sè k s³ l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh 4(14+35k)(21+28k)(14+56k) = (14+35k)(45122k)2+(21+28k)(6+41k)2 , k = 15 49 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 19. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 19 Nh÷ vªy l  PT(1) 15 49 :PT(2) hay 49:PT(1) 15:PT(2) Mët chót l÷u þ l  khæng ph£i h» n o công ¦y õ c¡c h¬ng sè. N¸u khuy¸t thi¸u ph¦n n o th¼ cho h¬ng sè â l  0. Ok!! Xong d¤ng n y rçi. H¢y l m b i tªp vªn döng. ¥y l  nhúng b i h» tæi têng hñp tø nhi·u nguçn. x2 + 8y2 6xy + x 3y 624 = 0 n 1. 21x2 24y2 30xy 83x + 49y + 585 = 0 x2 + y2 3x + 4y = 1 §2. 3x2 2y2 9x 8y = 3 y2 = (4x + 4)(4 x) 3. y2 5x2 4xy + 16x 8y + 16 = 0 Tuxy 3x 2y = 16 4. x2 + y2 2x 4y = 33 x2 + xy + y2 = 3 5. x2 + 2xy 7x 5y + 9 = 0 (2x + 1)2 + y2 + y = 2x + 3 6. xy + x = 1 x2 + 2y2 = 2y 2xy + 1 7. 3x2 + 2xy y2 = 2x y + 5 Minh (x 1)2 + 6(x 1)y + 4y2 = 20 8. x2 + (2y + 1)2 = 2 2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y 2 = 0 9. x2 + y2 + 4xy + 2y = 0 2x2 + 3xy = 3y 13 10. 3y2 + 2xy = 2x + 11 4x2 + 3y(x 1) = 7 11. n 3y2 + 4x(y 1) = 3 Nguyx2 + 2 = x(y ¹1) 12. y2 7 = y(x 1) x2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0 13. xy + y2 + 3y + 1 = 0 x3 y3 = 35 C¥u 22 2x2 + 3y2 = 4x 9y Gi£i Líi gi£i ng­n gån cho b i to¡n tr¶n â l  PT(1) 3:PT(2) , (x 2)3 = (y + 3)3 , x = y + 5 Thay v o (2) ta d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2;3); (3;2) C¥u häi °t ra ð ¥y l  sû döng UCT nh÷ th¸ n o ? T§t nhi¶n ¥y khæng ph£i d¤ng tr¶n núa rçi. Tr÷îc h¸t ¡nh gi¡ c¡i h» n y ¢ Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 20. 20 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c - Bªc cõa x v  y l  nh÷ nhau - C¡c bi¸n x,y ëc lªp vîi nhau - Ph÷ìng tr¼nh mët câ bªc cao hìn PT(2) Nhúng nhªn x²t tr¶n ÷a ta ¸n þ t÷ðng nh¥n h¬ng sè v o PT(2) º PT(1) + a:PT(2) ÷a ÷ñc v· d¤ng h¬ng ¯ng thùc A3 = B3 PT(1) + a:PT(2) , x3 + 2ax2 4ax y3 + 3ay2 + 9ay 35 = 0 C¦n t¼m a sao cho v¸ tr¡i câ d¤ng (x + )3 (y +
  • 21. )3 = 0 n C¥n b¬ng ta ÷ñc : Tu§Minh ¹n Nguy8 : 3
  • 22. 3 = 35 3 = 2a 32 = 4a , 8 : a = 3 = 2
  • 23. = 3 Vªy PT(1) 3:PT(2) , (x 2)3 = (y + 3)3 OK ?? Thû mët v½ dö t÷ìng tü nh² Gi£i h»: x3 + y3 = 91 4x2 + 3y2 = 16x + 9y Gñi þ : PT(1) 3:PT(2) , (x 4)3 = (y + 3)3 C¥u 23 x3 + y2 = (x y)(xy 1) x3 x2 + y + 1 = xy(x y + 1) Gi£i H¢y còng tæi ph¥n t½ch b i to¡n n y. Ti¸p töc sû döng UCT ¡nh gi¡ h» : -Bªc cõa x cao hìn bªc cõa y -C¡c bi¸n x,y khæng ëc lªp vîi nhau -Hai ph÷ìng tr¼nh câ bªc cao nh§t cõa x v  y nh÷ nhau V¼ bªc x ang cao hìn bªc y v  bªc cõa y t¤i 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau n¶n ta h¢y nh¥n tung rçi vi¸t l¤i 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n y. Cö thº nh÷ sau : y2 (x + 1) y (x2 + 1) + x3 + x = 0 y2x y (x2 + x 1) + x3 x2 + 1 = 0 B¥y gií ta mong ÷îc r¬ng khi thay x b¬ng 1 sè n o â v o h» n y th¼ s³ thu ÷ñc 2 ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng. Tùc l  khi â c¡c h» sè cõa 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t¿ l» vîi nhau . Vªy : x + 1 x = x2 + 1 x2 + x 1 = x3 + x x3 x2 + 1 ) x = 1 R§t may m­n ta ¢ t¼m ÷ñc x = 1. Thay x = 1 l¤i h» ta câ 2 (y2 y + 1) = 0 y2 y + 1 = 0 ) 2:PT(2) PT(1) s³ câ nh¥n tû x 1 Cö thº â l  (x 1) (y2 (x + 3) y + x2 x 2) = 0 TH1 :x = 1 thay v o th¼ væ nghi»m TH2: K¸t hñp th¶m vîi PT(1) ta ÷ñc h» mîi : y2 (x + 3) y + x2 x 2 = 0 (3) x3 + y2 x2y + x + xy2 y = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 24. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 21 Nhªn x²t h» n y câ °c iºm gièng vîi h» ban ¦u â l  bªc y nh÷ nhau. Vªy ta l¤i vi¸t l¤i h» theo ©n y v  hi vång nâ s³ l¤i óng vîi x n o â. Thªt vªy, â l  x = 1 2 . Ti¸p töc thay nâ v o h» v  ta s³ rót ra : 2PT(2) PT(1) , (2x + 1) y2 (x 1) y + x2 x + 2 p 1 5 3 5 TH1 : x = ) y = 2 4 n TH2 : K¸t hñp vîi (3) ta ÷ñc y2 (x 1) y + x2 x + 2 = 0 §y2 (x + 3) + x2 x 2 = 0 Vîi h» n y ta ch¿ vi»c trø cho nhau s³ ra y = 1 ) ! x2 + 2 = 0 (Væ nghi»m) p p Tu! 1 5 + 3 5 1 5 3 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = ; ; ; 2 4 2 4 2 (x + y) (25 xy) = 4x2 + 17y2 + 105 C¥u 24 x2 + y2 + 2x 2y = Minh 7 Gi£i H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gièng vîi c¥u 23 Mët chót ¡nh gi¡ v· h» n y - C¡c bi¸n x v  y khæng ëc lªp vîi nhau - Bªc cao nh§t cõa x ð 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau , y công vªy Vîi c¡c °c iºm n y ta thû vi¸t h» th nh 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n x v  y v  xem li»u h» câ óng vîi x ho°c y n o khæn ng. C¡ch l m v¨n nh÷ c¥u 23. Vi¸t theo x ta s³ khæng t¼m ÷ñc y, Nguynh÷ng vi¸t theo y ta ¹s³ t¼m ÷ñc x = 2 khi¸n h» luæn óng. Thay x = 2 v o h» ta ÷ñc 21y2 42y + 21 = 0 ) PT(1) 21PT(2) , (x 2) 2y2 y2 + 2xy + 4y 17x 126 = 0 2y + 1 = 0 TH1 : x = 2 ) y = 1 2y2 + 2xy + 4y 17x 126 = 0 TH2 : x2 + y2 + 2x 2y 7 = 0 H» n y ¢ câ c¡ch gi£i rçi nh¿ ?? 3:PT(2) PT(1) , (x y + 5)2 + 2x2 + x + 80 = 0 (Væ nghi»m) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) Ti¸p theo chóng ta s³ ¸n vîi c¥u VMO 2004. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 25. 22 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 25 x3 + 3xy2 = 49 x2 8xy + y2 = 8y 17x Gi£i Líi gi£i ng­n gån nh§t cõa b i tr¶n â l  : n PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) (x + 1)2 + 3(y 4)2= 0 §¸n ¥y d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (1; 4); (1;4) C¥u häi ÷ñc °t ra l  b i n y t¼m h¬ng sè nh÷ th¸ n o ? Câ r§t nhi·u c¡ch gi£i th½ch nh÷ng tæi xin tr¼nh b y c¡ch gi£i th½ch cõa tæi :tuzki: TuL m t÷ìng tü theo nh÷ hai c¥u 23 v  24 xem n o. Vi¸t l¤i h» ¢ cho th nh 3xy2 + x3 + 49 = 0 y2 + 8(x + 1)y + x2 17x = 0 Mët c¡ch trüc gi¡c ta thû vîi x = 1. V¼ sao ? V¼ vîi x = 1 ph÷ìng tr¼nh 2 s³ khæng cán ph¦n y v  câ v´ 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t÷ìMinh ng ÷ìng. Khi thay x = 1 h» ¢ cho trð th nh 3y2 + 48 = 0 y2 16 = 0 Hai ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng ÷ìng. Tríi th÷ìng rçi !! Vªy x = 1 ch½nh l  1 nghi»m cõa h» v  tø h» thù hai ta suy ra ngay ph£i l m â l  PT(1) + 3:PT(2). Vi»c cán l¤i ch¿ l  ph¥n t½ch nèt th nh nh¥n tû. Ti¸p theo ¥y chóng ta s³ ¸n vîi mët chòm h» dà b£n cõa þ t÷ðng tr¶n. Tæi khæng tr¼nh b y chi ti¸t m  ch¿ gñi þ vn   k¸t qu£ Nguy¹ y3 + 3xy2 = 28 C¥u 26 x2 6xy + y2 = 6x 10y Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (y + 1) (3(x 3)2 + (y + 1)2) = 0 Nghi»m cõa h» : (x; y) = (3;1); (3;1) C¥u 27 6x2y + 2y3 + 35 = 0 5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = 0 Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (2y + 5) 3 x + 1 2 2 + y + 5 2 2 ! = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 26. 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 23 C¥u 28 x3 + 5xy2 = 35 2x2 5xy 5y2 + x + 10y 35 = 0 Gñi þ : PT(1) + 2:PT(2) , (x 2) (5(y 1)2 + (x + 3)2) = 0 n x3 + 3xy2 = 6xy 3x 49 C¥u 29 x2 8xy + y2 = 10y 25x 9 §Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) ((x + 1)2 + 3(y 5)2) = 0 Tuiºm qua c¡c c¥u tø c¥u 23 ¸n c¥u 29 ta th§y d÷íng nh÷ nhúng c¥u h» n y kh¡ °c bi»t. Ph£i °c bi»t th¼ nhúng h» sè kia mîi t¿ l» v  ta t¼m ÷ñc x = hay y =
