يتناول الكتاب تطبيقات الرياضيات للفصل الدراسي الثاني للمرحلة الثانوية، حيث يهدف إلى تطوير مهارات التفكير وحل المشكلات لدى الطلاب. يشمل الكتاب محتوى تعليمي منظم يربط بين المادة العلمية والحياة اليومية، مما يعزز من التفاعل النشط ويدعم التعلم الذاتي. كما يقدم الكتاب أمثلة متنوعة وطرق تقييم تتيح للطلاب تطبيق المفاهيم المكتسبة وتحقيق الأهداف التعليمية.

1. ‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬
‫تطبيقات‬
‫تطبيقات‬
‫الثانوى‬‫الثانى‬‫الصف‬‫ضيات‬�‫الريا‬‫تطبيقات‬
‫الطالــــب‬ ‫كتــــاب‬
‫ى‬‫م‬‫ل‬‫ع‬‫ل‬‫ا‬ ‫م‬‫س‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬
.‫تنافس‬ ‫أفضل‬ ‫هو‬ ‫الذات‬ ‫مع‬ ‫التنافس‬ ‫إن‬
.‫كفاه‬ ‫عليه‬ ‫توكل‬ ‫ومن‬ ‫أغناه‬ ‫باهلل‬ ‫وثق‬ ‫من‬
.‫ا‬ ًّ‫أبد‬ ‫ا‬ ًّ‫حر‬ ‫يكون‬ ‫فلن‬ ،‫خوف‬ ‫ىف‬ ‫يعش‬ ‫من‬
.‫ا‬ ً‫رس‬ ‫وعاتبه‬ ‫ًا‬‫ن‬‫عل‬ ‫صديقك‬ ‫امدح‬
.‫تتحدث‬ ‫أن‬ ‫قبل‬ ‫كلامتك‬ ‫اخرت‬
.‫أحالمها‬ ‫وحتقيق‬ ‫نفسها‬ ‫حترير‬ ‫عىل‬ ‫القادرة‬ ‫هى‬ ‫وحدها‬ ‫الشعوب‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ ‫ب‬‫الطال‬ ‫كتاب‬

2. ‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬
‫تطبيقات‬
‫الطالــــب‬ ‫كتــــاب‬
‫ى‬‫م‬‫ل‬‫ع‬‫ل‬‫ا‬ ‫م‬‫س‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬

3. ‫إعداد‬�
‫كب�شة‬‫يون�س‬‫كمال‬ /‫أ‬�
‫إ�سكندر‬�‫إليا�س‬�‫�سريافيم‬ /‫أ‬� ‫ع‬‫ال�ضب‬‫توفيق‬‫نبيل‬ /‫أ.د‬�
‫أو‬ ‫تصويره‬ ‫أو‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫جزء‬ ‫أى‬ ‫نشر‬ ‫يجور‬ ‫ال‬ ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬
.‫الناشر‬ ‫من‬ ‫خطية‬ ‫موافقة‬ ‫دون‬ ‫وسيلة‬ ‫بأى‬ ‫تسجيله‬ ‫أو‬ ‫تخزينه‬
‫للنشر‬ ‫سقارة‬ ‫شركة‬
‫م‬ .‫م‬ .‫�ش‬

4. ‫الرحيم‬ ‫الرحمن‬ ‫ه‬‫ل‬��‫ال‬ ‫بسم‬
:‫فيمايلى‬ ‫ونوجزها‬ ‫التعليمية‬ ‫المادة‬ ‫بناء‬ ‫ضوئها‬ ‫فى‬ ‫تم‬ ‫التى‬ ‫الفلسفة‬ ‫نوضح‬ ‫أن‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫نقدم‬ ‫ونحن‬ ‫يسعدنا‬
‫حياته‬ ‫ىف‬ ‫القرارات‬ ‫واتخاذ‬ ‫املشكالت‬ ‫حل‬ ‫عىل‬ ‫املتعلم‬ ‫مساعدة‬ ‫هى‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫األساسية‬ ‫الغاية‬ ‫أن‬ ‫عىل‬ ‫التأكيد‬ 1
.‫املجتمع‬ ‫ىف‬ ‫املشاركه‬ ‫عىل‬ ‫تساعده‬ ‫والتى‬ ,‫اليومية‬
‫وأن‬ ،‫العلمى‬ ‫التفكري‬ ‫منهجية‬ ‫الطالب‬ ‫يكتسب‬ ‫أن‬ ‫عىل‬ ‫العمل‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫الحياة‬ ‫مدى‬ ‫التعلم‬ ‫استمرارية‬ ‫مبدأ‬ ‫عىل‬ ‫التأكيد‬ 2
‫االستنتاج‬ ‫مهارات‬ ‫وتنمية‬ ‫املشكالت‬ ‫حل‬ ‫مهارات‬ ‫تنمية‬ ‫عىل‬ ‫باالعتماد‬ ‫وذلك‬ ،‫والتشويق‬ ‫باملتعة‬ ‫املمتزج‬ ‫التعلم‬ ‫يمارسوا‬
‫وتقبل‬،‫والحوار‬‫واملناقشة‬،‫الفريق‬ ‫بروح‬‫التعاونى‬ ‫والتعلم‬‫النشط‬ ‫والتعلم‬‫الذاتى‬ ‫التعلم‬ ‫أساليب‬ ‫واستخدام‬،‫والتعليل‬
.‫الوطنية‬ ‫واإلنجازات‬ ‫األنشطة‬ ‫ببعض‬ ‫التعريف‬ ‫إىل‬ ‫باإلضافة‬ ،‫األحكام‬ ‫إصدار‬ ‫ىف‬ ‫واملوضوعية‬ ،‫اآلخرين‬ ‫آراء‬
‫تنمية‬ ‫ىف‬ ‫العلمى‬ ‫ُّم‬‫د‬‫التق‬ ‫دور‬ ‫تعكس‬ (STS)‫واملجتمع‬ ‫والتكنولوجيا‬ ‫العلم‬ ‫بني‬ ‫للعالقة‬ ‫متماسكة‬ ‫شاملة‬ ‫رؤى‬ ‫تقديم‬ 3
.‫التكنولوجية‬‫األدوات‬‫استخدام‬‫يال‬ِ‫ح‬‫ّال‬‫ع‬‫الف‬‫الواعى‬‫الترصُّف‬‫الطالب‬‫ممارسة‬‫عىل‬‫الرتكيز‬‫إىل‬‫باإلضافة‬،‫املحىل‬‫املجتمع‬
.‫علمائها‬ ‫وتقدير‬ ‫ودراستها‬ ‫الرياضيات‬ ‫تجاه‬ ‫إيجابية‬ ‫اتجاهات‬ ‫تنمية‬ 4
.‫املتاحة‬ ‫البيئية‬ ‫املوارد‬ ‫استخدام‬ ‫لحسن‬ ‫شاملة‬ ‫بثقافة‬ ‫الطالب‬ ‫تزويد‬ 5
،‫والحشو‬ ‫التفاصيل‬ ‫عن‬ ‫والبعد‬ ،‫العلمية‬ ‫املهارات‬ ‫وتنمية‬ ،‫التفكري‬ ‫طرائق‬ ‫وتنمية‬ ‫املعرفة‬ ‫أساسيات‬ ‫عىل‬ ‫االعتماد‬ 6
‫املشكالت‬‫وحل‬‫البحث‬‫وأساليب‬‫العامة‬‫واملبادئ‬‫املفاهيم‬‫إبراز‬‫إىل‬‫يوجه‬‫فاالهتمام‬‫لهذا‬‫التلقينى؛‬‫التعليم‬‫عن‬‫واالبتعاد‬
.‫غريها‬ ‫عن‬ ‫الرياضيات‬ ‫مادة‬ ‫تميز‬ ‫التى‬ ‫األساسية‬ ‫التفكري‬ ‫وطرائق‬
:‫يلى‬ ‫ما‬ ‫الكتاب‬ ‫هذا‬ ‫فى‬ ‫روعى‬ ‫�سبق‬ ‫ما‬ ‫�ضوء‬ ‫وفى‬
‫لها‬ ‫تنظيمى‬ ‫ومخطط‬ ‫ودروسها‬ ‫أهدافها‬ ‫توضح‬ ‫مقدمة‬ ‫منها‬ ‫لكل‬ ‫ومرتابطة‬ ‫متكاملة‬ ‫وحدات‬ ‫إىل‬ ‫الكتاب‬ ‫تقسيم‬ 
‫تحت‬ ‫للطالب‬ ‫تدريسها‬ ‫من‬ ‫الهدف‬ ‫يوضح‬ ‫دروس‬ ‫إىل‬ ‫ومقسمة‬ ،‫واإلنجليزية‬ ‫العربية‬ ‫باللغة‬ ‫بها‬ ‫الواردة‬ ‫واملصطلحات‬
‫املادة‬ ‫عرض‬ ‫وروعى‬ ‫الدرس‬ ‫ملحتوى‬ ‫األساسية‬ ‫بالفكرة‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ ‫دروس‬ ‫من‬ ‫درس‬ ‫كل‬ ‫ويبدأ‬ ،‫تتعلم‬ ‫سوف‬ ‫عنوان‬
‫والتى‬‫العملية‬‫والحياة‬‫األخرى‬‫باملواد‬‫الربط‬‫تتناول‬‫التى‬‫األنشطة‬‫من‬‫مجموعة‬‫ويتضمن‬‫الصعب‬‫إىل‬‫السهل‬‫من‬‫العلمية‬
.‫املوضوع‬ ‫مع‬ ‫وتتكامل‬ ،‫التعاونى‬ ‫العمل‬ ‫عىل‬ ‫وتؤكد‬ ‫بينهم‬ ‫الفردية‬ ‫الفروق‬ ‫وتراعى‬ ‫للطالب‬ ‫املختلفة‬ ‫القدرات‬ ‫تناسب‬
‫تحت‬ ‫عليها‬ ‫تدريبات‬ ‫مع‬ ،‫متنوعة‬ ‫تفكري‬ ‫مستويات‬ ‫وتشمل‬ ،‫الصعب‬ ‫إىل‬ ‫السهل‬ ‫من‬ ‫تبدأ‬ ‫أمثلة‬ ‫درس‬ ‫كل‬ ‫ىف‬ ‫قدم‬ ‫كما‬ 
‫التي‬ ‫واملهارات‬ ‫املفاهيم‬ ‫تتناول‬ ‫متنوعة‬ ‫مسائل‬ ‫وتشمل‬ »‫«تمارين‬ ‫ببند‬ ‫درس‬ ‫كل‬ ‫وينتهى‬ ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬ ‫عنوان‬
.‫الدرس‬ ‫يف‬ ‫الطالب‬ ‫درسها‬
‫متنوعة‬ ‫مسائل‬ ‫تشمل‬ ‫عامة‬ ‫وتمارين‬ ‫بالوحدة‬ ‫الواردة‬ ‫والتعليمات‬ ‫املفاهيم‬ ‫يتناول‬ ‫للوحدة‬ ‫بملخص‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ ‫تنتهى‬ 
.‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫يف‬ ‫الطالب‬ ‫درسها‬ ‫التي‬ ‫واملهارات‬ ‫املفاهيم‬ ‫عىل‬
.‫وحداته‬ ‫يف‬ ‫الطالب‬ ‫درسها‬ ‫التي‬ ‫واملهارات‬ ‫املفاهيم‬ ‫جميع‬ ‫تشمل‬ ‫عامة‬ ‫بإختبارات‬ ‫الكتاب‬ ‫ينتهي‬ 
.‫العزيزة‬ ‫ولمصرنا‬ ،‫لأولادنا‬ ‫خير‬ ‫فيه‬ ‫لما‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫جاز‬‫ن‬‫إ‬ ‫فى‬ ‫وفقنا‬ ‫قد‬ ‫نكون‬ ‫أن‬ ‫..نتمنى‬ ‫ًا‬‫ر‬‫وأخي‬
‫السبيل‬ ‫سواء‬ ‫إلى‬ ‫يهدى‬ ‫وهو‬ ،‫القصد‬ ‫وراء‬ ‫من‬ ‫له‬��‫وال‬
‫المقدمة‬

5. ‫المحتويات‬
‫االستــاتيكــا‬
2.................................................................................................................................................................................................................... .‫الميكانيكا‬ ‫علم‬ ‫تطور‬ ‫عن‬ ‫مقدمة‬
8....................................................................................................................................................................................................................................................................................... .‫القــوى‬
16............................................................................................................................................................................................................................................................................. .‫القوى‬ ‫تحليل‬
21........................................................................................................................................................................ .‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫عدة‬ ‫محصلة‬
26................................................................................ .‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫المتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جسيم‬ ‫اتزان‬
36...................................................................................................................................................................................................................................................................... .‫الوحدة‬ ‫ص‬َّ‫ملخ‬
37.......................................................................................................................................................................................................................... .)‫األولى‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
39...........................................................................................................................................................................................................................................................................‫تراكمى‬ ‫اختبار‬
42......................................................................................................................................................................................................................................................... .‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬
53..................................................................................................................................................................................... .‫المنتظمة‬ ‫العجلة‬ ‫ذات‬ ‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬
62.......................................................................................................................................................................................................................................................................... .‫الحر‬ ‫السقوط‬
67.......................................................................................................................................................................................................................................................... .‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫قانون‬
72...................................................................................................................................................................................................................................................................... .‫الوحدة‬ ‫ص‬َّ‫ملخ‬
74.......................................................................................................................................................................................................................... .)‫األولى‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
76...........................................................................................................................................................................................................................................................................‫تراكمى‬ ‫اختبار‬
‫أوىل‬‫ل‬‫ا‬‫الوحدة‬
‫الثانية‬‫الوحدة‬
‫الديناميكا‬

6. ‫المحتويات‬
80................................................................................................................................................................................................................................................................ .‫والمخروط‬ ‫الهرم‬
85.................................................................................................................................................................................... .‫والمخروط‬ ‫الهرم‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
89......................................................................................................................................................................................................................... .‫القائم‬ ‫والمخروط‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬
94......................................................................................................................................................................................................................................................................... .‫الدائرة‬ ‫معادلة‬
105................................................................................................................................................................................................................................................................. .‫الوحدة‬ ‫ص‬َّ‫ملخ‬
106..................................................................................................................................................................................................................... .)‫األولى‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
108......................................................................................................................................................................................................................................................................‫تراكمى‬ ‫اختبار‬
112................................................................................................................................................................................................................................................................... .‫البيانات‬ ‫تمثيل‬
116.................................................................................................................................................................................................................................................................. .‫البيانات‬ ‫وصف‬
122............................................................................................................................................................................................................................................................................... .‫االحتمال‬
144................................................................................................................................................................................................................................................................. .‫الوحدة‬ ‫ص‬َّ‫ملخ‬
146..................................................................................................................................................................................................................... .)‫األولى‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
150......................................................................................................................................................................................................................................................................‫تراكمى‬ ‫اختبار‬
152................................................................................................................................................................................................................................................................. .‫عامة‬ ‫اختبارات‬
164.............................................................................................................................................................................................................................................‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابات‬
‫الثالثة‬‫الوحدة‬
‫الرابعة‬‫الوحدة‬
‫القياس‬‫و‬‫الهندسة‬‫واالحتمال‬‫االحصاء‬

7. ‫الميكانيكا‬‫علم‬‫تطور‬‫عن‬‫مقدمة‬
½½‫باستخدام‬‫وذلك‬،‫المادية‬‫األجسام‬‫اتزان‬‫أو‬‫كة‬‫حر‬‫بدراسة‬‫يقوم‬‫الذى‬‫العلم‬‫هو‬‫العام‬‫بالمفهوم‬‫الميكانيكا‬
‫الصواريخ‬ ‫وإطالق‬ ‫الشمس‬ ‫حول‬ ‫األرض‬ ‫دوران‬ ‫على‬ ‫سرى‬َ‫ت‬ ‫قوانين‬ ‫هناك‬ ً‫ا‬‫فمثل‬ ،‫بها‬ ‫الخاصة‬ ‫القوانين‬
‫المادية‬ ‫األجسام‬ ‫لمواضع‬ ‫الزمن‬ ‫بمرور‬ ‫حدث‬َ‫ي‬ ‫الذى‬ ‫التغير‬ ‫بها‬ ‫ويقصد‬ .‫ذلك‬ ‫غير‬ ‫أو‬ ‫المدفع‬ ‫قذيفة‬ ‫أو‬
،‫األجسام‬‫هذه‬‫كة‬‫حر‬‫له‬‫تتغير‬‫الذى‬‫التأثير‬‫هو‬‫األجسام‬‫بين‬‫المتبادل‬‫الميكانيكى‬‫والتأثير‬،‫الفراغ‬‫فى‬
‫القوانين‬ ‫دراسة‬ ‫هى‬ ‫الميكانيكا‬ ‫فى‬ ‫األساسية‬ ‫المسألة‬ ‫فإن‬ ‫لذلك‬ ، ‫عليها‬ ‫المختلفة‬ ‫القوى‬ ‫لتأثيرات‬ ‫ا‬ً‫ق‬‫طب‬
:‫إلى‬ ‫الميكانيكا‬ ‫وتنقسم‬ .‫عليها‬ ‫القوى‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫المادية‬ ‫األجسام‬ ‫واتزان‬ ‫كة‬‫لحر‬ ‫العامة‬
Statics )1(‫اال�ستاتيكا‬
، ‫القوى‬ ‫سمى‬ُ‫ت‬ ‫المؤثرات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫األجسام‬ ‫سكون‬ ‫فى‬ ‫يبحث‬ )‫األجسام‬ ‫توازن‬ ‫(علم‬
‫تاثير‬ ‫تحت‬ ‫توازن‬ ‫حالة‬ ‫فى‬ ‫إنه‬ :‫للجسم‬ ‫ويقال‬ ،‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫بأنها‬ ‫الجسم‬ ‫حالة‬ ‫من‬ ‫غير‬ُ‫ت‬ ‫ال‬ ‫التى‬ ‫القوى‬ ‫وتوصف‬
.‫القوى‬ ‫هذه‬
Dynamics )2(‫الديناميكا‬
‫الديناميكا‬‫وتنقسم‬،‫القوى‬‫تأثير‬‫تحت‬‫المادية‬‫األجسام‬‫كة‬‫حر‬‫قوانين‬‫تتضمن‬‫والتى‬)‫األجسام‬‫حركة‬‫(علم‬
‫كة‬‫الحر‬‫(وصف‬‫الهندسية‬‫الوجهة‬‫من‬‫كة‬‫الحر‬‫خصائص‬‫فى‬‫تبحث‬‫وهى‬ Kinematics‫الكينماتيكا‬:‫إلى‬
‫القوى‬ ‫تأثير‬ ‫فى‬ ‫تبحث‬ ‫وهى‬ Kinetics ‫الكيناتيكا‬ ‫و‬ ،)‫لها‬ ‫المسببة‬ ‫للقوى‬ ‫التعرض‬ ‫دون‬ ‫ا‬ً‫د‬‫مجر‬ ‫ا‬ً‫ف‬‫وص‬
.‫كة‬‫للحر‬ ‫المغيرة‬ ‫أو‬ ‫المسببة‬
:‫وهناك‬
.)‫اتزانه‬ ‫أو‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫بحث‬ ‫عند‬ ‫أبعاده‬ ‫إهمال‬ ‫يمكن‬ ‫الذى‬ ‫الجسم‬ ‫(أى‬ ‫المادية‬ ‫النقطة‬ ‫ميكانيكا‬
‫المترابطة‬‫الجسيمات‬‫من‬‫ا‬ًّ‫جد‬‫كبير‬‫عدد‬‫من‬‫المكون‬‫الجسم‬‫(أى‬RigidBodies‫الجاسئ‬‫الجسم‬‫ميكانيكا‬
.)‫خارجي‬ ‫مؤثر‬ ‫بأي‬ ‫تتأثر‬ ‫وال‬ ‫ثابتة‬ ‫تكون‬ ‫منها‬ ‫جسيمين‬ ‫أي‬ ‫بين‬ ‫المسافه‬ ‫إن‬ ‫بحيث‬ ‫بعضها‬ ‫مع‬
‫ثم‬،‫نقطة‬‫فى‬‫متالقية‬‫قوى‬‫عدة‬‫محصلة‬‫وإيجاد‬،‫مركبتين‬ ‫إلى‬‫القوة‬‫وتحليل‬‫قياسها‬‫ووحدات‬‫وخواصها‬‫القوة‬‫مفهوم‬‫الوحدة‬‫هذه‬‫فى‬‫ندرس‬‫سوف‬ -1
.‫عليها‬‫وتطبيقات‬‫نقطة‬‫فى‬‫المتالقية‬‫المستوية‬‫القوى‬‫من‬‫مجموعة‬‫تأثير‬‫تحت‬‫مادية‬‫نقطة‬‫اتزان‬‫دراسة‬
‫الدراسة‬ ‫هذه‬ ‫وتتناول‬ ‫لها‬ ‫المسببة‬ ‫للقوى‬ ‫التعرض‬ ‫دون‬ ‫األجسام‬ ‫حركة‬ ‫بوصف‬ ‫تختص‬ ‫التى‬ ‫وهى‬ )‫(الكينماتيكا‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ ‫ندرس‬ ‫سوف‬-2
‫وقانون‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫والرأسية‬ ‫األفقية‬ ‫الحركة‬ ‫على‬ ‫وتطبيقات‬ ‫وقوانينها‬ ‫الحركة‬ ‫ومسببات‬ ‫الحركة‬ ‫لهذه‬ ‫المصاحبة‬ ‫والظواهر‬ ‫األجسام‬ ‫حركة‬
.‫لنيوتن‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 2

8. ‫فيها‬ ‫ر‬َّ‫ي‬‫تتغ‬ ‫عليها‬ ‫طرأ‬َ‫ت‬ ‫غيرات‬َ‫ت‬ ‫واألجسام‬ ‫األنظمة‬ ‫لبعض‬ ‫(توجد‬ ‫المتغيرة‬ ‫الكتل‬ ‫ذات‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬
،‫كة‬‫الحر‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫كتلتها‬ ‫من‬ ‫زيد‬َ‫ت‬ ‫أو‬ ‫نقص‬َ‫ت‬ ‫سيمات‬ُ‫ج‬ ‫بها‬ ‫يتحد‬ ‫أو‬ ‫عنها‬ ‫نفصل‬َ‫ي‬ ‫كأن‬ ‫الزمن‬ ‫بتغير‬ ‫الكتلة‬
‫وغيرها‬ ِ‫الوقود‬ ‫استهالك‬ ‫نتيجة‬ ‫كتلتها‬ ‫تغير‬َ‫ت‬ ‫التى‬ ‫المناجم‬ ‫وعربات‬ ‫النفاثة‬ ‫الصواريخ‬ ‫األجسام‬ ‫هذه‬ ‫ومن‬
.)‫المختلفة‬ ‫األنظمة‬ ‫من‬
‫الرجوع‬‫على‬‫القدرة‬‫لها‬‫التى‬‫األجسام‬‫خاصية‬‫هى‬)Elasticity‫نة‬‫و‬‫(المر‬‫للتشكيل‬‫القابلة‬‫األجسام‬‫ميكانيكا‬
‫مؤثرات‬‫إلى‬‫األجسام‬‫ض‬ُّ‫عر‬َ‫ت‬‫عند‬‫وهي‬ Plasticity‫نة‬‫و‬‫اللد‬‫أما‬،‫تشكيلها‬‫بعد‬‫األصلية‬‫أبعادها‬‫و‬‫شكلها‬‫إلى‬
.‫الخارجي‬ ‫ِّر‬‫ث‬‫المؤ‬ ‫زوال‬ ‫عند‬ ‫الطبيعية‬ ‫حالتها‬ ‫إلى‬ ‫تعود‬ ‫ال‬ ‫خارجية‬
Fluid Mechanics ‫الموائع‬‫ميكانيكا‬
‫وينقسم‬‫عليها‬‫المؤثرة‬‫والقوى‬)...،‫غازات‬،‫(سوائل‬‫الموائع‬‫ا‬ ً‫اساس‬‫يدرس‬‫وهو‬‫الكم‬‫ميكانيكا‬‫فروع‬‫أحد‬
‫ويندرج‬‫كة‬‫الحر‬‫حالة‬‫فى‬‫دراستها‬‫أو‬‫الموائع‬‫وديناميكا‬‫السكون‬‫حالة‬‫فى‬‫دراستها‬‫أو‬‫الموائع‬‫استاتيكا‬‫إلى‬
.)‫(هيدروديناميك‬ ‫المائية‬ ‫والديناميكا‬ )‫(ايروديناميك‬ ‫الهوائية‬ ‫الديناميكا‬ ‫مثل‬ ‫أخرى‬ ‫تخصصات‬ ‫تحتها‬
:Biomechanics ‫الحيوية‬‫الميكانيكا‬
‫وتحليل ميكانيكا الكائنات‬ ‫دراسة‬ ‫شمل‬َ‫ي‬ ‫وهذا‬ ، ‫الحية‬ ‫على الكائنات‬ ‫الميكانيكية‬ ‫للمبادئ‬ ‫طبيق‬َ‫ت‬ ‫هى‬
.‫الحياتية‬ ‫األنظمة‬ ‫من‬ ‫واستقائها‬ ‫الهندسية‬ ‫المبادئ‬ ‫طبيق‬َ‫ت‬‫و‬ ‫الحية‬
‫األطراف‬ ‫على‬ ‫ِّرة‬‫ث‬‫المؤ‬ ‫القوى‬ ‫دراسة‬ ‫شمل‬َ‫ت‬ ‫الحيوية‬ ‫الميكانيكا‬ ‫ألبحاث‬ ‫البسيطة‬ ‫األمثلة‬ ‫ومن‬
، ‫السمك‬ ‫سباحة‬ ‫الموائع في‬ ‫والطيور، وميكانيكا‬ ‫الحشرات‬ ‫الهوائية لطيران‬ ‫(األعضاء)، والديناميكا‬
‫من‬ ‫ا‬ً‫بدء‬ ، ‫الحياة‬ ‫أشكال‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫أنواع‬ ‫وجمع‬ ،‫األشجار‬ ‫جذور‬ ‫قدمها‬ُ‫ت‬ ‫التي‬ ‫والرسوخ‬ ‫الثباتية‬
‫كة‬‫الحر‬‫لم‬ِ‫لب ع‬ ُ‫ص‬‫في‬‫هو‬‫البشري‬‫للجسم‬‫الحيوية‬‫والميكانيكا‬،‫األحياء‬‫جميع‬‫إلى‬‫ا‬ً‫ارتقاء‬‫المفردة‬‫الخاليا‬
‫ا الديناميكا‬ ً‫وخصوص‬ .‫الحيوية‬ ‫الميكانيكا‬ ‫دراسة‬ ‫في‬ ‫أساسية‬ ‫ا‬ً‫أدوار‬ ‫التطبيقية‬ ‫الميكانيكا‬ ‫تلعب‬ ‫،حيث‬
.‫الميكانيكية‬ ‫وفروع الهندسة‬ ، ‫المتصلة‬ ‫األوساط‬ ‫ وميكانيكا‬ ، ‫الحرارية‬
.‫المطلقة‬ ‫الحموالت‬ ‫هذه‬ ‫على‬ ‫كرد‬ ‫األعضاء‬ ‫تشكل‬ ‫وإعادة‬ ‫نمو‬ ‫مجال‬ ‫في‬ ‫أكثر‬ ‫ًا‬‫ث‬‫أبحا‬ ‫هناك‬ ‫أن‬ ‫كما‬
‫مع‬ ‫القلبية‬ ‫العضلية‬ ‫الخاليا‬ ‫وسلوك‬ ،‫جدران الشرايين‬ ‫ميكانيكية‬ ‫على‬ ‫تفع‬‫ر‬‫الدم الم‬ ‫تأثير ضغط‬ ،ً‫ال‬‫مث‬
، ‫الريح‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫مع‬ ‫التأقلمي‬ ‫النباتات‬ ‫نمو‬‫و‬ ، ‫معينة‬ ‫لممارسات‬ ‫نمو العظام كاستجابة‬‫و‬ ، ‫القلب‬ ‫احتشاء‬
‫علوم‬ ‫توظف‬ .‫المطبقة‬ ‫لألحمال‬ ‫مباشرة‬ ‫كنتيجة‬ ‫جديد‬ ‫من‬ ‫تتشكل‬ ‫الحية‬ ‫األنسجة‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫كشاهد‬ ‫عتبر‬ُ‫ت‬
، ‫والتكامل‬ ، ‫التفاضلية‬ ‫والمعادالت‬ ، ‫الخطي‬ ‫شمل الجبر‬َ‫ت‬‫و‬ ‫الحياتية‬ ‫المشاكل‬ ‫لحل‬ ‫المختلفة‬ ‫الرياضيات‬
.‫وغيرها‬ ‫واإلحصاء‬ ‫لوجى‬‫و‬‫والتوب‬ ‫والميكانيكا‬ ، ‫والهندسة‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬3

9. ‫العامة‬ ‫والقوانين‬ ‫الجاسئ‬ ‫والجسم‬ ‫المادية‬ ‫بالنقطة‬ ‫الخاصة‬ ‫الميكانيكا‬ ‫المنهج‬ ‫هذا‬ ‫فى‬ ‫ندرس‬ ‫وسوف‬
‫الهامة‬‫الظواهر‬‫من‬‫سلسلة‬‫تفسر‬‫والتى‬‫الحديثه‬‫المجاالت‬‫من‬‫لكثير‬‫علمية‬‫قاعدة‬‫بصفتها‬‫وذلك‬،‫كة‬‫للحر‬
‫ظر‬َ‫ن‬ ‫وجهة‬ ‫كوين‬َ‫ت‬ ‫وإلى‬ ‫ككل‬ ‫بالطبيعة‬ ‫المعرفة‬ ‫علم‬ ‫تطور‬ ‫إلى‬ ‫بالتالى‬ ‫وتؤدى‬ ‫عالمنا‬ ‫فى‬ ‫تحدث‬ ‫التى‬
.‫صحيحة‬ ‫علمية‬ ‫مادية‬
‫اإلنتاج‬ ‫لمتطلبات‬ ‫نتيجة‬ ‫القديمة‬ ‫العصور‬ ‫فى‬ )‫(االستاتيكا‬ ‫األجسام‬ ‫التزان‬ ‫العامة‬ ‫الدراسة‬ ‫بدات‬ ‫وقد‬
‫هام‬‫دور‬‫أرشميدس‬‫لفات‬‫ؤ‬‫لم‬‫كان‬‫و‬)‫وغيرها‬‫المائل‬‫والمستوى‬‫والبوابة‬‫(كالرافعة‬‫الوقت‬‫هذا‬‫فى‬‫البسيطة‬
.‫االستاتيكا‬ ‫علم‬ ‫لترسيخ‬ ‫الوقت‬ ‫هذا‬ ‫فى‬
‫وصناعة‬ ‫واإلنتاج‬ ‫والصناعة‬ ‫والتجارة‬ ‫النقل‬ ‫فى‬ ‫النهضة‬ ‫نتيجة‬ ‫طويل‬ ‫بأمد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫فبدأت‬ ‫الديناميكا‬ ‫أما‬
:‫الكبيرين‬‫ين‬َ‫م‬ِ‫العال‬‫إلى‬‫الديناميكا‬‫علم‬‫تأسيس‬‫فى‬‫ئيسى‬‫ر‬‫ال‬‫الفضل‬‫ويرجع‬،‫الفلكية‬‫واالكتشافات‬‫األسلحة‬
.)1727 - 1642( ‫نيوتن‬ ‫وإسحق‬ )1642 – 1564( ‫جاليلى‬ ‫جاليليو‬
‫حساب‬ ‫تطبيق‬ ‫على‬ ‫بنيت‬ ‫والتى‬ ،‫الميكانيكا‬ ‫فى‬ ‫التحليلية‬ ‫الطرق‬ ‫تتطور‬ ‫بدأت‬ ‫عشر‬ ‫الثامن‬ ‫القرن‬ ‫وفى‬
‫اآللى‬ ‫الحاسب‬ ‫باستخدام‬ ‫العددية‬ ‫الطرق‬ ‫إلى‬ ‫(باإلضافة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫وحل‬ ‫والتكامل‬ ‫التفاضل‬
‫ويرجع‬ ،‫الحالى‬ ‫الوقت‬ ‫حتى‬ ‫متبعة‬ ‫مازالت‬ ‫والتى‬ ،‫الديناميكا‬ ‫مسائل‬ ‫من‬ ‫العديد‬ ِّ‫حل‬ ‫فى‬ )‫ا‬ً‫ي‬‫حال‬ ‫المتبع‬
.)1813 – 1736( ‫والجرانج‬ )1783 – 1717( ‫دالمبير‬ ‫نسيين‬‫ر‬‫الف‬ ‫العالمين‬ ‫أبحاث‬ ‫إلى‬ ‫ذلك‬ ‫فى‬ ‫الفضل‬
)1921 – 1847( ‫تسيلكوفسكى‬ ‫الروسى‬ ‫العالم‬ ‫المتغيرة‬ ‫الكتل‬ ‫ذات‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬ ‫أساس‬ ‫وضع‬ ‫وقد‬
‫الروسى‬ ‫للعالم‬ ‫كان‬‫و‬ ، ‫الصواريخ‬ ‫كة‬‫وحر‬ ‫النفاثة‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫نظرية‬ ‫فى‬ ‫أساسية‬ ‫باكتشافات‬ ‫قام‬ ‫حيث‬
.‫الجيروسكوبية‬ ‫األجهزة‬ ‫نظرية‬ ‫وتطوير‬ ‫السفن‬ ‫نظرية‬ ‫ع‬ ْ‫وض‬ ‫فى‬ ‫بارز‬ ‫دور‬ )1945 – 1863( ‫كريلوف‬
General relativity theory ‫العامة‬‫الن�سبية‬‫النظرية‬
:‫الفيزياء‬ ‫في‬ ‫األساسية‬ ‫بالمصطلحات‬ ‫يتعلق‬ ‫بما‬ ‫المفاهيم‬ ‫من‬ ‫الكثير‬ ‫رت‬ّ‫ي‬‫غ‬ ‫ألينشتاين‬ ‫النسبية‬ ‫النظرية‬
‫الفضاء في القرن‬‫وفيزياء‬‫النظرية‬‫الفيزياء‬‫في‬‫نوعية‬‫نقلة‬‫أحدثت‬‫حيث‬.‫والطاقة‬‫الكتلة‬‫الزمان‬،‫المكان‬
.‫عام‬ 200 ‫لمدة‬ ‫قائمة‬ ‫كانت‬ ‫الميكانيكة لنيوتن التي‬ ‫النظرية‬ ‫وعدلت‬ ‫مرة‬ ‫ألول‬ ‫نشرها‬ ‫عند‬ .‫العشرين‬
‫الوقت‬ ‫ومفهوم‬ .‫كة نسبية‬‫ الحر‬ َّ‫كل‬ َّ‫بأن‬ ‫ت‬ َّ‫ص‬َ‫ن‬ ‫حيث‬ ،‫كة لنيوتن‬‫الحر‬ ‫مفهوم‬ ‫بتحويل‬ ‫النسبية‬ ‫نظرية‬ ‫قامت‬
‫أن‬ ‫بعد‬ ‫ا‬ً‫موحد‬ ‫ا‬ً‫ئ‬‫الزمان والمكان شي‬ ‫وجعلت‬ .‫مكاني‬ ‫غير‬ ‫آخر‬ ‫بعد‬ ‫نه‬‫و‬‫ك‬ ‫إلى‬ ،‫ومحدد‬ ‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫نه‬‫و‬‫ك‬ ‫من‬ ‫غير‬َ‫ت‬
‫وأصبح‬ ،‫األجسام‬ ‫سرعة‬ ‫على‬ ‫َّف‬‫ق‬‫يتو‬ ‫الوقت‬ ‫مفهوم‬ ‫وجعلت‬ .‫مختلفين‬ ‫كشيئين‬ ‫معهما‬ ‫التعامل‬ ‫يتم‬ ‫كان‬
.‫نية‬‫و‬‫النيوت‬ ‫الكالسيكية‬ ‫الفيزياء‬ ‫كل‬ ‫غيرت‬َ‫ت‬ ‫لفهم الكون.وبذلك‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫أساس‬ ‫ا‬ً‫م‬‫مفهو‬ ‫الزمن‬ ‫د‬ُّ‫مد‬َ‫ت‬‫و‬ ‫تقلص‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 4

10. ‫الحادثة‬ ‫التفاعالت‬ ‫فهم‬ ‫من‬ ‫عمقت‬ ‫حيث‬ ،‫كبيرة‬ ‫أهمية‬ ‫النسبية‬ ‫للنظرية‬ ‫الفيزياءكان‬ ‫مجال‬ ‫في‬
‫الكون‬‫علماء‬‫استطاع‬‫النسبية‬‫النظرية‬‫باستخدام‬‫كذلك‬‫و‬،‫النووي‬‫العصر‬‫لقدوم‬‫أدى‬‫مما‬،‫بين الجسيمات‬
.‫الجاذبية‬ ‫السوداء وموجات‬ ‫مثل الثقوب‬ ‫نية‬‫و‬‫ك‬‫و‬ ‫طبيعية‬ ‫بظواهر‬ ‫التنبؤ‬ ‫والفضاء‬
:Quantummechanics ‫الكم‬‫ميكانيكا‬
‫على‬ ‫الظواهر‬ ‫لتفسير‬ ‫وذلك‬ ،‫العشرين‬ ‫القرن‬ ‫في‬ ‫ظهرت‬ ‫التي‬ ‫الفيزيائية‬ ‫النظريات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬
‫مصطلح‬ ‫ليظهر‬ ‫الموجية‬ ‫والخاصية‬ ‫الجسيمية‬ ‫الخاصية‬ ‫بين‬ ‫دمجت‬ ‫وقد‬ ‫والجسيمات‬ ‫الذرة‬ ‫مستوى‬
‫المستوى‬‫على‬‫الفيزيائي‬‫التفسير‬‫عن‬‫لة‬‫و‬‫مسئ‬‫الكم‬‫ميكانيكا‬‫صبح‬ُ‫ت‬‫وبهذا‬،)‫الجسيم‬–‫(الموجة‬‫ازدواجية‬
‫لذلك‬،‫المستوى‬‫هذا‬‫على‬‫تأثيرها‬‫التظهر‬‫لكن‬‫و‬،‫الكالسيكية‬‫الميكانيكا‬‫على‬‫تطبق‬‫ا‬ ً‫أيض‬‫أنها‬‫كما‬،‫الذري‬
.‫والعادي‬ ‫الذري‬ ‫المستويين‬ ‫على‬ ‫تطبيقها‬ ‫إلمكانية‬ ‫الكالسيكية‬ ‫للفيزياء‬ ‫تعميم‬ ‫هي‬ ‫الكم‬ ‫ميكانيكا‬ ‫فإن‬
‫لوصف‬ ‫يستخدم‬ ‫فيزيائي‬ ‫مصطلح‬ ‫(وهو‬ ‫بنائها‬ ‫ة الكم في‬ّ‫ي‬‫أهم‬ ‫إلى‬ ‫يعود‬ ‫الكم‬ ‫بميكانيكا‬ ‫تسميتها‬ ‫وسبب‬
‫التي‬‫المحددة‬‫الطاقة‬‫كميات‬‫إلى‬‫لإلشارة‬‫ستخدم‬ُ‫ي‬‫و‬،‫الجسيمات‬‫بين‬‫بادلها‬َ‫ت‬‫مكن‬ُ‫ي‬‫الطاقة‬‫من‬‫ية‬ّ‫م‬‫ك‬‫أصغر‬
.)‫ستمر‬ُ‫م‬ ٍ‫بشكل‬ ‫ليس‬‫و‬ ،ٍ‫ع‬‫متقط‬ ٍ‫بشكل‬ ‫نبعث‬َ‫ت‬
Femtosecon ‫ثانية‬‫الفيمتو‬
‫بين‬ ‫والنسبة‬ ))15-( ‫للقوة‬ ‫مرفوعة‬ ‫(عشرة‬ ‫أي‬ ،‫الثانية‬ ‫من‬ ‫جزء‬ ‫مليار‬ ‫مليون‬ ‫من‬ ‫جزء‬ ‫هو‬ :‫ثانية‬ ‫الفيمتو‬
.‫سنة‬ ‫مليون‬ 32‫و‬ ‫الثانية‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫هي‬ ‫ثانية‬ ‫والفيمتو‬ ‫الثانية‬
‫وذلك‬ ،‫الفيمتو‬ ‫بكيمياء‬ ‫المعروف‬ ‫اختراعه‬ ‫تثبيت‬ ‫من‬ ‫زويل‬ ‫أحمد‬ ‫المصرى‬ ‫العالم‬ ‫َّن‬‫ك‬‫م‬َ‫ت‬ 1990‫العام‬ ‫في‬
‫اختراعه‬‫ص‬َّ‫خ‬‫ل‬َ‫ت‬ِ‫وي‬ ،1979‫العام‬‫منذ‬‫امتد‬‫للتقنية‬‫نيا‬‫ر‬‫كاليفو‬‫معهد‬‫في‬‫القابع‬‫بحثه‬‫فريق‬‫مع‬ ٍ‫مضن‬‫جهد‬‫بعد‬
‫العالم‬ ‫هذا‬ ‫ل‬ َّ‫وتوص‬ ، ‫ثانية‬ ‫الفيمتو‬ ‫زمن‬ ‫وحدة‬ ‫إلى‬ ‫العادي‬ ‫الزمن‬ ‫حاجز‬ ‫ت‬َّ‫ط‬‫تخ‬ ‫زمنية‬ ‫وحدة‬ ‫اختراع‬ ‫في‬
‫كاميرا‬‫و‬ ، ‫مفرغ‬ ‫أمبوب‬ ‫داخل‬ ‫جزيئي‬ ‫وشعاع‬ ‫المدى‬ ‫قصيرة‬ ‫ليزر‬ ‫نبضات‬ ‫باستخدام‬ ‫العلمي‬ ‫اكتشافه‬ ‫إلى‬
‫الجزيئات‬‫لباقي‬‫التحاقها‬‫وقبل‬‫والدتها‬‫منذ‬‫الجزيئات‬‫كة‬‫حر‬‫لتصوير‬‫وذلك‬،‫فريدة‬‫مواصفات‬‫ذات‬‫رقمية‬
‫نبضات‬‫باستخدام‬‫حدوثها‬‫عند‬‫الكيميائية‬‫التفاعالت‬‫ومباغتة‬‫السريع‬‫التدخل‬‫باإلمكان‬‫وأصبح‬،‫األخرى‬
‫العربي‬ ‫العالم‬ ‫هذا‬ ‫جعل‬ ‫وقد‬ ،‫الخلية‬ ‫في‬ ‫والبناء‬ ‫الهدم‬ ‫عمليات‬ ‫ومتابعة‬ ‫للمشاهدة‬ ‫كتليسكوب‬ ‫الليزر‬
‫الفضاء‬ ‫أبحاث‬ ، ‫الفيزياء‬ ، ‫الطب‬ ‫مجال‬ ‫في‬ ‫العلمي‬ ‫االكتشاف‬ ‫هذا‬ ‫الستخدام‬ ‫ا‬ً‫مفتوح‬ ‫الباب‬ ‫العمالق‬
.‫الفيمتو‬ ‫كيمياء‬ ‫باسم‬ ‫َت‬‫ف‬ِ‫ر‬ُ‫ع‬ ‫جديدة‬ ‫علمية‬ ‫مدرسة‬ ‫باسمه‬ ‫لت‬ِّ‫ج‬ ُ‫وس‬ ‫الكثير‬ ‫وغيره‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬5

11. ‫الوحدة‬
‫األولى‬
:‫أن‬ ‫على‬ ‫ا‬ً‫ر‬‫قاد‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫المتوقع‬ ‫من‬ ‫الوحدة‬ ‫نهاية‬ ‫فى‬
••‫(عند‬‫المختلفة‬‫القياس‬‫وحدات‬‫يتعرف‬
)‫بها‬‫المتعلقة‬‫الموضوعات‬‫دراسة‬
••‫التى‬ ‫اإلزاحة‬ – ‫المسافة‬ ‫قياس‬ ‫وحدات‬
‫(مثل‬‫الكبيرة‬‫األطوال‬‫قياس‬‫فى‬‫تستخدم‬
‫تستخدم‬ ‫والتى‬ ،)‫والميل‬ ‫الكيلومتر‬
‫الصغر‬ ‫فى‬ ‫المتناهية‬ ‫األطوال‬ ‫لقياس‬
.‫بينها‬‫العالقة‬‫ودراسة‬ )‫النانومتر‬‫(مثل‬
••– ‫الساعة‬ – ...( ‫الزمن‬ ‫قياس‬ ‫وحدات‬
،)‫الفيمتوثانية‬–....-‫الثانية‬–‫الدقيقة‬
.‫بينها‬ ‫العالقة‬ ‫ودراسة‬
••‫كيلوجرام‬_...(‫الكتلة‬‫قياس‬‫وحدات‬
.‫بينها‬ ‫العالقة‬ ‫ودراسة‬ )...- ‫جرام‬ –
••.‫والقوة‬،‫والعجلة‬،‫السرعة‬‫قياس‬‫وحدات‬
••، ‫كمتجه‬ ‫والقوة‬ ، ‫القوة‬ ‫مفهوم‬ ‫يتعرف‬
‫ضوء‬ ‫فى‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫قياس‬ ‫ووحدات‬
.‫السابقة‬ ‫القياس‬ ‫وحدات‬
••‫واتجاها‬ ‫مقدارا‬ ‫قوتين‬ ‫محصلة‬ ‫يوجد‬
.)‫النقطة‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫(القوتان‬
••‫إلى‬ ‫معلومة‬ ‫قوة‬ ‫تحليل‬ ‫يتعرف‬
.‫مركبتين‬
••‫إلى‬ ‫معلومة‬ ‫قوة‬ ‫تحليل‬ ‫يتعرف‬
.‫متعامدتين‬ ‫مركبتين‬
••‫متالقية‬‫مستوية‬‫قوى‬‫عدة‬‫محصلة‬‫يوجد‬
.‫نقطة‬‫فى‬
••‫تحت‬)‫(جسيم‬‫مادية‬‫نقطة‬‫اتزان‬‫يبحث‬
‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تأثير‬
:‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫فى‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫المتالقية‬
‫متالقيتان‬ ‫مستويتان‬ ‫قوتان‬ ‫اتزنت‬ ‫إذا‬
.‫نقطة‬ ‫فى‬
‫متالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫اتزنت‬ ‫إذا‬
.‫نقطة‬ ‫فى‬
‫فى‬‫متالقية‬‫مستوية‬‫قوى‬‫عدة‬‫اتزنت‬‫إذا‬
.‫نقطة‬
••‫ا‬ًّ‫ي‬‫وجبر‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫هندس‬ ‫قوتين‬ ‫محصلة‬ ‫يوجد‬
‫فى‬ ‫المعلومات‬ ‫تكنولوجيا‬ ‫ا‬ً‫م‬‫مستخد‬
.‫أنشطة‬ ‫صورة‬
••‫فى‬ ‫درسه‬ ‫ما‬ ‫تطبيقات‬ ‫يتعرف‬
‫فيزيائية‬ ‫مواقف‬ ‫فى‬ ‫االستاتيكا‬
.‫وحياتية‬
‫االستــاتيكــا‬
Statics
‫وكان‬ ‫البكالوريوس‬ ‫درجة‬ ‫نال‬ ‫حتى‬ ‫كامبردج‬ ‫جامعة‬ ‫فى‬ ‫دراسته‬ ‫أمضى‬ ‫حيث‬ ‫بإنجلترا‬ ‫لنكولن‬ ‫مقاطعة‬ ‫فى‬ ‫2461م‬ ‫عام‬ ‫نيوتن‬ ‫إسحق‬ ‫ولد‬
‫الجاذبية‬ ‫قانون‬ ‫اكتشف‬ ‫كما‬ ‫األساسية‬ ‫الميكانيكا‬ ‫قوانين‬ ‫نيوتن‬ ‫ابتكر‬ ‫حيث‬ ،‫الرياضية‬ ‫معارفه‬ ‫تنمية‬ ‫فى‬ ‫األكبر‬ ‫الفضل‬ »‫بارو‬ ‫«إسحاق‬ ‫ألستاذه‬
،‫البصريات‬ ‫فى‬ ‫أبحاث‬ ‫لنيوتن‬ ‫كان‬ ‫كما‬ ، ‫للحركة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫واكتشف‬ ‫التفاضل‬ ‫حساب‬ ‫ابتدع‬ ‫كما‬ ، ‫السماوية‬ ‫األجرام‬ ‫على‬ ‫وطبقه‬
‫يتكون‬ ‫الذى‬ ‫الطبيعية‬ ‫للفلسفة‬ ‫الرياضية‬ ‫المبادئ‬ ‫كتاب‬ ‫7861م‬ ‫عام‬ ‫نيوتن‬ ‫عرض‬ ‫وقد‬ ،‫ا‬ً‫ضعف‬ 30 ‫تكبير‬ ‫بقوة‬ ‫ا‬ ً‫عاكس‬ ‫تلسكوبا‬ ‫ابتكر‬ ‫حيث‬
،‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫لقانون‬ ‫باإلضافة‬ ‫للحركة‬ ‫نيوتن‬ ‫بقوانين‬ ‫بعد‬ ‫فيما‬ ‫عرف‬ ‫والذى‬ ‫الكالسيكى‬ ‫الميكانيكا‬ ‫علم‬ ‫أساس‬ ‫ويعتبر‬ ‫أجزاء‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬
‫نفسه‬ ‫عن‬ ‫المشهورة‬ ‫نيوتن‬ ‫أقوال‬ ‫ومن‬ ‫7271م‬ ‫عام‬ ‫توفى‬ ‫حتى‬ ‫المنصب‬ ‫هذا‬ ‫فى‬ ‫وظل‬ ‫فارس‬ ‫لقب‬ ‫5071م‬ ‫عام‬ ‫إنجلترا‬ ‫ملكة‬ ‫منحته‬ ‫وقد‬
‫ملساء‬ ‫حصاة‬ ‫على‬ ‫بالعثور‬ ‫والحين‬ ‫الحين‬ ‫بين‬ ‫ألهو‬ ، ‫البحر‬ ‫شاطئ‬ ‫على‬ ‫يلعب‬ ‫صبى‬ ‫وكأننى‬ ‫لنفسى‬ ‫أبدوا‬ ‫ولكننى‬ ،‫للعالم‬ ‫ابدوا‬ ‫كيف‬ ‫أعلم‬ ‫«لست‬
.»‫أمامى‬ ‫األسرار‬ ‫مغلق‬ ‫العظيم‬ ‫الحقيقة‬ ‫محيط‬ ‫ينبسط‬ ‫بينما‬ ،‫العادة‬ ‫من‬ ‫أجمل‬ ‫صدفة‬ ‫أو‬
‫الوحدة‬ ‫مقدمة‬
‫الوحدة‬ ‫أهداف‬
6

12. ‫األساسية‬ ‫المصطلحات‬
‫والوسائل‬ ‫األدوات‬ ‫الوحدة‬ ‫دروس‬
‫للوحدة‬ ‫تنظيمى‬ ‫مخطط‬
ÑÑScientific calculator‫علمية‬‫حاسبة‬‫آلة‬
ÑÑGraphical computer programs‫للحاسوب‬‫رسومية‬‫برامج‬
.‫القوى‬ :)1 - 1( ‫الدرس‬
.‫مركبتين‬ ‫إلى‬ ‫قوة‬ ‫تحليل‬ :)2 - 1( ‫الدرس‬
‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫عدة‬ ‫محصلة‬ :)3 - 1( ‫الدرس‬
‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جاسئ‬ ‫جسم‬ ‫ اتزان‬:)4 - 1( ‫الدرس‬
.‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫المتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬
ÑÑStatics ‫ا‬‫استاتيك‬
ÑÑForce ‫ة‬‫قو‬
ÑÑRigid body ‫ئ‬‫جاس‬‫جسم‬
ÑÑGravitation force ‫ل‬‫التثاق‬‫قوة‬
ÑÑacceleration of gravity ‫ر‬‫الح‬‫السقوط‬‫عجلة‬
ÑÑNewton ‫ن‬‫نيوت‬
ÑÑDyne ‫ن‬‫داي‬
ÑÑKilogram weight ‫م‬‫جرا‬‫كيلو‬‫ثقل‬
ÑÑGram weight ‫م‬‫جرا‬‫ثقل‬
ÑÑLine of action of the force ‫ة‬‫قو‬‫عمل‬‫خط‬
ÑÑResolving force ‫ة‬‫قو‬‫تحليل‬
ÑÑforce Component ‫ة‬‫قو‬‫مركبة‬
ÑÑequilibrium of a body ‫م‬‫جس‬‫اتزان‬
ÑÑtriangle of forces ‫ى‬‫القو‬‫مثلث‬‫قاعدة‬
ÑÑlami's rule ‫ى‬‫الم‬‫قاعدة‬
ÑÑEquilibrium of rigid body ‫ئ‬‫جاس‬‫جسم‬‫اتزان‬
ÑÑsmooth plane ‫س‬‫أمل‬‫مستوى‬
ÑÑinclined smooth plane ‫س‬‫أمل‬‫مائل‬‫مستوى‬
ÑÑcentre of gravity ‫ل‬‫ثق‬‫مركز‬
‫القوى‬‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جسيم‬ ‫اتزان‬
‫وحياتية‬ ‫فيزيائية‬ ‫تطبيقات‬
‫التكنولوجيا‬ ‫استخدام‬
‫القوى‬ ‫محصلة‬ ‫إيجاد‬
‫مفاهيم‬
‫هندسيًّا‬‫تحليليا‬
‫قوتين‬‫قوى‬ ‫ثالث‬‫قوى‬ ‫عدة‬ ‫خواص‬‫قياس‬ ‫وحدات‬
‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫قاعدة‬
‫القوى‬ ‫مضلع‬
‫معلومين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫التحليل‬‫متعامدين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫التحليل‬
‫المى‬ ‫قاعدة‬
‫متعامدتين‬ ‫مركبتين‬ ‫إلى‬ ‫القوى‬ ‫تحليل‬
0 = ‫ص‬ ، 0 = ‫س‬ ‫ووضع‬
‫االستاتيكا‬
‫قوتين‬‫قوى‬ ‫ثالث‬‫قوى‬ ‫عدة‬
7

13. 1
‫الدرس‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
‫ىف‬ ‫األساسية‬ ‫املفاهيم‬ ‫بعض‬
.‫االستاتيكا‬
‫القوة‬ ‫خواص‬
.‫نقطة‬ ‫ىف‬ ‫متالقيتني‬ ‫قوتني‬ ‫حمصلة‬
‫ىف‬ ‫متالقيتني‬ ‫قوتني‬ ‫حمصلة‬ ‫إجياد‬
.‫حتليليا‬ ‫نقطة‬
:‫تمهيد‬
‫يدرس‬ ‫الذى‬ ‫الميكانيكا‬ ‫فرع‬ ‫هى‬ ‫االستاتيكا‬ َّ‫أن‬ ‫لمت‬َ‫ع‬
‫عليها‬ ‫ر‬ِّ‫ث‬‫تؤ‬ ‫التى‬ ‫المادية‬ ‫األجسام‬ ‫اتزان‬ ‫وشروط‬ ‫القوى‬
‫اتزان‬ ‫على‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ ‫دراستنا‬ ‫وستكون‬ , ‫القوى‬
.‫فقط‬ )1( ‫الجاسئة‬ ‫األجسام‬
‫الكمية‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫علمت‬ ‫المتجهات‬ ‫فى‬ ‫دراستك‬ ‫ومن‬
.‫المتجهة‬ ‫والكمية‬ ‫القياسية‬
Force :‫القوة‬
‫التأثير‬ ‫طبيعة‬ ‫على‬ ‫الجسم‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫أو‬ ‫اتزان‬ ‫حالة‬ ‫تتوقف‬
‫أى‬ ،‫األخرى‬ ‫األجسام‬ ‫وبين‬ ‫بينه‬ ‫المتبادل‬ ‫الميكانيكى‬
‫لهذا‬ ً‫نتيجة‬ ‫للجسم‬ ‫تحدث‬ ‫التى‬ ‫التنافر‬ ‫أو‬ ‫التجاذب‬ ‫أو‬ ‫الشد‬ ‫أو‬ ‫الضغط‬ ‫حاالت‬ ‫على‬
.‫التأثير‬
½½.‫آخر‬ ‫طبيعي‬ ‫جسم‬ ‫علي‬ ‫الطبيعية‬ ‫االجسام‬ ‫أحد‬ ‫تأثير‬ ‫بأنها‬ ‫القوة‬ ‫تعرف‬
1‫تعريف‬
:‫القوة‬‫خوا�ص‬
:‫اآلتية‬ ‫بالعوامل‬ ‫الجسم‬ ‫على‬ ‫القوة‬ ‫تأثير‬ ‫يتحدد‬
.)‫العددية‬ ‫(قيمتها‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬ :ً‫ال‬‫أو‬
‫فى‬ ‫القوة‬ ‫لقياس‬ ‫األساسية‬ ‫والوحدة‬ ‫القوى‬ ‫بوحدة‬ ‫نتها‬‫ر‬‫بمقا‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫تعين‬َ‫ي‬
:‫حيث‬ )kg.wt( ‫الكيلوجرام‬ ‫ثقل‬ ‫أو‬ )N( ‫النيوتن‬ ‫هى‬ ‫الميكانيكا‬
½½‫داين‬ 510 = ‫نيوتن‬ 1 ، ‫م‬‫ج‬ ‫ث‬ 1000 = ‫كجم‬ ‫ث‬ 1
½½‫داين‬ 980 = ‫جم‬ ‫ث‬ 1 ، ‫نيوتن‬ 9.8 = ‫كجم‬ ‫ث‬ 1
)2( )‫ذلك‬ ‫خالف‬ ‫يذكر‬ ‫مالم‬ (
.‫خارجية‬ ‫عوامل‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫وقع‬ ‫إذا‬ ‫تشوه‬ ‫دون‬ ‫بشكله‬ ‫يحتفظ‬ ‫الذى‬ ‫الجسم‬ ‫هو‬ ‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬ -1
‫الساقطة‬ ‫األجسام‬ ‫تجذب‬ ‫االرض‬ ‫إن‬ ‫حيث‬ ، ‫للجسم‬ ‫األرض‬ ‫جذب‬ ‫مقدار‬ ‫هى‬ )‫الوزن‬ ‫(أو‬ ‫التثاقل‬ ‫قوة‬-2
‫التقريبية‬ ‫والقيمة‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫ألخر‬ ‫مكان‬ ‫من‬ ‫لألجسام‬ ‫الحر‬ ‫السقوط‬ ‫عجلة‬ ‫قيمة‬ ‫وتختلف‬ ‫نحوها‬
‫أخرى‬ ‫مواضع‬ ‫فى‬ ‫بالتفصيل‬ ‫الموضوع‬ ‫هذا‬ ‫ذلك.وسيعرض‬ ‫خالف‬ ‫يذكر‬ ‫مالم‬ 2‫م/ث‬ 9.8 ‫تساوى‬ ‫لها‬
.‫الميكانيكا‬ ‫فى‬
‫أن‬�‫تذكر‬
Scalor ‫القياسية‬ ‫الكمية‬
‫بقيمتها‬ ‫ا‬ً‫تام‬ ‫ا‬ ً‫تحديد‬ ‫تتحدد‬
، ‫الكتلة‬ ، ‫المسافة‬ ‫مثل‬ ‫العددية‬
...‫الحجم‬ ، ‫المساحة‬ ، ‫الزمن‬
Vector ‫المتجهة‬ ‫الكمية‬
‫إلى‬ ‫باإلضافة‬ ‫باتجاهها‬ ‫وتتحدد‬
‫واإلزاحة‬‫القوة‬‫مثل‬‫العددية‬‫قيمتها‬
...،‫والسرعة‬
‫القــوى‬
Forces
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
Force ‫ة‬‫قو‬
Resultant ‫ة‬‫حمصل‬
Rigid body ‫ئ‬‫جاس‬ ‫جسم‬
Gravitation force ‫ل‬‫التثاق‬ ‫قوة‬
‫ر‬‫احل‬ ‫السقوط‬ ‫عجلة‬
Acceleration of gravity
Newton ‫ن‬‫نيوت‬
Dyne ‫داين‬
Kilogram weight ‫م‬‫جرا‬ ‫كيلو‬ ‫ثقل‬
Gram weight ‫م‬‫جرا‬ ‫ثقل‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
Scientific calculator
‫ة‬‫رسومي‬ ‫برامج‬
Graphical programs
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 8

14. ‫القوة‬ ‫اتجاه‬ :‫ثانيا‬
‫ن‬ِ‫مك‬ُ‫ي‬‫و‬ ‫ق‬ ‫القوة‬‫متجه‬‫المجاور‬)1(‫شكل‬‫مثل‬ُ‫ي‬
C ‫حيث‬ ‫ب‬ C ‫الموجهة‬ ‫المستقيمة‬ ‫بالقطعة‬ ‫مثيله‬َ‫ت‬
‫المستقيمة‬ ‫للقطعة‬ ‫النهاية‬ ‫نقطة‬ ‫ب‬ ،‫البداية‬ ‫نقطة‬
‫المتجه‬ ‫بمعيار‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫عن‬ ‫عبر‬ُ‫ي‬‫و‬ ‫الموجهة‬
‫ويناظر‬ )‫مناسب‬ ‫رسم‬ ‫له)(بمقياس‬‫و‬‫(ط‬ ||‫ب‬ C||
i ‫زاوية‬ ‫وتسمى‬ ، ‫ق‬ ‫القوة‬ ‫اتجاه‬ ‫السهم‬ ‫اتجاه‬
‫ق‬ ‫القوة‬ ‫مستوى‬ ‫فى‬ ‫للمتجه‬ ‫القطبية‬ ‫بالزاوية‬
.)i ،‫(ق‬‫كاآلتى‬‫القطبية‬‫الصورة‬‫على‬‫كتب‬ُ‫ت‬‫و‬
‫القوة‬ ‫تأثير‬ ‫نقطة‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
‫ل‬ْ‫ق‬َ‫ن‬ ُ‫ن‬ِ‫مك‬ُ‫ي‬‫و‬ ، ‫ق‬ ‫القوة‬ ‫تاثير‬ ‫نقطة‬ ‫على‬ ‫عادة‬ C ‫نقطة‬ ‫نطبق‬َ‫ت‬:)1( ‫شكل‬ ‫فى‬
‫خط‬‫على‬‫تقع‬‫بحيث‬،‫أخرى‬‫نقطة‬‫أى‬‫إلى‬ ‫ق‬ ‫القوة‬‫تأثير‬‫نقطة‬
‫فى‬ ‫كما‬ ‫الجسم‬ ‫على‬ ‫تأثيرها‬ ‫من‬ ‫ذلك‬ ‫يغير‬ ‫أن‬ ‫دون‬ ‫ق‬ ‫عمل‬
‫ق‬ ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫بخط‬ )1( ‫شكل‬ ‫فى‬ ‫ب‬ C ‫يسمى‬ ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ )2( ‫شكل‬
.‫التجاهها‬ ‫والموازى‬ ‫تأثيرها‬ ‫بنقطة‬ ‫المار‬ ‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫هو‬ ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ َّ‫أن‬ ْ‫ أى‬
:‫نقطة‬‫فى‬‫متالقيتين‬‫قوتين‬‫مح�صلة‬
‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫محصلة‬ ‫قوة‬ ، ‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫جسم‬ ‫على‬ ‫تين‬‫ر‬‫مؤث‬ ‫قوتين‬ ‫لكل‬
‫ا‬ًّ‫ي‬‫هندس‬ ‫وتمثل‬ ‫القوتان‬ ‫به‬ ‫تقوم‬ ‫الذي‬ ‫التأثير‬ ‫بنفس‬ ‫.تقوم‬ ،‫النقطة‬ ‫نفس‬
.‫فيه‬ ‫متجاورين‬ ‫كضلعين‬ ‫القوتين‬ ‫بهاتين‬ ‫المرسوم‬ ‫األضالع‬ ‫متوازى‬ ‫بقطر‬
‫األضالع‬‫متوازى‬‫لقطر‬‫الممثل‬ I :َّ‫أن‬‫نجد‬‫المقابل‬‫الشكل‬‫ففى‬
2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫مثل‬ُ‫ي‬ ‫جـ‬ ‫و‬
2‫ق‬ + 1‫ق‬ = I :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
)GeoGebra( ‫برنامج‬ ‫استخدام‬
‫مثال‬
،‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 300 = 1‫ق‬ ‫،حيث‬ ‫جاسئ‬ ‫جسم‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ِّران‬‫ث‬‫ؤ‬ُ‫ت‬ ‫قوتان‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‌
.‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫أوجد‬ .‫الغرب‬ ‫شمال‬ c60 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 400 = 2X
‫الحل‬
.‫نيوتن‬ 100 ‫لكل‬ ‫سم‬ 1 ‫رسم‬ ‫مقياس‬ ‫نختار‬
.‫لمحورالسينات‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫سم‬ 3 = || 1‫ق‬ || ‫نرسم‬
c120 = )‫ب‬ ‫و‬ C c( X ‫حيث‬ ‫القطبية‬ ‫ب‬ ‫و‬ C c ‫نرسم‬
.‫سم‬ 4 = || 2‫ق‬ || ‫نرسم‬
)1( ‫شكل‬C ‫س‬
i
‫ب‬
‫ص‬
‫ق‬
‫معلوماتك‬‫إلى‬�‫أ�ضف‬�
polar angle ‫القطبية‬ ‫الزاوية‬
‫التى‬ ‫الموجبة‬ ‫الزاوية‬ ‫هى‬
‫االتجاه‬ ‫مع‬ ‫المتجه‬ ‫يصنعها‬
.‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫الموجب‬
‫ق‬
: : : :
C ‫ب‬ ‫جـ‬
)2( ‫شكل‬
2 ‫ق‬ I
C
‫ب‬ ‫جـ‬
‫و‬
C
‫ب‬
‫شمال‬
‫غرب‬ ‫شرق‬
‫جـ‬
0
0 14- 23- 32- 41-
1
2
3
4
‫و‬
c120
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ىوــقلا‬1
‫الدرس‬
9

15. .‫ب‬ ‫جـ‬ C ‫و‬ ‫األضالع‬ ‫متوازى‬ ‫رسم‬ ‫نكمل‬
.‫جـ‬ ‫و‬ ‫الموجهة‬ ‫المستقيمة‬ ‫بالقطعة‬ ‫ممثلة‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫فتكون‬
.‫نيوتن‬ 360 = 100 * 3٫6 - ‫ح‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ .‫سم‬ 3.6 - || ‫جـ‬ ‫و‬|| ‫نامج‬‫ر‬‫الب‬ ‫باستخدام‬ ‫نحدد‬
‫نيوتن‬360‫مقدارها‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬‫محصلة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ c73
/
53
/ /
53 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ C ‫و‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬ ‫جـ‬ ‫و‬
.c73/53//53‫قياسها‬‫زاوية‬ 1‫ق‬ ‫مع‬‫وتصنع‬‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫جاسئ‬ ‫جسم‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫اللتين‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫فى‬ )GeoGebra( ‫نامج‬‫ر‬‫ب‬ ‫استخدم‬ ‌
.‫الشرق‬ ‫شمال‬ c80 ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 500 = 2‫ق‬ ، ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 400 = 1‫ق‬ ‫حيث‬
Theresultantoftwoforcemeetingatapointanalytically :‫ا‬ًّ‫ي‬‫تحليل‬‫نقطة‬‫فى‬‫متالقيتين‬‫قوتين‬‫مح�صلة‬‫إيجاد‬�
2 ‫ق‬
1 ‫ق‬
I
C
‫ب‬ ‫جـ‬
‫و‬
‫ى‬
‫هـ‬
‫ب‬ ‫جـ‬
2 ‫ق‬
‫و‬ ‫هـ‬
‫ى‬
I
1 ‫ق‬ C
‫اتجاهى‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫وأن‬ )‫(و‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقيتان‬ ‫قوتان‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ َّ‫أن‬ ‫نفرض‬
‫المحصلة‬ ‫تمثل‬ ‫جـ‬ ‫و‬ ‫فإن‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫تمثالن‬ ‫ب‬ ‫و‬ ، C ‫و‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ )‫(ى‬ ‫القوتين‬
‫فى‬ ‫سبق‬ ‫كما‬ ‫فإنه‬ 1‫ق‬ ‫مع‬ I ‫تصنعها‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫هو‬ ‫هـ‬ ‫أن‬ ‫وبفرض‬ I
:‫العالقات‬ ‫من‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫التمام‬ ‫جيب‬ ‫قاعدة‬ ‫دراسة‬
‫ى‬ ‫جا‬ 2‫ق‬
‫ى‬ ‫جتا‬ 2‫ق‬ + 1‫ق‬
= ‫، ظاهـ‬ ‫ى‬ ‫جتا‬2‫ق‬1‫ق‬ 2 +
2
2‫ق‬ +
2
1‫ق‬ = I
‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫علي‬ I ، 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫مقادير‬ I ، 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ :‫حيث‬
‫مثال‬
‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c45 ‫اتجاهيهما‬ ‫بين‬ ‫والزاوية‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 2 3 ، 3 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫مع‬ ‫ميلها‬ ‫وزاوية‬
‫الحل‬
c45 = ‫ى‬ ، 2 3 = 2‫ق‬ ، 3 = 1‫ق‬ :‫بوضع‬
‫ى‬ ‫جتا‬2‫ق‬1‫ق‬ 2 +
2
2‫ق‬ +
2
1‫ق‬ = I a
3( + 2)3(2c45 ‫جتا‬ 2 3 * 3 * 2 + 2) = I `
‫نيوتن‬ 5 3 = 45 = 1
2
* 2 18 + 18 + 9 =
1
2 =
c45 ‫جا‬ * 2 3
c45 ‫جتا‬ 2 3 + 3
= ‫ظاهـ‬ ` ‫ى‬ ‫جا‬ 2‫ق‬
‫ى‬ ‫جتا‬ 2‫ق‬ + 1‫ق‬
= ‫ظاهـ‬ a
‫أن‬�‫تذكر‬
:‫التمام‬ ‫جيب‬ ‫قاعدة‬
:‫يكون‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫المثلث‬ ‫في‬
‫جـ‬
‫جـ‬
‫ب‬
‫ب‬
C
C
C‫جتا‬ ‫جـ‬ ‫ب‬2- ‫جـ‬
2
+ ‫ب‬
2
= C
2
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
10

16. c26
/
33
/ /
54 = )‫هـ‬c(X :‫فإن‬ ‫الحاسبة‬ ‫اآللة‬ ‫وباستخدام‬
‫ب‬C ‫و‬‫المثلث‬‫ل‬ِّ‫ث‬‫م‬ُ‫ي‬‫المقابل‬‫الشكل‬ :‫أن‬ ‫الحظ‬
، I ‫المحصلة‬ ‫مع‬ 2‫ق‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫هى‬ 1‫هـ‬c ‫حيث‬
‫باستخدام‬ I ‫المحصلة‬‫مع‬ 1‫ق‬ ‫عمل‬‫خط‬‫ميل‬‫زاوية‬‫هى‬2‫هـ‬c
.‫الزاوية‬ ‫جيب‬ ‫قاعدة‬
‫جاى‬ = )‫ى‬ – c180( ‫جا‬ :‫أن‬ ‫الحظ‬
2 ‫هـ‬ + 1‫هـ‬ = ‫ى‬ ‫حيث‬
‫ح‬
‫ى‬ ‫جا‬
= 2‫ق‬
2‫هـ‬ ‫جا‬
= 1‫ق‬
1‫هـ‬ ‫جا‬
:‫فإن‬
2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫من‬ ‫أى‬ ‫على‬ ‫المحصلة‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫إليجاد‬ ‫القاعدة‬ ‫هذه‬ ‫وتستخدم‬
‫ح‬
‫ى‬ ‫جا‬
= 2‫ق‬
2 ‫هـ‬ ‫جا‬
:‫العالقة‬ ‫نستخدم‬ 1‫ق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫إليجاد‬ :‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫ففى‬
5 3
45 ‫جا‬
= 2 3
2‫هـ‬ ‫جا‬
`
c45‫جا‬ * 2 3
5 3
= 2‫هـ‬ ‫جا‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫السابق‬ ‫الجواب‬ ‫نفس‬ ‫وهو‬ c26
/
33
/ /
54 ‫تساوى‬ 1‫ق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫فإن‬ ‫ومنها‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c60 ‫يساوي‬ ‫اتجاهيهما‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 6 ، 10 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫ميلها‬ ‫وزاوية‬ ‫محصلتهما‬
:‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫فى‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬
. ‫المقدار‬ ‫فى‬ ‫متساويتين‬ ‫القوتان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ -2 .‫متعامدتين‬ ‫القوتان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ -1
‫مثال‬
:‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫من‬ ‫حالة‬ ‫كل‬ ‫فى‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المحصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‌
c90 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ 12 = 2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ 5 = 1‫ق‬ ‫أ‬
c120 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ 16 = 2‫ق‬ = 1‫ق‬ ‫ب‬
‫الحل‬
0 = ‫جتاى‬ ، 1 = ‫ى‬ ‫جا‬ ‫فتكون‬ c90 = )‫ى‬c(X ‫أى‬ ‫متعامدتان‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ a ‫أ‬
‫نيوتن‬ 13 = 2)12( + 2)5( = I :‫فإن‬ ‫لذلك‬ ، 2
2‫ق‬ + 2
1‫ق‬ = I `
12
5 = ‫ظاهـ‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ 2‫ق‬
1‫ق‬
= ‫ظاهـ‬ :‫هو‬ 1‫ق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫اتجاه‬ ‫ويكون‬
c67
/
22
//
49 ‫هى‬ 1‫ق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫قياس‬ `
C
‫ب‬
‫و‬
1‫هـ‬
2‫هـ‬ ‫ى‬
1 ‫ق‬
2 ‫ق‬
I
‫ى‬ - c180
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ىوــقلا‬1
‫الدرس‬
11

17. 13 = 12
2 ‫هـ‬ ‫جا‬
‫فتكون‬ ‫ح‬ = 2‫ق‬
2 ‫هـ‬ ‫جا‬
:‫العالقة‬ ‫استخدام‬ ‫يمكن‬ ‫أنه‬ ‫الحظ‬
c67
/
22
//
49 = )2‫هـ‬ c( X `
16 = 2‫ق‬ = 1‫ق‬ ‫عن‬ ‫وبالتعويض‬ ‫ى‬ ‫جتا‬2‫ق‬1‫ق‬ 2 +
2
2‫ق‬ +
2
1‫ق‬ ‫ق‬ = I a ‫ب‬
‫نيوتن‬ 16 = 120 ‫جتا‬ 16 * 16 * 2 + 2)16( + 2)16( = I `
‫المحصلة‬ ‫وأن‬ ‫نيوتن‬ 16 = I = 2‫ق‬ = 1‫ق‬ :‫أن‬ ‫المرسوم‬ ‫الشكل‬ ‫من‬ ‫نالحظ‬‫و‬
‫المحصلة‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ،‫المتساويتين‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تنصف‬
c60 = ‫القوتين‬ ‫من‬ ٍّ‫أى‬ ‫على‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
:‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫من‬ ‫حالة‬ ‫كل‬ ‫فى‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المحصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‌
c90 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ 6 =2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ 4.5 = 1‫ق‬ ‫أ‬
c60 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ 12 = 2‫ق‬ = 1‫ق‬ ‫ب‬
:‫خاصة‬ ‫حاالت‬
:‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫وفى‬ ‫العمل‬ ‫خط‬ ‫نفس‬ ‫لهما‬ ‫القوتان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ -1
½½‫المحصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫قانون‬ ‫فى‬ ‫وبالتعويض‬ 1 = ‫جتاى‬ ‫يكون‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬
، ‫القوتين‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫المحصلة‬ ‫اتجاه‬ ‫ويكون‬ 2‫ق‬ + 1‫ق‬ = I :َّ‫أن‬ ‫نجد‬
.‫للمحصلة‬ ‫العظمى‬ ‫بالقيمة‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ I ‫وتسمى‬
:‫متضادين‬ ‫اتجاهين‬ ‫وفى‬ ‫العمل‬ ‫خط‬ ‫نفس‬ ‫لهما‬ ‫القوتان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ -2
½½‫المحصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫قانون‬ ‫فى‬ ‫وبالتعويض‬ 1 - = ‫جتاى‬ ‫يكون‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬
‫األكبر‬ ‫القوة‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫عمل‬َ‫ي‬ ‫المحصلة‬ ‫اتجاه‬ ‫ويكون‬ |2‫ق‬ - 1‫|ق‬ = I :َّ‫أن‬ ‫نجد‬
.‫للمحصلة‬ ‫الصغرى‬ ‫بالقيمة‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ I ‫وتسمى‬ ، ‫ا‬ً‫مقدار‬
.‫نيوتن‬ 7 ، 4 ‫القوتين‬ ‫لمحصلة‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيمتين‬ ‫أوجد‬ :‫مثال‬
½½.‫القوتين‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 11 = 7 + 4 = ‫العظمى‬ ‫القيمة‬
½½.‫نيوتن‬ 7 ‫القوة‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 3 = |7 – 4| = ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬
‫مثال‬
‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ c120 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 4 ، ‫ق‬ ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
. 1‫ق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫تصنعها‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫ق‬ ‫مقدار‬ :‫فأوجد‬ ‫نيوتن‬ 3 4 ‫يساوى‬
‫الحل‬
c120 = ‫ ، ى‬ 3 4 = I ، 4 = 2‫ق ، ق‬ = 1‫ق‬ :‫عن‬ ‫بالتعويض‬
‫ى‬ ‫جتا‬2‫ق‬1‫ق‬ 2 +
2
2‫ق‬ +
2
1‫ق‬ = 2I : ‫القانون‬ ‫فى‬
c120 ‫جتا‬ 4 * ‫ق‬ * 2 + 2)4( + 2‫ق‬ = 2) 3 4( `
‫ق‬
‫ى‬
I
‫ق‬
:
C
2‫ق‬ 1‫ق‬
:
C
2‫ق‬ 1‫ق‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
12

18. ‫نيوتن‬ 8 = ‫ق‬ ‫ومنها‬ 0 = )8 – ‫(ق‬ )4 + ‫(ق‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ 0 = 32 – ‫4ق‬ – 2‫ق‬ `
‫ى‬ ‫جا‬ 2‫ق‬
‫ى‬ ‫جتا‬ 2‫ق‬ + 1‫ق‬
= ‫ظاهـ‬ :‫القانون‬ ‫نستخدم‬ I ، ‫ق‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫إليجاد‬
1
3
= 120 ‫جا‬ * 4
120 ‫جتا‬ * 4 + 8
= ‫ظاهـ‬ `
c30 = 1‫ق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫تصنعها‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫أن‬ ‫أى‬
:‫الثاني‬ ‫للجزء‬ ‫آخر‬ ‫حل‬
‫ح‬
‫ى‬ ‫جا‬
= 2‫ق‬
2 ‫هـ‬ ‫جا‬
:‫الجيب‬ ‫قانون‬ ‫نستخدم‬ I ، ‫ق‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫إليجاد‬
3 4
120 ‫جا‬
= 4
2 ‫هـ‬ ‫جا‬
`
‫والتبسيط‬ ‫باالختصار‬ 1
2 = 2‫هـ‬ ‫ جا‬
c30 ‫تساوى‬ ‫ق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫تصنعها‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫إذا‬ ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c135 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫قى‬ ‫تؤثران‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ ‫ق‬ ، 6 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫ق‬ ‫مقدارها‬ ‫التى‬ ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫على‬c45 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫يميل‬ ‫المحصلة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫كان‬
.‫متضادين‬‫اتجاهين‬‫فى‬‫ويعمالن‬‫العمل‬‫خط‬‫نفس‬‫لهما‬‫و‬،‫المقدار‬‫فى‬‫متساويتين‬‫قوتين‬‫محصلة‬‫أوجد‬ :‫شفهى‬ ‫تعبير‬
‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫أتى‬�‫ماي‬‫أكمل‬�
.................................................................................................................................................................................................. ‫باآلتى‬ ‫جسم‬ ‫على‬ ‫قوة‬ ‫تأثير‬ ‫يتحدد‬ ‌
...................................................................................................................................................................... ‫يساوى‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫متجه‬ ‌
.............................................................. ‫يساوى‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫متالقيتان‬ ‫نيوتن‬ 6 ، 4 ‫مقدارهما‬ ‫قوتين‬ ‫لمحصلة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ‌
............................................................. ‫يساوى‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫متالقيتان‬ ‫نيوتن‬ 9 ، 5 ‫مقدارهما‬ ‫قوتين‬ ‫لمحصلة‬ ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬ ‌
....................................................... ‫تساوى‬ ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ c60 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫قوتان‬ ‫نيوتن‬ 3 ، 2 ‌
:‫المعطاة‬‫إجابات‬‫ل‬‫ا‬‫بين‬‫من‬‫ال�صحيحة‬‫االجابة‬‫اختر‬
.‫تساوى‬ c60 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ 5 ، 3 ‫القوتان‬ ‫محصلة‬ ‫مقدار‬ ‌
‫نيوتن‬ 8 ‫د‬ ‫ن‬‫نيوت‬ 7 ‍‫ج‬ ‫ن‬‫نيوت‬ 6 ‫ب‬ ‫ن‬‫نيوت‬ 2 ‫أ‬
‫تساوى‬ ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫فإن‬ ‫نيوتن‬ 5 ‫محصلتهما‬ ‫ومقدار‬ ‫نيوتن‬ 4 ، 3 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
c90 ‫د‬ c60 ‍‫ج‬ c45 ‫ب‬ c30 ‫أ‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ىوــقلا‬1
‫الدرس‬
13

19. ‫تساوى‬ ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫فإن‬ ‫نيوتن‬ 6 ‫محصلتهما‬ ‫ومقدار‬ ‫نيوتن‬ 6 ‫منهما‬ ٍّ‫كل‬ ‫مقدار‬ ،‫متساويتان‬ ‫قوتان‬ ‌
c150 ‫د‬ c120 ‍‫ج‬ c60 ‫ب‬ c30 ‫أ‬
‫فإن‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫محصلتهما‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬ ، c120 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ ‫ق‬ ، 3 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
:‫تساوى‬ ‫بالنيوتن‬ ‫ق‬ ‫قيمة‬
6 ‫د‬ 3 3 ‍‫ج‬ 3 ‫ب‬ 1.5 ‫أ‬
:‫تساوى‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫محصلتهما‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫جيب‬ ‫فإن‬ ‫متعامدتان‬ ‫نيوتن‬ 8 ، 6 ‫القوتان‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ 1‌
4
3 ‫د‬ 3
4 ‍‫ج‬ 4
5 ‫ب‬ 3
5 ‫أ‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫عن‬‫أجب‬�
‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c120 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫بينهما‬ ‫وتحصران‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 10 ، 5 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 1‌
.‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫تصنعها‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫المحصلة‬
‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ c45 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ِّران‬‫ث‬‫ؤ‬ُ‫ت‬ ‫ث.كجم‬ 2 3 ، 3 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 1‌
.‫محصلتهما‬
‫قياس‬‫فأوجد‬.‫كجم‬.‫ث‬13‫محصلتهما‬‫مقدار‬‫كان‬‫إذا‬ ،‫مادية‬‫نقطة‬‫فى‬‫تؤثران‬‫كجم‬.‫ث‬8 ،15‫مقدارهما‬‫قوتان‬ 1‌
.‫القوتين‬ ‫هاتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬
‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ، c120 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ ‫ق‬ ، 8 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 1‌
.‫ق‬ ‫مقدار‬ ‫فأوجد‬ ‫نيوتن‬ 3 ‫ق‬
‫يميل‬‫محصلتهما‬‫اتجاه‬‫كان‬‫فإذا‬c135‫بينهما‬‫الزاوية‬‫وقياس‬‫مادية‬‫نقطة‬‫فى‬‫تؤثران‬‫نيوتن‬‫ق‬ ،4‫مقدارهما‬‫قوتان‬ 1‌
.‫ق‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫ق‬ ‫على‬ c45 ‫بزاوية‬
‫عمودية‬‫محصلتهما‬‫كانت‬‫إذا‬ ،c120‫بينهما‬‫الزاوية‬‫وقياس‬‫مادية‬‫نقطة‬‫فى‬‫ِّران‬‫ث‬‫ؤ‬ُ‫ت‬‫نيوتن‬‫ق‬ ،4‫مقدارهما‬‫قوتان‬ 1‌
.‫ق‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫على‬
‫فأوجد‬ .‫نيوتن‬ ‫2ق‬ ‫يساوى‬ ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 3 ‫ق‬ ، ‫ق‬ ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 1‌
.‫القوتين‬ ‫هاتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬
‫مقدار‬ ‫أوجد‬ 4 -
5 ‫يساوى‬ ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫تمام‬ ‫وجيب‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 15 ، 12 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 1‌
.‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫ميلها‬ ‫زاوية‬ ‫وقياس‬ ‫محصلتهما‬
‫القوتان‬ ‫تضاعفت‬ ‫وإذا‬ c120 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫بينهما‬ ‫حصران‬َ‫ت‬ ‫ث.كجم‬ ‫ق‬ ‫منهما‬ ٍّ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫متساويتان‬ ‫قوتان‬ 1‌
.‫ق‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫الحالة‬ ‫عن‬ ‫ث.كجم‬ 11 ‫بمقدار‬ ‫محصلتهما‬ ‫زادت‬ c60 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫وأصبح‬
c60 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫الثانية‬ ‫وتعمل‬ ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫تعمل‬ ، ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫ث.كجم‬ ‫ق‬ ، 12 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 2‌
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
14

20. ‫جنوب‬ c30 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫يؤثر‬ ‫المحصلة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ َّ‫أن‬ َ‫م‬ِ‫ل‬ُ‫ع‬ ‫إذا‬ ‫المحصلة‬ ‫ومقدار‬ ‫ق‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫الغرب‬ ‫جنوب‬
.‫الشرق‬
‫وإذا‬.‫نيوتن‬ 19 ‫محصلتهما‬‫ومقدار‬c120‫قياسها‬‫زاوية‬‫بينهما‬‫وتحصران‬‫مادية‬‫نقطة‬‫فى‬‫تؤثران‬‫قوتان‬2‫ق‬ ،1‫ق‬ 2‌
.2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫أوجد‬ .‫نيوتن‬ 7 ‫يساوى‬ ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ c60 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫أصبح‬
‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫مقدار‬ ‫وزيد‬ ‫الثانية‬ ‫مقدار‬ َ‫ف‬ِ‫وع‬ ُ‫ض‬ ‫إذا‬ ، ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫ث.كجم‬ ‫2ق‬ ، ‫ق‬ ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 2‌
.‫ق‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫محصلتها‬ ‫اتجاه‬ ‫يتغير‬ ‫ال‬ ‫ث.كجم‬ 15
:‫إبداعى‬ ‫تفكير‬
‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫وإذا‬ .‫ث.كجم‬ 12 ‫يساوى‬ ‫محصلتهما‬ ‫ومقدار‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقيتان‬ ‫المقدار‬ ‫فى‬ ‫متساويتان‬ ‫قوتان‬ 2‌
.‫القوتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫ث.كجم‬ 6 ‫يساوى‬ ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫إحداهما‬
‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫تغير‬ ‫وإذا‬ ، ‫هـ‬ ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫2ك‬ ‫محصلتهما‬ ‫ومقدار‬ ‫ق‬ ، ‫ك‬ ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ 2‌
.‫ق‬ ، ‫ك‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫النصف‬ ‫إلى‬ ‫ينقص‬ ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ )‫هـ‬ – c180 ( ‫وأصبحت‬
‫يساوى‬ ‫محصلتهما‬ ‫ومقدار‬ ‫ى‬ ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫بينهما‬ ‫وتحصران‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫قوتان‬ ‫2ق‬ ، ‫ق‬ 2‌
.)1 - ‫(م‬ ‫ق‬ 5 ‫يساوى‬ ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ )‫ى‬ – c90( ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫وإذا‬ )1 + ‫(م‬ ‫ق‬ 5
2 - ‫م‬
2 + ‫م‬
= ‫ى‬ ‫ظا‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬
‫نشاط‬
25 I ‫تصبح‬‫المحصلة‬‫فإن‬ 1X ‫اتجاه‬‫عكس‬‫إذا‬ ،‫نيوتن‬I ‫محصلتها‬‫ومقدار‬‫نقطة‬‫فى‬‫متالقيتان‬‫قوتان‬ 2X ، 1X
.‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫أوجد‬ .‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫المحصلة‬ ‫على‬ ‫عمودى‬ ‫اتجاه‬ ‫وفى‬ ‫نيوتن‬
.‫هـ‬ ‫قياسها‬ 1X ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫ميل‬ ‫وزاوية‬ ‫ى‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫أن‬ ‫اعتبر‬ -1
2X ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫عند‬ )‫هـ‬ - 90( ‫ظا‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫هـ‬ ‫ظا‬ ‫أوجد‬ -2
.‫السابقة‬ ‫الخطوة‬ ‫من‬ ‫ق‬ = 2X = 1X َّ‫أن‬ ‫أثبت‬ -3
.2X ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫وبعد‬ ‫قبل‬ 2X ،1X ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬ ‫قانون‬ ‫باستخدام‬ ‫أوجد‬ -4
.‫السابقة‬ ‫العالقات‬ ‫من‬ ‫ذلك‬ ‫استنتج‬ ‫؟‬‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫إليجاد‬ 1
2 - = ‫ى‬ ‫حتا‬ َّ‫أن‬ ‫استنتاج‬ ‫يمكنك‬ ‫هل‬ -5
.‫الطرق‬ ‫هذه‬ ‫إحدى‬ ‫اذكر‬ ‫؟‬‫للحل‬ ‫أخرى‬ ‫طرقا‬ ‫لديك‬ ‫هل‬ -6
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ىوــقلا‬1
‫الدرس‬
15

21. :‫تمهيد‬
‫ة‬َّ‫د‬ِ‫ع‬ ‫من‬ ‫َّفة‬‫ل‬‫ؤ‬‫م‬ ‫مجموعة‬ ‫إيجاد‬ ‫يعنى‬ ‫عام‬ ‫بوجه‬ ‫كبات‬‫مر‬ ‫ة‬َّ‫د‬ِ‫ع‬ ‫إلى‬ ‫معلومة‬ ‫قوة‬ ‫تحليل‬ َّ‫إن‬
‫فى‬ ‫قوة‬ ‫تحليل‬ ‫دراسة‬ ‫على‬ ‫وسنقتصر‬ ،‫حصلتها‬ُ‫م‬ ‫هى‬ ‫المعلومة‬ ‫القوة‬ ‫تكون‬ ، ‫قوى‬
.‫معلومين‬ ‫اتجاهين‬
‫معلومين‬‫اتجاهين‬‫فى‬‫قوة‬‫تحليل‬
Resolution of a force into two components
‫تحليلها‬ ‫المراد‬ I ‫المحصلة‬ ‫متجه‬ :)1( ‫شكل‬ ‫يبين‬
‫واللتين‬ ‫ب‬ ‫و‬ ، C ‫و‬ ‫االتجاهين‬ ‫فى‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫إلى‬
‫لتكن‬‫و‬ I ‫مع‬‫تيب‬‫ر‬‫الت‬‫على‬2‫هـ‬ ،1‫هـ‬‫زاويتين‬‫تصنعان‬
2‫ق‬ ، 1‫ق‬ :‫هما‬ ‫كبتان‬‫المر‬
‫أن‬ ‫مالحظة‬ ‫مع‬ ‫القوى‬ ‫مثلث‬ :)2( ‫شكل‬ ‫يبين‬
‫وب‬ = ‫جـ‬ C
)‫األضالع‬ ‫متوازى‬ ‫خواص‬ ‫(من‬
:‫أن‬ ‫نجد‬ ‫الجيب‬ ‫قاعدة‬ ‫وبتطبيق‬
½½
‫ح‬
)2‫هـ‬ + 1‫(هـ‬ ‫جا‬
= 2‫ق‬
1 ‫هـ‬ ‫جا‬
= 1‫ق‬
2 ‫هـ‬ ‫جا‬
‫مثال‬
، c60 ‫بزاويتين‬ ‫القوة‬ ‫اتجاه‬ ‫على‬ ‫تميالن‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫إلى‬ ‫نيوتن‬ 12 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‫ِّل‬‫ل‬‫ح‬ ‌
.‫منها‬ ‫مختلفين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ c45
‫الحل‬
:‫الجيب‬ ‫قاعدة‬ ‫بتطبيق‬
12
c105 ‫جا‬
= 2‫ق‬
c60 ‫جا‬
= 1‫ق‬
c45 ‫جا‬
‫نيوتن‬ 8.7846 -
12
c105 ‫جا‬
* c45 ‫جا‬ = 1‫ق‬ `
‫نيوتن‬ 10.7589 -
12
c105 ‫جا‬
* c60 ‫جا‬ = 2‫ق‬
2 ‫ق‬
1‫ق‬
I
C
‫ب‬ ‫جـ‬
‫و‬
1‫هـ‬
2‫ـ‬‫ه‬
)1( ‫شكل‬
2 ‫ق‬
1‫ق‬
I
C
‫جـ‬
‫و‬
1‫هـ‬ 2‫هـ‬+ 1‫هـ‬
)2( ‫شكل‬
2‫ق‬
I
1‫ق‬
c60
c45
‫القوى‬‫تحليل‬
Forces resolution
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
.‫معلومني‬ ‫اجتاهني‬ ‫ىف‬ ‫قوة‬ ‫حتليل‬
.‫متعامدين‬ ‫اجتاهني‬ ‫ىف‬ ‫قوة‬ ‫حتليل‬
2
‫الدرس‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
force Component ‫ة‬‫قو‬ ‫مركبة‬
triangle of forces ‫ى‬‫قو‬ ‫مثلث‬
centre of gravity ‫ل‬‫نق‬ ‫مركز‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫برامج‬ - ‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 16

22. ‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫منها‬‫مختلفين‬‫اتجاهين‬‫فى‬c45 ،c30‫بزاويتين‬‫القوة‬‫اتجاه‬‫على‬‫تميالن‬‫كبتين‬‫مر‬‫إلى‬‫نيوتن‬36‫مقدارها‬‫قوة‬‫حلل‬ ‌
‫حياتية‬ ‫تطبيقات‬
‫مثال‬
‫جـ‬ ‫ب‬ ، ‫جـ‬ C ‫معدنيين‬ ‫بحبلين‬ ‫معلق‬ ‫نيوتن‬ 20 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫مصباح‬ ‌
.c5 ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫قياس‬ ‫متساويتين‬ ‫بزاويتين‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميالن‬
½½‫الناتج‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫مقر‬ ‫جـ‬ ‫ب‬، ‫جـ‬ C ‫االتجاهين‬ ‫فى‬ ‫المصباح‬ ‫وزن‬ ‫حلل‬
.‫نيوتن‬ ‫ألقرب‬
‫الحل‬
.‫و‬ ‫النقطة‬ ‫هى‬ ‫بدايته‬ ‫نقطة‬ ‫ألسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫يعمل‬ ‫بمتجه‬ )‫نيوتن‬ 20( ‫الوزن‬ ‫قوة‬ ‫ل‬ِّ‫ث‬‫م‬ُ‫ن‬
:‫يلى‬ ‫كما‬ ‫المعدنيين‬ ‫الحبلين‬ ‫اتجاهى‬ ‫فى‬ ‫الوزن‬ ‫متجه‬ ‫ِّل‬‫ل‬‫ح‬ُ‫ن‬
:‫أنه‬ ْ‫أى‬ 20
170 ‫جا‬
= 2‫و‬
85 ‫جا‬
= 1‫و‬
85 ‫جا‬
:‫تكون‬ ‫ذلك‬ ‫ومن‬ 85 ‫جا‬
170 ‫جا‬
× 20 = 2‫ = و‬1‫ و‬
.‫نيوتن‬ 115 - 114.73713 = 2‫ = و‬1‫ و‬
‫عن‬ ‫األفقى‬ ‫مع‬ ‫زاويته‬ ‫قياس‬ ‫نقص‬ ‫إذا‬ ‫المعدنيين‬ ‫الحبلين‬ ‫اتجاهى‬ ‫فى‬ ‫الوزن‬ ‫كبة‬‫مر‬ ‫لمقدار‬ ‫حدث‬َ‫ي‬ ‫ماذا‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬
.‫إجابتك‬ ‫ر‬ ِّ‫فس‬ ‫؟‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫أفق‬ ‫المعدنى‬ ‫الحبل‬ ‫صبح‬ُ‫ي‬ ‫عندما‬ ‫الوزن‬ ‫كبة‬‫مر‬ ‫لمقدار‬ ‫تتوقع‬ ‫وماذا‬ ‫؟‬c5
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
:‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‌
‫في‬ ‫إحداهما‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫إلى‬ ‫021ث.جم‬ ‫الرأسية‬ ‫القوة‬ ‫ِّل‬‫ل‬‫ح‬
‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬ ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫واألخرى‬ ‫األفقي‬ ‫االتجاه‬
.c48 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬
Resolution of a force into two perpendicular components ‫ن‬‫متعامدي‬‫اتجاهين‬‫فى‬‫قوة‬‫تحليل‬
‫كانت‬‫و‬ ‫المجاور‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫كما‬ )‫(و‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ I ‫القوة‬ ‫أثرت‬ ‫إذا‬
‫اتجاه‬ ‫على‬ ‫يميل‬ 1‫ق‬ ‫اتجاه‬ ‫حيث‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫المتعامدتين‬ ‫كبتيها‬‫مر‬
‫إلى‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ ‫يؤول‬ ‫األضالع‬ ‫متوازى‬ ‫فإن‬ ، ‫هـ‬ ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ I
:‫فإن‬ ‫جـ‬ C‫و‬ ‫المثلث‬ ‫على‬ ‫الجيب‬ ‫قانون‬ ‫وبتطبيق‬ ، ‫و‬ ‫ب‬ ‫جـ‬C ‫المستطيل‬
½½‫ح‬ = 2‫ق‬
‫هـ‬ ‫جا‬
= 1‫ق‬
‫هـ‬ ‫جتا‬
:َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫ح‬
90 ‫جا‬
= 2‫ق‬
‫هـ‬ ‫جا‬
= 1‫ق‬
)‫هـ‬ - 90( ‫جا‬
20
‫جـ‬
C
2‫و‬ 1‫و‬
‫ب‬
‫و‬
c85 c85
120
C
‫الرأسي‬
c48
‫ب‬
‫جـ‬
2‫ق‬
1‫ق‬
2‫ق‬
1‫ق‬
I
C
‫ب‬ ‫جـ‬
‫و‬
‫هـ‬
‫ـ‬‫ه‬-c90
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ليلحت‬‫وقلا‬2
‫الدرس‬
17

23. :َّ‫أن‬ ‫نسنتنتج‬ ‫ذلك‬ ‫ومن‬
½½‫هـ‬ ‫جتا‬ I = )‫معلوم‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كبة‬‫المر‬ ‫(مقدار‬ 1‫ق‬
½½‫هـ‬ ‫جا‬ I = )‫المعلوم‬ ‫االتجاه‬ ‫على‬ ‫العمودى‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫كبة‬‫المر‬ ‫(مقدار‬ 2‫ق‬
‫مثال‬
‫مع‬ ‫تصنع‬ ‫إحداهما‬ ‫متعامدين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 18 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‫حلل‬ ‌
60 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫القوة‬
‫الحل‬
‫نيوتن‬ 9 = 1
2 * 18 = c60 ‫جتا‬ 18 = 1‫ق‬
.‫نيوتن‬ 3 9 = 3
2
* 18 = 60 ‫جا‬ 18 = 2‫ق‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫واألخرى‬ ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫إحداهما‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫إلى‬ ‫الشرقى‬ ‫الشمال‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ ‫والتى‬ 2 6 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‫ِّل‬‫ل‬َ‫ح‬ ‌
.‫الشمال‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬
Inclined Plane ‫المائل‬‫الم�ستوى‬
‫بالشكل‬ ‫موضح‬ ‫هو‬ ‫كما‬ ،‫معلومة‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫سطح‬ ‫هو‬ ‫المائل‬ ‫المستوى‬
‫األزرق‬ ‫باللون‬ ‫الجانبية‬ ‫األشكال‬ ‫فى‬ ‫ح‬ َّ‫الموض‬ ‫الخط‬ ‫هو‬ ‫للمستوى‬ ‫ميل‬ ‫أكبر‬ ‫وخط‬
)‫ف‬( ‫بالمسافة‬ ‫ميل‬ ‫أكبر‬ ‫خط‬ ‫لطول‬ ‫نا‬‫ز‬‫رم‬ ‫وإذا‬
، )‫ع‬( ‫بالمسافة‬ ‫المائل‬ ‫السطح‬ ‫وارتفاع‬
)‫هـ‬( ‫بالرمز‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫المستوى‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬
.
‫ع‬
‫ف‬
= ‫جاهـ‬ ‫فإن‬
.)‫ق‬( ‫مقدارها‬ ‫للسطح‬ ‫موازية‬ ‫قوة‬ ‫ستخدم‬َ‫ن‬ )‫و‬( ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‫لرفع‬‫و‬
‫كما‬ ،‫الجسم‬ ‫وزن‬ ‫من‬ ‫أقل‬ ‫ا‬ً‫م‬‫دائ‬ ‫تكون‬ )‫ق‬( ّ‫إن‬ ‫حيث‬ ،‫األجسام‬ ‫لرفع‬ ‫الالزم‬ ‫الجهد‬ ‫لتقليل‬ ‫المائل‬ ‫السطح‬ ‫ويستخدم‬
:‫اآلتى‬ ‫المثال‬ ‫من‬ ‫تضح‬َ‫ي‬
‫مثال‬
.c30‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أملس‬ ‫مائل‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫نيوتن‬ 6 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‫وضع‬ ‌
.‫عليه‬ ‫العمودى‬ ‫واالتجاه‬ ‫للمستوى‬ ‫ميل‬ ‫أكبر‬ ‫خط‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫الجسم‬ ‫وزن‬ ‫كبتى‬‫مر‬ ‫أوجد‬
‫الحل‬
‫كبة‬‫مر‬ ،‫أسفل‬‫إلى‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬‫وتؤثر‬‫نيوتن‬6‫الجسم‬‫وزن‬‫قوة‬‫يبين‬ :)1(‫شكل‬
، ‫وألسفل‬ ‫للمستوى‬ ‫ميل‬ ‫أكبر‬ ‫خط‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ 1‫ق‬ ‫الجسم‬ ‫وزن‬
.‫وألسفل‬ ‫للمستوى‬ ‫العمودى‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتعمل‬ 2‫ق‬ ‫األخرى‬ ‫كبة‬‫والمر‬
c60
1‫ق‬
2‫ق‬
‫ن‬‫ت‬‫و‬‫ي‬‫ن‬18
‫ف‬
‫ع‬
‫هـ‬
‫ف‬
‫هـ‬
‫ع‬
1‫ق‬
6
2‫ق‬
c30
c30
)1( ‫شكل‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
18

24. .‫ب‬ ‫جـ‬ C‫و‬ ‫القوى‬ ‫أضالع‬ ‫بمتوازى‬ ‫الثالث‬ ‫القوى‬ ‫مثيل‬َ‫ت‬ ‫بين‬ُ‫ي‬ :)2( ‫شكل‬
.)‫مستطيل‬ ‫الشكل‬ ‫أن‬ ‫الحظ‬(
‫جـ‬ C‫و‬ ‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫يبين‬ :)3( ‫شكل‬
:‫الجيب‬ ‫قاعدة‬ ‫وبتطبيق‬
6 = 2‫ق‬
60 ‫جا‬ = 1‫ق‬
30 ‫جا‬
، ‫نيوتن‬ 3 = 30 ‫جا‬ 6 = 1‫ ق‬:َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫نيوتن‬ 3 3 = 30 ‫جتا‬ 6 = 2‫ ق‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫نفسها‬ ‫ق‬ ‫القوة‬ ‫من‬ ‫أقل‬ ‫ق‬ ‫القوة‬ ‫كبتى‬‫مر‬ ‫هل‬ :‫شفهى‬ ‫تعبير‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫موضوع‬ ‫نيوتن‬ 36 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫مقدار‬ ‫جاسىء‬ ‫جسم‬ ‌
‫ألسفل‬ ‫للمستوى‬ ‫موازى‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫الوزن‬ ‫كبتى‬‫مر‬ ‫أوجد‬ .c60 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬
.‫عليه‬ ‫العمودى‬ ‫واالتجاه‬
‫الثانى‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫أتى‬�‫ماي‬‫أكمل‬�
‫متعامدتين‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫الي‬ ‫تحليلها‬ ‫تم‬ ‫الشمال‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ ‫نيوتن‬ 6 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‌
.‫نيوتن‬ ............................... ‫ساوى‬ُ‫ت‬ ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كبتها‬‫مر‬ ‫فإن‬
‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كبتها‬‫مر‬ ‫فإن‬ ‫متعامدتين‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫الي‬ ‫تحليلها‬ ‫تم‬ ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ ‫نيوتن‬ 2 4 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‌
.‫نيوتن‬ ............................... ‫تساوى‬ ‫الشرقى‬ ‫الشمال‬
:)1( ‫شكل‬ ‫فى‬ ‌
‫معها‬ ‫تصنعان‬ ‫اللتين‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫إلى‬ I ‫القوة‬ ‫َّلت‬‫ل‬‫ح‬ ‫ إذا‬ ‫أ‬
، ‫نيوتن‬ 12 = || I || ‫كان‬‫و‬ ‫جهتيها‬ ‫من‬ c45 ، c30 ‫قياساهما‬ ‫زاويتين‬
.‫نيوتن‬ ............................................... = 2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ ............................................... = 1‫ق‬ :‫فإن‬
:)2( ‫شكل‬ ‫فى‬ ‌
‫تصنعان‬ ‫اللتين‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫كبتين‬‫مر‬ ‫إلى‬ I ‫القوة‬ ‫حللت‬ ‫ إذا‬ ‫أ‬
‫كان‬‫و‬ ‫جهتيها‬ ‫كلتا‬ ‫من‬ c90 ، c45 ‫قياساهما‬ ‫زاويتين‬ ‫معها‬
‫نيوتن‬ ............ = 2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ ............ = 1‫ق‬ :‫فإن‬ ، ‫نيوتن‬ 18 = || I ||
2‫ق‬
1‫ق‬
C
‫جـ‬
‫و‬
c30
6
)3( ‫شكل‬
‫ب‬
1‫ق‬
C
‫جـ‬
‫و‬
c30
62‫ق‬
)2( ‫شكل‬
‫معلوماتك‬‫إلى‬�‫أ�ضف‬�
‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬ ‫ثقل‬ ‫مركز‬
‫ا‬ً‫دائم‬ ‫بها‬ ‫يمر‬ ‫التى‬ ‫النقطة‬ ‫هى‬
‫التعليق‬‫بنقطة‬‫المار‬‫الرأسى‬‫الخط‬
‫نقطه‬ ‫أى‬ ‫من‬ ‫الجسم‬ ‫يعلق‬ ‫عندما‬
.‫المثال‬‫سبيل‬‫فعلى‬‫عليه‬
‫كروى‬ ‫جسم‬ ‫ثقل‬ ‫مركز‬ )1(
‫النقطة‬ ‫هى‬ ‫ومتجانس‬ ‫منتظم‬
.‫الجسم‬‫هذا‬‫مركز‬‫فيها‬‫يقع‬‫التى‬
‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‫ثقل‬ ‫مركز‬ )2(
‫منتصف‬ ‫هو‬ ‫والكثافة‬ ‫السمك‬
.‫القضيب‬ ‫هذا‬
c45
2‫ق‬
1‫ق‬
I
)1( ‫شكل‬
c30
c45
2‫ق‬
1‫ق‬
I
)2( ‫شكل‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ليلحت‬‫وقلا‬2
‫الدرس‬
19

25. :)3( ‫شكل‬ ‫فى‬ ‌
‫القوة‬‫متجه‬‫كان‬‫و‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫متعامدتين‬‫كبتين‬‫مر‬‫إلى‬ ‫ق‬ ‫القوة‬‫َّلت‬‫ل‬‫ح‬‫ إذا‬ ‫أ‬ ‫ق‬
‫كجم‬ ‫ث‬ 2 6 = || ‫ق‬ || ‫كان‬‫و‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫اتجاهى‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫ينصف‬
، ‫كجم‬ ‫ث‬ ................................................= || 1‫ق‬ || :‫فإن‬
.‫كجم‬ ‫ث‬ ................................................= || 2‫ق‬ ||
:)4( ‫شكل‬ ‫فى‬ ‌
.‫الغرب‬ ‫شمال‬ c30 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ ‫نيوتن‬ 2 12 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‫أ‬
½½.‫نيوتن‬ ...................................................= ‫الغرب‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوة‬ ‫كبة‬‫مر‬ ‫مقدار‬
½½.‫نيوتن‬ ................................................= ‫الشمال‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوة‬ ‫كبة‬‫مر‬ ‫مقدار‬
.c45 ، c30 ‫زاويتين‬ ‫معها‬ ‫يصنعان‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫كبتيها‬‫مر‬ ‫أوجد‬ .‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ِّر‬‫ث‬‫تؤ‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 600 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‌
.‫الشمال‬ ‫واتجاه‬ ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كبتيها‬‫مر‬ ‫أوجد‬ .‫الشرقى‬ ‫الشمال‬ ِ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫عمل‬َ‫ت‬ ‫نيوتن‬ 120 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‌
‫إلى‬ c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أحدهما‬ ‫متعامدين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 160 ‫مقدارها‬ ‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫ِّل‬‫ل‬‫ح‬ ‌
.‫أعلى‬
‫فى‬ ‫واألخرى‬ ،‫الجنوب‬ ‫شرق‬ c60 ‫اتجاهى‬ ‫فى‬ ‫كبتيها‬‫مر‬ ‫أوجد‬ .‫الجنوب‬ ِ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫عمل‬َ‫ت‬ ‫نيوتن‬ 18 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ 1‌
.‫الجنوب‬ ‫غرب‬ c30 ‫اتجاه‬
‫هذا‬ ‫وزن‬ ‫كبتى‬‫مر‬ ‫أوجد‬ .c60 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫ميل‬َ‫ي‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫موضوع‬ ‫نيوتن‬ 42 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جاسىء‬ ‫جسم‬ 1‌
.‫عليه‬ ‫العمودى‬ ‫واالتجاه‬ ‫للمستوى‬ ‫ميل‬ ‫أكبر‬ ‫خط‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫الجسم‬
:‫إبداعى‬ ‫تفكير‬
‫الوزن‬ ‫كبتى‬‫مر‬ ‫أوجد‬ .‫جم‬ ‫ث‬ 390 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جاسىء‬ ‫جسم‬ ‫عليه‬ ‫وضع‬ ‫سم‬ 50 ‫وارتفاعه‬ ‫سم‬ 130 ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫مائل‬ ‫مستوى‬ 1‌
.‫عليه‬ ‫العمودى‬ ‫واالتجاه‬ ‫للمستوى‬ ‫ميل‬ ‫أكبر‬ ‫خط‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬
2‫ق‬
1‫ق‬
‫ق‬
)3( ‫شكل‬
2‫ق‬
1‫ق‬ c30
)4( ‫شكل‬
‫نيوتن‬ 2 12
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
20

26. ‫تتعلم‬ ‫سوف‬
‫حيث‬،‫واحدة‬‫نقطة‬‫فى‬‫جاسئ‬‫جسم‬‫على‬‫تين‬‫ر‬ِّ‫ث‬‫مؤ‬‫قوتين‬‫محصلة‬‫إيجاد‬‫درست‬‫أن‬‫سبق‬
‫متجاورين‬ ‫كضلعين‬ ‫القوتين‬ ‫بهاتين‬ ‫المرسوم‬ ‫األضالع‬ ‫متوازى‬ ‫بقطر‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫هندس‬ ‫ثلت‬ُ‫م‬
.‫فيه‬
‫؟‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫هندس‬ ‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫قوى‬ ‫ة‬َّ‫د‬ِ‫ع‬ ‫محصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكنك‬ ‫فهل‬
:‫ا‬ ًّ‫هند�سي‬‫نقطة‬‫فى‬‫متالقية‬‫م�ستوية‬‫قوى‬‫عدة‬‫مح�صلة‬
2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫مجموعة‬ ‫أثرت‬ ‫إذا‬
‫كما‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ن‬‫ق‬ ، .... ، 3‫ق‬ ،
،‫قفل‬ُ‫م‬‫َّع‬‫ل‬‫بمض‬‫مثيلها‬َ‫ت‬‫ن‬ِ‫مك‬ُ‫ي‬‫ف‬)1(‫شكل‬‫فى‬
‫مناسب‬ ‫رسم‬ ‫مقياس‬ ‫باستخدام‬ ‫وذلك‬
1‫ق‬ ‫يمثل‬ ‫الذى‬ C ‫و‬ ‫المتجه‬ ‫نرسم‬‫و‬
2‫ق‬ ‫يمثل‬ ‫الذى‬ ‫ب‬ C ‫نرسم‬ ‫ثم‬
.....‫وهكذا‬ 3‫ق‬ ‫يمثل‬ ‫الذى‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫نرسم‬ ‫ثم‬
‫وذلك‬ ‫ن‬‫ق‬ ‫المتجه‬ ‫نهاية‬ ‫إلى‬ ‫نصل‬ ‫حتى‬
.‫هـ‬ E ‫برسم‬
‫الدورى‬‫االتجاه‬‫فى‬‫يعمل‬‫الذى‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫المتجه‬
:‫حيث‬،‫المعطاة‬‫القوى‬‫محصلة‬‫ل‬ِّ‫ث‬‫م‬ُ‫ي‬‫المضاد‬
‫ن‬‫ق‬ + ...+ 3‫ق‬ + 2‫ق‬ + 1‫ق‬ = I
‫ومن‬ ‫القوى‬ ‫بمضلع‬ ‫المضلع‬ ‫هذا‬ ‫ويسمى‬
‫ما‬ ‫قوى‬ ‫َّع‬‫ل‬‫مض‬ ‫تكوين‬ ‫أن‬ ‫مالحظة‬ ‫السهل‬
.‫متتالية‬ ‫مرات‬ ‫عدة‬ ‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫لقاعدة‬ ‫تطبيق‬ ‫إال‬ ‫هو‬
)GeoGebra( ‫برنامج‬ ‫استخدام‬
‫مثال‬
‫حيث‬ ، ‫جاسئ‬ ‫جسم‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫قوى‬ ‫أربع‬ 4‫ق‬ ، 3‫ق‬ ، 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‌
‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 300 = 2‫ق‬ ، ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 400 = 1‫ق‬
‫نيوتن‬ 200 = 4‫ق‬ ، ‫الغربى‬ ‫الشمال‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتعمل‬ ‫نيوتن‬ 500 = 3‫ق‬ ، ‫الشمال‬
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫أوجد‬ .‫الغرب‬ ‫جنوب‬ c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫وتعمل‬
2‫ق‬
3‫ق‬
K‫ق‬
1‫ق‬
C
‫ب‬
‫جـ‬
‫و‬
‫هـ‬
I
E
)2( ‫شكل‬
2‫ق‬
3‫ق‬
K‫ق‬
1‫ق‬
I
)1( ‫شكل‬
‫نقطة‬‫فى‬‫متالقية‬‫م�ستوية‬‫قوى‬‫عدة‬‫مح�صلة‬
The resultant of coplanar forces meeting at a point
3‫الدرس‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫متالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫عدة‬ ‫حمصلة‬
.‫هندسية‬ ‫نقطة‬ ‫ىف‬
‫ىف‬ ‫متالقية‬ ‫قوى‬ ‫عدة‬ ‫حمصلة‬
.‫حتليليا‬ ‫نقطة‬
Resultant .‫حمصلة‬
.‫جربية‬ ‫مركبة‬
Algebraic component
Unit vector .‫وحدة‬ ‫متجه‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
Scientific calculator
‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬ ‫برامج‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬21

27. ‫الحل‬
)geogebra( ‫برنامج‬ ‫استخدام‬
100 :1 ‫رسم‬ ‫بمقياس‬ ‫القوى‬ ‫ل‬ِّ‫ث‬‫م‬ُ‫ت‬ ‫التى‬ ‫الموجهة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطع‬ ‫نرسم‬
‫فى‬ ‫وحدات‬ 4 ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫الذي‬ ‫ب‬ C ‫المتجه‬ ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فنرسم‬
.‫الشرق‬ ‫اتجاه‬
‫فى‬ ‫وحدات‬ 3 ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫الذي‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫المتجه‬ ‫ب‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫نرسم‬ ‫ثم‬
.‫الشمال‬ ‫اتجاه‬
‫فى‬ ‫وحدات‬ 5 ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫الذي‬ E ‫جـ‬ ‫المتجه‬ ‫جـ‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫نرسم‬ ‫ثم‬
.‫الغربى‬ ‫الشمال‬ ‫اتجاه‬
c30 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وحدة‬ 2 ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫الذي‬ ‫هـ‬ E ‫المتجه‬ E ‫من‬ ‫نرسم‬ ‫ثم‬
.‫الغرب‬ ‫جنوب‬
.‫المحصلة‬ ‫عن‬ ‫يعبر‬ ‫هـ‬ C ‫المتجه‬ ‫فيكون‬
.‫طول‬ ‫وحدة‬ 5٫68 = || ‫هـ‬ C || ‫الرسم‬ ‫من‬
c102٫89 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫الشرق‬ ‫مع‬ ‫المحصلة‬ ‫وتصنع‬ ، ‫نيوتن‬ 568 = 100 * 5٫68 = ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬
‫ا‬ًّ‫ي‬‫تحليل‬‫نقطة‬‫فى‬‫متالقية‬‫م�ستوية‬‫قوى‬‫عدة‬‫مح�صلة‬
The resultant of coplanar forces meeting at apoint analytically
‫كانت‬‫و‬ ،‫متعامد‬ ‫إحداثى‬ ‫نظام‬ ‫وفى‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫والمتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫ن‬‫ق‬ ، .....، 3‫ق‬ ، 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫أثرت‬ ‫إذا‬
‫اتجاه‬‫فى‬‫الوحدة‬‫متجها‬‫هما‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ ‫كانت‬‫و‬‫ن‬‫هـ‬ ،.........،3‫هـ‬ ،2‫هـ‬ ،1‫هـ‬‫قياساتها‬‫التى‬‫القطبية‬‫الزوايا‬‫تصنع‬
‫ن‬‫ق‬ + ..... + 3‫ق‬ + 2‫ق‬ + 1‫ق‬ = I :‫فإن‬ ‫ص‬ ‫و‬ ، ‫س‬ ‫و‬
:‫فإن‬ ‫المتعامدين‬ ‫ص‬ ‫و‬ ، ‫س‬ ‫و‬ ‫اتجاهى‬ ‫فى‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫وبتحليل‬
) N 1‫هـ‬ ‫حا‬ 1‫ق‬ ، M 1‫هـ‬ ‫حتا‬ 1‫(ق‬ = I
) N 2‫هـ‬ ‫حا‬ 2‫ق‬ ، M 2‫هـ‬ ‫حتا‬ 2‫(ق‬ +
) N ‫ن‬‫هـ‬ ‫حا‬ ‫ن‬‫ق‬ ، M ‫ن‬‫هـ‬ ‫حتا‬ ‫ن‬‫(ق‬ + ................. +
M )‫ن‬‫هـ‬ ‫حتا‬ ‫ن‬‫ق‬ + ....... + 2‫هـ‬ ‫حتا‬ 2‫ق‬ + 1‫هـ‬ ‫حتا‬ 1‫(ق‬ = I
N )‫ن‬‫هـ‬ ‫حا‬ ‫ن‬‫ق‬ + ....... + 2‫هـ‬ ‫حا‬ 2‫ق‬ + 1‫هـ‬ ‫حا‬ 1‫(ق‬ +
N )S‫هـ‬ ‫حا‬ S‫ق‬
‫ن‬
1 = S
( + M )S‫حتاهـ‬S‫ق‬
‫ن‬
1 = S
( = I
½½.‫س‬‫بالرمز‬‫له‬‫ويرمز‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫اتجاه‬‫فى‬‫القوى‬‫كبات‬‫لمر‬‫الجبرى‬‫بالمجموع‬S‫حتاهـ‬S‫ق‬
‫ن‬
1 = S
:‫المقدار‬‫يسمى‬
½½.‫ص‬ ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫ص‬ ‫و‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوى‬ ‫كبات‬‫لمر‬ ‫الجبرى‬ ‫بالمجموع‬ S‫حاهـ‬S‫ق‬
‫ن‬
1 = S
:‫المقدار‬ ‫يسمى‬
C ‫ب‬
‫جـ‬
E
‫هـ‬
‫المحصلة‬
‫شمال‬
‫شرق‬‫غرب‬
c30
c45
c102٫89
‫س‬
‫ص‬
1‫هـ‬
‫هـ‬
2‫هـ‬
K‫هـ‬
‫س‬
‫ص‬
2‫ق‬
3‫ق‬
K‫ق‬
1‫ق‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
22

28. N ‫ص‬ + M ‫س‬ = I ‫نكتب‬ ‫ذلك‬ ‫ومن‬
‫لها‬ ‫القطبية‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫هى‬ ‫هـ‬ ، ‫المحصلة‬ ‫معيار‬ ‫ح‬ ‫وتكون‬
‫ص‬
‫س‬
= ‫هـ‬ ‫ظا‬ ، 2‫ص‬ + 2‫س‬ = I :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫مثال‬
‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتؤثر‬ ‫نيوتن‬ 4 ‫مقدارها‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ .‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫أربع‬ ‌
‫والثالثة‬ ‫الشرق‬ ‫شمال‬ c60 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتؤثر‬ ‫نيوتن‬ 2 ‫مقدارها‬ ‫والثانية‬ ‫الشرق‬
.‫الجنوب‬ ‫غرب‬ c60 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتؤثر‬ ‫نيوتن‬ 3 3 ‫والرابعة‬ ‫الغرب‬ ‫شمال‬ c60 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتؤثر‬ ‫نيوتن‬ 5 ‫مقدارها‬
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬
‫الحل‬
‫المجموع‬‫نوجد‬‫تيب‬‫ر‬‫الت‬‫على‬c210 ،c120 ،c60 ،c0‫هى‬‫القطبية‬‫زواياها‬‫قياس‬‫نيوتن‬ 3 3 ،5 ،2 ،4‫القوى‬
‫س‬ ‫و‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوى‬ ‫كبات‬‫لمر‬ ‫الجبرى‬
c210 ‫حتا‬3 3 + c120 ‫حتا‬ 5 + c60 ‫حتا‬ 2 + c0‫حتا‬ 4 = ‫س‬
2 - = 9
2 - 5
2 - 1 + 4 =
3
2 * 3 3 - 1
2 * 5 - 1
2 * 2 + 4 =
c210‫جا‬ 3 3 + c120 ‫حا‬ 5 + c60 ‫حا‬ 2 + c0‫حا‬ 4 = ‫ص‬
1
2 * 3 3 -
3
2 * 5 +
3
2 * 2 + 0 =
3 2 = 3 3
2 - 3 5
2 + 3 =
‫نيوتن‬ 4 = 16 = 12 + 4 = 2‫ص‬ + 2‫س‬ = I ‫ويكون‬ ‫ص‬ 3 2 + ‫س‬ 2 - = I `
3 - = 23
2- = ‫ص‬
‫س‬
= ‫هـ‬ ‫ظا‬
0 ‫ص‬ ، 0 ‫س‬ a
c120 = ‫هـ‬ `
c120 ‫قياسها‬ ‫قطبية‬ ‫زاوية‬ ‫وتصنع‬ ‫نيوتن‬ 4 ‫ساوى‬ُ‫ي‬ ‫القوى‬ ‫محصلة‬ ‫مقدار‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫اتجاهى‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫كانت‬ ‫بحيث‬ ،‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 40 ,3 30 ، 20 ، 10 ‫مقاديرها‬ ‫التى‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫ِّر‬‫ث‬‫تؤ‬ ‌
‫والرابعة‬ ‫الثالثة‬ ‫القوتين‬ ‫اتجاهى‬ ‫وبين‬ c90 ‫والثالثة‬ ‫الثانية‬ ‫القوتين‬ ‫اتجاهى‬ ‫وبين‬ c60 ‫والثانية‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوتين‬
.‫المحصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c150
‫مثال‬
‫فى‬ C ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 4 ، 3 2 ، 8 ، 3 4 ، 2 ‫مقاديرها‬ ‫التى‬ ‫القوى‬ ‫تؤثر‬ ‫منتظم‬ ‫سداسى‬ ‫شكل‬ ‫و‬ ‫هـ‬E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫و‬ C ، ‫هـ‬ C ، E C ، ‫جـ‬ C ، ‫ب‬ C ‫االتجاهات‬
3 3
‫س‬
‫ص‬
‫س‬
‫ص‬
c60c60
c60c30
25
4
‫و‬
‫أن‬�‫تذكر‬
)‫(سيجما‬ ‫الرمز‬ ‫يسمى‬
‫ن‬
1 = S
‫والعبارة‬ ‫التجميع‬ ‫برمز‬
‫من‬ ‫بدأ‬ ‫ا‬ ً‫عنصر‬ ‫ن‬ ‫مجموع‬
.‫األول‬ ‫العنصر‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةلصحم‬ ‫ىوق ةدع‬ ‫ةيوتسم‬ ‫ةيقالتم‬ ‫ةطقن ىف‬3
‫الدرس‬
23

29. ‫الحل‬
‫على‬ c120 ، c90 ، c60 ، c30 ، c0 :‫هى‬ ‫للقوى‬ ‫القطبية‬ ‫الزوايا‬ ‫فتكون‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫اتجاه‬ ‫هو‬ ‫ب‬ C ‫باعتبار‬
.‫تيب‬‫ر‬‫الت‬
c120 ‫حتا‬ 4 + c90 ‫حتا‬ 3 2 + c60 ‫حتا‬ 8 + c30 ‫حتا‬ 3 4 + c0 ‫حتا‬ 2 = ‫س‬ `
1
2 * 4 - 0 * 3 2 + 1
2 * 8 +
3
2
* 3 4 + 2 =
‫نيوتن‬ 10 = 2 - 4 + 6 + 2 =
c60 ‫حا‬ 8 + c30 ‫حا‬ 3 4 + c0 ‫حا‬ 2 = ‫ص‬
c120 ‫حا‬ 4 + c90 ‫حا‬ 3 2 +
3
2
* 4 + 3 2 +
3
2
* 8 + 1
2 * 3 4 + 0 =
‫نيوتن‬ 3 10 = 3 2 + 3 2 + 3 4 + 3 2 =
3 = 3 10
10
= ‫ص‬
‫س‬
= ‫هـ‬ ‫ ظا‬ ‫نيوتن‬ 20 = 2)3 10( + 2)10( = 2‫ص‬ + 2‫س‬ = I `
EC ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫تعمل‬ ‫المحصلة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أي‬ c60 = )‫هـ‬c(X ` 0 ‫ص‬ ، 0 ‫س‬ a
)3-1( ‫تمــــاريــن‬
:‫أتى‬�‫ماي‬‫أكمل‬�
:‫فإن‬ N 6 = 3‫ق‬ ، N 2 - M = 2‫ق‬ ، M 2 = 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
......................................... = ‫واتجاهها‬ ......................................... = ‫القوى‬ ‫محصلة‬ ‫مقدار‬
N ‫3ب‬ - M C 2 = I ، N 8 - M 4 = 2‫ق‬ ، N 2 - M 2 = 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
......................................... = ‫ب‬ ,......................................... = C :‫فإن‬
N 4 - M 6 = I ، N ‫ب‬ - M 4 = 3‫ق‬ ، N - M C = 2‫ق‬ ، N 2 - M 3 = 1‫ق‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
......................................... = ‫ب‬ ,......................................... = C :‫فإن‬
:‫اآلتية‬ ‫األشكال‬ ‫من‬ ‫شكل‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫المبينة‬ ‫القوى‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‌
)2( ‫شكل‬
‫س‬
‫ص‬
‫و‬
‫ص‬
c30c45
3 4
2 3
3 2
‫س‬
)3( ‫شكل‬
‫س‬
c30
‫ص‬
1
2
‫ص‬
c60
3 3
3 4
‫س‬
)1( ‫شكل‬
‫س‬
c45
‫ص‬
‫و‬
2
4
‫ص‬
2 4
‫س‬
C
‫س‬
‫ب‬
‫ص‬
‫جـ‬‫و‬
E‫هـ‬
3 2
3 4
8
2
4
c30
c30
c30
c30
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
24

30. )5( ‫شكل‬
‫8سم‬ ، ‫6سم‬ ‫بعداه‬ ‫مستطيل‬
C ‫ب‬
‫جـ‬E
7
5
10
‫سم‬ 6
‫سم‬ 8
)6( ‫شكل‬
C ‫ب‬
‫جـ‬‫و‬
E‫هـ‬
4
8
6
‫منتظم‬ ‫سداسى‬
3 4
3 2
)4( ‫شكل‬
C
‫ب‬‫جـ‬
3 6
4
4
‫الساقين‬ ‫متساوى‬ ‫مثلث‬
c120
‫الثانية‬‫وبين‬c60‫والثانية‬‫لى‬‫و‬‫األ‬‫بين‬‫الزاوية‬‫قياس‬‫كان‬‫و‬‫مادية‬‫نقطة‬‫فى‬‫كجم‬‫ث‬12 ، 3 9 ،6 ،3‫القوى‬‫أثرت‬ ‌
‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c150 ‫والرابعة‬ ‫الثالثة‬ ‫وبين‬ c90 ‫والثالثة‬
c30 ‫زاوية‬ ‫تصنع‬ ‫والثانية‬ ‫الشرق‬ ‫نحو‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ِّر‬‫ث‬‫تؤ‬ ‫نيوتن‬ 30 ، 20 ، 10 ‫مقاديرها‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫الغرب‬ ‫جنوب‬ c60 ‫تصنع‬ ‫والثالثة‬ ‫الشمال‬ ‫غرب‬
‫والثانية‬ ‫الشرق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ِّر‬‫ث‬‫تؤ‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 40 ، 3 30 ، 20 ، 10 ‫مقاديرها‬ ‫قوى‬ ‫أربع‬ ‌
c60 ‫يصنع‬ ٍ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫ِّر‬‫ث‬‫تؤ‬ ‫والرابعة‬ ‫الغرب‬ ‫شمال‬ c30 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫ِّر‬‫ث‬‫تؤ‬ ‫والثالثة‬ ‫الشرق‬ ‫شمال‬ c60 ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫الشرق‬ ‫جنوب‬
‫فى‬ ‫نيوتن‬ 25 ، 20 ، 15 ‫مقاديرها‬ ‫التى‬ ‫القوى‬ ‫أثرت‬ ‫متوسطاته‬ ‫القى‬َ‫ت‬ ‫نقطة‬ ‫م‬ ، ‫األضالع‬ ‫متساوى‬ ‫مثلث‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ . C ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫م‬ ، ‫جـ‬ ‫م‬ ‫االتجاهات‬ ‫فى‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬
9 ، 2 4 ، 13 ، 2 ‫مقاديرها‬ ‫قوى‬ ‫أثرت‬ .‫5سم‬ = ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫بحيث‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ∈ ‫هـ‬ ، ‫21سم‬ ‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫أوجد‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ E C ، C ‫جـ‬ ، ‫هـ‬ C ، ‫ب‬ C ‫االتجاهات‬ ‫فى‬ ‫جم‬ ‫ث‬
:‫إبداعى‬ ‫تفكير‬
‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ N ‫ب‬ + M 14- = 3‫ق‬ ، N 6 + M C = 2‫ق‬ ، N 3 + M 5 = 1‫ق‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ 1‌
.‫ب‬ ، C ‫قيمتي‬ ‫أوجد‬ .)c135 ، 2 10( = I ‫المحصلة‬ ‫كانت‬‫و‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ومتالقية‬
‫فى‬ )‫(و‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫أربع‬ ‫يبين‬ :‫المقابل‬ ‫الشكل‬ 1‌
‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫كانت‬‫و‬ 4
5 = ‫هـ‬ ‫حا‬ ‫حيث‬ ‫الموضحة‬ ‫االتجاهات‬
‫س‬ ‫و‬ ‫مع‬ c135 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫وتصنع‬ ‫نيوتن‬ 2 8 ‫تساوى‬
.‫ك‬ ، X ‫قيمتى‬ ‫أوجد‬
‫س‬
‫ص‬
‫2ك‬
‫س‬
‫ص‬
‫ك‬
‫ـ‬‫ه‬
‫هـ‬ ‫هـ‬‫و‬
‫ـ‬‫ه‬
X2
X4
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةلصحم‬ ‫ىوق ةدع‬ ‫ةيوتسم‬ ‫ةيقالتم‬ ‫ةطقن ىف‬3
‫الدرس‬
25

31. ‫القوى‬‫من‬‫مجموعة‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫ج�سيم‬‫اتزان‬
‫نقطة‬‫فى‬‫المتالقية‬‫الم�ستوية‬
Equilibrium of a particle under the action of coplanar forces meeting at a point
‫قوتين‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫جا�سئ‬‫ج�سم‬‫اتزان‬
Equilibrium of a rigid body under the action of two forces
‫تعاونى‬ ‫عمل‬
‫ميزان‬ ‫كفة‬ ‫على‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 20‫نة‬‫ز‬‫و‬ ‫ا‬ً‫م‬‫جس‬ ‫ضع‬ -1
‫الميزان‬ ‫قراءة‬ ‫والحظ‬ ‫ملساء‬ ‫أفقى‬ ‫ضغط‬
.)1(‫الشكل‬‫فى‬‫كما‬.‫حينئذ‬
‫الجسم‬ ‫نفس‬ ‫يربط‬ ‫أن‬ ‫زميلك‬ ‫من‬ ‫اطلب‬ -2
‫الخيط‬ ‫نهاية‬ ‫ويربط‬ ‫أملس‬ ‫خفيف‬ ‫بخيط‬
‫قراءة‬ ‫ويالحظ‬ ،‫كى‬‫زمبر‬ ‫ميزان‬ ‫خطاف‬ ‫فى‬
.‫السكون‬ ‫وضع‬ ‫فى‬ ‫الميزان‬
‫؟‬‫تالحظ‬‫ماذا‬‫التجربتين‬‫من‬‫كل‬‫فى‬‫النتائج‬‫بين‬‫قارن‬ -3
:‫أن‬ ‫نالحظ‬
½½‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫التجربة‬ ‫فى‬ S ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫قوتى‬ ‫من‬ ‫كل‬
‫الثانية‬ ‫التجربة‬ ‫فى‬ ‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫وقوة‬
.‫الجسم‬ ‫وزن‬ ‫وهو‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 20 ‫تساوى‬
‫قوتين‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫جا�سئ‬‫ج�سم‬‫اتزان‬‫�شروط‬
:‫القوتان‬‫كانت‬‫إذا‬�‫فقط‬‫قوتين‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫الجا�سىء‬‫الج�سم‬‫يتزن‬
‫واحدة‬‫استقامة‬‫على‬‫عملهما‬‫خطا‬ -3 .‫االتجاه‬‫فى‬‫متضادتين‬ -2 .‫المقدار‬‫فى‬‫متساويتين‬ -1
‫مثال‬
‫واللتان‬ ‫نيوتن‬ 3 ، 5 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‫مع‬ ‫تتزن‬ ‫ق‬ ‫مقدارها‬ ‫التى‬ ‫القوة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
‫؟‬‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فأوجد‬ c60 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫بينهما‬ ‫تحصران‬
‫الحل‬
:‫القانون‬ ‫من‬ ‫نيوتن‬ 3 ، 5 ‫القوتان‬ ‫محصلة‬ ‫نوجد‬
c60 ‫حتا‬ 3 * 5 * 2 + 9 + 25 = I ` ‫ى‬ ‫جتا‬2‫ق‬1‫ق‬ 2 +
2
2‫ق‬ +
2
1‫ق‬ = I
‫نيوتن‬ 7 = 49 = 15 + 9 + 25 = I `
‫نيوتن‬ 7 = ‫ق‬ ` .‫اتزان‬ ‫حالة‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 3 ، 5 ‫القوتان‬ ‫ومحصلة‬ )‫(ق‬ ‫القوة‬ a
‫الميزان‬ ‫فعل‬ ‫رد‬
‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬
‫كجم‬ ‫ث‬ 20 = S
‫كجم‬ ‫ث‬ 20 = ‫و‬
‫كجم‬ ‫ث‬ 20 = ‫ش‬
‫كجم‬ ‫ث‬ 20 = ‫و‬
‫كجم‬ ‫ث‬ 20 ‫الجسم‬ ‫وزن‬
‫كجم‬ ‫ث‬ 20 ‫الجسم‬ ‫وزن‬
)1(‫شكل‬
)2(‫شكل‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
‫القوى‬ ‫من‬ ‫جمموعة‬ ‫اتزان‬
.‫نقطة‬ ‫ىف‬ ‫املتالقية‬ ‫املستوية‬
.‫قوتني‬ ‫تأثري‬ ‫حتت‬ ‫جسم‬ ‫اتزان‬
‫ثالث‬ ‫تأثري‬ ‫حتت‬ ‫جسم‬ ‫اتزان‬
.‫نقطة‬ ‫ىف‬ ‫ومتالقية‬ ‫سنوية‬ ‫قوى‬
.‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫قاعدة‬
.‫الجما‬ ‫قاعدة‬
.‫الثالث‬ ‫القوى‬ ‫نظرية‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
.‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫قاعدة‬
Triangle of forces rule
Lami`s rule .‫المى‬ ‫قاعدة‬
Triangle .‫القوى‬ ‫مضلع‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
Scientific calculator
.‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬ ‫برامج‬
4
‫الدرس‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 26

32. ‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫فأوجد‬ ‫نيوتن‬ 12 ، 5 ‫منها‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫التى‬ ‫المتعامدتين‬ ‫القوتين‬ ‫مع‬ ‫تتزن‬ ‫ق‬ ‫مقدارها‬ ‫التى‬ ‫القوة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
‫ة‬‫نقط‬‫فى‬‫ومتالقية‬‫م�ستوية‬‫قوى‬‫ثالث‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫جا�سئ‬‫ج�سم‬‫اتزان‬
Equilibrium of arigid body under the action of three coplanar forces meeting at apoint
،‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫عدة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جاسئ‬ ‫جسم‬ ‫التزان‬ ‫والكافى‬ ‫الالزم‬ ‫الشرط‬ ‫درست‬ ‫وأن‬ ‫سبق‬
‫مثلث‬ ‫بأضالع‬ ‫نة‬‫ز‬‫ومت‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫مثيل‬َ‫ت‬ ‫يمكن‬ ‫كذلك‬ ،‫مقفل‬ ‫بمضلع‬ ‫يمثل‬ ‫أنه‬ ‫وعلمت‬
.‫واحد‬ ‫دورى‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬ ‫فى‬ ‫مأخوذة‬
Triangle of forces ‫ى‬‫القو‬‫مثلث‬‫قاعدة‬
‫جاسىء‬ ‫جسم‬ ‫على‬ ‫تؤثران‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتان‬ ‫يمثل‬ :)1( ‫شكل‬
‫ب‬ ‫و‬ ، C ‫و‬ ‫فى‬ ‫ تعمالن‬
‫فى‬ ‫تعمل‬ ‫والتى‬ ) 2‫ق‬ + 1‫ق‬ ( ‫هي‬ ‫القوتين‬ ‫هاتين‬ ‫محصلة‬ ‫وتكون‬
.‫ب‬ ‫جـ‬ C ‫و‬ ‫األضالع‬ ‫متوازى‬ ‫من‬ ‫جـ‬ ‫و‬ ‫القطر‬
‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫وتضادهها‬ ‫المقدار‬ ‫فى‬ ) 2‫ق‬ + 1‫ق‬ ( ‫تساوى‬ 3‫ق‬
.‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫مجموعة‬ 3‫ق‬ , 2‫ق‬ , 1‫ق‬ Ñ 0 = 3‫ق‬ + 2‫ق‬ + 1‫ق‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
3‫ق‬ , 2‫ق‬ , 1‫ق‬ ‫نة‬‫ز‬‫المت‬ ‫للمجموعة‬ ‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫يمثل‬ :)2( ‫شكل‬
.‫المتناظرة‬ ‫القوى‬ ‫مقادير‬ ‫مع‬ ‫متناسبة‬ ‫تكون‬ ‫المثلث‬ ‫أضالع‬ ‫أطوال‬ ‫إن‬ ‫حيث‬
3‫ق‬
‫و‬ ‫جـ‬
= 2‫ق‬
‫جـ‬ C
= 1‫ق‬
C ‫و‬
:َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫مثال‬
‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫مثبت‬ ‫للخيط‬ ‫اآلخر‬ ‫والطرف‬ ‫031سم‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫خفيف‬ ‫خيط‬ ‫طرفى‬ ‫أحد‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 12 ‫مقداره‬ ْ‫ثقل‬ َ‫ِّق‬‫ل‬ُ‫ع‬ ‌
‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫الحائط‬ ‫من‬ ‫05سم‬ ‫بعد‬ ‫على‬ ‫وهو‬ ‫اتزن‬ ‫حتى‬ ‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫بتأثير‬ ‫الجسم‬ ‫جذب‬ .‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬
.‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫والشد‬ ‫القوة‬ ‫من‬
‫الحل‬
:‫الثالث‬‫القوى‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫متزن‬‫الثقل‬
½½.‫ألسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫وتعمل‬ )‫نيوتن‬ 12( ‫الوزن‬ ‫قوة‬
½½.‫ق‬ ‫األفقية‬ ‫القوة‬
½½C‫ب‬ ‫في‬ ‫ويعمل‬ ‫ش‬ ‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬
.‫فيثاغورث‬ ‫من‬ ‫جـ‬ C ‫طول‬ ‫نوجد‬
‫سم‬ 120 = 2)50( - 2)130( = ‫جـ‬ C
:‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫جـ‬ C ‫ب‬ ‫المثلث‬
‫ق‬
50
= 12
120
= ‫ش‬
130
)1( ‫شكل‬
C
‫ب‬
‫و‬
‫جـ‬
+
1‫ق‬
2‫ق‬
1
‫ق‬
2
‫ق‬
3‫ق‬
)2( ‫شكل‬
C‫و‬
‫جـ‬
1‫ق‬
2‫ق‬3‫ق‬
X‫ب‬
12
C
‫جـ‬
‫ش‬
‫سم‬ 120
‫سم‬ 130
‫سم‬ 50
C
‫ب‬‫جـ‬
‫ش‬
12
X
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫نازتا‬ ‫نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج‬‫وتسملا ىوقلا‬‫ةي‬‫ةيقالتملا‬ ‫ن ىف‬4
‫الدرس‬
27

33. ‫نيوتن‬ 5 = ‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ 13 = ‫ش‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫أزيح‬ ، ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫اآلخر‬ ‫طرفه‬ ‫مثبت‬ ‫خفيف‬ ‫خيط‬ ‫طرفى‬ ‫آحد‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 16 ‫مقداره‬ ‫ثقل‬ ‫علق‬ ‌
‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫الحائط‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫التوازن‬ ‫وضع‬ ‫فى‬ ‫الخيط‬ ‫أصبح‬ ‫حتى‬ ‫الخيط‬ ‫على‬ ‫عمودى‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫بقوة‬ ‫الثقل‬
.‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫والشد‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c30
lami''s theorem ‫ى‬‫الم‬‫قاعدة‬
C
‫ب‬
‫جـ‬
2‫هـ‬
1‫هـ‬
3‫هـ‬
2‫ق‬3X
)2( ‫شكل‬
1X2‫هـ‬
3‫هـ‬
1‫هـ‬
3X
2X
1X
)1( ‫شكل‬
:‫أن‬ ‫نجد‬ ‫الجيب‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬
3‫ق‬
3‫هـ‬ ‫حا‬
= 2‫ق‬
2‫هـ‬ ‫حا‬
= 1‫ق‬
1‫هـ‬ ‫حا‬
َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ‫ب‬ C
)3‫هـ‬ - 180( ‫حا‬
= C ‫جـ‬
)2‫هـ‬ - 180( ‫حا‬
= ‫جـ‬ ‫ب‬
)1‫هـ‬ - 180( ‫حا‬
‫الثالث‬ ‫القوى‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫األخريين‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫الزاوية‬ ‫جيب‬ ‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬
‫مثال‬
‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫نيوتن‬ ‫ك‬ ، ‫ق‬ ، 60 ‫مقاديرها‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‌
.‫ك‬ ، ‫ق‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫فأوجد‬ .c90 ‫والثالثة‬ ‫الثانية‬ ‫وبين‬ c120 ‫والثانية‬
‫الحل‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫الثالث‬‫القوى‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫متزنة‬‫المجموعة‬
:‫المى‬ ‫قاعدة‬ ‫بتطبيق‬ ‫نيوتن‬ ‫ك‬ ‫القوة‬ ، ‫نيوتن‬ ‫ق‬ ‫القوة‬ ، ‫نيوتن‬ 60 ‫القوة‬
‫ك‬
c120 ‫حا‬
=
‫ق‬
c150 ‫حا‬
=
60
c90 ‫حا‬
‫نيوتن‬ 3 30 = ‫ك‬ ، ‫نيوتن‬ 30 = ‫ ق‬:َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ‫2ك‬
3
= ‫2ق‬ = 60
1
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫على‬ ‫األول‬ ‫يميل‬ ‫بخيطين‬ ‫معلق‬ ‫نيوتن‬ 10 ‫مقداره‬ ‫ثقل‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‌
.c40‫قياسها‬‫بزاوية‬‫األفقى‬‫على‬‫األخر‬‫ويميل‬c30 ‫قياسها‬‫بزاوية‬‫األفقى‬
.‫االتزان‬ ‫حالة‬ ‫فى‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫أوجد‬
c150
c120
60
X
‫ك‬
c40 c30
‫ن‬‫ت‬‫و‬‫ي‬‫ن‬ 1
‫ش‬
‫نيوتن‬ 10
‫ن‬‫ت‬‫و‬‫ي‬‫ن‬2 ‫ش‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
28

34. :‫الثالث‬‫القوى‬‫نظرية‬
‫ومستوية‬ ‫متوازية‬ ‫غير‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جاسئ‬ ‫جسم‬ ‫اتزن‬ ‫إذا‬
.‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تتالقى‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫عمل‬ ‫خطوط‬ ‫فإن‬
‫حائط‬ ‫على‬ )‫(و‬ ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫والكثافة‬ ‫السمك‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‫اتزن‬ ‫إذا‬ :‫مثال‬
:‫فإن‬ ‫خشنة‬ ‫أفقية‬ ‫وأرض‬ ‫أملس‬ ‫رأسى‬
½½.‫ألسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫واتجاهه‬ ‫منتصفه‬ ‫فى‬ ‫يعمل‬ ‫القضيب‬ ‫وزن‬ ‫ثقل‬ ‫كز‬‫مر‬
½½‫ويعمل‬ ‫الحائط‬ ‫على‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫عمود‬ ‫يكون‬ )1S( ‫الرأسي‬ ‫الحائط‬ ‫فعل‬ ‫رد‬
.E ‫ب‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬
½½‫لتحديد‬‫و‬ ‫االتجاه‬ ‫محدد‬ ‫غير‬ )2S( ‫الخشنة‬ ‫األفقية‬ ‫األرض‬ ‫فعل‬ ‫رد‬
.‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫كما‬ ) 1S ، ‫و‬ ‫عمل‬ ‫خطى‬ ‫تالقى‬ ‫(نقطة‬ E ‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الذى‬ E C ‫نرسم‬ ‫اتجاهه‬
‫مثال‬
‫بخيط‬‫ب‬‫سطحها‬‫نقط‬‫إحدى‬‫من‬‫ربطت‬ ،‫52سم‬‫قطرها‬‫نصف‬‫وطول‬‫كجم‬‫ث‬1٫5‫نها‬‫ز‬‫و‬‫منتظمة‬‫معدنية‬‫كرة‬ ‌
‫أوجد‬ .‫الحائط‬ ‫على‬ ‫مستندة‬ ‫وهى‬ ‫الكرة‬ ‫نت‬‫ز‬‫فات‬ ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫فى‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ C ‫اآلخر‬ ‫طرفه‬ ‫ومربوط‬ ‫52سم‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬
.‫الحائط‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫ومقدار‬ ‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫مقدار‬
‫الحل‬
:‫الثالث‬‫القوى‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫متزنة‬‫الكرة‬
½½.‫ألسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫ويؤثر‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 1٫5 ‫الكرة‬ ‫وزن‬
½½‫الحائط‬‫على‬‫عمودى‬‫إتجاه‬‫فى‬‫ويعمل‬،‫الحائط‬‫مع‬‫الكرة‬‫تماس‬‫نقطة‬‫عند‬‫ويوثر‬)S(‫الكرة‬‫على‬‫الحائط‬‫فعل‬‫رد‬
.)‫(م‬ ‫كز‬‫بالمر‬ ‫ا‬ً‫مار‬
½½‫ويمر‬ C ‫ب‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫ويعمل‬ )‫(ش‬ ‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬
‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫الكرة‬ ‫وزن‬ ‫قوتي‬ ‫تالقى‬ ‫نقطة‬ )‫(م‬ ‫كز‬‫بالمر‬
.‫الحائط‬
‫حيث‬ ،‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫هو‬ ‫جـ‬ C ‫م‬ ‫المثلث‬
‫05سم‬ = 25 + 25 = C ‫م‬
2)25( - 2)50( = ‫جـ‬ C :‫فيثاغورث‬ ‫نظرية‬ ‫ومن‬
‫سم‬3 25 =
:‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫وبتطبيق‬
S
25
= 1٫5
253
= ‫ش‬
50
.‫كجم‬ ‫ث‬ 3
2
= S ، ‫كجم‬ ‫ث‬3 = ‫ ش‬:َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
C
2S
1S‫ب‬
‫جـ‬
‫و‬
E
‫أن‬�‫تذكر‬
‫يقع‬ ‫المنتظمة‬ ‫الكرة‬ ‫ثقل‬ ‫مركز‬
.‫الهندسي‬ ‫مركزها‬ ‫في‬
1٫5
C
‫ب‬
‫ش‬
S‫م‬‫جـ‬
‫ش‬
‫سم‬ 50
‫سم‬ 25
1٫5
C
‫م‬‫جـ‬
‫ر‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫نازتا‬ ‫نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج‬‫وتسملا ىوقلا‬‫ةي‬‫ةيقالتملا‬ ‫ن ىف‬4
‫الدرس‬
29

35. .‫الطرق‬ ‫هذه‬ ‫بإحدى‬ ‫المسألة‬ ‫حل‬ ‫ثم‬ ‫الطرق‬ ‫هذه‬ ‫اذكر‬ ‫؟‬‫أخرى‬ ‫بطرق‬ ‫السابقة‬ ‫المسألة‬ ‫حل‬ ‫يمكنك‬ ‫هل‬ :‫فكر‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫طرفى‬ ‫بأحد‬ ‫سطحها‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلقة‬ ‫03سم‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 100 ‫نها‬‫ز‬‫و‬ ‫ملساء‬ ‫منتظمة‬ ‫كرة‬ ‌
‫من‬ًّ‫كلا‬‫التوازن‬‫وضع‬‫فى‬‫أوجد‬.‫أملس‬‫رأسى‬‫حائط‬‫من‬‫نقطة‬‫فى‬‫اآلخر‬‫طرفه‬‫ومثبت‬‫02سم‬‫له‬‫و‬‫ط‬‫خفيف‬‫خيط‬
.‫الحائط‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬
‫مثال‬
‫كان‬ ‫فإذا‬ ، ‫ّاف‬‫ط‬ُ‫خ‬ ‫فى‬ ‫طرفاهما‬ ‫ثبت‬ ‫بحبلين‬ ‫طرفيه‬ ‫من‬ ‫نيوتن‬ 30 ‫نه‬‫ز‬‫وو‬ ‫001سم‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‫علق‬ ‌
‫ا‬ً‫ق‬‫معل‬ ‫القضيب‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫الحبلين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫مقدار‬ ‫فأوجد‬ .‫05سم‬ ‫أحدهما‬ ‫وطول‬ ‫متعامدين‬ ‫الحبالن‬
.‫اتزان‬ ‫حالة‬ ‫وفى‬ ‫ا‬ً‫ق‬‫مطل‬ ‫ا‬ًّ‫حر‬ ً‫ا‬‫تعليق‬
‫الحل‬
:‫الثالث‬‫القوى‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬‫متزن‬‫الق�ضيب‬
‫فى‬ ‫الشد‬ ، ‫منتصفه‬ ‫عند‬ ‫ويؤثر‬ ‫ألسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫ويعمل‬ ‫نيوتن‬ 30 ‫نه‬‫ز‬‫و‬
‫على‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ، ‫جـ‬ C ‫االتجاهين‬ ‫فى‬ ‫ويعمالن‬ 2‫ش‬ ، 1‫ش‬ ‫الحبلين‬
.‫جـ‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫التعامد‬ ‫على‬ ‫ويتقاطعان‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬
‫الوتر‬ ‫منتصف‬ ‫إلى‬ ‫القائمة‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫مرسومة‬ E ‫جـ‬ a
‫05سم‬ = ‫ب‬ C 1
2 = E ‫جـ‬ `
‫األضالع‬ ‫متساوى‬ ‫مثلث‬ E ‫جـ‬ C `
c30 = )E ‫جـ‬ ‫ب‬c(X ، c60 = )E ‫جـ‬ Cc(X `
:‫المى‬‫قاعدة‬‫بتطبيق‬
‫نيوتن‬ 3 15 = 2‫ش‬ ، ‫نيوتن‬ 15 = 1‫ش‬ ‫ومنها‬
30
c90 ‫حا‬
= 2‫ش‬
c120 ‫حا‬
= 1‫ش‬
c150 ‫حا‬
.‫السابقة‬ ‫المسألة‬ ‫لحل‬ ‫أخرى‬ ‫طرق‬ ‫استخدام‬ :‫فكر‬
‫مثال‬
‫خيط‬ ‫طرف‬ ‫فى‬ ‫معلق‬ ‫ك‬ ‫مقداره‬ ‫ثقل‬ :‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‌
‫ملساوين‬ ‫تين‬‫ر‬‫بك‬ ‫على‬ ‫يمران‬ ‫بخيطين‬ ‫الخيط‬ ‫طرف‬ ‫وينتهى‬
‫ث جم‬20 ،30‫منهما‬‫كل‬‫مقدار‬‫ثقلين‬‫ويحمالن‬‫جـ‬ ،‫ب‬‫عند‬
‫اإلتزان‬‫وضع‬‫في‬‫هـ‬‫زاوية‬‫قياس‬ ،‫ك‬‫الثقل‬‫مقدار‬‫أوجد‬
C
1‫ش‬2‫ش‬
‫م‬‫س‬ 50
‫م‬‫س‬ 50
‫م‬‫س‬50c60
c30
‫ب‬
‫جـ‬
E
‫نيوتن‬ 30
‫معلوماتك‬‫إلى‬�‫أ�ضف‬�
‫ملساء‬ ‫بكرة‬ ‫على‬ ‫خيط‬ ‫مر‬ ‫إذا‬
‫فإن‬ ‫ا‬ً‫د‬‫مشدو‬ ‫الخيط‬ ‫وكان‬
‫البكرة‬ ‫جانبى‬ ‫على‬ ‫الشدين‬
.‫متساوى‬
1
‫ش‬
2‫ش‬
2‫ش‬1‫ش‬
C
‫كجم‬ ‫ث‬ 30 ‫كجم‬ ‫ث‬ 20
‫كجم‬ ‫ث‬ ‫ك‬
‫األفقي‬
c60
‫ب‬ ‫جـ‬
‫هـ‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
30