  • 27. l  nghi»m cõa h». Th¸ vîi nhúng b i h» khæng câ ÷ñc may m­n nh÷ kia th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Tæi xin giîi thi»u mët ph÷ìng ph¡p UCT r§t m¤nh. Câ thº ¡p döng r§t tèt º gi£i nhi·u b i h» húu t¿ (kº c£ nhúng v½ dö tr¶n). â l  ph÷ìng ph¡p T¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa x v  y. V  ta s³ khæng ch¿ nh¥n h¬ng sè v o mët ph÷ìng tr¼nh m  thªm ch½ nh¥n c£ mët h m f(x) hay g(y) v o nâ. Tæi s³ ÷a ra v i v½ dö cö thMinh º sau ¥y : 3x2 + xy 9x y2 9y = 0 C¥u 30 2x3 20x n x2y 20y = 0 Nguy¹Gi£i B i n y n¸u thû nh÷ c¥u 23, 24, 25 ·u khæng t¼m ra nêi x hay y b¬ng bao nhi¶u l  nghi»m cõa h». Vªy ph£i dòng ph²p düng quan h» tuy¸n t½nh giúa x v  y. Quan h» n y câ thº x¥y düng b¬ng hai c¡ch th÷íng dòng sau : - T¼m tèi thiºu hai c°p nghi»m cõa h» - Sû döng ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ Tr÷îc h¸t tæi xin ph¡t biºu l¤i ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ : X²t a thùc : P(x) = anxn + an1xn1 + :::: + a1x + a0 p a thùc câ nghi»m húu t¿ , p l  ÷îc cõa a0 cán q l  ÷îc cõa an q OK rçi chù ? B¥y gií ta h¢y thû x¥y düng quan h» theo c¡ch ¦u ti¶n, â l  t¼m tèi thiºu hai c°p nghi»m cõa h» ( Casio l¶n ti¸ng :v ) D¹ th§y h» tr¶n câ c°p nghi»m l  (0; 0 v  (2;1) Chån hai nghi»m n y l¦n l÷ñt ùng vîi tåa ë 2 iºm, khi â ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng qua chóng s³ l  : x + 2y = 0 , x = 2y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 28. 24 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c Nh÷ vªy quan h» tuy¸n t½nh ð ¥y l  x = 2y. Thay l¤i v o h» ta ÷ñc 9y (y + 1) = 0 20y (y + 1) (y 1) = 0 Sau â ta chån biºu thùc phò hñp nh§t nh¥n v o 2 ph÷ìng tr¼nh. Ð ¥y s³ l  20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2) Nh÷ vªy n 20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2) , (x + 2y) 18x2 + 15xy 60x 10y2 80y §= 0 TH1 : x = 2y thay v o (1) TH2 : K¸t hñp th¶m vîi PT(1) núa th nh mët h» gám hai tam thùc ¢ bi¸t c¡ch gi£i Nghi»m cõa h» : p ! p ! 15 145 p 15 + Tu145 p (x; y) = (0; 0); (2;1); (10; 15); ; 11 145 ; ; 11 + 145 2 2 Sû döng c¡ch n y chóng ta th§y, mët h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿ ch¿ c¦n t¼m ÷ñc mët c°p nghi»m l  ta ¢ x¥y düng ÷ñc quan h» tuy¸n t½nh v  gi£i quy¸t b i to¡n. ¥y ch½nh l  ÷u iºm cõa nâ. B¤n åc thû vªn döng nâ v o gi£i nhúng v½ dö tø 23 ¸n 29 xem. Tæi thû l m c¥u 25 nh² : C°p nghi»m l  (1; 4); (1;4) n¶n quan h» x¥y düng ð ¥y l  x = 1. Thay l¤i v o h» v  ta câ h÷îng chån h» sè º nh¥n. Tuy nhi¶n c¡ch n y s³ chàu ch¸t vMinh îi nhúng b i h» ch¿ câ mët c°p nghi»m ho°c nghi»m qu¡ l´ khæng thº dá b¬ng Casio ÷ñc. ¥y l  nh÷ñc iºm lîn nh§t cõa nâ N o b¥y gií h¢y thû x¥y düng quan h» b¬ng ành lþ nh². Vîi h» n y v¼ ph÷ìng tr¼nh d÷îi ang câ bªc cao hìn tr¶n n¶n ta s³ nh¥n a v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n rçi cëng vîi ph÷ìng tr¼nh d÷îi. V¼ bªc cõa x ang cao hìn n¶n ta vi¸t l¤i biºu thùc sau khi thu gån d÷îi d¤ng mët n ph÷ìng tr¼nh bi¸n x. Cö thº â l  Nguy2x3 + ¹(3a y) x2 + (ay 9a 20) x y (ay + 9a + 20) = 0() Nghi»m cõa (*) theo ành lþ s³ l  mët trong c¡c gi¡ trà 1;1 ;y ;y; :::: 2 2 1 T§t nhi¶n khæng thº câ nghi»m x = hay x = 1 ÷ñc. H¢y thû vîi hai tr÷íng hñp cán l¤i. 2 3y2 18y = 0 * Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc y3 40y = 0 Khi â ta s³ ph£i l§y (y2 40):PT(1)3(y 6):PT(2). Rã r ng l  qu¡ phùc t¤p. Lo¤i c¡i n y. y2 = 0 * Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc 3y3 = 0 Khi â ta s³ l§y 3y:PT(1) + PT(2). Qu¡ ìn gi£n rçi. Khi â biºu thùc s³ l  (x + y) 2x2 + 6xy 3y2 + 27y + 20 = 0 C¡ch sè hai r§t tèt º thay th¸ c¡ch 1 trong tr÷íng hñp khæng t¼m nêi c°p nghi»m. Tuy nhi¶n y¸u iºm cõa nâ l  khæng ph£i h» n o dòng ành lþ công t¼m ÷ñc nghi»m. Ta ph£i bi¸t k¸t hñp nhu¦n nhuy¹n hai c¡ch vîi nhau. V  h¢y thû dòng c¡ch 2 l m c¡c c¥u tø 23 ¸n 29 xem. Nâ s³ ra nghi»m l  h¬ng sè. L m mët c¥u t÷ìng tü núa. Tæi n¶u luæn h÷îng gi£i. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 29. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 25 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 C¥u 31 x2y2 + 3x + 3y 3 = 0 x2y 4xy 3y2 + 2y x + 1 = 0 Gi£i PT(1) (y 1):PT(2) , (x + y 1) 3y2 + xy 2y + 2 = 0 n TH1 : x = 1 y . No problem !!! 3y2 + xy 2y + 2 = 0 §Th2 : x2y 4xy 3y2 + 2y x + 1 = 0 ¥y l¤i l  h» °c bi»t, ta t¼m ÷ñc x = 3 l  nghi»m cõa h». Thay v Tuo v  rót ra k¸t qu£ PT(1) + PT(2) , (x 3) (xy 1) = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1); (1; 0) B i vi¸t v· ph÷ìng ph¡p UCT hay Minh cán gåi l  h» sè b§t ành k¸t thóc ð ¥y. Qua hìn chöc c¥u ta ¢ th§y : sû döng ph÷ìng ph¡p UCT n¥ng cao (t¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa c¡c ©n) l  mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh v  r§t tèt º gi£i quy¸t nhanh gån c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. Tuy nhi¶n nh÷ñc iºm cõa nâ trong qu¡ tr¼nh l m l  kh¡ nhi·u. Thù nh§t : t½nh to¡n qu¡ tr¥u bá v  h¤i n¢o. Hiºn nhi¶n rçi, düng quan h» tuy¸n t½nh ¢ khâ, sau â cán ph£i nhåc cæng ph¥n t½ch mët a thùc hén ën th nh nh¥n tû. Thù hai, n¸u sû döng nâ mët c¡ch th¡i qu¡ s³ khi¸n b£n th¥n trð n¶n thüc döng, m¡y mâc, khæng chàu m y má suy ngh¾ m  cù nh¼n th§y l  lao ¦u v o UCT, câ kh¡c g¼ lao n ¦u v o ¡ khæng ? Mët c¥u häi °t ra. Li»u UCT câ n¶n sû döng trong c¡c k¼ thi, kiºm tra hay khæng ? Xin Nguyth÷a, trong nhúng · ¹VMO, còng l­m þ t÷ðng cõa hå l  dòng UCT d¤ng cì b£n, tùc l  nh¥n h¬ng sè thæi. UCT d¤ng cì b£n th¼ tæi khæng nâi l m g¼ chù UCT d¤ng n¥ng cao th¼ tèt nh§t khæng n¶n x i trong c¡c k¼ thi. Thù nh§t m§t r§t nhi·u thíi gian v  sùc lüc. Thù hai g¥y khâ kh«n v  ùc ch¸ cho ng÷íi ch§m, hå ho n to n câ thº g¤ch bä to n bë m°c dò câ thº b¤n l m óng. Vªy n¶n : CÒNG ×ÍNG LM RÇI MÎI DÒNG NH’ !! :D ¥y câ l³ l  b i vi¸t lîn nh§t m  tæi k±m v o trong cuèn s¡ch. Trong nhúng c¥u ti¸p theo tæi s³ c i nhúng b i vi¸t nhä hìn v o. ân xem nh². Nhúng c¥u ti¸p theo câ thº cán mët sè c¥u sû döng ph÷ìng ph¡p UCT. Vªy n¶n n¸u th­c m­c cù quay trð l¤i tø c¥u 20 m  xem. T¤m thíi g¡c l¤i , ta ti¸p töc ¸n vîi nhúng c¥u ti¸p theo. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 30. 26 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 32 x5 + y5 = 1 x9 + y9 = x4 + y4 Gi£i Nhªn th§y rã r ng ¥y l  lo¤i h» b¡n ¯ng c§p. Ta nh¥n ch²o hai v¸ vîi nhau ÷ñc x9 + y9 = (x4 + y4)(x5 + y5) , x4y4(x + y) = 0 n TH1 : x = 0 ) y = 1 §TH2 : y = 0 ) x = 1 TH3 : x = y thay v o (1) rã r ng væ nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (0; 1) Tu x3 + 2xy2 = 12y C¥u 33 8y2 + x2 = 12 Gi£i L¤i th¶m mët h» còng lo¤i, nh¥n ch²Minh o hai v¸ cho nhau ta ÷ñc x3 + 2xy2 = y(8y2 + x2) , x = 2y Khi â (2) s³ t÷ìng ÷ìng 12y2 = 12 , y = 1; x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1); (2;1) Nguy¹C¥u 34 8 : x2 + y2 + 2xy x + y = 1 p x + y = x2 y Gi£i i·u ki»n : x + y 0 Rã r ng khæng l m «n ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (2). Thû bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1) xem (1) , (x + y)2 1 + 2xy x + y 2xy = 0 , (x + y + 1)(x + y 1) 2xy(x + y 1) x + y = 0 Câ nh¥n tû chung rçi. Vîi x + y = 1 thay v o (2) ta ÷ñc 1 = (1 y)2 y , y = 0; y = 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 31. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 27 Gií ta x²t tr÷íng hñp cán l¤i. â l  x + y + 1 = 2xy x + y , x + y + 1 = 1 x2 y2 , x2 + y2 + x + y = 0 Rã r ng sai v¼ tø i·u ki»n ¢ cho ngay x + y 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (2; 3) n x3 y3 = 3(x y2) + 2 §C¥u 35 p p x2 + 1 x2 3 2y y2 + 2 = 0 Gi£i Tui·u ki»n : 1 x 1, 0 y 2 Th÷íng th¼ b i n y ng÷íi ta s³ l m nh÷ sau. º þ ph÷ìng tr¼nh (1) mët chót (1) , x3 3x = (y 1)3 3(y 1) X²t f(t) = t3 3t vîi 1 t 1 th¼ f0(t) = 3t2 3 0 Suy ra f(t) ìn i»u v  tø â suy ra x = y 1 thay v o (2) C¡ch n y ên. Tuy nhi¶n thay v o l m Minh v¨n ch÷a ph£i l  nhanh. H¢y xem mët c¡ch kh¡c r§t mîi m´ m  tæi l m p p (2) , x2 + 1 x2 + 2 = 3 2y y2 , f(x) = g(y) 13 X²t f(x) tr¶n mi·n [1; 1] ta s³ t¼m ÷ñc 3 f(x) p 4 y + 2 y Ta l¤i câ : g(y) = 3 y(2 y) 3 = 3 2 Vªy f(x) g(y). D§u b¬ng n x£y ra khi y = 1 NguyThay ¹v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ch¿ câ c°p (x; y) = (0; 1) l  thäa m¢n x = 1; x = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1) x3 3x = y3 3y C¥u 36 x6 + y6 = 1 Gi£i D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh (1) c¦n x²t h m rçi, tuy nhi¶n f(t) = t33t l¤i khæng ìn i»u, c¦n ph£i bâ th¶m i·u ki»n. Ta s³ dòng ph÷ìng tr¼nh (2) º câ i·u ki»n. Tø (2) d¹ th§y 1 x; y 1. Vîi i·u ki»n â rã r ng f(t) ìn i»u gi£m v  suy ra ÷ñc x = y Thay v o (2) ta ÷ñc 2x6 = 1 , x = 1 6 p 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = 1 6 p 2 ; 1 6 p 2 ; 1 6 p 2 ; 1 6 p 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 32. 