36. ‫الحل‬
‫الخيطين‬ ‫فى‬ ‫الشدان‬ ‫هما‬ 2‫ش‬ ، 1‫ش‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬ :‫السابق‬ ‫الشكل‬ ‫في‬
‫جـ‬ C ، ‫ب‬ C ‫اتجاهى‬ ‫فى‬ ‫ويعمالن‬
‫كجم‬ ‫02ث‬ = 2‫ش‬ ، ‫كجم‬ ‫ث‬ 30 = 1‫ش‬ :‫فإن‬ ‫ملساوان‬ ‫البكرتان‬
:‫هى‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫متزنة‬ ‫المجموعة‬
2‫ش‬ ، 1‫ش‬ ‫الخيطين‬ ‫فى‬ ‫والشد‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ ‫ك‬ ‫الجسم‬ ‫وزن‬
:‫المى‬‫قاعدة‬‫بتطبيق‬
‫وبالتبسيط‬
‫ك‬
])c60 + ‫(هـ‬ - c180[ ‫حا‬
=
20
)c90 + c60( ‫حا‬
=
30
)‫هـ‬ + c90( ‫حا‬
‫ك‬
)c60 + ‫(هـ‬‫حا‬
= 40 =
30
‫هـ‬ ‫حتا‬
c41
/
24
//
35 = )‫هـ‬c( X ‫أن‬ ‫أي‬ 3
4 = ‫هـ‬ ‫ حتا‬َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
)c60 + c41
/
24
//
5( ‫حا‬ * 40 = ‫ك‬
‫كجم‬ ‫ث‬ 39٫2095 - ‫ ك‬َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫يصنع‬ ‫الخيط‬ ‫صار‬ ‫حتى‬ ‫جم‬ ‫006ث‬ ‫نها‬‫ز‬‫و‬ ‫بندول‬ ‫كرة‬ ‫أزيحت‬ ‌
‫أوجد‬.‫الخيط‬‫على‬‫عمودى‬‫اتجاه‬‫فى‬‫الكرة‬‫على‬‫قوة‬‫تأثير‬‫تحت‬‫الرأس‬‫مع‬c30
.‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫ومقدار‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬
‫نقطة‬‫فى‬‫والمتالقية‬‫الم�ستوية‬‫القوى‬‫من‬‫مجموعة‬‫أثير‬�‫ت‬‫تحت‬ ‫ج�سم‬‫اتزان‬
‫نشاط‬
Polygon of forces :‫القوى‬‫م�ضلع‬
:)Geo Gebra(‫برنامج‬‫با�ستخدام‬
، c120 ، c0 :‫كاآلتى‬ ‫قياساتها‬ ‫قطبية‬ ‫بزوايا‬ ‫تعمل‬ ‫والتى‬ ‫داين‬ 100 ، 300 ، 100 ، 400 ‫مقاديرها‬ ‫التى‬ ‫القوى‬ ‫مثل‬
‫؟‬‫تالحظ‬ ‫ماذا‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ c240 ، c180
:‫ان‬ ‫نالحظ‬
½½‫بداية‬ ‫نقطة‬ ‫على‬ ‫ينطبق‬ ‫األخيرة‬ ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
.‫بالشكل‬‫الموضح‬‫القوى‬‫مضلع‬‫فى‬‫لى‬‫و‬‫األ‬‫القوة‬‫عمل‬‫خط‬
.‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫و‬ ‫المقفل‬ ‫القوى‬ ‫مضلع‬ ‫تكون‬ ‫قد‬ ‫ه‬َّ‫ن‬‫أ‬ ْ‫أى‬
ِ‫التزان‬ ‫والكافى‬ ‫الالزم‬ ‫الشرط‬ َّ‫أن‬ ‫النشاط‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫نستنتج‬
.‫مقفل‬ ‫بمضلع‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫ل‬ِّ‫ث‬‫م‬ُ‫ت‬ ‫أن‬ ‫هو‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫والمتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ِ‫مجموعة‬
‫أن‬�‫الحظ‬
‫ش‬‫ش‬
‫بكرة‬
‫ملساء‬
.‫الخيط‬ ‫طرفي‬ ‫في‬ ٍ‫متساو‬ ‫الشد‬
c30
C
‫ش‬
‫ك‬
2‫ق‬
300
100100
400
C
c120
c180c240 ‫ب‬‫جـ‬
‫ص‬
‫س‬‫و‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫نازتا‬ ‫نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج‬‫وتسملا ىوقلا‬‫ةي‬‫ةيقالتملا‬ ‫ن ىف‬4
‫الدرس‬
31

37. .‫نقطة‬‫فى‬‫المتالقية‬‫القوى‬‫من‬‫مجموعة‬‫التزان‬‫التحليلية‬‫الطرق‬
:‫كاآلتى‬ ‫القوى‬ ‫لمجموعة‬ ‫والصادية‬ ‫السينية‬ ‫كبتين‬‫المر‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫فى‬
c240 ‫حتا‬ 100 + c180 ‫حتا‬ 300 + c120 ‫حتا‬ 100 + c0‫حتا‬ 400 = ‫س‬
‫صفر‬ = 1
2 * 100 - 300 - 1
2 * 100 - 400 =
c240 ‫حا‬ 100 + c180 ‫حا‬ 300 + c120 ‫حا‬ 100 + c0‫حا‬ 400 = ‫ص‬
‫صفر‬ = 3 50 - 0 + 3 50 + 0 =
:‫تكون‬ ‫أن‬ ‫يجب‬ ‫نه‬‫ز‬‫مت‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫والمتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫مجموعة‬ ‫تكون‬ ‫لكى‬ ‫أنه‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫نستنتج‬
½½‫صفر‬ = ‫س‬ ‫و‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوى‬ ‫كبات‬‫لمر‬ ‫الجبرى‬ ‫المجموع‬
½½‫صفر‬ = ‫ص‬ ‫و‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوى‬ ‫كبات‬‫لمر‬ ‫الجبرى‬ ‫المجموع‬
‫صفر‬ = ‫ص‬ ، ‫صفر‬ = ‫س‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫مثال‬
‫القوى‬ ‫مجموعة‬ ‫أن‬ ‫فأثبت‬ N + M 2 = 3‫ق‬ ، N 2 + M 7 - = 2‫ق‬ ، N 3 - M 5 = 1‫ق‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
.‫نة‬‫ز‬‫متوا‬ 3‫ق‬ ، 2‫ق‬ ، 1‫ق‬
‫الحل‬
3‫ق‬ + 2‫ق‬ + 1‫ق‬ = I a
.‫متزنة‬ ‫القوى‬ ‫مجموعة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ 0 = N )1 + 2 + 3 - ( + M )2 + 7 - 5( = I `
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ N ‫ب‬ + M 6 - = 3‫ق‬ ، N 2 - M C - = 2‫ق‬ ، N 3 - M 4 = 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
.‫ب‬ ، C ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فأوجد‬ ‫نة‬‫ز‬‫ومت‬
‫مثال‬
‫توثر‬ ‫،والتى‬ ‫نيوتن‬ 5 4 ، 2 12 ، 20 ، 16 ‫القوى‬ ‫يمثل‬ :‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‌
‫على‬ C ‫هـ‬ ، C ‫جـ‬ ، E C ، ‫ب‬ C ‫االتجاهات‬ ‫فى‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫المربع‬ ‫فى‬
.‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫القوى‬ ‫مجموعة‬ َّ‫أن‬ ‫أثبت‬ .E ‫جـ‬ ‫منتصف‬ ‫هـ‬ ‫حيث‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬
‫الحل‬
‫نيوتن‬ 5 4 ، 2 12 ، 20 ، 16‫القوى‬‫أن‬‫نجد‬‫المقابل‬‫الشكل‬‫من‬
)i + c180( ، c225 ، c90 ، c0 :‫هي‬‫القطبية‬‫زواياها‬
c90 ‫02حتا‬ + c0 ‫حتا‬ 16= ‫س‬`
)i + c180( ‫حتا‬5 4 + c225 ‫حتا‬ 2 12 +
i ‫حتا‬ * 5 4 - 1
2
* 2 12 - 0 + 16 =
C
20
16
‫ب‬
‫جـ‬E ‫هـ‬
5
4
2
12
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
32

38. ‫صفر‬ = 1
5
* 5 4 - 12 - 16 =
c225 ‫حا‬ 2 12 + c90 ‫02حا‬ + c0 ‫حا‬ 16= ‫ص‬
)i + c180( ‫حا‬5 4 +
i ‫حا‬ 5 4 - 1
2
* 2 12 - 20 + 0 =
‫صفر‬ = 2
5
* 5 4 - 12 - 20 =
‫صفر‬ = ‫ ص‬ ، ‫صفر‬ = ‫ س‬
.‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫المجموعة‬ `
‫تحل‬ ْ‫ن‬‫أ‬ ‫حاول‬
10 6 ، ‫ك‬ ، 5 ، ‫ق‬ ‫مقاديرها‬ ‫التى‬ ‫القوى‬ ‫يمثل‬ :‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‌
‫اإلتجاهات‬ ‫فى‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫المستطيل‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫والتى‬ ‫نه‬‫ز‬‫والمت‬ ‫نيوتن‬
، ‫8سم‬ = ‫جـ‬ ‫ب‬ ، ‫6سم‬ = ‫ب‬ C ‫حيث‬ ‫جـ‬ ‫هـ‬ ,E ‫جـ‬ ، C ‫جـ‬ ، ‫ب‬ ‫جـ‬
.‫ك‬ ، ‫ق‬ ‫قيمة‬ ‫أوجد‬ .‫6سم‬ = ‫هـ‬ C
‫الرابع‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫أتى‬�‫ماي‬‫أكمل‬�
................ ‫بـ‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫هندس‬ ‫تمثل‬ ‫أن‬ ‫هو‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫والمتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫التزان‬ ‫والكافى‬ ‫الالزم‬ ‫الشرط‬ ‌
........................... ، ........................... ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫هى‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫المتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫التزان‬ ‫التحليلية‬ ‫الطريقة‬ ‌
:‫فإن‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ N 3 - M C = 3‫ق‬ ، N 2 - M 7 - = 2‫ق‬ ، N ‫ب‬ + M 4 = 1‫ق‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
.................................................... = ‫ب‬ ، .................................................... = C
................................... = ‫ق‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫نيوتن‬ 4 ، 3 ‫مقدارهما‬ ‫متعامدتان‬ ‫قوتان‬ ‫مع‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫ق‬ ‫مقدارها‬ ‫التى‬ ‫القوة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
‫المثلث‬ ‫أضالع‬ ‫أطوال‬ ‫فإن‬ ‫مثلث‬ ‫بأضالع‬ ‫واحد‬ ‫دورى‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫ومأخوذه‬ ‫نة‬‫ز‬‫ومت‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫ثلت‬ُ‫م‬ ‫إذا‬ ‌
.................................................................................................................................................... ‫مع‬ ‫متناسبة‬ ‫تكون‬
c225
i + c180 i
‫ص‬
‫س‬
C
20
16 ‫ب‬
‫جـ‬
E
2
12
‫ص‬
54
‫س‬
‫أن‬�‫الحظ‬
i‫حتا‬ - = )i+ c180( ‫حتا‬
1-
2- 5
i+c180
C
5
‫ب‬‫جـ‬
E
‫ك‬
‫هـ‬
10 6
‫سم‬ 6
‫سم‬ 6
‫سم‬ 8 X
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫نازتا‬ ‫نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج‬‫وتسملا ىوقلا‬‫ةي‬‫ةيقالتملا‬ ‫ن ىف‬4
‫الدرس‬
33

39. ................................... ‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جسم‬ ‫اتزن‬ ‫إذا‬ ‌
‫عمل‬ ‫خطوط‬ ‫فإن‬ ‫ومستوية‬ ‫متوازية‬ ‫غير‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جسم‬ ‫اتزن‬ ‫إذا‬ ‌
............................................................................................................................................................. ‫القوى‬ ‫هذه‬
‫بين‬‫الزاوية‬‫قياس‬‫فإن‬‫نة‬‫ز‬‫ومت‬‫نقطة‬‫فى‬‫ومتالقية‬‫المقدار‬‫فى‬‫متساوية‬‫قوى‬‫ثالث‬ ‌
................................................................................................................................................. ‫يساوي‬ ‫قوتين‬ ‫أى‬
‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫القوى‬ ‫مجموعة‬ :‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‌
.‫نيوتن‬................................ = 2‫ش‬ ، ‫نيوتن‬ ................................ = 1‫ش‬
‫القيمة‬ ‫أوجد‬ .‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫والمتالقية‬ ‫نة‬‫ز‬‫المت‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫اآلتية‬ ‫األشكال‬ ‫من‬ ‫شكل‬ ‫كل‬ ‫يمثل‬ 1‌
.‫زاوية‬ ‫قياس‬ ‫أو‬ ‫قوة‬ ‫كانت‬ ‫سواء‬ ‫لة‬‫و‬‫المجه‬
)1( ‫شكل‬
‫نيوتن‬ 60
c150
‫ك‬
X
)2( ‫شكل‬
2‫ش‬
1‫ش‬
‫نيوتن‬ 12
c120 c150
)3( ‫شكل‬ ‫نيوتن‬ 100
‫سم‬ 40
‫سم‬ 20
X
‫ك‬
‫ملساء‬ ‫حلقة‬
)5( ‫شكل‬
‫جم‬ ‫ث‬ 40
‫هـ‬‫هـ‬
‫ش‬ ‫ش‬
)4( ‫شكل‬
‫سم‬ 150
‫م‬‫س‬120‫سم‬ 90
‫نيوتن‬ 30
2‫ش‬ 1‫ش‬
)6( ‫شكل‬
2‫ش‬
1‫ش‬
c30
8
‫و‬
‫هـ‬
3 8
1‫ش‬
2‫ش‬
‫نيوتن‬ 6
c120
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
34

40. ،‫حجرة‬‫سقف‬‫فى‬‫نقطة‬‫فى‬‫اآلخر‬‫طرفه‬‫مثبت‬‫82سم‬‫له‬‫و‬‫ط‬‫خيط‬‫طرفى‬‫أحد‬‫من‬‫جم‬‫ث‬60‫نه‬‫ز‬‫و‬‫مقدار‬‫ثقل‬‫علق‬ 1‌
‫وضع‬ ‫فى‬ ‫القوة‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬ ، ‫السقف‬ ‫أسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫41سم‬ ‫بعد‬ ‫على‬ ‫وهو‬ ‫الجسم‬ ‫فاتزن‬ ‫قوة‬ ‫الجسم‬ ‫على‬ ‫أثرت‬
.‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫والشد‬ ‫القوة‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫فأوجد‬ ‫الخيط‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫االتزان‬
‫بينهما‬ ‫البعد‬ ‫واحد‬ ‫أفقى‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫نقطتين‬ ‫من‬ ‫08سم‬ ، ‫06سم‬ ‫طوالهما‬ ‫بخيطين‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 200 ‫مقداره‬ ‫ثقل‬ ‫علق‬ 1‌
.‫الخيطين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫001سم‬
‫ويميل‬ ‫هـ‬ ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫الرأسى‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫يميل‬ ‫خفيفين‬ ‫خيطين‬ ‫بواسطة‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 200 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسيم‬ ‫علق‬ 1‌
.‫جم‬ ‫ث‬ 100 ‫يساوى‬ ‫األول‬ ‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫مقدار‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ، c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫الرأسى‬ ‫على‬ ‫اآلخر‬ ‫الخيط‬
.‫الثاني‬ ‫الخيط‬ ‫في‬ ‫الشد‬ ‫ومقدار‬ ‫هـ‬ ‫فأوجد‬
‫وحفظ‬0٫6=‫هـ‬‫حا‬‫حيث‬‫هـ‬‫قياسها‬‫بزاوية‬‫األفقى‬‫على‬‫يميل‬‫أملس‬‫مستوى‬‫على‬‫جم‬‫ث‬800‫نه‬‫ز‬‫و‬‫جسم‬‫وضع‬ 1‌
.‫الجسم‬ ‫على‬ ‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫القوة‬ ‫هذه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫بواسطة‬ ‫توازن‬ ‫حالة‬ ‫فى‬ ‫الجسم‬
‫حالة‬ ‫فى‬ ‫الجسم‬ ‫وحفظ‬ c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أملس‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫نيوتن‬ )‫(و‬ ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‫وضع‬ 1‌
‫الجسم‬ ‫وزن‬ ‫مقدار‬ ‫احسب‬ .‫ألعلى‬ ‫للمستوى‬ ‫ميل‬ ‫أكبر‬ ‫خط‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ ‫نيوتن‬ 36 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‫بتأثير‬ ‫توازن‬
.‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫ومقدار‬
‫الحائط‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أملس‬ ‫ومستوى‬ ‫أملس‬ ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫بين‬ ‫مستقرة‬ ‫نيوتن‬ 3 ‫نها‬‫ز‬‫و‬ ‫ملساء‬ ‫منتظمة‬ ‫معدنية‬ ‫كرة‬ 1‌
‫المائل‬ ‫والمستوى‬ ‫الرأسى‬ ‫الحائط‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫الضغط‬ ‫أوجد‬ .c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫الرأسى‬
‫فإذا‬ .‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫طرفاهما‬ ‫ثبت‬ ‫خيطين‬ ‫بواسطة‬ ‫طرفيه‬ ‫من‬ ‫نيوتن‬ 20 ‫نه‬‫ز‬‫وو‬ ‫05سم‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‫علق‬ 1‌
.‫الخيطين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫فأوجد‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫04سم‬ ، ‫03سم‬ ‫الخيطين‬ ‫طوال‬ ‫كان‬
‫الشرق‬ ‫اتجاهات‬ ‫فى‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫وتؤثر‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ ‫ك‬ ، 2 5 ، 2 4 ، 6 ، ‫ق‬ ‫مقاديرها‬ ‫قوى‬ ‫خمس‬ 1‌
.‫ك‬ ، ‫ق‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫والجنوب‬ ‫الغربى‬ ‫والجنوب‬ ‫الغربى‬ ‫والشمال‬ ‫والشمال‬
‫منها‬ ‫متتاليتين‬ ‫قوتين‬ ‫كل‬ ‫بين‬ ‫والزاوية‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 7 ، ‫ك‬ ، 3 ، ‫ق‬ ، 4 ، 5 ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫أثرت‬ 1‌
.‫اتزان‬ ‫حالة‬ ‫فى‬ ‫المجموعة‬ ‫تكون‬ ‫حتى‬ ‫ك‬ ، ‫ق‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c60
:‫إبداعى‬ ‫تفكير‬
‫مستوى‬ ‫على‬ ‫موضوع‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 6 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ 2‌
‫بواسطة‬ ‫نه‬‫ز‬‫توا‬ ‫وحفظ‬ 30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أملس‬
‫طرفيه‬‫أحد‬‫مثبت‬‫خيط‬‫فى‬‫تعمل‬‫كجم‬‫ث‬ 3 2‫مقدارها‬‫ش‬ ‫شد‬‫قوة‬
‫يصنعها‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫أوجد‬ .‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫فى‬ ‫واآلخر‬ ‫بالجسم‬
.‫الجسم‬ ‫على‬ ‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫ومقدار‬ ‫المستوى‬ ‫مع‬ ‫الخيط‬c30
‫م‬‫ج‬‫ك‬‫ث‬
3
2
‫كجم‬ ‫ث‬ 6
S
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫نازتا‬ ‫نم ةعومجم ريثأت تحت ميسج‬‫وتسملا ىوقلا‬‫ةي‬‫ةيقالتملا‬ ‫ن ىف‬4
‫الدرس‬
35

41. ‫الوحدة‬‫�ص‬ َّ‫ملخ‬
.‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫األجسام‬ ‫سكون‬ ‫دراسة‬ ‫علم‬ ‫هى‬ :‫االستاتيكا‬
.‫المادية‬ ‫األجسام‬ ‫على‬ ‫الميكانيكى‬ ‫للتأثير‬ ‫الكمي‬ ‫المقياس‬ ‫هى‬ :‫القوة‬
:‫اآلتية‬ ‫بالعوامل‬ ‫الجسم‬ ‫على‬ ‫القوة‬ ‫تأثير‬ ‫يتحدد‬ :‫القوة‬ ‫خواص‬
.‫التأثير‬ ‫نقطة‬ -3 .‫االتجاه‬ -2 .‫المقدار‬ -1
½½‫بزاوية‬ 1‫ق‬ ‫على‬ ‫وتميل‬ I ‫محصلتها‬ ‫كانت‬‫و‬ ‫ى‬ ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫بينهما‬ ‫يحصران‬ ‫قوتان‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫ى‬ ‫حا‬2‫ق‬
‫ى‬ ‫حتا‬2‫ق‬ + 1‫ق‬
= ‫هـ‬ ‫ظا‬ ‫ى‬ ‫جتا‬2‫ق‬1‫ق‬ 2 +
2
2‫ق‬ +
2
1‫ق‬ = I :‫فإن‬ ‫هـ‬ ‫قياسها‬
I
‫ى‬ ‫حا‬
= 2‫ق‬
2‫هـ‬ ‫حا‬
= 1‫ق‬
1‫هـ‬ ‫حا‬
:‫الجيب‬ ‫قاعدة‬ ‫باستخدام‬ ‫أو‬
½½.‫اتجاهيهما‬ ‫نفس‬ ‫وتعمل‬ 2‫ق‬ + 1‫ق‬ = 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫للقوتان‬ ‫المحصلة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬
½½.‫الكبرى‬ ‫القوة‬ ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫وتعمل‬ |2‫ق‬ - 1‫|ق‬ = 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫للقوتان‬ ‫المحصلة‬ ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬
½½:‫فإن‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ 2‫هـ‬ ، 1‫هـ‬ ‫زاويتين‬ I ‫مع‬ ‫يصنعان‬ ، I ‫القوة‬ ‫كبتى‬‫مر‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
I
)2‫هـ‬ + 1‫(هـ‬ ‫حا‬
= 2‫ق‬
1‫هـ‬ ‫حا‬
= 1‫ق‬
2‫هـ‬ ‫حا‬
½½1‫ق‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫مع‬ I ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫فيها‬ ‫تميل‬ ‫والتى‬ ‫المتعامدتين‬ I ‫القوة‬ ‫كبتى‬‫مر‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫هـ‬ ‫حا‬ I = 2‫ق‬ ، ‫هـ‬ ‫حتا‬ I = 1‫ق‬ ‫فإن‬ ‫هـ‬ ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬
½½‫فى‬ ‫مأخوذة‬ ‫مضلع‬ ‫أضالع‬ ‫بأطوال‬ ً‫ا‬‫تمثيل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫المتالقيه‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫ثلت‬ُ‫م‬ ‫إذا‬ :‫القوى‬ ‫مضلع‬
.‫المضاد‬‫الدورى‬‫االتجاه‬‫فى‬‫المضلع‬‫هذا‬‫يقفل‬‫الذى‬‫الضلع‬‫طول‬‫تساوي‬‫القوى‬‫هذه‬‫محصلة‬‫فإن‬‫واحد‬‫دورى‬‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
½½‫هذه‬ ‫كبات‬‫لمر‬ ‫الجبرى‬ ‫المجموع‬ ‫كان‬‫و‬ )‫متعامد‬ ‫إحداثى‬ ‫نظام‬ ‫(فى‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫عدة‬ ‫أثرت‬ ‫إذا‬
‫ص‬
‫س‬
= ‫هـ‬ ‫ظا‬ ، 2‫ص‬ + 2‫س‬ = I:‫فإن‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ ‫هما‬ ‫متعامدين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫القوى‬
½½.‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫المجموعة‬ ‫هذه‬ ‫كانت‬ ‫مقفل‬ ‫قوى‬ ‫مضلع‬ ‫بأطوال‬ ‫ا‬ً‫م‬‫تا‬ ً‫ا‬‫تمثيل‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫ثلت‬ُ‫م‬ ‫إذا‬
½½‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫المتالقية‬ ‫المستوية‬ ‫القوى‬ ‫مجموعة‬ ‫تكون‬
‫صفر‬ = ‫وس‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوي‬ ‫كبات‬‫لمر‬ ‫الجبرى‬ ‫المجموع‬ )1
.‫صفر‬ = ‫وص‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫القوى‬ ‫كبات‬‫لمر‬ ‫الجبرى‬ ‫والمجموع‬ )2
½½‫عملها‬‫خط‬ ،‫االتجاه‬‫فى‬‫متضادتين‬ ،‫المقدار‬‫فى‬‫متساويتان‬:‫القوتان‬‫تكون‬‫أن‬‫هو‬‫قوتين‬‫تأثير‬‫تحت‬‫جسم‬‫اتزان‬
.‫واحدة‬ ‫استقامة‬ ‫على‬
½½‫خطوط‬ ‫توازى‬ ‫أضالعه‬ ‫مثلث‬ ‫ورسم‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جسم‬ ‫اتزن‬ ‫إذا‬ :‫القوى‬ ‫مثلث‬ ‫قاعدة‬
.‫المناظرة‬ ‫القوى‬ ‫مقادير‬ ‫مع‬ ‫متناسبة‬ ‫تكون‬ ‫المثلث‬ ‫أضالع‬ ‫أطوال‬ ‫فإن‬ ‫واحد‬ ‫دورى‬ ‫اتجاه‬ ‫وفى‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫عمل‬
½½‫الزاوية‬ ‫جيب‬ ‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جسم‬ ‫اتزن‬ ‫إذا‬ :‫المى‬ ‫قاعدة‬
.‫األخريين‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
36

42. )‫األولى‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
:‫أتى‬�‫ي‬‫ما‬‫اكمل‬
.‫جم‬‫ث‬..... =‫ق‬‫فإن‬‫بينهما‬‫الزاوية‬‫تنصف‬‫محصلتها‬،[r،0]∈‫بينهما‬‫الزاوية‬‫وقياس‬‫داين‬‫ق‬ ،4‫مقدارهما‬‫قوتان‬ ‌
‫أصغر‬ ، ‫نيوتن‬ ........................................... = ‫للمحصلة‬ ‫قيمة‬ ‫أكبر‬ ‫فإن‬ ‫نيوتن‬ 8 ، 5 ‫مقدارهما‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫نيوتن‬ .................................. = ‫للمحصلة‬ ‫قيمة‬
‫المستوى‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫كبة‬‫مر‬ ‫فإن‬ ‫هـ‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أملس‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ )‫(و‬ ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‫وضع‬ ‫إذا‬ ‌
.................................................. ‫تساوى‬
.‫كجم‬‫ث‬..................... ‫يساوى‬‫ق‬‫القوة‬‫مقدار‬‫فإن‬‫كجم‬‫ث‬8 ،6‫مقدارهما‬‫متعامدتين‬‫قوتين‬‫مع‬ ‫ق‬ ‫القوة‬‫نت‬‫ز‬‫ات‬‫إذا‬ ‌
‫فإن‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ N ‫ب‬ + M 9 = 3‫ق‬ ، N 4 + M 3 - = 2‫ق‬ ، N 6 - M C = 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
.............................. = ‫ب‬ ، .............................. = C
:‫يأتى‬ ‫ما‬ ‫أكمل‬ .‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫يأتى‬ ‫مما‬ ‫شكل‬ ‫كل‬ ‌
........................ = ‫ق‬
........................ = ‫ك‬
X
‫ك‬
6
)1( ‫شكل‬
........................ = ‫ق‬
........................ = ‫ك‬
‫ش‬
‫سم‬6
‫سم‬ 8
12
‫جـ‬
)3( ‫شكل‬
X
........................ = ‫ق‬
........................ = ‫ك‬
‫ك‬
c135
)2( ‫شكل‬
X
2 4
:‫أكمل‬ .‫شكل‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫موضح‬ ‫هو‬ ‫كما‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫متزن‬ ‫قضيب‬ ‫ب‬ C ‌
‫جم‬ ‫ث‬ 4
2‫ش‬
C‫ب‬
‫جـ‬
‫سم‬ 6
‫سم‬ 8 ‫ش‬
‫جم‬ ‫ث‬ 20
C
S‫ش‬
‫سم‬ 30
‫سم‬ 20 ‫سم‬ 20 ‫ب‬
‫جـ‬
E
2‫ش‬
‫ب‬
1‫ش‬
‫جم‬ ‫ث‬ 39
C
‫م‬‫س‬65
‫م‬‫س‬65
‫م‬‫س‬ 50
‫سم‬ 120
‫جـ‬
.‫جم‬ ‫ث‬ ........................... = 1‫ش‬ ‍‫ج‬ .‫جم‬ ‫ث‬ ........................... = ‫ش‬ ‫ب‬ .‫جم‬ ‫ث‬ ........................... = 1‫ش‬ ‫أ‬
.‫جم‬ ‫ث‬ ........................... = 1‫ش‬ ‫و‬ .‫جم‬ ‫ث‬ ............................... = S ‍‫ه‬ .‫جم‬ ‫ث‬ ........................... = 2‫ش‬ ‫د‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬37
)‫الأولى‬‫(الوحدة‬‫عامة‬‫متارين‬-‫صَّخلم‬‫لا‬ ‫ةدحو‬

43. ‫زاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬‫و‬ ‫ى‬ ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫بينهما‬ ‫يحصران‬ ‫اللذين‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫هى‬ I ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
:‫فأوجد‬ ‫هـ‬ ‫يساوى‬ 1‫ق‬ ‫على‬ ‫المحصلة‬ ‫ميل‬
.c90 = ‫ى‬ ، ‫نيوتن‬ 15 = 2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ 8 = 1‫ق‬ ‫عندما‬ ، I ‫مقدار‬ ‫أ‬
c60 = ‫ى‬ ، ‫داين‬ 60 = 2‫ق‬ = 1‫ق‬ ‫عندما‬ ‫هـ‬ ‫زاوية‬ ‫وقياس‬ I ‫مقدار‬ ‫ب‬
.2‫ق‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫والمحصلة‬ ‫نيوتن‬ 3 = 2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ 6 = 1‫ق‬ ‫عندما‬ ‫هـ‬ ‫زاوية‬ ‫وقياس‬ I ‫مقدار‬ ‍‫ج‬
.1‫ق‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫والمحصلة‬ ‫نيوتن‬ 6 = 2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ 3 3 = 1‫ق‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ى‬ ‫زاوية‬ ‫وقياس‬ I ‫مقدار‬ ‫د‬
c150 = ‫ى‬ ، ‫نيوتن‬ 3 12 = 2‫ق‬ ، ‫نيوتن‬ 12 = I ‫عندما‬ 1‫ق‬ ‫قيمة‬ ‍‫ه‬
:‫اآلتية‬ ‫األشكال‬ ‫من‬ ‫شكل‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ميلها‬ ‫وزاوية‬ ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‌
)3( ‫شكل‬
‫س‬
c30
‫ص‬
3
2
‫ص‬
c60
3 3
3 2
‫س‬
)1( ‫شكل‬
‫س‬
‫ص‬
‫و‬
‫ص‬
c30
3
‫س‬
2 3
2 3
2c45
‫س‬
‫ص‬
‫س‬
‫ص‬
)2( ‫شكل‬
‫و‬
3 4
3 12
16
36
c60
c60
c30
.‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫يأتى‬ ‫مما‬ ‫مجموعة‬ ‫كل‬ ‫تصبح‬ ‫بحيث‬ ‫ك‬ ، ‫ق‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ 1‌
C
25
‫ب‬
‫جـ‬E
‫ك‬
2 8
‫سم‬ 6
‫سم‬ 6 ‫سم‬ 2
‫سم‬ 8 X
)2( ‫شكل‬
C ‫ب‬
‫جـ‬
‫ك‬
3 6
)1( ‫شكل‬
c120
X
)3( ‫شكل‬
C ‫ب‬
‫جـ‬‫و‬
‫ك‬
E‫هـ‬
3 4
32
12
X
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اــكيتاــتسالا‬ 
38

44. ‫تراكمى‬ ‫اختبار‬
‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .c150 ‫قياسها‬ ‫زاوية‬ ‫بينهما‬ ‫وتحصران‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫توثران‬ ‫نيوتن‬ 8 ، 3 8 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫مع‬ ‫تصنعها‬ ‫التى‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫محصلتهما‬
‫قياس‬ ‫أوجد‬ .‫نيوتن‬ 26 ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ، ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 16 ، 30 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫القوتين‬ ‫هاتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬
:‫عندما‬ ‫ق‬ ‫أوجد‬ c120 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ ‫ق‬ ، 2 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫الثانية‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫عمودى‬ ‫المحصلة‬ ‫اتجاه‬ ‫ب‬ .‫ق‬ ‫يساوى‬ ‫المحصلة‬ ‫مقدار‬ ‫أ‬
.‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تنصف‬ ‫المحصلة‬ ‍‫ج‬
.c60 ‫اتجاهيهما‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫المقدار‬ ‫فى‬ ‫متساويتين‬ ‫قوتين‬ ‫إلى‬ ‫قوة‬ ‫خيط‬ ‫فى‬ 90 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‫ِّل‬‫ل‬َ‫ح‬ ‌
َّ‫أن‬ َ‫م‬ِ‫ل‬ُ‫ع‬ ‫إذا‬ ‫نيوتن‬ 80 ‫ومقداره‬ ‫أفقي‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫موضوع‬ ‫جسم‬ ‫لوزن‬ ،‫المتعامدتين‬ ‫كبتين‬‫المر‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‌
.‫أسفل‬ ‫إلى‬ c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫تميل‬ ‫إحداهما‬
‫األضالع‬‫متساوى‬‫مثلث‬‫ألضالع‬‫موازية‬‫اتجاهات‬‫فى‬‫مادية‬‫نقطة‬‫فى‬‫تؤثر‬‫6ق‬ ،‫4ق‬ ،‫2ق‬‫مقاديرها‬‫قوى‬‫ثالث‬ ‌
.‫المحصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‫واحد‬ ‫دورى‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬ ‫فى‬ ‫مأخوذة‬
،20 ، 6 ‫مقاديرها‬ ‫قوى‬ ‫أثرت‬ .‫6سم‬ = E ‫و‬ ‫بحيث‬ E ‫جـ‬ ∈ ‫و‬ ، ‫6سم‬ = ‫جـ‬ ‫ب‬ ، ‫8سم‬ = ‫ب‬ C ‫فيه‬ ‫مستطيل‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ E C ، ‫و‬ C ، C ‫جـ‬ ، ‫ب‬ C ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 2 ، 3 13
‫على‬ ‫عمودية‬ ‫بقوة‬ ‫الثقل‬ ‫أزيح‬ ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫فى‬ ‫اآلخر‬ ‫طرفه‬ ‫مثبت‬ ‫خيط‬ ‫طرف‬ ‫فى‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 80 ‫مقداره‬ ‫ثقل‬ ‫علق‬ ‌
‫كذلك‬‫و‬ ،‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫االتزان‬ ‫وضع‬ ‫فى‬ ‫أوجد‬ .c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫الحائط‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫مائل‬ ‫الخيط‬ ‫أصبح‬ ‫حتى‬ ‫الخيط‬
.‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬
‫من‬ ‫ومنع‬ 4
5 = ‫ى‬ ‫حتا‬ ‫حيث‬ ،‫ى‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أملس‬ ‫مائل‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 20 ‫قدره‬ ‫ثقل‬ ‫وضع‬ ‌
.‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫كذلك‬‫و‬ ‫ق‬ ‫أوجد‬ )‫(ق‬ ‫مقدارها‬ ‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫بتأثير‬ ‫االنزالق‬
.c30 ، c60 ‫قياساهما‬ ‫زاويتين‬ ‫األفقى‬ ‫مع‬ ‫يصنعان‬ ‫مائلين‬ ‫أملسين‬ ‫مستويين‬ ‫على‬ ‫بطرفيه‬ ‫تكز‬‫ر‬‫ي‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ 1‌
‫يساوى‬‫القضيب‬‫وزن‬‫مقدار‬‫كان‬‫وإذا‬ ،‫االتزان‬‫وضع‬‫فى‬‫األفقى‬‫مع‬‫القضيب‬‫يصنعها‬‫التى‬‫الزاوية‬‫قياس‬‫أوجد‬
.‫المستويين‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫مقدار‬ ‫عين‬ ‫نيوتن‬ 24
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬39
‫تراكمى‬‫�أختبار‬

45. 40
‫الوحدة‬
‫الثانية‬
:‫أن‬ ‫على‬ ‫ا‬ً‫ر‬‫قاد‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫المتوقع‬ ‫من‬ ‫الوحدة‬ ‫نهاية‬ ‫فى‬
••.‫افتراضية‬ ‫نقطة‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫الجسيم‬ ‫مفهوم‬ ‫ف‬ َّ‫تعر‬َ‫ي‬
••.‫آلخر‬ ‫موضع‬ ‫من‬ ‫لجسيم‬ ‫االنتقالية‬ ‫بالحركة‬ ‫المقصود‬ ‫يتفهم‬
••‫نقاط‬ ‫جميع‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫تحدث‬ ‫االنتقالية‬ ‫الحركة‬ ‫أن‬ ‫يدرك‬
.‫الحركة‬‫أثناء‬‫فى‬‫لبعضها‬‫موازية‬‫خطوط‬‫فى‬‫المتحرك‬‫الجسم‬
••.‫والمسافة‬ ‫اإلزاحة‬ ‫بين‬ ‫يميز‬
••‫الحركة‬ - ‫السرعة‬ ‫(متجه‬ ‫المنتظمة‬ ‫السرعة‬ ‫مفهوم‬ ‫يتعرف‬
‫اللحظية‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ - ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ - ‫المنتظمة‬
.)‫السرعة‬ ‫قياس‬ ‫وحدات‬ - ‫النسبية‬ ‫السرعة‬ -
••.‫النسبية‬ ‫السرعة‬ ‫مفهوم‬ ‫يتعرف‬
••‫متجهى‬ ‫بداللة‬ ‫والسرعة‬ ‫الموضع‬ ‫متجهى‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫يعبر‬
. N ، M ‫الوحدة‬
••‫وحدات‬ - ‫المنتظمة‬ ‫العجلة‬ ‫ذات‬ ‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬ ‫يتعرف‬
.) ‫العجلة‬ ‫قياس‬
••.‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫الرأسية‬ ‫الحركة‬ ‫يتعرف‬
••‫بعجلة‬‫جسيم‬‫تحرك‬‫(إذا‬‫منتظمة‬‫بعجلة‬‫الحركة‬‫قوانين‬‫يستنتج‬
:‫فإن‬ ‫ن‬‫زمنية‬‫فترة‬‫خالل‬‫ع‬‫إلى‬0‫ع‬‫من‬‫سرعته‬‫وتغيرت‬‫منتظمة‬
‫ف‬ ‫2جـ‬ + 2‫ع‬ = 2‫ع‬ ، 2‫ن‬ ‫جـ‬ 1
2 + ‫ن‬ ‫ع‬ = ‫ف‬ ، ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬
••‫العجلة‬ ‫ذات‬ ‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬ ‫قوانين‬ ‫على‬ ‫تطبيقات‬ ‫يتعرف‬
.‫المنتظمة‬
••‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫الرأسية‬ ‫الحركة‬ ‫قوانين‬ ‫يتعرف‬
.‫هبوطه‬ ‫أو‬ ‫الجسم‬ ‫صعود‬ ‫حالة‬ ‫فى‬
•• .) ‫العام‬ ‫للجذب‬ ‫نيوتن‬ ‫(قانون‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫يتعرف‬
. ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬
••‫منحنى‬ ، ‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫اإلزاحة‬ ‫لمنحنى‬ ‫البياني‬ ‫التمثيل‬ ‫يتعرف‬
.‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫السرعة‬
••‫اإلزاحة‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫تمثيل‬ ‫فى‬ ‫البيانية‬ ‫الحاسبة‬ ‫اآللة‬ ‫يستخدم‬
.‫أنشطة‬ ‫صورة‬ ‫فى‬ ‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫والسرعة‬ ‫الزمن‬ ‫مع‬
‫الكينماتيكا‬ ‫دراسة‬ ‫على‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ ‫نقتصر‬ ‫وسوف‬ ‫والكيناتيكا‬ ‫الكينماتيكا‬ ‫إلى‬ ‫ينقسم‬ ‫حيث‬ ,‫األجسام‬ ‫حركة‬ ‫بدراسة‬ ‫الديناميكا‬ ‫علم‬ ‫يختص‬
‫أن‬ ‫بالذكر‬ ‫وجدير‬ ،‫عليها‬ ‫المؤثرة‬ ‫للقوى‬ ‫االعتبار‬ ‫فى‬ ‫األخذ‬ ‫دون‬ ‫فقط‬ ‫الهندسية‬ ‫الوجهة‬ ‫من‬ ‫األجسام‬ ‫حركة‬ ‫فى‬ ‫يبحث‬ ‫الذى‬ ‫العلم‬ ‫ذلك‬ kinematics
‫حركة‬ ‫دراسة‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ ‫سنتناول‬ ‫هنا‬ ‫ومن‬ ،‫ومتطلباتها‬ ‫اآلالت‬ ‫فى‬ ‫الحركة‬ ‫انتقال‬ ‫مثل‬ ‫العملية‬ ‫حياتنا‬ ‫فى‬ ‫التطبيقية‬ ‫أهميتها‬ ‫لها‬ ‫الكينماتيكا‬
.‫ومسبباتها‬ ‫الحركة‬ ‫لهذه‬ ‫المصاحبة‬ ‫والظواهر‬ ‫األجسام‬
‫الوحدة‬ ‫مقدمة‬
‫الوحدة‬ ‫أهداف‬
‫الديناميكا‬
Dynamics

46. 41
‫األساسية‬ ‫المصطلحات‬
‫الوحدة‬ ‫دروس‬
‫والوسائل‬ ‫األدوات‬
‫للوحدة‬ ‫تنظيمى‬ ‫مخطط‬
ÑÑScientific calculator ‫ة‬‫علمي‬‫حاسبة‬‫آلة‬
ÑÑGraphical calculator ‫ة‬‫رسومي‬‫حاسبة‬‫آلة‬
ÑÑGraphical programs ‫ب‬‫للحاسو‬‫رسومية‬‫برامج‬
.‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬ :)1 - 2( ‫الدرس‬
.‫المنتظمة‬ ‫العجلة‬ ‫ذات‬ ‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬ :)2 - 2( ‫الدرس‬
.‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫الرأسية‬ ‫الحركة‬ :)3 - 2( ‫الدرس‬
.‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫قانون‬ :)4 - 2( ‫الدرس‬
ÑÑRectilinear Motion ‫ة‬‫مستقيم‬‫حركة‬
ÑÑDistance ‫ة‬‫مساف‬
ÑÑVector Velocity ‫ة‬‫سرع‬‫متجه‬
ÑÑAverage Velocity ‫ة‬‫المتوسط‬‫السرعة‬
ÑÑRelative Velocity ‫ة‬‫النسبي‬‫السرعة‬
ÑÑVertical Motion ‫ة‬‫رأسي‬‫حركة‬
ÑÑUniversal Gravitation ‫م‬‫عا‬‫جذب‬
ÑÑDisplacement ‫ة‬‫إزاح‬
ÑÑUniform Velocity ‫ة‬‫منتظم‬‫سرعة‬
ÑÑInstantaneous Velocity ‫ة‬‫لحظي‬‫سرعة‬
ÑÑPosition Vector ‫ع‬‫موض‬‫متجه‬
ÑÑUniform Acceleration ‫ة‬‫منتظم‬‫عجلة‬
ÑÑGravity ‫ة‬‫أرضي‬‫جاذبية‬
‫الديناميكا‬
‫أساسية‬ ‫هيم‬ ‫مفا‬
‫الزمن‬ ‫اإلزاحة‬ ‫منحنى‬
‫األفقية‬ ‫الحركة‬
‫الزمن‬ ‫السرعة‬ ‫منحنى‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬
‫اللحظية‬ ‫السرعة‬
‫الموضع‬ ‫متجه‬
‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫العجلة‬ ‫متجه‬‫المسافة‬
‫العجلة‬ ‫السرعة‬ ‫المسافة‬‫متسارعة‬ ‫حركة‬‫تقصيرية‬ ‫حركة‬ ‫الزمن‬
‫النسبية‬ ‫السرعة‬
‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬
‫الرأسية‬ ‫الحركة‬
‫بيانية‬ ‫تمثيالت‬
‫المنتظمة‬ ‫العجلة‬ ‫ذات‬ ‫الحركة‬
‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬
‫القياس‬ ‫وحدات‬
‫الحركة‬ ‫قوانين‬
‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬
‫لنيوتن‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫قانون‬

47. 1
‫الدرس‬
.‫املرتى‬ ‫النظام‬ ‫وحدات‬
‫ومتجه‬ ‫املوضع‬ ‫متجه‬ ‫بني‬ ‫العالقة‬
.‫اإلزاحة‬
.‫املتوسطة‬ ‫الرسعة‬
.‫اللحظية‬ ‫الرسعة‬
.‫النسبية‬ ‫الرسعة‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
:‫تقديم‬
‫الباع‬ - ‫(الذراع‬ ‫مثل‬ ‫أنفسهم‬ ‫البشر‬ ‫من‬ ‫مستمدة‬ ‫الشعوب‬ ‫حياة‬ ‫فى‬ ‫القياس‬ ‫أنظمة‬ ‫بدأت‬
‫من‬ ‫أصبح‬ ‫فقد‬ ،‫التجارة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫وازدياد‬ ‫العلوم‬ ‫تقدم‬ ‫ومع‬ )...‫القدم‬ - ‫البوصة‬ - ‫الشبر‬ -
‫ابتكره‬ ‫الذى‬ ‫العشرى‬ ‫النظام‬ ‫اعتماد‬ ‫تم‬ ‫أن‬ ‫إلى‬ ‫وثابتة‬ ‫دقيقة‬ ‫معايير‬ ‫إيجاد‬ ‫الضرورى‬
‫مشتق‬ ‫وهو‬ IS‫الموحد‬ ‫العالمى‬ ‫النظام‬ ‫جاء‬ ‫حتى‬ ‫واستمر‬ ،‫0971م‬ ‫عام‬ ‫نسيون‬‫ر‬‫الف‬
‫الوحدات‬ ‫من‬ ‫النظام‬ ‫هذا‬ ‫ويتشكل‬ International System Of Units ‫الكلمة‬ ‫من‬
،)‫القنديلة‬ ، ‫المول‬ ، ‫والكلفن‬ ، ‫األمبير‬ ،‫والثانية‬ ، ‫جرام‬ ‫الكيلو‬ ، ‫(المتر‬ ‫األساسية‬
‫األساسية‬ ‫الوحدات‬ ‫قوى‬ ‫ضرب‬ ‫كحاصل‬ ‫تتشكل‬ ‫التى‬ ‫المشتقة‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬ ‫كذلك‬‫و‬
.‫الجبرية‬ ‫العالقات‬ ‫لبعض‬ ‫ا‬ً‫ق‬‫وف‬
‫ى‬‫المتر‬‫النظام‬‫وحدات‬
‫بعض‬ ‫تحويالت‬ ‫كذلك‬‫و‬ ،‫المترى‬ ‫النظام‬ ‫فى‬ ‫األساسية‬ ‫الوحدات‬ ‫التالية‬ ‫الجداول‬ ‫تبين‬
.‫النظام‬ ‫هذا‬ ‫فى‬ ‫المقادير‬
‫القياس‬‫الوحدة‬ ‫اسم‬‫الرمز‬
length‫الطول‬metre‫متر‬)m(‫م‬
mass ‫الكتلة‬kilogram ‫جرام‬ ‫كيلو‬)kg(‫كجم‬
time‫الزمن‬second ‫ثانية‬)s(‫ث‬
‫القياس‬- ‫كيلو‬- ‫هيكتو‬- ‫ديكا‬- ‫ديسى‬- ‫سنتى‬- ‫مللى‬- ‫ميكرو‬
‫الوحدة‬310210101 - 102 - 103 - 106 - 10
‫الرمز‬‫ك‬‫هك‬‫دك‬‫دسي‬‫س‬‫مل‬‫مك‬
khdadcmu
Length ‫ل‬‫الطو‬ ‫مقياس‬ -1
‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫هو‬ ‫المعيارى‬ ‫والمتر‬ )SI( ‫النظام‬ ‫فى‬ ‫الطول‬ ‫قياس‬ ‫وحدة‬ ‫هو‬ )‫(م‬ ‫المتر‬
.‫ثانية‬ 1
299792458 ‫خالل‬ ‫الفراغ‬ ‫فى‬ ‫الضوئى‬ ‫الشعاع‬ ‫يقطعها‬
Mass ‫ة‬‫الكتل‬‫مقيا�س‬ -2
‫من‬ ‫أسطوانة‬ ‫كتلة‬ ‫وهو‬ )SI( ‫لى‬‫و‬‫الد‬ ‫النظام‬ ‫فى‬ ‫الكتل‬ ‫قياس‬ ‫وحدة‬ )‫(كجم‬ ‫جرام‬ ‫الكيلو‬
.‫المئوى‬‫الصفر‬‫درجة‬‫فى‬‫مليمتر‬39‫تفاعها‬‫ر‬‫وا‬‫مليمتر‬39‫قطرها‬‫واإليرديوم‬‫البالتين‬‫سبيكة‬
‫الم�ستقيمة‬‫الحركة‬
Rectilinear motion
Rectilinear Motion ‫ة‬‫مستقيم‬ ‫حركة‬
IS ‫ى‬‫مرت‬ ‫نظام‬
Displacement Vector ‫ة‬‫إزاح‬ ‫متجه‬
Position Vector ‫ع‬‫موض‬ ‫متجه‬
Vector Velocity ‫ة‬‫رسع‬ ‫متجه‬
Uniform mation .‫منتظمة‬ ‫حركة‬
Average Velocity ‫ة‬‫متوسط‬ ‫رسعة‬
‫ة‬‫حلظي‬ ‫رسعة‬
Instantaneous Velocity
Relative Velocity ‫ة‬‫النسبي‬ ‫الرسعة‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
.‫مربعات‬ ‫ورق‬
. ‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
.‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬ ‫برامج‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 42

48. time ‫ن‬‫الزم‬‫مقيا�س‬ -3
.‫الفراغ‬ ‫فى‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 299792458 ‫قدرها‬ ‫مسافة‬ ‫الضوئى‬ ‫الشعاع‬ ‫لقطع‬ ‫الالزمة‬ ‫الزمنية‬ ‫المدة‬ ‫هى‬ ‫المعيارية‬ ‫الثانية‬
‫والساعة‬ ‫الدقيقة‬ ‫مثل‬ ‫للزمن‬ ‫أكبر‬ ‫وحدات‬ ‫توجد‬ ‫كما‬ )‫(مللي.ث‬ ‫ثانية‬ ‫بالمللى‬ ‫الثانية‬ ‫من‬ ‫الصغيرة‬ ‫األجزاء‬ ‫وتسمى‬
.‫وغيرها‬ ‫واليوم‬
Motion and its Types ‫ا‬‫أنواعه‬�‫و‬‫الحركة‬
،‫ساكن‬ ‫آخر‬ ‫جسم‬ ‫موضع‬ ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫الزمن‬ ‫بتغير‬ ‫الجسم‬ ‫موضع‬ ‫بتغير‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫مفهوم‬ ‫تبط‬‫ر‬‫ي‬
.‫الزمنية‬ ‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫تحرك‬ ‫قد‬ ‫الجسم‬ ‫إن‬ :‫يقال‬ ‫الزمن‬ ‫بتغير‬ ‫الجسم‬ ‫موضع‬ ‫يتغير‬ ‫فعندما‬
.‫النهاية‬ ‫نقطة‬ ‫إلى‬ ‫البداية‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫كرة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫يمثل‬ ‫التالى‬ ‫والشكل‬
‫البداية‬ ‫نقطة‬ ‫النهاية‬ ‫نقطة‬
Distance ‫ة‬‫الم�ساف‬
‫المسار‬ ‫طول‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫والمنصورة‬ ‫القاهرة‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫فإن‬ ‫المنصورة‬ ‫مدينة‬ ‫إلى‬ ‫القاهرة‬ ‫مدينة‬ ‫من‬ ‫قطار‬ ‫تحرك‬ ‫إذا‬
‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫مقدار‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ،‫فقط‬ ‫مقدارها‬ ‫معرفة‬ ‫يجب‬ ‫إذ‬ ‫قياسية‬ ‫كمية‬ ‫المسافة‬ ‫وتعتبر‬ ،‫القطار‬ ‫كه‬‫تحر‬ ‫الذى‬
.‫المسافة‬ ‫قياس‬ ‫وحدة‬ ‫هى‬ )‫(كم‬ ، ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫يمثل‬ 160 ‫الرقم‬ ‫فإن‬ ‫061كم‬ ‫المدينتين‬
Displacement vector ‫إزاحة‬‫ل‬‫ا‬‫متجه‬
‫ب‬ C ‫الموجهة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫تمثله‬ ‫الذى‬ ‫المتجه‬ ‫هو‬
‫لمتجه‬ ‫ويرمز‬ )‫(ب‬ ‫نهايتها‬ ‫نقطة‬‫و‬ )C( ‫بدايتها‬ ‫نقطة‬ ‫التى‬
‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫لمعيار‬ ‫ويرمز‬ ، ‫ف‬ ‫بالرمز‬ ‫ب‬ C ‫اإلزاحة‬
‫المسار‬ ‫طول‬ ‫بالضرورة‬ ‫يساوى‬ ‫ال‬ ‫وهو‬ || ‫ب‬ C || ‫بالرمز‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫الجسيم‬ ‫قطعه‬ ‫الذى‬
Position vector ‫المو�ضع‬‫متجه‬
‫نهايته‬ ‫نقطة‬‫و‬ )‫(و‬ ‫المشاهد‬ ‫موضع‬ ‫مع‬ ‫بدايته‬ ‫نقطة‬ ‫تنطبق‬ ‫الذى‬ ‫المتجه‬ ‫هو‬
N ‫ص‬ + M ‫س‬ = S ‫حيث‬ S ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫الجسيم‬ ‫موضع‬ ‫مع‬
‫متعامدين‬ ‫وحدة‬ ‫متجها‬ N ، M
‫البداية‬ ‫نقطة‬
‫المسار‬
‫النهاية‬ ‫نقطة‬
‫ف‬
C
‫ب‬
‫الجسم‬ ‫موضع‬
‫المشاهد‬ ‫موضع‬
‫س‬‫و‬
‫ص‬
‫ص‬
‫س‬
S
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةكرحلا‬ ‫ميقتسملا‬1
‫الدرس‬
43

49. :‫إزحة‬‫ل‬‫ا‬‫ومتجه‬‫المو�ضع‬‫متجه‬‫بين‬‫العالقة‬
Relation between position vector and displacement vector
‫هما‬ )2‫ص‬ ،2‫(س‬ ‫ب‬ ، )1‫ص‬ ،1‫(س‬C ،‫المشاهد‬ ‫موضع‬ ‫هى‬ )‫(و‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫للجسيم‬ ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫هو‬ ‫ب‬ C ‫فإن‬ ‫متتاليتين‬ ‫لحظتين‬ ‫عند‬ ‫الجسيم‬ ‫موضعا‬
. ‫ف‬ ‫ليكن‬‫و‬
‫عند‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬ ، 0S ‫بالرمز‬ ‫ن‬ ‫اللحظة‬ ‫عند‬ ‫الموضع‬ ‫لمتجه‬ ‫نا‬‫ز‬‫رم‬ ‫فإذا‬
:‫فإن‬ S ‫بالرمز‬ )‫هـ‬ + ‫(ن‬ ‫اللحظة‬0S - S = ‫ف‬
) N 1‫ص‬ + M 1‫(س‬ - ) N 2‫ص‬ + M 2‫س‬ ( = ‫ف‬
N )1‫ص‬ - 2‫(ص‬ + M )1‫-س‬ 2‫س‬ ( =
2)1‫ص‬ - 2‫(ص‬+ 2)1‫س‬ - 2‫(س‬ = || ‫ف‬ || ،
)‫كة‬‫الحر‬ ‫(اتجاه‬ ‫ف‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وحدة‬ ‫متجه‬ ‫ى‬ ، ‫ى‬ || ‫ف‬ || = ‫ف‬ `
‫مثال‬
‫األساسيين‬ ‫الوحدة‬ ‫متجهى‬ ‫بداللة‬ ‫الزمن‬ ‫فى‬ ‫كدالة‬ ‫يعطى‬ S ‫موضعه‬ ‫متجه‬ ‫كان‬ ‫بحيث‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
4 = ‫ن‬ ‫اللحظة‬ ‫حتى‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫أوجد‬ N ) 1- ‫ن‬ 4 ( + M )2 + ‫(3ن‬ = S :‫بالعالقة‬ N ، M
‫الحل‬
N 15 + M 14 = N )1- 4 * 4( + M ) 2+ 4 * 3 ( = )4( S ، N - M 2 = )0( S
)0( S - )4( S = ‫ف‬ `
N 16 + M 12 = N )1 + 15( + M )2 - 14( =
‫مسافة‬ ‫وحدة‬ 20 = ‫ف‬ , 256 + 144 = || ‫ف‬ || ،
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
.3 = ‫ن‬ ‫إلى‬ 1 = ‫ن‬ ‫من‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫أوجد‬ : ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫فى‬ ‌
Speed ‫ال�سرعة‬‫مقدار‬
‫الذى‬ ‫الشخص‬ ‫من‬ ‫أسرع‬ ‫يكون‬ ‫أطول‬ ‫مسافة‬ ‫يقطع‬ ‫الذي‬ ‫الشخص‬ ‫فإن‬ ‫محددة‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫فى‬ ‫شخصان‬ ‫تسابق‬ ‫إذا‬
.‫أقل‬ ‫مسافة‬ ‫يقطع‬
:‫هى‬ ‫السرعة‬ ‫قياس‬ ‫ووحدات‬ ‫محددة‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬ ‫المقطوعة‬ ‫بالمسافة‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬ ‫قياس‬ ‫ويمكن‬
‫ث‬ / ‫م‬ 5
18 = ‫م‬ 1000
‫06ث‬ * 60
=
‫1كم‬
‫س‬ 1
: ‫حيث‬ )‫ث‬ / ‫(م‬ ‫وتكتب‬ ‫ثانية‬ / ‫متر‬ ‫أو‬ )‫س‬ / ‫(كم‬ ‫وتكتب‬ ‫ساعة‬ / ‫متر‬ ‫كيلو‬
َّ‫أن‬ ْ‫أى‬‫س‬ / ‫كم‬ 18
5 = ‫ث‬ / ‫1م‬ ،‫ث‬ / ‫م‬ 5
18 = ‫س‬ / ‫1كم‬
‫المشاهد‬ ‫موضع‬
‫س‬‫و‬
‫ص‬
‫ص‬
‫س‬
S
0S
C
‫ب‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
44

50. ‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫س‬ / ‫كم‬ ‫إلى‬ ‫ث‬ / ‫51م‬ ‫حول‬ ‫ب‬ ‫ث‬ / ‫م‬ ‫إلى‬ ‫س‬ / ‫09كم‬ ‫حول‬ ‫أ‬ ‌
:‫اآلتي‬ ‫الجدول‬ ‫أكمل‬ ‌
5
18*
‫س‬ / ‫81كم‬‫س‬ / ‫45كم‬‫س‬ / ‫....كم‬‫س‬ / ‫09كم‬‫س‬ / ‫...كم‬‫س‬ / ‫081كم‬18
5 *
‫ث‬ / ‫م‬ 5‫ث‬ / ‫...م‬‫ث‬ / ‫02م‬‫ث‬ / ‫...م‬‫ث‬ / ‫03م‬‫ث‬ / ‫...م‬
Velocity vector ‫ال�سرعة‬‫متجه‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫اتجاه‬ ‫على‬ ‫اتجاهه‬ ‫وينطبق‬ ‫السرعة‬ ‫قيمة‬ ‫يساوى‬ ‫معياره‬ ‫الذى‬ ‫المتجه‬ ‫هو‬ ‫جسيم‬ ‫سرعة‬ ‫متجه‬
Uniform motion ‫ة‬‫المنتظم‬‫الحركة‬
‫حيث‬ ،‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسيم‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ،‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ ‫واتجاه‬ ‫معيار‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التى‬ ‫الحالة‬ ‫هى‬
.‫متساوية‬ ‫زمنية‬ ‫فترات‬ ‫خالل‬ ‫متساوية‬ ‫مسافات‬ ‫يقطع‬
:‫هى‬‫المنتظمة‬‫كة‬‫الحر‬‫فى‬ ‫ع‬ ، ‫ف‬ ‫للمتجهين‬‫الجبريين‬‫القياسيين‬‫بين‬‫العالقة‬‫وتكون‬‫ن‬ ‫ع‬ = ‫ف‬
Magnitude of the average velocity ‫ة‬‫المتو�سط‬‫ال�سرعة‬‫مقدار‬
‫يبلغ‬ ‫السيارة‬ ‫لمسار‬ ‫ا‬ً‫ق‬‫طب‬ ‫المدينتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫فإن‬ ‫الغردقة‬ ‫مدينة‬ ‫إلى‬ ‫القاهرة‬ ‫مدينة‬ ‫من‬ ‫برحلة‬ ‫سيارة‬ ‫قامت‬ ‫إذا‬
‫فإن‬ ‫ساعات‬ 6 ‫الرحلة‬ ‫لتلك‬ ‫الكلى‬ ‫الزمن‬ ‫كان‬‫و‬ ‫المدينتين‬ ‫بين‬ ‫متفاوتة‬ ‫بسرعات‬ ‫تتحرك‬ ‫السيارة‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬ ،‫015كم‬
:‫وتكون‬ ‫المتوسطة‬ ‫بالسرعة‬ ‫تسمى‬ ‫الحالة‬ ‫هذة‬ ‫فى‬ ‫السيارة‬ ‫سرعة‬
‫س‬ / ‫كم‬ 85 = 510
6 = ‫الكلية‬ ‫المسافة‬
‫الكلى‬ ‫الزمن‬
= ‫م‬ ‫ع‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
Vector of the average velocity ‫ة‬‫المتو�سط‬‫ال�سرعة‬‫متجه‬
‫على‬ ‫ب‬ ، C ‫الموضعين‬ ‫عند‬ 2‫ن‬ ، 1‫ن‬ ‫زمنيتين‬ ‫لحظتين‬ ‫عند‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‫إذا‬
‫م‬ ‫ع‬ ‫فإن‬ )1‫ن‬ - 2‫(ن‬ ‫الزمنية‬ ‫الفترة‬ ‫فى‬ ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫هو‬ ‫ف‬ ‫كان‬‫و‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬
:‫ويكون‬‫الزمنية‬‫الفترة‬‫تلك‬‫خالل‬‫الجسيم‬‫لهذا‬‫المتوسطة‬‫السرعة‬‫بمتجه‬‫يعرف‬
‫ف‬
1‫ن‬ - 2 ‫ن‬
= 0 S - S
1‫ن‬ - 2 ‫ن‬
= ‫م‬ ‫ع‬
‫مثال‬
‫فى‬ ، ‫دراجة‬ ‫راكب‬ ‫كة‬‫لحر‬ ‫والمسافة‬ ‫الزمن‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يبين‬ ‌
:‫أوجد‬ ‫و‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬
.‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬ ‫ب‬ .‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ ‫أ‬
‫الحل‬
.‫البياني‬‫الخط‬‫على‬‫نقطتين‬‫باستخدام‬‫المتوسطة‬‫السرعة‬‫متجه‬‫نوجد‬ ‫أ‬
‫و‬ 0S
S
C
‫ب‬
‫ن‬
‫ف‬
‫ف‬
4
2
8
6
12
10
16
14
20
18
1210 161442 201886 2422
‫بالثانية‬ )‫(ن‬ ‫الزمن‬
‫بالمتر‬)‫(ف‬‫المسافة‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةكرحلا‬ ‫ميقتسملا‬1
‫الدرس‬
45

51. 20 = 2‫21 ، ن‬ = 2S
10 = 1‫، ن‬ 6 = 1 S
:‫عن‬ ‫بالتعويض‬ 0 S - S
1‫ن‬ - 2 ‫ن‬
= ‫م‬ ‫ع‬
‫كة‬‫الحر‬ ‫إتجاه‬ ‫فى‬ ‫وحدة‬ ‫متجه‬ ‫ى‬ ‫حيث‬ ‫ى‬ 0٫6 = ‫ى‬ 6
10 = ‫ى‬ 6 - 12
10 - 20 = ‫م‬ ‫ع‬
.‫ث‬ / ‫م‬ 0٫6 = ‫م‬ ‫ع‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫لمتجه‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫تساوى‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬ ‫ب‬
:‫ناقد‬ ‫تفكير‬
‫؟‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫لمتجه‬ ‫الموجبة‬ ‫اإلشارة‬ ‫تعنى‬ ‫ماذا‬ -1
.‫إجابتك‬ ‫ر‬ ِّ‫فس‬ ‫؟‬ ‫المتوسطة‬ ‫للسرعة‬ ‫اتجاه‬ ‫يوجد‬ ‫هل‬ -2
‫تحل‬ ْ‫ن‬‫أ‬ ‫حاول‬
.‫قط‬ ‫من‬ ‫يهرب‬ ‫لفأر‬ )‫الزمن‬ - ‫(المسافة‬ ‫لمنحنى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫بيان‬ ‫ا‬ً‫م‬‫رس‬ ‫التالى‬ ‫الشكل‬ ‫يبين‬ ‌
.‫سرعته‬ ‫بضعف‬ ‫القط‬ ‫من‬ ‫الفأر‬ ‫هرب‬ ‫إذا‬ ‫الشكل‬ ‫هذا‬ ‫رسم‬ ‫أعد‬
Instantaneous Velocity ‫ة‬‫اللحظي‬‫ال�سرعة‬
‫منحنى‬ ‫خالل‬ ‫من‬ )‫(متغيرة‬ ‫ثابتة‬ ‫ليست‬ ‫بسرعة‬ ‫جسيم‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫تأملنا‬ ‫إذا‬
‫متساوية‬ ‫فترات‬ ‫على‬ ‫الجسيم‬ ‫لهذا‬ ‫مواقع‬ ‫عدة‬ ‫تسجيل‬ ‫وتم‬ ‫الزمن‬ - ‫المسافة‬
‫وذلك‬ )C( ‫لتكن‬‫و‬ ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫اللحظية‬ ‫السرعة‬ ‫تعيين‬ ‫يمكن‬ ‫فإنه‬ ‫الزمن‬ ‫من‬
‫ميل‬ ‫ويكون‬ ‫اللحظة‬ ‫تلك‬ ‫فى‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫للمنحنى‬ ‫مماس‬ ‫رسم‬ ‫طريق‬ ‫عن‬
.‫اللحظية‬ ‫السرعة‬ ‫هو‬ ‫المماس‬
)‫الصفر‬ ‫من‬ K9 ‫تقترب‬ ‫(عندما‬
‫المسافة‬ ‫فى‬ ‫التغير‬
‫الزمن‬ ‫فى‬ ‫التغير‬
= ) ‫اللحظية‬ ‫(السرعة‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬
‫يوجد‬ ‫أنه‬ ‫إال‬ ، ‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫المسافة‬ ‫تغير‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫المتوسطة‬ ‫والسرعة‬ ‫اللحظية‬ ‫السرعة‬ ‫أن‬ ‫رغم‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬
.‫االختالف‬ ‫هذا‬ ‫وضح‬ - ‫بينهما‬ ‫اختالف‬
‫مثال‬
‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫وبعد‬ ،‫الصفر‬ ‫إلى‬ ‫يشير‬ ‫السيارات‬ ‫إحدى‬ ‫فى‬ ‫المسافات‬ ‫عداد‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
‫كت‬‫تحر‬ ‫السيارة‬ ‫بأن‬ ً‫ا‬‫علم‬ .‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫فاحسب‬ .‫كم‬ 18 ‫إلى‬ ‫يشير‬ ‫أصبح‬
.‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫في‬
‫الحل‬
‫الكلية‬ ‫المسافة‬
‫الكلى‬ ‫الزمن‬
= ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫س‬ / ‫27كم‬ = 18
0٫25 = ‫م‬ ‫ع‬ ‫فإن‬ ‫لذلك‬ ‫ف‬
‫ن‬
= ‫م‬ ‫ع‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
1
2
3
4
3 54 61 2
‫بالثانية‬ )‫(ن‬ ‫الزمن‬
‫بالمتر‬)‫(ف‬‫المسافة‬
‫بالثانية‬ )‫(ن‬ ‫الزمن‬
‫بالمتر‬)‫(ف‬‫المسافة‬
C
‫أن‬�‫تذكر‬
‫قيمة‬‫يعطى‬‫للسيارة‬‫السرعة‬‫عداد‬
‫س‬/‫بالـكم‬‫اللحظية‬‫السرعة‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
46

52. ‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫نصف‬‫خالل‬‫يقطعها‬‫أن‬‫للفهد‬‫يمكن‬‫التى‬‫المسافة‬‫احسب‬.‫ث‬/‫52م‬‫قيمتها‬‫ثابتة‬‫بسرعة‬‫يعدو‬‫أن‬‫الفهد‬‫يستطيع‬ ‌
.‫دقيقة‬
‫املتوسطة‬ ‫الرسعة‬ ‫قيمة‬ ‫حساب‬
‫مثال‬
‫االتجاه‬‫فى‬‫02كم‬‫فقطع‬‫الطريق‬‫نفس‬‫على‬‫عاد‬‫ثم‬،‫س‬/‫81كم‬‫بسرعة‬‫مستقيم‬‫طريق‬‫على‬‫03كم‬‫دراجة‬‫راكب‬‫قطع‬ ‌
.‫كلها‬‫الرحلة‬‫خالل‬‫المتوسطة‬‫سرعته‬‫قيمة‬‫أوجد‬‫س‬/‫51كم‬‫بسرعة‬‫المضاد‬
‫الحل‬
‫فى‬ ‫ب‬ ‫الموضع‬ ‫إلى‬ C ‫الموضع‬ ‫من‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫الدراجة‬ ‫راكب‬ ‫بدأ‬ ‫إذا‬
‫وبفرض‬ ‫الثانية‬ ‫المرحلة‬ ‫فى‬ ‫جـ‬ ‫إلى‬ ‫ب‬ ‫من‬ ‫عاد‬ ‫ثم‬ ،‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫المرحلة‬
. ‫ب‬ C ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫الوحدة‬ ‫متجه‬ ‫هو‬ ‫ى‬ َّ‫أن‬
،‫ساعة‬ 5
3 = 30
18 = 1‫ن‬ ‫أى‬ ‫ف‬
‫ن‬
= ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫المرحلة‬ ‫زمن‬
.‫ساعة‬ 4
3 = 20
15 = 2‫ن‬ ‫الثانية‬ ‫المرحلة‬ ‫زمن‬
‫ساعات‬ 3 = 9
3 = 4
3 + 5
3 = ‫للرحلة‬ ‫الكلى‬ ‫الزمن‬
‫ى‬ 10 = ‫ى‬ 20 - ‫ى‬ 30 = ‫ف‬ ‫اإلزاحة‬
‫ى‬ 31
3 =
‫ى‬ 10
3
= ‫م‬ ‫ع‬ ` ‫ف‬
‫ن‬
= ‫م‬ ‫ع‬ a
.‫س‬ / ‫كم‬ 31
3 ‫يساوى‬ ‫ومعياره‬ ‫ب‬ C ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫أى‬ ‫ى‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫االتجاه‬‫نفس‬‫فى‬‫7كم‬‫مسافة‬‫قطع‬‫ثم‬‫س‬/‫51كم‬‫بسرعة‬‫مستقيم‬‫طريق‬‫على‬‫كم‬25‫مسافة‬‫دراجة‬‫راكب‬‫قطع‬ ‌
.‫كلها‬ ‫الرحلة‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ ‫أوجد‬ .‫س‬ / ‫7كم‬ ‫بسرعة‬
‫مثال‬
‫متجه‬ ‫أوجد‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ )10 ، 9( ‫ب‬ ، )2 ، 5( C ‫الموضعين‬ ‫عند‬ ‫ثوان‬ 7 ،3 ‫زمنيتين‬ ‫لحظتين‬ ‫عند‬ ‫جسيم‬ ‫تواجد‬ ‌
.‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫هذه‬ ‫واتجاه‬ ‫معيار‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ،‫الزمنية‬ ‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫للجسيم‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫الحل‬
:‫يمثل‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬
، ) 1S ( C ‫و‬ ‫االبتدائى‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬
، ) 2S ( ‫ب‬ ‫و‬ ‫النهائى‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬
) ‫ف‬ ( ‫ب‬ C ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬
‫كم‬ 30
‫كم‬ 20
C ‫ب‬
‫جـ‬
‫ى‬
2
4
6
8
10
6 1082 4
‫س‬
‫ص‬
‫و‬
C
‫ب‬
1S
2S ‫ف‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةكرحلا‬ ‫ميقتسملا‬1
‫الدرس‬
47

53. 1S - 2S = ‫ف‬ :‫حيث‬
)2 ، 5( - )10 ، 9( = ‫ف‬
)8 ، 4( = ‫ف‬
‫ف‬
1‫ن‬ - 2‫ن‬
= ‫م‬ ‫ع‬ a
) N 8 + M 4( 1
)3 - 7( = ‫م‬ ‫ع‬ `
)‫المتوسطة‬ ‫للسرعة‬ ‫المتجهة‬ ‫(الصورة‬ N 2 + M = ‫م‬ ‫ع‬
‫سرعة‬ ‫وحدة‬ 5 = 2)2( + 2)1( = || ‫م‬ ‫ع‬ ||
. c63
/
26
//
6 ‫أي‬ 2 1 - ‫طا‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫مع‬ ‫قطبية‬ ‫زاوية‬ ‫وتصنع‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫متجه‬ ‫أوجد‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ )6 ،4( ‫ب‬ ، )2 ،7(C‫الموضعين‬ ‫عند‬ ‫ثوان‬ 8 ،3 ‫زمنيتين‬ ‫لحظتين‬ ‫عند‬ ‫جسيم‬ ‫تواجد‬ ‌
.‫السرعة‬ ‫هذه‬ ‫واتجاه‬ ‫معيار‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ،‫الزمنية‬ ‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫للجسيم‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
Relative velocity ‫ة‬‫الن�سبي‬‫ال�سرعة‬
‫تالحظ؟‬ ‫ماذا‬
½½.‫الطريق‬ ‫جانب‬ ‫على‬ ‫واألشجار‬ ‫اإلنارة‬ ‫أعمدة‬ ‫النافذة‬ ‫من‬ ‫تشاهد‬ ‫وأنت‬ ‫يتحرك‬ ‫قطار‬ ‫فى‬ ‫جلست‬ ‫إذا‬
½½.‫تك‬‫ر‬‫سيا‬‫اتجاه‬‫نفس‬‫فى‬‫تتحرك‬‫التى‬‫األخرى‬‫السيارات‬‫تشاهد‬‫وأنت‬‫ما‬‫اتجاه‬‫فى‬‫بسرعة‬‫تتحرك‬‫سيارة‬‫ركبت‬‫إذا‬
½½‫سيارتك‬ ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫تتحرك‬ ‫األخرى‬ ‫السيارات‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫المشاهد‬‫فإن‬‫الحاالت‬‫جميع‬‫وفى‬،‫آخر‬‫موضع‬‫فى‬‫آلخر‬‫مشاهد‬‫من‬‫يختلف‬‫نسبى‬‫مفهوم‬‫كة‬‫الحر‬‫أن‬‫سبق‬‫مما‬‫نالحظ‬
‫ليست‬‫بسرعات‬‫تتحرك‬‫األجسام‬‫هذه‬‫فيرى‬‫ذلك‬‫غير‬‫كان‬‫لو‬‫و‬،‫حتى‬‫ا‬ً‫ن‬‫ساك‬‫باعتباره‬‫األخرى‬‫األجسام‬‫كات‬‫حر‬‫يرصد‬
.‫نسبية‬ ‫سرعات‬ ‫لكنها‬‫و‬ ،‫لها‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعات‬ ‫هى‬
:‫الن�سبية‬‫ال�سرعة‬‫مفهوم‬
‫نا‬‫ر‬‫اعتب‬ ‫لو‬ ‫بها‬ ‫يتحرك‬ ‫أن‬ )C( ‫للجسيم‬ ‫يبدو‬ ‫التى‬ ‫السرعة‬ ‫هى‬ )‫(ب‬ ‫آخر‬ ‫لجسيم‬ ‫بالنسبة‬ )C( ‫لجسيم‬ ‫النسبية‬ ‫السرعة‬
.‫سكون‬ ‫حالة‬ ‫فى‬ )‫(ب‬ ‫الجسيم‬
:‫الن�سبية‬‫ال�سرعة‬‫متجه‬
‫بالنسبة‬ ‫ب‬ ، C ‫لجسمين‬ ‫سرعة‬ ‫متجها‬ ‫هما‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ، C
‫ع‬ ‫أن‬ ‫باعتبار‬
.C ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫ب‬ ‫سرعة‬ ‫متجه‬ ‫هما‬ C‫ب‬ ‫ع‬‫وأن‬ )‫(و‬ ‫للمشاهد‬
، C‫للجسمين‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ، C
‫ع‬ ‫المتجهين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫إلى‬ ) C
‫ع‬ -( ‫بإضافة‬
‫هى‬ C ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫ب‬ ‫سرعة‬ ‫متجه‬ ‫ويصبح‬ ‫ا‬ً‫ن‬‫ساك‬ C ‫يصبح‬ ‫حيث‬ ‫ب‬
:َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ) C
‫ع‬ - ‫ب‬ ‫ع‬(C
‫ع‬ - ‫ب‬ ‫ع‬ = C ‫ب‬ ‫ع‬
‫المشاهد‬
‫ب‬ ‫ع‬
C
‫ع‬ -
C
‫ع‬ -
C
‫ع‬
C‫ب‬ ‫ع‬
‫و‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
48

54. ‫فاكتب‬ ‫ب‬ ‫سرعة‬ ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ C ‫سرعة‬ ‫متجه‬ ‫ب‬C
‫ع‬ ، C ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫ب‬ ‫سرعة‬ ‫متجه‬ ‫هو‬ C‫ب‬ ‫ع‬‫كان‬ ‫إذا‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬
‫ب‬C
‫ع‬ ، C‫ب‬ ‫ع‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
‫مثال‬
‫بسرعة‬ ‫بخارية‬ ‫دراجة‬ ‫الطريق‬ ‫نفس‬ ‫على‬ ‫كت‬‫تحر‬ ‫فإذا‬ .‫08كم/س‬ ‫بسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫سيارة‬ ‫تتحرك‬ ‌
:‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫للسيارة‬ ‫بالنسبة‬ ‫البخارية‬ ‫للدراجة‬ ‫النسبية‬ ‫السرعة‬ ‫أوجد‬ .‫س‬ / ‫05كم‬
.‫السيارة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫تتحرك‬ ‫الدراجة‬ ‫ب‬ .‫السيارة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫تتحرك‬ ‫الدراجة‬ ‫أ‬
‫الحل‬
‫ى‬ ‫أن‬‫وبفرض‬‫ب‬‫بالرمز‬‫للدراجة‬‫و‬C ‫بالرمز‬‫للسيارة‬‫نرمز‬
.‫السيارة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫وحدة‬ ‫متجه‬
‫السيارة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫الدراجة‬ ‫تتحرك‬ ‫عندما‬ ‫أ‬
:‫تكون‬
‫؟‬ = C‫ب‬ ‫ع‬‫للسيارة‬ ‫بالنسبة‬ ‫الدراجة‬ ‫سرعة‬ ، ‫ى‬ 80 = C
‫ع‬ ، ‫ى‬ 50 = ‫ب‬ ‫ع‬
‫ى‬ 30 - = ‫ى‬ 80 - ‫ى‬ 50 = C‫ب‬ ‫ع‬` C
‫ع‬ - ‫ب‬ ‫ع‬ = C‫ب‬ ‫ع‬ a
.‫س‬ / ‫03كم‬ ‫مقدارها‬ ‫بسرعة‬ ‫السيارة‬ ‫عن‬ ‫مبتعدة‬ ‫كة‬‫متحر‬ ‫كأنها‬‫و‬ ‫السيارة‬ ‫لراكب‬ ‫تبدو‬ ‫الدراجة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
:‫السيارة‬ ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫فى‬ ‫الدراجة‬ ‫تتحرك‬ ‫عندما‬ ‫ب‬
، ‫ى‬ 80 = C
‫ع‬ ، ‫ى‬ 50 = ‫ب‬ ‫ع‬
C
‫ع‬ - ‫ب‬ ‫ع‬ = C‫ب‬ ‫ع‬ a
‫ى‬ 130 - = ‫ى‬ 80 - ‫ى‬ 50 - = C‫ب‬ ‫ع‬`
.‫س‬ /‫كم‬ 130 ‫بسرعة‬ ‫نحوه‬ ‫كة‬‫متحر‬ ‫كأنها‬‫و‬ ‫السيارة‬ ‫لراكب‬ ‫تبدو‬ ‫الدراجة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫بسرعة‬ ‫بخارية‬ ‫دراجة‬ ‫نفسه‬ ‫الطريق‬ ‫على‬ ‫كت‬‫تحر‬ ‫فإذا‬ .‫س‬ /‫كم‬ 72 ‫بسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫سيارة‬ ‫تتحرك‬ ‌
:‫عندما‬ ‫للسيارة‬ ‫بالنسبة‬ ‫البخارية‬ ‫للدراجة‬ ‫النسبية‬ ‫السرعه‬ ‫فأوجد‬ .‫س‬ / ‫كم‬ 28
.‫السيارة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫تتحرك‬ ‫الدراجة‬ ‫أ‬
.‫السيارة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫فى‬ ‫تتحرك‬ ‫الدراجة‬ ‫ب‬
‫السيارة‬
C
‫س‬ / ‫كم‬ 80
‫الدراجة‬
‫س‬ / ‫كم‬ 50
‫ب‬
‫ى‬‫ى‬
‫السيارة‬ ‫الدراجة‬
C
‫س‬ / ‫كم‬ 80 ‫س‬ / ‫كم‬ 50
‫ب‬
‫ى‬‫ى‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةكرحلا‬ ‫ميقتسملا‬1
‫الدرس‬
49