28 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 37 x3(2 + 3y) = 1 x(y3 2) = 3 Gi£i Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng §n TuMinh ¹n Nguy8 : 3y + 1 = 1 x3 3 x + 2 = y3 ) y = 1 x Thay l¤i (1) ta câ 2x3 + 3x2 1 = 0 , x = 1 ) y = 1 x = 1 2 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (1;1); 1 2 ; 2 C¥u 38 x2 + y2 + xy + 1 = 4y y(x + y)2 = 2x2 + 7y + 2 Gi£i Sû döng UCT s³ th§y y = 0 l  nghi»m cõa h». Thay l¤i v  ta s³ câ 2PT(1) + PT(2) , y(x + y + 5)(x + y 3) = 0 , 2 4 y = 0 x = 5 y x = 3 y Vîi y = 0 thay l¤i væ nghi»m Vîi x = 5 y khi â ph÷ìng tr¼nh (1) s³ t÷ìng ÷ìng (y + 5)2 + y2 y2 5y + 1 = 4y , V L T÷ìng tü vîi x = 3 y công væ nghi»m Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 33. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 29 C¥u 39 ( p x + y p x y = y 2 x2 y2 = 9 Gi£i i·u ki»n : y minfxg y Ta khæng n¶n °t ©n têng hi»u v¼ v¨n cán sât l¤i s³ l m b i to¡n khâ kh«n hìn. Mn ët c¡ch 2 trüc gi¡c ta b¼nh ph÷ìng (1) l¶n. Tø (1) ta suy ra p y2 §2x 2 x2 y2 = 4 p ¸n ¥y nh¼n th§y x2 y2 theo (2) b¬ng 3. Vªy suy ra Tuy2 2x 6 = , y2 = 8x 24 4 Thay v o (2) ta ÷ñc Minh 2 x = 3 ) y = 0(TM) x2 8x + 15 = 0 , 4 x = 5 ) y = 4(TM) x = 5 ) y = 4(TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 0); (5; 4); (5;4) C¥u 40 ¹n Nguy8 : x p y + 1 = 5 2 p x + 1 = y + 2(x 3) 3 4 Gi£i i·u ki»n : x; y 1 Khæng p t¼m ÷ñc mèi p quan h» cö thº n o. T¤m thíi ta °t ©n º d¹ nh¼n °t x + 1 = a 0; y + 1 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : a2 1 b = 5 2 b2 1 + 2a(a2 4) = 3 4 Ta th¸ b = 7 2 a2 tø (1) v o (2) v  câ : 7 2 a2 2 + 2a(a2 4) 1 4 = 0 , 2 66666664 a = 3 ) b = 11 2 (L) a = 2 ) b = 1 2 (L) a = 1 ) b = 5 2 (TM) a = 2 ) b = 1 2 (L) ) ( x = 0 y = 3 4 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 34. 30 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 0; 3 4 p x2 + y2 = 185 C¥u 41 Tu§n Minh n Nguy¹ (x2 + xy + y2) p x2 + y2 = 65 (x2 xy + y2) Gi£i Tho¤t nh¼n qua th¼ th§y ¥y l  mët h» ¯ng c§p bªc 3 rã r ng. Tuy nhi¶n n¸u tinh þ ta em cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau s³ ch¿ cán l¤i x2 + y2 Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta câ p x2 + y2 = 250 , 2(x2 + y2) p x2 + y2 = 5 Khi â thay l¤i h» ta câ (25 + xy):5 = 185 (25 xy):5 = 65 ) xy = 12 x2 + y2 = 25 , 2 664 x = 3; y = 4 x = 4; y = 3 x = 3; y = 4 x = 4; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 4); (4; 3); (3;4); (4;3) C¥u 42 8 : r y x + r x y = 7 p xy + 1 x p xy + y p xy = 78 Gi£i i·u ki»n : xy 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : x + y p xy = p xy p xy 7 + p xy(x + y) = 78 °t x + y = a, p xy = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a b = 7 ab = 78 , 2 664 a = 13 b = 6 a = 6 b = 13 (L) , x + y = 13 xy = 36 , x = 9; y = 4 x = 4; y = 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4); (4; 9) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 35. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 31 C¥u 43 x3 y3 = 9 x2 + 2y2 x + 4y = 0 Gi£i Dòng UCT PT(1) 3:PT(3) , (x 1)3 = (y + 2)3 , x = y + 3 n ¸n ¥y d¹ d ng t¼m nghi»m (x; y) = (1;2); (2;1) § 8x3y3 + 27 = 18y3 C¥u 44 4x2y + 6x = y2 TuGi£i ¥y l  mët h» hay. Ta h¢y t¼m c¡ch lo¤i bä 18y3 i. V¼ y = 0 khæng l  nghi»m n¶n (2) t÷ìng ÷ìng 72x2y2 + 108xy = 18y3 ¸n ¥y þ t÷ðng rã r ng rçi chù ? ThMinh ¸ 18y3 tø (1) xuèng v  ta thu ÷ñc 2 8x3y3 72x2y2 108xy + 27 = 0 , ¹n Nguy666664 xy = 3 2 xy = p 5 4 21 9 xy = p 5 4 21 + 9 Thay v o (1) ta s³ t¼m ÷ñc y v  x ) 2 66664 y = 0(L) r y = 3 8(xy)3 + 27 18 = 3 2 p ) x = 5 3 1 4 3 p 5 r y = 3 8(xy)3 + 27 18 = 3 2 3 + ) x = p 5 1 4 3 + p 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 4 3 ; p 5 3 2 p 5 3 ; 1 4 3 + ; p 5 3 2 3 + p 5 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 36. 32 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 45 8 : (x + y) 1 + 1 xy = 5 (x2 + y2) 1 + 1 x2y2 = 9 Gi£i i·u ki»n : xy= 60 n Ta cù nh¥n ra ¢. H» t÷ìng ÷ìng Tu§Minh ¹n Nguy8 : x + y + 1 x + 1 y = 5 x2 + y2 + 1 x2 + 1 y2 = 9 , 8 : x + 1 x + y + 1 y = 5 x + 1 x 2 + y + 1 y 2 = 13 , 2 64 x + 1 x = 2; y + 1 y = 3 x + 1 x = 3; y + 1 y = 2 , 2 64 x = 1; y = p 5 2 3 x = p 5 2 3 ; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; p 5 2 3 ! ; 3 p 5 2 ! ; 1 C¥u 46 x2 + y2 + x + y = 18 x(x + 1)y(y + 1) = 72 Gi£i Mët b i °t ©n têng t½ch công kh¡ ìn gi£n °t x2 + x = a, y2 + y = b. Ta câ a + b = 18 ab = 72 , a = 12; b = 6 a = 6; b = 12 , 2 664 x2 + x = 6 y2 + y = 12 x2 + x = 12 y2 + y = 6 , 2 664 x = 2; x = 3 y = 3; y = 4 x = 3; x = 4 y = 2; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ c£ th£y 8 nghi»m Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 37. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 33 C¥u 47 x3 + 4y = y3 + 16x 1 + y2 = 5(1 + x2) Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng x3 16x = y (y2 4) y2 4 = 5x2 n Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1) s³ l  2 §x = 0; y = 2 x3 16x = 5x2y , 4 x2 16 y = 5x TuTr÷íng hñp 2 thay v o (2) s³ l  (x2 16)2 x2 = 1 5x2 x = 1; y = 3 4 = , 64 , 25x2 x2 = x = 1; y = 3 31 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 2); (0;2); (1;3); (1; 3) p x C¥u 48 p + y2 x2 = 12 y x y2 x2 = 12 n Gi£i i·u kip »n : y2 x2 Nguyº þ x y2 x2 sinh ¹ra tø vi»c ta b¼nh ph÷ìng (1). Vªy thû b¡m theo h÷îng â xem. Tø (1) ta suy ta p x2 + y2 x2 + 2x y2 x2 = (12 y)2 , y2 + 24 = (12 y)2 , y = 5 Thay v o (2) ta câ p x 25 x2 = 12 , x = 3; x = 4 èi chi¸u l¤i th§y thäa m¢n Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 5); (4; 5) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 38. 34 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 49 x4 4x2 + y2 6y + 9 = 0 x2y + x2 + 2y 22 = 0 Gi£i º þ n¸u °t x2 = a th¼ h» ¢ cho bi¸n th nh h» tam thùc bªc 2 ta ho n to n ¢ bi¸t c¡ch gi£i. Cö thº ð ¥y s³ l  n PT(1) + 2:PT(2) , (x2 + y)2 2(x2 + y) 35 = 0 §TH1 : x2 + y = 7 , x2 = 7 y thay (2) ta câ y = 3 ) x = 2 (7 y)y + 7 y + 2y 22 = 0 , Tup y = 5 ) x = 2 TH2 : x2 + y = 5 , x2 = 5 y. Ho n to n t÷ìng p tü thay (p 2) s³ cho y væ nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3); (2; 3); ( 2; 5); ( 2; 5) C¥u 50 Minh n Nguy¹8 : x2 + y + x3y + xy + y2x = 5 4 x4 + y2 + xy(1 + 2x) = 5 4 Gi£i ¥y l  c¥u Tuyºn sinh khèi A - 2008. Mët c¡ch tü nhi¶n khi g°p h¼nh thùc n y l  ta ti¸n h nh nhâm c¡c sè h¤ng l¤i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : (x2 + y) + xy + (x2 + y)xy = 5 4 (x2 + y)2 + xy = 5 4 ¸n ¥y h÷îng i ¢ rã r ng. °t x2 + y = a, xy = b ta câ 8 : a + b + ab = 5 4 a2 + b = 5 4 , 2 64 a = 0; b = 5 4 a = 1 2 ; b = 3 2 , 2 6666664 ( x2 + y = 0 xy = 5 4 8 : x2 + y = 1 2 xy = 3 2 , 2 64 r x = 3 5 4 r ; y = 3 25 16 x = 1; y = 3 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = r 3 5 4 r ; 3 25 16 ! ; 1; 3 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 39. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 35 C¥u 51 x2 + 1 + y(y + x) = 4y (x2 + 1)(x + y 2) = y Gi£i H» g¦n nh÷ ch¿ l  c¥u chuy»n cõa x2 + 1 v  x + y. Tuy nhi¶n y chen v o ¢ khi¸n h» trð n¶n khâ chàu. H¢y di»t y i ¢. C¡ch tèt nh§t â l  chia khi m  y = 0 khæng ph£i l  nghi»m cõa h». H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 §n TuMinh ¹n Nguy: x2 + 1 y + x + y 2 = 2 x2 + 1 y (x + y 2) = 1 H÷îng i rã r ng. °t x2 + 1 y = a, x + y 2 = b H» ¢ cho trð th nh a + b = 2 ab = 1 , a = 1 b = 1 , x2 + 1 = y x + y = 3 , x = 1; y = 2 x = 2; y = 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 5) C¥u 52 y + xy2 = 6x2 1 + x2y2 = 5x2 Gi£i Lo¤i h» n y khæng khâ. Þ t÷ðng ta s³ chia º bi¸n v¸ ph£i trð th nh h¬ng sè Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : y x2 + y2 x = 6 1 x2 + y2 = 5 , 8 : y x 1 x + y = 6 1 x + y 2 2 y x = 5 °t y x = a, 1 x + y = b. H» trð th nh ab = 6 b2 2a = 5 , a = 2 b = 3 , ( y = 2x 1 x + y = 3 , x = 1; y = 2 x = 1 2 ; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); 1 2 ; 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 40. 36 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 53 x2 + 2y2 = xy + 2y 2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2y Gi£i º þ mët chót ¥y l  h» b¡n ¯ng c§p. N¸u ta vi¸t l¤i nh÷ sau x2 + 2y2 xy = 2y n 2x3 + 3xy2 3x2y = 2y2 §Tø â ta câ 2y2(x2 + 2y2 xy) = 2y 2x3 + 3xy2 3x2y , 4y (y x) Tu x2 xy + y2= 0 TH1 : y = 0 ) x = 0 TH2 : x = y = 0 TH3 : x = y thay v o (1) ta ÷ñc 2y2 x = y = 0 = 2y , x = y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 0); (1; 1) 2x2y + y3 2x4 x6 C¥u 54 p = + (x + 2) y + 1 = (x + 1)2 n Gi£i i·u ki»n : y 1 NguyKhai th¡c tø (1). Câ ¹v´ nh÷ l  h m n o â. Chån chia cho phò hñp ta s³ ÷ñc möc ½ch, ð ¥y s³ chia cho x3 v¼ x = 0 khæng l  nghi»m cõa h». PT(1) khi â s³ l  y y 3 y 2 + = 2x + x3 , = x , y = x2 x x x Thay v o (2) ta s³ ÷ñc p p (x + 2) x2 + 1 = (x + 1)2 ) (x + 2)2 x2 x = 3; y = 3(TM) + 1 = (x + 1)4 , p x = 3; y = 3(TM) p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 3; 3) Ta s³ ¸n mët c¥u t÷ìng tü nâ Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 41. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 37 C¥u 55 x5 + xy4 = y10 + y6 p 4x + 5 + p y2 + 8 = 6 Gi£i 5 i·u ki»n : x 4 Th§y y = 0 khæng l  nghi»m cõa h». Chia 2 v¸ cõa (1) cho y5 ta ÷ñc n x 5 x x + = y5 + y , = y , x = y2 §y y y Thay v o (2) ta ÷ñc p p Tu4x + 5 + x + 8 = 6 , x = 1 ) y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1) xy + x + 1 = 7y C¥u 56 x2y2 + xy + 1 = 13y2 Minh Gi£i ¥y l  c¥u Tuyºn sinh khèi B - 2009. C¡c gi£i thæng th÷íng nh§t â l  chia (1) cho y, chia (2) cho y2 sau khi kiºm tra y = n 0 khæng ph£i l  nghi»m. Ta s³ ÷ñc Nguy¹8 : x + x y + 1 y = 7 x2 + x y + 1 y2 = 13 , 8 : x + 1 y + x y = 7 x + 1 y 2 x y = 13 , a + b = 7 a2 b = 13 , a = 4; b = 3 a = 5; b = 12 , 2 6666664 8 : x + 1 y = 4 x = 3y 1 x + : y 8 = 5 x = 12y , x = 1; y = 1 3 x = 3; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; 1 3 ; (3; 1) Ti¸p töc ta ¸n th¶m mët c¥u tuyºn sinh núa Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 42. 38 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 57 x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 x2 + 2xy = 6x + 6 Gi£i º þ thªt k¾ n¸u ta th¸ kh²o l²o xy l¶n (1) s³ ch¿ cán l¤i ph÷ìng tr¼nh ©n x. Dò s³ l  bªc 4 nh÷ng li·u th¼ «n nhi·u. H» vi¸t l¤i §n TuMinh ¹n Nguy8 : x4 + 2x2(xy) + x2y2 = 2x + 9 6x + 6 x2 xy = 2 Tø â (1) s³ t÷ìng ÷ìng x4 + x2(6x + 6 x2) + 6x + 6 x2 2 2 = 2x + 9 , x = 4 x = 0 ) y = 17 4 V L Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 4; 17 4 C¥u 58 3 p 1 + x + p 1 y = 2 x2 y4 + 9y = x(9 + y y3) Gi£i i·u ki»n : y 1 Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (1). X²t (2). º þ 1 tµo th¼ (2) câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh (x y) (9 x y3) = 0 , x = y x = 9 y3 Vîi x = y thay v o (1) ta s³ ÷ñc 3 p p 1 y = 2 , 1 + y+ 8 : a + b = 2 a3 + b2 = 2 b 0 , 2 4 a = 1; b = 1 a = 1 p 3; b = 3 + p 3 a = p 3 1; b = 3 p 3 , 2 4 y = 0 y = 6 p 3 11 p 3 11 y = 6 Vîi x = 9 y3 thay v o (1) ta s³ ÷ñc 3 p 10 y3 + p 1 y = 2 Ta câ 3 p 10 y3 + p 1 y 3 p 9 2 p 3 11; 6 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (6 p 3 11); (6 p 3 11;6 p 3 11) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 43. 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 39 C¥u 59 p xy + p 1 y = p y p y 2 p x 1 p y = 1 Gi£i i·u ki»n : x 1; 0 y 1 Tho¤t nh¼n b i to¡n ta th§y nh÷ l¤c v o m¶ cung nhúng c«n thùc. Tuy nhi¶n ch¿ vîi nhúng ¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n ta câ thº ch²m µp b i to¡n n Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) nh÷ sau p p p §2 y x 1 = y 1 Tø i·u ki»n d¹ th§y V T 0 V P D§u b¬ng x£y ra khi x = y = 1 TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1) p p x 17 4x2 + C¥u 60 p p y 19 Minh 9y2 = 3 17 4x2 + 19 9y2 = 10 2x 3y Gi£i p p p p i·u ki»n : 17 x 17 ; 19 y 19 2 2 3 3 B i to¡n n y xu§t hi»n tr¶n · thi thû l¦n 2 page Y¶u To¡n håc v  tæi l  t¡c gi£ cõa nâ. Þ t÷ðng cp õa nâ kh¡ ìn gi£n, phò hñp vîp i 1 · thi tuyp ºn sinh º þ x 17 4x2 li¶n quan ¸n 2x v  17 4x2, y 19 9y2 li¶n quan ¸n 3y v  19 9y2. V  têng bp ¼nh ph÷ìng cõa n chóng p l  nhúng h¬ng sè. §y l  cì sð º ta °t ©n °t 2x + 17 4x2 ¹= a , 3x + 19 9y2 = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy8 : a + b = 10 a2 17 4 + b2 19 6 = 3 , a = 5; b = 5 a = 3; b = 7 TH1 : 2x + p 17 4x2 = 5 3y + p 19 9y2 = 5 $ 8 : x = 1 2 x = 2 y = 5 p 13 6 TH2 : 2x + p 17 4x2 = 3 3y + p 19 9y2 = 7 (Lo¤i) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 ; 5 + p 13 6 ! 1 2 ; 5 p 13 6 ! 2; 5 + p 13 6 ! 2; 5 p 13 6 ! V  ¥y l  þ t÷ðng gèc cõa nâ. H¼nh thùc ìn gi£n hìn mët chót Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 44. 40 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 C¥u 61 p p p x 5 x2 + y 5 4y2 = 1 5 x2 + p 5 4y2 = x 2y Nghi»m : (x; y) = (1;1); §n TuMinh ¹n Nguy 2; 1 2 C¥u 62 x3 xy2 + y3 = 1 4x4 y4 = 4x y Gi£i Rã r ng l  mët h» ÷a v· ÷ñc d¤ng ¯ng c§p b¬ng c¡ch nh¥n ch²o v¸ vîi v¸. Tuy nhi¶n, b i n y n¸u sû döng ph²p th¸ tèt ta s³ ÷a v· mët k¸t qu£ kh¡ µp m­t Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 4x(x3 1) = y(y3 1) ¸n ¥y ta rót x3 1 v  y3 1 tø (1). Cö thº tø (1) ta câ x3 1 = y3 y2x y3 1 = xy2 x3 Thay t§t c£ xuèng (2) v  ta thu ÷ñc 4xy2(y x) = xy(x2 y2) , 2 664 x = 0 y = 0 x = y 4y = y + x , 2 66664 y = 1 x = 1 x = y = 1 1 y = 3 p 25 ; x = 3 3 p 25 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1); (1; 0); (1; 1); 1 3 p 25 ; 3 3 p 25 C¥u 63 8 : x + p x2 y2 x p x2 y2 + x p x2 y2 x + p x2 y2 = 17 4 x(x + y) + p x2 + xy + 4 = 52 Gi£i i·u ki»n : x6= p x2 y2, x2 y2 0, x2 + xy + 4 0 H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ khõng bè nh÷ng nhúng þ t÷ðng th¼ ¢ lë h¸t. Ta câ thº khai th¡c c£ 2 ph÷ìng tr¼nh. Pt(1) câ nhi·u c¡ch xû l½ : ¯ng c§p, °t ©n, li¶n hñp. Tæi s³ xû l½ theo h÷îng sè 3. (1) khi â s³ l  x + p x2 y2 2 x2 (x2 y2) + x p x2 y2 2 x2 (x2 y2) = 17 4 , 2 (2x2 y2) y2 = 17 4 , y = 4x 5 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 45. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 41 Ti¸p töc khai th¡c (2). D¹ th§y °t p x2 + xy + 4 = t 0 th¼ (2) trð th nh t2 + t = 56 , t = 7 t = 8(L) ) x2 + xy = 45 K¸t hñp l¤i ta ÷ñc ( 4 y = x 5 , x2 §n + xy = 45 TuMinh ¹n Nguy2 664 x = 5; y = 4 x = 5; y = 4 x = 15; y = 12 x = 15; y = 12 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5;4); (5; 4); (15; 12); (15;12) C¥u 64 p x + p y + p x p p y = 2 p p y + x y p x = 1 Gi£i i·u ki»n : x; y 0 , p y minfxg , p x minfyg Khæng t¼m ÷ñc mèi li¶n h» g¼ tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh, ta ti¸n h nh b¼nh ph÷ìng nhi·u l¦n º ph¡ vï to n bë c«n thùc khâ chàu. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 2x + 2 p x2 y = 4 , p x2 y = 2 x ) x2 y = x2 4x 4 , 4x y = 4 L m t÷ìng tü ph÷ìng tr¼nh (2) ta s³ câ : 4x 4y = 1. K¸t hñp 2 k¸t qu£ l¤i d¹ d ng t¼m ÷ñc x,y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 17 12 ; 5 3 C¥u 65 8 : x + 2xy 3 p x2 2x + 9 = x2 + y y + 2xy 3 p y2 2y + 9 = y2 + x Gi£i H¼nh thùc cõa b i h» l  èi xùng. Tuy nhi¶n biºu thùc kh¡ cçng k·nh v  l¤i nhªn x²t th§y x = y = 1 l  nghi»m cõa h¶. Câ l³ s³ ¡nh gi¡ Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh l¤i ta câ x2 + y2 = 2xy 1 3 p x2 2x + 9 + 1 3 p y2 2y + 9 ! Tø â ta nhªn x²t º câ nghi»m th¼ xy 0 v  º þ l  3 p t2 2t + 9 2 n¶n ta ¡nh gi¡ x2 + y2 2xy 1 2 + 1 2 , (x y)2 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 46. 42 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1) C¥u 66 Tu§n Minh n Nguy¹( 6 x y 2 = p 3x y + 3y p 3x + 2 p 3x y = 6x + 3y 4 Gi£i i·u ki»n : y6= 0 , 3x y, 3x + p 3x y 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) khi â s³ t÷ìng ÷ìng 6x 2y = y p 3x y + 3y2 , 2 (3x y) y p 3x y 3y2 = 0 , p 3x y = y p 3x y = 3y 2 TH1 : p 3x y = y. Tø ¥y suy ra y 0 v  3x = y2 + y thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc p y2 + y y = 2 2 y2 + y + 3y 4 , 2y2 + 7y 4 = 0 y 0 , y = 4 ) x = 4 TH2 : p 3x y = 3y 2 . Tø ¥y suy ra y 0 v  3x = 9y2 4 + y thay t§t c£ v o (2) ta công s³ t¼m ÷ñc y = 8 9 ) x = 8 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 4); 8 9 ; 8 9 C¥u 67 p 2 x 2y (3 x) p 2y 1 = 0 3 p p y + 2 = 5 x + 2 + 2 Gi£i i·u ki»n : x 2; y 1 2 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p 2 x + (2 x) p 2y 1 + p 2 x = (2y 1) p 2y 1 , f( p 2y 1) p 2x 1) = f( Vîi f(x) = x3 + x ìn i»u t«ng. Tø â suy ra p 2 x = p 2y 1 , x = 3 2y thay v o (2) ta câ 3 p 5 2y + 2 p y + 2 = 5 , a + 2b = 5 a3 + 2b2 = 9 , 2 6664 a = 1; b = 2 a = p 65 4 3 ; b = p 65 8 23 + a = p 65 3 4 ; b = p 65 8 23 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 47. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 43 , 2 6664 y = 2 y = 233 + 23 p 65 32 y = p 65 233 23 32 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m p p ! p p ! 23 65 185 233 23 65 23 65 + 185 233 + 23 65 (x; y) = (1; 2); ; ; 16 32 16 32 n Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè công l  mët h÷îng kh¡ phê bi¸n trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh. Ch¿ c¦n kh²o l²o nh¼n ra d¤ng cõa h m, ta câ thº rót ra nhúng i·u k¼ di»u tø nh§úng ph÷ìng tr¼nh khæng t¦m th÷íng chót n o Tu p p 1 + xy + 1 + x + y = 2 C¥u 68 x2y2 xy = x2 + y2 + x + y Gi£i i·u ki»n : xy 1 , x + y 1 Mët chót bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2) ta Minh s³ ÷ñc x2y2 y)2 x + y = xy + xy = (x + + x + y , (xy x y)(xy + x + y + 1) = 0 , x + y = xy 1 TH1 : xy = x + y thay v o (1) ta ÷ñc p 2 1 + xy = 2 , xy = 0 , x = y = 0 TH2 : x + y = xy 1 thay n v o (1) ta ÷ñc p p 1 + xy + xy = 2(V L) NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (0; 0) C¥u 69 8 : x + 3x y x2 + y2 = 3 y x + 3y x2 + y2 = 0 Gi£i Tæi khæng nh¦m th¼ b i to¡n n y ¢ xu§t hi»n tr¶n THTT, tuy nh¼n h¼nh thùc cõa h» kh¡ µp m­t v  gån nhµ nh÷ng khæng h· d¹ gi£i mët chót n o. H÷îng l m tèi ÷u cõa b i n y â l  phùc hâa. Düa v o þ t÷ðng h» kh¡ èi xùng çng thíi d÷îi m¨u nh÷ l  b¼nh ph÷ìng cõa Moun m  ta sû döng c¡ch n y. H÷îng gi£i nh÷ sau PT(1)+i.PT(2) ta s³ ÷ñc x + yi + 3(x yi) (xi + y) x2 + y2 = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 48. 44 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c °t z = x + yi khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh z + 3z iz jzj2 = 3 , z + 3z iz z:z = 3 , z + 3 i z = 3 , z = 2 + i z = 1 i Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (1;1) H¼nh thùc cõa nhúng b i h» n y kh¡ d¹ nhªn th§y. Thû l m mët sè c¥u t÷ìng tü nh². §n C¥u 70 TuMinh ¹n Nguy8 : x + 5x + 7 p 5y x2 + y2 = 7 y + p 5x 5y x2 + y2 = 0 7 C¥u 71 8 : x + 5x y x2 + y2 = 3 y x + 5y x2 + y2 = 0 C¥u 72 8 : x + 16x 11y x2 + y2 = 7 y 11x + 16y x2 + y2 = 0 C¥u 73 (6 x)(x2 + y2) = 6x + 8y (3 y)(x2 + y2) = 8x 6y Gñi þ : Chuyºn h» ¢ cho v· d¤ng 8 : x + 6x + 8y x2 + y2 = 6 y + 8x 6y x2 + y2 = 3 Nghi»m : (x; y) = (0; 0); (2; 1); (4; 2) Phùc hâa l  mët ph÷ìng ph¡p kh¡ hay º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh mang t½nh ¡nh è cao. Khæng ch¿ vîi lo¤i h» n y m  trong cuèn s¡ch tæi s³ cán giîi thi»u mët v i c¥u h» kh¡c công sû döng phùc hâa kh¡ µp m­t. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 49. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 45 C¥u 74 4x2y2 6xy 3y2 = 9 6x2y y2 9x = 0 Gi£i ¥y l  mët b i to¡n công kh¡ µp m­t. Th§y x = 1 l  nghi»m cõa h» . Ta suy ra PT(1) + PT(2) , (x 1)(4y2(x + 1) + 6xy 9) = 0 n TH1 : x = 1 ) y = 3 TH2 : 4y2(x + 1) + 6xy 9 = 0 §V¼ x = 0 khæng l  nghi»m. Suy ra 4y2x(x + 1) + 6x2y 9x = 0 (*) V¼ sao nh¥n x v o §y. UCT ch«ng ? Tæi ch¿ giîi thi»u cho c¡c b¤n UCT n¥ng cao thæi chù tæi ch£ dòng bao gií. L½ do ch¿ ìn gi£n tæi muèn xu§t hi»n 6x2y Tu9x = y2 tø (2) thæi Vªy (*) , 4y2x(x + 1) + y2 = 0 , y2(2x + 1)2 = 0 TH1 : y = 0 væ nghi»m 1 3 TH2 : x = ) y = 3; y = 2 2 Minh 1 1 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3); ; 3 ; ; 2 2 2 C¥u 75 ¹n Nguy8 : x2 (y + 1)2 + y2 (x + 1)2 = 1 2 3xy = x + y + 1 Gi£i i·u ki»n x; y6= 1 B i to¡n n y câ kh¡ nhi·u c¡ch gi£i. Tæi xin giîi thi»u c¡ch µp ³ nh§t cõa b i n y p döng B§t ¯ng thùc AM GM cho v¸ tr¡i cõa (1) ta câ V T 2xy (x + 1)(y + 1) = 2xy xy + x + y + 1 = 2xy xy + 3xy = 1 2 D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1); 1 3 ; 1 3 C¥u 76 3y2 + 1 + 2y(x + 1) = 4y p x2 + 2y + 1 y(y x) = 3 3y Gi£i i·u ki»n : x2 + 2y + 1 0 Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (2). Thû bi¸n êi (1) xem sao. PT(1) t÷ìng ÷ìng 4y2 4y p x2 + 2y + 1 + x2 + 2y + 1 = x2 2xy + y2 , 2y p x2 + 2y + 1 2 = (x y)2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 50. 46 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c , p px2 + 2y + 1 = 3y x x2 + 2y + 1 = x + y Câ v´ hìi £o nh¿ ? Nh÷ng º þ mët chót th¼ (1) câ vâc d¡ng cõa c¡c h¬ng ¯ng thùc n¶n ta ngh¾ ¸n h÷îng n y B¥y gií xû l½ hai tr÷íng hñp kia th¸ n o ? Ch­c b¼nh ph÷ìng thæi. Tèt qu¡ ! Ph÷ìng tr¼nh s³ ch¿ cán l¤i xy v  y m  nhúng c¡i â th¼ (2) ¢ câ c£ TH1 : p x2 + 2y + 1 = 3y x n 3y x , , x2 + 2y + 1 = 9y2 6xy + x2 Tu§Minh n Nguy¹8 : 3y x 6xy = 9y2 2y 1 xy = y2 + 3y 3(2) , x = 1; y = 1(TM) x = 415 51 ; y = 17 3 (TM) TH2 : p x2 + 2y + 1 = x + y , x + y 0 x2 + 2y + 1 = x2 + 2xy + y2 , 8 : x + y 0 2xy = y2 + 2y + 1 xy = y2 + 3y 3 , x = 1; y = 1 x = 41 21 ; y = 7 3 (L) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 415 51 ; 17 3 Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t. Tam thùc bªc hai câ kh¡ nhi·u ùng döng trong gi£i to¡n v  h» công khæng ph£i l  ngo¤i l». Ch¿ vîi nhúng ¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n : °t i·u ki»n cõa º tam thùc câ nghi»m m  ta câ thº t¼m ra cüc trà cõa c¡c ©n. Tø â ¡nh gi¡ v  gi£i quy¸t nhúng b i to¡n m  c¡c ph÷ìng ph¡p thæng th÷ìng công bâ tay. Lo¤i h» sû döng ph÷ìng ph¡p n y th÷íng cho d÷îi hai d¤ng ch½nh. Thù nh§t : cho mët ph÷ìng tr¼nh l  tam thùc, mët ph÷ìng tr¼nh l  têng ho°c t½ch cõa hai h m f(x) v  g(y). Thù hai : cho c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ·u l  ph÷ìng tr¼nh bªc hai cõa 1 ©n n o â. H¢y thû l÷ît qua mët chòm h» lo¤i n y nh². C¥u 77 ( x4 + y2 = 698 81 x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0 Gi£i H¼nh thùc cõa h» : mët ph÷ìng tr¼nh l  tam thùc bªc hai mët câ d¤ng f(x) + g(y) v  mët sè kh¡ khõng bè. Ta h¢y khai th¡c ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng c¡ch ¡nh gi¡ Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) d÷îi d¤ng sau x2 + (y 3)x + (y 2)2 = 0() y2 + (x 4)y + x2 3x + 4 = 0() º (*) câ nghi»m th¼ x 0 , (y 3)2 4(y 1)2 0 , 1 y 7 3 º (**) câ nghi»m th¼ y 0 , (x 4)4 4(x2 3x + 4) 0 , 0 x 4 3 Tø i·u ki»n ch°t cõa hai ©n gií ta x²t (1) v  câ mët ¡nh gi¡ nh÷ sau x4 + y2 4 3 4 + 7 3 2 = 697 81 698 81 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 51. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 47 Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Thû mët c¥u t÷ìng tü nh² ( 50 x3 + y2 = C¥u 78 27 x2 + xy + y2 y = 1 §n Gi£i 49 50 L m t÷ìng tü v  tø (1) ta s³ rót ra x3 + y2 27 27 Tu (2x2 3x + 4)(2y2 3y + 4) = 18 C¥u 79 x2 + y2 + xy 7x 6y + 14 = 0 Gi£i H¼nh thùc kh¡ quen thuëc nh÷ng ph÷ìng tr¼nh ¦u cho ð d¤ng f(x):f (y). Ch£ sao ! Cù l m nh÷ ban n¢y. Minh Tø ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng ¡nh gi¡ quen thuëc ta rót ra ¹n Nguy8 : 2 x 10 3 1 y 7 3 i·u ki»n tr¶n õ º f(x) v  f(y) ìn i»u t«ng v¼ f0(x) = 4x 3 0 vîi x nh÷ tr¶n Vªy ta câ f(2):f (1) f(x):f (y) f 10 3 :f 7 3 , 18 f(x):f (y) 10366 81 D§u b¬ng x£y ra khi x = 2 v  y = 1 thay l¤i v o (2) th§y khæng thäa. Vªy h» ¢ cho væ nghi»m C¥u 80 ( (2x2 1)(2y2 1) = 7 2 xy x2 + y2 + xy 7x 6y + 14 = 0 Gi£i Mët chót bi¸n êi ta s³ ÷a v· gièng c¥u 79 Nhªn th§y x = y = 0 khæng l  nghi»m cõa h». Chia c£ 2 v¸ ph÷ìng tr¼nh (1) cho xy v  ta s³ ÷ñc 2x 1 x 2y 1 y = 7 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 52. 48 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c Quen thuëc rçi nh¿. B i n y v¨n væ nghi»m C¥u 81 x2y2 2x + y2 = 0 2x2 4x + 3 + y3 = 0 Gi£i n H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gån nhµ nh÷ng khæng d¹ g¼ gi£i ÷ñc b¬ng c¡c c¡ch th§æng th÷íng. Nh÷ng º þ c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u l  bªc hai vîi ©n x. Vªy n¶n gi£ sû câ nghi»m x th¼ rã r ng x 0 Nh÷ vªy tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh ta câ Tu1 y4 0 1 y 1 , ) y3) y = 1 4 2(3 + 0 y 1 Thay l¤i v  ta s³ t¼m ÷ñc x = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1) OK ? Tæi s³ ÷a th¶m 3 v½ dö núa º Minh c¡c b¤n test x2 2x + 2 y2 = 0 C¥u 82 x2y3 2x + y = 0 Nghi»m : (x; y) = (1; 1) n Nguyx2y2 x2 + 4y2 12x = 4 C¥u 83 2x2 + ¹2y2 8x + 9y + 18 = 0 Nghi»m : (x; y) = (2;2) x2y2 8x + y2 = 0 C¥u 84 2x2 4x + 10 + y3 = 0 Nghi»m : (x; y) = (1;2) N­m rã rçi chù ? Ti¸p töc ¸n vîi c¡c c¥u ti¸p theo. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 53. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 49 C¥u 85 (x + 1)(y + 1) + 1 = (x2 p + x + 1)(y2 + y + 1) x3 + 3x + (x3 y + 4) x3 y + 1 = 0 Gi£i i·u ki»n : x3 y + 1 0 Tho¤t nh¼n b i to¡n câ v´ d¹ d ng khi º þ mët chót th¼ (2) câ d¤ng h m sè. Tuy nhi¶n §y v¨n ch÷a ph£i l  nót th­t. ¥y l  mët b i to¡n y¶u c¦u kh£ n«ng xû l½ ph÷ìng tr¼nh n bªc cao tèt. Tam thíi ta xû l½ (2) tr÷îc ¢. p §°t x3 y + 1 = t khi â ph÷ìng tr¼nh (2) s³ l  x3 + 3x + t3 + 3t = 0 , x3 + 3x = (t)3 + 3(t) , Tut = x x 0 , y = x3 x2 + 1 i·u ki»n x 0 kh¡ quan trång. Nâ gióp ta câ ¡nh gi¡ tèt hìn sau ¥y PT(1) , 1 = x2y + x2 + y2x + y2 + x2y2 , 1 = x2(x3 x2 + 1) + x2 + Minh x(x3 x2 + 1)2 + (x3 x2 + 1)2 + x2(x3 x2 + 1)2 , x8 x7 + 2x5 + x2 + x = 0 TH1 : x = 0 ) y = 1 (TM) TH2 : x7 + 2x4 + x = x6 1 x(x3 1)2 (x3 1)(x3 x = 1 ! y = 1(TM) , + = + 1) , x4 x3 + x + 1 = 0() n 1 1 1 () , x4 + x + 1 = x3 , x4 x2 + + x2 + x + + = x3 4 4 2 1 2 1 2 1 Nguy¹, x2 + x + + = x3 2 2 2 Do V T 0 V P n¶n væ nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); (1;1) p x3(4y2 + 1) p + 2(x2 + 1) x = C¥u 86 p 6 x2y(2 + 2 4y2 + 1) = x + x2 + 1 Gi£i i·u ki»n : x 0 H¼nh thùc cõa b i h» rã r ng l  kh¡ r­c rèi. Tuy nhi¶n, º þ ð (2) n¸u ta chia c£ 2 v¸ cho x2 th¼ s³ cæ lªp ÷ñc x v  y v  hi vång s³ ra ÷ñc i·u g¼. Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. Chia 2 v¸ cõa (2) cho x2 ta ÷ñc 2y + 2y p 4y2 + 1 = 1 x + 1 x r 1 x2 + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 54. 50 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c p t2 + 1 v  h m n y ìn i»u t«ng. Vªy tø â ta suy ra Rã r ng 2 v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + t ÷ñc 2y = 1 x thay v o (1) ta câ x3 1 x2 + 1 + 2(x2 + 1) p x = 6 p , x3 + x + 2(x2 + 1) x = 6 n Rã r ng v¸ tr¡i ìn i»u t«ng vîi i ·u ki »n cõa x. Vªy x = 1 l  nghi»m duy nh§t 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; Tu§2 p p p 7x + y + 2x + y = 5 C¥u 87 2x + y + x y = 2 Gi£i ¥y l  c¥u trong · VMO 2000-2001. Khæng h¯n l  mët c¥u qu¡ khâ i·u ki»n : y minf2x;7xg p Minh p Xu§t hi»n hai c«n thùc vªy thû °t 7x + y = a , 2x + y = b xem Nh÷ng cán x y th¼ th¸ n o ? Ch­c s³ li¶n quan ¸n a2; b2. Vªy ta sû döng çng nh§t thùc 3 8 x y = k(7x + y) + l(2x + y) , k = ; l = 5 5 Vªy h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ¹n Nguy8 : a + b = 5 b + 3a2 5 8b2 5 = 2 a; b 0 , 8 : a = p 77 2 15 b = p 77 5 2 , 8 : 7x + y = p 77 151 15 2 2x + y = p 77 2 51 5 , 8 : x = 10 p 77 y = p 77 2 11 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 10 p 77; p 77 2 11 ! Mët c¡ch kh¡c công kh¡ tèt. °t p 7x + y = a; p 2x + y = b v  ta x¥y düng mët h» t¤m sau a + b = 5 a2 b2 = 5x , a + b = 5 a b = x , b = 5 x 2 Thay v o (2) v  ta ÷ñc 5 x 2 + x y = 2 , x = 2y 1 ¸n ¥y thay l¤i v o (2) v  ta công ra k¸t qu£ Mët v½ dö t÷ìng tü cõa b i n y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 55. 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 51 C¥u 88 p 11x y p y x = 1 p y x + 6y 26x = 3 7 Nghi»m : (x; y) = 37 20 ; 81 10 §n C¥u 89 TuMinh ¹n Nguy8 : p 3x 1 + 1 x + y = 2 p 7y 1 1 x + y p 2 = 4 Gi£i ¥y l  c¥u trong · VMO 1995-1996. Mët þ t÷ðng kh¡ µp m­t m  s¡ng t¤o i·u ki»n : x; y 0; x + y 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 1 + 1 x + y = 2 p 3x 1 1 x + y = p 4 2 p 7y , 8 : 1 x + y = 1 p 3x p 2 2 p 7y 1 = 1 p 3x + p 2 2 p 7y , 1 x + y = 1 p 3x p 2 2 p 7y ! 1 p 3x + p 2 2 p 7y ! , 1 x + y = 1 3x 8 7y , 21xy = (x + y)(7y 3x) , (y 6x)(7y + 4x) = 0 , y = 6x Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc 1 + 1 7x = 2 p 3x , x = 11 + 4 p 7 21 ) y = 22 7 + 8 p 7 Mët p c¡ch kh¡c câ thº sû döng trong b i n y â l  phùc hâa. Nâ mîi xu§t hi»n g¦n ¥y p °t x = a 0 , y = b 0. Ta câ h» mîi nh÷ sau 8 : a + a a2 + b2 = 2 p 3 b b a2 + b2 = p 2 p 7 4 PT(1) + i:PT(2) , (a + bi) + a bi a2 + b2 = 2 p 3 + p 2 p 7 4 i °t z = a + bi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh z + 1 z = 2 p 3 + p 2 p 7 4 i ) z ) a; b ) x; y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 56. 52 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 11 + 4 p 7 21 ; 22 7 + 8 p 7 ! B i h» n y câ kh¡ nhi·u dà b£n phong phó. Tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n C¥u 90 Tu§n Minh n Nguy¹8 : p x 3 1 + 6 x + y = p 2 p y 1 6 x + y = 1 Nghi»m : (x; y) = (8; 4) 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 C¥u 91 8 : p x 1 12 y + 3x = 2 p y 1 + 12 y + 3x = 6 p 3; 12 + 6 Nghi»m : (x; y) = (4 + 2 p 3) C¥u 92 8 : p 10x 1 + 3 5x + y = 3 p y 1 3 5x + y = 1 Nghi»m : (x; y) = 2 5 ; 4 C¥u 93 8 : 4 p x 1 4 + p x + 2 p y x + y = 2 4 p y 1 4 p x + 2 p y x + y = 1 Ti¸p theo ta ¸n mët v i v½ dö v· sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 57. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 53 C¥u 94 x p 1 y2 + y p 1 x2 = 1 (1 x)(1 + y) = 2 Gi£i i·u ki»n : jxj 1 , jyj 1 h i i·u ki»n n y cho ta þ t÷ðng l÷ñng gi¡c hâa. °t x = sina , y = sinb vîi a; b 2 ; 2 2 n Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng sinacosb + sinbcosa = 1 , sin(a + b) = 1 , a + b = §2 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng Tu a = b = (1 sina)(1 + sinb) = 2 , (1 sina)(1 + cosa) = 2 , 2 , a = 0 b = 2 x = 1; y = 0(L) , x = 0; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; Minh 1) 2y = x(1 y2) C¥u 95 3x x3 = y(1 3x2) Gi£i Tho¤t nh¼n ta th§y câ v´ hn » n y công xo ng, ch£ câ g¼ khi vi¸t nâ d÷îi d¤ng xy2 = x 2y Nguy¹x3 3x2y = 3x y ÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p, nh÷ng c¡i ch½nh ð ¥y l  nghi»m nâ qu¡ l´. Vªy thû h÷îng kh¡c xem. Vi¸t l¤i h» ¢ cho sau khi ¢ x²t 8 : x = 2y 1 y2 y = 3x x3 1 3x2 Nh¼n biºu thùc v¸ ph£i câ quen thuëc khæng ? R§t gièng cæng thùc l÷ñng gi¡c nh¥n æi v  nh¥n ba cõa tan. Vªy þ t÷ðng ¢ n£y ra °t x = tan vîi 2 2 ; 2 . Tø PT(2) ta s³ câ y = 3 tan tan3 1 3tan2 = tan 3 M  nh÷ th¸ theo (1) ta s³ câ x = 2 tan 3 1 tan23 = tan 6 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 58. 54 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c Tø â suy ra tan = tan 6 , = k 5 , = 2 5 ; 5 ; 0; 5 ; 2 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = tan 2 5 ; tan 6 5 ; tan 5 ; tan 3 5 ; (0; 0) L m mët b i t÷ìng tü nh². §n C¥u 96 TuMinh ¹n Nguy8 : y = 3x x3 1 3x2 x = 3y y3 1 3y2 Sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh c¦n ph£i n­m rã c¡c h¬ng ¯ng thùc, ¯ng thùc, cæng thùc l÷ñng gi¡c, v  c¦n mët nh¢n quan tèt º ph¡t hi»n mët biºu thùc n o â gièng vîi mët cæng thùc l÷ñng gi¡c. C¥u 97 x3y(1 + y) + x2y2(2 + y) + xy3 30 = 0 x2y + x(1 + y + y2) + y 11 = 0 Gi£i ¥y l  mët h» kh¡ m¤nh nh÷ng hay. Nh¼n v o 2 ph÷ìng tr¼nh ta th§y c¡c bi¸n k¸t d½nh vîi nhau kh¡ tèt v  h¬ng sè câ v´ nh÷ ch¿ l  k´ ùng ngo i. Vªy h¢y vùt h¬ng sè sang mët b¶n v  thüc hi»n bi¸n êi v¸ tr¡i. H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng xy(x + y)(x + y + xy) = 30 xy(x + y) + x + y + xy = 11 ¸n ¥y þ t÷ðng ¢ rã r ng. °t a = xy(x + y) , b = xy + x + y v  h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ab = 30 a + b = 11 , a = 5; b = 6 a = 6; b = 5 , 2 664 xy(x + y) = 5 xy + x + y = 6 xy(x + y) = 6 xy + x + y = 5 TH1 : xy(x + y) = 6 xy + x + y = 5 , 2 664 xy = 2 x + y = 3 xy = 3 x + y = 2 (L) , x = 2; y = 1 x = 1; y = 2 TH2 : xy(x + y) = 5 xy + x + y = 6 , 2 664 xy = 5 x + y = 1 (L) xy = 1 x + y = 5 , 2 64 x = 5 p 21 2 ; y = 5 + p 21 2 x = 5 + p 21 2 ; y = 5 p 21 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 59. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 55 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2); (2; 1); 5 p 21 2 ; 5 p 21 2 ! T¡c gi£ cõa nâ ¢ r§t kh²o l²o trën nhi·u l¦n c¡ch °t ©n têng t½ch v o mët h», g¥y nhi·u khâ kh«n cho ng÷íi l m §n C¥u 98 TuMinh ¹n Nguy8 : r sin2x + 1 sin2x + r cos2y + 1 cos2y = r 20y r x + y sin2y + 1 sin2y + r cos2x + 1 cos2x = r 20x x + y Gi£i B i to¡n xu§t hi»n trong · VMO 2012-2013. H¼nh thùc b i h» câ sü kh¡c l¤ khi câ c£ h m l÷ñng gi¡c chen ch¥n v o. Vîi kiºu h» n y ¡nh gi¡ l  c¡ch tèt nhp §t Ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh vîi nhau v  s³ chùng minh V T 2 10 V P p döng B§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ ph£i ta ÷ñc r 20y x + y + r 20x x + y s 2 20y x + y + 20x x + y p 10 = 2 p 10 tùc l  ph£i chùng minh Gií ta s³ chùng minh : V T 2 r sin2x + 1 sin2x + r cos2x + 1 cos2x p 10 V T = s sin x 1 sin x 2 + p 2 2 + s cos x 1 cos x 2 + p 2 2 s 1 sin x + 1 cos x 2 (sin x + cos x) + 2 2 p 2 Hiºn nhi¶n ta câ sinx + cosx p 2 n¶n 1 sin x + 1 cos x (sin x + cos x) 4 sin x + cos x p 2 4 p 2 p 2 = p 2 Vªy V T p 2 + 8 = p 10. T÷ìng tü vîi bi¸n y v  ta câ i·u ph£i chùng minh ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 4 + k2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 60. 