55. ‫مثال‬
‫فى‬ ‫حراسة‬ ‫طائرة‬ ‫فوقها‬ ‫مرت‬ ‫منه‬ ‫001كم‬ ‫مسافة‬ ‫على‬ ‫صارت‬ ‫لما‬‫و‬ ‫ميناء‬ ‫نحو‬ ‫مستقيم‬ ‫مسار‬ ‫فى‬ ‫باخرة‬ ‫تتحرك‬ ‌
‫احسب‬ .‫س‬ / ‫كم‬ 300 ‫بسرعة‬ ‫كة‬‫متحر‬ ‫لها‬ ‫فبدت‬ ‫الباخرة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫ورصدت‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 250 ‫بسرعة‬ ‫المضاد‬ ‫االتجاه‬
.‫الميناء‬ ‫إلى‬ ‫الباخرة‬ ‫وصول‬ ‫حتى‬ ‫الرصد‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫يمضى‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬
‫الحل‬
‫أن‬ ‫نفرض‬‫و‬ C ‫بالرمز‬ ‫للطائرة‬‫و‬ ‫ب‬ ‫بالرمز‬ ‫للباخرة‬ ‫نرمز‬
.‫الطائرة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫وحدة‬ ‫متجه‬ ‫ى‬
‫مضاد‬ ‫اتجاه‬ ‫(فى‬ ‫ب‬ ‫ع‬‫للباخرة‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعة‬ ‫وأن‬
) ‫الطائرة‬ ‫كة‬‫لحر‬
‫ى‬ 300 - = C‫ب‬ ‫ع‬ ، ‫ى‬ 250 = C
‫ع‬ `
‫ى‬ 250 - ‫ب‬ ‫ع‬ = ‫ى‬ 300 - ` C
‫ع‬ - ‫ب‬ ‫ع‬ = C‫ب‬ ‫ع‬ a
‫ى‬ 50 - = ‫ب‬ ‫ع‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫الطائرة‬ ‫كة‬‫لحر‬ ‫المضاد‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫ويعمل‬ ‫س‬ / ‫05كم‬ ‫مقدارها‬ ‫للباخرة‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
‫ساعة‬ 2 = ‫ن‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ‫ن‬ 50 = 100 ` ‫ن‬ ‫ع‬ = ‫ف‬ a
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫كة‬‫حر‬ ‫السيارة‬ ‫هذه‬ ‫راقبت‬ .‫س‬ / ‫04كم‬ ‫بسرعة‬ ‫الصحراوى‬ ‫الطريق‬ ‫على‬ ‫السرعة‬ ‫لمراقبة‬ ‫رادار‬ ‫سيارة‬ ‫تتحرك‬ ‌
‫لسيارة‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعة‬ ‫هى‬ ‫فما‬ ‫س‬ / ‫021كم‬ ‫بسرعة‬ ‫تتحرك‬ ‫كأنها‬‫و‬ ‫فبدت‬ ‫المضاد‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫قادمة‬ ‫نقل‬ ‫سيارة‬
‫؟‬‫النقل‬
‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫أتى‬�‫ماي‬‫أكمل‬�
‫ث‬ / ‫م‬ ...................... = ‫س‬ / ‫كم‬ 90 ‌ ‫س‬ / ‫كم‬ ...................... = ‫ث‬ / ‫02م‬ ‌
.‫كم‬ ...................... = ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫فإن‬ ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫لمدة‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 72 ‫مقادرها‬ ‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫سيارة‬ ‫تتحرك‬ ‌
...................... = C‫ب‬‫ع‬ ‫فإن‬ M 22 = ‫ب‬ ‫ع‬ ، M 15 = C
‫ع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
...................... = ‫ب‬‫ع‬ ‫فإن‬ ‫ى‬ 50 = C
‫ع‬ ، ‫ى‬ 65 = ‫ب‬C
‫ع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
‫ب‬ ‫آخر‬ ‫راكب‬ ‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫ويتحرك‬ ‫س‬ / ‫51كم‬ ‫بسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ C ‫دراجة‬ ‫راكب‬ ‫يتحرك‬ ‌
.‫س‬ / ‫كم‬ ...................... ‫تساوى‬ C ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫ب‬ ‫سرعة‬ ‫فإن‬ ‫س‬ / ‫21كم‬ ‫بسرعة‬
‫الطائرة‬
‫الباخرة‬
C
‫س‬ / ‫كم‬ 250
‫ب‬
‫ى‬‫ى‬
‫ب‬ ‫ع‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
50

56. :‫المعطاة‬‫إجابات‬‫ل‬‫ا‬‫بين‬‫من‬‫ال�صحيحة‬‫االجابة‬‫اختر‬
:‫تساوى‬ ‫كم‬ ‫بـ‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫فإن‬ ‫دقيقة‬ 20 ‫لمدة‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 75 ‫مقدارها‬ ‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫سيارة‬ ‫كت‬‫تحر‬ ‫إذا‬ ‌
30 ‫د‬ 25 ‍‫ج‬ 20 ‫ب‬ 15 ‫أ‬
:‫يساوى‬ ‫081كم‬ ‫مسافة‬ ‫قطع‬ ‫فى‬ ‫ث‬ / ‫متر‬ 20 ‫بسرعة‬ ‫تتحرك‬ ‫سيارة‬ ‫تستغرقه‬ ‫الذي‬ ‫بالساعة‬ ‫الزمن‬ ‌
3 ‫د‬ 21
2 ‍‫ج‬ 2 - ‫ب‬ 1 1
2 ‫أ‬
:‫تساوى‬ ‫ب‬‫ع‬ ‫فإن‬ M 35 = C
‫ع‬ ، M 15 = ‫ب‬C
‫ع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
M 50 ‫د‬ M 20 ‍‫ج‬ M 20 - ‫ب‬ M 50 - ‫أ‬
:‫بالعالقة‬ ‫ن‬ ‫الزمن‬ ‫فى‬ ‫كدالة‬ ‫يعطى‬ ‫و‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫يتحرك‬ ‫جسيم‬ ‫موضع‬ ‫متجه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
:‫يساوى‬ ‫ثانية‬ 2 ‫بعد‬ ‫ف‬ ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫معيار‬ ‫فإن‬ ‫ى‬ )3 + 2‫ن‬ 2( = S
11 ‫د‬ 8 ‍‫ج‬ 6 ‫ب‬ 4 ‫أ‬
‫بالكامل‬ ‫عبوره‬ ‫فاستغرق‬ ‫متر‬ ‫ف‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫ا‬ً‫مستقيم‬ ‫ا‬ً‫ق‬‫نف‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 150 ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫قطار‬ ‫دخل‬ 1‌
‫منتظمة‬‫القطار‬‫سرعة‬‫كانت‬‫إذا‬‫النفق‬‫طول‬‫أوجد‬‫ثانية‬15‫قدره‬‫زمن‬‫فى‬‫النفق‬‫من‬
.‫س‬ / ‫كم‬ 90 ‫وتساوى‬
‫المعاكس‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫01كم‬ ‫فقطع‬ ‫عاد‬ ‫ثم‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 15 ‫بسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫03كم‬ ‫دراجة‬ ‫راكب‬ ‫قطع‬ 1‌
.‫كلها‬ ‫الرحلة‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫سرعته‬ ‫متجه‬ ‫أوجد‬ ‫س‬ / ‫01كم‬ ‫بسرعة‬
‫بسرعة‬ ‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫المسافة‬ ‫نفس‬ ‫وقطع‬ ، ‫س‬ / ‫9كم‬ ‫بسرعة‬ ‫متر‬ 800 ‫فقطع‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫رجل‬ ‫سار‬ 1‌
.‫كلها‬ ‫الرحلة‬ ‫خالل‬ ‫للرجل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫س‬ / ‫كم‬ 4٫5
‫ب‬ ‫المدينة‬ ‫إلى‬ ‫متجهه‬ C ‫المدينة‬ ‫من‬ ‫سيارة‬ ‫كت‬‫تحر‬ ،‫021كم‬ ‫بينهما‬ ‫المسافة‬ ‫الساحلى‬ ‫الطريق‬ ‫على‬ ‫،ب‬ C ‫مدينتان‬ 1‌
‫س‬/‫كم‬72‫بسرعة‬C‫المدينة‬‫إلى‬‫متجهة‬‫ب‬‫المدينة‬‫من‬‫أخرى‬‫سيارة‬‫قامت‬‫اللحظة‬‫نفس‬‫وفى‬.‫س‬/‫88كم‬‫بسرعة‬
.‫السيارتان‬ ‫تتقابل‬ ‫وأين‬ ‫متى‬ ‫أوجد‬
.‫س‬/‫كم‬ 90‫بسرعة‬‫الطريق‬‫نفس‬‫على‬‫ب‬‫سيارة‬‫وتتحرك‬‫س‬/‫كم‬ 60‫بسرعة‬‫مستقيم‬‫طريق‬‫على‬C ‫سيارة‬‫تتحرك‬ 1‌
:‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ب‬ ‫للسيارة‬ ‫بالنسبة‬ C ‫السيارة‬ ‫سرعة‬ ‫أوجد‬
.‫واحد‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كان‬‫تتحر‬ ‫السيارتان‬ ‫ب‬ .‫متضادين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫كان‬‫تتحر‬ ‫السيارتان‬ ‫أ‬
‫أمامها‬ ‫تتحرك‬ ‫لشاحنة‬ ‫النسبية‬ ‫السرعة‬ ‫بقياس‬ ‫أفقى‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫كة‬‫متحر‬ ‫شرطة‬ ‫سيارة‬ ‫قامت‬ 1‌
‫فبدت‬ ‫القياس‬ ‫وأعادت‬ ‫الضعف‬ ‫إلى‬ ‫الشرطة‬ ‫سيارة‬ ‫سرعة‬ ‫زيدت‬ ‫لما‬‫و‬ ‫س‬ / ‫06كم‬ ‫فوجدتها‬ ‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫وفى‬
.‫ساكنة‬ ‫كأنها‬‫و‬ ‫الشاحنة‬
.‫والشاحنة‬ ‫الشرطة‬ ‫سيارة‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعة‬ ‫أوجد‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةكرحلا‬ ‫ميقتسملا‬1
‫الدرس‬
51

57. )1( ‫نشاط‬
‫والزمن‬ ‫متر‬ ‫بالكيلو‬ ‫المسافة‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يمثل‬ 1‌
‫عما‬ ‫أجب‬ .‫مدينتين‬ ‫بين‬ ‫تتحرك‬ ‫بخارية‬ ‫دراجه‬ ‫لمسار‬ ‫بالساعة‬
: ‫يلى‬
‫؟‬‫الذهاب‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫للدراجة‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬ ‫ما‬ ‫أ‬
‫؟‬‫العودة‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫للدراجة‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬ ‫ما‬ ‫ب‬
.‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫األفقية‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫داللة‬ ‫ما‬ ‍‫ج‬
‫أصبحت‬ ‫واحدة‬ ‫دقيقة‬ ‫بعد‬ ‫أنها‬ ‫فوجد‬ ‫بخارية‬ ‫دراجة‬ ‫كت‬‫تحر‬ 1‌
‫بعد‬ ‫على‬ ‫أصبحت‬ ‫دقائق‬ 3 ‫وبعد‬ ،C ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫كم‬ 2 ‫بعد‬ ‫على‬
:‫الرسم‬ ‫ومن‬ ‫الدراجة‬ ‫لهذه‬ ‫والزمن‬ ‫المسافة‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫يمثل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫بيان‬ ً‫شكلا‬ ‫ارسم‬ .‫النقطة‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫5كم‬
.‫الدراجة‬ ‫سرعة‬ ‫أوجد‬ ‫أ‬
.)‫(ف‬ ‫والمسافة‬ )‫(ن‬ ‫الزمن‬ ‫بين‬ ‫الرياضية‬ ‫العالقة‬ ‫اكتب‬ ‫ب‬
)2( ‫نشاط‬
‫فى‬ ‫وعمرو‬ ‫أحمد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫مسار‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يوضح‬ 1‌
‫فى‬ ‫واآلخر‬ ،‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القرية‬ ‫فى‬ ‫أحدهما‬ ،‫قريتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫قطع‬
.‫الثانية‬ ‫القرية‬
.‫إجابتك‬‫ر‬ ِّ‫فس‬‫؟‬‫واحد‬‫توقيت‬‫فى‬‫كة‬‫الحر‬‫وعمرو‬‫أحمد‬‫بدء‬‫ هل‬ ‫أ‬
‫؟‬‫وعمرو‬ ‫أحمد‬ ‫التقى‬ ‫دقيقة‬ ‫كم‬ ‫بعد‬ ‫ب‬
‫؟‬‫المسافة‬ ‫قطع‬ ‫فى‬ ‫أحمد‬ ‫استغرفه‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫ما‬ ‍‫ج‬
.‫عمر‬ ‫سرعة‬ ‫أوجد‬ ‫د‬
.‫األخرى‬ ‫القرية‬ ‫إلى‬ ‫يصل‬ ‫فمتى‬ ‫ا‬ً‫صباح‬ ‫03ق:9س‬ ‫الساعة‬ ‫التحرك‬ ‫عمرو‬ ‫بدأ‬ ‫ إذا‬‍‫ه‬
S :‫بالعالقة‬ ‫ن‬ ‫الزمن‬ ‫فى‬ ‫كدالة‬ ‫يعطى‬ S ‫و‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫يتحرك‬ ‫جسيم‬ ‫موضع‬ ‫متجه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ 2‌
.‫ثوان‬ 4 ‫بعد‬ ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫أوجد‬ .‫ثابت‬ ‫وحدة‬ ‫متجه‬ M ‫حيث‬ M )2 - ‫3ن‬ + 2‫(ن‬ =
.‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ )9 ، 12( ‫ب‬ ، )3 ،4(C ‫الموضعين‬ ‫عند‬ ‫ثوان‬ 8 ،3 ‫مقدارهما‬ ‫زمنيتين‬ ‫لحظتين‬ ‫عند‬ ‫جسيم‬ ‫تواجد‬ 2‌
.‫المتوسطة‬‫السرعة‬‫هذه‬‫واتجاه‬‫معيار‬‫أوجد‬‫ثم‬،‫الزمنية‬‫الفترة‬‫هذه‬‫خالل‬‫للجسيم‬‫المتوسطة‬‫السرعة‬‫متجه‬‫أوجد‬
‫قطار‬‫صفير‬‫صوت‬‫سمع‬C‫جهة‬‫من‬‫الكوبرى‬‫طول‬ 3
8 ‫قطع‬‫وعندما‬،‫ب‬C‫كوبرى‬‫على‬‫رجل‬‫يتحرك‬:‫إبداعى‬ ‫تفكير‬ 2‌
‫سيصدمه‬ ‫القطار‬ ‫فإن‬ ‫القطار‬ ‫نحو‬ ‫الرجل‬ ‫تحرك‬ ‫فإذا‬C ‫نقطة‬ ‫نحو‬ ‫س‬ ‫06كم‬ ‫مقدارها‬ ‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫خلفه‬ ‫يتحرك‬
.‫ب‬‫نقطة‬‫عند‬‫مباشرة‬‫القطار‬‫يصدمه‬‫أن‬‫قبل‬‫الرجل‬‫بها‬‫يتحرك‬‫منتظمة‬‫سرعة‬‫أقل‬‫أوجد‬‫مباشرة‬C ‫نقطة‬‫عند‬
10
60
50
20
70
30
80
40
90
3 5 74 6 81 2
‫بالساعة‬ ‫الزمن‬
‫صفر‬
‫بالكيلومتر‬‫المسافة‬
1
6
5
2
7
3
8
4
9
30 50 7040 60 8010 20
‫بالدقيقة‬ ‫الزمن‬
‫صفر‬
‫بالكيلومتر‬‫المسافة‬
‫د‬‫م‬‫ح‬‫أ‬‫و‬‫ر‬‫م‬‫ع‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
52

58. :‫تمهيد‬
‫أن‬ ‫المالحظ‬ ‫ومن‬ ،‫ثابتة‬ ‫وبسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫المنتظمة‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫درست‬ ‫أن‬ ‫سبق‬
‫كل‬ ‫أن‬ ‫المالحظ‬ ‫فمن‬ ،‫طويل‬ ‫لوقت‬ ‫الطريقة‬ ‫بهذه‬ ‫يتحرك‬ ‫األجسام‬ ‫من‬ ً‫قليلا‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬
،‫الفرامل‬ ‫ودواسة‬ ‫الوقود‬ ‫دواسة‬ ‫وهى‬ ‫سرعتها‬ ‫فى‬ ‫تتحكم‬ ‫أدوات‬ ‫ثالث‬ ‫بها‬ ‫يوجد‬ ‫سيارة‬
‫سرعة‬ ‫فى‬ ‫التغير‬ ‫نالحظ‬ ‫كذلك‬ ،‫كتها‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تتحكم‬ ‫التى‬ ‫القيادة‬ ‫عجلة‬ ‫ثم‬
.‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫قذفها‬ ‫أثناء‬ ‫وفى‬ ‫سقوطها‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫األجسام‬
‫قيمة‬ ‫فى‬ ‫تغيير‬ ‫فيها‬ ‫يحدث‬ ‫التى‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫هى‬ :‫المتغيرة‬ ‫المستقيمة‬ ‫الحركة‬
.2‫ث‬ / ‫م‬ ‫هى‬ ‫قياسه‬ ‫ووحدة‬ )‫(العجلة‬ ‫بالتسارع‬ ‫يسمى‬ ‫الزمن‬ ‫بمرور‬ ‫السرعة‬
‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ - ‫النهائية‬ ‫السرعة‬
‫الزمن‬
= )‫(جـ‬ ‫التسارع‬
2‫س‬ / ‫ كم‬‫أو‬ 2‫ث‬ / ‫ سم‬‫أو‬ 2‫ث‬ / ‫م‬ = ‫قياسه‬ ‫ووحدات‬
‫تعريف‬
1
:‫أن‬ ‫يالحظ‬ ‫كما‬
.‫اللحظي‬ ‫التسارع‬ ‫فيسمى‬ ‫محددة‬ ‫زمنية‬ ‫لحظة‬ ‫عند‬ ‫السرعة‬ ‫فى‬ ‫التغير‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
Velocity-Time curve )‫الزمن‬-‫(ال�سرعة‬‫منحنى‬
‫إن‬ :‫نقول‬ ‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫السرعة‬ ‫قيمة‬ ‫ازدادت‬ ‫فإذا‬ ‫السرعة‬ ‫بتغير‬ ‫التسارع‬ ‫مفهوم‬ ‫تبط‬‫ر‬‫ي‬
‫كما‬ )‫موجبة‬ ‫السرعة‬ ‫(باعتبار‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫موج‬ )‫(العجلة‬ ‫التسارع‬ ‫ويكون‬ ،‫متسارعة‬ ‫كة‬‫الحر‬
.)1( ‫شكل‬ ‫فى‬
‫التسارع‬ ‫ويكون‬ ،‫تقصيرية‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫إن‬ :‫فنقول‬ ‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫السرعة‬ ‫قيمة‬ ‫تناقصت‬ ‫وإذا‬
.)2( ‫شكل‬ ‫فى‬ ‫كما‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫سال‬ )‫(العجلة‬
.‫منتظمة‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫إن‬ :‫نقول‬ ‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫ثابتة‬ ‫السرعة‬ ‫بقيت‬ ‫وإذا‬
20
40
60
80
6 82 4
‫بالثانية‬ ‫الزمن‬
‫م/ث‬‫السرعة‬
)1( ‫شكل‬
20
40
60
80
6 82 4
‫بالثانية‬ ‫الزمن‬
‫م/ث‬‫السرعة‬
)2( ‫شكل‬
.‫التسارع‬
.‫الزمن‬ - ‫الرسعة‬ ‫منحنى‬
.‫التغري‬ ‫منتظمة‬ ‫احلركة‬
.‫الزمن‬ - ‫الرسعة‬ ‫بني‬ ‫العالقة‬
.‫الزمن‬ - ‫املسافة‬ ‫بني‬ ‫العالقة‬
.‫املسافة‬ - ‫الرسعة‬ ‫بني‬ ‫العالقة‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
2‫الدرس‬
‫المنتظمة‬‫العجلة‬‫ذات‬‫الم�ستقيمة‬‫الحركة‬
Uniformly accelerated rectilinear motion
Acceleration ‫ع‬‫تسار‬
‫ري‬‫التغ‬ ‫منتظمة‬ ‫حركة‬
Uniform acceferation motion
‫ة‬‫منتظم‬ ‫عجلة‬
Uniform acceleration
‫م‬‫منتظ‬ ‫تقصري‬
Uniform deceleration
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫مربعات‬ ‫ورق‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬ ‫برامج‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬53

59. Uniformly accelerated motion :‫التغير‬‫منتظمة‬‫الحركة‬
‫ا‬ً‫واتجاه‬ ‫ا‬ً‫مقدار‬ ‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫العجلة‬ ‫متجه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫منتظم‬ )‫(عجلة‬ ‫بتسارع‬ ‫أو‬ ‫التغير‬ ‫منتظمة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسيم‬ ‫إن‬ ‫يقال‬
.‫األزمنة‬ ‫لجميع‬
:‫اآلتية‬ ‫العبارات‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫تعنى‬ ‫ماذا‬ :‫شفهى‬ ‫تعبير‬
.2‫ث‬ / ‫4م‬ ‫بمعدل‬ ‫منتظمة‬ ‫زيادة‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫تزداد‬ ‫جسيم‬ ‫سرعة‬ ‫مقدار‬ ‫أ‬
.2‫س‬ / ‫42كم‬ ‫بمعدل‬ ‫منتظم‬ ‫تناقص‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫أثناء‬ ‫في‬ ‫تتناقص‬ ‫جسيم‬ ‫سرعة‬ ‫مقدار‬ ‫ب‬
‫مثال‬
‫كت‬‫وتحر‬ ،‫ثوان‬ ‫عشر‬ ‫خالل‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 68 ‫إلى‬ ‫س‬ / ‫05كم‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫تتحرك‬ ‫سيارة‬ ‫سرعة‬ ‫تغيرت‬ ‫إذا‬ ‌
‫فسر‬ ‫؟‬ ‫أكبر‬ ‫بتسارع‬ ‫يتحرك‬ ‫أيهما‬ .‫المدة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫س‬ / ‫81كم‬ ‫سرعتها‬ ‫أصبحت‬ ‫حتى‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫نقل‬ ‫سيارة‬
.‫إجابتك‬
‫الحل‬
‫س‬ / ‫81كم‬ ‫بمقدار‬ ‫السرعة‬ ‫فى‬ ‫زيادة‬ ‫لهما‬ ‫حدث‬ ‫قد‬ ‫النقل‬ ‫سيارة‬ ، ‫السيارة‬ ‫من‬ ًّ‫كلا‬ ‫أن‬ ‫المسألة‬ ‫بيانات‬ ‫من‬ ‫يتضح‬
.‫ثوان‬ 10 ‫قدرها‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬ )‫ث‬ / ‫5م‬ ‫أى‬ (
.‫ثابت‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫به‬ ‫تتحرك‬ ‫الذى‬ ‫التسارع‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
2‫ث‬ / ‫م‬ 1
2 = 5
10 =
‫السرعة‬ ‫فى‬ ‫التغير‬
‫الزمنية‬ ‫الفترة‬
= ‫جـ‬ a
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫وتغيرت‬ ،‫ثوان‬ 5 ‫خالل‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 36 ‫إلى‬ ‫س‬ / ‫42كم‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫تتحرك‬ )C( ‫سيارة‬ ‫سرعة‬ ‫تغيرت‬ ‫إذا‬ ‌
‫أيهما‬ .‫المدة‬ ‫نفس‬ ‫خالل‬ ‫س‬ / ‫03كم‬ ‫إلى‬ ‫س‬ / ‫21كم‬ ‫من‬ ‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫تتحرك‬ )‫(ب‬ ‫سيارة‬ ‫سرعة‬
.‫إجابتك‬ ‫ر‬ ِّ‫فس‬ ‫؟‬ ‫أكبر‬ ‫بتسارع‬ ‫يتحرك‬
Equations of the change uniforme motion ‫ر‬‫التغي‬‫منتظمة‬‫الحركة‬‫معادالت‬
:‫وهى‬ ‫منتظم‬ ‫بتسارع‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫حالة‬ ‫فى‬ ‫والزمن‬ ‫والعجلة‬ ‫والسرعة‬ ‫المسافة‬ ‫بين‬ ‫تربط‬ ‫أساسية‬ ‫معادالت‬ ‫ثالث‬ ‫توجد‬
:‫والزمن‬‫ال�سرعة‬‫بين‬‫العالقة‬:ً‫ال‬‫أو‬�
‫ع‬ ‫سرعته‬ ‫متجه‬ ‫وأصبح‬ ‫جـ‬ ‫ثابتة‬ ‫عجلة‬ ‫ومتجه‬ 0‫ع‬ ‫ابتدائية‬ ‫سرعة‬ ‫بمتجه‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‫إذا‬
:‫فإن‬ )‫(ن‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫بعد‬
:َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ 0‫ع‬ - ‫ع‬
‫ن‬
= ‫جـ‬
‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫الوحدة‬ ‫متجه‬ ‫ى‬ ‫حيث‬ ‫ى‬ ‫ن‬ ‫جـ‬ + ‫ى‬ 0‫ع‬ = ‫ى‬ ‫ع‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫تكون‬ ‫الجبري‬ ‫القياس‬ ‫بأخذ‬ ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
54

60. :‫أن‬ ‫الحظ‬
½½.‫اآلخرين‬ ‫الثالثة‬ ‫بمعلومية‬ ‫إحداها‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫مجاهيل‬ ‫أربعة‬ ‫بين‬ ‫تربط‬ ‫العالقة‬
½½‫ن‬ ‫جـ‬ = ‫ع‬ ‫وتكون‬ 0 = 0‫ع‬ ‫فإن‬ ‫سكون‬ ‫من‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫الجسم‬ ‫بدأ‬ ‫إذا‬
½½.‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسم‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ 0‫ع‬ = ‫ع‬ ‫فإن‬ 0 = ‫جـ‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
‫مثال‬
‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ 2‫ث‬ / ‫3سم‬ ‫قدرها‬ ‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫ث‬ / ‫9سم‬ ‫بسرعة‬ ‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫جسيم‬ ‫بدأ‬ ‌
:‫أوجد‬ .‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 5 ‫بعد‬ ‫الجسيم‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
.‫ث‬ / ‫سم‬ 54 ‫سرعته‬ ‫تصبح‬ ‫حتى‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫يمضى‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫ب‬
‫الحل‬
.‫الجسيم‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫هو‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬ ‫أ‬
‫ثوان‬ 5 = ‫ن‬ ، 2‫ث‬ / ‫3سم‬ = ‫جـ‬ ، ‫ث‬ / ‫9سم‬ = 0‫ع‬ :‫المسألة‬ ‫بيانات‬ ‫من‬
‫ث‬ / ‫سم‬ 24 = ‫ع‬ ` 5 * 3 + 9 = ‫ع‬` ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬a
.‫ثانية‬ 15 = ‫ن‬ ` ‫ن‬ 3 + 9 = 54 ` ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬a ‫ب‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫متجه‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫تعمل‬ 2‫ث‬ / ‫5سم‬ ‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫ث‬ / ‫02سم‬ ‫بسرعة‬ ‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫جسيم‬ ‫بدأ‬ ‌
:‫أوجد‬ .‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫بدأ‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫دقيقة‬ ‫نهاية‬ ‫فى‬ ‫سرعته‬ ‫أ‬
.‫س‬ / ‫81كم‬ ‫سرعته‬ ‫تصبح‬ ‫حتى‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫يمضى‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫ب‬
‫مثال‬
‫أوجد‬ .‫دقيقة‬ ‫نصف‬ ‫قدره‬ ‫زمن‬ ‫فى‬ ‫ث‬ / ‫م‬ 3 ‫الى‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 54 ‫من‬ ‫سرعته‬ ‫فتغيرت‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
.‫إجابتك‬ ‫ر‬ ِّ‫فس‬ ‫؟‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫لحظ‬ ‫يسكن‬ ‫أن‬ ‫الجسيم‬ ‫لهذا‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬ .‫كة‬‫الحر‬ ‫عجلة‬ ‫مقدار‬
‫الحل‬
‫ث‬ / ‫م‬ 15 = 5
18 * 54 = ‫س‬ / ‫كم‬ 54
‫ثانية‬ 30 = ‫ن‬ ، ‫ث‬ / ‫3م‬ = ‫ع‬ ، ‫ث‬ / ‫م‬ 15 = 0‫ع‬ ‫المسألة‬ ‫بيانات‬ ‫من‬
‫جـ‬ 30 + 15 = 3 ` ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬a
2‫ث‬ / ‫م‬ 0٫4 - = ‫جـ‬ ` 12 - = ‫جـ‬ 30 :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫تقصيرية‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫يتحرك‬ ‫ألن‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫لحظ‬ ‫يسكن‬ ‫أن‬ ‫الجسيم‬ ‫لهذا‬ ‫يمكن‬ 0 ‫جـ‬ a
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةميقتسملا ةكرحلا‬ ‫ظتنملا ةلجعلا تاذ‬2
‫الدرس‬
55

61. ‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫دقيقة‬ ‫نصف‬ ‫قدره‬ ‫زمن‬ ‫فى‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 36 ‫إلى‬ ‫س‬ / ‫كم‬ 63 ‫من‬ ‫سرعتها‬ ‫فتناقصت‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫سيارة‬ ‫تتحرك‬ ‌
.‫ا‬ً‫ي‬‫لحظ‬ ‫تسكن‬ ‫حتى‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫يمضى‬ ‫الذى‬ ‫والزمن‬ ‫السيارة‬ ‫بها‬ ‫تتحرك‬ ‫التى‬ ‫العجلة‬ ‫أوجد‬
The relation between displacement and time ‫ن‬‫والزم‬‫الم�سافة‬‫بين‬‫العالقة‬:‫ًا‬‫ي‬‫ثان‬
.‫الجسم‬ ‫إزاحة‬ ‫تساوى‬ )‫الزمن‬ - ‫(السرعة‬ ‫منحنى‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬
‫بسرعة‬ ‫مبتدئا‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسم‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬
0‫ع‬ ‫النهائية‬ ‫سرعته‬ ‫أصبحت‬ ‫ثانية‬ ‫ن‬ ‫زمن‬ ‫وبعد‬ 0‫ع‬ ‫ابتدائية‬
‫إلى‬ ‫تقسيمها‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫حسابها‬ ‫يمكن‬ ‫المنحنى‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬
.‫ومثلث‬ ‫مستطيل‬
‫المثلث‬ ‫مساحة‬ + ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ = )‫(ف‬ ‫المساحة‬
)0‫ع‬ - ‫(ع‬ ‫ن‬ 1
2 + ‫ن‬0‫ع‬ =
)‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬ :‫األول‬ ‫القانون‬ ‫من‬ ‫بالتعويض‬ ‫(وذلك‬ )0‫ع‬ - ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫(ع‬ ‫ن‬ 1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ =‫ ف‬
2‫ن‬ ‫جـ‬ 1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ =‫ف‬
:‫شفهى‬ ‫تعبير‬
.‫سكون‬ ‫من‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫الجسم‬ ‫يبدأ‬ ‫عندما‬ )‫الزمن‬ - ‫(المسافة‬ ‫قانون‬ ‫صيغة‬ ‫اكتب‬ -1
‫؟‬‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫نوع‬ ‫تفسر‬ ‫وبم‬ ، 0 = ‫جـ‬ ‫عندما‬ ‫السابق‬ ‫القانون‬ ‫صيغة‬ ‫اكتب‬ -2
‫مثال‬
‫ثابت‬ ‫بمعدل‬ ‫السرعة‬ ‫تناقصت‬ ‫بحيث‬ ،‫الفرامل‬ ‫دواسة‬ ‫على‬ ‫السائق‬ ‫ضغط‬ ، ‫س‬ / ‫09كم‬ ‫بسرعة‬ ‫تتحرك‬ ‫سيارة‬ ‌
:‫احسب‬ .‫ثوان‬ 5 ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫السيارة‬ ‫توقفت‬ ‫حتى‬
.‫السرعة‬ ‫تناقص‬ ‫خالل‬ ‫السيارة‬ ‫عجلة‬ ‫أ‬
.‫ا‬ً‫م‬‫تما‬ ‫كتها‬‫حر‬ ‫توقفت‬ ‫حتى‬ ‫السيارة‬ ‫قطعتها‬ ‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫ب‬
‫الحل‬
‫ث‬ / ‫م‬ 25 = 5
18 * 90 = ‫س‬ / ‫09كم‬ : ‫ث‬ / ‫متر‬ ‫إلى‬ ‫كم/س‬ ‫من‬ ‫السرعة‬ ‫لتحويل‬ ‫أ‬
‫ثوان‬ 5 = ‫ن‬ ، 0 = ‫ع‬ ، ‫ث‬ / ‫م‬ 25 = 0‫ع‬ ‫حيث‬ ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬ :‫القانون‬ ‫فى‬ ‫بالتطبيق‬
2‫ث‬ / ‫م‬ 5 - = ‫جـ‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ‫ـ‬‫ج‬ 5 + 25 = 0 `
.2‫ث‬ / ‫5م‬ ‫مقداره‬ ‫منتظم‬ ‫بتقصير‬ ‫تتحرك‬ ‫السيارة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
2‫ن‬ ‫جـ‬ 1
2 + 0‫ع‬ = ‫ف‬ a ‫ب‬
.‫ا‬ً‫متر‬ 62٫5 = 25 * )5 -( 1
2 + 5 * 25 = ‫ف‬ `
‫بالثانية‬ ‫الزمن‬
0
)‫(م/ث‬‫السرعة‬
‫ن‬
0‫ع‬0‫ع‬
‫ع‬
‫أن‬�‫الحظ‬
0 = ‫ع‬ ‫فإن‬ ‫الجسم‬ ‫يقف‬ ‫عندما‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
56

62. ‫مثال‬
‫مقداره‬ ‫منتظم‬ ‫بتقصير‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫كت‬‫فتحر‬ ‫أفقى‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫ث‬ / ‫051سم‬ ‫بسرعة‬ ‫صغيرة‬ ‫كرة‬ ‫كت‬‫تحر‬ ‌
.‫كة‬‫الحر‬ ‫بداية‬ ‫من‬ ‫سم‬ 720 ‫بعد‬ ‫على‬ ‫تصبح‬ ‫حتى‬ ‫الكرة‬ ‫تحرك‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫يمضى‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫أوجد‬ .2‫51سم/ث‬
‫الحل‬
0‫ع‬ ‫الكرة‬ ‫سرعة‬ ‫اتجاه‬ ‫هو‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
‫ث‬ / ‫سم‬ 15 - = ‫، جـ‬ .‫ث‬ / ‫سم‬ 150 = 0‫ع‬`
:‫فإن‬ )‫(و‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫سم‬ 720 ‫بعد‬ ‫على‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫وعندما‬
، ‫الموجبة‬ ‫اإلزاحة‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تقع‬ ‫الكرة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫أن‬ ‫تعنى‬ ‫الموجبة‬ ‫ف‬ ‫إن‬ ‫حيث‬ 720 - = ‫ف‬ ‫أو‬ 720 + = ‫ف‬
.‫المضاد‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫كت‬‫تحر‬ ‫الكرة‬ ‫أن‬ ‫تعنى‬ ‫السالبة‬ ‫ف‬
2‫ث‬ / ‫51سم‬ - = ‫جـ‬ ، ‫ث‬ / ‫051سم‬ = 0‫ع‬ ، ‫027سم‬ = ‫ف‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ :ً‫ال‬‫أو‬
2‫ن‬ 15 * 1
2 - ‫051ن‬ = 720 ` 2‫ن‬ ‫جـ‬ 1
2 + ‫ن‬0‫ع‬ = ‫ف‬ a
0 = 96 + ‫02ن‬ - 2‫ن‬ :‫وبالتبسيط‬
‫ثانية‬ 12 = ‫ن‬ ‫أو‬ ‫ثانية‬ 8 = ‫ن‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ 0 = )12 - ‫(ن‬ )8 - ‫(ن‬ :‫بالتحليل‬
:‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫سم‬ 720 ‫بعد‬ ‫على‬ ‫تكون‬ ‫الكرة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫كتها‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫الكرة‬ ‫تغير‬ ‫أن‬ ‫قبل‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 8 ‫مضى‬ ‫بعد‬
.‫كتها‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫الكرة‬ ‫تغير‬ ‫أن‬ ‫بعد‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثانية‬ 12 ‫مضى‬ ‫بعد‬
‫سم‬ 720 - = ‫ف‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
2‫ن‬ 15 * 1
2 - ‫ن‬ 150 = 720 - ` 2‫ن‬ ‫جـ‬ 1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ = ‫ف‬ a
0 = 96 - ‫ن‬ 20 - 2‫ن‬ :‫وبالتبسيط‬
‫ثانية‬ 24 = ‫ن‬ ` 0 = )4 + ‫(ن‬ ) 24 - ‫(ن‬ :‫وبالتحليل‬
‫بدء‬‫لموضع‬‫بالنسبة‬‫السالبة‬‫اإلزاحة‬‫جهة‬‫من‬‫كة‬‫الحر‬‫بدء‬‫نقطة‬‫موضع‬‫من‬‫سم‬720 ‫بعد‬‫على‬‫تكون‬‫الكرة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
.‫ثانية‬ 24 ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫كة‬‫الحر‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫مقداره‬ ‫منتظم‬ ‫بتقصير‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫كت‬‫فتحر‬ ‫أفقى‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫ث‬ / ‫م‬ 5 ‫بسرعة‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫صغيرة‬ ‫كرة‬ ‫بدأت‬ ‌
.‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫أمتار‬ 6 ‫بعد‬ ‫على‬ ‫تصبح‬ ‫حتى‬ ‫الكرة‬ ‫قذف‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫يمضى‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫أوجد‬ .2‫ث‬ / ‫2م‬
The relation between the displacement and velocity ‫ة‬‫إزاح‬‫ل‬‫وا‬‫ال�سرعة‬‫بين‬‫العالقة‬:‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
)2( 2‫ن‬ ‫جـ‬ 1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ = ‫ف‬ )1( ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬ :‫أن‬ ‫نعلم‬
.‫مشترك‬ ‫عامل‬ ‫وأخذه‬2‫ن‬ 2 ‫جـ‬ + ‫ن‬ ‫جـ‬ 0‫2ع‬ + 2‫ع‬
0
= 2‫ع‬ :‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫المعادلة‬ ‫بتربيع‬
‫ف‬ ‫قيمة‬ ‫عن‬ )2( ‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫بالتعويض‬ )2‫ن‬ ‫جـ‬ 1
2 + ‫ن‬ 0‫(ع‬ ‫جـ‬ 2 + 2‫ع‬
0
= 2‫ع‬ `
‫ف‬ ‫جـ‬ 2 + 2‫ع‬
0
= 2‫ع‬
‫ث‬ / ‫سم‬ 150 = 0‫ع‬
‫سم‬ 720 - ‫سم‬ 720 +
‫و‬
‫أن‬�‫الحظ‬
‫منتظم‬‫بتقصير‬‫جسيم‬‫تحرك‬‫إذا‬
‫لفترة‬ ‫الحركة‬ ‫فى‬ ‫يستمر‬ ‫فإنه‬
‫أو‬ ‫يتوقف‬ ‫ثم‬ ،‫محدودة‬ ‫زمنية‬
‫متسارعة‬ ‫حركة‬ ‫يتحرك‬ ‫بعدها‬
.‫المضاد‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةميقتسملا ةكرحلا‬ ‫ظتنملا ةلجعلا تاذ‬2
‫الدرس‬
57

63. ‫مثال‬
‫بسرعة‬ ‫منه‬ ‫فخرجت‬ ‫41سم‬ ‫سمكه‬ ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫عمودى‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫02م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫رصاصة‬ ‫أطلقت‬ ‌
‫مماثل‬ ‫آخر‬ ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫السرعة‬ ‫بنفس‬ ‫الرصاصة‬ ‫أطلقت‬ ‫وإذا‬ ، ‫التقصيرية‬ ‫العجلة‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫51م/ث‬
.‫الحالتين‬ ‫فى‬ ‫واحدة‬ ‫الرصاصة‬ ‫بها‬ ‫تتحرك‬ ‫التى‬ ‫العجلة‬ ‫بأن‬ ‫ا‬ً‫علم‬ ،‫تسكن‬ ‫حتى‬ ‫تغوصها‬ ‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫فأوجد‬
‫الحل‬
‫كة‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫هو‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
.‫الرصاصة‬
‫م‬ 0٫14 = ‫ف‬ ، ‫ث‬ / ‫م‬ 15 = ‫ع‬ ،‫ث‬ / ‫02م‬ = 0‫ع‬ :‫األولى‬ ‫الحالة‬
0٫14 * ‫جـ‬ * 2 + 2)20( = 2)15(` ‫ف‬‫جـ‬ 2 + 2‫ع‬
0
= 2‫ع‬ a
2‫ث‬ / ‫م‬ 625 - = ‫جـ‬ :‫وبالتبسيط‬
:‫الثانية‬ ‫الحالة‬
2‫ث‬ / ‫م‬ 625 - = ‫جـ‬ 0 = ‫ع‬ ، ‫ث‬ / ‫02م‬ = 0‫ع‬
‫ف‬625* 2-2)20(=0` ‫ف‬ ‫جـ‬ 2 + 2‫ع‬
0
= 2‫ع‬ a
.‫تسكن‬ ‫حتى‬ ‫سم‬ 32 ‫مسافة‬ ‫الحائط‬ ‫فى‬ ‫تغوص‬ ‫الرصاصة‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ‫ر‬‫مت‬ 0٫32 = ‫ف‬ `
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫التى‬‫المسافة‬‫أوجد‬.‫ا‬ً‫متر‬625‫مسافة‬‫قطعت‬‫أن‬‫بعد‬‫س‬/‫81كم‬‫إلى‬‫س‬/‫54كم‬‫من‬‫بانتظام‬‫سيارة‬‫سرعة‬‫نقصت‬ ‌
.‫تسكن‬ ‫حتى‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫تقطعها‬
‫تتحرك‬‫التى‬‫العجلة‬‫أوجد‬.‫05سم‬‫مسافة‬‫فيها‬‫فغاصت‬‫ث‬/‫001م‬‫بسرعة‬‫خشبية‬‫كتلة‬‫على‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫أفق‬‫رصاصة‬‫أطلقت‬ ‌
.‫81سم‬‫سمكها‬‫لى‬‫و‬‫لأل‬‫مماثلة‬‫أخرى‬‫خشبية‬‫كتلة‬‫على‬‫إطالقها‬‫تم‬‫وإذا‬،‫منتظمة‬‫العجلة‬‫أن‬‫علم‬‫إذا‬‫الرصاصة‬‫بها‬
.‫الخشبية‬ ‫الكتلة‬ ‫من‬ ‫الرصاصة‬ ‫بها‬ ‫تخرج‬ ‫التى‬ ‫السرعة‬ ‫هى‬ ‫فما‬
The average velocity within nth second :‫النونية‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫املتوسطة‬ ‫الرسعة‬
‫مثال‬
‫فى‬ ‫قطع‬ ‫فإذا‬ ، ‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫ما‬ ‫ابتدائية‬ ‫بسرعة‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‌
.‫48سم‬ ‫والعاشرة‬ ‫التاسعة‬ ‫الثانيتين‬ ‫فى‬ ‫وقطع‬ ،‫84سم‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫من‬ ‫الخامسة‬ ‫الثانية‬
.‫له‬‫االبتدائية‬‫والسرعة‬‫الجسيم‬‫بها‬‫تحرك‬‫التى‬‫العجلة‬‫احسب‬
‫الحل‬
‫هو‬ ‫العجلة‬ ‫اتجاه‬ ‫فيكون‬ ‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ ‫اتجاه‬ ‫هو‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫يعتبر‬
‫؟‬‫لماذا‬ .‫ا‬ ً‫أيض‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬
‫سم‬ 14
‫م/ث‬ 15 = ‫ع‬‫م/ث‬ 20 = 0‫ع‬
‫جـ‬
‫ف‬ 0 = ‫ع‬
‫م/ث‬ 20 = 0‫ع‬
‫جـ‬
‫أن‬�‫الحظ‬
‫لجسيم‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫تساوى‬ ‫ما‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬
‫منتصف‬ ‫فى‬ ‫اللحظية‬ ‫سرعته‬
:‫فمثال‬ ‫الفترة‬ ‫هذه‬
‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫جـ‬ 3٫5 + 0‫ع‬ = ‫الرابعة‬
‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫والتاسعة‬ ‫الثامنة‬ ‫الثانيتين‬
‫8حـ‬ + 0‫ع‬ =
44 85 9 10‫و‬
‫م‬ ‫ع‬ /‫م‬ ‫ع‬
0‫ع‬
‫ى‬
‫سم‬ 48 ‫سم‬ 84
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
58

64. ، ‫ثانية‬ 4 1
2 ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫وهى‬ ‫ث‬ / ‫84سم‬ = 48
1 = ‫م‬ ‫ع‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ‫المسافة‬
‫الزمن‬
= ‫الخامسة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫ثوان‬ 9 ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫وهى‬ ‫ث‬ / ‫24سم‬ = 84
2 = /
‫م‬ ‫ع‬ ‫والعاشرة‬ ‫التاسعة‬ ‫الثانيتين‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
2‫ث‬ / ‫سم‬ 4 -
3 = 48 - 42
4٫5 - 9 = ‫جـ‬ ` ‫السرعة‬ ‫فى‬ ‫التغير‬
‫الزمنية‬ ‫الفترة‬
= )‫(جـ‬ ‫العجلة‬ a
.2‫ث‬ / ‫سم‬ 4
3 = ‫بعجلة‬ ‫تقصيرية‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسم‬ َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
4 1
2 * )
4 -
3 ( + 0‫ع‬ = 48 ` ‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬a
.‫ث‬ / ‫سم‬ 54 = 0‫ع‬ ` 6 - 0‫ع‬ = 48 `
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
:‫احسب‬.‫سرعته‬‫اتجاه‬‫نفس‬‫فى‬2‫ث‬/‫6سم‬‫منتظمة‬‫وعجلة‬‫ث‬/‫03سم‬‫بسرعة‬‫ثابت‬‫اتجاه‬‫فى‬‫كته‬‫حر‬‫جسيم‬‫بدأ‬ ‌
.‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 5 ‫بعد‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫أ‬
.‫فقط‬ ‫الخامسة‬ ‫الثانية‬ ‫فى‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫ب‬
‫مسافة‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫من‬ ‫الثالثة‬ ‫الثانية‬ ‫فى‬ ‫قطع‬ ‫فإذا‬ ،‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫ما‬ ‫ابتدائية‬ ‫بسرعة‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‌
‫الجسيم‬ ‫بها‬ ‫تحرك‬ ‫التى‬ ‫العجلة‬ ‫احسب‬ .‫ا‬ً‫متر‬ 60 ‫مسافة‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫والسادسة‬ ‫الخامسة‬ ‫الثانيتين‬ ‫فى‬ ‫قطع‬ ‫ثم‬ ، ‫ا‬ً‫02متر‬
.‫االبتدائية‬ ‫وسرعته‬
C ‫المحطة‬ ‫من‬ ‫يبدأ‬ ‫حيث‬ ،‫متر‬ 700 ‫بينهما‬ ‫المسافة‬ ‫ب‬ ، C ‫محطتين‬ ‫بين‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫األنفاق‬ ‫مترو‬ ‫يتحرك‬ ‌
‫يقطع‬ ‫ثم‬ ،‫الزمن‬ ‫من‬ ‫فترة‬ ‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫يسير‬ ‫ثم‬ ‫ثوان‬ 10 ‫لمدة‬ 2‫2م/ث‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫السكون‬ ‫من‬
‫قطع‬‫فى‬‫يستغرقه‬‫الذى‬‫الزمن‬‫أوجد‬.‫ب‬‫المحطة‬‫فى‬‫يقف‬‫حتى‬‫منتظم‬‫بتقصير‬‫كته‬‫حر‬‫من‬‫األخيرة‬‫ا‬ً‫متر‬60‫مسافة‬
.‫المحطتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
‫مثال‬
‫من‬‫ثوان‬10‫بعد‬‫متابعتها‬‫فى‬‫الشرطة‬‫سيارة‬‫فبدأت‬‫شرطة‬‫بسيارة‬‫مرت‬.‫س‬/‫27كم‬‫منتظمة‬‫بسرعة‬‫سيارة‬‫تتحرك‬ ‌
‫حتى‬ ‫السرعة‬ ‫بهذه‬ ‫سارت‬ ‫ثم‬ ، ‫س‬ / ‫09كم‬ ‫سرعتها‬ ‫بلغت‬ ‫حتى‬ ‫متر‬ 100 ‫مسافة‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫كة‬‫متحر‬ ‫مرورها‬
‫والمسافة‬ ‫الشرطة‬ ‫سيارة‬ ‫تحرك‬ ‫لحظة‬ ‫منذ‬ ‫المطاردة‬ ‫عملية‬ ‫استغرقته‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫أوجد‬ .‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫بالسيارة‬ ‫لحقت‬
.‫السيارة‬ ‫هذه‬ ‫قطعتها‬ ‫التى‬
‫الحل‬
‫المنتظمة‬‫السرعة‬‫اتجاه‬‫هو‬‫الموجب‬‫االتجاه‬‫نعتبر‬
‫ثم‬ ، ‫و‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫ساكنة‬ ‫كانت‬ ‫الشرطة‬ ‫سيارة‬ ‫وأن‬
‫حيث‬ C ‫إلى‬ ‫وصلت‬ ‫حتى‬ ‫متر‬ 100 ‫مسافة‬ ‫قطعت‬
‫بانتظام‬ ‫بها‬ ‫سارت‬ ‫ثم‬ ‫س‬ / ‫09كم‬ ‫سرعتها‬ ‫أصبحت‬
.‫ب‬ ‫عند‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫بالسيارة‬ ‫لحقت‬ ‫حتى‬
‫متر/ث‬ 25 = 5
18 * 90 = ‫متر/ث ، 09كم/س‬ 20 = 5
18 * 72 = ‫كم/س‬ 72
‫كم/س‬ 72‫منتظمة‬ ‫سرعة‬‫ي‬
‫و‬
‫و‬
‫ب‬
‫ب‬
‫هـ‬
‫أ‬ 0 = 0‫ع‬
‫س‬ / ‫كم‬90 = ‫ع‬
‫ثانية‬ K
‫ثانية‬ K
‫ثانية‬ 10
‫متر‬ 100
‫منتظمة‬ ‫سرعة‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةميقتسملا ةكرحلا‬ ‫ظتنملا ةلجعلا تاذ‬2
‫الدرس‬
59

65. ‫أ‬ ‫و‬ ‫من‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫الشرطة‬ ‫لسيارة‬ ‫بالنسبة‬
‫ف‬ ‫حـ‬ 2 +
0
2‫=ع‬ 2‫ع‬ ‫متر‬ 100 = ‫ ، ف‬ ‫ث‬ / ‫م‬ 25 = ‫ ع‬, 0 = 0‫ع‬
2‫ث‬ / ‫م‬ 25
8 = ‫حـ‬ ` 100 * ‫حـ‬ * 2 = 25 * 25
‫ثانية‬ 8 = ‫ن‬ ` ‫ن‬ 25
8 = 25 ` ‫ن‬ ‫حـ‬ +
0
‫=ع‬ ‫ع‬
‫متر‬ )8 - ‫(ن‬ 25 = ‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫الشرطة‬ ‫سيارة‬ ‫كها‬‫تتحر‬ ‫التي‬ ‫المسافة‬ `
‫ثانية‬ )10 + ‫(ن‬ = ‫قدره‬ ‫زمن‬ ‫في‬ ‫ب‬ ‫و‬ ‫المسافة‬ ‫قطعت‬ ‫المطاردة‬ ‫السيارة‬ ‫تكون‬ ،
‫ثانية‬ ‫ن‬ = ‫قدره‬ ‫زمن‬ ‫في‬ ‫ب‬ ‫و‬ ‫المسافة‬ ‫نفس‬ ‫قطعت‬ ‫الشرطة‬ ‫سيارة‬ ‫تكون‬ ،
‫ثانية‬ 60 = ‫ ' ن‬ )8 - ‫ن‬ ( 25 + 100 = )10 + ‫ن‬ ( 20 `
‫متر‬ 1400 = 70 * 20 = ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬
‫الثاني‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ ‌
‫من‬ ‫ثوان‬ 6 ‫بعد‬ ‫سرعته‬ ‫فإن‬ 2‫ث‬ / ‫4م‬ ‫مقدارها‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫ يتحرك‬ ‫أ‬
.‫ث‬ / ‫م‬ .......................... = ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬
‫قدره‬ ‫زمن‬ ‫فى‬ 2‫ث‬ / ‫5سم‬ ‫مقدارها‬ ‫بعجلة‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫يتحرك‬ ‫جسيم‬ ‫يقطعها‬ ‫التى‬ ‫ المسافة‬‫ب‬
.‫سم‬ .......................... = ‫ثوان‬ 4
.......... =‫كته‬‫حر‬‫من‬‫السادسة‬‫الثانية‬‫خالل‬‫جـ‬‫منتظمة‬‫وعجلة‬0‫ع‬‫ابتدائية‬‫بسرعة‬‫يتحرك‬‫لجسيم‬‫المتوسطة‬‫ السرعة‬‍‫ج‬
‫والثامنة‬ ‫السابعة‬ ‫الثوانى‬ ‫خالل‬ ‫جـ‬ ‫منتظمة‬ ‫وعجلة‬ 0‫ع‬ ‫ابتدائية‬ ‫بسرعة‬ ‫يتحرك‬ ‫لجسيم‬ ‫المتوسطة‬ ‫ السرعة‬ ‫د‬
.......................... = ‫والتاسعة‬
‫من‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫األربع‬ ‫الثوانى‬ ‫فى‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 24 ‫فقطع‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫جسيم‬ ‫ يتحرك‬‍‫ه‬
.......................... = ‫عجلته‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ، ‫كته‬‫حر‬
، ‫52سم‬ ‫مسافة‬ ‫فقطع‬ 2‫ث‬ / ‫2سم‬ ‫مقدارها‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫جسيم‬ ‫ بدأ‬ ‫و‬
.‫ث‬ / ‫سم‬ .......................... = ‫المسافة‬ ‫تلك‬ ‫نهاية‬ ‫فى‬ ‫سرعته‬ ‫فإن‬
‫؟‬‫ث‬/‫42م‬‫سرعتها‬‫تصبح‬‫عندما‬‫السيارة‬‫تقطعها‬‫التى‬‫المسافة‬‫ما‬.2‫ث‬/‫4م‬‫مقداره‬‫بتسارع‬‫السكون‬‫من‬‫سيارة‬‫انطلقت‬ ‌
‫خالل‬ ‫ث‬ / ‫22م‬ ‫أصبحت‬ ‫حتى‬ ‫ثابت‬ ‫بمعدل‬ ‫سرعتها‬ ‫تناقصت‬ ‫ثم‬ ‫ث‬ / ‫44م‬ ‫بسرعة‬ ‫الحلبة‬ ‫فى‬ ‫سباق‬ ‫سيارة‬ ‫تسير‬ ‌
.‫الزمن‬ ‫هذا‬ ‫خالل‬ ‫السيارة‬ ‫قطعتها‬ ‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫أوجد‬ .‫ثانية‬ 11
‫بأنها‬‫ا‬ً‫م‬‫عل‬‫السرعة‬‫هذه‬‫إلى‬‫لتصل‬‫تستغرقه‬‫الذى‬‫الزمن‬‫ما‬.‫ث‬/‫52م‬‫إلى‬‫ث‬/‫51م‬‫من‬‫ثابت‬‫بمعدل‬‫سيارة‬‫تتسارع‬ ‌
‫؟‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 125 ‫مسافة‬ ‫قطعت‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
60

66. ‫إزاحة‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬ .‫ثانية‬ 4٫5 ‫خالل‬ ‫ث‬ / ‫م‬ 7٫5 ‫سرعته‬ ‫صارت‬ ‫حتى‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫دراجة‬ ‫راكب‬ ‫يتحرك‬ ‌
.‫للدراجة‬ ‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ ‫أوجد‬ .‫ا‬ً‫متر‬ 19 ‫تساوى‬ ‫التسارع‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬ ‫الدراجة‬
‫يقود‬ ‫ذلك‬ ‫وبعد‬ ‫ثوان‬ 6 ‫لمدة‬ 2‫ث‬ / ‫م‬1
2 ‫مقداره‬ ‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫تسار‬ ‫فيكتسب‬ ‫والده‬ ‫يدفعه‬ ‫الدراجة‬ ‫ركوب‬ ‫على‬ ‫كريم‬ ‫يتدرب‬ ‌
.‫كريم‬‫يقطعها‬‫التى‬‫المسافة‬‫مقدار‬‫أوجد‬.‫ا‬ ً‫أرض‬‫يسقط‬‫أن‬‫قبل‬‫أخرى‬‫ثوان‬6‫لمدة‬‫ث‬/‫3م‬‫بسرعة‬‫بمفرده‬‫الدراجة‬‫كريم‬
‫بلغت‬ ‫التل‬ ‫قاعدة‬ ‫إلى‬ ‫وصل‬ ‫وعندما‬ 2‫ث‬ / ‫2م‬ ‫مقدارها‬ ‫ثابتة‬ ‫بعجلة‬ ‫ا‬ً‫منحدر‬ ‫تل‬ ‫قمة‬ ‫من‬ ‫دراجة‬ ‫راكب‬ ‫هبط‬ ‌
‫الكلية‬ ‫المسافة‬ ‫أوجد‬ .‫واحدة‬ ‫دقيقة‬ ‫لمدة‬ ‫السرعة‬ ‫هذه‬ ‫على‬ ‫يحافظ‬ ‫حتى‬ ‫الفرامل‬ ‫استخدم‬ ‫ثم‬ ‫ث‬ / ‫81م‬ ‫سرعته‬
.‫الدراجة‬ ‫راكب‬ ‫قطعها‬ ‫التى‬
‫الالزم‬ ‫الزمن‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ، ‫الشارع‬ ‫فى‬ ‫يمر‬ ‫طفل‬ ‫فجأة‬ ‫شاهد‬ ، ‫ث‬ / ‫42م‬ ‫مقدارها‬ ‫ثابتة‬ ‫بسرعة‬ ‫يتحرك‬ ‫سيارة‬ ‫قائد‬ ‌
‫المسافة‬‫أوجد‬‫وقفت‬‫حتى‬2‫ث‬/‫6٫9م‬‫مقدارها‬‫منتظم‬‫بتقصير‬‫السيارة‬‫فيه‬‫كت‬‫تحر‬‫ثانية‬ 1
2‫هو‬‫الفرامل‬‫الستجابة‬
.‫مباشرة‬ ‫تقف‬ ‫أن‬ ‫قبل‬ ‫السيارة‬ ‫كتها‬‫تحر‬ ‫التى‬ ‫الكلية‬
‫تحرك‬‫ثم‬‫ثانية‬30‫لمدة‬2‫ث‬/‫4سم‬‫مقدارها‬‫منتظمة‬‫بعجلة‬‫أفقى‬‫مستقيم‬‫خط‬‫فى‬‫السكون‬‫من‬‫كته‬‫حر‬‫جسم‬‫بدأ‬ ‌
.‫المتوسطة‬ ‫سرعته‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‫أخرى‬ ‫ثانية‬ 40 ‫لمدة‬ ‫اكتسبها‬ ‫التى‬ ‫بالسرعة‬
‫من‬ ‫الرابعة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 26 ‫فقطع‬ ‫أملس‬ ‫أفقى‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسم‬ ‫يتحرك‬ 1‌
.‫عجلته‬ ‫ومقدار‬ ‫االبتدائية‬ ‫سرعته‬ ‫أوجد‬ ،‫التاسعة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 56 ، ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬
‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫ص‬ ‫نحو‬ ‫س‬ ‫من‬ ‫كة‬‫الحر‬ C ‫سيارة‬ ‫بدأت‬ ‫أفقى‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫نقطتان‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ 1‌
،‫س‬/‫كم‬54‫مقدارها‬‫منتظمة‬‫بسرعة‬‫س‬‫نحو‬‫ص‬‫من‬‫ب‬‫أخرى‬‫سيارة‬‫تتحرك‬‫كانت‬‫اللحظة‬‫نفس‬‫وفي‬2‫ث‬/‫01م‬
‫الذى‬‫الزمن‬‫أوجد‬.‫س‬/‫كم‬162‫تساوى‬‫التقائهما‬‫لحظة‬‫ب‬‫للسيارة‬‫بالنسبة‬C ‫للسيارة‬‫النسبية‬‫السرعة‬‫كانت‬‫فإذا‬
.‫التقائهما‬ ‫لحظة‬ ‫حتى‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫كها‬‫تحر‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫السيارتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫تأخذه‬
‫نشاط‬
‫لجسم‬)‫الزمن‬-‫(السرعة‬‫منحنى‬‫يمثل‬‫المقابل‬‫الشكل‬ 1‌
‫وحتى‬ ‫ث‬ / ‫01م‬ ‫مقدارها‬ ‫ابتدائية‬ ‫بسرعة‬ ‫التحرك‬ ‫بدأ‬
:‫أوجد‬ .‫ثانية‬ 110 ‫قدره‬ ‫زمن‬ ‫بعد‬ ‫سكن‬
.‫التسارع‬ ‫عجلة‬ ‫أ‬
.‫يسكن‬ ‫حتى‬ ‫للجسم‬ ‫المنتظم‬ ‫التقصير‬ ‫مقدار‬ ‫ب‬
.‫الجسم‬ ‫كها‬‫تحر‬ ‫التى‬ ‫الكلية‬ ‫المسافة‬ ‍‫ج‬
:‫إبداعى‬ ‫تفكير‬
‫بسرعة‬ ‫ثم‬ ،‫045سم‬ ‫مسافة‬ 2‫021سم/ث‬ ‫مقدارها‬ ‫بعجلة‬ ‫االرتفاع‬ ‫فى‬ ‫المصعد‬ ‫أخذ‬ ، ‫منجم‬ ‫بقاع‬ ‫ساكن‬ ‫مصعد‬ 1‌
‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫احسب‬ .‫المنجم‬ ‫فوهة‬ ‫عند‬ ‫سكن‬ ‫حتى‬ ‫027سم‬ ‫مسافة‬ ‫منتظم‬ ‫بتقصير‬ ‫ثم‬ ‫سم‬ 360 ‫مسافة‬ ‫منتظمة‬
.‫فوهته‬ ‫إلى‬ ‫المنجم‬ ‫قاع‬ ‫من‬ ‫الصعود‬ ‫فى‬ ‫المصعد‬ ‫استغرقه‬
60
40
20
0
70
50
30
10
30 50 70 10040 60 9080 11010 20
‫بالثانية‬ ‫الزمن‬
)‫(م/ث‬‫السرعة‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةميقتسملا ةكرحلا‬ ‫ظتنملا ةلجعلا تاذ‬2
‫الدرس‬
61

67. 3
‫الدرس‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
.‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
Free fall ‫ر‬‫ح‬ ‫سقوط‬
‫ة‬‫األرضي‬ ‫اجلاذبية‬ ‫عجلة‬
Acceleration of gravity
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
.‫الرأسية‬ ‫احلركة‬ ‫قوانني‬
‫الساقطة‬ ‫األجسام‬ ‫حركة‬ ‫دراسة‬
.‫ألسفل‬ ‫املقذوفة‬ ‫أو‬
‫املقذوفة‬ ‫األجسام‬ ‫حركة‬ ‫دراسة‬
.‫ألعىل‬
‫الحر‬‫ال�سقوط‬
Free Fall
‫ناقش‬ ‫و‬ ‫فكر‬
‫؟‬‫شجرة‬ ‫من‬ ‫تقالة‬‫ر‬‫ب‬ ‫تسقط‬ ‫عندما‬ ‫يحدث‬ ‫الذى‬ ‫ما‬
½½‫ا‬ً‫ط‬‫سقو‬ ‫سقوطها‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫سرعة‬ ‫تكتسب‬ ‫ثم‬ ، ‫سكون‬ ‫من‬ ‫تقالة‬‫ر‬‫الب‬ ‫تتحرك‬
‫م/ث‬ 9٫8 ‫سرعتها‬ ‫ستكون‬ ‫ثانية‬ 1 ‫فبعد‬ ‫عليها‬ ‫األرض‬ ‫جاذبية‬ ‫تأثير‬ ‫نتيجة‬ ‫ا‬ً‫حر‬
...‫وهكذا‬ ‫ألسفل‬ ‫م/ث‬ 19٫6 ‫سرعتها‬ ‫ستصبح‬ ‫أخرى‬ ‫ثانية‬ ‫وبعد‬ ،‫ألسفل‬
،‫تقالة‬‫ر‬‫الب‬‫منه‬‫سقطت‬‫الذى‬‫االرتفاع‬‫على‬‫يتوقف‬‫السرعة‬‫فى‬‫الزيادة‬‫مقدار‬:‫أن‬‫الحظ‬
.‫تقالة‬‫ر‬‫الب‬ ‫سرعة‬ ‫زادت‬ ‫االرتفاع‬ ‫زاد‬ ‫فكلما‬
‫يساوى‬ )‫الهواء‬ ‫مقاومة‬ ‫إهمال‬ ‫(مع‬ ‫ا‬ً‫حر‬ ‫ا‬ً‫ط‬‫سقو‬ ‫األجسام‬ ‫به‬ ‫تسقط‬ ‫الذى‬ ‫التسارع‬ ‫إن‬
‫ويزداد‬ ‫االستواء‬ ‫خط‬ ‫عند‬ ‫فيقل‬ ‫العرض‬ ‫خط‬ ‫باختالف‬ ‫ويختلف‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ 2‫م/ث‬ 9٫8
.‫القطبيتن‬ ‫نحو‬ ‫اتجهنا‬ ‫كلما‬ ً‫قليلا‬
:‫أج�سام‬‫ل‬‫ل‬‫أ�سية‬�‫الر‬‫الحركة‬‫قوانين‬
‫مع‬ ‫المنتظمة‬ ‫العجلة‬ ‫ذات‬ ‫المستقيمة‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫قوانين‬ ‫لنفس‬ ‫الرأسية‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫تخضع‬
‫من‬ ً‫بدلا‬ ‫ا‬ ًّ‫حر‬ ‫ا‬ً‫ط‬‫سقو‬ ‫األجسام‬ ‫به‬ ‫تسقط‬ ‫الذى‬ ‫التسارع‬‫على‬ ‫الدالة‬ )E( ‫الرمز‬ ‫استخدام‬
:‫اآلتية‬ ‫الصورة‬ ‫القوانين‬ ‫تأخذ‬ ‫وبذلك‬ )‫(جـ‬ ‫الرمز‬
‫ف‬E2 + 2‫ع‬ = 2‫ع‬ ، 2‫ن‬ E 1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ = ‫ف‬ ، ‫ن‬ E + 0‫ع‬ = ‫ع‬
‫ف‬ ، E ، 0‫ع‬ ، ‫ع‬ ‫مراعاة‬ ‫يجب‬ ‫السابقة‬ ‫بالصورة‬ ‫القوانين‬ ‫تطبيق‬ ‫عند‬ ‫لذلك‬‫و‬
.‫يأتى‬ ‫لما‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫تب‬
‫أر�ض‬‫ل‬‫ا‬‫�سطح‬‫نحو‬‫ا‬ً‫ف‬‫مقذو‬‫أو‬�‫ا‬ً‫�ساقط‬‫الج�سم‬‫كان‬‫إذا‬�: ً‫ا‬‫أول‬�
‫من‬ ‫كل‬ ‫فتكون‬ ‫أسفل‬ ‫إلى‬ ‫الرأسى‬ ‫االتجاه‬ ‫هو‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫يعتبر‬
.‫موجبة‬ ‫ف‬ ، E ، ‫ع‬ ، 0‫ع‬
‫مثال‬
.‫عالية‬ )‫(منصة‬ ‫سقالة‬ ‫من‬ ‫خرسانية‬ ‫قطعة‬ ‫بناء‬ ‫عامل‬ ‫أسقط‬ ‌
.‫ثانية‬ ‫نصف‬ ‫بعد‬ ‫البناء‬ ‫قطعة‬ ‫سرعة‬ ‫ما‬ ‫أ‬
.‫الزمن‬ ‫هذا‬ ‫خالل‬ ‫البناء‬ ‫كتلة‬ ‫تقطعها‬ ‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫ما‬ ‫ب‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 62

68. ‫الحل‬
‫ن‬ E +
0
‫ع‬ = ‫ع‬ :‫القانون‬ ‫صيغة‬ ‫أ‬
.‫ثانية‬ 1
2 = ‫ ، ن‬2‫م/ث‬ 9٫8 = E ، 0 =
0
‫ع‬ ‫عن‬ ‫بالتعويض‬
‫م/ث‬ 4٫9 = 1
2 * 9٫8 + 0 = ‫ع‬
2‫ن‬ E 1
2 + ‫ن‬
0
‫ع‬ = ‫ف‬ :‫القانون‬ ‫صيغة‬ ‫ب‬
.‫ثانية‬ 1
2 = ‫ ، ن‬2‫م/ث‬ 9٫8 = E ، 0 =
0
‫ع‬ ‫عن‬ ‫بالتعويض‬
.‫متر‬ 1 9
40 = 1
4 * 9٫8 * 1
2 + 0 = ‫ ف‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫باألرض‬ ‫ارتطمت‬ ‫واحدة‬ ‫ثانية‬ ‫وبعد‬ ‫شجرة‬ ‫من‬ ‫تفاحة‬ ‫سقطت‬ ‌
.‫األرض‬‫بسطح‬‫تطامها‬‫ر‬‫ا‬‫لحظة‬‫المتوسطة‬‫السرعة‬‫احسب‬‫ثم‬ ،‫األرض‬‫بسطح‬‫تطامها‬‫ر‬‫ا‬‫لحظة‬‫التفاحة‬‫سرعة‬‫ احسب‬ ‫أ‬
‫؟‬‫سقوطها‬ ‫بداية‬ ‫لحظة‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫التفاحة‬ ‫بعد‬ ‫هو‬ ‫ما‬ ‫ب‬
‫أعلى‬�‫إلى‬�‫ا‬ً‫ف‬‫مقذو‬‫الج�سم‬‫كان‬‫إذا‬�:‫ًا‬‫ي‬‫ثان‬
‫نشاط‬
،2‫6٫91م/ث‬‫مقدارها‬‫ابتدائية‬‫بسرعة‬‫أعلى‬‫إلى‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬‫كرة‬‫قذفت‬
‫فتكون‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫هو‬ ‫ألعلى‬ ‫الرأسى‬ ‫االتجاه‬ ‫أن‬ ‫باعتبار‬
-‫ا‬ً‫ب‬‫سال‬‫فيكون‬‫التسارع‬‫أما‬ ،‫لذلك‬‫ا‬ً‫ع‬‫تب‬‫موجبة‬‫االبتدائية‬‫السرعة‬
‫لماذا؟‬
½½-‫(السرعة‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫رسم‬ ‫فى‬ )geogebra( ‫نامج‬‫ر‬‫ب‬ ‫استخدم‬
]4 ، 0[ ∈ ‫ عندما ن‬‫8٫9ن‬ - 19٫6 = ‫ع‬ ‫ث‬‫حي‬ )‫الزمن‬
‫تالحظ؟‬ ‫ماذا‬
½½:)‫الزمن‬ - ‫المسافة‬( ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫رسم‬ ‫فى‬ ‫نامج‬‫ر‬‫الب‬ ‫نفس‬ ‫استخدم‬
‫تالحظ؟‬ ‫ماذا‬ , 2‫ن‬ 4٫9 - ‫ن‬ 19٫6 = ‫ف‬ ‫حيث‬
‫الموجب‬ ‫االتجاه‬
‫الهبوط‬‫حركة‬
‫الصعود‬‫حركة‬
0 = ‫ع‬
+
‫بالثانية‬ ‫الزمن‬
)1( ‫شكل‬
‫منحنى‬
‫الزمن‬ - ‫السرعة‬
)‫(م/ث‬‫السرعة‬
1 2 3 4
20-
15-
10-
5-
5
10
15
20
‫ارتفاع‬ ‫أقصي‬
)2( ‫شكل‬
‫بالثانية‬ ‫الزمن‬
‫منحنى‬
‫الزمن‬ - ‫المسافة‬
‫بالمتر‬‫المسافة‬
0 1 2 3 4
19٫6
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫طوقسلا‬ ‫رحلا‬3
‫الدرس‬
63

69. :‫أن‬ ‫البيانى‬ ‫الشكل‬ ‫من‬ ‫نالحظ‬
½½.‫سالبة‬ ‫تكون‬ ‫الهبوط‬ ‫أثناء‬ ‫وفى‬ ‫موجبة‬ ‫تكون‬ ‫الصعود‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬
0 ‫ ع‬‫فان‬ ]4 ، 2] ∈ ‫ ن‬‫عندما‬ ، 0 ‫ ع‬‫سرعة‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ [2 ، 0[ ∈ ‫ ن‬‫عندما‬ :ً‫فمثلا‬
½½.‫ا‬ً‫صفر‬ ‫تساوى‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬
½½.‫الهبوط‬ ‫زمن‬ ‫يساوى‬ ‫للجسم‬ ‫الصعود‬ ‫زمن‬
½½.‫مخالفة‬ ‫بإشارة‬ ‫القذف‬ ‫سرعة‬ ‫مقدار‬ ‫تساوى‬ ‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫إلى‬ ‫بها‬ ‫يعود‬ ‫التى‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫مقدار‬
½½.‫الفترة‬‫هذه‬‫خالل‬‫الجسم‬‫قطعها‬‫التى‬‫للمسافة‬‫مساوية‬‫تكون‬‫أن‬‫بالضرورة‬‫ليست‬‫ما‬‫زمنية‬‫فترة‬‫خالل‬‫الجسم‬‫إزاحة‬
:‫ناقد‬ ‫تفكير‬
.‫فأوجد‬ )‫(ن‬ ‫قدره‬ ‫زمن‬ ‫فى‬ )‫(ع‬ ‫النهائية‬ ‫سرعته‬ ‫فبلغت‬ )0‫(ع‬ ‫ابتدائية‬ ‫بسرعة‬ ‫ألعلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‫إذا‬ -1
.‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫إلى‬ ‫الجسم‬ ‫وصول‬ ‫زمن‬ ‫أ‬
.‫الجسم‬ ‫إليه‬ ‫يصل‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫مسافة‬ ‫ب‬
‫مثال‬
.‫إليها‬ ‫وصل‬ ‫التى‬ ‫والمسافة‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫إلى‬ ‫له‬‫و‬‫وص‬ ‫زمن‬ ‫أوجد‬ .‫94م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‌
‫الحل‬
)‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫(عند‬ 0 = ‫ ، ع‬2‫م/ث‬ 9٫8- = E ، ‫94م/ث‬ =
0
‫ع‬
:‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫زمن‬ ‫إليجاد‬ ‫أ‬
.‫5ثوان‬ = ‫ن‬ ` .‫ن‬ 9٫8 - 49 = 0 ` ‫ن‬ E +
0
‫ع‬ = ‫ع‬ a
:‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫مسافة‬ ‫إليجاد‬ ‫ب‬
‫ا‬ً‫متر‬ 122٫5 = ‫ف‬ ` .‫ف‬ * 9٫8 * 2 - 2)49( = 0 ` .‫ف‬E 2 + 2‫ع‬
0
= 2‫ع‬ a
:‫فكر‬
.‫ذلك‬ ‫ح‬ ِّ‫وض‬ ‫؟‬‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫مسافة‬ ‫إليجاد‬ ‫أخرى‬ ‫قوانين‬ ‫استخدام‬ ‫يمكنك‬ ‫هل‬ -1
‫مثال‬
‫أسفل‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 330 ‫إلى‬ ‫يصل‬ ‫حتى‬ ‫الجسم‬ ‫يأخذه‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫أوجد‬ .‫61م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‌
.‫القذف‬ ‫نقطة‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
64

70. ‫الحل‬
‫ب‬‫الموج‬ ‫االتجاه‬ ‫هو‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫الرأسى‬ ‫االتجاه‬ ‫نعتبر‬
.‫القذف‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫ألنها‬ ‫61م/ث‬ =
0
‫ع‬
.‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫عملية‬ ‫اتجاه‬ ‫عكس‬ ‫ألنها‬ 9٫8 - = E
.‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫أسفل‬ ‫ألنها‬ 330 - = ‫ف‬
2‫ن‬ E 1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ = ‫ف‬
0 = 330 - ‫61ن‬ - 2‫ 94ن‬‫بالتبسيط‬ 2‫8٫9ن‬ * 1
2 - ‫6ن‬ = 330 -
0 = )330 + ‫01) (94ن‬ - ‫(ن‬ :‫الثالثى‬ ‫المقدار‬ ‫بالتحليل‬
)‫(مرفوض‬ 330
49 - = ‫01 ، ن‬ = ‫ن‬
:‫فكر‬
.‫ذلك‬ ‫ح‬ ِّ‫وض‬ ‫؟‬‫أخرى‬ ‫حلول‬ ‫لديك‬ ‫توجد‬ ‫هل‬ -1
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫من‬‫ثوان‬3‫بعد‬‫النافذة‬‫أمام‬‫هابطة‬‫وهى‬‫الكرة‬‫وشوهدت‬‫المنازل‬‫أحد‬‫نافذة‬‫من‬‫أعلى‬‫إلى‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬‫صغيرة‬‫كرة‬‫قذفت‬ ‌
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫النافذة‬ ‫هذه‬ ‫ارتقاع‬ ‫أوجد‬ .‫القذف‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫4ثوان‬ ‫بعد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫وصلت‬ ‫ثم‬ ، ‫قذفها‬
‫الثالث‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
‫؟‬‫الرصيف‬ ‫مالمستها‬ ‫لحظة‬ ‫سرعتها‬ ‫ما‬ .‫الرصيف‬ ‫عن‬ ‫6٫3م‬ ‫تفع‬‫ر‬‫ت‬ ‫نافذة‬ ‫من‬ ‫كرة‬ ‫سقط‬ُ‫ي‬ ‫طفل‬ ‌
.‫سقوطها‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 6 ‫بعد‬ ‫سرعتها‬ ‫ما‬ .‫أسفل‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫كرة‬ ‫سقطت‬ ‌
:‫أوجد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫094م‬ ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫ألسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫سقط‬ ‌
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫الوصول‬ ‫زمن‬ ‫أ‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 5 ‫بعد‬ ‫سرعته‬ ‫ب‬
.‫2متر‬1
2 ‫مسافة‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫وارتدت‬ ‫باألرض‬ ‫فاصطدمت‬ ‫أمتار‬ 10 ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫المطاط‬ ‫من‬ ‫كرة‬ ‫سقطت‬ ‌
.‫مباشرة‬ ‫باألرض‬ ‫اصطدامها‬ ‫وبعد‬ ‫قبل‬ ‫الكرة‬ ‫سرعة‬ ‫احسب‬
‫فإذا‬ .‫بقدمه‬ ‫فتصدم‬ ‫ركلة‬ ‫كل‬ ‫أثر‬ ‫الكرة‬ ‫تعود‬ ‫ثم‬ ،‫الهواء‬ ‫فى‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫القدم‬ ‫كرة‬ ‫ركل‬ ‫على‬ ‫طالب‬ ‫يتدرب‬ ‌
.‫ثانية‬ 0٫3 ‫بقدمة‬ ‫اصطدامها‬ ‫وحتى‬ ‫ركلها‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫الكرة‬ ‫استغرقت‬
.‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ ‫أوجد‬ ‫أ‬
.‫الطالب‬ ‫ركلها‬ ‫أن‬ ‫بعد‬ ‫الكرة‬ ‫إليه‬ ‫وصلت‬ ‫الذى‬ ‫االرتفاع‬ ‫ب‬
‫الموجب‬‫االتجاه‬
0
‫ع‬
‫القذف‬‫نقطة‬
‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬
‫سالبة‬ ‫ف‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫طوقسلا‬ ‫رحلا‬3
‫الدرس‬
65

71. :‫أوجد‬ ‫م/ث‬ 4٫9 ‫بسرعة‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫أمتار‬ 9٫8 ‫ارتفاعه‬ ‫تل‬ ‫أعلى‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‌
.‫التل‬ ‫أسفل‬ ‫إلى‬ ‫لة‬‫و‬‫وص‬ ‫لحظة‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
.‫التل‬ ‫أسفل‬ ‫إلى‬ ‫للوصول‬ ‫استغرقة‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫ب‬
:‫أوجد‬ .‫ثانية‬ 2 ‫بعد‬ ‫البئر‬ ‫قاع‬ ‫إلى‬ ‫فوصل‬ ‫ألسفل‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫م/ث‬ 4 ‫بسرعة‬ ‫بئر‬ ‫فى‬ ‫حجر‬ ‫ف‬ُ‫قذ‬ ‌
.‫البئر‬ ‫عمق‬ ‫أ‬
.‫البئر‬ ‫بقاع‬ ‫تصادمه‬ ‫عند‬ ‫الحجر‬ ‫سرعة‬ ‫ب‬
‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫أوجد‬ .‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫053م‬ ‫ارتفاع‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫م/ث‬ 14 ‫بسرعة‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسيم‬ ‫قذف‬ ‌
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫يصل‬ ‫حتى‬ ‫الجسم‬ ‫يأخذه‬
‫بعد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫ووصلت‬ ‫القذف‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 4 ‫بعد‬ ‫إليها‬ ‫فوصلت‬ ‫نافذة‬ ‫من‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫كرة‬ ‫قذفت‬ ‌
‫أوجد‬ .‫القذف‬ ‫لحظة‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 5
.‫الكرة‬ ‫قذف‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
.‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الكرة‬ ‫إليه‬ ‫وصلت‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫ب‬
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫النافذة‬ ‫ارتفاع‬ ‍‫ج‬
: ‫أوجد‬ .‫م/ث‬ 8٫4 ‫بسرعة‬ ‫ألعلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 80٫5 ‫ارتفاعه‬ ‫برج‬ ‫قمة‬ ‫من‬ 1‌
.‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الجسم‬ ‫إليه‬ ‫يصل‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫أ‬
.‫2٫11م/ث‬ ‫سرعته‬ ‫تصبح‬ ‫حتى‬ ‫هابط‬ ‫وهو‬ ‫الجسم‬ ‫يستغرقه‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‫ب‬
.‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫إلى‬ ‫الجسم‬ ‫وصول‬ ‫زمن‬ ‍‫ج‬
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫الجسم‬ ‫وصول‬ ‫زمن‬ ‫د‬
.‫أمتار‬ 10٫5 ‫مسافة‬ ‫الثالثة‬ ‫الثانية‬ ‫فى‬ ‫قطعت‬ ‫أنها‬ ‫فوجد‬ ، ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫041م‬ ‫ارتفاعه‬ ‫تل‬ ‫أعلى‬ ‫من‬ ‫كرة‬ ‫قذفت‬ 1‌
:‫أوجد‬
.‫الكرة‬ ‫بها‬ ‫قذفت‬ ‫التى‬ ‫السرعة‬ ‫أ‬
.‫الكرة‬ ‫إليه‬ ‫وصلت‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫ب‬
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫الوصول‬ ‫فى‬ ‫الكرة‬ ‫استغرقته‬ ‫الذى‬ ‫الزمن‬ ‍‫ج‬
:‫ابداعى‬ ‫تفكير‬
‫سطح‬ ‫من‬ ‫ألعلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫أخر‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‫اللحظة‬ ‫نفس‬ ‫وفى‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 60 ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫سقط‬ 1‌
‫من‬ ‫كل‬ ‫قطعها‬ ‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ،‫الزمن‬ ‫هذا‬ ‫أوجد‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫بعد‬ ‫الجسمان‬ ‫فتقابل‬ ‫ث‬ / ‫02م‬ ‫بسرعة‬ ‫األرض‬
.‫الزمنية‬ ‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫الجسمين‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
66

72. :‫وناق�ش‬‫فكر‬
‫ا‬ً‫مسار‬‫سيسلك‬‫بالتأكيد‬‫؟‬‫للقمر‬‫جاذبيتها‬‫قوة‬‫األرض‬‫َقدت‬‫ف‬‫لو‬‫القمر‬‫كة‬‫لحر‬‫يحدث‬‫ماذا‬
.‫األرض‬ ‫حول‬ ‫دائرى‬ ‫شبه‬ ‫مساره‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫من‬ ً‫بدلا‬ ‫آخر‬
‫الشمس‬ ‫وجاذبية‬ ‫للقمر‬ ‫األرض‬ ‫جاذبية‬ ‫عن‬ ‫لة‬‫و‬‫المسئ‬ ‫القوى‬ ‫أن‬ ‫نيوتن‬ ‫أدرك‬ ‫لقد‬
.‫األجسام‬ ‫بين‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫هى‬ ‫إنما‬ ‫للكواكب‬
‫الرياضى‬ ‫بحثه‬ ‫فى‬ ‫نشره‬ ‫الذى‬ ‫لنيوتن‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫قانون‬ ‫على‬ ‫اآلن‬ ‫تتعرف‬ ‫وسوف‬
:‫أن‬ ‫نيوتن‬ ‫ذكر‬ ‫حيث‬ ‫الطبيعية‬ ‫الفلسفة‬ ‫مبادئ‬
‫تتناسب‬ ‫مباشرة‬ ‫قوة‬ ‫بتأثير‬ ‫األخرى‬ ‫األجسام‬ ‫مع‬ ‫تتجاذب‬ ‫الكون‬ ‫فى‬ ‫األجسام‬ ‫كل‬
.‫كزيهما‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫مربع‬ ‫مع‬ ‫وعكسيا‬ ‫كتلتها‬ ‫مع‬ ‫طرديا‬
‫بينهما‬ ‫الجاذبية‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫ف‬ ‫مسافة‬ ‫بينهما‬ ‫وتفصل‬ 2‫ك‬ ، 1‫ك‬ ‫كتلتين‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬
:‫بالعالقة‬ ‫تعطى‬2‫ك‬ 1‫ك‬
2‫ف‬
* ‫ث‬ = X‫حيث‬
.‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬ ‫هو‬ ‫ث‬ ، ‫بالمتر‬ ‫مقاسة‬ ‫ف‬ ، ‫بالكيلوجرام‬ ‫مقاستان‬ 2‫ك‬ ، 1‫ك‬
gravitational constant :‫العام‬‫الجذب‬‫ثابت‬‫تعريف‬
‫بين‬ ‫والمسافة‬ ‫جرام‬ ‫كيلو‬ 1 ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫كتلتين‬ ‫بين‬ ‫المتبادلة‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫هو‬
.2‫كجم‬ / 2‫متر‬ . ‫نيوتن‬ 11 - 10 * 6٫67 ‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ ‫ويساوى‬ ‫متر‬ 1 ‫كزيهما‬‫مر‬
:‫شفهى‬ ‫تعبير‬
.‫جسمين‬ ‫بين‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬ ‫عليها‬ ‫تتوقف‬ ‫التى‬ ‫العوامل‬ ‫اذكر‬ -1
:‫فكر‬
‫؟‬‫بينهما‬ ‫المسافة‬ ‫ازدادت‬ ‫إذا‬ ‫جسمين‬ ‫بين‬ ‫المتبادلة‬ ‫الجذب‬ ‫لقوة‬ ‫يحدث‬ ‫ماذا‬ -1
‫؟‬‫بوضوح‬ ‫السماوية‬ ‫األجرام‬ ‫بين‬ ‫المادى‬ ‫التجاذب‬ ‫قوى‬ ‫تظهر‬ ‫لماذا‬ -2
‫مثال‬
‫بحيث‬ ،‫تان‬‫ر‬‫الك‬ ‫وضعت‬ ‫كجم‬ 0٫25 ‫الثانية‬ ‫كتلة‬‫و‬ ‫كجم‬ 5٫2 ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫كتلة‬ ‫تين‬‫ر‬‫ك‬ ‌
‫بأن‬ ‫علما‬ ، ‫بينهما‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬ ‫احسب‬ .‫05سم‬ ‫كزيهما‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫كانت‬
.2‫كجم‬ / 2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11 - 10 * 6٫67 ‫يساوى‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬
.‫لنيوتن‬ ‫اجلذب‬ ‫قانون‬
.‫العام‬ ‫اجلذب‬ ‫ثابت‬ ‫تعريف‬
‫عىل‬ ‫اجلاذبية‬ ‫عجلتى‬ ‫بني‬ ‫املقارنة‬
.‫كوكبني‬ ‫سطحى‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
4‫الدرس‬
‫العام‬‫الجذب‬‫قانون‬
Universal gravitation law
‫عام‬ ‫جذب‬
‫العام‬ ‫اجلذب‬ ‫ثابت‬
.‫اجلذب‬ ‫قوة‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
Scientific calculator
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬67

73. ‫الحل‬
2‫كجم‬ / 2‫نيوتن.م‬ 11 - 10 * 6٫67 = ‫ث‬ ، ‫م‬ 1
2 = ‫ف‬ ، ‫كجم‬ 0٫25 = 2‫ك‬ ، ‫كجم‬ 5٫2 = 1‫ك‬
11 - 10 * 6٫67 *
0٫25 * 5٫2
1
4
= X ` 2‫ك‬ 1‫ك‬
2‫ف‬
* ‫ث‬ = X a
)‫ا‬ً‫جد‬ ‫صغيرة‬ ‫قوة‬ ‫(وهى‬ ‫نيوتن‬ 10 - 10 * 3٫4684 = X
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫الجذب‬ ‫وثابت‬ ‫متر‬ 6 10 * 3 ‫بينهما‬ ‫والمسافة‬ 22 10 * 7 ‫القمر‬ ‫كتلة‬‫و‬ ‫كجم‬ 24 10 * 6 ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‌
.‫للقمر‬ ‫األرض‬ ‫جذب‬ ‫قوة‬ ‫أوجد‬ .2‫كجم‬ / 2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11 - 10 * 6٫67 ‫العام‬
‫مثال‬
‫نصف‬‫و‬ ‫كجم‬ 24 10 * 6 ‫كتلتها‬ ‫التى‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫من‬ ‫كم‬ 440 ‫ارتفاع‬ ‫على‬ ‫يدور‬ ‫كجم‬ ‫ك‬ ‫كتلته‬ ‫صناعى‬ ‫قمر‬ ‌
،2‫كجم‬ / 2‫نيوتن.م‬ 11 - 10 * 6٫67 ‫يساوى‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬ ‫بأن‬ ‫علما‬ ‫كجم‬ ‫ألقرب‬ ‫ك‬ ‫أوجد‬ ‫كم‬ 6360 ‫قطرها‬
.‫نيوتن‬ 17310 ‫هى‬ ‫للقمر‬ ‫األرض‬ ‫جذب‬ ‫قوة‬
‫الحل‬
2‫ك‬ 1‫ك‬
2‫ف‬
* ‫ث‬ = ‫ق‬ :‫القانون‬ ‫فى‬ ‫م وبالتعويض‬ 1000 * )440 + 6360( = ‫ف‬ ، 2410 * 6 = 2‫ك‬ ، ‫ك‬ = 1‫ك‬
24 10 * 6 * 1‫ك‬
2)1000 * 6800(
* 11 - 10 * 6٫67 = 17310
‫كجم‬ 2000 - 2000٫035982 = ‫ك‬
2)1000 * 6800( * 17310
24 10 * 6 * 11 - 10 * 6٫67
= ‫ك‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬
17 310 × ) 68 00 × 10 00 ( χ2
÷ ) 6.67 × 10 χ
− 11 × 6 × 10 χ 24 ( =
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
24 10 * 6 ‫كتلتها‬ ‫التى‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫من‬ ‫كم‬ 540 ‫ارتفاع‬ ‫على‬ ‫يدور‬ ‫كجم‬ 1500 ‫كتلته‬ ‫صناعى‬ ‫قمر‬ ‌
.‫كم‬ 6360 ‫قطرها‬ ‫نصف‬‫و‬ ‫كجم‬
2‫كجم‬ / 2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11 - 10 * 6٫67 ‫يساوى‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬ ‫بأن‬ ‫ا‬ً‫علم‬ ‫بالنيوتن‬ ‫للقمر‬ ‫األرض‬ ‫جذب‬ ‫قوة‬ ‫أوجد‬
‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫حساب‬
‫مثال‬
‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬‫بأن‬ ً‫ا‬‫علم‬.‫سطحها‬ ‫فوق‬ ‫وضع‬ ‫كجم‬ 1 ‫كتلته‬ ‫ا‬ً‫جسم‬‫أن‬ ‫بفرض‬ ‫كجم‬ ‫بوحدة‬ ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫احسب‬ ‌
2‫كجم‬ / 2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11 - 10 * 6٫67 = ‫ث‬ ،‫كم‬ 6360 ‫األرض‬
‫الحل‬
)2‫ث‬ / ‫م‬ 9٫8 = ‫د‬ ، ‫1كجم‬ = ‫ك‬ ‫(حيث‬ ‫د‬ ‫ك‬ = ‫للجسم‬ ‫األرض‬ ‫جذب‬ ‫قوة‬
‫نيوتن‬ 9٫8 = 9٫8 * 1 = X
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
68

74. 2‫كجم‬ / 2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11 - 10 * 6٫67 = ‫ث‬ ، ‫متر‬ 1000 * 6360 = ‫األرض‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
2‫ك‬ 1‫ك‬
2‫ف‬
* ‫ث‬ = X :‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫قانون‬ ‫بتطبيق‬
‫لألرض‬ ‫ك‬ * 1
2)1000 * 6360(
* 11 -10 * 6٫67 = 9٫8
‫كجم‬ 2410 * 6 -
2)1000 * 6360( * 9٫8
11 - 10 * 6٫67
= )‫(ك‬ ‫األرض‬ ‫كتلة‬
‫الموضوع‬‫الجسم‬‫كتلة‬‫كانت‬‫إذا‬‫السابق‬‫المثال‬‫فى‬‫األرض‬‫كتلة‬‫تتغير‬‫هل‬:‫ناقد‬ ‫تفكير‬
.‫ذلك‬ ‫ر‬ ِّ‫فس‬ ‫؟‬‫كجم‬ 1000 ‫يساوى‬ ‫سطحها‬ ‫فوق‬
‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫تساوى‬ ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫بأن‬ ‫ا‬ً‫م‬‫عل‬ ‫سطحها‬ ‫فوق‬ ‫وضع‬ ‫كجم‬ 1 ‫كتلته‬ ‫ا‬ً‫م‬‫جس‬ ‫أن‬ ‫بفرض‬ ‫األرض‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫احسب‬ ‌
2‫كجم‬ / 2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11 - 10 * 6٫67 ‫يساوى‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫وثابت‬ ‫كجم‬ 24 10 * 6
‫مثال‬
)E( ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫عجلة‬ ‫تعيين‬
‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫بأن‬ ‫ا‬ً‫علم‬ .‫سطحها‬ ‫فوق‬ ‫وضع‬ ‫1كجم‬ ‫كتلة‬ ‫لجسم‬ 2‫ث‬ / ‫م‬ ‫بوحدة‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫عجلة‬ ‫احسب‬ ‌
‫0636كم‬ ‫يساوى‬ ‫األرض‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ،‫كجم‬ 24 10 * 6 ‫تساوى‬
‫الحل‬
E = X َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ E * 1 = X ` E ‫ك‬ = ‫للجسم‬ ‫األرض‬ ‫جذب‬ ‫قوة‬ a
2‫ث‬ / ‫م‬ 9٫89379 - E
24 10 * 6 * 1
2)1000 * 6360(
* 11 - 10 * 6٫67 = E ` 2‫ك‬ 1‫ك‬
2‫ف‬
* ‫ث‬ = X a
:‫كوكبين‬‫�سطحى‬‫على‬‫الجاذبية‬‫عجلتى‬‫بين‬‫المقارنة‬
:‫اآلتية‬ ‫العالقة‬ ‫استنتاج‬ ‫يمكن‬ ‫سبق‬ ‫مما‬
2
2 H
2
1 H
* 1‫ك‬
2‫ك‬
= 1E
2E
.‫تيب‬‫ر‬‫الت‬‫على‬‫بالمتر‬‫قطريهما‬‫نصفى‬2H ،1H ،‫بالكجم‬‫كتلتيهما‬2‫ك‬ ،1‫ك‬ ،‫كب‬‫كو‬‫لكل‬‫الجاذبية‬‫عجلتى‬2E ،1E:‫حيث‬
‫مثال‬
‫عجلة‬‫كانت‬‫فإذا‬‫تيب‬‫ر‬‫الت‬‫على‬‫كم‬3476 ،‫كم‬12756‫وقطراهما‬‫مرة‬81‫القمر‬‫كتلة‬‫قدر‬‫األرض‬‫كتلة‬‫كانت‬‫إذا‬ ‌
‫؟‬‫القمر‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫الجاذبية‬ ‫تسارع‬ ‫يكون‬ ‫فكم‬ 2‫ث‬ / ‫م‬ 9٫8 ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬
‫الحل‬
‫كجم‬ ‫ك‬ 81 = ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫فتكون‬ ‫كجم‬ ‫ك‬ ‫القمر‬ ‫كتلة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
‫؟‬ = 2E ، 2‫ث‬ / ‫م‬ 9٫8 = 1E ، ‫كم‬ 1738 = 2H ، ‫كم‬ 6378 = 1H
2) 1738
6378
( *
‫ك‬ 80
‫ك‬
= 9٫8
2E
`
2
2 H
2
1 H
* 1‫ك‬
2‫ك‬
= 1E
2E
a
2‫ث‬ / ‫م‬ 1٫63 - ‫للقمر‬ E ` :‫وبالتبسيط‬
‫معلوماتك‬‫إلى‬�‫أ�ضف‬�
‫كتلته‬‫لجسم‬‫األرض‬‫جذب‬‫قوة‬
‫ك‬ 9٫8 = E‫ك‬ = ‫كجم‬ ‫ك‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫بذجلا نوناق‬ ‫اعلا‬4
‫الدرس‬
69

75. ‫تحل‬ ْ‫أن‬ ‫حاول‬
‫نصف‬‫و‬ 22 10 * 7٫36 ‫القمر‬ ‫كتلة‬‫و‬ ‫م‬ 6 10 * 6٫34 ‫قطرها‬ ‫نصف‬‫و‬ ‫كجم‬ 24 10 * 5٫97 ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‌
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫القمر‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫الجاذبية‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫فأوجد‬ ‫م‬ 6 10 * 1٫74 ‫قطره‬
‫الرابع‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
2‫كجم‬ / 2‫نيوتن.متر‬ 11 - 10 * 6٫67 = ‫ث‬ :‫لنيوتن‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬ ‫اعتبر‬ :‫تنبيه‬
‫؟‬‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫أكثر‬ ‫ابتعدت‬ ‫كلما‬ ‫نك‬‫ز‬‫لو‬ ‫يحدث‬ ‫ماذا‬ ‌
‫؟‬‫ا‬ًّ‫ي‬‫يوم‬ ‫نشاهدها‬ ‫التى‬ ‫األجسام‬ ‫بين‬ ‫الجاذبية‬ ‫قوة‬ ‫تظهر‬ ‫ال‬ ‫لماذا‬ ‌
‫؟‬‫بينهما‬ ‫المسافة‬ ‫مضاعفة‬ ‫عند‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫لقوة‬ ‫يحدث‬ ‫ماذا‬ ‌
:‫ما‬ ‫كب‬‫لكو‬ ‫ا‬ً‫ن‬‫ممك‬ ‫ا‬ً‫مدار‬ ‫عتبر‬ُ‫ي‬ ‫التالى‬ ‫بالشكل‬ ‫الموضحة‬ ‫المدارات‬ ‫من‬ ٌّ‫أى‬ ‌
‫القمر‬ ،‫ن‬ ‫قطره‬ ‫نصف‬ ‫دائرى‬ ‫مدار‬ ‫فى‬ ‫األول‬ ‫القمر‬ ،‫الكتلة‬ ‫متساويا‬ ‫قمران‬ ‫لديه‬ ‫كب‬‫كو‬ :‫متعدد‬ ‫من‬ ‫أختيار‬ ‌
:‫هى‬ ‫الثانى‬ ‫القمر‬ ‫على‬ ‫كب‬‫الكو‬ ‫بها‬ ‫يوثر‬ ‫التى‬ ‫الجاذبية‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬ ‫إن‬ .‫2ن‬ ‫قطره‬ ‫نصف‬ ‫دائرى‬ ‫مدار‬ ‫فى‬ ‫الثانى‬
.‫األول‬ ‫القمر‬ ‫على‬ ‫الموثرة‬ ‫القوة‬ ‫من‬ ‫مرات‬ ‫أربع‬ ‫أكبر‬ ‫أ‬
.‫األول‬ ‫القمر‬ ‫على‬ ‫المؤثرة‬ ‫القوة‬ ‫تساوى‬ ‍‫ج‬ .‫األول‬ ‫القمر‬ ‫على‬ ‫الموثرة‬ ‫القوة‬ ‫من‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫أكبر‬ ‫ب‬
.‫األول‬ ‫القمر‬ ‫على‬ ‫المؤثرة‬ ‫القوة‬ ‫ربع‬ ‍‫ه‬ .‫األول‬ ‫القمر‬ ‫على‬ ‫المؤثرة‬ ‫القوة‬ ‫نصف‬ ‫د‬
:‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‌
‫كتلة‬ ‫كانت‬‫و‬ ‫2م‬ ‫تين‬‫ر‬‫ك‬ ‫كزى‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
‫فما‬ ‫كجم‬ 0٫6 ‫األخرى‬ ‫كتلة‬‫و‬ ‫كجم‬ 0٫8 ‫إحداهما‬
‫؟‬‫بينهما‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬
‫؟‬‫بينهما‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬ ‫ما‬ ‫سم‬ 21٫8 ‫كزيهما‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫والبعد‬ ‫كجم‬ 6٫8 ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫كتلة‬ ‫متماثلتان‬ ‫تان‬‫ر‬‫ك‬ ‌
.‫أمتار‬ 2 ‫بينهما‬ ‫والمسافة‬ ‫كجم‬ 15 ، ‫كجم‬ 10 ‫كتلتيهما‬ ‫جسمين‬ ‫بين‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬ ‫احسب‬ ‌
‫أوجد‬ . ‫كجم‬ 2410 * 6 ‫كتلتها‬ ‫التى‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫من‬ ‫كم‬ 440 ‫ارتفاع‬ ‫على‬ ‫يدور‬ ‫كجم‬ 2000 ‫كتلته‬ ‫صناعى‬ ‫قمر‬ ‌
.‫كم‬ 6360 ‫األرض‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫بأن‬ ‫ا‬ً‫م‬‫عل‬ ‫للقمر‬ ‫األرض‬ ‫جذب‬ ‫قوة‬
‫متر‬ 2
‫كجم‬ 0٫6‫كجم‬ 0٫8
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
70

76. ‫كتلة‬‫احسب‬.‫م‬6 10* 6٫36‫يساوى‬‫األرض‬‫قطر‬‫نصف‬‫و‬2‫ث‬/‫م‬10‫هى‬)E(‫األرضية‬‫الجاذبية‬‫عجلة‬‫كانت‬‫إذا‬ 1‌
.‫األرض‬
‫حول‬ ‫دائرى‬ ‫شبه‬ ‫مدار‬ ‫فى‬ ‫تسير‬ ‫األرض‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫واألرض‬ ‫الشمس‬ ‫بين‬ ‫المتبادلة‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬ ‫احسب‬ 1‌
‫تساوى‬‫بينهما‬‫والمسافة‬‫كجم‬29 10* 9‫تساوى‬‫الشمس‬‫كتلة‬‫و‬‫كجم‬24 10* 6‫تساوى‬‫األرض‬‫كتلة‬‫وأن‬‫الشمس‬
.‫متر‬ 11 10 * 1٫5
10 * 7٫36 ‫تساوى‬ ‫القمر‬ ‫كتلة‬‫و‬ ‫م‬ 6 10 * 6٫34 ‫قطرها‬ ‫نصف‬‫و‬ 24 10 * 5٫97 ‫تساوى‬ ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ 1‌
.‫القمر‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫أمثالها‬ ‫ستة‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫الجاذبية‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫القمر‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫فأوجد‬ ‫كجم‬ 22
. ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫مجال‬ ‫شدة‬ ‫فأوجد‬ ‫م‬ 6 10 * 6٫36 ‫قطرها‬ ‫نصف‬‫و‬ 24 10 * 6٫06 ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ 1‌
‫بين‬‫النسبة‬‫احسب‬‫األرض‬‫قطر‬‫قدر‬‫مرات‬‫ثالث‬‫يساوى‬‫وقطره‬‫األرض‬‫كتلة‬‫مرات‬‫ثالث‬‫مساوية‬‫كتلته‬‫كب‬‫كو‬ 1‌
.‫األرض‬ ‫وسطح‬ ‫كب‬‫الكو‬ ‫هذا‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫الجاذبية‬ ‫عجلة‬
‫بينهما‬ ‫والمسافة‬ ‫طن‬ 4 * 2510 = ‫الثاني‬ ‫كتلة‬‫و‬ ‫طن‬ 2 * 2110 ‫األول‬ ‫كتلة‬ ‫كبين‬‫كو‬ ‫بين‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫أوجد‬ 1‌
.‫2كم‬ * 610
‫بينهما‬ ‫التجاذب‬ ‫قوى‬ ‫فكانت‬ ‫كجم‬ 25 ‫كتلتها‬ ‫النيكل‬ ‫من‬ ‫أخرى‬ ‫من‬ ‫05سم‬ ‫بعد‬ ‫على‬ ‫الحديد‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‫وضعت‬ 1‌
.‫الحديد‬ ‫الكرة‬ ‫كتلة‬ ‫تكون‬ ‫فكم‬ 6 * 8 - 10
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫بذجلا نوناق‬ ‫اعلا‬4
‫الدرس‬
71

77. ‫ملخ�ص الوحدة‬
‫إزاحة‬‫ل‬‫ا‬‫متجه‬
‫نقطة‬‫التى‬ ‫ب‬ C ‫الموجهة‬‫المستقيمة‬‫القطعة‬‫تمثله‬‫الذى‬‫المتجه‬‫هو‬
‫بالرمز‬ ‫ب‬ C ‫اإلزاحة‬ ‫لمتجه‬ ‫ويرمز‬ )‫(ب‬ ‫نهايتها‬ ‫نقطة‬‫و‬ )C( ‫بدايتها‬
|| ‫ب‬ C || ‫بالرمز‬ ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫لمعيار‬ ‫ويرمز‬ ، ‫ف‬
‫المو�ضع‬‫متجه‬
S ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫الجسيم‬ ‫موضع‬ ‫مع‬ ‫نهايته‬ ‫نقطة‬‫و‬ )‫(و‬ ‫المشاهد‬ ‫موضع‬ ‫مع‬ ‫بدايته‬ ‫تنطبق‬ ‫الذى‬ ‫المتجه‬ ‫هو‬
:‫إزحة‬‫ل‬‫ا‬‫ومتجه‬‫المو�ضع‬‫متجه‬‫بين‬‫العالقة‬
0S - S = ‫ف‬
‫ال�سرعة‬‫متجه‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫اتجاه‬ ‫على‬ ‫اتجاهه‬ ‫وينطبق‬ ‫السرعة‬ ‫قيمة‬ ‫يساوى‬ ‫معياره‬ ‫الذى‬ ‫المتجه‬ ‫هو‬ ‫جسيم‬ ‫سرعة‬ ‫متجه‬
‫المنتظمة‬‫الحركة‬
‫حيث‬ ،‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسيم‬ :َّ‫أن‬ ْ‫أى‬ ،‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ ‫واتجاه‬ ‫معيار‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التى‬ ‫الحالة‬ ‫هى‬
.‫متساوية‬ ‫زمنية‬ ‫فترات‬ ‫خالل‬ ‫متساوية‬ ‫مسافات‬ ‫يقطع‬
:‫هى‬‫المنتظمة‬‫كة‬‫الحر‬‫فى‬ ‫ع‬ ، ‫ف‬ ‫للمتجهين‬‫الجبريين‬‫القياسيين‬‫بين‬‫العالقة‬‫وتكون‬‫ن‬ ‫ع‬ = ‫ف‬
‫المتو�سطة‬‫ال�سرعة‬‫متجه‬
‫فى‬ ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫هو‬ ‫ف‬ ‫كان‬‫و‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫ب‬ ، C ‫الموضعين‬ ‫عند‬ 2‫ن‬ ، 1‫ن‬ ‫زمنيتين‬ ‫لحظتين‬ ‫عند‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‫إذا‬
:‫ويكون‬ ‫الزمنية‬ ‫الفترة‬ ‫تلك‬ ‫خالل‬ ‫الجسيم‬ ‫لهذا‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫بمتجه‬ ‫يعرف‬ ‫م‬ ‫ع‬ ‫فإن‬ )1‫ن‬ - 2‫(ن‬ ‫الزمنية‬ ‫الفترة‬
‫ف‬
1‫ن‬ - 2 ‫ن‬
= 0 S - S
1‫ن‬ - 2 ‫ن‬
= ‫م‬ ‫ع‬
:‫اللحظية‬‫ال�سرعة‬
‫عند‬ ‫المنحنى‬ ‫على‬ ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫فإن‬ ‫الزمن‬ - ‫المسافة‬ ‫منحنى‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫متغيرة‬ ‫بسرعة‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‫إذا‬
.‫اللحظية‬ ‫بالسرعة‬ ‫تعرف‬ ‫زمنية‬ ‫لحظة‬
:‫الن�سبية‬‫ال�سرعة‬
‫نا‬‫ر‬‫اعتب‬ ‫لو‬ ‫بها‬ ‫يتحرك‬ ‫أن‬ )C( ‫للجسيم‬ ‫يبدو‬ ‫التى‬ ‫السرعة‬ ‫هى‬ )‫(ب‬ ‫آخر‬ ‫لجسيم‬ ‫بالنسبة‬ )C( ‫لجسيم‬ ‫النسبية‬ ‫السرعة‬
‫بالنسبة‬‫ب‬‫سرعة‬‫متجه‬‫وأن‬‫ب‬،C ‫لجسمين‬‫سرعة‬‫متجها‬‫هما‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ، C
‫ع‬ ‫أن‬‫باعتبار‬،‫سكون‬‫حالة‬‫فى‬)‫(ب‬‫الجسيم‬
‫فإن‬ C‫ب‬ ‫ع‬ ‫هى‬ CC
‫ع‬ - ‫ب‬ ‫ع‬ = C‫ب‬ ‫ع‬
:‫المتغيرة‬‫الم�ستقيمة‬‫الحركة‬
.2‫ث‬/‫م‬‫هى‬‫قياسه‬‫ووحدة‬)‫(العجلة‬‫بالتسارع‬‫يسمى‬‫الزمن‬‫بمرور‬‫السرعة‬‫قيمة‬‫فى‬‫تغيير‬‫فيها‬‫يحدث‬‫التى‬‫كة‬‫الحر‬‫هى‬
‫البداية‬ ‫نقطة‬
‫المسار‬
‫النهاية‬ ‫نقطة‬
‫ف‬
C
‫ب‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
72

78. ‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ - ‫النهائية‬ ‫السرعة‬
‫الزمن‬
= )‫(جـ‬ ‫التسارع‬
:‫التغير‬‫منتظمة‬‫الحركة‬
‫ا‬ً‫واتجاه‬ ‫ا‬ً‫مقدار‬ ‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫العجلة‬ ‫متجه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫منتظم‬ )‫(عجلة‬ ‫بتسارع‬ ‫أو‬ ‫التغير‬ ‫منتظمة‬ ‫كة‬‫حر‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسيم‬ ‫إن‬ ‫يقال‬
.‫األزمنة‬ ‫لجميع‬
)‫(ن‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫بعد‬ )‫(ع‬ ‫سرعته‬ ‫وأصبحت‬ )‫(جـ‬ ‫ثابتة‬ ‫وعجلة‬ )‫(ع‬ ‫ابتدائية‬ ‫بسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‫إذا‬
:‫فإن‬ )‫(ف‬ ‫مسافة‬ ‫خاللها‬ ‫قطع‬
½½‫ن‬ ‫جـ‬ + 0‫ع‬ = ‫ع‬ :‫والزمن‬ ‫السرعة‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
½½2‫ن‬ ‫جـ‬1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ = ‫ف‬ :‫والزمن‬ ‫المسافة‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
½½‫ف‬ ‫2جـ‬ + 2
0‫ع‬ = 2‫ع‬ :‫والمسافة‬ ‫السرعة‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬
.‫اآلخرين‬ ‫الثالثة‬ ‫بمعلومية‬ ‫إحداهما‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫مجاهيل‬ ‫أربعة‬ ‫بين‬ ‫تربط‬ ‫العالقات‬ ‫هذه‬ ‫أن‬ ‫ويالحظ‬
½½.‫المتحرك‬ ‫الجسم‬ ‫إزاحة‬ ‫تساوى‬ ‫الزمن‬ - ‫السرعة‬ ‫منحنى‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬
½½.‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫منتصف‬ ‫فى‬ ‫اللحظية‬ ‫سرعته‬ ‫تساوى‬ ‫ما‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬ ‫لجسيم‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
:‫أج�سام‬‫ل‬‫ل‬‫أ�سية‬�‫الر‬‫الحركة‬‫قوانين‬
‫الدالة‬ )E( ‫الرمز‬ ‫استخدام‬ ‫مع‬ ‫المنتظمة‬ ‫العجلة‬ ‫ذات‬ ‫المستقيمة‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫قوانين‬ ‫لنفس‬ ‫الرأسية‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫قوانين‬ ‫تخضع‬
:‫اآلتية‬ ‫الصورة‬ ‫القوانين‬ ‫تأخذ‬ ‫وبذلك‬ )‫(جـ‬ ‫الرمز‬ ‫من‬ ً‫بدلا‬ ‫ا‬ ً‫حر‬ ‫ا‬ً‫ط‬‫سقو‬ ‫األجسام‬ ‫به‬ ‫يسقط‬ ‫الذى‬ ‫التسارع‬ ‫على‬
‫ف‬E2 + 2‫ع‬ = 2‫ع‬ ، 2‫ن‬ E1
2 + ‫ن‬ 0‫ع‬ = ‫ف‬ ، ‫ن‬ E + 0‫ع‬ = ‫ع‬
:‫فإن‬ ‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫إلى‬ ‫وعاد‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫قذف‬ ‫إذا‬
½½.‫سالبة‬ ‫تكون‬ ‫الهبوط‬ ‫أثناء‬ ‫وفى‬ ‫موجبة‬ ‫تكون‬ ‫الصعود‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬
½½.‫ا‬ً‫صفر‬ ‫تساوى‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬
½½.‫الهبوط‬ ‫زمن‬ ‫يساوى‬ ‫للجسم‬ ‫الصعود‬ ‫زمن‬
½½.‫مخالفة‬ ‫بإشارة‬ ‫القذف‬ ‫سرعة‬ ‫مقدار‬ ‫تساوى‬ ‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫إلى‬ ‫بها‬ ‫يعود‬ ‫التى‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫مقدار‬
½½‫خالل‬ ‫الجسم‬ ‫قطعها‬ ‫التى‬ ‫للمسافة‬ ‫مساوية‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫بالضرورة‬ ‫ليست‬ ‫ما‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬ ‫الجسم‬ ‫إزاحة‬
.‫الفترة‬ ‫هذه‬
‫لنيوتن‬‫العام‬‫الجذب‬‫قانون‬
2‫ك‬ 1‫ك‬
2‫ف‬
* ‫ث‬ = X : ‫بالعالقة‬ ‫تعطى‬ )X( ‫بينهما‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ 2‫ك‬ ،1‫ك‬ ‫كتلتين‬ ‫بين‬ )‫(ف‬ ‫المسافة‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
.‫بالمتر‬ ‫ف‬ ، ‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫مقاستان‬ 2‫ك‬ ، 1‫ك‬ ‫حيث‬
:‫العام‬‫الجذب‬‫ثابت‬
‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ ‫ويساوى‬ ‫متر‬ 1 ‫كزيها‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫والمسافة‬ ‫1كجم‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫كتلتين‬ ‫بين‬ ‫المتبادلة‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫هو‬
2‫/كجم‬2‫متر‬ . ‫نيوتن‬ 11- 10 * 6٫67
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬73
�����������

79. )‫الثانية‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
:‫أتي‬�‫ي‬‫ما‬‫أكمل‬�
.............................. = ‫ب‬C
‫ع‬ ‫فإن‬ ‫س‬ 3- = ‫ب‬‫ع‬ ، ‫س‬ 7 = C
‫ع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
.............................. = E‫ع‬ ‫فإن‬ ‫ى‬ 50 = ‫حـ‬‫ع‬ ، ‫ى‬ 70 = E‫حـ‬‫ع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
‫فإن‬ ‫كم/س‬ 75 ، ‫56كم/س‬ ‫بالسرعتين‬ ‫ب‬ ، C ‫سيارتان‬ ‫كت‬‫تحر‬ ‫إذا‬ ‌
.‫واحد‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كانتا‬ ‫إذا‬ .............................. = ‫ب‬C
‫ع‬ ‫أ‬
.‫متضادين‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫كانتا‬ ‫إذا‬ .............................. = ‫ب‬C
‫ع‬ ‫ب‬
.‫ثوان‬ 10 ‫لمدة‬ ‫02سم/ث‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫سكون‬ ‫من‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫سيارة‬ ‫بدأت‬ ‌
.‫م/ث‬ .............................. = ‫للسيارة‬ ‫النهائية‬ ‫السرعة‬ ‫أ‬
.‫متر‬ .............................. = ‫الفترة‬ ‫تلك‬ ‫خالل‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫ب‬
.2‫2م/ث‬ ‫تقصيرية‬ ‫بعجلة‬ ‫27كم/س‬ ‫بسرعة‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫جسم‬ ‫بدأ‬ ‌
.‫ثانية‬ .............................. = ‫يقف‬ ‫حتى‬ ‫الجسم‬ ‫يستغرقه‬ ‫الذي‬ ‫الزمن‬ ‫أ‬
.‫متر‬ .............................. = ‫الفترة‬ ‫تلك‬ ‫خالل‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫ب‬
.‫ا‬ً‫متر‬ 25 ‫قطعت‬ ‫أن‬ ‫بعد‬ ‫ثوان‬ 10 ‫خالل‬ ‫فتوقفت‬ ‫فراملها‬ ‫سيارة‬ ‫استخدمت‬ ‌
.2‫م/ث‬ .............................. = ‫الفرامل‬ ‫استخدام‬ ‫أثناء‬ ‫فى‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫عجلة‬ ‫أ‬
.‫م/ث‬ .............................. = ‫الفرامل‬ ‫استخدام‬ ‫بدء‬ ‫عند‬ ‫السيارة‬ ‫سرعة‬ ‫ب‬
:‫ثوان‬ 5 ‫بعد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫فوصل‬ ‫رأسي‬ ‫برج‬ ‫قمة‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫سقط‬ ‌
.‫م/ث‬ .............................. = ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫له‬‫و‬‫وص‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
.‫متر‬ .............................. = ‫البرج‬ ‫ارتفاع‬ ‫ب‬
:‫ثوان‬ 4 ‫بعد‬ ‫إليها‬ ‫فعاد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫ألعلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‌
.‫م/ث‬ .............................. = ‫الجسم‬ ‫قذف‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
.‫متر‬ .............................. = ‫الجسم‬ ‫إليه‬ ‫وصل‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫ب‬
:‫7م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫ألعلى‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‫متر‬ 20 ‫ارتفاعه‬ ‫برج‬ ‫قمة‬ ‫من‬ ‌
.‫م/ث‬ .............................. = ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫الوصول‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
.‫ثانية‬ .............................. = ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫الوصول‬ ‫زمن‬ ‫ب‬
‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫فإن‬ ،‫األرض‬ ‫قطر‬ ‫قدر‬ ‫مرات‬ ‫ثالث‬ ‫يساوي‬ ‫وقطره‬ ‫األرض‬ ‫كتلة‬ ‫مرات‬ ‫ثالث‬ ‫مساوية‬ ‫كتلته‬ ‫كب‬‫كو‬ 1‌
.................. : .................. ‫كنسبة‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫كب‬‫الكو‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫الجاذبية‬ ‫عجلة‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
74

80. ‫لمدة‬ ‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫8م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫تحرك‬ ‫ثم‬ ‫5م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫001م‬ ‫مسافة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسم‬ ‫يتحرك‬ 1‌
.‫كلها‬ ‫الرحلة‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫أوجد‬ ‫01ثوان‬
‫المسافة‬‫كانت‬‫فإذا‬‫021كم/س‬،‫م/د‬1000‫بالسرعتين‬ C ‫ب‬ ‫االتجاه‬‫فى‬‫مستقيم‬‫خط‬‫فى‬‫ب‬،C ‫جسمان‬‫يتحرك‬ 1‌
.‫يلتقيان‬ ‫وأين‬ ‫متى‬ ‫أوجد‬ .‫03كم‬ ‫بينهما‬
‫المضاد‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫قادمة‬ )‫(ب‬ ‫لسيارة‬ ‫النسبية‬ ‫السرعة‬ ‫بقياس‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫تتحرك‬ )C( ‫سيارة‬ ‫قامت‬ 1‌
‫أصبحت‬ )‫(ب‬ ‫سرعة‬ ‫أن‬ ‫وجدت‬ ‫القياس‬ ‫وأعادت‬ ‫سرعتها‬ )C( ‫السيارة‬ ‫ضاعفت‬ ‫لما‬‫و‬ ،‫031كم/س‬ ‫فوجدتها‬
.‫السيارتين‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعة‬ ‫أوجد‬ ‫081كم/س‬
‫االتجاه‬‫فى‬‫قادمة‬‫نقل‬‫شاحنة‬‫كة‬‫حر‬‫راقبت‬‫03كم/س‬‫بسرعة‬‫تسير‬‫السريعة‬‫الطرق‬‫على‬‫السرعة‬‫لمراقبة‬‫سيارة‬ 1‌
.‫للشاحنة‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعة‬ ‫أوجد‬ ‫011كم/س‬ ‫بسرعة‬ ‫تتحرك‬ ‫كأنها‬‫و‬ ‫فبدت‬ ‫المضاد‬
.‫ثوان‬6‫خالل‬‫يقطعها‬‫التي‬‫والمسافة‬‫سرعته‬‫أوجد‬.‫4م/ث‬‫منتظمة‬‫وبعجلة‬‫7م/ث‬‫بسرعة‬‫مستقيم‬‫خط‬‫فى‬‫جسم‬‫تحرك‬ 1‌
‫تحرك‬ ‫8م/ث‬ ‫سرعته‬ ‫أصبحت‬ ‫وعندما‬2‫02كم/ث‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬‫فى‬ ‫سكون‬ ‫من‬ ‫كته‬‫حر‬‫جسم‬‫بدأ‬ 1‌
.‫الكلية‬ ‫والمسافة‬ ‫التقصيرية‬ ‫العجلة‬ ‫احسب‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بداية‬ ‫من‬ ‫ثانية‬ 112 ‫بعد‬ ‫سكن‬ ‫حتى‬ ‫منتظم‬ ‫بتقصير‬
‫بالسرعة‬ ‫وسار‬ ‫العجلة‬ ‫انقطعت‬ ‫45كم/س‬ ‫سرعته‬ ‫أصبحت‬ ‫وعندما‬ ‫051م‬ ‫فقطع‬ ‫سكون‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫تحرك‬ 1‌
‫السرعة‬ ‫احسب‬ .‫سكن‬ ‫حتى‬ 2‫م/ث‬ 3
2 ‫قدره‬ ‫منتظمة‬ ‫بتقصير‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫تحرك‬ ‫ثم‬ ،‫متر‬ 300 ‫مسافة‬ ‫اكتسبها‬ ‫التي‬
.‫كلها‬ ‫الرحلة‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬
‫الثوان‬‫فى‬‫ا‬ً‫متر‬92‫مسافة‬‫قطع‬‫ثم‬‫لى‬‫و‬‫األ‬‫األربع‬‫الثوان‬‫فى‬‫ا‬ً‫متر‬52‫فقطع‬‫منتظمة‬‫بعجلة‬‫مستقيم‬‫خط‬‫فى‬‫جسم‬‫يتحرك‬ 1‌
.‫كته‬‫حر‬‫من‬‫لى‬‫و‬‫األ‬‫ثوان‬ 10‫خالل‬‫المقطوعة‬‫والمسافة‬‫االبتدائية‬‫والسرعة‬‫كة‬‫الحر‬‫عجلة‬‫احسب‬.‫لها‬‫التالية‬‫األربع‬
‫ى‬ )3 - 2‫(3ن‬ = S ‫بالعالقة‬ ‫يتحدد‬ ‫و‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫يتحرك‬ ‫جسيم‬ ‫موضع‬ ‫متجه‬ S ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
.‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثوان‬ 4 ‫بعد‬ ‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫فأوجد‬
:‫أوجد‬ .‫ا‬ً‫متر‬ 34٫3 ‫كته‬‫حر‬ ‫من‬ ‫األخيرة‬ ‫الثانية‬ ‫فى‬ ‫فقطع‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عند‬ ‫ف‬ ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫سقط‬ 2‌
.‫الجسم‬ ‫منه‬ ‫سقط‬ ‫الذي‬ ‫االرتفاع‬ ‫ب‬ .‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫الجسم‬ ‫وصول‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
:‫أوجد‬ .‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 350 ‫ارتفاع‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫41م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ 2‌
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫يصل‬ ‫حتى‬ ‫الجسم‬ ‫يأخذه‬ ‫الذي‬ ‫الزمن‬ ‫أ‬
.‫األرض‬ ‫لسطح‬ ‫له‬‫و‬‫وص‬ ‫حتى‬ ‫الجسم‬ ‫قطعها‬ ‫التي‬ ‫الكلية‬ ‫المسافة‬ ‫ب‬
8 -
10 * 12‫بينهما‬‫التجاذب‬‫قوة‬‫فكانت‬‫05كجم‬‫كتلتها‬‫النيكل‬‫من‬‫أخرى‬‫04سم‬‫بعد‬‫على‬‫الحديد‬‫من‬‫قطعة‬‫وضعت‬ 2‌
2‫/كجم‬2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11-
10 * 6٫67 ‫يساوي‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الحديد‬ ‫كرة‬ ‫كتلة‬ ‫تكون‬ ‫فكم‬ ‫نيوتن‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬75
)‫(الوحدة الثانية‬‫عامة‬‫متارين‬

81. ‫تراكمي‬ ‫اختبار‬
:‫أوجد‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 8٫16 ‫مقدارايهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫لهما‬ ‫محصلة‬ ‫أكبر‬ ‫مقدار‬ ‫أ‬
.‫لهما‬ ‫محصلة‬ ‫أصغر‬ ‫مقدار‬ ‫ب‬
.c120 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫محصلتهما‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‍‫ج‬
‫الغربي‬ ‫والجنوبي‬ ‫الغربي‬ ‫الشمال‬ ، ‫الشرق‬ ‫نحو‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 8 ، 2 2 ، 2 5 ، 12 ‫القوى‬ ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫والجنوب‬
‫وقياس‬ ‫متعامدين‬ ‫الخيطان‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ،‫اآلخرين‬ ‫طرفاهما‬ ‫مثبت‬ ‫خيطين‬ ‫بواسطة‬ ‫معلق‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 28 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‌
.‫الخيطين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫احسب‬ .c120 ‫الجسم‬ ‫وزن‬ ‫عمل‬ ‫وخط‬ ‫إحداهما‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬
‫حالة‬ ‫فى‬ ‫الجسم‬ ‫حفظ‬ .c30 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقي‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫موضوع‬ ‫كجم‬ ‫09ث‬ ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‌
‫مقدار‬‫أوجد‬.c30‫قياسها‬‫بزاوية‬‫المستوى‬‫على‬‫يميل‬‫اتجاه‬‫فى‬‫أعلى‬‫إلى‬‫الجسم‬‫على‬‫تؤثر‬‫ق‬‫قوة‬‫بواسطة‬‫توازن‬
.‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫ق‬
‫قوة‬ )‫(ب‬ ‫اآلخر‬ ‫طرفه‬ ‫على‬ ‫وأثرت‬ ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫فى‬ ‫مثبت‬ ‫بمفصل‬ )C( ‫طرفه‬ ‫يتصل‬ ‫008ث‬ ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‌
‫فعل‬‫رد‬‫ومقدار‬‫الحائط‬‫على‬‫القضيب‬‫ميل‬‫زاوية‬‫قياس‬‫أوجد‬.‫توازن‬‫حالة‬‫فى‬‫لتجعله‬‫جم‬‫ث‬400‫مقدارها‬‫أفقية‬
.‫المفصل‬
‫نفس‬ ‫على‬ ‫تتحرك‬ )‫(ب‬ ‫أخرى‬ ‫سيارة‬ ‫شاهدت‬ .‫52كم/س‬ ‫بسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ )C( ‫شرطة‬ ‫سيارة‬ ‫تتحرك‬ ‌
:‫عندما‬ )C( ‫للسيارة‬ ‫بالنسبة‬ )‫(ب‬ ‫السيارة‬ ‫سرعة‬ ‫أوجد‬ .‫57كم/س‬ ‫بسرعة‬ ‫الطريق‬
.‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫كان‬‫تتحر‬ ‫السيارتان‬ ‫أ‬
.)C( ‫للسيارة‬ ‫مضاد‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫تتحرك‬ )‫(ب‬ ‫السيارة‬ ‫ب‬
‫لهذا‬ ‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ ‫اتجاه‬ ‫نفس‬ ‫وفي‬ 2‫5كم/ث‬ ‫مقدارها‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
:‫أوجد‬ .‫04سم/ث‬ ‫وقدرها‬ ‫الجسيم‬
.‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثانية‬ 24 ‫نهاية‬ ‫فى‬ ‫وإزاحته‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫أ‬
.‫البداية‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 56 ‫مسافة‬ ‫قطع‬ ‫أن‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫ب‬
‫ثانية‬ 20 ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫عن‬ ‫فتوقفت‬ ، 2‫سم/ث‬ 14 ‫مقداره‬ ‫منتظم‬ ‫بتقصير‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫فى‬ ‫سيارة‬ ‫تتحرك‬ ‌
:‫أوجد‬ .‫البداية‬ ‫لحظة‬ ‫من‬
.‫االبتدائية‬ ‫سرعتها‬ ‫مقدار‬ ‫أ‬
.‫دقيقة‬ ‫نصف‬ ‫خالل‬ ‫قطعتها‬ ‫التي‬ ‫المسافة‬ ‫ب‬
.‫سكنت‬ ‫حتى‬ ‫قطعتها‬ ‫التي‬ ‫المسافة‬ ‍‫ج‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫اكيمانيدلا‬ 
76

82. ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫يسكن‬ ‫أن‬ ‫قبل‬ ‫41سم‬ ‫مسافة‬ ‫فيها‬ ‫فغاص‬ ‫رخوة‬ ‫أرض‬ ‫نحو‬ ‫ما‬ ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫أسفل‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫سقط‬ ‌
.‫الجسيم‬ ‫منه‬ ‫سقط‬ ‫الذي‬ ‫االرتفاع‬ ‫هو‬ ‫فما‬ 2‫36م/ث‬ ‫مقداره‬ ‫منتظم‬ ‫بتقصير‬ ‫األرض‬ ‫داخل‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسم‬
.‫ثواني‬ 8 ‫بعد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلى‬ ‫فوصل‬ ‫م/ث‬ 24٫5 ‫مقدارها‬ ‫بسرعة‬ ‫أعلى‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ًّ‫ي‬‫رأس‬ ‫برج‬ ‫قمة‬ ‫من‬ ‫جسيم‬ ‫قذف‬ 1‌
:‫أوجد‬
.‫البرج‬ ‫ارتفاع‬ ‫أ‬
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫الجسم‬ ‫إليه‬ ‫يصل‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫ب‬
.‫المدة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫الجسم‬ ‫يقطعها‬ ‫التي‬ ‫المسافة‬ ‍‫ج‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬77
‫تراكمي‬‫اختبار‬

83. ‫الوحدة‬
‫الثالثة‬
:‫أن‬ ‫على‬ ‫ا‬ً‫ر‬‫قاد‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫المتوقع‬ ‫من‬ ‫الوحدة‬ ‫نهاية‬ ‫فى‬
••‫القائم‬‫الهرم‬-‫المنتظم‬‫الهرم‬-‫(الهرم‬‫المجسمات‬‫بعض‬‫يتعرف‬
.‫منها‬‫كل‬‫وخواص‬،)‫القائم‬‫المخروط‬-‫المخروط‬-
••‫القائم‬‫الهرم‬‫من‬‫لكل‬‫الكلية‬‫والمساحة‬‫الجانبية‬‫المساحة‬‫يستنتج‬
.‫القائم‬‫المخروط‬-
••. ‫القائم‬ ‫المخروط‬ - ‫القائم‬ ‫الهرم‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫حجم‬ ‫يستنتج‬
••‫وطول‬،‫مركزها‬‫من‬‫كل‬‫إحداثيات‬‫بداللة‬‫الدائرة‬‫معادلة‬‫يوجد‬
.‫قطرها‬ ‫نصف‬
••.‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫يستنتج‬
••‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ،‫الدائرة‬ ‫مركز‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫إحداثيات‬ ‫يعين‬
.‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫بمعلومية‬
••‫رياضية‬ ‫مواقف‬ ‫نمذجة‬ ‫فى‬ ‫والقياس‬ ‫بالهندسة‬ ‫درسه‬ ‫ما‬ ‫يطبق‬
.‫وحياتية‬
‫والمعابد‬ ‫األهرامات‬ ‫وبناء‬ ‫األراضى‬ ‫مساحات‬ ‫تحديد‬ ‫فى‬ ‫المصريين‬ ‫قدماء‬ ‫فاستخدمها‬ ‫العملية‬ ‫بالناحية‬ ‫مرتبطة‬ ‫بدايتها‬ ‫فى‬ ‫الهندسة‬ ‫نشأت‬
‫فى‬ ‫المصريين‬ ‫طرق‬ ‫له‬ ‫راقت‬ ‫اإلسكندرية‬ )‫ق.م‬ 546 - 640( ‫طاليس‬ ‫زار‬ ‫وعندما‬ .‫المجسمات‬ ‫بعض‬ ‫وحجوم‬ ‫األشكال‬ ‫بعض‬ ‫مساحات‬ ‫فأوجدوا‬
‫قياس‬ ‫وتعنى‬ metron ،‫األرض‬ ‫وتعنى‬ Geo ‫كلمتى‬ ‫من‬ ‫والمكونة‬ ‫اليونانية‬ ‫اللغة‬ ‫عن‬ ‫المأخوذة‬ Geo-metron ‫كلمة‬ ‫عليها‬ ‫وأطلق‬ ‫األرض‬ ‫قياس‬
.‫للبرهان‬ ‫خاضعة‬ ‫مجردة‬ ‫صريحة‬ ‫تعبيرات‬ ‫أنها‬ ‫على‬ ‫الهندسة‬ ‫بدراسة‬ ‫واهتم‬
‫فى‬ ‫مرتبة‬ ‫وتعاريف‬ ‫مسلمات‬ ‫بضع‬ ‫على‬ ‫المبنية‬ ‫النظريات‬ ‫من‬ ‫سلسلة‬ ‫بظهور‬ )‫إقليدس‬ -‫فيثاغورث‬ - ‫(طاليس‬ ‫اإلغريق‬ ‫يد‬ ‫على‬ ‫الهندسة‬ ‫تطورت‬
‫ذلك‬ ‫وحفظوا‬ ‫العرب‬ ‫جاء‬ ‫أن‬ ‫إلى‬ ‫المعرفة‬ ‫منارة‬ ‫االسكندرية‬ ‫واستمرت‬ ،‫ًا‬‫ء‬‫جز‬ 13 ‫من‬ ‫المكون‬ ‫األصول‬ ‫كتابه‬ ‫فى‬ ‫إقليدس‬ ‫ضمنه‬ ‫دقيق‬ ‫منطقى‬ ‫نظام‬
.‫عشر‬ ‫الثانى‬ ‫القرن‬ ‫فى‬ ‫أوربا‬ ‫إلى‬ ‫ونقلوه‬ ‫كثيرة‬ ‫إضافات‬ ‫إليه‬ ‫وأضافوا‬ ‫العربية‬ ‫اللغة‬ ‫إلى‬ ‫بترجمته‬ ‫التراث‬
‫وقام‬ ‫التحليلية‬ ‫الهندسة‬ ‫أسس‬ )1650-1596( ‫ديكارت‬ ‫فقدم‬ ‫جديدة‬ ‫علوم‬ ‫وميالد‬ ‫الرياضيات‬ ‫فى‬ ‫النهضة‬ ‫عصر‬ ‫بدأ‬ ‫عشر‬ ‫السادس‬ ‫القرن‬ ‫فى‬
Euler ‫أويلر‬ ‫توصل‬ ‫كما‬ 2‫نق‬ = 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫واستخلص‬ ‫بمعادالت‬ ‫األشكال‬ ‫عن‬ ‫والتعبير‬ ‫وهندسية‬ ‫بيانية‬ ‫بأشكال‬ ‫المعادالت‬ ‫بتمثيل‬
:‫وهى‬ ‫مضلعة‬ ‫منطقة‬ ‫قاعدته‬ ‫مجسم‬ ‫ألى‬ ‫األحرف‬ ‫وعدد‬ ‫الرؤوس‬ ‫وعدد‬ ‫األوجه‬ ‫عدد‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫وجود‬ ‫إلى‬
.2 + ‫األحرف‬ ‫عدد‬ = ‫الرؤوس‬ ‫عدد‬ + ‫األوجه‬ ‫عدد‬
‫الوحدة‬ ‫مقدمة‬
‫الوحدة‬ ‫أهداف‬
‫القياس‬ ‫و‬ ‫الهندسة‬
Geometry and Measurement
78

84. ‫األساسية‬ ‫المصطلحات‬
‫الوحدة‬ ‫دروس‬
‫والوسائل‬ ‫األدوات‬
‫للوحدة‬ ‫تنظيمى‬ ‫مخطط‬
ÑÑ‫علمية‬‫حاسبة‬‫الة‬ÑÑ‫للحاسوب‬‫رسومية‬‫برامج‬
.‫والمخروط‬ ‫الهرم‬ :)1 - 3( ‫الدرس‬
.‫والمخروط‬ ‫للهرم‬ ‫الكلية‬ ‫والمساحة‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ :)2 - 3( ‫الدرس‬
‫والمخروط‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬ :)3 - 3( ‫الدرس‬
.‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ :)4 - 3( ‫الدرس‬
ÑÑVertex ‫س‬‫رأ‬
ÑÑBase ‫ة‬‫قاعد‬
ÑÑAxis ‫ر‬‫محو‬
ÑÑCircle ‫ة‬‫دائر‬
ÑÑCenter ‫ز‬‫مرك‬
ÑÑRadius ‫ر‬‫قط‬‫نصف‬
ÑÑDiameter ‫ر‬‫قط‬
ÑÑPyramid ‫م‬‫هر‬
ÑÑCone ‫ط‬‫مخرو‬
ÑÑLateral face ‫ى‬‫جانب‬‫وجه‬
ÑÑLateral edge ‫ى‬‫جانب‬‫حرف‬
ÑÑHight ‫ع‬‫ارتفا‬
ÑÑSlant hight ‫ى‬‫جانب‬‫ارتفاع‬
ÑÑRegular pyramid ‫م‬‫منتظ‬‫هرم‬
ÑÑRight pyramid ‫م‬‫قائ‬‫هرم‬
ÑÑNet of a pyramid ‫م‬‫هر‬‫شبكة‬
ÑÑ‫م‬‫قائ‬‫دائرى‬‫مخروط‬
Right circular cone
ÑÑLateral area ‫ة‬‫جانبي‬‫مساحة‬
ÑÑ)‫(سطحية‬‫كلية‬‫مساحة‬
Surface area
)‫(المجسمات‬ ‫األبعاد‬ ‫ثالثية‬ ‫أشكال‬
‫الهرم‬‫المضلعات‬ ‫المخروط‬‫الدائرة‬
‫الحجم‬
‫الدائرى‬ ‫القطاع‬
‫حياتية‬ ‫تطبيقات‬‫الدائرة‬ ‫معادلة‬
)‫(الكلية‬ ‫السطحية‬ ‫المساحة‬
‫البعد‬ ‫ثنائية‬ ‫اشكال‬
79

85. 1
‫الدرس‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
‫املجسامت‬ ‫بعض‬ ‫خواص‬
‫القائم‬ ‫اهلرم‬ - ‫املنتظم‬ ‫اهلرم‬ -‫اهلرم‬
.‫القائم‬ ‫املخروط‬ - ‫املخروط‬ -
‫واستنتاج‬ ‫املجسم‬ ‫شبكة‬ ‫مفهوم‬
- ‫شبكته‬ ‫من‬ ‫املجسم‬ ‫خواص‬
.‫جمسم‬ ‫شبكة‬ ‫رسم‬
‫رياضية‬ ‫مشكالت‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫نمذجة‬
‫اهلرم‬ ‫خواص‬ ‫باستخدام‬ ‫حياتية‬ ‫و‬
.‫القائم‬ ‫املخروط‬ ‫و‬
‫الكرتون‬ ‫ورق‬ ‫بطى‬ ‫العبوات‬ ‫من‬ ‫العديد‬ ‫تصنع‬
‫لتعبئة‬ ‫البعد‬ ‫ثالثية‬ ‫أشكال‬ ‫إلى‬ ‫المسطح‬
‫فتشغل‬ ‫تسويقها‬ ‫قبل‬ ‫المصانع‬ ‫منتجات‬
‫متوازى‬ ، ‫المكعب‬ ‫مثل‬ ، ‫الفراغ‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫حيز‬
...‫المستطيالت‬
½½‫؟‬‫له‬ ‫ا‬ ً‫رأس‬ ‫كم‬‫و‬ ‫؟‬‫للمكعب‬ ‫ا‬ً‫ه‬‫وج‬ ‫كم‬
½½‫؟‬‫المستطيالت‬ ‫لمتوازى‬ ‫ًا‬‫ف‬‫حر‬ ‫كم‬
½½‫فسر‬ ‫؟‬‫متطابقة‬ ‫المكعب‬ ‫أوجه‬ ‫جميع‬ ‫هل‬
.‫إجابتك‬
‫ا‬ً‫مجسم‬‫لتكوين‬‫طيه‬‫يمكن‬‫الذى‬‫الشكل‬‫نسمى‬
.‫المجسم‬‫خواص‬‫نستنتج‬‫ومنها‬‫المجسم‬‫بشبكة‬
‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫شبكة‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يبين‬
:‫الحظ‬ ، ‫قائمة‬
‫منهما‬ ‫كل‬‫و‬ ‫متطابقتين‬ ‫االسطوانة‬ ‫قاعدتا‬ - 1
.‫دائرة‬ ‫شكل‬ ‫على‬
‫هو‬ ‫طيه‬ ‫قبل‬ ‫لألسطوانة‬ ‫الجانبى‬ ‫السطح‬ - 2
‫فيكون‬ ‫01سم‬ ، ‫44سم‬ ‫بعداه‬ ‫مستطيل‬
.‫01سم‬ ‫االسطوانة‬ ‫إرتفاع‬
‫؟‬‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫ما‬
:‫فكر‬
‫من‬‫تكوينه‬‫يمكن‬‫الذى‬‫المجسم‬‫اسم‬‫معرفة‬‫يمكنك‬‫هل‬
.‫خواصه‬ ‫بعض‬ ‫استنتج‬ ‫؟‬‫المقابلة‬ ‫الشبكة‬ ‫طى‬
‫؟‬‫الواحد‬ ‫للمجسم‬ ‫شبكة‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬
‫سم‬ 10
‫سم‬ 44
‫والمخروط‬‫الهرم‬
Pyramid and Cone
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
Pyramid ‫م‬‫هر‬
Cone ‫ط‬‫خمرو‬
Lateral face ‫ى‬‫جانب‬ ‫وجه‬
Lateral edge ‫ى‬‫جانب‬ ‫حرف‬
Height ‫ع‬‫ارتفا‬
Slant hieght ‫ى‬‫جانب‬ ‫ارتفاع‬
Regular pyramid ‫م‬‫منتظ‬ ‫هرم‬
Right pyramid ‫م‬‫قائ‬ ‫هرم‬
Net ‫ة‬‫شبك‬
‫م‬‫قائ‬ ‫دائرى‬ ‫خمروط‬
Right circular cone
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
‫رسومية‬ ‫برامج‬
‫وجه‬
‫حرف‬ ‫رأس‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 80

86. Pyramid ‫الهرم‬
‫ا‬ً‫ي‬‫رباع‬ ‫أو‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫ثالث‬ ‫ا‬ً‫هرم‬ ‫ويسمى‬ ‫واحدة‬ ‫رأس‬ ‫فى‬ ‫تشترك‬ ‫مثلثات‬ ‫األخرى‬ ‫أوجهه‬ ‫وجميع‬ ‫واحدة‬ ‫قاعدة‬ ‫له‬ ‫مجسم‬ ‫هو‬
.‫قاعدته‬ ‫مضلع‬ ‫أضالع‬ ‫عدد‬ ‫حسب‬ ...‫ا‬ً‫ي‬‫خماس‬ ‫أو‬
‫وقاعدته‬‫م‬‫رأسه‬ ،‫خماسى‬‫هرم‬‫هـ‬E ‫جـ‬‫ب‬C ‫م‬‫المقابل‬‫الشكل‬‫فى‬:‫الحظ‬
،‫ب‬C ‫م‬‫المثلثات‬‫سطوح‬Lateral faces ‫الجانبية‬‫أوجهه‬ ،‫هـ‬E ‫جـ‬‫ ب‬C‫المضلع‬
، C ‫م‬ Lateral edges ‫الجانبية‬ ‫وأحرفه‬ ، C ‫هـ‬ ‫م‬ ، ‫هـ‬ E ‫م‬ ، E ‫جـ‬ ‫م‬ ، ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫م‬
. ‫هـ‬ ‫م‬ , E ‫م‬ ، ‫جـ‬ ‫م‬ ، ‫ب‬ ‫م‬
.‫قاعدته‬ ‫مستوى‬ ‫عن‬ ‫الهرم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫هو‬ )‫ن‬ ‫(م‬ height ‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬
. ‫قاعدته‬ ‫أضالع‬ ‫أحد‬ ‫عن‬ ‫الهرم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫هو‬ )‫س‬ ‫(م‬ Slant height ‫الجانبى‬ ‫االرتفاع‬
Regular pyramid ‫م‬‫المنتظ‬‫الهرم‬
.‫عليها‬ ‫الهرم‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫موقع‬ ‫مركزه‬ ‫منتظم‬ ‫مضلع‬ ‫قاعدته‬ ‫الذى‬ ‫الهرم‬ ‫هو‬
‫تعريف‬
‫المنتظم‬‫الهرم‬‫خوا�ص‬
.‫الطول‬ ‫متساوية‬ ‫الجانبية‬ ‫أحرفه‬ - 1
‫ومتطابقة‬ ‫الساقين‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫سطوح‬ ‫الجانبية‬ ‫أوجهه‬ - 2
.‫متساوية‬ ‫الجانبية‬ ‫االرتفاعات‬ - 3
:‫هامة‬ ‫مالحظة‬
‫أى‬ ‫على‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عمود‬ ‫يكون‬ ‫قاعدته‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫الهرم‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫العمودى‬ ‫المستقيم‬
‫فيها‬ ‫مستقيم‬
:‫فإن‬ ‫القاعدة‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫عمودى‬ ‫ن‬ ‫م‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫ففى‬
‫س‬ ‫ن‬ = ‫ن‬ ‫م‬ ، E ‫ب‬ = ‫ن‬ ‫م‬ ، ‫جـ‬ C = ‫ن‬ ‫م‬
.‫ن‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫ن‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫المثلث‬ ‫ويكون‬
‫مثال‬
‫01سم‬ ‫يساوى‬ E ‫جـ‬ ‫ ب‬C ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫م‬ ‌
.‫شبكاته‬ ‫إحدى‬ ‫وارسم‬ ‫الجانبى‬ ‫ارتفاعه‬ ‫أوجد‬ ، ‫21سم‬ ‫وإرتفاعه‬
‫الحل‬
E ‫جـ‬ ‫ب‬C ‫المستوى‬ = ‫ن‬ ‫م‬ ` ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫الهرم‬ a
‫21سم‬ = ‫ن‬ ‫م‬ ، E ‫جـ‬ ‫ب‬C‫المربع‬ ‫قطرى‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫ن‬ ‫ حيث‬
)‫؟‬‫(لماذا‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ = ‫س‬ ‫م‬ ` ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫منتصف‬ ‫س‬ ‫ بفرض‬
.‫المنتظم‬ ‫للهرم‬ ‫جانبى‬ ‫ارتفاع‬ ‫س‬ ‫م‬ ‫ ويكون‬
C
‫ب‬‫جـ‬
E
‫س‬‫ن‬
‫هـ‬
‫م‬
‫أن‬�‫تذكر‬
‫مضلع‬ ‫هو‬ ‫المنتظم‬ ‫المضلع‬
‫وزواياه‬ ‫الطول‬ ‫متساوية‬ ‫أضالعه‬
‫مركز‬‫هو‬‫مركزه‬‫القياس‬‫متساوية‬
‫أو‬ ‫داخله‬ ‫المرسومة‬ ‫الدائرة‬
.‫خارجه‬
C
‫س‬‫ن‬
‫ب‬‫جـ‬
E
‫م‬
C
‫س‬ ‫ن‬
‫ب‬
‫جـ‬ E
‫م‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫مرهلا‬ ‫ورخملاو‬1
‫الدرس‬
81

87. ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫منتصف‬ ‫ ، س‬ ‫ب‬ E ‫منتصف‬ ‫ن‬ : ‫جـ‬ ‫ب‬ E 9 ‫فى‬
‫5سم‬ = 10 * 1
2 = ‫جـ‬E 1
2 = ‫س‬ ‫ن‬ `
E ‫جـ‬ ‫ب‬C ‫المستوى‬ = ‫ن‬ ‫م‬ a
‫ن‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫س‬ ‫ن‬ ‫م‬ 9 `
169 = 2)5( + 2)12( = 2)‫س‬ ‫(ن‬ + 2)‫ن‬ ‫(م‬ = 2)‫س‬ ‫(م‬ :‫ويكون‬
‫31سم‬ = ‫للهرم‬ ‫الجانبى‬ ‫االرتفاع‬ `
E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫م‬ ‫الهرم‬ ‫شبكات‬ ‫إحدى‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫ويوضح‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫وارسم‬ ،‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬ .‫52سم‬ ‫الجانبى‬ ‫وارتفاعه‬ ،‫02سم‬ ‫إرتفاعه‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫م‬ ‌
.‫شبكاته‬ ‫إحدى‬ ‫يوضح‬ ً‫ال‬‫شك‬
Right pyramid ‫م‬‫القائ‬‫الهرم‬
.‫الهندسى‬‫بمركزها‬‫يمر‬‫قاعدته‬‫على‬‫الهرم‬‫رأس‬‫من‬‫المرسوم‬‫العمود‬‫موقع‬‫كان‬‫إذا‬‫وفقط‬‫إذا‬‫ا‬ً‫قائم‬‫الهرم‬‫يكون‬
:‫فكر‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫قائم‬ ‫هرم‬ ‫هو‬ ‫المنتظم‬ ‫الهرم‬ ‫هل‬ - 1
‫؟‬‫قاعدته‬ ‫لشكل‬ ‫توقعك‬ ‫فما‬ ‫منته‬ ‫غير‬ ‫عدد‬ ‫إلى‬ ‫واقترب‬ ‫منتظم‬ ‫هرم‬ ‫قاعدة‬ ‫مضلع‬ ‫أضالع‬ ‫عدد‬ ‫تزايد‬ ‫إذا‬ - 2
.‫عندئذ‬ ‫الجانبية‬ ‫أوجهه‬ ‫وضع‬ ‫ناقش‬
Cone ‫المخروط‬
، ‫واحدة‬ ‫ورأس‬ ‫مغلق‬ ‫منحنى‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫قاعدة‬ ‫له‬ ‫مجسم‬ ‫هو‬
‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطع‬ ‫نقط‬ ‫جميع‬ ‫من‬ ‫الجانبى‬ ‫سطحه‬ ‫ويتكون‬
.‫المخروط‬ ‫براسم‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫يعرف‬ ‫والتى‬ ‫قاعدته‬ ‫منحنى‬ ‫إلى‬ ‫رأسه‬
Right circular cone ‫م‬‫القائ‬‫الدائرى‬‫المخروط‬
.‫كمحور‬ ‫القائمة‬ ‫ضلعى‬ ‫أحد‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ينشأ‬ ‫الذى‬ ‫الجسم‬ ‫هو‬
.‫القائم‬‫الدائرى‬‫المخروط‬‫خوا�ص‬
‫القائم‬ ‫المثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناشئ‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يوضح‬
:‫فنجد‬ ‫كمحور‬ ‫ب‬ C ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫ب‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬
‫أثناء‬ ‫ترسم‬ ‫جـ‬ ‫النقطة‬ ، ‫المخروط‬ ‫رأس‬ C ، ‫المخروط‬ ‫راسم‬ ‫جـ‬ C -1
‫طول‬ ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫ب‬ ‫نقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫الدوران‬
.‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫هو‬ ‫الدائرة‬ ‫وسطح‬ ‫جـ‬ ‫ب‬
‫ارتفاع‬ ، ‫القاعدة‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫عمودى‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫ب‬ C -2
. ‫ب‬ C ‫طول‬ ‫يساوى‬ ‫المخروط‬
‫سم‬ 12
‫سم‬ 5‫س‬ ‫ن‬
‫م‬
10
10
10
10
13
13
13
13
‫المخروط‬ ‫رأس‬
‫المخروط‬ ‫راسم‬
‫القاعدة‬
‫م‬
C
‫ب‬
‫جـ‬
‫المخروط‬ ‫دائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫المخروط‬ ‫رأس‬
‫المخروط‬ ‫راسم‬
‫المخروط‬ ‫محور‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
82

88. ‫مثال‬
.‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬ ،‫51سم‬ ‫وارتفاعه‬ ،‫71سم‬ ‫راسمه‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‌
‫الحل‬
، ‫ع‬ = ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ، ‫ل‬ = ‫الراسم‬ ‫طول‬ ‫باعتبار‬
H = ‫المخروط‬ ‫دائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬
2‫ع‬ - 2‫ل‬ = 2H a
64 = 2)15( - 2)17( = 2H `
‫سم‬ 8 = H `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫62سم‬ ‫راسمه‬ ‫وطول‬ ‫سم‬ 24 ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫ومساحة‬ ‫محيط‬ r ‫بداللة‬ ‫أوجد‬ ‌
.‫كمحور‬ E C ‫حول‬‫كاملة‬‫دورة‬‫نصف‬‫جـ‬‫ب‬C‫المثلث‬‫دار‬‫إذا‬. ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫منتصف‬E ،‫جـ‬C = ‫ب‬C ،‫مثلث‬‫جـ‬‫ب‬C:‫فكر‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫ينشأ‬ ‫هل‬
:‫القائم‬‫المخروط‬‫�شبكة‬
‫عبوات‬ ‫لتكوين‬ ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫شبكة‬ ‫طى‬ ‫يمكن‬
:‫حيث‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫كما‬ ‫الشكل‬ ‫مخروطية‬
)‫المخروط‬ ‫راسم‬ ‫(طول‬ ‫ل‬ = ‫جـ‬C = ‫ب‬ C - 1
‫الجانبى‬ ‫السطح‬ ‫يمثل‬ ‫جـ‬ ‫ب‬C ‫القطاع‬ - 2
H r 2 = ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫طول‬ ، ‫للمخروط‬
)‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ H(
‫ن‬ C ‫طول‬ = ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ - 3
‫مثال‬
،‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫شبكة‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يوضح‬ ‌
.‫إرتفاعه‬ ‫أوجد‬ ،‫المعطاه‬ ‫بالبيانات‬ ‫نا‬ً‫ي‬‫مستع‬
‫الحل‬
:‫أن‬ ‫نالحظ‬ ‫المخروط‬ ‫شبكة‬ ‫من‬
‫12سم‬ = C ‫م‬ ‫طول‬ = ‫المخروط‬ ‫راسم‬ ‫طول‬
.‫44سم‬ = ‫ب‬ C ‫طول‬ = ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫محيط‬
H = ‫ن‬ ‫جـ‬ ‫طول‬ = ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬
‫ع‬
‫ل‬
H
C
C
C
‫ب‬
‫ب‬
‫جـ‬
‫جـ‬
E
E
‫ن‬
‫ن‬
‫جـ‬ / ‫ب‬
‫الجانبي‬ ‫السطح‬
‫المخروط‬ ‫راسم‬
‫المخروط‬ ‫رأس‬
C
‫ن‬
‫ب‬
‫جـ‬
‫م‬
‫سم‬ 21
‫سم‬ 21
‫م‬‫س‬ 44
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫مرهلا‬ ‫ورخملاو‬1
‫الدرس‬
83