56 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 99 x p x p x = y p y + 8 p y x y = 5 Gi£i i·u ki»n : x; y 0 Æ h» n y cho mët ph÷ìng tr¼nh ìn gi£n qu¡. Th¸ th¯ng l¶n (1) ch«ng ? Khæng n¶n ! Bi¸n êi 1 tµo ¢ rçi h¢y th¸. H÷îng bi¸n êi kh¡ ìn gi£n l  l m ph¡ vï c«n thùc n Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p p §x(x 1) = y(y + 8) ) x(x 1)2 = y(y + 8)2 ¸n ¥y thüc hi»n th¸ x = y + 5 l¶n (1) v  ta ÷ñc Tu(y + 5)(y + 4)2 = y(y + 8)2 , y = 4 ) x = 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4) C¥u 100 Minh n Nguy¹8 : 1 p x + y x = p x y 2 + 2 y p = x2 + 1 1 p 3x2 + 3 Gi£i i·u ki»n : x 0; y6= 0 Rã r ng vîi i·u ki»n n y th¼ tø (2) ta th§y ngay º câ nghi»m th¼ y 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p x + y x = p x + y) y 2 ( , p x + y = 0(L) y = 2x Vîi y = 2x thay v o (2) ta ÷ñc 2x p = x2 + 1 1 p 3x2 + 3 , 2x p p 3 x2 + 1 = 2x , p x2 + 1 = 2x 2x p 3 Rã r ng vp ¸ tr¡i ìn ip »u t«ng v  v¸ ph£i ìn i»u gi£m n¶n ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m duy nh§t x = 3 ) y = 2 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = ( p 3; 2 p 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 61. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 57 C¥u 101 y = x3 + 3x + 4 x = 2y3 6y 2 Gi£i H¼nh thùc b i h» kh¡ gån nhµ nh÷ng công õ khi¸n nhi·u ng÷íi ph£i lóng tóng. Nhªn x²t x = y = 2 l  nghi»m. Ta ti¸n h nh t¡ch nh÷ sau n y 2 = (x + 1)2(x 2) x 2 = (y + 1)2(y 2) §¸n ¥y nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ ta ÷ñc 2(y 2)2(y + 1)2 = (x + 1)2(x 2)2 TuD¹ th§y V T 0 V P. Ð ¥y ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 2 x3 xy2 + 2000y = 0 C¥u 102 y3 yx2 500x = Minh 0 Gi£i D¹ d ng ÷a ÷ñc v· h» ¯ng c§p. Nh÷ng ta bi¸n êi mët tµo º nâ tèi ÷u. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng n 2 x (x2 y2) = 2000y ¹) 500x2(x2 y2) = 2000y2(x2 y2) , y(x2 y2) = 500x Nguy664 x = y x = y x = 2y x = 2y Thay l¤i vîi méi tr÷íng hñp v o (1) v  ta ÷ñc 2 66664 y = 0; x r = 0 y = 10 10 3 r ; x = 20 10 3 r y = 10 10 3 r ; x = 20 10 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); 20 r 10 3 r ;10 10 3 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 62. 58 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 103 8 : 3 x2 + y2 1 + 2 y x = 1 x2 + y2 + 4 x y = 22 Gi£i y Þ t÷ðng °t ©n phö ¢ rã r ng. °t x2 + y2 1 = a , = b . H» ¢ cho t÷ìng ÷ì§ng x n TuMinh ¹n Nguy8 : 3 a + 2b = 1 a + 4 b = 21 , 2 64 a = 7; b = 2 7 a = 9; b = 1 3 , 2 664 x2 + y2 = 8 2x = 7y x2 + y2 = 10 x = 3y 2 4 y = 4 r 2 53 r ; x = 14 2 53 x = 3; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;1) 14 r 2 53 r ;4 2 53 ! C¥u 104 8 : r x + 1 y + p x + y 3 = 3 2x + y + 1 y = 8 Gi£i i·u ki»n : y6= 0; x + 1 y 0; x + y 3 Þ t÷ðr ng °t ©n phö công ¢ kh¡ rã r ng. °t x + 1 y = a 0; p x + y 3 = b 0 . H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a + b = 3 a2 + b2 = 5 , a = 1; b = 2 a = 2; b = 1 , 2 6666664 8 : x + 1 y = 1 x + y 3 = 4 1 x + = 4 : 8 y x + y 3 = 1 , 2 664 x = 4 p 10; y = 3 + p 10 x = 4 + p 10; y = 3 p 10 x = 3; y = 1 x = 5; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 1); (5;1)(4 p 10; 3 p 10) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 63. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 59 C¥u 105 x3(2 + 3y) = 8 x(y3 2) = 6 Gi£i ¥y l  mët c¥u kh¡ gièng c¥u sè 37 Nghi»m : (x; y) = (2;1); (1; 2) n §2x2y + 3xy = 4x2 + 9y C¥u 106 7y + 6 = 2x2 + 9x TuGi£i B i n y n¸u l÷íi ngh¾ câ thº dòng mæn vã th¸ th¦n ch÷ðng y v o PT(1). Nh÷ng h¢y dòng UCT ð ¥y s³ tèt hìn. Nhªn th§y y = 3 l  nghi»m (c¡i n y gið l¤i nh², tæi khæng gi£i th½ch núa), thay y = 3 v o h» ta câ Minh 2x2 + 9x 27 = 0 27 2x2 + 9x = 0 Nh÷ vªy h÷îng cõa ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh ban ¦u l¤i v  nh¥n tû y 3 s³ xu§t hi»n. Vªy PT(1) + PT(2) , (3 y) 2x2 + 3x 2 = 0 p ! n 16 1 1 3(3 33) ¸n ¥y d¹ d ng gi£i ra (x; y) = 2; ; ; ; ; 3 7 2 7 4 Nguy ¹x2 + 3y = 9 C¥u 107 y4 + 4(2x 3)y2 48y 48x + 155 = 0 Gi£i ¥y l  mët c¥u kh¡ hâc, khæng ph£i ai công câ thº d¹ d ng gi£i nâ ÷ñc. Th¸ 3y = 9 x2 tø (1) xuèng (2) ta ÷ñc y4 + 8xy2 12y2 16(9 x2) 48x + 155 = 0 y2 y4 + 4x = 1 , + 8xy2 + 16y2 12(y2 + 4x) + 11 = 0 , y2 + 4x = 11 TH1 : y2 + 4x = 11 , 9 x2 3 2 + 4x = 11 , x4 18x2 + 36x 18 = 0 , x4 = 18(x 1)2 , x2 3 p 2x + 3 p 2 = 0 x2 + 3 p 2 = 0 p 2x 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 64. 60 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c , 2 664 x = p 2 3 p 18 12 p 2 p 2 18 12 ) y = p 36 24 p 2 6 12 p 2 12 x = p 2 3 p 2 2 ) y = p 36 24 p 2 6 12 p 2 12 TH2 : y2 + 4x = 1 , §n TuMinh n Nguy¹ 9 x2 3 2 + 4x = 1 , x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , x2 6x + 12 x2 + 6x + 6 = 0 , x = 3 p 3 ) y = 1 2 p 3 Vªy h» câ c£ th£y 6 nghi»m nh÷ tr¶n Mët th­c m­c nhä l  ð TH2 v¼ sao x4 18x2 + 36x + 72 = (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6). T¡ch nh¥n tû kiºu g¼ hay vªy ? Casio truy nh¥n tû ch«ng ? Câ thº l­m. Nh÷ng thüc ra ph÷ìng tr¼nh bªc 4 ¢ câ c¡ch gi£i têng qu¡t b¬ng cæng thùc Ferrari. èi vîi v½ dö tr¶n ta l m nh÷ sau x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , x4 2ax2 + a2 = (18 2a) x2 36x + a2 72 Ta ph£i t¼m a sao cho v¸ ph£i ph¥n t½ch ÷ñc th nh b¼nh ph÷ìng. Nh÷ th¸ ngh¾a l  182 = (18 2a) a2 72 , a = 9 Nh÷ vªy x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , (x2 + 9)2 = 9(2x 1)2 , (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6) = 0 Chi ti¸t v· gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4 c¡c b¤n câ thº t¼m d¹ d ng tr¶n google. Gií ta ti¸p töc c¡c b i h». Ti¸p theo l  mët chòm h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ d¹ nh¼n. C¥u 108 8 : x + p x2 + 1 y + p y2 + 1 = 1 y + y p x2 1 = 35 12 Gi£i i·u ki»n : x2 1 Khæng thº l m «n ÷ñc g¼ tø (2). Tø (1) ta nhªn x²t th§y hai h m gièng nhau nh÷ng chóng l¤i d½nh ch°t vîi nhau, khæng chàu t¡ch ríi. Vªy ta dùt chóng ra. Ph²p li¶n hñp s³ gióp ta Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng x + p x2 + 1 y + p y2 + 1 p y2 + 1 y = p y2 + 1y , x+ p x2 + 1 = y + p y2 + 1 T¡ch ÷ñc rçi nh÷ng câ v´ hai b¶n khæng cán gièng nhau núa. Khoan !! N¸u thay y2 = (y)2 th¼ sao nh¿. Qu¡ tèt. Nh÷ vªy c£ hai v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + p t2 + 1 v  h m n y ìn i»u t«ng. Tø â ta rót ra x = y Thay l¤i v o (2) ta ÷ñc y + y p y2 1 = 35 12 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 65. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 61 ¥y thüc ra l  mët ph÷ìng tr¼nh kh¡ khâ chàu. Tho¤t ti¶n khi th§y lo¤i n y ta s³ b¼nh ph÷ìng 2 v¸ l¶n. i·u ki»n b¼nh ph÷ìng l  y 0 khi â ta câ y2 + 2y2 p y2 1 + y2 y2 1 = 35 12 2 , y4 y2 + y2 y2 1 + 2y2 p y2 1 = 35 12 2 y2 ¸n ¥y ¢ kh¡ rã r ng . °t p = t 0 v  ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng y2 1 n 2 35 2 Tu§t2 + 2t = 0 , 12 Minh ¹n Nguy64 t = 49 12 (L) t = 25 12 , y2 p y2 1 = 25 12 , 2 64 y = 5 4 y = 5 3 èi chi¸u i·u ki»n b¼nh ph÷ìng ch¿ l§y 2 gi¡ trà d÷ìng. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 4 ; 5 4 ; 5 3 ; 5 3 C¥u 109 p 5 2y = 0 (4x2 + 1)x + (y 3) 4x2 + y2 + 2 p 3 4x = 7 Gi£i i·u ki»n : y 5 2 ; x 3 4 Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (1) nh÷ sau (4x2 + 1)x = (3 y) p 5 2y , (4x2 + 1)2x = (6 2y) p 5 2y , f (2x) = f p 5 2y Vîi f(t) = t3 + t l  h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ 2x = p 5 2y ) x 0 thay v o (2) ta câ 4x2 + 5 2 2x2 2 + 2 p 3 4x = 7 Gií cæng vi»c cõa ta l  kh£o s¡t h m sè v¸ tr¡i tr¶n 0; 3 4 v  chùng minh nâ ìn i»u gi£m. Xin nh÷íng l¤i b¤n åc Vîi h m sè v¸ tr¡i ìn i»u gi£m ta câ x = 1 2 l  nghi»m duy nh§t ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 ; 2 H¢y º þ k¾ mèi t÷ìng quan giúa c¡c biºu thùc trong mët ph÷ìng tr¼nh va ta s³ ¤t möc ½ch Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 66. 62 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 110 p y3 + y = x3 + 3x2 + 4x + 2 p 1 x2 y = p 2 y 1 Gi£i i·u ki»n : 0 y 2;1 x 1 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng n y3 + y = (x + 1)3 + (x + 1) , y = x + 1 §Thay v o (2) ta câ p p p 1 x2 1 + x = 1 x 1 p p p t2 2 Ph÷ìng tr¼nh n y khæng qu¡ khâ. °t t = 1 + x + 1 x ) Tu1 x2 = . Thay v o 2 ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc p p t2 2 t = 0 p 1 x + p 1 + x = 0 = t 1 , , , x = 0; y = 1 2 t = 2 1 x + 1 + x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 1) Nhúng b i n y th÷íng s³ n°ng v· gi£Minh i ph÷ìng tr¼nh væ t¿ hìn. p p p p p p x + 1 + x + 3 + x + 5 = y 1 + y 3 + y 5 C¥u 111 x + y + x2 n + y2 = 80 Gi£i Nguyi·u ki»n : x 1; y ¹ 5 Ph÷ìng tr¼nh ¦u câ d¤ng f(x + 1) = f(y 5) p p p Vîi f(t) = t + t + 2 + t + 4 l  h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ y = x + 6 thay v o (2) ta câ p p 5 5 7 5 5 + 5 x + x + 6 + x2 + (x + 6)2 = 80 , x = ) y = 2 2 p p ! 5 5 7 5 5 + 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 2 2 Ð ¥y tæi ¢ ÷a ra mët sè c¥u h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ ìn gi£n. Nâi l  ìn gi£n v¼ tø mët ph÷ìng tr¼nh ta nh¼n th§y ngay ho°c mët chót bi¸n êi º nh¼n ra d¤ng cõa h m c¦n x²t. Tæi s³ cán giîi thi»u kh¡ nhi·u nhúng b i c¦n bi¸n êi tinh t¸ º nh¼n ra d¤ng h m, ð nhúng c¥u sau cõa cuèn s¡ch. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 67. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 63 C¥u 112 p x + 4 p 32 x y2 = 3 4 p x + p 32 x + 6y = 24 Gi£i i·u ki»n : 0 x 32 Câ v´ ¥y l  mët h» kh¡c r­c rèi khi xu§t hi»n c«n bªc 4. Ta s³ dòng c¡c ¡nh gi¡ º gi£i quy¸t c¡i h» n y n Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc p p x + 32 x + x + 32 x = y2 6y + 21 §Hiºn nhi¶n ta câ : V P 12 Gií ta ti¸n h nh ¡nh gi¡ v¸ tr¡i. p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz Tucho v¸ tr¡i ta câ p p p x + 32 x (1 + 1)(x + 32 x) = 8 x + 32 Minh x 4 p 4 4 n Nguy¹p p 4 p q (1 + 1)( p x + p 32 x) 4 Vªy V T V P D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (16; 3) Tæi cán mët c¥u þ t÷ðng gièng b i n y nh÷ng hìi khâ hìn mët chót. B¤n åc câ thº gi£i nâ C¥u 113 p p 2 2x + 2 4 p 6 x y2 = 2 4 p 2x + 2 p 6 x + 2 p 2y = 8 + p 2 Nghi»m : (x; y) = (2; p 2) C¥u 114 x2(y + 1)(x + y + 1) = 3x2 4x + 1 xy + x + 1 = x2 Gi£i B i n y câ l³ khæng c¦n suy ngh¾ nhi·u. Cù th¸ y + 1 l¶n (1) coi sao Nhªn th§y x = 0 khæng l  nghi»m. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng x(y + 1) = x2 1 , y + 1 = x2 1 x Thay l¶n (2) ta s³ ÷ñc x(x2 1) x + x2 1 x = 3x2 4x + 1 , x = 2 ) y = 5 2 x = 1 ) y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); 2; 5 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 68. 64 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c C¥u 115 8 : 4xy + 4(x2 + y2) + 3 (x + y)2 = 7 2x + 1 x + y = 3 Gi£i i·u ki»n : x + y6= 0 ¥y l  mët b i h» khæng ìn gi£n chót n o. Tuy nhi¶n ta câ mët nhªn x²t kh¡ tèt sau n ¥y : a(x2 + y2) + bxy = k(x + y)2 + l(x y)2 §Gií h¢y ph¥n t½ch 4x2 + 4y2 + 4xy = k(x + y)2 + l(x y)2 C¥n b¬ng h» sè ta thu ÷ñc : 4x2 + 4y2 + 4xy = 3(x + y)2 + (x y)2 Nh÷ vªy þ t÷ðng s³ l  °t ©n phö têng-hi»u ch«ng ? C ng câ cì sð khi Tu2x = x+y +xy. Nh÷ vªy þ t÷ðng sì bë l  th¸. Bi¸n êi h» th nh Minh n Nguy¹8 : 3(x + y)2 + (x y)2 + 3 (x + y)2 = 7 x + y + 1 x + y + x y = 3 øng vëi °t ngay. º þ mët chót 3(x + y)2 + 3 (x + y)2 = 3 x + y + 1 x + y 2 6. Nh÷ vªy c¡ch °t ©n cõa ta s³ tri»t º hìn. °t x + y + 1 x + y = a; x y = b ta thu ÷ñc h» mîi 8 : b2 + 3a2 = 13 a + b = 3 jaj 2 , a = 2; b = 1 a = 1 2 ; b = 7 2 (L) , 8 : x + y + 1 x + y = 2 x y = 1 , x + y = 1 x y = 1 , x = 1 y = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0) OK ch÷a ? Ti¸p töc th¶m mët c¥u t÷ìng tü nh² C¥u 116 8 : x2 + y2 + 6xy 1 (x y)2 + 9 8 = 0 2y 1 x y + 5 4 = 0 Gi£i i·u ki»n : x6= y H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 2(x + y)2 (y x)2 1 (y x)2 + 9 8 = 0 y x + 1 y x + (x + y) + 5 4 = 0 , 8 : 2(x + y)2 y x + 1 y x 2 + 25 8 = 0 y x + 1 y x + (x + y) + 5 4 = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 69. 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 65 °t x + y = a; y x + 1 y x = b; jbj 2 ta câ h» mîi 8 : a + b = 5 4 25 2a2 b2 = 8 §n TuMinh ¹n Nguy, 8 : a = 5 4 b = 5 2 , 2 6666664 ( y + x = 5 4 y x = 2 8 : y + x = 5 4 y x = 1 2 , 2 64 x = 13 8 ; y = 3 8 x = 7 8 ; y = 3 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 7 8 ; 3 8 ; 13 8 ; 3 8 Tæi s³ ÷a th¶m 2 c¥u núa cho b¤n åc luy»n tªp C¥u 117 8 : 3(x2 + y2) + 2xy + 1 (x y)2 = 20 2x + 1 x y = 5 Nghi»m : (x; y) = (2; 1); 4 p 10 3 ; p 10 3 3 ! ; 4 + p 10 3 ; p 10 3 3 ! C¥u 118 (4x2 4xy + 4y2 51)(x y)2 + 3 = 0 (2x 7)(x y) + 1 = 0 Thû ëng n¢o mët chót xem v¼ sao l¤i ÷a ÷ñc v· gièng 3 c¥u tr¶n ? Nghi»m :(x; y) = 5 p 3 2 ; p 3 2 1 + ! ; 5 + p 3 2 ; p 3 2 1 ! C¥u 119 8 : 2x2 + x 1 y = 2 y y2x 2y2 = 2 Gi£i i·u ki»n : y6= 0 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi 1 y x 2 = 2 y2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 70. 66 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c s­c °t a = 1 y ta chuyºn h» v· 2x2 + x a = 2 2a2 + a x = 2 p 3 2 , n Tu§Minh n Nguy¹2 666664 x = 1; a = 1 x = 1; a = 1 1 x = ; a = p 3 1 2 x = p 3 1 2 ; a = p 3 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); 1 p 3 2 ; 1 ! p 3 C¥u 120 4x2 + y4 4xy3 = 1 4x2 + 2y2 4xy = 2 Gi£i H¼nh thùc kh¡ gån nhµ nh÷ng công r§t khâ chìi. Mët chót tinh þ ta nhªn th§y y2 = 1 l  nghi»m cõa h». Thay v o v  ta rót ra PT(1) PT(2) , y4 4xy3 2y2 + 4xy + 1 = 0 , (y2 1)(y2 4xy 1) = 0 Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1 Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1 Vîi y2 = 4xy + 1. Khæng c¦n ngh¾ nhi·u, th¸ tr¥u bá v o cho nhanh !!! Ta rót ra x = y2 1 4y thay v o (2) ta câ y2 1 4 4y 2 + 2y2 + 1 y2 = 2 , 5y4 6y2 + 1 = 0 , 2 666664 y = 1 ) x = 0 y = 1 ) x = 0 y = 1 p 5 ) x = 1 p 5 y = 1 p 5 ) x = 1 p 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1); (0; 1); (0;1); 1 p 5 ; 1 p 5 ; 1 p 5 ; 1 p 5 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
  • 71. 2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150 67 2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150 C¥u 121 x4 + x3y + 9y = y3x + x2y2 + 9x x(y3 x3) = 7 Gi£i Khæng c¦n bi¸t Tê quèc nìi ¥u, chi¸n ph÷ìng tr¼nh ¦u ¢ n PT(1) , (x y)(x(x + y)2 9) = 0 §Vîi x = y k¸t hñp vîi (2) rã r ng khæng thäa Cán l¤i ta k¸t hñp th nh mët h» mîi x (y3 x3) = 7 Tux(x + y)2 = 9 ¥y l  mët b i to¡n kh¡ quen thuëc v  h§p d¨n ¢ tøng xu§t hi»n tr¶n b¡o THTT, c¡ch l m phê bi¸n nh§t v¨n l  tr¥u bá r 7 Tr÷îc h¸t câ ¡nh gi¡ x 0 v  rót ra y = 3 x3 + . Thay xuèng ta câ x r !2 7 x x + 3 x3 + = Minh 9 , x3 + 2x x6 + 7x2 + x(x4 + 7)2 = 9 x °t v¸ tr¡i l  f(x). Ta câ f0(x) = 3x2 + 2 n Nguy3 3 p p ¹3 p x6 + 7x2 + 6x6 + 14x2 3 3 p (x6 + 7x2)2 ! + 1 3 : 9x8 + 70x4 + 49 3 p x2(x4 + 7)4 0 Vªy f(x) = 9 câ nghi»m duy nh§t x = 1 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2) v !u !Ti¸p theo tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët sè c¥u h» sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski º gi£i. B§t ¯ng thùc Minkowski l  mët b§t ¯ng thùc khæng khâ v  công th÷íng ÷ñc dòng, b§t ¯ng thùc · cªp ¸n v§n · ë d i cõa vectì trong khæng gian m  sau n y håc sinh quen gåi nâ l  b§t ¯ng thùc V ector Vîi hai vectì ;b§t k¼ ta luæn câ j!u j + j!v j j!u + !v j N¸u tåa ë hâa 2 vecto n y ta s³ thu ÷ñc p a1 2 + b1 2 + p a2 2 + b2 2 q (a1 + a2)2 + (b1 + b2)2 ¯ng thùc x£y ra khi (a1; a2) v  (b1; b2) l  2 bë t¿ l» ¥y l  mët h» qu£ hay dòng trong gi£i h» Th¼ khi n o nh¼n v o mët b i h» ta câ thº ngh¾ ¸n sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski. Th÷íng khi nh¼n th§y têng hai c«n thùc m  bªc cõa biºu thùc trong c«n khæng v÷ñt qu¡ 2 th¼ ta câ thº chån h÷îng n y. Tæi s³ n¶u 3 v½ dö º b¤n åc hiºu rã hìn Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n