89. :‫فيكون‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المخروط‬ ‫شبكة‬ ‫طى‬ ‫عند‬
‫ع‬ = ‫ن‬ ‫م‬ ‫طول‬ = ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬
‫سم‬ 7 = H ‫أن‬ ‫أى‬ 44 = H * 22
7 * 2 ` 44 = H r 2 a
2H - 2‫ل‬ = 2‫ع‬ a
‫سم‬ 2 14 = ‫ع‬ ‫أن‬ ‫أى‬ 28 * 14 = 2)7( - 2)21( = 2‫ع‬ `
.‫سم‬ 2 14 = ‫القائم‬ ‫الدائرى‬ ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫أوجد‬ ‫سم‬ r 18 = ‫ب‬ C ‫طول‬ ، ‫14سم‬ = C ‫م‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ،‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫السابقة‬ ‫الشبكة‬ ‫فى‬ ‌
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫راسمه‬ ‫طول‬ ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ :‫صحيحة‬ ‫التالية‬ ‫العبارة‬ ‫هل‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬
‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمـــاريــن‬
:‫المنتظم‬ ‫الخماسى‬ ‫الهرم‬ ‫فى‬ ‌
‫األوجه‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ‫ب‬ ‫الجانبية‬ ‫أوجهه‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ‫أ‬
‫أحرفه‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ‫د‬ ‫الجانبية‬ ‫أحرف‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ‍‫ج‬
‫عالقة‬‫إجابتك‬‫تحقق‬‫هل‬‫؟‬‫الخماسى‬‫الهرم‬‫رؤوس‬‫جميع‬‫عدد‬‫ما‬.‫القاعدة‬‫رؤوس‬‫خالف‬‫واحدة‬‫رأس‬‫ للهرم‬ ‍‫ه‬
2 + ‫األحرف‬ ‫عدد‬ =‫الرؤوس‬ ‫عدد‬ + ‫األوجه‬ ‫عدد‬ .‫مضلعه‬ ‫منطقة‬ ‫قاعدته‬ ‫مجسم‬ ‫ألى‬ ‫أويلر‬
‫األكبر‬ ‫إلى‬ ‫األصغر‬ ‫من‬ ‫التالية‬ ‫األطوال‬ ‫رتب‬ ، ‫المنتظم‬ ‫الهرم‬ ‫فى‬ ‌
‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬ ‫ب‬ ‫الجانبى‬ ‫الحرف‬ ‫طول‬ ‫أ‬
‫الجانبى‬ ‫االرتفاع‬ ‍‫ج‬
‫ا‬ً‫ن‬‫مستعي‬‫منتظم‬‫رباعى‬‫هرم‬‫شكل‬‫على‬‫مياه‬‫خزان‬‫المقابل‬‫الشكل‬‫يوضح‬:‫مدنية‬ ‫هندسة‬ ‌
.‫شبكته‬ ‫ارسم‬ ‫ثم‬ ‫الخزان‬ ‫وارتفاع‬ ‫الجانبى‬ ‫الوجه‬ ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫أوجد‬ ‫المعطاه‬ ‫بالبيانات‬
‫061سم‬ ‫ارتفاعها‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خيمة‬ :‫بالجوالة‬ ‫الربط‬ ‌
.‫الخيمة‬ ‫مخروط‬ ‫راسم‬ ‫طول‬ ‫احسب‬ ‫6٫357سم‬ ‫قاعدتها‬ ‫ومحيط‬
‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ )‫خوفو‬ ‫(هرم‬ ‫األكبر‬ ‫الجيزة‬ ‫هرم‬ :‫بالسياحة‬ ‫الربط‬ ‌
.‫الهرم‬ ‫أرتفاع‬ ‫أوجد‬ ،‫ا‬ً‫متر‬ 186 ‫الجانبى‬ ‫وارتفاعه‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 232
‫من‬ ‫قطعة‬ ‫بطى‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫فى‬ ‫المثلجة‬ ‫األلبان‬ ‫تغلف‬ :‫بالصناعة‬ ‫الربط‬ ‌
‫21سم‬ ‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫دائرى‬ ‫قطاع‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫للحرارة‬ ‫العازل‬ ‫الورق‬
‫ارتفاع‬ ‫أوجد‬ .‫جـ‬ C، ‫ب‬ C ‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫قطرى‬ ‫نصفا‬ ‫يتالمس‬ ‫بحيث‬ 2‫051سم‬ ‫ومساحته‬
.]‫ته‬‫ر‬‫دائ‬‫قطر‬‫نصف‬‫طول‬ * ‫قوسه‬‫طول‬ 1
2 = ‫القطاع‬‫مساحة‬:‫[تذكر‬.‫المخروط‬
‫جـ‬
‫ع‬
‫م‬
‫ن‬
H
‫م‬‫س‬130
‫م‬‫س‬100
‫سم‬ 100
‫سم‬ 160
2‫سم‬ 150
‫سم‬ 12
C ‫ب‬
‫جـ‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
84

90. ‫تتعلم‬ ‫سوف‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
2‫الدرس‬
‫والمخروط‬‫الهرم‬‫من‬‫لكل‬‫الكلية‬‫الم�ساحة‬
Surface area of pyramids and cones
‫من‬ ‫بعضها‬ ‫باستنتاج‬ ‫وقمت‬ ‫القائم‬ ‫الدائرى‬ ‫والمخروط‬ ‫الهرم‬ ‫خواص‬ ‫تعلمت‬ ‫أن‬ ‫سبق‬
‫الكلية‬ ‫والمساحة‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‫حساب‬ ‫يمكنك‬ ‫هل‬ .‫منهما‬ ‫كل‬ ‫شبكة‬ ‫خالل‬
‫فسر‬ ‫؟‬‫شبكتيهما‬ ‫من‬ ‫القائم‬ ‫الدائرى‬ ‫والمخروط‬ ‫المنتظم‬ ‫الهرم‬ ‫من‬ ‫لكل‬ )‫(السطحية‬
.‫إجابتك‬
‫المنتظم‬‫للهرم‬‫الكلية‬‫الم�ساحة‬
.‫شبكاته‬ ‫وإحدى‬ ‫ا‬ً‫منتظم‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رباع‬ ‫ا‬ً‫م‬‫هر‬ ‫التالى‬ ‫الشكل‬ ‫يوضح‬
‫س‬ ‫س‬
‫س‬
‫س‬
‫س‬
‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬ ‫ل‬
‫ل‬
‫ومتطابقة‬ ‫الساقين‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫الجانبية‬ ‫األوجه‬ :‫أن‬ ‫الحظ‬
‫ل‬ = ‫منها‬ ‫كل‬‫و‬ ‫متساوية‬ ‫الجانبية‬ ‫االرتفاعات‬
:‫ويكون‬ ‫س‬ = ‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫مضلع‬ ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬
‫الجانبية‬ ‫أوجهه‬ ‫مساحات‬ ‫مجموع‬ = ‫للهرم‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
‫ل‬ * ‫س‬ 1
2 + ‫ل‬ * ‫س‬ 1
2 + ‫ل‬ * ‫س‬ 1
2 + ‫ل‬ * ‫س‬ 1
2 =
‫ل‬ )‫س‬ + ‫س‬ + ‫س‬ + ‫(س‬ 1
2 =
.‫الجانبى‬ ‫االرتفاع‬ * ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫محيط‬ 1
2 =
.‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ + ‫له‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = ‫للهرم‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
‫تعلم‬
.‫الجانبى‬ ‫ارتفاعه‬ * ‫قاعدته‬ ‫محيط‬ 1
2 = ‫المنتظم‬ ‫للهرم‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ + ‫الجانبية‬ ‫مساحته‬ = ‫للهرم‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
‫برامج‬ - ‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آله‬
‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬
‫ة‬‫اجلانبي‬ ‫املساحة‬
Lateral area (L.A(
‫ة‬‫الكلي‬ ‫املساحة‬
Surface area (S.A)
‫واملساحة‬ ‫اجلانبية‬ ‫املساحة‬ ‫إجياد‬
‫من‬ ‫لكل‬ )‫(السطحية‬ ‫الكلية‬
.‫القائم‬ ‫واملخروط‬ ‫املنتظم‬ ‫اهلرم‬
‫رياضية‬ ‫مشكالت‬ ‫وحل‬ ‫نمذجة‬
‫املساحة‬ ‫تتضمن‬ ‫وحياتية‬
‫اهلرم‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫السطحية‬
.‫القائم‬ ‫واملخروط‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬85

91. ‫مثال‬
.‫الكلية‬ ‫مساحته‬ ‫وأوجد‬ ‫المجسم‬ ‫صف‬ .‫أمامك‬ ‫التى‬ ‫الشبكة‬ ‫باستخدام‬ ‌
‫الحل‬
.‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫لهرم‬ ‫الشبكة‬
.‫31سم‬ = ‫الجانبى‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ، ‫01سم‬ ‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬
.‫جانبى‬ ‫ارتفاع‬ ‫هـ‬ ‫م‬ ، ‫الساقين‬ ‫متساوى‬ ‫ب‬ C ‫م‬ ‫الجانبى‬ ‫الوجه‬ a
‫5سم‬ = ‫هـ‬ C ‫أن‬ ‫أى‬ ‫ب‬ C ‫منتصف‬ ‫هـ‬ `
2)‫هـ‬C( - 2)‫م‬C( = 2)‫هـ‬ ‫ (م‬‫أن‬ ‫نجد‬ ‫هـ‬ ‫فى‬ ‫الزاوية‬ ‫القائم‬ C ‫هـ‬ ‫م‬ 9 ‫فى‬
144 = 2)5( - 2)13( = 2)‫هـ‬ ‫(م‬
‫21سم‬ = ‫هـ‬ ‫م‬ `
‫الجانبى‬ ‫االرتفاع‬ * ‫القاعدة‬ ‫محيط‬ 1
2 = ‫المنتظم‬ ‫للهرم‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ a
2‫سم‬ 240 = 12 * )4 * 10( * 1
2 = ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ `
2‫001سم‬ = 2)10( = ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫مساحة‬ a
2‫043سم‬ = 100 + 240 = ‫للهرم‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫الكلية‬ ‫مساحته‬ ‫وأوجد‬ ‫المجسم‬ ‫صف‬ ‫أمامك‬ ‫التى‬ ‫الشبكة‬ ‫باستخدام‬ ‌
‫كانت‬‫إذا‬‫؛‬‫الوجوه‬‫منتظم‬‫ا‬ً‫ي‬‫ثالث‬‫ا‬ً‫هرم‬،‫المنتظم‬‫الثالثى‬‫الهرم‬‫يسمى‬:‫هامة‬‫مالحظة‬
‫له‬ ‫قاعدة‬ ‫منها‬ ‫أى‬ ‫ويكون‬ ‫األضالع‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫أوجهه‬ ‫جميع‬
‫القائم‬‫للمخروط‬‫الكلية‬‫الم�ساحة‬
‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫شبكة‬ ‫من‬
‫جـ‬ ‫ب‬ ‫طول‬ * ‫ب‬ C 1
2 = ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫القطاع‬ ‫مساحة‬
‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫محيط‬ * ‫ل‬ 1
2 =
H ‫ل‬ r = H r 2 * ‫ل‬ 1
2 =
‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ =
‫تعلم‬
H ‫ل‬ r = ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
)H + ‫(ل‬ H r = 2H r + H ‫ل‬ r = ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
.‫دائرته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ H ، ‫راسمه‬ ‫طول‬ ‫ل‬ ‫حيث‬
‫سم‬ 10
‫سم‬ 10
‫م‬‫س‬13
‫سم‬ 13
C
‫ب‬
‫جـ‬
E
‫هـ‬
‫م‬
‫سم‬ 18
‫سم‬ 18‫سم‬ 18
C
‫ب‬
‫جـ‬
E
‫ل‬
‫ل‬
H
H
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
86

92. ‫مثال‬
.‫02سم‬ ‫وارتفاعه‬ ، ‫51سم‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫لمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‫أوجد‬ ‌
‫الحل‬
‫ل‬ ‫المخروط‬ ‫راسم‬ ‫طول‬ ‫إليجاد‬
625 = 2)15( + 2)20( = 2‫ل‬ a
‫52سم‬ = ‫ل‬ `
‫51سم‬ = H ، H ‫ل‬ r = ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ a
2‫سم‬ r 375 = r 15 * 25 = ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫51سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫71سم‬ ‫راسمه‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫لمخروط‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫أوجد‬ ‌
‫مثال‬
‫المجرى‬ ‫لتحديد‬ )‫(شمندورة‬ ‫ارشادية‬ ‫عالمة‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يوضح‬ :‫بحرية‬ ‫مالحة‬ ‌
.‫كة‬‫مشتر‬ ‫قاعدة‬ ‫لهما‬ ‫قائمان‬ ‫مخروطان‬ ‫هيئة‬ ‫على‬ ‫وهى‬ ‫المالحى‬
‫المربع‬‫المتر‬‫تكاليف‬‫بأن‬‫ا‬ً‫علم‬،‫التعرية‬‫لعوامل‬‫مقاومة‬‫بمادة‬‫طالؤه‬‫تكاليف‬‫أوجد‬
.‫ا‬ً‫ه‬‫جني‬ 300 ‫منها‬ ‫الواحد‬
‫الحل‬
‫األول‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = ‫االرشادية‬ ‫العالمة‬ ‫سطح‬ ‫مساحة‬
.‫الثانى‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ +
‫05سم‬ = H ، ‫08سم‬ = ‫ل‬ :‫األول‬ ‫المخروط‬
r80 * 50 = ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ `
2‫سم‬ r4000 =
‫031سم‬ = 2)50(+ 2)120( = ‫ل‬ ` ‫سم‬ 50 = H،‫021سم‬ = ‫ع‬ :‫الثانى‬ ‫المخروط‬
r130 * 50 = ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ `
2‫سم‬ r 6500 =
2‫سم‬ r 10500 = r)6500 + 4000( = ‫االرشادية‬ ‫العالمة‬ ‫سطح‬ ‫مساحة‬
‫مربع‬ ‫متر‬ 3٫299 -
‫آ‬ً‫ه‬‫جني‬ 989٫7 = 300 * 3٫299 = ‫الطالء‬ ‫تكاليف‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
،‫02سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫88سم‬ ‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫محيط‬ ‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫مصباح‬ ‫غطاء‬ ‌
.‫مربع‬ ‫سنتيمتر‬ ‫ألقرب‬ ‫مساحته‬ ‫احسب‬
‫سم‬ 20
‫سم‬ 15
‫ل‬
‫م‬‫س‬80
‫سم‬120
‫سم‬ 50
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةيلكلا ةحاسملا‬ ‫لكل‬ ‫ورخملاو مرهلا نم‬2
‫الدرس‬
87

93. ‫الثانى‬ ‫الدرس‬ ‫تمـــاريــن‬
‫المعطاه‬ ‫البيانات‬ ‫حسب‬ ‫منتظم‬ ‫هرم‬ ‫لكل‬ ‫الكلية‬ ‫والمساحة‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‫أوجد‬ ‌
‫أ‬
‫سم‬ 10
‫سم‬ 6
‫ب‬
‫سم‬ 15
‫سم‬ 12
‍‫ج‬
‫سم‬ 20
‫سم‬ 24
.‫المعطاه‬ ‫البيانات‬ ‫حسب‬ ‫القائم‬ ‫مخروط‬ ‫لكل‬ ‫الكلية‬ ‫والمساحة‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‫أوجد‬ ‌
‫أ‬
‫سم‬ 6
‫سم‬ 12
‫ب‬
‫سم‬ 21‫سم‬ 9
‍‫ج‬
‫سم‬ 13
‫سم‬ 15
:‫أوجد‬ .‫سم‬ 3 10 ‫الجانبى‬ ‫وارتفاعه‬ ‫21سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫سداسى‬ ‫هرم‬ ‌
‫الجانبية‬ ‫مساحته‬ ‫أ‬
‫الكلية‬ ‫مساحته‬ ‫ب‬
‫المقوى‬ ‫الورق‬ ‫من‬ ‫المصانع‬ ‫أحد‬ ‫منتجات‬ ‫عبوات‬ ‫تصنع‬ :‫بالصناعة‬ ‫الربط‬ ‌
.‫المقابلة‬ ‫المجسم‬ ‫شبكة‬ ‫بطى‬
. ‫عبوه‬ 1000 ‫إلنتاج‬ ‫المستخدم‬ ‫المقوى‬ ‫الورق‬ ‫مساحة‬ ‫أوجد‬ ‫أ‬
‫المربع‬ ‫المتر‬ ‫تكلفة‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫المستخدم‬ ‫المقوى‬ ‫الورق‬ ‫تكاليف‬ ‫ إحسب‬‫ب‬
.‫ا‬ً‫ه‬‫جني‬ 15 ‫منه‬ ‫الواحد‬
c210 ‫زاويته‬ ‫وقياس‬ ‫63سم‬ ‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫دائرى‬ ‫قطاع‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫المقوى‬ ‫الورق‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‫طويت‬ ‌
.‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫أوجد‬ .‫مساحة‬ ‫أكبر‬ ‫له‬ ‫ا‬ً‫م‬‫قائ‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫دائر‬ ‫ا‬ً‫ط‬‫مخرو‬ ‫لتصنع‬
)‫بالراديان‬ ‫زاويته‬ ‫قياس‬ E ‫هـ‬ ، ‫القطاع‬ ‫دائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ H ، E ‫هـ‬ 2H 1
2 = ‫القطاع‬ ‫(مساحة‬
.2‫سم‬ r154 ‫الكلية‬ ‫ومساحته‬ ،‫51سم‬ ‫راسمه‬ ‫طول‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ،‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫دائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬ ‌
‫سم‬ 10
‫سم‬ 13
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
88

94. ‫تتعلم‬ ‫سوف‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫القائم‬ ‫المنشور‬ ‫حجم‬ ‫حساب‬ ‫كيفية‬ ‫تعلمت‬ ‫أن‬ ‫سبق‬
.‫القائمة‬ ‫الدائرية‬ ‫االسطوانة‬ ‫وحجم‬
‫المنشور‬ ‫حجم‬ ‫بداللة‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬ ‫تقدير‬ ‫تستطيع‬ ‫هل‬
‫؟‬‫ارتفاعه‬ ‫نفس‬‫و‬ ‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫الذى‬ ‫القائم‬
‫حجم‬ ‫بداللة‬ ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫تقدير‬ ‫تستطيع‬ ‫هل‬
‫؟‬‫ارتفاعه‬ ‫نفس‬‫و‬ ‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ ‫نفس‬ ‫لها‬ ‫إسطوانة‬
‫نشاط‬
.‫االرتفاع‬ ‫نفس‬‫و‬ ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫نفس‬ ‫لهما‬ ‫ومنشور‬ ‫هرم‬ ‫حجمى‬ ‫بين‬ ‫نة‬‫ر‬‫المقا‬
‫والمنشور‬ ‫الهرم‬ ‫شبكتى‬ ‫مقوى‬ ‫ورق‬ ‫على‬ ‫ارسم‬ -1
.‫أمامك‬ ‫الرسم‬ ‫فى‬ ‫الموضحتين‬
‫أحدهما‬ ‫نموذجين‬ ‫لتصنع‬ ‫شبكة‬ ‫كل‬ ‫وإطوى‬ ‫إقطع‬ -2
‫قائم‬ ‫منشور‬ ‫والثانى‬ ،‫رباعى‬ ‫لهرم‬ ‫الجانبى‬ ‫السطح‬
.‫أعلى‬ ‫من‬ ‫مفتوح‬
‫المنشور‬‫فى‬‫وأفرغه‬‫الرمل‬‫أو‬‫األرز‬‫بحبات‬‫الهرم‬‫إمالء‬ -3
.‫ا‬ً‫م‬‫تما‬ ‫المنشور‬ ‫يمتلئ‬ ‫حتى‬ ‫ذلك‬ ‫كرر‬ ،
‫تلزمك‬ ‫التى‬ )‫الرمل‬ ‫أو‬ ‫األرز‬ ‫(حبات‬ ‫المحتويات‬ ‫أن‬ ‫الحظ‬
.‫أهرامات‬ ‫ثالثة‬ ‫ا‬ً‫م‬‫تما‬ ‫تمأل‬ ‫سوف‬ ‫المنشور‬ ‫لملء‬
)‫(ق‬ ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫الذى‬ ‫المنشور‬ ‫حجم‬ 1
3 = ‫الهرم‬ ‫حجم‬ ‫أن‬ ‫أى‬
.)‫(ع‬ ‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬ ‫ونفس‬
‫سم‬ 4
‫سم‬ 6
‫سم‬ 6
‫سم‬ 4
‫سم‬ 4
‫سم‬ 4
‫سم‬ 5
‫سم‬ 5
‫سم‬ 5
‫سم‬ 5
‫سم‬ 6
‫سم‬ 6
3‫الدرس‬
‫القائم‬‫والمخروط‬‫الهرم‬‫حجم‬
Volumes of pyramids and cones
Vertex ‫س‬‫رأ‬
Base ‫ة‬‫قاعد‬
Face ‫ه‬‫وج‬
Axis ‫ر‬‫حمو‬
Radius ‫ر‬‫قط‬ ‫نصف‬
Volume ‫م‬‫حج‬
.‫املنتظم‬ ‫اهلرم‬ ‫حجم‬ ‫إجياد‬
‫القائم‬ ‫املخروط‬ ‫حجم‬ ‫إجياد‬
‫رياضية‬ ‫مشكالت‬ ‫وحل‬ ‫نمذجة‬
‫من‬ ‫كل‬ ‫حجم‬ ‫تتضمن‬ ‫وحياتية‬
.‫القائم‬ ‫واملخروط‬ ‫املنتظم‬ ‫اهلرم‬
‫برامج‬ - ‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آله‬
‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬89

95. VolumeofaPyramid ‫الهرم‬‫حجم‬
‫تعلم‬
.‫ارتفاعه‬ ‫فى‬ ‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ثلث‬ ‫يساوى‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬
‫ع‬ * ‫ق‬ 1
3 = ‫الهرم‬ ‫حجم‬ :‫أن‬ ‫أى‬
.‫الهرم‬ ‫إرتفاع‬ )‫(ع‬ ، ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ )‫(ق‬ ‫حيث‬
‫مثال‬
.‫51سم‬ ‫الجانبى‬ ‫وارتفاعه‬ ‫81سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‫حجم‬ ‫احسب‬ ‌
‫الحل‬
)‫(ق‬ ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫حساب‬ :ً‫ال‬‫أو‬
‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ` ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫الهرم‬ a
2‫سم‬ 324 = 18 * 18 = )‫(ق‬ ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫ مساحة‬
)‫(ع‬ ‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬ ‫حساب‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
‫فيثاغورث‬ 2)15( = 2)9( + 2‫ع‬ a
‫سم‬ 12 = ‫ع‬ ، 144 = 2)9( - 2)15( = 2‫ع‬ `
‫ع‬ * ‫ق‬ 1
3 = ‫الهرم‬ ‫حجم‬ a
2‫6921سم‬ = 12 * 324 * 1
3 = ‫الهرم‬ ‫حجم‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫المعطاه‬ ‫البيانات‬ ‫ا‬ً‫م‬‫مستخد‬ ‫بالشكل‬ ‫الموضح‬ ‫المنتظم‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬ ‫أوجد‬ ‌
‫أ‬
‫سم‬ 10
‫سم‬ 21
‫ب‬
‫سم‬ 14
‫سم‬ 8
‍‫ج‬
‫سم‬ 15
‫سم‬ 17
‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫حجمى‬ ‫بين‬ ‫نة‬‫ر‬‫المقا‬ ‫عند‬ :‫فكر‬
‫االرتفاع‬ ‫نفس‬‫و‬ ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫نفس‬ ‫لهما‬ ‫قائمة‬ ‫واسطوانة‬
: ‫أن‬ ‫نجد‬
‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ 1
3 = ‫المخروط‬ ‫حجم‬
‫؟‬‫ا‬ً‫ي‬‫رياض‬ ‫ذلك‬ ‫تفسر‬ ‫كيف‬
‫سم‬ 15
‫سم‬ 18
‫ع‬
‫م‬‫س‬15
‫سم‬ 9
‫ع‬
‫أن‬�‫تذكر‬
‫منتظم‬ ‫مضلع‬ ‫سطح‬ ‫مساحة‬
‫ضلعه‬ ‫وطول‬ ،‫ن‬ ‫أضالعه‬ ‫عدد‬
‫تساوى‬ ‫س‬
r
‫ن‬
‫ظتا‬ 2‫س‬ ‫ن‬
4
‫ع‬
‫ق‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
90

96. Volume of a cone ‫المخروط‬‫حجم‬
‫تعلم‬
‫ارتفاعه‬ ‫فى‬ ‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ثلث‬ ‫يساوى‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬
‫ع‬ 2H r 1
3 = ‫المخروط‬ ‫حجم‬ :‫أن‬ ‫أى‬
‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ )‫(ع‬ ، ‫المخروط‬ ‫دائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ )‫(نق‬ ‫حيث‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫المعطاه‬ ‫البيانات‬ ‫ا‬ً‫م‬‫مستخد‬ ‫بالشكل‬ ‫الموضح‬ ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫أوجد‬ ‌
‫أ‬
‫سم‬ 14
‫سم‬ 9
‫ب‬
‫سم‬ 24
‫م‬‫س‬ 26
‍‫ج‬
‫م‬‫س‬13
‫سم‬ 5
‫مثال‬
‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫2٫4سم‬ ‫إرتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫هيئة‬ ‫على‬ ‫الخالص‬ ‫الذهب‬ ‫من‬ ‫سبيكة‬ :‫بالفيزياء‬ ‫الربط‬ ‌
.‫191جم‬ ‫السبيكة‬ ‫كتلة‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫الذهب‬ ‫كثافة‬ ‫أوجد‬ .‫5٫1سم‬
‫الحل‬
‫2٫4سم‬ = ‫ع‬ ، ‫5٫1سم‬ = H ، ‫ع‬ 2H r 1
3 = ‫المخروط‬ ‫حجم‬ a
3‫سم‬ 9٫896 = )4٫2( 2)1٫5( r
3
= ‫السبيكة‬ ‫فى‬ ‫الذهب‬ ‫حجم‬ `
3‫جم/سم‬ 19٫3 - 191
9٫896 = ‫الذهب‬ ‫كثافة‬ ` ‫الكتلة‬
‫الحجم‬
= ‫الكثافة‬ a
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫ارتفاعه‬ ‫أوجد‬ ‫سم‬r 6 ‫قاعدته‬ ‫ومحيط‬ 3‫سم‬r 27 ‫حجمه‬ ‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫هيئة‬ ‫على‬ ‫الشيكوالته‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‌
‫مثال‬
‫صهر‬ ،‫24سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫01سم‬ ‫قاعدته‬ ‫مضلع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ,‫النحاس‬ ‫من‬ ‫منتظم‬ ‫خماسى‬ ‫هرم‬ :‫بالصناعة‬ ‫الربط‬ ‌
‫عمليتى‬ ‫أثناء‬ ‫فقد‬ ‫النحاس‬ ‫من‬ ٪10 ‫أن‬ ‫علم‬ ‫فإذا‬ .‫51سم‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫إلى‬ ‫وحول‬
.‫واحد‬ ‫عشرى‬ ‫رقم‬ ‫ألقرب‬ ‫المخروط‬ ‫إرتفاع‬ ‫أوجد‬ ،‫والتحويل‬ ‫الصهر‬
‫الحل‬
‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫س‬ ‫حيث‬ r
5
‫ظتا‬ 2‫س‬ 5
4 = ‫المنتظم‬ ‫الخماسى‬ ‫مساحة‬ a
3‫271سم‬ -
125
c36 ‫طا‬
= c36 ‫ظتا‬ 10 * 10 * 5
4 = ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫مساحة‬ `
‫ع‬
H
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ئاقلا طورخملاو مرهلا مجح‬3
‫الدرس‬
91

97. 3‫8042سم‬ = 42 * 172
3 = ‫االرتفاع‬ * ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ 1
3 = ‫الهرم‬ ‫حجم‬ a
3‫2٫7612سم‬ = 2408 * 90
100 = ‫المخروط‬ ‫فى‬ ‫النحاس‬ ‫حجم‬ `
‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫ع‬ ‫ حيث‬ 2167٫2 = ‫ع‬ 2)15( r
3
‫2٫9سم‬ -
3 * 2167٫2
r225
= ‫ع‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫نصف‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬ ‫12سم‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫إلى‬ ‫وحول‬ ‫صهر‬ ‫02سم‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الشمع‬ ‫من‬ ‫مكعب‬ ‌
.‫والتحويل‬ ‫الصهر‬ ‫عمليتى‬ ‫أثناء‬ ‫فقد‬ ‫الشمع‬ ‫من‬ ٪12 ‫أن‬ ‫علم‬ ‫إذا‬ ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬
‫سعتها‬ ‫لحساب‬‫و‬ ،‫تحتويه‬ ‫الذى‬ ‫السائل‬ ‫بحجم‬ ‫حاوية‬ ‫سعة‬ ‫تقدر‬ :‫هامة‬ ‫مالحظة‬
‫اللتر‬ ‫هى‬ ‫السعة‬ ‫قياس‬ ‫ووحدة‬ ،‫الحجوم‬ ‫حساب‬ ‫قوانين‬ ‫نفس‬ ‫تستخدم‬
3‫0001سم‬ = ‫ملليلتر‬ 1000 = ‫لتر‬ 1
‫مثال‬
‫21سم‬ ‫ارتفاعه‬ .‫مل‬ 154 ‫سعته‬ ‫الشكل‬ ‫مخروطى‬ ‫دورق‬ :‫بالكيمياء‬ ‫الربط‬ ‌
)22
7 - r( ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬
‫الحل‬
3‫451سم‬ = ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬ = ‫الدورق‬ ‫سعة‬
49
4 = 2H ` 154 = 12 * 2H * 22
7 * 1
3
‫5٫3سم‬ = H `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫؟‬‫أكبر‬ ‫سعته‬ ‫أيهما‬ .‫للشراب‬ ‫كأسان‬ ‫ب‬ ، C ‌
.‫سعتيهما‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫أوجد‬
‫نشاط‬
‫المزاح‬ ‫الماء‬ ‫حجم‬ = ‫الكرة‬ ‫حجم‬ ‫فإن‬ ‫ماء‬ ‫به‬ ‫مدرج‬ ‫مخبار‬ ‫فى‬ H ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫كرة‬ ‫غمرت‬ ‫إذا‬ :‫أن‬ ‫تعلم‬
3Hr 4
3 = ‫الكرة‬ ‫حجم‬ ‫ويكون‬
،‫القائم‬ ‫الدائرى‬ ‫المخروط‬ ‫وحجم‬ ‫أمامك‬ ‫الذى‬ ‫بالشكل‬ ‫ا‬ً‫ن‬‫مستعي‬
:‫أن‬ ‫برهن‬
2H r4 = ‫سطحالكرة‬ ‫مساحة‬
‫أن‬�‫تذكر‬
‫الفراغ‬ ‫حجم‬ ‫هى‬ ‫السعة‬
‫أجوف‬ ‫جسم‬ ‫ألى‬ ‫الداخلى‬
‫ع‬
H
‫سم‬ 5
‫سم‬ 5
‫سم‬ 11
‫سم‬ 11
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
92

98. C
2
2- 2 4‫و‬
‫ب‬
‫س‬
‫ص‬
‫الثالث‬ ‫الدرس‬ ‫تمـــاريــن‬
.‫63سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫02سم‬ ‫قاعدته‬ ‫مضلع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‫حجم‬ ‫أوجد‬ ‌
.‫01سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫04سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫خماسى‬ ‫هرم‬ ‫حجم‬ ،‫واحد‬ ‫عشرى‬ ‫رقم‬ ‫ألقرب‬ ‫احسب‬ ‌
.‫قاعدته‬ ‫مضلع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬ .2‫003سم‬ ‫وحجمه‬ ‫9سم‬ ‫ارتفاعه‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‌
.‫حجمه‬ ‫أوجد‬ ‫02سم‬ ‫الجانبى‬ ‫وارتفاعه‬ 2‫007سم‬ ‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‌
‫ارتفاعه‬‫منتظم‬‫رباعى‬‫هرم‬‫أم‬،‫02سم‬‫وارتفاعه‬‫51سم‬‫قاعدته‬‫قطر‬‫نصف‬‫طول‬‫قائم‬‫مخروط‬‫؟‬‫ا‬ً‫م‬‫حج‬‫أكبر‬‫أيهما‬ ‌
.‫84سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ومحيط‬ ‫04سم‬
.‫52سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫44سم‬ ‫قاعدته‬ ‫محيط‬ ‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫حجم‬ ‫أوجد‬ ‌
.‫41سم‬ ‫راسمه‬ ‫وطول‬ ‫022سم‬ ‫الجانبية‬ ‫مساحته‬ ‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫حجم‬ ‫أوجد‬ ‌
.‫ا‬ً‫حجم‬ ‫األكبر‬ ‫إلى‬ ‫ا‬ً‫حجم‬ ‫األصغر‬ ‫من‬ ‫التالية‬ ‫المجسمات‬ ‫رتب‬ ‌
‫أ‬
‫سم‬ 13
‫سم‬ 9
‫ب‬
‫سم‬ 14
‫سم‬ 17
‍‫ج‬‫سم‬ 10
‫سم‬ 8
‫سم‬ 17
‫قاعدة‬‫ضلع‬‫طول‬‫كان‬‫إذا‬.3‫2٫3جم/سم‬‫كثافتها‬‫معدنية‬‫سبيكة‬‫من‬‫األكبر‬‫للهرم‬‫نموذج‬‫صنع‬: ‫بالسياحة‬ ‫الربط‬ ‌
.‫واحد‬ ‫عشرى‬ ‫رقم‬ ‫ألقرب‬ ‫كتلته‬ ‫فإحسب‬ ، ‫7سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫5٫11سم‬ ‫النموذج‬
‫وطول‬‫21سم‬‫تفاعه‬‫ر‬‫ا‬‫قائم‬‫مخروط‬‫شكل‬‫على‬‫معدنى‬‫جسم‬‫فيه‬‫غمر‬،‫ماء‬‫به‬‫الشكل‬‫أسطوانى‬‫إناء‬:‫بالفيزياء‬ ‫الربط‬ 1‌
.‫اإلناء‬‫قاعدة‬‫قطر‬‫طول‬‫أوجد‬.‫1سم‬‫بمقدار‬‫اإلناء‬‫فى‬‫الماء‬‫سطح‬‫تفع‬‫ر‬‫فإ‬، ً‫كامال‬‫غمرا‬‫2سم‬‫قاعدته‬‫قطر‬‫نصف‬
.‫6م‬ ‫وارتفاعه‬ 3‫م‬ r 32 ‫حجمه‬ ‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫مياه‬ ‫صهريج‬ :‫مدنية‬ ‫هندسة‬ 1‌
.‫الكلية‬ ‫ومساحته‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬
‫حجم‬r‫بداللة‬‫إحسب‬‫متعامد‬‫إحداثى‬‫مستوى‬‫المقابل‬‫الشكل‬‫يوضح‬ 1‌
:‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ، ‫و‬ ‫ب‬ C ‫المثلث‬ ‫دوران‬ ‫عند‬ ‫الناشئ‬ ‫الجسم‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫أ‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ب‬
:‫عندما‬ ‫حجمه‬ ‫أوجد‬ .3‫001سم‬ ‫حجمه‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬ 1‌
.‫قطره‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫يتضاعف‬ ‫ب‬ ‫ه‬‫ارتفاع‬ ‫يتضاعف‬ ‫أ‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫تستنتج‬ ‫ماذا‬ .‫قطره‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫ارتفاعه‬ ‫يتضاعف‬ ‍‫ج‬
‫م‬ 6
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ئاقلا طورخملاو مرهلا مجح‬3
‫الدرس‬
93

99. ‫تتعلم‬ ‫سوف‬
‫بداللة‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫كتابة‬
‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫مركزها‬ ‫إحداثيى‬
.‫قطرها‬
‫الدائرة‬ ‫ملعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬
‫وطول‬ ‫دائرة‬ ‫مركز‬ ‫إحداثيى‬ ‫تعني‬
‫الصورة‬ ‫من‬ .‫قطرها‬ ‫نصف‬
.‫الدائرة‬ ‫ملعادلة‬ ‫العامة‬
‫حياتية‬ ‫مشكالت‬ ‫وحل‬ ‫نمذجة‬
.‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫تتضمن‬
‫الدائرة‬‫معادلة‬
Equation of a circle 4
‫الدرس‬
‫السينى‬ ‫اإلحداثى‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫هى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬
،‫للدائرة‬ ‫تنتمى‬ ‫نقطة‬ ‫ألى‬ ‫الصادى‬ ‫واالحداثى‬
‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫يحقق‬ )‫ص‬ ، ‫(س‬ ‫تب‬‫ر‬‫م‬ ‫زوج‬ ‫كل‬‫و‬
.‫الدائرة‬ ‫هذه‬ ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ ‫نقطة‬ ‫يمثل‬ )‫(المعادلة‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫دالة؟‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫هل‬
:‫الدائرة‬
‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الثابت‬ ‫البعد‬ ‫نفس‬ ‫على‬ ‫تكون‬ ‫التى‬ ‫المستوى‬ ‫نقط‬ ‫مجموعة‬ ‫هى‬
.‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫ثابتة‬
‫تعريف‬
:‫الحظ‬
½½‫عادة‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬ ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ ‫الثابتة‬ ‫النقطة‬ ‫تسمى‬
‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫الثابت‬ ‫البعد‬ ‫يسمى‬ ‫كما‬ ، ‫م‬ ‫بالرمز‬
.H ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫الدائرة‬
½½‫تنتمى‬ ‫نقطة‬ S ‫كانت‬‫و‬ ، ‫د‬ ‫بالرمز‬ ‫لدائرة‬ ‫نا‬‫ز‬‫رم‬ ‫إذا‬
}0 H ، H = S ‫م‬ : S{ = ‫د‬: ‫فإن‬ ،‫إليها‬
½½‫متعامد‬ ‫احداثى‬ ‫مستوى‬ ‫فى‬
‫تنتمى‬ )‫ص‬ ، ‫(س‬ S ‫النقطة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫د‬ ‫لدائرة‬
:‫فإن‬ )1 ، 2( ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫ومر‬ ‫وحدات‬ 4
4 = H = S ‫م‬
:‫تكون‬ ‫نقطتين‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫قانون‬ ‫وبتطبيق‬
2)4( = 2)1 - ‫(ص‬ + 2)2 - ‫(س‬
16 = 2 )1 - ‫(ص‬ + 2)2 - ‫(س‬`
‫د‬‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫هى‬
‫م‬
S‫د‬
H
‫د‬
H
‫س‬
‫ص‬
‫م‬)1 ،2(
/
‫س‬
/
‫ص‬
‫و‬
)‫ص‬ ،‫(س‬ S
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
Circle ‫ة‬‫دائر‬
Center ‫ز‬‫مرك‬
Radius ‫ر‬‫قط‬ ‫نصف‬
Diameter ‫ر‬‫قط‬
‫ى‬‫إحداث‬ ‫مستوى‬
Cartesian plane
Equation ‫ة‬‫معادل‬
General Form ‫ة‬‫عام‬ ‫صورة‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
‫مربعات‬ ‫ورق‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 94

100. ‫تعلم‬
The equation of a circle ‫الدائرة‬‫معادلة‬
)‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫مركزها‬ ‫إحداثيى‬ ‫(بداللة‬
:‫متعامد‬ ‫احداثى‬ ‫مستوى‬ ‫فى‬
‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫د‬‫دائرة‬ ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ )‫ص‬ ، ‫(س‬ S ‫النقطة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫معادلة‬ ‫فإن‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬ H ‫يساوى‬‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )‫هـ‬ ،E(
:‫هى‬ ‫د‬‫الدائرة‬
2H = 2)‫هـ‬ - ‫(ص‬ + 2)E - ‫(س‬
‫مثال‬
.‫وحدات‬ 6 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )2 ، 5( ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫د‬‫دائرة‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬ ‌
‫الحل‬
‫د‬‫الدائرة‬ ∈ )‫ص‬ ، ‫(س‬ S ‫النقطة‬ ‫أن‬ ‫بفرض‬
‫وحدات‬ 6 = ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫2) ، طول‬ ، 5(‫م‬ ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ a
6 = H ، 2 = ‫هـ‬ ، 5 = E `
36 = 2)2 - ‫(ص‬ + 2)5 - ‫(س‬ :‫أى‬ 2)6( = 2)2 - ‫(ص‬ + 2)5 - ‫(س‬ ‫هى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫وتكون‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
:‫كزها‬‫مر‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬ ‌
.‫وحدات‬ 5 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ، )3- ، 4( ‫م‬ ‫أ‬
.‫وحدات‬ 8 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫وطول‬ ، )1- ، 7( ‫م‬ ‫ب‬
.‫الوحدات‬ ‫فى‬ 28 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫وطول‬ ، )0 ، 2( ‫م‬ ‍‫ج‬
)9- ، 2-(C ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ ، )5- ، 0( ‫م‬ ‫د‬
.‫الوحدات‬ ‫من‬ H ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‍‫ه‬
‫مثال‬
‫متطابقتان‬‫تان‬‫ر‬‫الدائ‬‫أن‬‫اثبت‬2‫د‬ ،1‫د‬‫تان‬‫ر‬‫الدائ‬‫المقابل‬‫الشكل‬‫يبين‬ ‌
.‫منهما‬ ‫كل‬ ‫معادلة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬
‫الحل‬
.‫قطريهما‬ ‫نصفى‬ ‫طوال‬ ‫تساوى‬ ‫إذا‬ ‫تان‬‫ر‬‫الدائ‬ ‫تتطابق‬
.‫وحدة‬ 2 = 1H ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )0 ، 0( ‫كزها‬‫مر‬ : 1‫د‬‫الدائرة‬
‫وحدة‬ 2 = 2H ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )2 ، 5( ‫كزها‬‫مر‬ : 2‫د‬‫الدائرة‬
‫س‬/
‫س‬
‫ص‬
‫و‬
‫م‬)‫هـ‬ ،E(
H
‫د‬ )‫ص‬ ،‫(س‬ S
/
‫ص‬
‫هـ‬ - ‫ص‬
E - ‫س‬
/
‫ص‬
‫ص‬
‫س‬‫و‬
3
3 6
1‫د‬
2‫د‬
/
‫س‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةلداعم‬ ‫ةرئادلا‬4
‫الدرس‬
95

101. ‫متطابقتان‬ ‫تان‬‫ر‬‫الدائ‬ ` 2 = 2H = 1H a
4 = 2)2 - ‫(ص‬ + 2)5 - ‫ (س‬2‫د‬ ‫ معادلة‬ ، 4 = 2‫ص‬ + 2‫س‬ 1‫د‬ ‫معادلة‬ :‫ وتكون‬
)2 ، 5( ‫باالنتقال‬ 1‫د‬‫الدائرة‬ ‫صورة‬ ‫هى‬ 2‫د‬‫الدائرة‬ :‫الحظ‬
.3‫د‬‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫فأكتب‬ )3 ، 4-( ‫باالنتقال‬ 1‫د‬‫الدائرة‬ ‫صورة‬ ‫هى‬ 3‫د‬‫الدائرة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫التالى‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫دائرة‬ ‫كل‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬ ‫أ‬ ‌
/
‫ص‬
‫ص‬
/
‫س‬
‫س‬
2-
2-4-6-8-10-12-14-
2
2 4 6 8 10 12 14
4
6
4-
‫و‬
1‫د‬
2‫د‬
3‫د‬
4‫د‬
5‫د‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫متطابقة‬ ‫السابقة‬ ‫الدوائر‬ ‫أى‬ ‫ب‬
:‫كان‬ ‫إذا‬ 2H= 2)‫هـ‬ - ‫(ص‬ + 2)E -‫س‬ ( :‫د‬ ‫للدائرة‬ ‫بالنسبة‬ )1‫ص‬ ،1‫(س‬ ‫النقطة‬ ‫تقع‬ ‫أين‬ :‫فكر‬
2H 2)‫هـ‬ - 1‫(ص‬ + 2)E - 1‫(س‬ ‫ب‬ 2H 2)‫-هـ‬1‫(ص‬ + 2)E - 1‫س‬ ( ‫أ‬
‫مثال‬
37 = 2)5 - ‫(ص‬ + 2)3 - ‫(س‬ : ‫معادلتها‬ ‫التى‬ ‫د‬‫الدائرة‬ ‫نقط‬ ‫إحدى‬ ‫هى‬ )1- ، 4( ‫النقطة‬ ‫أن‬ ‫بين‬ ‌
‫الحل‬
.‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫فى‬ )1- ، 4( ‫النقطة‬ ‫بإحداثيي‬ ‫بالتعويض‬
‫االيسر‬ ‫الطرف‬ = 37 = 36 + 1 = 2)5 - 1-( + 2)3 - 4( `
‫د‬‫الدائرة‬ ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ )1- ، 4( ‫النقطة‬ `
.‫د‬‫الدائرة‬ ‫خارج‬ ‫تقع‬ )1‫ص‬ ، 1‫(س‬ ‫النقطة‬ ‫فإن‬ 37 2)5 - 1‫(ص‬ + 2)3 - 1‫(س‬ ‫كان‬ ‫إذا‬:‫أن‬ ‫الحظ‬
.‫د‬‫الدائرة‬ ‫داخل‬ ‫تقع‬ )1‫ص‬ ، 1‫(س‬ ‫النقطة‬ ‫فإن‬ 37 2)5 - 1‫(ص‬ + 2)3 - 1‫(س‬ ‫كان‬ ‫وإذا‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫النقط‬ ‫موضع‬ ‫حدد‬ ‫ثم‬ ،25 = 2)1 + ‫(ص‬ + 2)6 - ‫(س‬ :‫معادلتها‬ ‫التى‬ ‫د‬ ‫الدائرة‬ ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ ‫التالية‬ ‫النقط‬ ‫أى‬ ‫بين‬ ‌
:‫حيث‬ ‫د‬‫الدائرة‬ ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫األخرى‬
)3- ، 2(E ، )3 ، 3(‫5) ، جـ‬ ، 7(‫3) ، ب‬ ، 9(C
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
96

102. ‫مثال‬
)5 ، 6(‫ب‬ ، )7- ، 2(C ‫حيث‬ ‫ب‬ C ‫قطرها‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬ ‌
‫الحل‬
‫ب‬ C ‫منتصف‬ ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫فتكون‬ ، ‫ب‬ C ‫قطرها‬ ‫التى‬ ‫للدائرة‬ ‫ا‬ً‫كز‬‫مر‬ )‫هـ‬ ، E(‫م‬ ‫النقطة‬ ‫أن‬ ‫بفرض‬
1- = 5 + 7-
2
= ‫هـ‬ ، 4 = 6 + 2
2
= E :‫م‬ ‫احداثيا‬ `
2])7-( - 1-[ + 2)2 - 4( = 2)‫م‬ C( = 2H ،
40 = 2)6( + 2)2( =
40 = 2])1-( - ‫[ص‬ + 2)4 - ‫(س‬ :‫هى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫وتكون‬
40 = 2)1 + ‫(ص‬ + 2)4 - ‫(س‬ ‫أى‬
‫؟‬‫لماذا‬ ‫؟‬‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ )5 ، 6( ‫النقطة‬ ‫تحقق‬ ‫هل‬ :‫فكر‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫السابقة‬ ‫للدائرة‬ )7- ، 6( ‫النقطة‬ ‫تنتمى‬ ‫هل‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
:‫كان‬ ‫إذا‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬ ‌
)10 ، 2( C ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ ،)7 ، 2-( ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫أ‬
2 = ‫س‬ ‫المستقيم‬ ‫وتمس‬ ،)4 ، 5( ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫ب‬
،‫وحدات‬ 3 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ،‫اإلحداثى‬ ‫المستوى‬ ‫من‬ ‫األول‬ ‫الربع‬ ‫فى‬ ‫يقع‬ ‫م‬ ‫كزها‬‫ مر‬‍‫ج‬
.‫لها‬ ‫مماسان‬ 2 = ‫ص‬ ، 1 = ‫س‬ ‫والمستقيمان‬
‫مثال‬
:‫تين‬‫ر‬‫الدائ‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ،‫كز‬‫المر‬ ‫إحداثيا‬ ‫أوجد‬ ‌
16 = 2‫ص‬ + 2)1 + ‫(س‬ ‫ب‬ 17 = 2)3 + ‫(ص‬ + 2)2 - ‫(س‬ ‫أ‬
‫الحل‬
: ‫هى‬ H ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )‫هـ‬ ، E( ‫كز‬‫المر‬ ‫إحداثيى‬ ‫بداللة‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫نعلم‬
2H = 2)‫هـ‬ - ‫(ص‬ + 2)E - ‫(س‬
:‫نجد‬ ‫المعطاه‬ ‫المعادالت‬ ‫فى‬ ‫بنظيره‬ ‫المعادلة‬ ‫فى‬ ‫جبرى‬ ‫مقدار‬ ‫كل‬ ‫نة‬‫ر‬‫بمقا‬
2 = E ` 2 - ‫س‬ = E - ‫س‬ ‫أ‬
3- = ‫هـ‬ ` 3 + ‫ص‬ = ‫هـ‬ - ‫ص‬
17 = H ` 17 = 2H
.‫وحدة‬ 17 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )3- ، 2( ‫النقطة‬ ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ ‫فيكون‬
‫م‬
)‫هـ‬ ،E(
)5 ،6( ‫ب‬
)7- ،2( C
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةلداعم‬ ‫ةرئادلا‬4
‫الدرس‬
97

103. 1- = E ` 1 + ‫س‬ = E - ‫س‬ ‫ب‬
0 = ‫هـ‬ ` ‫ص‬ = ‫هـ‬ - ‫ص‬
4 = H ` 16 = 2H
.‫وحدات‬ 4 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )0 ، 1-( ‫النقطة‬ ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫وحدات‬ 3 ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )4- ، 3( ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫يمثل‬ ‫المعطاه‬ ‫الدوائر‬ ‫من‬ ‫أى‬ ‌
9 = 2)4 - ‫(ص‬ + 2)3 + ‫(س‬ ‫ب‬ 9 = 2)4 - ‫(ص‬ + 2)3 - ‫(س‬ ‫أ‬
9 = 2)4 + ‫(ص‬ + 2)3 + ‫(س‬ ‫د‬ 9 = 2)4 + ‫(ص‬ + 2)3 - ‫(س‬ ‍‫ج‬
-:‫اآلتية‬ ‫الدوائر‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫كز‬‫المر‬ ‫إحداثيا‬ ‫أوجد‬ ‌
9 = 2)4 + ‫(ص‬ + 2‫س‬ ‫ب‬ 15 = 2)5 + ‫(ص‬ + 2)3 - ‫(س‬ ‫أ‬
2‫ص‬ - 13 = 2)1 + ‫(س‬ ‫د‬ 3
4 = 2)7 + ‫(ص‬ + 2)1 + ‫(س‬ ‍‫ج‬
‫تعلم‬
General form of the equation of a circle ‫ة‬‫الدائر‬‫لمعادلة‬‫العامة‬‫ال�صورة‬
:‫الوحدات‬ ‫من‬ H ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )‫هـ‬ ، E( ‫كزها‬‫مر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬
‫األقواس‬ ‫بفك‬ 2H = 2)‫هـ‬ - ‫(ص‬ + 2)E - ‫(س‬ : ‫هى‬
)1( ‫ر‬‫صف‬ = 2H - 2‫هـ‬ + 2E + ‫ص‬ ‫2هـ‬ - ‫س‬ E 2 - 2‫ص‬ + 2‫س‬ `
‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫ا‬ً‫مقدار‬ = 2H - 2‫هـ‬ + 2E ‫المقدار‬ ` ‫ت‬‫ثواب‬ H ، ‫هـ‬ ، E a
2H - 2‫هـ‬ + 2E = ‫-هـ ، جـ‬ = ‫ ، ك‬E - = ‫ل‬ ‫ بوضع‬
‫الصورة‬ ‫على‬ )1( ‫المعادلة‬ ‫تصبح‬0 = ‫جـ‬ + ‫ص‬ ‫2ك‬ + ‫س‬ ‫2ل‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬
‫حيث‬ H ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )‫-ك‬ ، ‫(-ل‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫بالصورة‬ ‫وتسمى‬
0 ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ ، ل‬‫-جـ‬ 2‫ك‬ + 2‫ل‬ = H
‫مثال‬
.‫وحدات‬ 5 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )3- ، 6( ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫أوجد‬ ‌
‫الحل‬
‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫فى‬ )‫-ك‬ ، ‫(-ل‬ ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ a
‫معطى‬ )3- ، 6( ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ ،
3 = ‫ك‬ ، 6- = ‫ل‬ `
2H - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ = ‫ جـ‬, 5 = H a
20 = 2)5( - 2)3( + 2)6-( = ‫جـ‬ `
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
98

104. .‫صفر‬ = 20 + ‫6ص‬ + ‫21س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ :‫هى‬ ‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫وتكون‬
‫النتائج‬‫نة‬‫ر‬‫ومقا‬‫تبسيطها‬‫ثم‬25=2)3+ ‫(ص‬+ 2)6-‫(س‬:‫الدائرة‬‫معادلة‬‫باستخدام‬‫الحل‬‫صحة‬‫من‬‫التحقق‬‫يمكن‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
:‫كان‬ ‫إذا‬ ‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫اكتب‬ ‌
.‫وحدة‬ 57 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ،)5 ، 2-( ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫أ‬
.)1 ، 2( ‫ب‬ ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ ،)3- ، 5( ‫ن‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫ب‬
‫مثال‬
.‫فيه‬ ‫قطر‬ ‫طرفا‬ )3- ، 1-(‫ب‬ , )2 ، 4(C ‫النقطتين‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫دائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫اكتب‬ ‌
‫الحل‬
‫ب‬ C ‫قطرها‬ ‫التى‬ ‫للدائرة‬ ‫ا‬ً‫كز‬‫مر‬ )‫-ك‬ ، ‫(-ل‬ ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫بفرض‬
)3 - 2
2
، 1 - 4
2
( ‫هما‬ ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫احداثيا‬ ‫ويكون‬ ‫ب‬ C ‫منتصف‬ ‫م‬ `
3-
2 = ‫ل‬ ‫أى‬ 3
2 = ‫-ل‬ `
1
2 = ‫ك‬ ‫أى‬ 1-
2 = ‫ك‬ -
‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫فى‬ ‫ك‬ ، ‫ل‬ ‫عن‬ ‫ بالتعويض‬
0 = ‫جـ‬ + ‫ص‬ ‫ك‬ 2 + ‫س‬ ‫2ل‬ + 2‫ص‬ + 2‫ س‬
)1( 0 = ‫جـ‬ + ‫ص‬ + ‫3س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ `
‫معادلتها‬ ‫تحقق‬ ‫فهى‬ )2 ، 4(C ‫بالنقطة‬ ‫تمر‬ ‫الدائرة‬ a
10- = ‫جـ‬ ‫أى‬ 0 = ‫جـ‬ + 2 + )4(3 - 2)2( + 2)4( `
)1( ‫المعادلة‬ ‫فى‬ ‫ بالتعويض‬
‫صفر‬ = 10 - ‫ص‬ + ‫3س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ :‫هى‬ ‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫ثم‬ ،‫فيها‬ ‫ا‬ً‫قطر‬ ‫ب‬ C ‫أن‬ ‫فاثبت‬ .‫واحدة‬ ‫دائرة‬ ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ )0 ، 1-( ‫جـ‬ ، )8 ، 3( ‫ب‬ ، )2- ، 3(C ‫النقط‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
.‫لمعادلتها‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫اكتب‬
‫هامة‬ ‫مالحظة‬
‫أن‬ ‫نستنتج‬ 0 = ‫جـ‬ + ‫ص‬ ‫ك‬ 2 + ‫س‬ ‫2ل‬ + 2‫ص‬ + 2‫ س‬ ‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫من‬
‫ص‬ ، ‫س‬ ‫فى‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ :ً‫أولا‬
‫الوحدة‬ = 2‫ص‬ ‫معامل‬ = 2‫س‬ ‫معامل‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
0 = ‫ص‬ ‫س‬ ‫معامل‬ ‫أى‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫يحتوى‬ ‫الذى‬ ‫الحد‬ ‫من‬ ‫خالية‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
‫السابقة‬ ‫الثالثة‬ ‫الشروط‬ ‫تحقق‬ ‫يلزم‬ ‫دائرة‬ ‫ص‬ ، ‫س‬ ‫فى‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫لكى‬‫و‬
0 ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ ‫يكون‬ ‫وأن‬
)2 ،4( C
)3- ،1-( ‫ب‬
)‫-ك‬ ،‫(-ل‬ ‫م‬
‫ص‬
‫س‬
/
‫س‬
/
‫ص‬
‫و‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةلداعم‬ ‫ةرئادلا‬4
‫الدرس‬
99

105. ‫تعلم‬
:‫لمعادلتها‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫من‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫دائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ ‫احداثيا‬ ‫لتعين‬
‫الوحدة‬ = 2‫ص‬ ‫معامل‬ = 2‫س‬ ‫معامل‬ ‫حيث‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫فى‬ ‫المعادلة‬ ‫وضع‬ ‫من‬ ً‫لا‬‫و‬‫أ‬ ‫تحقق‬ -1
`‫ص‬ ‫معامل‬ -
2
، ‫س‬ ‫معامل‬ -
2
j ‫أى‬ )‫-ك‬ ، ‫(-ل‬ ‫كز‬‫المر‬ ‫احداثيا‬ -2
0 ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ ، ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ = H ‫حيث‬ H ‫يساوى‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ -3
‫مثال‬
.‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫أوجد‬ ‫دائرة‬ ‫معادلة‬ ‫كانت‬ ‫وإذا‬ ‫؟‬‫لدائرة‬ ‫اآلتية‬ ‫المعادالت‬ ‫أى‬ ‌
0 = 25 + ‫4س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫ب‬ 0 = 10 - ‫8ص‬ - ‫6س‬ + 2‫2ص‬ + 2‫3س‬ ‫أ‬
49 = 2‫4ص‬ + 2‫4س‬ ‫د‬ 0 = 30 - ‫8ص‬ + ‫21س‬ - 2‫2ص‬ + 2‫2س‬ ‍‫ج‬
‫الحل‬
‫لدائرة‬ ‫ليست‬ ‫المعادلة‬ ` 2‫ص‬ ‫معامل‬ ! 2‫س‬ ‫معامل‬ ‫أ‬
‫ص‬ ‫س‬ ‫على‬ ‫المحتوى‬ ‫الحد‬ ‫من‬ ‫خالية‬ ‫المعادلة‬ ، ‫الوحدة‬ = 2‫ص‬ ‫معامل‬ = 2‫س‬ ‫معامل‬ ‫ب‬
25 = ‫0 ، جـ‬ = 0
2 = ‫2 ، ك‬ = 4
2 = ‫ل‬
0 25 - 2)0( + 2)2( = ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ `
‫لدائرة‬ ‫ليست‬ ‫المعادلة‬ `
0 = 15 - ‫4ص‬ + ‫6س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ` 2 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفى‬ ‫بقسمة‬ ‍‫ج‬
‫ص‬ ‫س‬ ‫على‬ ‫المحتوى‬ ‫الحد‬ ‫من‬ ‫خالية‬ ‫المعادلة‬ ، ‫الوحدة‬ = 2‫ص‬ ‫معامل‬ = 2‫س‬ ‫معامل‬ `
15- = ‫2 ، جـ‬ = ‫-3 ، ك‬ = ‫ل‬
0 28 = )15-( - 2)2( + 2)3-( = ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ `
‫وحدة‬ 7 2 = 28 = H ، )2- ، 3( ‫كزها‬‫مر‬ ‫لدائرة‬ ‫المعادلة‬ `
49
4 = 2‫ص‬ + 2‫س‬ ` 4 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفى‬ ‫بقسمة‬ ‫د‬
‫ص‬ ‫س‬ ‫على‬ ‫المحتوى‬ ‫الحد‬ ‫من‬ ‫خالية‬ ‫المعادلة‬ ، ‫الوحدة‬ = 2‫ص‬ ‫معامل‬ = 2‫س‬ ‫معامل‬ `
49
4 = ‫0 ، جـ‬ = ‫0 ، ك‬ = ‫ل‬
0
49
4 = ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ `
‫وحدة‬ 7
2 = 49
4
= H ، ‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫لدائرة‬ ‫المعادلة‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫أوجد‬ ،‫دائرة‬ ‫معادلة‬ ‫كانت‬ ‫وإذا‬ ‫؟‬‫لدائرة‬ ‫اآلتية‬ ‫المعادالت‬ ‫أى‬ ‌
0 = ‫2ص‬ - ‫4س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫ب‬ 0 = 17 + ‫4ص‬ + ‫6س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫أ‬
0 = 6 - ‫ص‬ ‫2س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫د‬ 0 = 39 + ‫4س‬ - 2‫2ص‬ + 2‫2س‬ ‍‫ج‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
100

106. 0 = 16 + ‫8ص‬ - ‫01س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ : 1‫د‬ ‫تين‬‫ر‬‫الدائ‬ ‫هل‬ :‫ناقد‬ ‫تفكير‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫الخارج‬ ‫من‬ ‫متماستان‬ 0 = 26 - ‫ص‬ 10 + ‫41س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ : 2‫د‬
‫مثال‬
‫تمس‬ ‫آلة‬ ‫فى‬ C ‫بكرة‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يوضح‬ :‫بالصناعة‬ ‫الربط‬ ‌
‫بكرة‬ ‫على‬ ‫يمر‬ ‫سير‬ ‫بواسطة‬ ‫تدور‬ ‫االحداثيات‬ ‫محورى‬
:‫أوجد‬0=45+ ‫41س‬+ 2‫ص‬+ 2‫س‬:‫تها‬‫ر‬‫دائ‬‫معادلة‬‫ب‬‫صغيرة‬
‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ C ‫البكرة‬ ‫دائرة‬ ‫ معادلة‬ ‫أ‬
.‫وحدات‬ 5 ‫يساوى‬
‫من‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫تين‬‫ر‬‫البك‬ ‫كزى‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫ البعد‬‫ب‬
‫6سم‬ ‫تمثل‬ ‫اإلحداثى‬ ‫المستوى‬
‫الحل‬
‫وحدات‬ 5 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ، ‫االحداثيات‬ ‫محورى‬ ‫تمس‬ C ‫البكرة‬ a ‫أ‬
5- = ‫ك‬ ، 5- = ‫ل‬ ‫أى‬ )5 ، 5(‫م‬ ‫النقطة‬ ‫تها‬‫ر‬‫دائ‬ ‫كز‬‫مر‬ `
25 = 2)5( - 2)5-( + 2)5-( = ‫جـ‬ ` 2H - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ = ‫جـ‬ a
‫صفر‬ = 25 + ‫01ص‬ - ‫01س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ :‫معادلتها‬ ‫وتكون‬
0 = 45 + ‫41س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ :‫ب‬ ‫البكرة‬ ‫دائرة‬ ‫معادلة‬ a ‫ب‬
2 = 45 - 49 = H 45 = ‫0 جـ‬ = ‫7 ك‬ = ‫ل‬ `
‫وحدة‬ 2 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )0 ، 7-( ‫ن‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫ ويكون‬
‫وحدة‬ 13 = 2)5( + 2)7 + 5( = ‫ن‬ ‫م‬ = ‫تين‬‫ر‬‫البك‬ ‫كزى‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ `
‫6سم‬ ‫ثمثل‬ ‫اإلحداثى‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ a
‫87سم‬ = 6 * 13 = ‫تين‬‫ر‬‫البك‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫األنفاق‬‫أحد‬‫فى‬‫ا‬ً‫ي‬‫رأس‬‫ا‬ً‫ع‬‫مقط‬‫المقابل‬‫الشكل‬‫يوضح‬:‫بالطرق‬ ‫الربط‬ 1‌
:‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫معادلة‬ ‫السيارات‬ ‫لمرور‬ ‫الدائرية‬
.‫فيها‬ ‫قطر‬ ‫ب‬ C ، 0 = 12 - ‫6ص‬ - ‫4س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬
‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫األطوال‬ ‫وحدة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫للنفق‬ ‫أرتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫أوجد‬
.‫07سم‬ ‫تمثل‬ ‫اإلحداثى‬
‫مثال‬
:‫الدائرة‬ ‫برؤوسه‬ ‫تمر‬ ‫منتظم‬ ‫خماسى‬ ‫شكل‬ ‫سطح‬ ‫مساحة‬ ‫مربع‬ ‫سنتيمتر‬ ‫ألقرب‬ ‫أوجد‬ :‫بالهندسة‬ ‫الربط‬ 1‌
.‫5سم‬ ‫تمثل‬ ‫اإلحداثى‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ ‫بأن‬ ‫ا‬ً‫م‬‫عل‬ 0 = 5 + ‫21ص‬ - ‫6س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬
‫ص‬
‫س‬
/
‫س‬
/
‫ص‬
‫ب‬
‫و‬
C
C‫ب‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةلداعم‬ ‫ةرئادلا‬4
‫الدرس‬
101

107. ‫الحل‬
:‫فيكون‬ ‫هـ‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫المنتظم‬ ‫الخماسى‬ ‫برؤوس‬ ‫المارة‬ ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ ‫م‬ ‫أن‬ ‫بفرض‬
)‫م‬ ‫الدائرة‬ ‫فى‬ ‫أوتار‬ ‫(وهى‬ ‫هـ‬ C = ‫هـ‬ E = E ‫جـ‬ = ‫جـ‬ ‫ب‬ = ‫ب‬ C
c72 = c360
5 = ....... = )‫جـ‬ ‫م‬ ‫ب‬c(X = )‫ب‬ ‫م‬ Cc(X `
‫متطابقة‬ ‫مثلثات‬ 5 ‫إلى‬ ‫هـ‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‫الشكل‬ ‫تقسيم‬ ‫ويالحظ‬
‫ب‬ C ‫م‬ 9 ‫مساحة‬ * 5 = ‫المنتظم‬ ‫الخماسى‬ ‫مساحة‬ ‫أن‬ ‫أى‬
c72 ‫حا‬ ‫ب‬ ‫م‬ * C ‫م‬ 1
2 * 5 =
)1( c72 ‫حا‬ 2H 5
2 =
5 = ‫-6 جـ‬ = ‫ك‬ 3 = ‫ل‬ :‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
)1( ‫فى‬ ‫وبالتعويض‬ 40 = 5 - 36 + 9 = 2H ` ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ = 2H a
‫مربعة‬ ‫وحد‬ 95٫10565 = c72 ‫حا‬ )40( 5
2 = ‫المنتظم‬ ‫الخماسى‬ ‫مساحة‬ `
‫5سم‬ ‫تمثل‬ ‫اإلحداثى‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ a
2‫52سم‬ = 2)5( ‫قدرها‬ ‫مساحة‬ ‫تمثل‬ ‫اإلحداثى‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫المربعة‬ ‫الوحدة‬ `
2‫سم‬ 2378 - 25 * 95٫10565 = ‫المنتظم‬ ‫الخماسى‬ ‫مساحة‬ ‫ وتكون‬
‫الرابع‬ ‫الدرس‬ ‫تمـــــاريـــن‬
‫المعطاه‬ ‫االجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫االجابة‬ ‫اختر‬
‫على‬ ‫تقع‬ )0 ، 2( ‫النقطة‬ ‌
9 = 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫الدائرة‬ ‫د‬ ‫س‬2 = ‫ص‬ ‫المستقيم‬ ‍‫ج‬ ‫ت‬‫الصادا‬ ‫محور‬ ‫ب‬ ‫ت‬‫السينا‬ ‫محور‬ ‫أ‬
‫هما‬ ‫ب‬ C ‫تنصف‬ ‫التى‬ ‫النقطة‬ ‫إحداثيى‬ ‫فإن‬ )5 ، 3-(‫ب‬ ، )7- ، 3(C ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
)0 ، 1-( ‫د‬ )1- ، 0( ‍‫ج‬ )0 ، 1( ‫ب‬ )1 ، 0( ‫أ‬
‫تساوى‬ )2- ، 10( ، )4 ، 2( ‫النقطتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‌
6 ‫د‬ 10 3 ‍‫ج‬ 10 ‫ب‬ 9 ‫أ‬
‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ )0 ، 0( ‫كزها‬‫مر‬ 25 = 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫الدائرة‬ ‌
)1 ، 5( ‫د‬ )0 ، 25( ‍‫ج‬ )0 ، 5( ‫ب‬ )4 ، 1( ‫أ‬
-:‫هى‬ ‫وحدات‬ 7 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )5- ، 3( ‫كزها‬‫مر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‌
49 = 2)5 - ‫(ص‬ + 2)3 + ‫(س‬ ‫ب‬ 49 = 2)5 - ‫(ص‬ + 2)3 - ‫(س‬ ‫أ‬
49 = 2)5 + ‫(ص‬ + 2)3 - ‫(س‬ ‫د‬ 49 = 2)5 - ‫(ص‬ + 2)3 + ‫(س‬ ‍‫ج‬
‫م‬
C‫ب‬
E
‫جـ‬ ‫هـ‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
102

108. 8 = 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫معادلتها‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫محيط‬ ‌
r 2 4 ‫د‬ r 2 2 ‍‫ج‬ r 64 ‫ب‬ r 8 ‫أ‬
:‫كان‬ ‫إذا‬ H ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫أكتب‬ ‌
4 = H ، ) 0 ، 0(‫م‬ ‫ب‬ 5 = H ، )3 ،2 ( ‫م‬ ‫أ‬
7 = H ، )5- ، 4(‫م‬ ‫د‬ 6 = H ، )0 ،3( ‫م‬ ‍‫ج‬
3
2 = H ، )3- ، 4-(‫م‬ ‫و‬ 3 2 = H ، )1- ،0( ‫م‬ ‍‫ه‬
‫المعطى‬ ‫الرسم‬ ‫يمثلها‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬ ‌
‫أ‬
2
2
4
4 6
‫ص‬
‫س‬
‫ب‬
2 4 6
4-
2-
‫س‬
‫ص‬
‍‫ج‬
2
2
4
4 6 8
‫س‬
‫ص‬
‫د‬
3
3-
‫س‬
‫ص‬
‍‫ه‬
4-
44-8- 8
8-
‫س‬
‫ص‬‫و‬
3 6
:‫كان‬ ‫إذا‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫أوجد‬ ‌
.)2 ، 3(C ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ ،)5- ، 7( ‫م‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫أ‬
.)2 ، 0(‫ب‬ ، )4- ، 6(C ‫حيث‬ ‫الدائرة‬ ‫فى‬ ‫قطر‬ ‫ب‬ C ‫ب‬
.‫السينات‬ ‫محور‬ ‫وتمس‬ ،)3- ، 5( ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‍‫ج‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ةلداعم‬ ‫ةرئادلا‬4
‫الدرس‬
103

109. :‫اآلتية‬ ‫الدوائر‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ،‫المركز‬ ‫إحداثيا‬ ‫أوجد‬ 1‌
49 = 2)5 - ‫(ص‬ + 2)3 + ‫(س‬ ‫ب‬ 27 = 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫أ‬
24 = 2)7 + ‫(ص‬ + 2‫س‬ ‫د‬ 16 = 2‫ص‬ + 2)2 - ‫(س‬ ‍‫ج‬
:‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫فى‬ ‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫اكتب‬ 1‌
)3 ، 1-( C ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ ،)0 ، 0( ‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫ب‬ .8 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫وطول‬ ،)1 ، 3(‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫أ‬
)1 ، 5(‫ب‬ ، )7- ، 3(C ‫حيث‬ ‫فيها‬ ‫قطر‬ ‫ب‬ C ‫د‬ )4 ، 3( ‫ب‬ ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ ،)0 ، 5-( ‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‍‫ج‬
‫اآلتية‬ ‫الدوائر‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ،‫المركز‬ ‫احداثيا‬ ‫أوجد‬ 1‌
8 = ‫2س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫ب‬ 0 = 12 - ‫6ص‬ + ‫4س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫أ‬
12 = ‫8س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫د‬ 0 = ‫01ص‬ + ‫6س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‍‫ج‬
‫متطابقتان‬ ‫يلى‬ ‫مما‬ ‫دائرتين‬ ‫أى‬ ‫بين‬ 1‌
0 = 11 - ‫6س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ، 0 = 3 - ‫4ص‬ + ‫2س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫أ‬
0 = 13 + ‫01س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ، 0 = 37 + ‫41س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫ب‬
:‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫مركزها‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ، ‫لدائرة‬ ‫اآلتية‬ ‫المعادالت‬ ‫أى‬ ‫بين‬ 1‌
0 = ‫5ص‬ - ‫6س‬ + 2‫2ص‬ + 2‫س‬ ‫ب‬ 0 = 1- ‫61ص‬ - ‫8س‬ + 2‫ص‬+ 2‫س‬ ‫أ‬
0 = 12 - ‫ص‬ ‫2س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫د‬ 0 = 8 - ‫س‬ + 2‫ص‬1
4 + 2‫س‬1
4 ‍‫ج‬
0 = 8 - ‫3ص‬ + 2‫2ص‬ + 2‫2س‬ ‫و‬ 0 = 7 + ‫4ص‬ + ‫2س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‍‫ه‬
‫وحدة‬ 30 ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫دائرية‬ ‫منطقة‬ ‫ويغطى‬ )9- ، 7(C ‫الموقع‬ ‫عند‬ ‫رادار‬ ‫يقع‬ :‫البحرية‬ ‫المالحة‬ 1‌
‫سفينة‬ ‫رصد‬‫للرادار‬ ‫يمكن‬‫هل‬ .‫اإلحداثى‬ ‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫الرادار‬ ‫عمل‬‫مجال‬ ‫تحد‬‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬ .‫طول‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬)30- ، 25( ‫ب‬ ‫الموقع‬ ‫فى‬
‫بالدائرة‬ ‫رؤوسه‬ ‫تمر‬ ‫منتظم‬ ‫ثمانى‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫مبنى‬ ‫معمارى‬ ‫مهندس‬ ‫صمم‬ :‫المعمارى‬ ‫التصميم‬ 1‌
. ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫ألقرب‬ ‫المبنى‬ ‫مساحة‬ ‫إحسب‬ 0 = 60 - ‫21ص‬ + ‫4س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬
‫يوازى‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫يقعا‬ ‫كزيهما‬‫مر‬ ‫آلة‬ ‫فى‬ ‫ترسان‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫يبين‬ :‫الصناعة‬ 1‌
‫الترس‬ ‫معادلة‬ ‫أوجد‬ .‫وحدات‬ 10 ‫حافتيهما‬ ‫بين‬ ‫بعد‬ ‫وأقصى‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬
0 = 32 + ‫8ص‬ - ‫01س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ :‫هى‬ ‫األكبر‬ ‫الترس‬ ‫معادلة‬ ‫بأن‬ ‫ا‬ً‫علم‬ ‫األصغر‬
‫محور‬ ‫على‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫ويقع‬ )4- ، 2(‫ب‬ ، )3 ، 1(C ‫بالنقطتين‬ ‫تمر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫أوجد‬ :‫ابداعى‬ ‫تفكير‬ 1‌
.‫السينات‬
10
‫س‬
‫ص‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
104

110. ‫الوحدة‬‫ملخ�ص‬
.‫األبعاد‬ ‫ثالثي‬ ‫شكال‬ ‫ليكون‬ ‫طيه‬ ‫يمكن‬ ‫بعدين‬ ‫ذى‬ ‫شكل‬ ‫هى‬ ‫شبكة‬
‫تشترك‬ ‫مثلثات‬ ‫األخرى‬ ‫أوجهه‬ ‫وجميع‬ ‫واحدة‬ ‫قاعدة‬ ‫له‬ ‫مجسم‬ ‫هو‬ ‫الهرم‬
‫فيكون‬ ‫قاعدته‬ ‫مضلع‬ ‫أضالع‬ ‫عدد‬ ‫حسب‬ ‫الهرم‬ ‫ويسمى‬ .‫واحدة‬ ‫رأس‬ ‫فى‬
.‫وهكذا‬ .. ‫ا‬ً‫ي‬‫خماس‬ ‫أو‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رباع‬ ‫أو‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫ثالث‬ ‫ا‬ً‫م‬‫هر‬
‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫موقع‬ ‫كزه‬‫مر‬ ‫منتظم‬ ‫مضلع‬ ‫قاعدته‬ ‫هرم‬ ‫المنتظم‬ ‫الهرم‬
:‫فنجد‬ ‫عليها‬ ‫الهرم‬ ‫رأس‬
½½.‫الطول‬ ‫فى‬ ‫متساوية‬ ‫الجانبية‬ ‫أحرفه‬
½½.‫ومتطابقة‬ ‫الساقين‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫سطوح‬ ‫الجانبية‬ ‫أوجهه‬
½½‫متساوية‬ ‫الجانبية‬ ‫االرتفاعات‬
‫كزها‬‫بمر‬ ‫يمر‬ ‫قاعدته‬ ‫على‬ ‫الهرم‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫موقع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫ا‬ً‫قائم‬ ‫الهرم‬ ‫يكون‬ ‫القائم‬ ‫الهرم‬
.‫الهندسي‬
.‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫القائمة‬ ‫ضلعى‬ ‫أحد‬ ‫حول‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ينشأ‬ ‫الذى‬ ‫الجسم‬ ‫هو‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬
‫الجانبى‬ ‫ارتفاعه‬ * ‫قاعدته‬ ‫محيط‬ 1
2 = ‫للهرم‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ + ‫الجانبية‬ ‫مساحته‬ = ‫للهرم‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ H ، ‫راسمه‬ ‫طول‬ ‫ل‬ ‫حيث‬ H‫ل‬ r= ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
) H+ ‫ل‬ ( H r= 2H‫ل‬ r+ H‫ل‬ r = ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
.‫ارتفاعه‬ * ‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ثلث‬ ‫يساوى‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬
‫ارتفاعه‬ * ‫قاعدته‬ ‫مساحة‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ثلث‬ ‫يساوى‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬
.‫المستوى‬ ‫فى‬ ‫ثابتة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الثابت‬ ‫البعد‬ ‫نفس‬ ‫علي‬ ‫تكون‬ ‫التى‬ ‫المستوى‬ ‫نقط‬ ‫مجموعة‬ ‫هى‬ :‫الدائرة‬
‫الدائرة‬ ‫معادلة‬
2H= 2)‫هـ‬ - ‫(ص‬ + 2)E- ‫س‬ ( :‫هى‬ H‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )‫هـ‬ ،E( ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬
‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬
H ‫يساوى‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )‫-ك‬ ، ‫(-ل‬ ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬
‫صفر‬ = ‫جـ‬ + ‫ص‬ ‫ك‬ 2 + ‫س‬ ‫ل‬ 2 + 2‫ص‬+ 2‫س‬ :‫هى‬
0 ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ ، ‫جـ‬ -2‫ك‬ + 2‫ل‬ = H‫حيث‬
‫ارتفاع‬
‫جانبى‬
‫قاعدة‬
)‫(ع‬ ‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
�����������
105
�����������

111. ‫لمعادلتها‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫من‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫دائرة‬ ‫مركز‬ ‫إحداثيا‬ ‫لتعيين‬
½½‫الوحدة‬ = 2‫ص‬ ‫معامل‬ = 2‫س‬ ‫معامل‬ :‫حيث‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫فى‬ ‫المعادلة‬ ‫وضع‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫أو‬ ‫تحقق‬
½½) ‫ص‬ ‫معامل‬ -
2
، ‫س‬ ‫معامل‬ -
2
( ‫أى‬ )‫ك‬ - ، ‫(-ل‬ ‫كز‬‫المر‬ ‫إحداثيا‬
½½0 ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ ‫حيث‬ ، ‫جـ‬ - 2‫ك‬ + 2‫ل‬ = H ‫العالقة‬ ‫من‬ ‫يتعين‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬
)‫الثالثة‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
:‫ممايأتى‬ ‫كل‬ ‫أكمل‬ ‌
.......................................................................................................................................................... ‫المنتظم‬ ‫الهرم‬ ‫فى‬ ‫الجانبية‬ ‫األوجه‬ ‫أ‬
................................................................................................................................................. ‫المنتظم‬ ‫الهرم‬ ‫فى‬ ‫الجانبية‬ ‫االرتفاعات‬ ‫ب‬
‫راسمه‬ ‫طول‬ ................................................. ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‍‫ج‬
.................................................... * ................................................... = ‫الهرم‬ ‫حجم‬ ‫د‬
......................................................................................................... ‫يساوى‬ 0 = 18 - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‍‫ه‬
................................ ‫هى‬ ‫وحدات‬ 4 ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )3 ، 2( ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫و‬
‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫أختر‬ ‌
:‫المقابل‬ ‫بالشكل‬ ‫ًا‬‫ن‬‫مستعي‬
: ‫تساوى‬ ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‫أ‬
)2‫سم‬ r48 2‫سم‬ 48 2‫سم‬ r 60 2‫(06سم‬
‫تساوى‬ ‫المنتظم‬ ‫للهرم‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫ب‬
)2‫سم‬ 432 2‫سم‬ 384 2‫سم‬ 240 2‫سم‬ 360(
‫يساوى‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬ ‍‫ج‬
)3‫سم‬ 384 3‫سم‬ 480 3‫سم‬ 96 3‫سم‬ 64(
: ‫تساوى‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫إلى‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫د‬
)r : 3 4 : r r : 4 3 : r(
‫سم‬ 8
‫سم‬ 6
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
106

112. .‫ارتفاعه‬ ‫إحسب‬ .2‫4سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ومساحة‬ 3‫21سم‬ ‫حجمه‬ ‫منتظم‬ ‫هرم‬ ‌
.‫الجانبية‬ ‫مساحته‬ ‫إحسب‬ .‫21سم‬ ‫وإرتفاعه‬ 3‫004سم‬ ‫حجمه‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‌
.‫21سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫01سم‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫لمخروط‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫واحد‬ ‫عشرى‬ ‫رقم‬ ‫ألقرب‬ ‫أوجد‬ ‌
:‫كان‬ ‫إذا‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫أكتب‬ ‌
.‫وحدات‬ 4 ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )5 ، 3(‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫أ‬
.‫وحدات‬ 9 ‫قطرها‬ ‫وطول‬ )0 ، 2-( ‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫ب‬
)6 ، 4( ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ )9 ، 0( ‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‍‫ج‬
)10 ، 1( ‫ب‬ ، )2- ، 5( C ‫حيث‬ ‫الدائرة‬ ‫فى‬ ‫قطر‬ ‫ب‬ C ‫د‬
.‫األصل‬ ‫بنقطة‬ ‫وتمر‬ )12- ،5 ( ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫اكتب‬ ‌
:‫ممايلى‬ ‫دائرة‬ ‫كل‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫كز‬‫مر‬ ‫أوجد‬ ‌
9 = 2‫ص‬ + 2)4 + ‫(س‬ ‫ب‬ 27 = 2)5 + ‫(ص‬ + 2)3 - ‫(س‬ ‫أ‬
0 = 7 - ‫01ص‬ - 2‫2ص‬ + 2‫2س‬ ‫د‬ 0 = 6 - ‫ص‬ 6 + ‫س‬ 2 - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‍‫ج‬
‫أن‬ ‫وجد‬ ‫أمتار‬ 5 ‫تمثل‬ ‫فيه‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ ‫متعامد‬ ‫إحداثى‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫المدن‬ ‫إلحدى‬ ‫رسم‬ ‫فى‬ :‫المدن‬ ‫تخطيط‬ ‌
.‫الميدان‬‫هذا‬‫مساحة‬‫مربع‬‫متر‬‫ألقرب‬‫أوجد‬‫ميادينها‬‫أحد‬‫تحدد‬0 = 11 + ‫8ص‬ + ‫6س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬:‫الدائرة‬
‫نوعين‬ ‫بانتاج‬ ‫كريم‬ ‫آيس‬ ‫مصنع‬ ‫إنتاج‬ ‫خطوط‬ ‫تقوم‬ :‫الصناعة‬ 1‌
‫هل‬.‫ا‬ً‫حجم‬‫أكبر‬‫النوعين‬‫أى‬‫المقابل‬‫بالشكل‬‫الموضحين‬‫ب‬ ،C
‫المتالصقين‬ ‫المخروطين‬ ‫إرتفاعى‬ ‫بتغير‬ C ‫النموذج‬ ‫حجم‬ ‫يتغير‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫ا‬ً‫ت‬‫ثاب‬ ‫اإلرتفاعين‬ ‫مجموع‬ ‫يظل‬ ‫أن‬ ‫على‬
‫أنشأت‬ ‫كما‬ ..‫متاحفها‬ ‫فى‬ ‫لتعرض‬ ‫باريس‬ ‫إلى‬ ‫بعضها‬ ‫فنقلت‬ ‫القديمة‬ ‫المصرية‬ ‫باآلثار‬ ‫نسا‬‫ر‬‫ف‬ ‫اهتمت‬ :‫السياحة‬ 1‌
‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ .‫بباريس‬ ‫اللوفر‬ ‫لمتحف‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رئيس‬ ً‫ال‬‫مدخ‬ ‫ليكون‬ ‫األكبر‬ ‫للهرم‬ ‫ا‬ً‫ه‬‫مشاب‬ ‫الشفاف‬ ‫الزجاج‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫م‬‫هر‬
.‫مربع‬ ‫متر‬ ‫ألقرب‬ ‫بناؤه‬ ‫فى‬ ‫المستخدم‬ ‫الزجاج‬ ‫مساحة‬ ‫فأوجد‬ ، ‫ا‬ً‫متر‬ 35 ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫وطول‬ ‫متر‬ 21٫6 ‫ارتفاعه‬
‫سم‬ 15
‫سم‬ 12
‫سم‬ 4.3
‫سم‬ 5.5
‫سم‬ 6
C
‫ب‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬107
)‫متارين عامة (الوحدة الثالثة‬

113. ‫تراكمي‬ ‫اختبار‬
:‫المعطاه‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫إختر‬
:‫تساوى‬ ‫القائم‬ ‫للمخروط‬ )‫(السطحية‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‌
‫ع‬2H r
3
‫ب‬ ‫ل‬Hr ‫أ‬
)‫3ل‬ + ‫ع‬H( H r
3
‫د‬ )‫ل‬ + H( Hr ‍‫ج‬
‫يساوي‬ ‫حجمه‬ ‫فإن‬ ‫01سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫63سم‬ ‫قاعدته‬ ‫محيط‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‌
2‫سم‬ 270 ‫د‬ 2‫سم‬ 360 ‍‫ج‬ 2‫سم‬ 180 ‫ب‬ 2‫سم‬ 810 ‫أ‬
:‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ 0 = ‫2ص‬ + 2‫ص‬ + 2)2 + ‫(س‬ ‫الدائرة‬ ‌
)2 ، 4-( ‫د‬ )1- ، 2( ‍‫ج‬ )1- ، 2-( ‫ب‬ )2 ، 2( ‫أ‬
.‫طيها‬ ‫عند‬ ‫ا‬ً‫منتظم‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رباع‬ ‫ا‬ً‫م‬‫هر‬ ‫التصنع‬ ‫التالية‬ ‫الشبكات‬ ‫أى‬ ‌
‫أ‬‫ب‬‍‫ج‬‫د‬
‫قصيرة‬ ‫إجابات‬ ‫ذات‬ ‫اسئلة‬
.‫مكعب‬ ‫سنتيمتر‬ ‫ألقرب‬ ‫ممايأتى‬ ‫مجسم‬ ‫كل‬ ‫حجم‬ ‫أوجد‬ ‌
‫أ‬
‫سم‬ 17
‫م‬‫س‬16
‫سم‬ 16
‫ب‬
‫م‬‫س‬20
‫سم‬ 18
‍‫ج‬
‫سم‬ 12
‫سم‬ 6
)3 ،1( ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ )7- ،2( ‫النقطة‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫معادلة‬ ‫أوجد‬ ‌
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫متطابقتين‬ ‫االتيتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫الدائ‬ ‫أى‬ ‌
0 = 4 - ‫6س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ، 0 = 5 - ‫2ص‬ - ‫4س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫أ‬
0 = 16 + ‫21ص‬ + 2‫ص‬ + 2‫0 ، س‬ = ‫8ص‬ + ‫4س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫ب‬
‫ع‬
‫ل‬
H
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
�����������������
108

114. :‫طويلة‬ ‫إجابات‬ ‫ذات‬ ‫اسئلة‬
.‫21سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫61سم‬ ‫قاعدته‬ ‫مضلع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫خماسى‬ ‫هرم‬ ‫حجم‬ ‫واحد‬ ‫عشرى‬ ‫رقم‬ ‫ألقرب‬ ‫أحسب‬ ‌
‫قطره‬ ‫نصفى‬ ‫لصق‬‫و‬ ‫طوى‬c 60 ‫كزية‬‫المر‬ ‫زاويته‬ ‫وقياس‬ ‫81سم‬ ‫ته‬‫ر‬‫دائ‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫ب‬ C ‫م‬ ‫دائرى‬ ‫قطاع‬ ‌
.‫المخروط‬ ‫هذا‬ ‫حجم‬ ‫أوجد‬ .‫قائم‬ ‫لمخروط‬ ‫جانبية‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫ليكون‬
‫محور‬ ‫علي‬ ‫تقع‬ ‫ع‬ ، ‫ن‬ ، ‫م‬ ‫النقط‬ :‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ 1‌
‫كان‬ ‫إذا‬ .‫األصل‬ ‫نقطة‬ ‫ن‬ ،‫متعامد‬ ‫إحداثى‬ ‫لمستوى‬ ‫السينات‬
،5‫هى‬‫أقطارها‬‫أنصاف‬‫أطوال‬‫دوائر‬‫ثالث‬‫مراكز‬‫ع‬،‫ن‬،‫م‬
.‫وحدات‬4=C ‫م‬2=E ‫جـ‬،‫تيب‬‫ر‬‫الت‬‫على‬‫الوحدات‬‫من‬6،9
.‫الثالث‬ ‫الدوائر‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫أوجد‬
:‫إضافية‬ ‫مساعدة‬ ‫إلى‬ ‫تحتاج‬ ‫هل‬
‫حل‬ ‫تستطع‬ ‫لم‬ ‫إذا‬
‫رقم‬ ‫السؤال‬
12345678910
‫إلى‬ ‫إرجع‬2- 33 - 34 - 31- 33 - 34 - 34 - 33 -3‫عامة‬ ‫مهارات‬4 - 3
‫س‬
‫ص‬
C
‫م‬
‫ب‬‫جـ‬E
‫ن‬‫ع‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬109
‫تراكمي‬‫اختبار‬

115. ‫الوحدة‬
‫األولى‬
‫الوحدة‬ ‫مقدمة‬
‫الوحدة‬ ‫أهداف‬
‫الوحدة‬
‫الرابعة‬
‫تجريها‬ ‫كانت‬ ‫التى‬ ‫العد‬ ‫عمليات‬ ‫مجرد‬ ‫من‬ ‫االحصاء‬ ‫علم‬ ‫تطور‬ ‫فقد‬ ‫العلوم‬ ‫باقى‬ ‫تخدم‬ ‫التى‬ ‫الرياضيات‬ ‫علوم‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫م‬‫ها‬ ‫ًا‬‫م‬‫عل‬ ‫االحصاء‬ ‫علم‬ ‫يعد‬
‫فلك‬ ‫من‬ ‫المجاالت‬ ‫مختلف‬ ‫فى‬ ‫كثيرة‬ ‫واستخدامات‬ ‫وقواعد‬ ‫أصول‬ ‫له‬ ‫علم‬ ‫إلى‬ ‫والمادية‬ ‫البشرية‬ ‫قدراتها‬ ‫على‬ ‫للتعرف‬ ‫الوسطى‬ ‫العصور‬ ‫فى‬ ‫الدول‬
‫يساعدنا‬ ‫فهو‬ ،‫المعرفة‬ ‫مجاالت‬ ‫شتى‬ ‫فى‬ ‫القرار‬ ‫واتخاذ‬ ‫السياسات‬ ‫ورسم‬ ‫التخطيط‬ ‫مجاالت‬ ‫فى‬ ‫وكذلك‬ ، ...‫وطب‬ ‫واقتصاد‬ ‫وسياسة‬ ‫نفس‬ ‫وعلم‬ ‫ووراثة‬
‫االحتماالت‬ ‫نظرية‬ ‫استخدام‬ ‫فى‬ ‫الهائل‬ ‫التطور‬ ‫ويرجع‬ ، ‫المستقبلية‬ ‫الخطط‬ ‫ورسم‬ ‫بالمستقبل‬ ‫التنبؤ‬ ‫فى‬ ‫الستخدامه‬ ‫الماضى‬ ‫فى‬ ‫حدث‬ ‫ما‬ ‫فهم‬ ‫علي‬
‫من‬ ‫كثير‬ ‫باستخدام‬ ‫بيركوف‬ ‫والعالم‬ ‫نيومان‬ ‫العالم‬ ‫يد‬ ‫على‬ ‫النظرية‬ ‫لهذه‬ ‫حديثة‬ ‫معالجة‬ ‫أول‬ ‫تمت‬ ‫حيث‬ 1932 ‫عام‬ ‫إلي‬ ‫واضحة‬ ‫بصورة‬
‫نوعيته‬ ‫تحسين‬ ‫فى‬ ‫يعتمد‬ ‫المصانع‬ ‫فإنتاج‬ ‫أوسع‬ ‫العملية‬ ‫الحياة‬ ‫فى‬ ‫تطبيقها‬ ‫وصار‬ ‫ڤن‬ ‫وأشكال‬ ‫المجموعات‬ ‫مفهوم‬ ‫مثل‬ ‫الحديثة‬ ‫الرياضيات‬ ‫مفاهيم‬
. ‫االحتماالت‬ ‫علي‬ ‫تعتمد‬ ‫المتقدمة‬ ‫األمم‬ ‫فى‬ ‫الدول‬ ‫سياسات‬ ‫أن‬ ‫بل‬ ‫واالجتماعية‬ ‫االقتصادية‬ ‫للتنمية‬ ‫التخطيط‬ ‫كذلك‬ ‫االحتماالت‬ ‫على‬ ‫وتسويقه‬
‫وكيفية‬ ‫االحتمال‬ ‫مفهوم‬ ‫وكذلك‬ ‫التشتت‬ ‫مقاييس‬ ‫بعض‬ ‫حساب‬ ‫فى‬ ‫واستخدامه‬ ‫البيانات‬ ‫لعرض‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫نتناول‬ ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫فى‬
)‫الفرص‬ ‫(متكافئة‬ ‫االمكانات‬ ‫ومتساوية‬ ‫محدود‬ ‫عددها‬ ‫الحدوث‬ ‫الممكنة‬ ‫النتائج‬ ‫جميع‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫تطبيقه‬
:‫أن‬ ‫على‬ ‫ا‬ً‫ر‬‫قاد‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫المتوقع‬ ‫من‬ ‫الوحدة‬ ‫نهاية‬ ‫فى‬
••.‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫يمثل‬
••‫قيم‬ ‫حساب‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫والتى‬ ‫التشتت‬ ‫مقاييس‬ ‫بعض‬ ‫يتعرف‬
) ‫األوسط‬ ‫الربيع‬ - ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ - ‫األدنى‬ ‫الربيع‬
••‫واألوسط‬ ‫واألعلى‬ ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫يستنتج‬
. ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫طريقة‬ ‫باستخدام‬
••‫الشهيرة‬‫العشوائية‬‫التجارب‬‫وبعض‬،‫العشوائية‬‫التجربة‬‫يتعرف‬
، ‫مرات‬ ‫ثالث‬ ‫أو‬ ‫مرتين‬ ‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫القاء‬ : ‫مثل‬
.‫مرتين‬ ‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫النرد‬ ‫حجر‬ ‫القاء‬
••‫مايعرف‬ ‫أو‬ ( ‫االحداث‬ ‫على‬ ‫اآلتية‬ ‫العمليات‬ ‫يتعرف‬
‫باشكال‬‫ويمثلها‬‫ا‬ً‫ي‬‫ورمز‬‫ا‬ً‫ي‬‫لفظ‬‫عنها‬‫ويعبر‬)‫المركبة‬‫باألحداث‬
‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ، ‫عشوائية‬ ‫تجربة‬ ‫نواتج‬ ‫فضاء‬ ‫ف‬ ‫(بمعلومية‬ ‫ڤن‬
:)‫ف‬ ‫فى‬
ÑÑC‫الحدث‬‫وقوع‬
ÑÑ.C‫الحدث‬‫وقوع‬‫عدم‬
ÑÑ)‫األقل‬‫على‬‫أحدهما‬‫(وقوع‬‫ب‬‫أو‬C‫وقوع‬
ÑÑ)‫معا‬‫(وقوعهما‬‫ب‬‫و‬C‫وقوع‬
ÑÑ)‫ب‬‫وقوع‬‫وعدم‬C‫(وقوع‬‫فقط‬C‫الحدث‬‫وقوع‬
ÑÑ)C‫وقوع‬‫وعدم‬‫ب‬‫(وقوع‬‫فقط‬‫ب‬‫الحدث‬‫وقوع‬
ÑÑ)‫فقط‬‫ب‬‫وقوع‬‫أو‬‫فقط‬C‫وقوع‬(‫فقط‬‫أحدهما‬‫وقوع‬
ÑÑ)‫ب‬‫وقوع‬‫عدم‬‫أو‬C‫وقوع‬‫(عدم‬‫الحدثين‬‫من‬‫أى‬‫وقوع‬‫عدم‬
ÑÑ)‫ب‬‫وقوع‬‫عدم‬‫أو‬C‫وقوع‬‫معا(عدم‬‫الحدثين‬‫وقوع‬‫عدم‬
ÑÑ)‫ب‬‫وقوع‬‫عدم‬‫أو‬C‫وقوع‬(‫فقط‬‫ب‬‫وقع‬‫عدم‬
ÑÑ)C‫وقوع‬‫عدم‬‫أو‬‫ب‬‫(وقوع‬‫فقط‬C‫وقوع‬‫عدم‬
••‫اإلحصاء‬ ‫على‬ ‫بسيطة‬ ‫وحياتية‬ ‫رياضية‬ ‫تطبيقات‬ ‫يتعرف‬
‫واالحتمال‬
‫واالحتمال‬ ‫االحصاء‬
Statistics and
Probability
110

116. ‫األساسية‬ ‫المصطلحات‬
‫الوحدة‬ ‫دروس‬‫والوسائل‬ ‫األدوات‬
‫للوحدة‬ ‫تنظيمى‬ ‫مخطط‬
‫األساسية‬ ‫المصطلحات‬
ÑÑScientific calculator ‫ة‬‫علمي‬‫حاسبة‬‫الة‬
ÑÑGraphical calculator ‫ة‬‫رسومي‬‫حاسبة‬‫الة‬
ÑÑGraphical programs ‫ب‬‫للحاسو‬‫رسومية‬‫برامج‬
.‫البيانات‬ ‫تمثيل‬ :)1 - 4( ‫الدرس‬
.‫البيانات‬ ‫وصف‬ :)2 - 4( ‫الدرس‬
.‫االحتمال‬ :)3 - 4( ‫الدرس‬
ÑÑStatistics ‫ء‬‫إحصا‬
ÑÑProbability ‫ل‬‫احتما‬
ÑÑRepresenting Data ‫ت‬‫البيانا‬‫تمثيل‬
ÑÑStem-and -leaf plots ‫ق‬‫واألورا‬‫الساق‬‫مخطط‬
ÑÑDescripting Data ‫ت‬‫البيانا‬‫وصف‬
ÑÑCentral Tendency ‫ة‬‫مركزي‬‫نزعة‬
ÑÑDisperison ‫تشتت‬
ÑÑQuartiles ‫ت‬‫ربيعا‬
ÑÑLower Quartile ‫ى‬‫أدن‬‫ربيع‬
ÑÑUpper Quartile ‫ى‬‫أعل‬‫ربيع‬
ÑÑInterquartile Range ‫ى‬‫الربيع‬‫المدى‬
ÑÑRandom Experiment ‫ة‬‫عشوائي‬‫تجربة‬
ÑÑSample space ‫ج‬‫النوات‬‫فضاء‬-‫العينة‬‫فضاء‬
ÑÑCoin ‫د‬‫نقو‬‫قطعة‬
ÑÑDie ‫د‬‫نر‬‫حجر‬
ÑÑEvent ‫ث‬‫حد‬
ÑÑSimple Event )‫(أولى‬‫بسيط‬‫حدث‬
ÑÑCompound Event ‫ب‬‫مرك‬‫حدث‬
ÑÑCertain Event ‫د‬‫مؤك‬‫حدث‬
ÑÑImpossible Event ‫ل‬‫مستحي‬‫حدث‬
ÑÑOperation of the Events ‫ث‬‫األحدا‬‫على‬‫العمليات‬
ÑÑMutually Exclusive Events ‫ة‬‫متنافي‬‫احداث‬
‫مركزية‬ ‫نزعة‬‫تشتت‬
‫قائمة‬‫بيانية‬ ‫شجرة‬
‫وسيط‬
‫هندسي‬ ‫تمثيل‬
‫مشكالت‬ ‫وحل‬ ‫حياتية‬ ‫تطبيقات‬
‫االحتمال‬ ‫مسلمات‬ ‫عشوائية‬ ‫تجارب‬
‫االحصاء‬‫االحتمال‬
‫البيانات‬ ‫تمثيل‬‫البيانات‬ ‫وصف‬
‫ربيعى‬ ‫مدى‬ ‫أعلى‬ ‫ربيع‬ ‫أدنى‬ ‫ربيع‬
‫العينة‬ ‫فضاء‬
‫الحدث‬
‫مستحيل‬‫محتمل‬‫متنافية‬ ‫احداث‬ ‫مؤكد‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬
‫االحداث‬ ‫على‬ ‫العمليات‬
111

117. 1
‫الدرس‬
‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫جمموعة‬ ‫متثيل‬
. ‫والورقة‬ )‫(الساق‬ ‫اجلذع‬
‫خمططات‬ ‫من‬ ‫املعلومات‬ ‫استنتاج‬
.‫والورقة‬ ‫الساق‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
:‫تقديم‬
‫ثم‬ ‫الدراسة‬ ‫محل‬ ‫المشكلة‬ ‫حول‬ ‫البيانات‬ ‫بجمع‬ ‫نقوم‬ ،‫ما‬ ‫مشكلة‬ ‫أو‬ ‫ظاهرة‬ ‫لدراسة‬
‫إختيار‬‫ويتوقف‬،‫منها‬‫المعلومات‬‫إستخالص‬‫على‬‫يساعد‬‫بشكل‬‫البيانات‬‫تب‬‫ر‬‫وت‬‫تنظم‬
‫(أسمية‬ ‫كيفية‬ ‫بيانات‬ ‫أكانت‬ ‫سواء‬ ‫البيانات‬ ‫نوع‬ ‫على‬ ‫البيانات‬ ‫وعرض‬ ‫تمثيل‬ ‫طرق‬
‫صورة‬ ‫فى‬ ‫البيانات‬ ‫تنظيم‬ ‫لك‬ ‫سبق‬ ‫وقد‬ )‫متقطعة‬ ‫أو‬ ‫(متصلة‬ ‫كمية‬ ‫بيانات‬ ‫أم‬ )‫تبة‬‫ر‬‫م‬ ‫أو‬
.‫مجموعات‬ ‫ذى‬ ‫تكرارية‬ ‫جداول‬ ‫أو‬ ‫بسيطة‬ ‫تكرارية‬ ‫جداول‬
.‫واألوراق‬‫الساق‬‫بطريقة‬‫البيانات‬‫من‬‫مجموعة‬‫وتمثيل‬‫تنظيم‬‫كيفية‬‫نوضح‬‫سوف‬‫وفيمايلى‬
Stem -and -leaf plats ‫والورقة‬‫ال�ساق‬‫مخطط‬
‫من‬ ‫صغيرة‬ ‫مجموعة‬ ‫وتمثيل‬ ‫لتنظيم‬ ‫السريعة‬ ‫الطرق‬ ‫إحدى‬ ‫هو‬ ‫والورقة‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬
‫كل‬ ‫تقسيم‬ ‫فيتم‬ ،‫وأوراق‬ )‫(ساق‬ ‫جذع‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫شجرة‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الكمية‬ ‫البيانات‬
.‫الورقة‬ ‫يمثل‬ ‫واألخر‬ ‫الساق‬ ‫يمثل‬ ‫أحدهما‬ ‫جزأين‬ ‫إلى‬ ‫الكمية‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫قيمة‬
‫األرقام‬ ‫وباقى‬ ‫الورقة‬ ‫لتمثيل‬ )‫اآلحاد‬ ‫(رقم‬ ‫أرقامه‬ ‫أول‬ ‫نختار‬ 137 ‫العدد‬ ‫تمثيل‬ ‫عند‬
:‫التالى‬ ‫النحو‬ ‫على‬ ‫وتكتب‬ ‫الساق‬ ‫لتمثيل‬
‫المقابل‬‫والشكل‬،‫الساق‬#13|7#‫الورقة‬
. ‫المخطط‬ ‫بهذا‬ ‫االعداد‬ ‫بعض‬ ‫تمثيل‬ ‫من‬ ‫نماذج‬ ‫يبين‬
‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫الكمية‬ ‫البيانات‬ ‫عرض‬ ‫يتم‬
: ‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫وفق‬
. ‫رأسى‬ ‫عمود‬ ‫شكل‬ ‫فى‬ ‫تصاعدى‬ ‫تيب‬‫ر‬‫بت‬ ‫وحداته‬ ‫كتابة‬‫و‬ ‫الساق‬ ‫تحديد‬ -1
. ‫الوحدة‬ ‫هذه‬ ‫صف‬ ‫فى‬ ‫ساق‬ ‫وحدة‬ ‫لكل‬ ‫المناظرة‬ ‫األوراق‬ ‫قيم‬ ‫تسجيل‬ -2
.‫واألوراق‬‫الساق‬‫قراءة‬ ‫كيفية‬ ‫يوضح‬‫ا‬ً‫مفتاح‬‫كتابة‬‫و‬‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬‫األوراق‬‫قيم‬‫تيب‬‫ر‬‫ت‬-3
‫مثال‬
‫االختبارات‬ ‫احد‬ ‫فى‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫طال‬ 20 ‫درجات‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫توضح‬ ‌
26 37 28 40 28 41 40 29 32 33
36 24 39 38 45 38 35 48 46 42
.‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
.‫درجة‬ 30 ‫عن‬ ‫درجاتهم‬ ‫تقل‬ ‫الذين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ ‫كم‬ ‫ب‬
‫العدد‬ ‫الساق‬ ‫الورقة‬
83 8 3
5310 531 0
8 0 8
24٫7 24 7
2٫53 25 3
‫البيانات‬‫تمثيل‬
Representing Data
‫والورقة‬ ‫الساق‬ ‫خمطط‬
Stem-and leaf plots
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
‫للحاسوب‬ ‫رسومية‬ ‫برامج‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 112

118. ‫الحل‬
: ‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫البيانات‬ ‫لتمثيل‬ ‫أ‬
½½‫فتكون‬ ‫األوراق‬ ‫لتمثيل‬ ‫اآلحاد‬ ‫ورقم‬ ‫الساق‬ ‫لتمثيل‬ ‫العشرات‬ ‫رقم‬ ‫نختار‬
‫ا‬ً‫ابتداء‬ ‫رأسى‬ ‫عمود‬ ‫فى‬ ‫الساق‬ ‫وحدات‬ ‫تكتب‬ 4 ،3 ،2 ‫الساق‬ ‫وحدات‬
.4 ‫قيمة‬ ‫بأكبر‬ ‫ا‬ً‫وانتهاء‬ 2 ‫قيمة‬ ‫بأصغر‬
½½.‫تكرر‬ ‫لو‬ ‫حتى‬ ‫ساق‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ ‫على‬ )‫اآلحاد‬ ‫(رقم‬ ‫األوراق‬ ‫بتوزيع‬ ‫نقوم‬
½½‫الساق‬ ‫قراءة‬ ‫كيفية‬ ‫يوضح‬ ‫ا‬ً‫مفتاح‬ ‫نكتب‬‫و‬ ،‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫األوراق‬ ‫قيم‬ ‫تب‬‫ر‬‫ن‬
.‫واألوراق‬
30 ‫عن‬ ‫تقل‬ ‫التى‬ ‫الدرجات‬ ‫عن‬ ‫تعبر‬ 2 ‫الساق‬ ‫أوراق‬ ‫ب‬
5 ‫يساوى‬ ‫درجة‬ 30 ‫عن‬ ‫درجاتهم‬ ‫تقل‬ ‫الذين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
:‫المقابل‬ ‫الجدول‬ ‫يبين‬ ‌
: ‫محافظات‬ ‫بعدة‬ ‫األيام‬ ‫أحد‬ ‫فى‬ ‫المسجلة‬ ‫العظمى‬ ‫الحرارة‬ ‫درجة‬
‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
‫س‬ c30 ‫عن‬ ‫تزيد‬ ‫حرارة‬ ‫درجة‬ ‫سجلت‬ ‫التى‬ ‫المحافظات‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ‫ب‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫والورقة‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫البيانات‬ ‫وتمثيل‬ ‫باألعمدة‬ ‫البيانات‬ ‫تمثيل‬ ‫بين‬ ‫ا‬ً‫ه‬‫تشاب‬ ‫تجد‬ ‫هل‬ : ‫ناقد‬ ‫تفكير‬
‫مثال‬
. ‫الدراسية‬ ‫الفصول‬ ‫أحد‬ ‫فى‬ ‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫طال‬ 18 ‫أوزان‬ ‫المقابل‬ ‫الجدول‬ ‫يبين‬ ‌
. ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫األوزان‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
.‫ا‬ً‫م‬‫جرا‬ ‫كيلو‬ 65 ‫عن‬ ‫أوزانهم‬ ‫تزيد‬ ‫الذين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ‫ب‬
.‫ا‬ً‫م‬‫جرا‬ ‫كيلو‬ 60 ‫عن‬ ‫أوزانهم‬ ‫تقل‬ ‫الذين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ‍‫ج‬
‫الحل‬
‫منها‬ ‫كل‬ ‫فترات‬ ‫فى‬ ‫األوزان‬ ‫تصنيف‬ ‫يمكن‬ ‫لذلك‬ ‫األوزان‬ ‫تقارب‬ ‫نالحظ‬
‫الساق‬ ‫لتمثيل‬ ‫العشرات‬ ‫رقم‬ ‫فنختار‬ -65 ، -60 ، -55 ، - 50 ‫جرام‬ ‫كيلو‬ 5
‫كل‬ ‫على‬ )‫اآلحاد‬ ‫(رقم‬ ‫األوراق‬ ‫بتوزيع‬ ‫نقوم‬‫و‬ ‫األوراق‬ ‫لتمثيل‬ ‫اآلحاد‬ ‫ورقم‬
:‫ويكون‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫كما‬ ‫إليها‬ ‫ينتمى‬ ‫التى‬ ‫للفترة‬ ‫آ‬ً‫ع‬‫تب‬ ‫ساق‬ ‫وحدة‬
4 = ‫ا‬ً‫م‬‫جرا‬ ‫كيلو‬ 65 ‫عن‬ ‫أوزانهم‬ ‫تزيد‬ ‫الذين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ ‫أ‬
7 = 4 + 3 = ‫ا‬ً‫م‬‫جرا‬ ‫كيلو‬ 60 ‫عن‬ ‫أوزانهم‬ ‫تقل‬ ‫الذين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ ‫ب‬
‫األوراق‬‫الساق‬
9 8 8 6 42
3 2 7 5 8 8 9 63
0 1 0 2 6 8 54
‫األوراق‬‫الساق‬
4 6 8 8 92
2 3 5 6 7 8 8 93
0 0 1 2 5 6 84
‫درجة‬ 26=2|6‫المفتاح‬
‫أن‬�‫الحظ‬
‫يساوى‬ ‫األوراق‬ ‫وحدات‬ ‫عدد‬
‫القيم‬ ‫عدد‬
)c‫(س‬ ‫العظمى‬ ‫الحرارة‬ ‫درجات‬
1722312018
2435171831
1934202819
‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫الوزن‬
566359605262
675162676057
545864656966
‫األوراق‬‫الساق‬
2 1 4 5
6 9 7 85
3 0 2 2 0 4 56
7 7 6 9 6
‫جرام‬ ‫كيلو‬ 59 = 5|9 ‫المفتاح‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ليثمت‬ ‫انايبلا‬1
‫الدرس‬
113

119. ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫معينة‬ ‫مسافة‬ ‫لقطع‬ ‫السيارات‬ ‫بعض‬ ‫تستغرقه‬ ‫الذى‬ ‫بالدقائق‬ ‫الوقت‬ ‫فيمايلى‬ ‌
89 80 91 107 103 107 99 96 87 92
83 94 86 105 104 103 87 91 84 86
:‫ا‬ً‫م‬‫مستخد‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
‫دقائق‬ 10 ‫من‬ ‫كل‬ ‫فترات‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫دقائق‬ 5 ‫منها‬ ‫كل‬ ‫فترات‬ : ً‫ال‬‫أو‬
: ‫زمن‬ ‫فى‬ ‫المسافة‬ ‫هذه‬ ‫تقطع‬ ‫سيارة‬ ‫كم‬ ‫ب‬
.‫دقيقة‬ 100 ‫من‬ ‫أكثر‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫دقيقة‬ 95 ‫من‬ ‫أقل‬ :ً‫ال‬‫أو‬
‫مثال‬
‫بالجنيه‬ ‫للكهرباء‬ ‫الشهرى‬ ‫االستهالك‬ ‫قيمة‬ ‫المقابل‬ ‫الجدول‬ ‫يبين‬ ‌
.‫األسر‬ ‫إلحدى‬
.‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
.‫ا‬ً‫ه‬‫جني‬ 45 ‫عن‬ ‫الكهرباء‬ ‫استهالك‬ ‫قيمة‬ ‫فيها‬ ‫زاد‬ ‫ا‬ً‫شهر‬ ‫كم‬ ‫ب‬
‫الحل‬
.‫فتكون‬‫األوراق‬‫لتمثيل‬‫العشرى‬‫والكسر‬‫الساق‬‫لتمثيل‬‫الصحيح‬‫العدد‬‫باختيار‬
46 ، 45 ، 44 ، 43 ، 42 ‫الساق‬ ‫وحدات‬
‫فى‬ ‫كما‬ ‫ساق‬ ‫وحدة‬ ‫كل‬ ‫على‬ ) ‫العشرى‬ ‫(الكسر‬ ‫األوراق‬ ‫بتوزيع‬ ‫نقوم‬
.‫المقابل‬ ‫الشكل‬
3 ‫يساوى‬ ‫ا‬ً‫ه‬‫جني‬ 45 ‫عن‬ ‫الكهرباء‬ ‫استهالك‬ ‫فيها‬ ‫زاد‬ ‫التى‬ ‫الشهور‬ ‫عدد‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫مثل‬ ‌
23 58 59 42 34 62 54 23 16 12 29
: ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫مثل‬ ‌
71٫3 73٫2 69٫6 73٫3 72٫4 69٫7 73 71٫2
72٫7 71٫5 70٫5 72٫2 71٫3 70 72٫2
71 ‫عن‬ ‫تقل‬ ‫التي‬ ‫المفردات‬ ‫عدد‬ ‫ما‬
‫الكهرباء‬ ‫الستهالك‬ ‫الشهرية‬ ‫القيمة‬
42٫545٫34343٫8
45٫944٫843٫744
42٫945٫144٫243٫9
‫الكهرباء‬ ‫الستهالك‬ ‫الشهرية‬ ‫القيمة‬
‫األوراق‬‫الساق‬
5 9 42
0 8 7 2 343
8 044
3 9 145
42٫5 =42|5 ‫المفتاح‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
114

120. ‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫اكمل‬‫أوراق‬‫ال‬‫و‬‫لل�ساق‬‫المقابل‬‫المخطط‬‫من‬
......... = ‫القيم‬ ‫عدد‬ ‌
......... ‫هى‬ ‫تكرار‬ ‫أكبر‬ ‫لها‬ ‫التى‬ ‫القيمة‬ ‌
.......... ‫هى‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫تبة‬‫ر‬‫الم‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫الخامسة‬ ‫القيمة‬ ‌
:‫أكمل‬�.‫المدن‬‫احدى‬‫على‬‫ال�شهور‬‫أحد‬�‫خالل‬‫العظمى‬‫الحرارة‬‫درجة‬‫المقابل‬‫أوراق‬‫ال‬‫و‬‫ال�ساق‬‫مخطط‬‫يمثل‬
.. ‫حرارة‬ ‫درجة‬ ‫اصغر‬ ‌
‫حرارة‬ ‫درجة‬ ‫أكبر‬ ‌
‫الحرارة‬ ‫درجات‬ ‫مدى‬ ‌
‫الحرارة‬ ‫درجات‬ ‫من‬ ‫والعشرون‬ ‫الثالثة‬ ‫القراءة‬ ‫قيمة‬ ‌
... ‫ا‬ً‫ي‬‫ل‬‫ز‬‫تنا‬ ‫تبة‬‫ر‬‫الم‬
‫هى‬ 22 ‫عن‬ ‫الحرارة‬ ‫درجة‬ ‫فيها‬ ‫تقل‬ ‫التى‬ ‫األيام‬ ‫عدد‬ ‌
‫أوراق‬‫ال‬‫و‬‫ال�ساق‬‫بطريقة‬‫التالية‬‫البيانات‬‫من‬‫كل‬‫مثل‬
1‌ ‌
1‌ 1‌
‫األوراق‬‫الساق‬
3 5 0
0 1 4 5 1
3 7 7 7 82
2 2 3 5 63
0 7 8 9 4
1 1 7 5
2٫8 = 2|8 ‫المفتاح‬
‫األوراق‬‫الساق‬
6 8 8 8 9 9 91
0 0 1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 62
0 2 2 4 5 93
0 1 2 34
‫س‬ c23 = 2|3 ‫المفتاح‬
‫بالسنوات‬ ‫الطالب‬ ‫اعمار‬
16٫414٫615٫714٫316٫1
15٫816٫214٫615٫215٫8
14٫416٫714٫815٫616٫7
‫بالسنتيمترات‬ ‫الطالب‬ ‫أطوال‬
154141140156162
150164152157141
169158157149153
‫المصانع‬ ‫أحد‬ ‫لعمال‬ ‫اليومى‬ ‫األجر‬
3222312531
3421223027
2527262328
‫جرام‬ ‫ألقرب‬ ‫البيض‬ ‫أوزان‬
5257635453
5863596251
6150585957
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫ليثمت‬ ‫انايبلا‬1
‫الدرس‬
115

121. ‫تتعلم‬ ‫سوف‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
2
‫الدرس‬
‫البيانات‬‫و�صف‬
Descripting Data
‫من‬ disperison ‫التشتت‬ ‫ومقاييس‬ central tendency‫كزية‬‫المر‬ ‫النزعة‬ ‫مقاييس‬ ‫تعد‬
.‫خصائصها‬ ‫وتلخيص‬ ‫البيانات‬ ‫توزيع‬ ‫لوصف‬ ‫االحصائية‬ ‫المقاييس‬ ‫أهم‬
Central tendency ‫ة‬‫المركزي‬‫النزعة‬‫مقايي�س‬
‫تصف‬ ‫واحدة‬ ‫قيمة‬ ‫بتعيين‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫ألية‬ ‫كزية‬‫المر‬ ‫النزعة‬ ‫مقاييس‬ ‫تهتم‬
‫النزعة‬ ‫مقاييس‬ ‫بعض‬ ‫دراسة‬ ‫لك‬ ‫سبق‬ ‫وقد‬ ‫لها‬‫و‬‫ح‬ ‫كز‬‫التمر‬ ‫فى‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫اتجاه‬
.‫والمنوال‬ ‫والوسيط‬ ‫الحسابى‬ ‫الوسط‬ ‫مثل‬ ‫كزية‬‫المر‬
:‫الحظ‬
: ‫يكون‬ ‫المتقطعة‬ ‫الكمية‬ ‫للبيانات‬
‫القيم‬ ‫هذه‬ ‫مجموع‬
‫عددها‬
= ‫القيم‬ ‫من‬ ‫لمجموعة‬ ‫الحسابى‬ ‫الوسط‬ -1
‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫تبة‬‫ر‬‫الم‬ ‫القيم‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تقسم‬ ‫التى‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫هو‬ ‫الوسيط‬-2
‫منها‬ ‫األكبر‬ ‫القيم‬ ‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫متساويين‬ ‫قسمين‬ ‫إلى‬ ) ‫ا‬ً‫ي‬‫ل‬‫ز‬‫تنا‬ ‫أو‬ (
.‫منها‬ ‫األصغر‬ ‫القيم‬ ‫لعدد‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫مساو‬
‫كان‬ ‫وإذا‬ 1 + K
2
‫تيبها‬‫ر‬‫ت‬ ‫التى‬ ‫القيمة‬ ‫هو‬ ‫الوسيط‬ ‫فإن‬ ،‫ا‬ً‫ي‬‫فرد‬ )K( ‫القيم‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬
1+
K
2
، K
2
‫تيبهما‬‫ر‬‫ت‬‫اللتين‬‫القيمتين‬‫متوسط‬‫هو‬‫الوسيط‬‫فإن‬،‫ا‬ً‫ي‬‫زوج‬)K(‫القيم‬‫عدد‬
.‫ا‬ً‫تكرار‬ ‫األكثر‬ ‫القيمة‬ ‫هو‬ ‫المنوال‬ -3
‫أوراق‬‫ل‬‫وا‬‫ال�ساق‬‫مخطط‬‫من‬‫الو�سيط‬‫قيمة‬‫ا�ستنتاج‬
‫مثال‬
‫أوزان‬ ‫المقابل‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫يمثل‬ ‌
‫استنتج‬ ‫األندية‬ ‫بأحد‬ ‫القوى‬ ‫أللعاب‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫الع‬ 17
:‫المخطط‬ ‫من‬
‫المنوالى‬ ‫الوزن‬ ‫ب‬ ‫الوسيط‬ ‫أ‬
‫الحل‬
:‫نجد‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫بمالحظة‬
9 = 1+ 17
2
= ‫الوسيط‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬ ` ‫ورقة‬ 17 ‫وعددها‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫تبة‬‫ر‬‫م‬ ‫األوراق‬
‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫الوزن‬
‫األوراق‬‫الساق‬
2 4 5 3
1 3 3 3 4
2 4 7 8 8 9 5
0 1 2 5 6
‫جرام‬ ‫كيلو‬ 32 = 3|2
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
‫خمطط‬ ‫من‬ ‫الوسيط‬ ‫قيمة‬ ‫استنتاج‬
:‫واألوراق‬ ‫الساق‬
‫أدنى‬ ‫ربيع‬ ‫الربيعات‬ ‫عىل‬ ‫التعرف‬
- )3S( ‫أعىل‬ ‫ربيع‬ - )1S(
)‫(الوسيط‬ ‫أوسط‬ ‫ربيع‬
‫خمطط‬ ‫من‬ ‫الربيعات‬ ‫قيم‬ ‫استنتاج‬
. ‫واألوراق‬ ‫الساق‬
‫وحسابه‬ ‫الربيعى‬ ‫املدى‬ ‫عىل‬ ‫التعرف‬
.‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫خمطط‬ ‫من‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
central tendency ‫ة‬‫مركزي‬ ‫نزعه‬
dispersion ‫ت‬‫تشت‬
quartiles ‫ت‬‫ربيعيا‬
lower quartile ‫ى‬‫أدن‬ ‫ربيع‬
upper quartile ‫ىل‬‫أع‬ ‫ربيع‬
‫الربيعى‬ ‫املدى‬
interquartile range
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
. ‫علمية‬ ‫حاسبة‬ ‫آله‬
. ‫رسومية‬ ‫برامج‬
‫الدرس‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 116

122. ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫فى‬ ‫التاسعة‬ ‫الورقة‬ ‫تمثله‬ ‫الذى‬ ‫الوزن‬ ‫هو‬ ‫ الوسيط‬ ‫أ‬
‫ا‬ً‫م‬‫جرا‬ ‫كيلو‬ 54 = ‫الوسيط‬ `
‫ا‬ً‫م‬‫جرا‬ ‫كيلو‬ 43 = ‫المنوالى‬ ‫الوزن‬ ‫ب‬
‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫المتطرفة‬ ‫بالقيم‬ ‫الوسيط‬ ‫يتأثر‬ ‫هل‬ : ‫فكر‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫من‬ ‫الحسابى‬ ‫الوسط‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫كيف‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫التالية‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخططات‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والمنوال‬ ‫الوسيط‬ ‫استنتج‬ ‌
‍‫ج‬ ‫ب‬ ‫أ‬
Quartiles ‫الربيعات‬
‫بعد‬ ‫وذلك‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ٪ 25 ‫على‬ ‫يحتوى‬ ‫جزء‬ ‫كل‬ ‫متساوية‬ ‫أجزاء‬ 4 ‫إلى‬ ‫البيانات‬ ‫تقسم‬ ‫عددية‬ ‫قيم‬ ‫هى‬ ‫الربيعات‬
)‫ا‬ً‫ي‬‫ل‬‫ز‬‫تنا‬ ‫(أو‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫البيانات‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
½½‫ثالثة‬ ‫عنها‬ ‫ويزيد‬ ‫القيم‬ ‫ربع‬ ‫عنها‬ ‫يقل‬ ‫التى‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫هو‬ : Lower quartile )‫(األول‬ ‫األدنى‬ ‫الربيع‬
.)1S( ‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬ ،‫القيم‬ ‫أرباع‬
½½‫ويزيد‬ ‫القيم‬ ‫أرباع‬ ‫ثالثة‬ ‫عنها‬ ‫يقل‬ ‫التى‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫هو‬ : Upper quartile )‫(الثالث‬ ‫األدنى‬ ‫الربيع‬
.)3S( ‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬ ،‫القيم‬ ‫ربع‬ ‫عنها‬
1‫تعريف‬
: ‫أن‬ ‫الحظ‬
‫القيم‬ ‫لعدد‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫مساو‬ ‫منها‬ ‫األصغر‬ ‫القيم‬ ‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫التى‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫هو‬ : 2 S ) ‫(الثانى‬ ‫األوسط‬ ‫الربيع‬-1
. ‫الوسيط‬ ‫هو‬ ‫األوسط‬ ‫الربيع‬ ‫أن‬ ‫أى‬ ، ‫منها‬ ‫األكبر‬
: ‫حيث‬ ‫المطلوب‬ ‫الربيع‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬ ‫نوجد‬ ‫ثم‬ )‫ا‬ً‫ي‬‫ل‬‫ز‬‫تنا‬ ‫(أو‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫البيانات‬ ‫تب‬‫ر‬‫ن‬ ‫الربيعات‬ ‫حساب‬ ‫عند‬-2
‫القيم‬ ‫عدد‬ * 3
4 = 3S‫تيب‬‫ر‬‫ت‬ ، ‫القيم‬ ‫عدد‬ * 1
4 = 1S‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
‫النتيجة‬‫كانت‬‫وإذا‬‫رتبته‬‫يحدد‬‫التالى‬‫الصحيح‬‫العدد‬‫فإن‬)‫كسور‬‫(به‬‫ا‬ً‫صحيح‬‫ليس‬‫ا‬ً‫د‬‫عد‬‫النتيجة‬‫كانت‬‫ إذا‬
‫مساوية‬ ‫الربيع‬ ‫قيمة‬ ‫وتكون‬ ‫له‬ ‫التالى‬ ‫والموضع‬ ‫العدد‬ ‫لهذا‬ ‫المناظر‬ ‫الموضع‬ ‫تحديد‬ ‫فيتم‬ ‫ا‬ً‫صحيح‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬
.‫الموضعين‬ ‫لهذين‬ ‫تين‬‫ر‬‫المناظ‬ ‫القيمتين‬ ‫لمتوسط‬
‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫الوزن‬
‫األوراق‬‫الساق‬
2 5 4 3
1 3 3 3 4
2 4 7 8 8 9 5
0 1 2 5 6
‫جرام‬ ‫كيلو‬ 32 = 3|2
‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫الوزن‬
‫األوراق‬‫الساق‬
2 1
0 1 3 2
2 5 6 9 3
6 6 8 4
23 = 2|3
‫مترات‬ ‫بالكيلو‬ ‫المسافة‬
‫األوراق‬‫الساق‬
0 2 3
1 3 5 6 4
2 3 5 6 7 5
3 5 0 0 6
4٫3 =4|3
‫بالدقائق‬ ‫الزمن‬
‫األوراق‬‫الساق‬
312
5 6 7 12
2 3 4 4 13
6 8 8 9 9 9 13
0 3 4 5 14
127 = 12|7
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
������������2
‫الدرس‬
117

123. ‫مثال‬
: ‫التالية‬ ‫للقيم‬ ‫األعلى‬ ‫والربيع‬ ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ‫احسب‬ ‌
43 ، 10 ، 12 ، 20 ، 18 ، 17 ، 25 ، 16 ، 7 ، 29 ، 32 ‫أ‬
18 ، 5 ، 9 ، 8 ، 10 ، 4 ، 6 ، 10 ، 2 ، 11 ، 6 ، 7 ‫ب‬
‫الحل‬
43 ، 32 ، 29 ، 25 ، 20 ، 18 ، 17 ، 16 ، 12 ، 10 ، 7 :‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫القيم‬ ‫ترتيب‬ ‫أ‬
11 = ‫القيم‬ ‫عدد‬
9#
33
4 = 11 * 3
4 = 3S‫تيب‬‫ر‬‫ ، ت‬ 3 # 11
4 = 1S‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
29 = 3S ، 12 =1S `
12 ‫القيم‬ ‫81 عدد‬ ، 17 ، 10 ، 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 6 ، 5 ، 4 ، 2 : ‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫القيم‬ ‫ترتيب‬ ‫ب‬
5٫5 = 6 + 5
2
= 1S ` ‫يليه‬ ‫وما‬ 3 # 12
4 = 1S‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
10 = 10 + 10
2
= 3S ` ‫يليه‬ ‫وما‬ 9 # 12 * 3
4
= 3S‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
7٫5 = 8 + 7
2
= ‫الوسيط‬ ` ‫يليه‬ ‫وما‬ 6 # 12 * 2
4
= ‫الوسيط‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
‫؟‬‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫المتطرفة‬ ‫بالقيم‬ ‫الربيع‬ ‫حساب‬ ‫يتأثر‬ ‫هل‬ : ‫فكر‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫المتطرفة‬ ‫بالقيم‬ ‫ا‬ً‫تأثير‬ ‫أكثر‬ ‫كزية‬‫المر‬ ‫النزعة‬ ‫مقاييس‬ ‫أى‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫التالية‬ ‫للقيم‬ ‫األعلى‬ ‫والربيع‬ ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ‫احسب‬ ‌
141 ،115 ،113 ،97 ،133 ،124 ،101 ،100 ،133 ،90 ،141 ‫أ‬
21 ،10 ،27 ،16 ،35 ،18 ،28 ،10 ،15 ،39 ،18 ،24 ‫ب‬
Dispersion :‫الت�شتت‬‫مقايي�س‬
‫كانت‬‫فإذا‬‫القيم‬‫هذه‬‫بين‬‫االختالف‬‫أو‬‫التباعد‬‫بمدى‬‫القيم‬‫من‬‫مجموعة‬‫ألى‬‫التشتت‬‫مقاييس‬‫تهتم‬
‫تساوت‬ ‫إذا‬ ‫ا‬ً‫صفر‬ ‫التشتت‬ ‫يكون‬ ‫كما‬ ، ‫والعكس‬ ، ‫ا‬ً‫كبير‬ ‫التشتت‬ ‫كان‬ ، ‫كبيرة‬ ‫القيم‬ ‫بين‬ ‫الفروق‬
.‫المعيارى‬ ‫واالنحراف‬ ‫المدى‬ ‫مثل‬ ‫التشتت‬ ‫مقاييس‬ ‫بعض‬ ‫دراسة‬ ‫لك‬ ‫سبق‬ ‫وقد‬ ،‫القيم‬ ‫جميع‬
‫تعلم‬
Interquartile range ‫الربيعى‬‫المدى‬
‫حيث‬ ‫المتطرفة‬ ‫بالقيم‬ ‫يتأثر‬ ‫ال‬ ‫التشتت‬ ‫مقاييس‬ ‫أحد‬ ‫هو‬
‫األدنى‬ ‫الربيع‬ - ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ = ‫ى‬‫الربيع‬ ‫المدى‬
1S - 3 S=
‫أن‬�‫الحظ‬
11 * 2
4= ‫الوسيط‬ ‫ترتيب‬
6 # 22
4 =
‫أن‬�‫الحظ‬
= ‫المدى‬
‫القيم‬ ‫أصغر‬ - ‫القيم‬ ‫اكبر‬
‫المتطرفة‬ ‫بالقيم‬ ‫ا‬ ً‫كثير‬ ‫ويتأثر‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
118

124. ‫مثال‬
: ‫التالية‬ ‫للبيانات‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫احسب‬ ‌
17 ،40 ،10 ،17 ،27 ،23 ،32 ،25 ،42 ، 37
‫الحل‬
‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫البيانات‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬ ‫أ‬
42 ،40 ،37 ،32 ،27 ،25 ،23 ،17 ،17 ،10
17 =1S ` 3 # 10
4 = 1S‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
37 = 3 S ` 8 #
10 * 3
4 = 3 S‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
20 = 17 - 37 = ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ` 1S - 3 S = ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ a
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫التالية‬ ‫للبيانات‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫احسب‬ ‌
76 ، 18 ، 47 ، 54 ، 60 ، 72 ، 52 ، 93 ، 81 ، 39 ، 50
‫أوراق‬‫ل‬‫وا‬‫ال�ساق‬‫مخطط‬‫من‬‫الربيعات‬‫ا�ستنتاج‬
‫مثال‬
‫الرياضيات‬ ‫إختبار‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫لعدد‬ ‫المئوية‬ ‫النسب‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫توضح‬ ‌
، 61 ، 57 ، 73 ، 75 ، 81 ، 96 ، 88 ، 76 ، 65 ، 83 ، 64
68 ، 90 ، 83 ، 79 ، 58 ، 64 ، 69 ، 54 ، 91 ، 42
‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
‫الوسيط‬ ،3S ، 1S‫قيم‬ ‫المخطط‬ ‫من‬ ‫استنتج‬ ‫ب‬
‫البيانات‬ ‫لهذه‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫احسب‬ ‍‫ج‬
‫الحل‬
‫تكون‬ ‫األوراق‬ ‫لتمثيل‬ ‫اآلحاد‬ ‫ورقم‬ ‫الساق‬ ‫لتمثيل‬ ‫العشرات‬ ‫رقم‬ ‫باختيار‬
.9 ،8 ،7 ،6 ،5 ،4 ‫هى‬ ‫الساق‬ ‫وحدات‬
‫نكتب‬‫و‬ ‫تمثيلها‬ ‫بعد‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫تصاعد‬ ‫األوراق‬ ‫قيم‬ ‫تب‬‫ر‬‫ن‬
‫للمخطط‬ ‫ا‬ً‫ن‬‫وعنوا‬ ‫للتمثيل‬ ‫ا‬ً‫مفتاح‬
21 = ‫القيم‬ ‫عدد‬ = ‫األوراق‬ ‫عدد‬
٪ 64 =1S 6 # 21
4 = 1S ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
٪ 83 = 3 S 16 # 63
4 = 3S ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
٪ 73 = ‫الوسيط‬ 11 # 42
4 = ‫الوسيط‬ ‫تيب‬‫ر‬‫ت‬
٪19 = 64 - 83 =1S - 3 S= ‫الربيعى‬ ‫المدى‬
‫لدرجات‬ ‫المئوية‬ ‫النسب‬
‫الطالب‬
‫األوراق‬‫الساق‬
24
4 7 8 5
1 4 4 5 8 96
3 5 6 9 7
1 3 3 8 8
0 1 6 9
٪54 = 5|4
‫الوسيط‬
1S
3S
‫األوراق‬‫الساق‬
24
7 4 8 5
4 5 1 9 4 86
6 5 3 9 7
3 8 1 3 8
6 1 0 9
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
������������2
‫الدرس‬
119

125. ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫بالسنتيمترات‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫أطوال‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫توضح‬ ‌
156 ، 159 ، 149 ، 158 ، 141 ، 167 ، 163 ، 152 ، 144 ، 138 ، 142 ، 135 ، 152 ، 154 ، 133
. ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ ‫أستنتج‬ ‫ثم‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
.‫البيانات‬ ‫لهذه‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫أحسب‬ ‫ب‬
:‫تطبيقات‬
‫مثال‬
: ‫السلة‬ ‫كرة‬ ‫مباريات‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫فى‬ ‫ب‬ ،‫أ‬ ‫للفريقين‬ ‫المسجلة‬ ‫األهداف‬ ‫عدد‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫توضح‬ ‌
75 ، 56 ، 62 ، 54 ، 58 ، 63 ، 54 ، 72 ، 68 ، 64 ، 57 ، 60 : )‫(أ‬ ‫فريق‬
54 ، 65 ، 58 ، 68 ، 61 ، 63 ، 67 ، 56 ، 76 ، 53 ، 51 ، 74 : )‫(ب‬ ‫فريق‬
‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫ا‬ً‫م‬‫مستخد‬ ‫الفريقين‬ ‫اداء‬ ‫بين‬ ‫قارن‬
‫الحل‬
‫ا‬ً‫ظهر‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫للفريقين‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬ -1
‫اضافة‬‫ثم‬)‫(أ‬‫للفريق‬‫واألوراق‬‫الساق‬‫مخطط‬‫برسم‬،‫لظهر‬
‫كما‬‫المناسب‬‫الساق‬‫يسار‬‫إلى‬)‫(ب‬‫الفريق‬‫مخطط‬‫أوراق‬
.‫المقابل‬ ‫المخطط‬ ‫فى‬
: ‫نجد‬ ‫للفريقين‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫أوراق‬ ‫تيب‬‫ر‬‫بت‬ -2
‫فريق‬ ‫لكل‬ 12 = ‫المباريات‬ ‫عدد‬
7 ،6 ‫الورقتين‬ ‫قيم‬ ‫متوسط‬ = ) 2S( ‫الوسيط‬
4 ،3 ‫الورقتين‬ ‫قيم‬ ‫متوسط‬ = )1S( ‫األدنى‬ ‫الربيع‬
10 ،9 ‫الورقتين‬ ‫قيم‬ ‫متوسط‬ = )3S( ‫األعلى‬ ‫الربيع‬
)‫(ب‬ ‫الفريق‬ ‫بيانات‬ ‫تشتت‬ ‫من‬ ‫أقل‬ )‫(أ‬ ‫الفريق‬ ‫بيانات‬ ‫تشتت‬ ‫أن‬ ‫إى‬
)‫(ب‬ ‫الفريق‬ ‫أوراق‬ ‫الساق‬ )‫(أ‬ ‫الفريق‬ ‫أوراق‬
4 8 6 3 1 5 7 4 8 4 6
5 8 6 3 7 6 0 4 8 3 2
6 4 7 2 7
)‫(ب‬ ‫الفريق‬ ‫أوراق‬ ‫الساق‬ )‫(أ‬ ‫الفريق‬ ‫أوراق‬
8 6 4 3 1 5 4 4 6 7 8
8 7 6 5 3 6 0 2 3 4 8
6 4 7 2 7
54= 5|4 ‫المفتاح‬
1S 1S
3S 2S 3S
)‫(ب‬ ‫الفريق‬ )‫(أ‬ ‫الفريق‬
64 = 65 + 63
2
= ‫الوسيط‬ 61 = 62 + 60
2
= ‫الوسيط‬
55 = 56 + 54
2
= 1S 56٫5 = 57 + 56
2
= 1S
67٫5 = 68 + 67
2
= 3S 66 = 68 + 64
2
= 3S
1S -3 S = ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ S - 3 S = ‫الربيعى‬ ‫المدى‬
12٫5 = 55 - 67٫5 = 9٫5 = 56٫5 - 66 =
‫أن‬�‫الحظ‬
‫من‬ ‫أقل‬ ‫أ‬ ‫للفريق‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬
‫أن‬ ‫أى‬ ‫ب‬ ‫للفريق‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬
.‫ا‬ ً‫تجانس‬ ‫أكثر‬ ‫أ‬ ‫الفريق‬ ‫بيانات‬
2S
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
120

126. ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫ما‬ً‫مستخد‬ ‫ا‬ ً‫تجانس‬ ‫أقل‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫أى‬ ‫بين‬ ‌
32 ، 21 ، 28 ، 18 ، 30 ، 20 ، 27 ، 12 ، 15 ، 31 ، 17 ، 10 : )‫(أ‬ ‫مجموعة‬
26 ، 28 ، 19 ، 10 ، 32 ، 30 ، 23 ، 28 ، 22 ، 17 ، 35 ، 24 : )‫(ب‬ ‫مجموعة‬
‫الثاني‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫المعطاه‬‫إجابات‬‫ال‬‫بين‬‫من‬ ‫ال�صحيحة‬‫االجابة‬‫اختر‬
:‫المقابل‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫من‬ ‌
: ‫يساوى‬ ‫الوسيط‬
45 ‫د‬ 48 ‍‫ج‬ 41 ‫ب‬ 37 ‫أ‬
: ‫المقابل‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫من‬ ‌
: ‫يساوى‬ ‫الوسيط‬
6 ‫د‬ 5٫8 ‍‫ج‬ 5٫9 ‫ب‬ 5٫7 ‫أ‬
‫منه‬ ‫واستنتج‬ ، ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫المقابلة‬ ‫البيانات‬ ‫مثل‬ ‌
‫ثم‬ )3S ( ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ ) 1S( ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ، ‫الوسيط‬ ‫قيم‬
. ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫أحسب‬
. ‫الرياضيات‬ ‫إختبار‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫مجموعتين‬ ‫درجات‬ ‫التالى‬ ‫الجدول‬ ‫يبين‬ ‌
‫لظهر‬ ‫ا‬ً‫ظهر‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
.‫بينهما‬ ‫وقارن‬ ‫منهما‬ ‫لكل‬ ‫الوسيط‬ ‫استنتج‬ ‫ب‬
‫؟‬‫ا‬ ً‫تجانس‬ ‫أكثر‬ ‫المجموعتين‬ ‫أى‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫ا‬ً‫م‬‫مستخد‬ ‍‫ج‬
‫األوراق‬‫الساق‬
1 3 6 7 2
4 7 3
5 8 9 4
0 4 7 8 5
45 = 4|5
‫األوراق‬‫الساق‬
7 9 4
1 1 3 3 5
6 7 9 5
0 0 2 6
6 8 9 9 6
6٫8 = 6|8
47 47 44 49 40
54 56 46 51 48
51 50 53 43 57
52 49 53 41 57
99 61 78 95 63 59 73
66 58 71 58 98 65 86
63 96 56 83 79 90
‫أ‬ ‫مجموعة‬
72 71 59 93 87 91 65
71 81 90 72 64 76 52
90 82 70 51 66 84
‫ب‬ ‫مجموعة‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
������������2
‫الدرس‬
121

127. 3
‫الدرس‬
‫االحتمال‬
Propability
‫على‬ ‫للكرة‬ ‫فريق‬ ‫فوز‬ ‫إحتمال‬ ‫فنقول‬ ، ‫اليومية‬ ‫حياتنا‬ ‫فى‬ ‫ا‬ً‫كثير‬ ‫إحتمال‬ ‫كلمة‬ ‫نستخدم‬
‫فى‬ ‫معينة‬ ‫سلعة‬ ‫أسعار‬ ‫ارتفاع‬ ‫إحتمال‬ ‫أو‬ ،‫ا‬ً‫غد‬ ‫األمطار‬ ‫سقوط‬ ‫إحتمال‬ ‫أو‬ ،‫آخر‬ ‫فريق‬
.‫وهكذا‬ .. ‫القادم‬ ‫الشهر‬
‫من‬ ‫ا‬ً‫كثير‬‫و‬ ‫التأمين‬ ‫كات‬‫وشر‬ ‫البورصة‬ ‫نشاط‬ ‫فى‬ ‫ا‬ً‫بارز‬ ‫ا‬ً‫دور‬ ‫االحتماالت‬ ‫وتلعب‬
‫والعلوم‬ ‫والزراعة‬ ‫والطب‬ ‫الوراثة‬ ‫علم‬ ‫مثل‬ ‫كثيرة‬ ‫ا‬ً‫م‬‫علو‬ ‫أن‬ ‫كما‬ ‫االقتصادية‬ ‫القطاعات‬
.‫احتمالى‬ ‫طابع‬ ‫لها‬ ‫النفس‬ ‫علم‬ ‫ومنها‬ ‫اإلنسانية‬
‫الظواهر‬ ‫بدراسة‬ ‫تهتم‬ ‫التى‬ ‫الرياضيات‬ ‫فروع‬ ‫إحدى‬ ‫االحتماالت‬ ‫نظرية‬ ‫وتعتبر‬
‫ما‬ ‫لظاهرة‬ ‫التأكد‬ ‫عدم‬ ‫حالة‬ ‫لدراسة‬‫و‬ .‫ا‬ً‫كبير‬ ‫ا‬ً‫دور‬ ‫فيها‬ ‫الصدفة‬ ‫تلعب‬ ‫والتى‬ ‫العشوائية‬
‫االحتماالت‬‫نظرية‬‫إطار‬‫فى‬‫الدراسة‬‫محل‬‫العشوائية‬‫للظاهرة‬‫رياضى‬‫نموذج‬‫ببناء‬‫نقوم‬
.‫االحتمال‬ ‫حساب‬ ‫نستطيع‬ ‫خالله‬ ‫ومن‬ ‫االحتمالى‬ ‫بالنموذج‬ ‫يعرف‬
.‫االحتمالى‬‫النموذج‬‫لفهم‬‫الالزمة‬‫االساسية‬‫والمفاهيم‬‫المصطلحات‬‫بعض‬‫نعرض‬‫وفيمايلى‬
Basic terms and concepts ‫ة‬‫أ�سا�سي‬�‫ومفاهيم‬‫م�صطلحات‬
Random experiment ‫ة‬‫الع�شوائي‬‫التجربة‬
½½‫لكننا‬‫و‬ ‫إجرائها‬ ‫قبل‬ ‫لها‬ ‫الممكنة‬ ‫النواتج‬ ‫جميع‬ ‫معرفة‬ ‫يمكن‬ ‫تجربة‬ ‫كل‬ ‫هى‬
.‫إجرائها‬‫عند‬ً‫فعلا‬‫سيتحقق‬‫النواتج‬‫هذه‬‫من‬‫ا‬ً‫ي‬‫أ‬‫مؤكدة‬‫بصفة‬‫نحدد‬‫أن‬‫النستطيع‬
1‫تعريف‬
:‫الحظ‬
‫إما‬ ‫الممكنة‬ ‫النواتج‬ ‫أن‬ ‫ا‬ً‫م‬‫مقد‬ ‫تعرف‬ ، ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫إلقاء‬ ‫عند‬
‫تحت‬ ‫مرات‬ ‫عدة‬ ‫التجربة‬ ‫نا‬‫ر‬‫كر‬ ‫إذا‬ ‫لكن‬‫و‬ . ‫كتابة‬ ‫أو‬ ‫صورة‬
‫؟‬‫وقوعها‬‫قبل‬‫لة‬‫و‬‫محا‬‫كل‬‫ناتج‬‫معرفة‬‫يمكن‬‫هل‬،‫الظروف‬‫نفس‬
‫نقول‬‫لهذا‬‫و‬،‫ذلك‬ ‫النستطيع‬‫فإننا‬)‫(منتظمة‬‫نة‬‫ز‬‫متوا‬‫النقود‬‫قطعة‬ ‫كانت‬‫إذا‬‫الحقيقة‬‫فى‬
.‫عشوائية‬ ‫تجربة‬ ‫أنها‬ ‫التجربة‬ ‫هذه‬ ‫على‬
‫مثال‬
‫عشوائية‬ ‫تجربة‬ ‫التالية‬ ‫التجارب‬ ‫أى‬ ‫بين‬ ‌
‫كرة‬ ‫سحب‬ ‫وأردنا‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬‫و‬ ‫سوداء‬ ‫كرات‬ ‫به‬ ‫كيس‬ ‫أ‬
‫البيضاء‬ ‫الكرات‬ ‫ملمس‬ ‫كان‬‫و‬ ‫نها‬‫و‬‫ل‬ ‫ومالحظة‬ ‫منه‬ ‫واحدة‬
‫السوداء‬ ‫الكرات‬ ‫ملمس‬ ‫عن‬ ‫مختلف‬
‫تتعلم‬ ‫سوف‬
‫وفضاء‬ ‫العشوائية‬ ‫التجربة‬ ‫مفهوم‬
. ‫العينة‬
‫لبعض‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫كتابة‬
‫الشهرية‬ ‫العشوائية‬ ‫التجارب‬
‫حجر‬ ‫القاء‬ - ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫(القاء‬
.)‫نرد‬
‫البسيط‬ ‫احلدث‬ - ‫احلدث‬ ‫مفهوم‬
‫احلدث‬ - ‫املؤكد‬ ‫احلدث‬ -
‫املتنافية‬ ‫األحداث‬ - ‫املستحيل‬
‫األحداث‬ ‫عىل‬ ‫العمليات‬
.‫ا‬ً‫ي‬‫ورمز‬ ‫آ‬ً‫ي‬‫لفظ‬ ‫عنها‬ ‫والتعبري‬
‫ىف‬ ‫االحتامل‬ ‫مسلامت‬ ‫توظيف‬
‫أحداث‬ ‫وقوع‬ ‫احتامالت‬ ‫إجياد‬
‫حياتية‬ ‫وتطبيقات‬ ‫معينة‬
ُ‫المصطلحات‬
ُ‫ّة‬‫ي‬‫األساس‬
‫عشوائية‬ ‫جتربة‬
random experiment
sample space ‫ة‬‫العين‬ ‫فضاء‬
event ‫ث‬‫حد‬
simple event ‫ط‬‫بسي‬ ‫حدث‬
certain event ‫د‬‫مؤك‬ ‫حدث‬
‫مستحيل‬ ‫حدث‬
impossible event
‫متنافية‬ ‫احداث‬
mutually exclusive events
‫األدوات‬
‫والوسائل‬
. ‫حاسبة‬ ‫آلة‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 122

128. ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ 6 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫مرقم‬ ‫منتظم‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القاء‬ ‫ب‬
.‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬
‫الحل‬
‫ملمس‬ ‫عن‬ ‫مختلف‬ ‫البيضاء‬ ‫الكرات‬ ‫ملمس‬ ‫ألن‬ ‫عشوائية‬ ‫تجربة‬ ‫ليست‬ :)‫(أ‬ ‫التجربة‬
‫اللون‬ ‫الكيس‬ ‫من‬ ‫يسحب‬ ‫أن‬ ‫الكرة‬ ‫يسحب‬ ‫الذى‬ ‫الشخص‬ ‫فيستطيع‬ ,‫السوداء‬ ‫الكرات‬
.‫وقوعها‬ ‫قبل‬ ‫التجربة‬ ‫نواتج‬ ‫فى‬ ‫يتحكم‬ ‫فهو‬ ‫وبالتالى‬ ‫يريده‬ ‫الذى‬
‫لكن‬‫و‬6‫إلى‬1‫من‬‫وهى‬‫ا‬ً‫م‬‫مقد‬‫معروفة‬‫النواتج‬‫جميع‬‫ألن‬‫عشوائية‬‫تجربة‬:)‫(ب‬‫التجربة‬
.‫النرد‬ ‫حجر‬ ‫القاء‬ ‫عند‬ ‫تحدث‬ ‫سوف‬ ‫النواتج‬ ‫هذه‬ ‫أى‬ ‫مؤكدة‬ ‫بصفة‬ ‫نتنبأ‬ ‫أن‬ ‫اليمكن‬
20 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫مرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫بطاقة‬ 20 ‫بها‬ ‫حقيبة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫بطاقة‬ ‫سحب‬ ‫تجربة‬ ‫هل‬: ‫فكر‬
.‫إجابتك‬‫فسر‬‫؟‬‫عشوائية‬‫تجربة‬‫هى‬،‫المسحوبة‬‫البطاقة‬‫علي‬‫يظهر‬‫الذى‬‫العدد‬‫ومالحظة‬
‫تعلم‬
Sample space (outcomes space( :)‫النواتج‬‫(ف�ضاء‬‫العينة‬‫ف�ضاء‬
½½‫ف‬ ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫الممكنة‬ ‫النواتج‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬
2‫تعريف‬
½½. )‫(ف‬ ‫ن‬ ‫بالرمز‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫لعدد‬ ‫يرمز‬
½½‫عدد‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫منته‬ ‫غير‬ ‫أو‬ ،‫ا‬ً‫د‬‫محدو‬ ‫عناصره‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫منته‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫يكون‬
.‫المنته‬ ‫النواتج‬ ‫فضاء‬ ‫فقط‬ ‫وسندرس‬ ، ‫محدود‬ ‫غير‬ ‫عناصره‬
:‫مالحظة‬
:‫�شهيرة‬‫ع�شوائية‬‫تجارب‬
Tossing a coin :‫نقود‬‫قطعة‬‫إلقاء‬�:ً‫ال‬‫أو‬�
‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫إلقاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ -1
}‫ك‬ ،‫ص‬ { = ‫ف‬ :‫هو‬ ‫الظاهر‬ ‫الوجه‬ ‫ومالحظة‬
‫للكتابة‬ ‫ترمز‬ ‫ك‬ ، ‫للصورة‬ ‫ترمز‬ ‫ص‬ ‫حيث‬
2 = )‫ن(ص‬ : ‫ويكون‬
‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫إلقاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ -2
:‫هو‬ ‫والكتابات‬ ‫الصور‬ ‫تتابع‬ ‫ومالحظة‬
})‫ك‬ ،‫(ك‬ ،)‫ص‬ ،‫(ك‬ ،)‫ك‬ ،‫(ص‬ ،)‫ص‬ ،‫(ص‬ { = ‫ف‬
22 = 4 = 2 * 2 = )‫(ف‬ ‫ن‬ : ‫ويكون‬
‫أن‬�‫الحظ‬
‫يمكنك‬ ‫العشوائية‬ ‫التجربة‬ ‫فى‬
، ‫ستحدث‬ ‫التى‬ ‫النواتج‬ ‫توقع‬
‫سيقع‬ ‫منها‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫أ‬ ‫التعرف‬ ‫ولكن‬
‫ترى‬ ‫التجربة‬ ‫إتمام‬ ‫وبعد‬ . ً‫ال‬‫فع‬
‫حدوثه‬‫تم‬‫قد‬‫فقط‬‫ا‬ ً‫واحد‬‫ا‬ ً‫ناتج‬‫أن‬
.‫النواتج‬ ‫هذه‬ ‫بين‬ ‫من‬
‫األولي‬ ‫الرمية‬ ‫نواتج‬
‫ص‬‫ك‬
‫ص‬
‫ص‬
‫ص‬‫ك‬
‫ك‬
‫ك‬
‫األولي‬ ‫الرمية‬ ‫نواتج‬‫الثانية‬ ‫الرمية‬ ‫نواتج‬
3
1 5
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
123

129. ‫الحصول‬ ‫(يمكن‬ ‫والكتابات‬ ‫الصور‬ ‫تتابع‬ ‫ومالحظة‬ ‫متتالية‬ ‫مرات‬ ‫ثالث‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫إلقاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ -3
:‫هو‬ )‫(المقابلة‬ ‫البيانية‬ ‫الشجرة‬ ‫من‬ ‫عليه‬
، )‫ك‬ ،‫ص‬ ،‫(ص‬ ، )‫ص‬ ،‫ص‬ ، ‫(ص‬ { = ‫ف‬
، ) ‫ك‬ ،‫ك‬ ، ‫ص‬ ( ، ) ‫ص‬ ، ‫ك‬ ،‫(ص‬
، ) ‫ك‬ ،‫ص‬ ، ‫(ك‬ ، ) ‫ص‬ ،‫ص‬ ، ‫ (ك‬
}) ‫ك‬ ، ‫ك‬ ، ‫(ك‬ ، ) ‫ص‬ ، ‫ك‬ ، ‫(ك‬
32 = 8 = 2 *2 * 2 = )‫ن(ف‬ : ‫ويكون‬
‫الحظ‬
‫م‬
2=)‫(ف‬‫ن‬‫يكون‬ ‫المتتالية‬‫المرات‬‫من‬‫م‬‫نقود‬‫قطعة‬‫رمى‬‫عند‬ -1
‫؟‬‫لماذا‬ )‫ص‬ ،‫ك‬ ( ! )‫ك‬ ،‫ص‬ ( -2
)‫الحجم‬ ‫أو‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫(مختلفتين‬ ‫متمايزتين‬ ‫نقود‬ ‫قطعتى‬ ‫القاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬-3
‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫واحدة‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫إلقاء‬ ‫عند‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫نفس‬ ‫هو‬ )‫واحد‬ ‫آن‬ ‫فى‬ ( ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬
‫وجه‬ ( :‫تب‬‫ر‬‫الم‬ ‫الزوج‬ ‫الشكل‬ ‫على‬ ‫التجربة‬ ‫نواتج‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫كل‬ ‫ويكون‬ ‫متتاليتين‬
.) ‫الثانية‬ ‫القطعة‬ ‫وجه‬ ، ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القطعة‬
Tossing a die :‫نرد‬‫حجر‬‫إلقاء‬�:‫ًا‬‫ي‬‫ثان‬
‫الوجه‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫إلقاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬-1
: ‫هو‬ ‫العلوى‬
6 = )‫(ف‬ ‫ن‬ : ‫ ويكون‬ } 6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { = ‫ف‬
‫كل‬ ‫فى‬ ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫إلقاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬-2
‫ومسقطها‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫الرمية‬ ‫ناتج‬ ‫هو‬ ‫األول‬ ‫مسقطها‬ ‫التى‬ ‫تبة‬‫ر‬‫الم‬ ‫األزواج‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫مرة‬
:‫أن‬ ‫أى‬ ‫الثانية‬ ‫الرمية‬ ‫ناتج‬ ‫هو‬ ‫الثانى‬
. ‫ذلك‬ ‫توضح‬ ‫التالية‬ ‫ واالشكال‬ }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 = ‫ص‬ ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 = ‫س‬ : )‫ص‬ ،‫(س‬ { = ‫ف‬
: ‫هندسية‬ ‫صورة‬ ‫ب‬ : ‫لية‬‫و‬‫جد‬ ‫صورة‬ ‫أ‬
‫الرمية‬‫األولى‬
123456
‫الثانية‬
1)1 ،1()2 ،1()3 ،1()4 ،1()5 ،1()6 ،1(
2)1 ،2()2 ،2()3 ،2()4 ،2()5 ،2()6 ،2(
3)1 ،3()2 ،3()3 ،3()4 ،3()5 ،3()6 ،3(
4)1 ،4()2 ،4()3 ،4()4 ،4()5 ،4()6 ،4(
5)1 ،5()2 ،5()3 ،5()4 ،5()5 ،5()6 ،5(
6)1 ،6()2 ،6()3 ،6()4 ،6()5 ،6()6 ،6(
‫ص‬
‫ص‬ ‫ك‬
‫نواتج‬
‫الرمية‬
‫األولي‬
‫نواتج‬
‫الرمية‬
‫الثانية‬
‫نواتج‬
‫الرمية‬
‫الثالثة‬
‫ص‬‫ك‬
‫ك‬
‫ص‬
‫ص‬
‫ص‬
‫ص‬
‫ك‬
‫ك‬
‫ك‬
‫ك‬
5
1 3
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
‫الثانية‬ ‫الرمية‬
‫األولي‬ ‫الرمية‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
124

130. ‫البيانية‬ ‫الشجرة‬ ‍‫ج‬
: ‫أن‬ ‫الحظ‬
26 = 36 = 6 * 6 = )‫(ف‬ ‫ن‬ -1
} ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { * }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { = ‫ف‬ -2
)‫ا‬ً‫ع‬‫(م‬ ‫واحد‬ ‫آن‬ ‫فى‬ ‫متمايزين‬ ‫نرد‬ ‫حجرى‬ ‫إلقاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ -3
.‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫واحد‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫إلقاء‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫نفس‬ ‫هو‬
‫مثال‬
‫الممكنة‬‫النواتج‬‫عدد‬‫أذكر‬،‫العلويين‬‫وجهيهما‬‫على‬‫مايظهر‬‫ومالحظة‬‫نرد‬‫حجر‬‫ثم‬‫نقود‬‫قطعة‬‫إلقاء‬‫تجربة‬‫فى‬ ‌
.‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫واكتب‬
‫الحل‬
‫يمكن‬ ‫النقود‬ ‫قطعة‬ ‫القاء‬ ‫نواتج‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ ‫المقابلة‬ ‫البيانية‬ ‫الشجرة‬ ‫من‬
‫النرد‬ ‫لحجر‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫تظهر‬ ‫التى‬ ‫الستة‬ ‫األعداد‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫بأى‬ ‫يقترن‬ ‫أن‬
12 = 6 * 2 = )‫(ف‬ ‫ ن‬ `
}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { * }‫ك‬ ،‫ص‬ { = ‫ف‬
، )6 ،‫،(ص‬ )5 ،‫،(ص‬ )4 ،‫،(ص‬ )3 ،‫،(ص‬ )2 ،‫(ص‬ ، )1 ،‫(ص‬ { =
} )6 ،‫،(ك‬ )5 ،‫،(ك‬ )4 ،‫،(ك‬ )3 ،‫،(ك‬ )2 ،‫،(ك‬ )1 ،‫(ك‬
. ‫بالرسم‬ ‫إجابتك‬ ‫وضح‬ ‫؟‬ ‫هندسية‬ ‫بطريقة‬ ‫ف‬ ‫تمثيل‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬ : ‫فكر‬
. ‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫يتغير‬ ‫هل‬ ‫؟‬ ‫الممكنة‬ ‫النواتج‬ ‫عدد‬ ‫يتغير‬ ‫هل‬ ، ‫النقود‬ ‫قطعة‬ ‫ثم‬ ً‫ال‬‫أو‬ ‫النرد‬ ‫حجر‬ ‫ألقى‬ ‫إذا‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫مرحلتين‬‫على‬‫نية‬‫و‬‫الفرع‬‫مصر‬‫آثار‬‫لمشاهدة‬‫العام‬‫نصف‬‫إجازة‬‫فى‬‫أسوان‬‫إلى‬‫القاهرة‬‫من‬‫برحلة‬‫القيام‬‫باسم‬‫قرر‬ ‌
‫أو‬ ‫القطار‬ ‫هى‬ ‫مرحلة‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫المتاحة‬ ‫المواصالت‬ ‫وسائل‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬ )‫أسوان‬ - ‫األقصر‬ ، ‫األقصر‬ - ‫(القاهرة‬
.‫الرحلة‬ ‫لهذه‬ ‫المواصالت‬ ‫بوسائل‬ ‫تبط‬‫ر‬‫الم‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫فاكتب‬ ، ‫الطائرة‬ ‫أو‬ ‫السيارة‬
‫النقود‬ ‫قطعة‬‫النرد‬ ‫حجم‬
‫ص‬
‫ل‬
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
1
‫األولي‬ ‫الرمية‬ ‫نواتج‬
34
5
6
‫الثانية‬ ‫الرمية‬ ‫نواتج‬
654321
654321
654 321
6 5 4 3 2 1
654
321
654321
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
125

131. ‫مثال‬
‫فضاء‬ ‫اكتب‬ . ‫صفراء‬ ‫والثالثة‬ ‫بيضاء‬ ‫والثانية‬ ‫حمراء‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ :‫اللون‬ ‫حيث‬ ‫من‬ ‫إال‬ ‫متماثلة‬ ‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫به‬ ‫كيس‬ ‌
: ‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫فى‬ ‫العينة‬
) ‫اإلحالل‬ ‫مع‬ ( ‫الثانية‬ ‫الكرة‬ ‫سحب‬ ‫قبل‬ ‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫إعادة‬ ‫مع‬ ‫اآلخرى‬ ‫بعد‬ ‫الواحدة‬ ‫تين‬‫ر‬‫ك‬ ‫سحبت‬ ‫إذا‬ :ً‫ال‬‫أو‬
.‫األلوان‬ ‫تتابع‬ ‫ومالحظة‬
. ‫األلوان‬ ‫تتابع‬ ‫ومالحظة‬ ‫إحالل‬ ‫بدون‬ ‫األخرى‬ ‫بعد‬ ‫الواحدة‬ ‫تين‬‫ر‬‫ك‬ ‫سحبت‬ ‫إذا‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
‫الحل‬
)‫(ب‬ ‫بالرمز‬ ‫البيضاء‬ ‫والكرة‬ )‫(ح‬ ‫بالرمز‬ ‫الحمراء‬ ‫الكرة‬ ‫إلى‬ ‫نرمز‬
:)‫(ص‬ ‫بالرمز‬ ‫الصفراء‬ ‫والكرة‬
‫السحبة‬ ‫قبل‬ ‫الكيس‬ ‫إلى‬ ‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫تعاد‬ ‫عندما‬ :ً‫ال‬‫أو‬
‫فرصة‬ ‫لها‬ ‫الثالث‬ ‫الكرات‬ ‫من‬ ‫كرة‬ ‫كل‬ ‫تصبح‬ ‫الثانية‬
‫أن‬ ‫الممكن‬ ‫من‬ ‫ويصبح‬ ‫الثانية‬ ‫السحبة‬ ‫فى‬ ‫الظهور‬
‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫ويوضح‬ ‫ثانية‬ ‫مرة‬ ‫الكرة‬ ‫نفس‬ ‫تسحب‬
9 = 23 = )‫(ف‬ ‫ن‬ ‫حيث‬ ‫العينة‬ ‫لفضاء‬ ‫البيانية‬ ‫الشجرة‬
، )‫ح‬ ، ‫(ب‬ ، )‫ص‬ ،‫(ح‬ ، )‫ب‬ ،‫ح‬ ( ، )‫ح‬ ،‫(ح‬{= ‫ف‬
، )‫ب‬ ، ‫(ص‬ ، )‫ح‬ ، ‫(ص‬ ، )‫ص‬ ،‫(ب‬ ، )‫ب‬ ، ‫ب‬ (
} )‫ص‬ ،‫(ص‬
‫إلى‬ ‫الكرة‬ ‫إعادة‬ ‫عدم‬ ) ‫إحالل‬ ‫(دون‬ ‫بعبارة‬ ‫يقصد‬:‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
‫فرصة‬ ‫هناك‬ ‫يكون‬ ‫لن‬ ‫وبذلك‬ ‫سحبها‬ ‫بعد‬ ‫الكيس‬
‫الثانية‬ ‫السحبة‬ ‫فى‬ ‫لظهورها‬
6 = 2 * 3 = )‫(ف‬ ‫ن‬ `
، )‫ص‬ ، ‫(ب‬ ، )‫ح‬ ، ‫(ب‬ ، )‫ص‬ ،‫ح‬ ( ، )‫ب‬ ، ‫ح‬ ({= ‫ف‬
} )‫ب‬ ، ‫ص‬ ( ، )‫ح‬ ، ‫(ص‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫ومالحظة‬‫اإلحالل‬‫مع‬‫األخرى‬‫بعد‬‫الواحدة‬‫تين‬‫ر‬‫ك‬‫سحبت‬3 ‫إلى‬1‫من‬‫ومرقمة‬‫متماثلة‬‫كرات‬‫ثالث‬‫به‬‫صندوق‬ ‌
.‫عناصره‬ ‫عدد‬ ‫وبين‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ . ‫الكرة‬ ‫رقم‬
The event ‫الحدث‬
½½‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫الحدث‬
1‫تعريف‬
‫األولى‬ ‫السحبة‬‫الثانية‬ ‫السحبة‬
‫ح‬
‫ح‬
‫ح‬
‫ح‬
‫ص‬
‫ص‬
‫ص‬
‫ب‬
‫ب‬
‫ب‬
‫ب‬ ‫ص‬
)‫ح‬ ،‫(ح‬
)‫ب‬ ،‫ح‬ (
)‫ص‬ ،‫(ح‬
)‫ح‬ ، ‫(ب‬
)‫ب‬ ، ‫ب‬ (
)‫ص‬ ،‫(ب‬
)‫ح‬ ، ‫(ص‬
)‫ب‬ ، ‫(ص‬
)‫ص‬ ،‫(ص‬
‫ف‬
‫األولى‬ ‫السحبة‬‫الثانية‬ ‫السحبة‬
)‫ب‬ ، ‫ح‬ (
)‫ص‬ ،‫ح‬ (
)‫ح‬ ، ‫(ب‬
)‫ص‬ ، ‫(ب‬
)‫ح‬ ، ‫(ص‬
)‫ب‬ ، ‫ص‬ (
‫ح‬
‫ب‬
‫ح‬
‫ح‬
‫ص‬
‫ص‬
‫ب‬
‫ب‬
‫ص‬
‫ف‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
126

132. : ‫الحظ‬
‫الكبيرة‬ ‫بالحروف‬ ‫لألحداث‬ ‫نرمز‬ ‫لذلك‬ ،‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعات‬ ‫هى‬ ‫األحداث‬ ‫أن‬ ‫حيث‬ -1
venn diagram ‫ڤن‬ ‫باشكال‬ ‫تمثيلها‬ ‫يمكن‬ ‫كما‬ ... ، ‫ج‬ ، ‫ب‬ ، C
‫وباعتبار‬ ، ‫ف‬ ⊃ C : ‫فإن‬ ‫لها‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫ف‬ ، ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ًا‬‫ث‬‫حد‬ C ‫كان‬ ‫إذا‬ -2
. ‫المجاور‬ ‫ڤن‬ ‫بشكل‬ C ‫الحدث‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫نستطيع‬ ‫الشاملة‬ ‫المجموعة‬ ‫ف‬
‫من‬ ‫ا‬ً‫عنصر‬ ‫العشوائية‬ ‫التجربة‬ ‫ناتج‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ) ‫(تحقق‬ ‫وقع‬ ‫قد‬ ‫ما‬ ‫ًا‬‫ث‬‫حد‬ ‫أن‬ ‫نقول‬ -3
.‫الحدث‬ ‫هذا‬ ‫عن‬ ‫تعبر‬ ‫التى‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬
‫الوجه‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫إلقاء‬ ‫عند‬ ً‫ال‬‫فمث‬
}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1{ = ‫ف‬ : ‫أن‬ ‫نجد‬ ‫العلوى‬
‫حدث‬ ‫عن‬ ‫تعبر‬ ‫ف‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫وهى‬ }6 ،4 ،2 { = C ‫المجموعة‬ ‫فتكون‬
.‫التجربة‬‫إجراء‬‫عند‬6‫أو‬4‫أو‬2‫األعداد‬‫أى‬‫ظهرت‬‫إذا‬)‫(تحقق‬‫وقع‬‫قد‬C‫الحدث‬‫أن‬‫نقول‬‫و‬‫زوجى‬‫عدد‬‫ظهور‬
‫مثال‬
. ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫إلقاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ ‌
‫منها‬ ‫كل‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫وإذكر‬ ‫اآلتية‬ ‫األحداث‬ ‫عين‬ ‫ثم‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ ‫أ‬
‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ، 5 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ C ‫الحدث‬
4 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫د‬ ‫الحدث‬ ، 9 ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬
7 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫هـ‬ ‫الحدث‬
‫؟‬ ‫وقع‬ ‫قد‬ ‫يكون‬ ‫السابقة‬ ‫االحداث‬ ‫فأى‬ ، ‫التجربة‬ ‫إجراء‬ ‫عند‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ 3 ‫العدد‬ ‫ظهر‬ ‫إذا‬ ‫ب‬
‫الحل‬
‫ويكون‬ }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { = ‫ف‬ ‫أ‬
1 = )C( ‫ن‬ ، }6{ = C ` 5 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ C ‫الحدث‬
3 = )‫(ب‬ ‫ن‬ ، }5 ،3 ،2 { = ‫ب‬ ` ‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬
6 = )‫(ج‬ ‫ف ، ن‬ = }6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { = ‫ج‬ ` 9 ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬
1 = )‫(د‬ ‫ن‬ ، }4 { = ‫د‬ ` 4 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫د‬ ‫الحدث‬
7 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫هـ‬ ‫الحدث‬
7 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ) ‫العينة‬ ‫(فضاء‬ ‫التجربة‬ ‫نواتج‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫أى‬ ‫اليوجد‬
‫صفر‬ = )‫ن(هـ‬ ، ) ‫الخالية‬ ‫(المجموعة‬ z= } { = ‫هـ‬ `
‫∈ج‬ 3 ، ‫ب‬ ∈3 ‫ألن‬ ‫وقع‬ ‫قد‬ ‫ج‬ ، ‫ب‬ ‫الحدثين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫نقول‬ ‫للتجربة‬ ‫كناتج‬ 3 ‫العدد‬ ‫ظهور‬ ‫عند‬ ‫ب‬
C
‫ف‬
1 2
3
5 4
6
C
‫ف‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
127

133. ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫ثم‬ ‫النواتج‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ ،‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫إلقاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ ‌
.‫منها‬ ‫كل‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫واذكر‬ ‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫عين‬
3 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ C ‫الحدث‬
4 H‫س‬ ‫المتباينة‬ ‫يحقق‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬
0 = 15 + )2-‫(س‬ ‫س‬ ‫المعادلة‬ ‫يحقق‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬
The simple event )‫أولى‬‫ل‬‫ا‬‫(الحدث‬‫الب�سيط‬‫الحدث‬
½½.‫فقط‬ ‫ا‬ً‫واحد‬ ‫ا‬ً‫عنصر‬ ‫تحتوى‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬
4‫تعريف‬
‫ًا‬‫ط‬‫ًابسي‬‫ث‬‫حد‬ ‫اليعتبر‬ ‫منهما‬ ‫فكل‬ ‫ج‬ ، ‫ب‬ ‫الحدثان‬ ‫أما‬ ، )‫لى‬‫و‬‫(أ‬ ‫بسيط‬ ‫حدث‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫د‬ ، C ‫الحدثان‬ :4 ‫مثال‬ ‫فى‬
compound event ‫كب‬‫المر‬ ‫بالحدث‬ ‫عندئذ‬ ‫ويسمى‬ ‫ف‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫على‬ ‫الحدث‬ ‫الحتواء‬
، ‫ف‬ ‫المجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئيتان‬ ‫مجموعتان‬ ‫هما‬ z‫الخالية‬ ‫والمجموعة‬ ‫ف‬ ‫المجموعة‬ ‫أن‬ ‫للمجموعات‬ ‫دراستنا‬ ‫من‬ ‫نعلم‬
.‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثان‬ ‫هما‬ z،‫ف‬ ‫فإن‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬
The certain event :‫ؤكد‬�‫الم‬‫الحدث‬
‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫هى‬ ‫عناصره‬ ‫الذى‬ ‫الحدث‬ ‫هو‬
The impossible event ‫ل‬‫الم�ستحي‬‫الحدث‬
z ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫عنصر‬ ‫أى‬ ‫من‬ ‫الخالى‬ ‫الحدث‬ ‫هو‬
5‫تعريف‬‫مستحيل‬ ‫حدث‬ ‫فهو‬ ‫هـ‬ ‫الحدث‬ ‫أما‬ ‫مؤكد‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬ )4( ‫مثال‬ ‫فى‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫هذه‬ ‫علي‬ ‫المسجل‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫واحدة‬ ‫بطاقة‬ ‫سحبت‬ 9 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫مرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫بطاقات‬ 9 ‫به‬ ‫صندوق‬ ‌
)‫كب‬‫مر‬‫حدث‬-‫بسيط‬‫حدث‬-‫مستحيل‬‫حدث‬-‫كد‬‫مؤ‬‫(حدث‬‫وصفها‬‫مع‬‫التالية‬‫االحداث‬‫من‬‫كل‬‫عين‬.‫البطاقة‬
‫زوجى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ C ‫الحدث‬
‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬
8 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬
7 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫د‬ ‫الحدث‬
11 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫هـ‬ ‫الحدث‬
‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫و‬ ‫الحدث‬
60 = ‫س‬ 7 - 2‫س‬ ‫المعادلة‬ ‫يحقق‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ز‬ ‫الحدث‬
15 H 3 - ‫س‬ 2 ‫المتباينة‬ ‫يحقق‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ع‬ ‫الحدث‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
128

134. ‫تحقق‬ ‫ف‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫تعين‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬ : ‫فكر‬
‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫د‬ ‫أو‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ -2 ‫؟‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫و‬ , C ‫الجدثين‬ ‫وقوع‬ -1
‫عنها‬ ‫التعبير‬ ‫ويمكن‬ ‫كبة‬‫المر‬ ‫باألحداث‬ ‫تعرف‬ ‫جديدة‬ ‫أحداث‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫أكثر‬ ‫أو‬ ‫حدثين‬ ‫بين‬ ‫الربط‬ ‫عند‬ :‫الحظ‬
.‫ڤن‬ ‫بأشكال‬ ‫تمثيلها‬ ‫يمكن‬ ‫كما‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رمز‬ ‫أو‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫لفظ‬
Operation of the events ‫ث‬‫أحدا‬‫ل‬‫ا‬‫على‬‫العمليات‬
‫على‬‫العمليات‬‫نفس‬‫هى‬‫االحداث‬‫على‬‫العمليات‬‫فإن‬‫لذا‬،‫العينة‬‫فضاء‬‫من‬‫جزيئة‬‫مجموعات‬‫هى‬‫األحداث‬‫ألن‬‫ا‬ً‫نظر‬
‫التعبير‬ ‫نستطيع‬ ‫الشاملة‬ ‫المجموعة‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫وباعتبار‬ ‫واالكمال‬ ‫والفرق‬ ‫والتقاطع‬ ‫االتحاد‬ ‫مثل‬ ‫المجموعات‬
: ‫كمايلى‬ ‫ڤن‬ ‫بأشكال‬ ‫وتمثيلها‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫ورمز‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫لفظ‬ ‫عليها‬ ‫والعمليات‬ ‫ف‬ ‫من‬ ‫ب‬ ،C ‫الحدثين‬ ‫عن‬
‫التقاطع‬:ً‫ال‬‫أو‬�
‫التى‬‫العينة‬‫فضاء‬‫عناصر‬‫كل‬‫يحوى‬‫الذى‬‫ب‬∩ C ‫الحدث‬‫هو‬‫ب‬،C ‫الحدثين‬‫تقاطع‬
)‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫(وقوع‬ ‫ب‬ ‫و‬ C ‫وقوع‬ ‫ويعنى‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫ب‬ ،C ‫إلى‬ ‫تنتمى‬
:‫االتحاد‬:‫ًا‬‫ي‬‫ثان‬
‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫كل‬ ‫يحوى‬ ‫الذى‬ ‫ب‬∪ C ‫الحدث‬ ‫هو‬ ‫ب‬ ، C ‫الحدثين‬ ‫إتحاد‬
‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫(وقوع‬ ‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫ويعنى‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫كليهما‬ ‫أو‬ ‫ب‬ ‫أو‬ C ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ ‫التى‬
)‫األقل‬
‫االكمال‬:‫ًا‬‫ث‬‫ثال‬
‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫كل‬ ‫يحوى‬
/
C ‫كان‬ ‫إذا‬ ، C ‫للحدث‬ ‫المكمل‬ ‫الحدث‬ ‫يسمى‬
/
C ‫الحدث‬
. C ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫ويعنى‬ ، C ‫الحدث‬ ‫إلى‬ ‫التنتمى‬ ‫التى‬ ‫العينة‬
z =
/
C ∩ C ، ‫ف‬ =
/
C ∪ C : ‫الحظ‬
‫الفرق‬:‫ًا‬‫ع‬‫راب‬
‫ب‬ ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ ‫وال‬ C ‫إلى‬ ‫تنتمى‬ ‫التى‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫كل‬ ‫يحوى‬ ‫ب‬ - C ‫الحدث‬
/
‫ب‬ ∩ C ‫عناصر‬ ‫نفس‬ ‫ا‬ ً‫أيض‬ ‫وهى‬
)‫فقط‬ C ‫(وقوع‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫ويعنى‬
C
‫ف‬
‫ب‬
‫ب‬ ∩ C
C
‫ف‬
‫ب‬
‫ب‬ ∪ C
C
‫ف‬
C
C
‫ف‬
‫ب‬
) ‫ب‬ ∩ C ( - C =
/
‫ب‬ ∩C = ‫-ب‬ C
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
129

135. : ‫شفهى‬ ‫تعبير‬
: ‫الحدث‬ ‫تمثيل‬ ‫وظلل‬ ‫الجدول‬ ‫أكمل‬ ، ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬
‫ا‬ً‫ي‬‫لفظ‬ ‫الحدث‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬‫ا‬ً‫ي‬‫رمز‬ ‫الحدث‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬‫الحدث‬ ‫تمثيل‬
‫فقط‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ‫وقوع‬
)C ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ ‫ب‬ ‫(وقوع‬
C
‫ف‬
‫ب‬
‫فقط‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫أو‬ ‫فقط‬ C ‫(وقوع‬
)‫فقط‬
C
‫ف‬
‫ب‬
‫مثال‬
‫هذه‬ ‫على‬ ‫المسجل‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫واحدة‬ ‫بطاقة‬ ‫منها‬ ‫سحبت‬ 8 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫ومرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫بطاقات‬ ‫ثمانى‬ ‌
: ‫اآلتية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عين‬ ‫ثم‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ ‫البطاقة‬
‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ‫ب‬ ‫فردى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ C ‫الحدث‬ ‫أ‬
.‫األقل‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫د‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫ب‬ ‫و‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‍‫ج‬
.‫فقط‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫و‬ C‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬ ‍‫ه‬
. ‫االكثر‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫ح‬ ‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫ز‬
‫الحل‬
}8 ،7 ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { = ‫ف‬
‫فردى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ C ‫الحدث‬ a ‫أ‬
}7 ،5 ،3 ، 1 { = C `
}7 ،5 ،3 ،2 { = ‫ب‬ ` ‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ a ‫ب‬
}7 ،5 ،3 { = ‫ب‬ ∩ C = ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫وب‬ C ‫وقوع‬ ‍‫ج‬
}7 ،5 ،3 ،2 ،1 { = ‫ب‬ ∪ C = ‫األقل‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫د‬
}8 ،6 ،4 ،2 { =
/
C = C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬ ‍‫ه‬
}1{ = ‫ب‬ - C = ‫فقط‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫و‬
}2{ = C - ‫ب‬ = ‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫ز‬
}2 ،1{ = ) C - ‫ب‬ ( ∪ ) ‫ب‬ - C ( = ‫فقط‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫ح‬
C
‫ف‬
‫ب‬
12
3
5
7
4
6
8
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
130

136. ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫المسجل‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫احداها‬ ‫سحبت‬ . ‫متماثلة‬ ‫صغيرة‬ ‫بطاقات‬ ‫فى‬ 95743862 ‫العدد‬ ‫أرقام‬ ‫سجلت‬ ‌
:‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عين‬ ‫ثم‬ ‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ ، ‫بالبطاقة‬
‫ا‬ً‫ي‬‫فرد‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‫الظاهر‬ ‫العدد‬ C ‫الحدث‬ ‫أ‬
3 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫الظاهر‬ ‫العدد‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ‫ب‬
.‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫د‬ ‫ب‬ ‫و‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‍‫ج‬
.‫األقل‬ ‫على‬ ‫الحدثين‬ ‫أحد‬ ‫وقوع‬ ‫و‬ .‫فقط‬ ‫الحدثين‬ ‫أحد‬ ‫وقوع‬ ‍‫ه‬
: ‫ناقد‬ ‫تفكير‬
. ‫ڤن‬ ‫بشكل‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫ومثل‬ ‫المجموعات‬ ‫بلغة‬ ‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫عن‬ ‫عبر‬ ، ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫أ‬
.‫األكثر‬ ‫على‬ ‫الحدثين‬ ‫أحد‬ ‫وقوع‬ ‫د‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‍‫ج‬
:‫أن‬ ‫الحظ‬
/
‫=ب‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬ , C =C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫أ‬
‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ = /
‫ب‬ ∪ C = ‫المطلوب‬ ‫الحدث‬ `
C ‫وقوع‬ ‫أو‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫نفسه‬ ‫هو‬ ‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ : ‫أن‬ ‫أى‬
/
‫ب‬ = ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ،
/
C = C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫ب‬
/
)‫ب‬ ∪ C ( =
/
‫ب‬ ∩
/
C = ‫ب‬‫المطلو‬ ‫الحدث‬ `
‫الحدثين‬ ‫من‬ ‫أى‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ =
. ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫نفسه‬ ‫هو‬ ‫الحدثين‬ ‫من‬ ‫أى‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ : ‫أن‬ ‫أى‬
/
‫ب‬ ∪
/
C=
/
)‫ب‬ ∩ C( = ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‍‫ج‬
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ =
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫نفسه‬ ‫هو‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ : ‫أن‬ ‫أى‬
/
) ‫ب‬ ∩ C( = ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ = ‫األكثر‬ ‫على‬ ‫الحدثين‬ ‫أحد‬ ‫وقوع‬ ‫د‬
‫األكثر‬ ‫على‬ ‫الحدثين‬ ‫أحد‬ ‫وقوع‬ = ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ = ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ : ‫أن‬ ‫أى‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
.‫ڤن‬‫بشكل‬‫منها‬‫كل‬‫ومثل‬‫المجموعات‬‫بلغة‬‫التالية‬‫األحداث‬‫عن‬‫عبر‬،‫ف‬‫العينة‬‫فضاء‬‫من‬‫حدثين‬‫ب‬،C ‫كان‬‫إذا‬ ‌
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫ووقوع‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أ‬
C
‫ف‬
‫ب‬
C
‫ف‬
‫ب‬
C
‫ف‬
‫ب‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
131

137. Mutually exclusive events ‫ة‬‫المتنافي‬‫االحداث‬
‫اآلخر‬ ‫وقوع‬ ‫ينفى‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫متنافيان‬ ‫أنهما‬ ‫ب‬ ، C ‫لحدثين‬ ‫يقال‬
‫أحدهما‬ ‫وقوع‬ ‫فإن‬ ‫االمتحان‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫الرسوب‬ ‫حدث‬ ‫ب‬ ، ‫ما‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫النجاح‬ ‫حدث‬ C ‫كان‬ ‫إذا‬-1 :ً‫ال‬‫فمث‬
.‫اآلخر‬ ‫وقوع‬ ‫ينفى‬
‫فإن‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫الظاهر‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ -2
}6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { = ‫ف‬
}5 ،3 ،1 { = C : ‫أى‬ ‫فردى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ C ‫كان‬ ‫إذا‬
}6 ،4 ،3 { = ‫ب‬ : ‫أى‬ ‫زوجى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬
. ‫اآلخر‬ ‫وقوع‬ ‫ينفى‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬ ‫أى‬ z = ‫ب‬ ∩ C ‫فإن‬
½½z= ‫ب‬ ∩ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫متنافيان‬ ‫ب‬ , C ‫الحدثين‬ ‫أن‬ ‫يقال‬
½½‫مثنى‬ ‫مثنى‬ ‫متنافية‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫إذا‬ ‫متنافية‬ ‫أنها‬ ‫أحداث‬ ‫لعدة‬ ‫يقال‬
6‫تعريف‬
: ‫الحظ‬
‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ‫فإن‬ z = ‫ب‬ ∩ C ‫كان‬ ‫إذا‬ -1
z = C ∩ ‫ج‬ ، z = ‫ج‬ ∩ ‫ب‬ ، z = ‫ب‬ ∩ C : ‫كان‬‫و‬ ‫ف‬ ‫من‬ ‫أحداث‬ ‫ثالثة‬ ‫ج‬ ، ‫ب‬ ، C ‫كانت‬ ‫وإذا‬
.‫صحيح‬ ‫والعكس‬ ‫متنافية‬ ‫إحداث‬ ‫ج‬ ،‫ب‬ ، C :‫فإن‬
.‫متنافية‬ ‫تكون‬ ‫عشوائية‬ ‫تجربة‬ ‫أى‬ ‫فى‬ )‫لية‬‫و‬‫(األ‬ ‫البسيطة‬ ‫االحداث‬ -2
.‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫هما‬
/
C ‫ومكمله‬ C ‫حدث‬ ‫أى‬ -3
‫مثال‬
.‫لها‬ ‫العلويين‬ ‫الوجهين‬ ‫على‬ ‫الظاهرين‬ ‫العددين‬ ‫ومالحظة‬ ‫متمايزين‬ ‫نرد‬ ‫حجرى‬ ‫إلقاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ ‌
.‫اآلتيين‬ ‫احدثين‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫واكتب‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫هندس‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫مثل‬ :ً‫ال‬‫أو‬
.7 ‫مجموعهما‬ ‫عددين‬ ‫ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ‫الوجهين‬ ‫على‬ ‫العدد‬ ‫نفس‬ ‫ظهور‬ C ‫الحدث‬
. ‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫متنافيان‬ ‫ب‬ ، C ‫الحدثان‬ ‫هل‬ : ‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
‫الحل‬
36 = 26 = ‫عددها‬ ‫تبة‬‫ر‬‫م‬ ‫أزواج‬ ‫هى‬ ‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬: ً‫ال‬‫أو‬
‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫حيث‬ ‫العينة‬ ‫لفضاء‬ ‫الهندسى‬ ‫التمثيل‬ ‫هو‬ ‫المقابل‬ ‫الشكل‬
. ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‫كما‬ ‫بنقطة‬ ‫يمثل‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫من‬
} )6 ،6( ، )5 ،5( ، )4 ،4( ،)3 ،3( ،)2 ،2( ،)1 ،1({ = C
} )6 ،1( ، )5 ،2( ، )4 ،3( ، )3 ،4( ،)2 ،5( ، )1 ،6 ( { = ‫ب‬
‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ` z= ‫ب‬ ∩ C a:‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
C
‫ب‬
C
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
132

138. ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫والفريق‬‫واحدة‬‫نقطة‬‫على‬‫والمتعادل‬‫نقاط‬3‫على‬‫الفائز‬‫الفريق‬‫يحصل‬‫القدم‬‫لكرة‬‫العام‬‫الدورى‬‫مباريات‬‫فى‬ ‌
‫الفريق‬‫عليه‬‫يحصل‬‫لما‬‫العينة‬‫فضاء‬‫اكتب‬‫متتاليتين‬‫مبارتين‬‫الفريق‬‫لعب‬‫فإذا‬،‫نقطة‬‫أى‬‫على‬‫اليحصل‬‫المهزوم‬
: ‫اآلتية‬ ‫األحداث‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫نقط‬ ‫من‬
‫الفريق‬ ‫هزيمة‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬ ‫ب‬ .‫نقط‬ 4 ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫على‬ ‫الفريق‬ ‫حصول‬ ‫حدث‬ ‫أ‬
‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫د‬ ‫ب‬ ‫و‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‍‫ج‬
.‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬ ‫و‬ .‫فقط‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‍‫ه‬
Probability ‫االحتمال‬
‫الحقيقى‬‫العدد‬‫وهو‬،‫الحدث‬‫احتمال‬‫يسمى‬‫ا‬ً‫ي‬‫حقيق‬‫ا‬ً‫د‬‫عد‬‫العشوائية‬‫التجربة‬‫أحداث‬‫من‬‫حدث‬‫لكل‬‫االحتماالت‬‫نظرية‬‫تعين‬
. ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫إلى‬ ‫الحدث‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫على‬ ‫حسابه‬ ‫ويتوقف‬ ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫إمكانية‬ ‫عن‬ ‫يعبر‬ ‫الذى‬
. )‫ن(ف‬ = ‫ف‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ، )C( ‫ن‬ = C ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ، ‫ف‬ ⊃ C ‫ أى‬ ‫ف‬ ‫من‬ ‫حدث‬ C ‫كان‬ ‫فإذا‬
)C( ‫ل‬ ‫بالرمز‬ C ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫الحتمال‬ ‫نا‬‫ز‬‫ورم‬
)C( ‫ن‬
)‫ف‬( ‫ن‬
= )C( ‫ل‬ : ‫فإن‬
: ‫الحظ‬
‫االحتمال‬ ‫بدالة‬ ‫وتعرف‬ ،‫العشوائية‬ ‫التجربة‬ ‫أحداث‬ ‫مجموعة‬ ‫مجالها‬ ‫حقيقية‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ -1
1H )C( ‫ل‬ H0 ‫(ف) ويكون‬ ‫ن‬ H )C( ‫ن‬ H 0 ` ‫ف‬ ⊃ C -2
) ‫المؤكد‬ ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫إحتمال‬ ( 1 = )‫ف‬( ‫ن‬
)‫ف‬( ‫ن‬
= )‫(ف‬ ‫ل‬ -3
‫تعلم‬
Axioms of probability ‫ل‬‫االحتما‬‫م�سلمات‬
)C(‫ل‬ ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫يرمز‬ C ‫الحدث‬ ‫إحتمال‬ ‫يسمى‬ ‫حقيقى‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫ف‬ ⊃ C ‫حدث‬ ‫لكل‬ -1
1 H )C( ‫ل‬ H 0 : ‫حيث‬
1 = )‫(ف‬ ‫ل‬ -2
‫ف‬ ⊃ ‫ب‬ ،‫ف‬ ⊃ C ‫كان‬ ‫إذا‬ -3
)‫(ب‬ ‫ل‬ + )C(‫ل‬ = )‫ب‬ ∪ C( ‫: ل‬ ‫فإن‬ ‫متنافيين‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ، C ‫كان‬‫و‬ C
‫ف‬
‫ب‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
133

139. .‫المتنافية‬ ‫األحداث‬ ‫من‬ ‫منته‬ ‫عدد‬ ‫ألى‬ ‫وتعمم‬ ‫المتنافية‬ ‫األحداث‬ ‫إلحتماالت‬ ‫الجمع‬ ‫بقاعدة‬ )3( ‫المسلمة‬ ‫تسمى‬
‫مثنى‬ ‫مثنى‬ ‫متنافية‬ ‫أحداث‬ ....... E ، ‫جـ‬ ،‫ب‬ ، C ‫حيث‬....... )‫(د‬ ‫ل‬ +)‫(ج‬ ‫ل‬ +)‫(ب‬ ‫ل‬ + )C( ‫ل‬ = )....... ∪‫د‬ ∪ ‫ج‬ ∪ ‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬
. ‫احتماالتها‬ ‫مجموع‬ = )‫المتنافية‬ ‫االحداث‬ ‫(اتحاد‬ ‫احتمال‬ : ‫أن‬ ‫أى‬
‫مثال‬
.‫عليها‬ ‫المدون‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫واحدة‬ ‫بطاقة‬ ‫سحبت‬ 9 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫ومرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫بطاقات‬ 9 ‫به‬ ‫صندوق‬ ‌
: ‫التالية‬ ‫األحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬
5 ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ ‫ب‬ 3 ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ C
‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ ‫د‬ ، 3 ‫للعدد‬ ‫مضاعف‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ ‫ج‬
‫الحل‬
9 = )‫(ف‬ ‫ن‬ ، }9 ،8 ،7 ،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 { = ‫ف‬
2
9 =
)C( ‫ن‬
)‫ف‬( ‫ن‬
= )C( ‫ل‬ ` 2 = )C( ‫ن‬ ، }2 ،1 { = C
4
9 = )‫ب‬( ‫ن‬
)‫ف‬( ‫ن‬
= )‫(ب‬ ‫ل‬ ` 4 = )‫(ب‬ ‫ن‬ ، }9 ،8 ،7 ،6 { = ‫ب‬
1
3 = 3
9 = )‫(ج‬ ‫ل‬ ` 3 = )‫(ج‬ ‫ن‬ ، }9 ،6 ،3 { = ‫ج‬
z = ‫ب‬∩ C ‫ألن‬ ‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ‫أن‬ ‫الحظ‬ )‫(د‬ ‫ل‬ ‫إليجاد‬
)3( ‫مسلمة‬ )‫(ب‬ ‫ل‬ + )C( ‫ل‬ = ) ‫ب‬∪ C ( ‫ل‬ = ‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ `
1
2 = 6
9 = 4
9 + 2
9 =
: ‫فكر‬
. ‫ج‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ ‫وإحسب‬ ، ‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫مثنى‬ ‫مثنى‬ ‫متنافية‬ ‫أحداث‬ ‫ج‬ ، ‫ب‬ ،C ‫هل‬
: ‫التالية‬ ‫النتائج‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫تحقق‬ 6 ‫مثال‬ ‫بحل‬ ‫مسترشدا‬
:‫هامة‬‫نتائج‬
.‫الحدث‬ ‫لهذا‬ ‫لية‬‫و‬‫األ‬ ‫االحداث‬ ‫احتماالت‬ ‫مجموع‬ = ‫حدث‬ ‫أى‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ -1
1 = ‫العينة‬ ‫لفضاء‬ ‫لية‬‫و‬‫األ‬ ‫األحداث‬ ‫جميع‬ ‫وقوع‬ ‫إحتماالت‬ ‫مجموع‬ -2
‫مثال‬
: ‫أوجد‬ ‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ‫كان‬‫و‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ }‫د‬ ،‫ج‬ ،‫ب‬ ،C { = ‫ف‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
1
8 = )‫(ج‬ ‫ل‬ = )‫(ب‬ ‫ل‬ ، 1
4 = ) C (‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )‫ل(د‬ ‫أ‬
3
8 = )‫ج‬ ∪ ‫ب‬ ( ‫ل‬ = ) C ( ‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )‫(د‬ ‫ل‬ ‫ب‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
134

140. ‫الحل‬
‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫لية‬‫و‬‫األ‬ ‫األحداث‬ ‫جميع‬ ‫هى‬ ‫د‬ ، ‫ج‬ ،‫ب‬ ، C a ‫أ‬
)2( ‫نتيجة‬ 1= )‫(د‬ ‫ل‬ + )‫(ج‬ ‫ل‬ + )‫(ب‬ + )C(‫ل‬ = )‫(ف‬ ‫ل‬ `
1
2 = 1
2 - 1 = )‫(د‬ ‫ل‬ ` 1 = )‫(د‬ ‫ل‬ + 1
8 + 1
8 + 1
4 : ‫ويكون‬
)1( ‫نتيجة‬ )‫(ج‬ ‫ل‬ + )‫(ب‬ ‫ل‬ = 3
8 = )‫ج‬ ∪‫ب‬ ( ‫ل‬ a ‫ب‬
)2( ‫نتيجة‬ 1= )‫(د‬ ‫ل‬ + )‫(ج‬ ‫ل‬ + )‫(ب‬ ‫ل‬ + )C( ‫ل‬ = )‫(ف‬ ‫ل‬ ،
1
4 = 6
8 - 1 = )‫(د‬ ‫ل‬ ` )‫(د‬ ‫ل‬ + 3
8 + 3
8 = 1 : ‫فيكون‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫أوجد‬ . ‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ، ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ } ‫ج‬ ، ‫ب‬ ، C { = ‫ف‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
1
4 = )‫(ج‬ ‫ ل‬ ، )C( ‫ل‬ 2 = )‫(ب‬ ‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )C( ‫ل‬ ‫أ‬
)‫(ب‬ ‫ل‬ 3 = )C( ‫ل‬ 2 ، 1
6 = )‫(ج‬ ‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ )‫(ب‬ ‫ل‬ ، )C( ‫ل‬ ‫ب‬
‫االحتمال‬‫دالة‬‫خوا�ص‬
0 = )z( ‫أن ل‬ ‫صفر أى‬ = ‫المستحيل‬ ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ -1
‫ف‬ ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ C ‫للحدث‬ ‫المكمل‬
/
C‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ -2
)‫متنافيان‬ ‫حدثان‬
/
C ،C ‫أن‬ ‫الحظ‬ ( ) C ( ‫ل‬ - 1 = )
/
C (‫ل‬ : ‫هو‬
‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫احتمال‬ -3
‫ف‬ ⊃ ‫ب‬ ،‫ف‬ ⊃ C ‫كان‬ ‫إذا‬
)‫ب‬∩ C (‫ل‬-)C(‫ل‬=)‫ب‬-C (‫ل‬‫فإن‬
: ‫ناقد‬ ‫تفكير‬
) C - ‫ب‬ ( ‫ل‬ ‫مايساويه‬ ‫اكتب‬ ‫أ‬
‫ن‬‫م‬ ‫كل‬ ‫يساويه‬ ‫ما‬ ‫فاكتب‬ ، ‫متنافيين‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ، C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ب‬
)C - ‫ب‬ ( ‫ل‬ ،) ‫-ب‬ C( ‫ل‬
‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ألى‬ ‫الجمع‬ ‫قاعدة‬ - 4
‫ف‬ ⊃ ‫ب‬ ،‫ف‬ ⊃ C ‫كان‬ ‫إذا‬
) ‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ - )‫ل(ب‬ + )‫(أ‬ ‫ل‬ = ) ‫ب‬ ∪ C ( ( ‫ل‬ ‫فإن‬
C
‫ف‬
C
‫متنافيان‬ ‫ب حدثان‬ ∩ C ، ) ‫ب‬ -C (
)‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ + )‫ب‬ -C( ‫ل‬ = )C( ‫ل‬
C
‫ف‬
‫ب‬
)‫ب‬ - C(‫ب‬ ∩ C
‫متنافيان‬ ‫ حدثان‬C - ‫ب‬ ، C
)C - ‫ب‬ ( ‫ل‬ + ) C( ‫ل‬ = )‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬
C
‫ف‬
‫ب‬
C - ‫ب‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
135

141. ‫مثال‬
: ‫حيث‬ ،‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫احتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ، ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ‌
)‫(ب‬ ‫ل‬ ، )C( ‫ل‬ ‫أوجد‬ 0٫72 =) ‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬ ، )C( ‫ل‬ 3 = )‫(ب‬ ‫ل‬
‫ب‬ ⊃ C ‫كان‬ ‫إذا‬:‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ‫كان‬ ‫إذا‬ :ً‫ال‬‫أو‬
‫الحل‬
‫س‬ 3 = )‫(ب‬ ‫ل‬ ` ‫س‬ = )C( ‫ل‬ ‫أن‬ ‫بفرض‬
‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C a :ً‫ال‬‫أو‬
‫س‬ + ‫س‬ 3 = 0٫72 : ‫(ب) فيكون‬ ‫ل‬ + )C( ‫ل‬ = ) ‫ب‬ ∪ C ( ‫ل‬ `
0٫54 = )‫(ب‬ ‫81٫0 ، ل‬ = )C( ‫ل‬ ،0٫18 = ‫س‬ `
‫ب‬ = ‫ب‬ ∪ C ` ‫ب‬ C a :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
0٫72 = ‫3س‬ = )‫(ب‬ ‫ل‬ = ) ‫ب‬ ∪ C ( ‫ ل‬
0٫72 = )‫(ب‬ ‫42٫0 ، ل‬ = )C( ‫ل‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫حيث‬ ، ‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ، ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ، C ‌
)C( ‫ل‬ ‫أوجد‬ 1
3 = )‫ب‬ ∪ C ( ‫ل‬ ، 1
25 = )‫ل(ب‬
C ⊃ ‫ب‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫ن‬‫متنافيا‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ‫كان‬ ‫إذا‬ :ً‫ال‬‫أو‬
:‫ناقد‬ ‫تفكير‬
، ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫ف‬ ، ‫ف‬ ⊃ C‫كان‬ ‫إذا‬ )C( ‫ل‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬ ‫كيف‬ ‫بين‬
3
7 = )
/
C( ‫ل‬
)C( ‫ل‬
:‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
، ‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫احتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ، }‫ج‬ ، ‫ب‬ ، C { = ‫ف‬ ‫حيث‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫ف‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
)‫ل(ج‬ ‫ أوجد‬, 5
2 = )
/
‫ب‬( ‫ل‬
)‫ب‬( ‫ل‬
، 2
3= )
/
C( ‫ل‬
)C( ‫ل‬
‫كان‬‫و‬
‫مثال‬
0٫9 ‫الرياضيات‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫نجاحه‬ ‫وإحتمال‬ ،0٫85 ‫يساوى‬ ‫الفيزياء‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫طالب‬ ‫نجاح‬ ‫إحتمال‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
: ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ 0٫8 ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫االمتحانين‬ ‫فى‬ ‫نجاحه‬ ‫وإحتمال‬
.‫فقط‬ ‫الرياضيات‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫ب‬ .‫األقل‬ ‫على‬ ‫االمتحانين‬ ‫أحد‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫أ‬
.‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫االمتحانين‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫عدم‬ ‍‫ج‬
C
‫ف‬
‫ب‬
C
‫ب‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
136

142. ‫الحل‬
‫الرياضيات‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫حدث‬ ‫ب‬ ، ‫الفيزياء‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫حدث‬ C ‫ليكن‬
0٫8 = ) ‫ب‬ ∩ C( ‫9٫0 ، ل‬ = )‫(ب‬ ‫58٫0 ، ل‬ = )C( ‫ل‬ : ‫فيكون‬
) ‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬ = ‫األقل‬ ‫على‬ ‫االمتحانين‬ ‫احد‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫احتمال‬ ‫أ‬
0٫95 = 0٫8 - 0٫9 + 0٫85 = )‫ب‬ ∩ C ( ‫ل‬ - )‫(ب‬ ‫ل‬ + )C ( ‫ل‬ =)‫ب‬ ∪ C( `
‫وعدم‬ ‫الرياضيات‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫نجاحه‬ ‫احتمال‬ ‫يعنى‬ ‫فقط‬ ‫الرياضيات‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫احتمال‬ ‫ب‬
) C - ‫ب‬ ( ‫ل‬ ‫أى‬ ‫الفيزياء‬ ‫امتحان‬ ‫فى‬ ‫نجاحه‬
0٫1 = 0٫8 - 0٫9 = )C ∩ ‫(ب‬ ‫ل‬ - )‫(ب‬ ‫ل‬ = ) C -‫ب‬ ( ‫ل‬ `
) ‫ب‬ ∩ C( ‫للحدث‬ ‫مكمل‬ ‫حدث‬ ‫وهو‬
/
) ‫ب‬ ∩ C( = ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫االمتحانين‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫نجاح‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬ ‍‫ج‬
0٫2 = 0٫8 - 1 = ) ‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ - 1=
/
)‫ب‬ ∩ C(‫ل‬ `
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫كان‬ ‫إذا‬ ،‫عملى‬ ‫واآلخر‬ ‫نظرى‬ ‫أحدهما‬ ، ‫الختبارين‬ ‫الشخص‬ ‫يتقدم‬ ‫كات‬‫الشر‬ ‫إحدى‬ ‫فى‬ ‫وظيفة‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ 1‌
0٫5 ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫االختبارين‬ ‫فى‬ ‫النجاح‬ ‫واحتمال‬ 0٫6 ‫العملى‬ ‫واالختبار‬ 0٫75 ‫النظرى‬ ‫االختبار‬ ‫فى‬ ‫النجاح‬ ‫احتمال‬
: ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ‫مرة‬ ‫ألول‬ ‫الوظيفة‬ ‫هذه‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ ‫ما‬ ‫شخص‬ ‫تقدم‬ ‫فإذا‬
‫األقل‬ ‫على‬ ‫االختبارين‬ ‫أحد‬ ‫فى‬ ‫نجاحه‬ ‫ب‬ ‫ط‬‫فق‬ ‫النظرى‬ ‫االختبار‬ ‫فى‬ ‫نجاحه‬ ‫أ‬
:‫ناقد‬ ‫تفكير‬
‫واحتمال‬،)0٫7(‫الذهاب‬‫مباراة‬‫فى‬‫فريقه‬‫فوز‬‫إحتمال‬‫بأن‬‫معه‬‫صحفى‬‫لقاء‬‫أثناء‬‫الرياضية‬‫الفرق‬‫أحد‬‫مدرب‬‫صرح‬
‫الفريق‬ ‫مدرب‬ ‫به‬ ‫صرح‬ ‫ما‬ ‫يتفق‬ ‫هل‬ )0٫5( ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫المبارتين‬ ‫فى‬ ‫فوزه‬ ‫إحتمال‬ ‫وأن‬ ، )0٫9( ‫اإلياب‬ ‫مباراة‬ ‫فى‬ ‫فريقه‬ ‫فوز‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬ ‫االحتمال‬ ‫مفهوم‬ ‫مع‬
‫المنتظم‬‫االحتمال‬‫دالة‬
‫جميع‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫منتظم‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫تسمى‬ ‫ل‬ ‫الدالة‬ ‫فإن‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫ف‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
.)‫الوقوع‬ ‫(إحتماالت‬ ‫اإلمكانات‬ ‫متساوية‬ ‫لية‬‫و‬‫األ‬ ‫األحداث‬
، )‫ن‬‫(و‬ ‫ل‬ = ...... = )3‫(و‬ ‫ل‬ = )2‫(و‬ ‫ل‬ = )1‫(و‬ ‫ل‬ ‫كان‬‫} ، و‬‫ن‬‫و‬ ........... ، 3‫و‬ ،2‫،و‬1‫و‬ { = ‫ف‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬: ‫أن‬ ‫أى‬
‫منتظم‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ‫فإن‬
: ‫أن‬ ‫الحظ‬
1
‫ن‬
= )‫ن‬‫و‬ ( ‫ل‬ = ........... = )3‫ل(و‬ = )2‫(و‬ ‫ل‬ = )1‫(و‬ ‫ل‬ -1
}‫م‬‫و‬ ........... ،3‫و‬ ،2‫و‬ ،1‫و‬ { =C ، ‫ف‬ ⊃ C ‫كان‬ ‫إذا‬ -2
)C ‫العدد‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫(م‬
‫م‬
‫ن‬
= )‫م‬‫ل(و‬ + ........... + )3‫ل(و‬ + )2‫(و‬ ‫ل‬ + )1‫(و‬ ‫ل‬ = )C( ‫فإن ل‬
C ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫إلى‬ ‫تؤدى‬ ‫التى‬ ‫النواتج‬ ‫عدد‬
‫الممكنة‬ ‫النواتج‬ ‫جميع‬ ‫عدد‬
= )C( ‫ل‬ :‫أن‬ ‫أى‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
137

143. ‫االختيار‬ ‫عملية‬ ‫فإن‬ ‫العناصر‬ ‫من‬ ‫محدود‬ ‫عدد‬ ‫بها‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫إختيار‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫عشوائية‬ ‫تجربة‬ ‫أى‬ ‫فى‬-3
‫فضاء‬ ‫نواتج‬ ‫جميع‬ ‫أن‬ ‫أى‬ ‫اإلختيار‬ ‫فى‬ ‫الفرصة‬ ‫نفس‬ ‫له‬ ‫يكون‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫يعنى‬ ‫وهذا‬ ، ‫عشوائية‬ ‫بطريقة‬ ‫تتم‬
.‫االحتمال‬ ‫متساوية‬ ‫لية‬‫و‬‫األ‬ ‫األحداث‬ ‫وجميع‬ ‫اإلمكانات‬ ‫متساوية‬ ‫العينة‬
‫مثال‬
‫إحتمال‬‫أوجد‬.‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬‫واحدة‬‫كرة‬‫سحبت‬،‫سوداء‬‫كرات‬3،‫حمراء‬‫كرات‬5،‫بيضاء‬‫كرات‬4‫يحتوى‬‫كيس‬ 1‌
. ‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬
‫سوداء‬ ‫أو‬ ‫بيضاء‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬ ‫بيضاء‬ ‫ليست‬ : ‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫ء‬‫حمرا‬ : ً‫ال‬‫أو‬
‫الحل‬
.‫سوداء‬ ‫كرة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ ‫س‬ ، ‫حمراء‬ ‫كرة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ ‫ح‬ ، ‫بيضاء‬ ‫كرة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ ‫ب‬ ‫ليكن‬
‫بيضاء‬ ‫كرات‬ 4 ‫وجود‬ ‫لكن‬‫و‬ ‫اإلختيار‬ ‫فى‬ ‫الفرصة‬ ‫نفس‬ ‫لها‬ ‫كرة‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫يعنى‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫واحدة‬ ‫كرة‬ ‫سحب‬ ‫عملية‬
‫وهكذا‬ ‫بيضاء‬ ‫كرة‬ ‫لظهور‬ ‫فرص‬ 4 ‫وجود‬ ‫يعنى‬
}‫س‬ ،‫س‬ ، ‫س‬ ، ‫ح‬ ،‫ح‬ ،‫ح‬ ، ‫ح‬ ، ‫ح‬ ، ‫ب‬ ، ‫ب‬ ، ‫ب‬ ، ‫ب‬ { = ‫ف‬ `
12 = 3 + 5 + 4 = )‫(ف‬ ‫ن‬ `
‫المجاور‬ ‫الجدول‬ ‫فى‬ ‫كما‬ ‫المسألة‬ ‫نمذجة‬ ‫ويمكن‬
3
12 = )‫(س‬ ‫ ، ل‬ 5
12 = )‫(ح‬ ‫ ، ل‬ 4
12 = )‫(ب‬ ‫ ل‬ `
5
12 = )‫(ح‬ ‫ل‬ = ‫حمراء‬ ‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ : ً‫ال‬‫أو‬
)‫(ب‬ ‫ل‬ - 1 = )
/
‫(ب‬ ‫ل‬ = ‫بيضاء‬ ‫ليست‬ ‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
2
3 = 8
12 = 4
12 - 1 =
2
3 = 8
12 =
3 + 5
12 = )
/
‫ل(ب‬ ‫أو‬
) ‫س‬ ∪ ‫ب‬ ( ‫ل‬ = ‫سوداء‬ ‫أو‬ ‫بيضاء‬ ‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
7
12 = 3
12 + 4
12 = )‫ل(س‬ + )‫(ب‬ ‫ل‬ = ) ‫س‬ ∪ ‫(ب‬ ‫ل‬ ` ‫متنافية‬ ‫إحداث‬ ‫س‬ ، ‫ب‬ a
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
، ‫ا‬ً‫ب‬‫مضر‬ 12 ، ‫ا‬ً‫قلم‬ 18 ‫بين‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫جائزته‬ ‫باختيار‬ ‫جائزة‬ ‫فسيمنح‬ ‫لة‬‫و‬‫الطا‬ ‫تنس‬ ‫مباراة‬ ‫فى‬ ‫طالب‬ ‫فاز‬ ‫إذا‬ 1‌
. ‫الجائزة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫ما‬ .‫ساعات‬ 10
.‫ا‬ً‫م‬‫قل‬ ‫ليست‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬ ‫ا‬ً‫ب‬‫مضر‬ ‫أو‬ ‫ا‬ً‫قلم‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫ساعة‬ : ً‫ال‬‫أو‬
‫الحدث‬‫ب‬‫ح‬‫س‬‫المجموع‬
‫الكرات‬ ‫عدد‬45312
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
138

144. ‫مثال‬
)‫(ص‬ ‫والصفراء‬ ،)‫(ح‬ ‫الحمراء‬ ‫منها‬ ‫مختلفة‬ ‫بألوان‬ ‫نة‬‫و‬‫والمل‬ ‫المتماثلة‬ ‫الكرات‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫به‬ ‫صندوق‬ 1‌
: ‫نها‬‫و‬‫ل‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫واحدة‬ ‫كرة‬ ‫منه‬ ‫سحبت‬ ، )‫(ز‬ ‫زرقاء‬ ‫و02كرة‬
‫؟‬‫بالصندوق‬ ‫الكرات‬ ‫كل‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ، 1
5 = )‫(ز‬ ‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫أ‬
‫؟‬ ‫الحمراء‬ ‫الكرات‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ ، 11
20 = ‫زرقاء‬ ‫أو‬ ‫حمراء‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ب‬
. ‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ‍‫ج‬
.‫صفراء‬ ‫أو‬ ‫حمراء‬ ‫ليست‬ : ‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫صفراء‬ : ً‫ال‬‫أو‬
‫الحل‬
‫متساوية‬ ‫االمكانات‬ ‫جميع‬ ` ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫الكرة‬ ‫سحب‬ a
‫كرة‬ 100 = 5 * 20 = ‫بالصندوق‬ ‫الكرات‬ ‫عدد‬ ` 1
5 =
‫الزرقاء‬ ‫الكرات‬ ‫عدد‬
‫بالصندوق‬ ‫الكرات‬ ‫عدد‬
= )‫(ز‬ ‫ل‬ a ‫أ‬
7
20 = 1
5 - 11
20 = )‫ل(ح‬ ` 11
20 = )‫ل(ز‬ + )‫(ح‬ ‫ل‬ = )‫ز‬ ∪‫ح‬ (‫ل‬ a ‫ب‬
‫كرة‬ 35 = 100 * 7
20 = ‫الحمراء‬ ‫الكرات‬ ‫عدد‬ ‫ويكون‬
‫كرة‬ 45 = ) 35 + 20( - 100 = ‫الصفراء‬ ‫الكرات‬ ‫عدد‬ ‍‫ج‬
9
20 = 45
100 = )‫(ص‬ ‫ل‬ = ‫صفراء‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫إحتمال‬ :ً‫ال‬‫أو‬
)‫ص‬ ∪ ‫(ح‬ ‫ل‬ = ‫صفراء‬ ‫أو‬ ‫حمراء‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
0٫8 = 16
20 = 9
20 + 7
20 = )‫ل(ص‬ + )‫ل(ح‬ = )‫ص‬ ∪‫ح‬ ( ‫ل‬
/
)‫ص‬ ∪ ‫ح‬ ( ‫ل‬ = ‫صفراء‬ ‫أو‬ ‫حمراء‬ ‫ليست‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫إحتمال‬ `
0٫2 = 0٫8 - 1 = ) ‫ص‬ ∪ ‫ح‬ ( ‫ل‬ - 1 = /
) ‫ص‬ ∪ ‫ح‬ ( ‫ل‬
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
‫كان‬‫و‬ ، ‫االمكانات‬ ‫متساوية‬ ‫نواتجها‬ ‫جميع‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ، C ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
‫جميع‬ ‫وعدد‬ 13 ‫يساوى‬ C ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫إلى‬ ‫تؤدى‬ ‫التى‬ ‫النواتج‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ 7
12 = )‫(ب‬ ‫ل‬ ، 5
6 = )‫ب‬∪ C( ‫ل‬
: ‫فأوجد‬ 36 ‫يساوى‬ ‫للتجربة‬ ‫الممكنة‬ ‫النواتج‬
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C‫وقوع‬ ‫احتمال‬ : ‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫ب‬ ‫و‬ C ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ : ً‫ال‬‫أو‬
‫مثال‬
: ‫اآلتية‬ ‫االحداث‬ ‫احتماالت‬ ‫احسب‬ ‫والكتابات‬ ‫الصور‬ ‫تتابع‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫متتالية‬ ‫مرات‬ ‫ثالث‬ ‫منتظمة‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫القيت‬ 1‌
.‫األقل‬ ‫على‬ ‫صورتين‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬ :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ .‫فقط‬ ‫واحدة‬ ‫صورة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ C :ً‫ال‬‫أو‬
.‫بالضبط‬ ‫صورتين‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ج‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
139

145. ‫الحل‬
‫منتظمة‬ ‫االحتمال‬ ‫دالة‬ ` ‫منتظمة‬ ‫النقود‬ ‫قطعة‬ a
، )‫ك‬ ،‫ك‬ ،‫(ص‬ ،)‫ص‬ ،‫ك‬ ،‫(ص‬ ،)‫ك‬ ،‫ص‬ ،‫(ص‬ ،)‫ص‬ ،‫ص‬ ،‫ص‬ ({ = ‫ف‬
8=)‫(ف‬‫ن‬،})‫ك‬،‫ك‬،‫(ك‬،)‫ص‬،‫ك‬،‫(ك‬،)‫ك‬،‫ص‬،‫(ك‬،)‫ص‬،‫ص‬،‫(ك‬
. ‫فقط‬ ‫واحدة‬ ‫صورة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ C a :ً‫ال‬‫أو‬
، })‫ص‬ ،‫ك‬ ،‫(ك‬ ،)‫ك‬ ،‫ص‬ ،‫(ك‬ ، )‫ك‬ ،‫ك‬ ،‫(ص‬ { = C `
3
8 = )C( ‫3 ل‬ = )C(‫ن‬
‫صور‬‫ثالث‬‫أو‬‫تان‬‫ر‬‫صو‬‫إما‬‫أى‬ ‫األقل‬‫على‬‫تين‬‫ر‬‫صو‬‫ظهور‬‫حدث‬‫ب‬a :‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬
})‫ص‬،‫ص‬،‫(ص‬،)‫ص‬،‫ص‬،‫(ك‬،)‫ص‬،‫ك‬،‫(ص‬،)‫ك‬،‫ص‬،‫ص‬({=‫ب‬`
1
2 = 4
8 = )‫(ب‬ ‫ل‬ ` 4 = )‫(ب‬ ‫ن‬ a
‫بالضبط‬ ‫صورتين‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ج‬ a :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
})‫ص‬ ،‫ص‬ ،‫(ك‬ ،)‫ص‬ ،‫ك‬ ،‫ص‬ ( ،)‫ك‬ ،‫ص‬ ،‫(ص‬ { = ‫ج‬ `
3
8 = )‫(ج‬ ‫ل‬ ` 3 = )‫(ج‬ ‫ن‬ a
‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫اآلتية‬ ‫االحتماالت‬ ‫إحسب‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫فى‬ 1‌
.‫األكثر‬ ‫على‬ ‫صورة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬ : ‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫متشابهة‬ ‫نواتج‬ ‫ثالثة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ C : ً‫ال‬‫أو‬
.‫األقل‬ ‫على‬ ‫كتابة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫د‬ :‫ا‬ً‫ع‬‫راب‬ ‫ر‬‫الصو‬ ‫من‬ ‫فردى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ج‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
.‫الكتابات‬ ‫من‬ ‫العدد‬ ‫نفس‬ ‫يساوى‬ ‫الصور‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هـ‬ :‫ا‬ ً‫خامس‬
‫مثال‬
‫هو‬ C ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫مرة‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫الظاهر‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫منتظم‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القى‬ 1‌
‫من‬ ‫أقل‬ ‫الظاهرين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫حدث‬ ‫هو‬ ‫ب‬ ‫كان‬‫و‬ ‫تين‬‫ر‬‫الم‬ ‫فى‬ ‫العدد‬ ‫نفس‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫حدث‬
)‫ب‬ - C ( ‫ل‬ ، ) ‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ ، )‫(ب‬ ‫ل‬ ، )C( ‫ ل‬ : ‫التالية‬ ‫االحتماالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫أوجد‬ ، 5 ‫يساوي‬ ‫او‬
‫الحل‬
: ‫أن‬ ‫تالحظ‬ ‫العينة‬ ‫لفضاء‬ ‫المقابل‬ ‫الهندسى‬ ‫التمثيل‬ ‫من‬
10 = )‫6 ، ن(ب‬ = )C( ‫63 ، ن‬ = )‫ن(ف‬
5
18 = 10
36 = )‫(ب‬ ‫ ، ل‬ 1
6 = 6
36 = ) C( ‫ل‬ `
‫فقط‬ ‫عنصران‬ ‫يتضمن‬ ‫ب‬ ∩ C :‫أن‬ ‫الحظ‬
1
18 = 2
36 = ) ‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ ‫ويكون‬ 2 = ) ‫ب‬ ∩ C( ‫ن‬ `
) ‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ - )C( ‫ل‬ = ) ‫ب‬ - C ( ‫ل‬ a
1
9 = 1- 3
18 = 1
18 - 1
6 = )‫ب‬ - C ( ‫ل‬ `
‫ص‬
‫ك‬
‫ص‬
‫ك‬
‫ص‬
‫ك‬
‫ص‬
‫ك‬
‫ص‬
‫ك‬
‫ص‬
‫ك‬
‫ص‬
‫ك‬
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
C
‫ب‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
140

146. ‫تحل‬ ‫أن‬ ‫حاول‬
: ‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫احتمال‬ ‫إحسب‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫فى‬ 1‌
‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬ : ‫ا‬ً‫ي‬‫ثان‬ ‫ب‬ ‫ أو‬ C ‫وقوع‬ ‫حدث‬ : ً‫ال‬‫أو‬
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬ :‫ا‬ً‫ث‬‫ثال‬
‫الثالث‬ ‫الدرس‬ ‫تمــــاريــن‬
:‫اآلتية‬ ‫التجارب‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ ‌
‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ 782596431 ‫العدد‬ ‫أرقام‬ ‫عليها‬ ‫مدون‬ ‫متماثلة‬ ‫بطاقات‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫بطاقة‬ ‫ سحب‬ ‫أ‬
.‫البطاقة‬ ‫فى‬ ‫الظاهر‬
‫يحمالن‬ ‫وجهات‬ ،2 ‫الرقم‬ ‫يحمالن‬ ‫وجهان‬ ،1 ‫الرقم‬ ‫يحمالن‬ ‫وجهان‬ ‫فيه‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫ثم‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫ القاء‬‫ب‬
.‫العلويين‬ ‫وجهيهما‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫ما‬ ‫ومالحظة‬ ،3 ‫الرقم‬
‫إحالل‬ ‫بدون‬ ‫األخرى‬ ‫بعد‬ ‫الواحدة‬ ‫تين‬‫ر‬‫ك‬ ‫سحبت‬ 3 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫ومرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫به‬ ‫ صندوق‬‍‫ج‬
.‫الكرة‬ ‫على‬ ‫المدون‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬
:‫مدرسية‬ ‫حقائب‬
‫أسود‬ ‫الحقيبة‬ ‫لون‬ ‫يكون‬ ‫وقد‬ ،‫حجمين‬ ‫بأحد‬ ‫أنواع‬ ‫ثالث‬ ‫من‬ ‫إختيارها‬ ‫ويمكنه‬ ‫حقيبة‬ ‫شراء‬ ‫فى‬ ‫طالب‬ ‫يرغب‬ ‌
.‫البيانية‬ ‫بالشجرة‬ ‫الموقف‬ ‫هذا‬ ‫فى‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫مثل‬ ، ‫بنى‬ ‫أو‬
:‫اآلتية‬ ‫االحدات‬ ‫من‬ ً‫كلا‬ ‫عين‬ ‫ثم‬ ،‫النواتج‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ ،‫الظاهران‬ ‫الوجهان‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫القيت‬ ‌
½½.»‫فقط‬ ‫واحدة‬ ‫كتابة‬ ‫«ظهور‬ C ‫الحدث‬½½.»‫متشابهة‬ ‫نواتج‬ ‫«ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬
½½.»‫األكثر‬ ‫على‬ ‫كتابة‬ ‫«ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬½½.»‫صورتين‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫«ظهور‬ ‫د‬ ‫الحدث‬
.‫العلويين‬ ‫وجهيهما‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫ما‬ ‫ومالحظة‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫ثم‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫القاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ ‌
.‫اآلتية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ً‫كلا‬ ‫عين‬ ‫ثم‬ ‫التجربة‬ ‫بهذه‬ ‫تبطة‬‫ر‬‫الم‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ ‫أ‬
½½.»‫فردى‬ ‫وعدد‬ ‫صورة‬ ‫«ظهور‬ C ‫الحدث‬½½.»‫زوجى‬ ‫وعدد‬ ‫كتابة‬ ‫«ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬
½½.»‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫«ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬½½.»3 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫عدد‬ ‫«ظهور‬ ‫د‬ ‫الحدث‬
.‫عناصرها‬ ‫اكتب‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫المجموعات‬ ‫بلغة‬ ‫عبر‬ ‫ب‬
½½.‫ب‬ ‫ أو‬C ‫وقوع‬ ‫حدث‬½½.‫ج‬ ‫و‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫حدث‬½½.‫د‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫حدث‬
.‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫الظاهر‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ ‌
:‫التالية‬ ‫األحداث‬ ‫من‬ ً‫كلا‬ ‫عين‬ ‫أ‬
½½.»‫متساويين‬ ‫عددين‬ ‫«ظهور‬ C ‫الحدث‬½½.»9 ‫مجموعهما‬ ‫عددين‬ ‫«ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬
½½.»13 ‫مجموعهما‬ ‫عددين‬ ‫«ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬½½.»‫األقل‬‫على‬‫واحدة‬‫مرة‬3‫العدد‬‫«ظهور‬‫د‬‫الحدث‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
141

147. .‫مثنى‬ ‫مثنى‬ ‫متنافيه‬ ‫السابقة‬ ‫االحداث‬ ‫أى‬ ‫ب‬
.‫منها‬ ‫كل‬ ‫عين‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫عن‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫لفظ‬ ‫عبر‬ ‍‫ج‬
/
‫ج‬ ∩ ‫ب‬ ، C - ‫د‬ ، ‫د‬ ∩ C ، ‫ب‬ ∪ C ،
/
‫ج‬ ،
/
C
13 ،12 ،11 ،10 ،9 ،8 ‫االعداد‬ ‫أوجهه‬ ‫على‬ ‫كتب‬ ‫منتظم‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القى‬ ‌
:‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫احتمال‬ ‫احسب‬ ‫أ‬
½½.‫فردى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ C½½.‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬
½½.‫زوجى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ج‬½½.12 ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫د‬
½½.‫رقمين‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫هـ‬½½.‫واحد‬ ‫رقم‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫و‬
.)‫د‬ ∩ ‫ل(ب‬ ، ، )‫و‬ ∪ ‫ل(هـ‬ ، )‫ج‬ ∪ C(‫ل‬ :‫احسب‬ ‫ب‬
:‫أوجد‬ ،‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ }‫د‬ ،‫ج‬ ،‫ب‬ ، C{ = ‫ف‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
7
18 = )‫ل(د‬ = )‫ل(ج‬ ،)‫ل(ب‬ 3 = )C( ‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ، )‫ل(ب‬ ، )C(‫ل‬
:‫كان‬‫و‬ ،‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫متنافيين‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
.)‫ل(ب‬ ،)C(‫ل‬ ‫أحسب‬ 0٫25 = )‫ب‬ - C( ‫ل‬ ،0٫6 = )‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬
:‫كان‬‫و‬ ‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
:‫أوجد‬ 1
4 = )‫ب‬ ∩ C(‫ل‬ ، 3
8 = )‫ل(ب‬ ،1
3 = )C(‫ل‬
)‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ ‫ب‬ )
/
C(‫ل‬ ‫أ‬
)/
‫ب‬ ∩
/
C(‫ل‬ ‫د‬ )‫ب‬ - C(‫ل‬ ‍‫ج‬
:‫حيث‬ ‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
:‫احتمال‬ ‫2٫0 إحسب‬ = )‫ب‬ ∩ C(‫ل‬ ، )‫3ل(ب‬ = )
/
‫ل(ب‬ ، 0.4 = )C(‫ل‬
.‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫ب‬ .‫فقط‬ C ‫وقوع‬ ‫أ‬
.‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‍‫ج‬
‫احسب‬ .‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫واحدة‬ ‫كرة‬ ‫منه‬ ‫سحبت‬ ‫صفراء‬ 5 ،‫زرقاء‬ 6 ،‫حمراء‬ 4 ‫منها‬ ‫نه‬‫و‬‫ومل‬ ‫متماثلة‬ ‫كرات‬ ‫به‬ ‫صندوق‬ 1‌
:‫المسحوبة‬ ‫الكرة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬
‫صفراء‬ ‫أو‬ ‫زرقاء‬ ‫ب‬ ‫حمراء‬ ‫أ‬
‫صفراء‬‫ال‬‫و‬‫حمراء‬‫ليست‬ ‫د‬ ‫زرقاء‬ ‫ليست‬ ‍‫ج‬
.‫عليها‬‫المدون‬‫العدد‬‫لوحظ‬‫و‬‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬‫واحدة‬‫بطاقة‬‫منها‬‫سحبت‬30‫إلى‬1‫من‬‫ومرقمة‬‫متماثلة‬‫بطاقات‬‫مجموعة‬ 1‌
:‫تحمل‬ ‫المسحوبة‬ ‫البطاقة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫احسب‬
5 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‫ب‬ 3 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‫أ‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
142

148. 5 ‫أو‬ 3 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‫د‬ 5 ‫و‬ 3 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‍‫ج‬
:‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫احتمال‬ ‫احسب‬ .‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫متمايزة‬ ‫نقود‬ ‫قطع‬ ‫ثالث‬ ‫القيت‬ 1‌
½½.‫صورتين‬ ‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫صورة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ C½½.‫األقل‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫صورة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬
½½.‫صور‬ ‫ثالث‬ ‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫صورة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ج‬½½.‫االقل‬ ‫على‬ ‫متتاليتين‬ ‫كتابتين‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫د‬
‫احتمال‬ ‫احسب‬ ،‫مرة‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ 1‌
:‫التالية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬
½½.‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫الرمية‬ ‫فى‬ 4 ‫العدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬½½8 ‫يساوى‬ ‫الرميتين‬ ‫فى‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫حدث‬
½½5 ‫عن‬ ‫اليزيد‬ ‫الرميتين‬ ‫فى‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫حدث‬
،‫الهالل‬ ‫نادى‬ ‫يشجع‬ ‫منهم‬ ‫ا‬ ً‫شخص‬ 40 ‫أن‬ ‫وجد‬ ،‫للرأى‬ ‫استطالع‬ ‫شملهم‬ ‫ا‬ ً‫شخص‬ 60 ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫عشوائية‬ ‫عينة‬ 1‌
.‫الناديين‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫أ‬ ‫اليشجعون‬ ‫أشخاص‬ 8 ‫وأن‬ ،‫النجمة‬ ‫نادى‬ ‫يشجع‬ ‫ا‬ ً‫شخص‬ 28
:‫مشجعى‬ ‫من‬ ‫المختار‬ ‫الشخص‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫فما‬ ‫العينة‬ ‫أفراد‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫شخص‬ ‫إختير‬ ‫إذا‬
.‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الناديين‬ ‫ب‬ .‫األقل‬ ‫على‬ ‫الناديين‬ ‫أحد‬ ‫أ‬
.‫فقط‬ ‫الناديين‬ ‫أحد‬ ‫د‬ .‫فقط‬ ‫الهالل‬ ‫نادى‬ ‍‫ج‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬
‫لامتحالا‬3
‫الدرس‬
143

149. ‫الوحدة‬‫ملخ�ص‬
‫واالوراق‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫البيانات‬ ‫تمثيل‬ 1
‫بالرمز‬‫له‬‫ويرمز‬‫القيم‬‫أرباع‬‫ثالثة‬‫عنها‬‫ويزيد‬‫القيم‬‫ربع‬‫عنها‬‫تقل‬‫التى‬‫العددية‬‫القيمة‬‫هو‬:)‫(األول‬ ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ 2
)1S(
‫بالرمز‬‫له‬‫ويرمز‬‫القيم‬‫ربع‬‫عنها‬‫وتزيد‬‫القيم‬‫أرباع‬‫ثالثة‬‫عنها‬‫تقل‬‫التى‬‫العددية‬‫القيمة‬‫هو‬:)‫(الثالث‬ ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ 3
)3S(
‫حيث‬ ‫المتطرفة‬ ‫بالقيم‬ ‫يتأثر‬ ‫ال‬ ‫التشتت‬ ‫مقاييس‬ ‫أحد‬ ‫هو‬ :‫الربيعى‬ ‫المدى‬ 4
1S - 3S = ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ - ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ = ‫الربيعى‬ ‫المدى‬
.‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بطريقة‬ ‫ممثلة‬ ‫لبيانات‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ، ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ، ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ ، ‫الوسيط‬ ‫استناج‬ 5
‫أن‬ ‫نستطيع‬ ‫ال‬ ‫لكننا‬‫و‬ ‫إجرائها‬ ‫قبل‬ ‫لها‬ ‫الممكنة‬ ‫النواتج‬ ‫جميع‬ ‫معرفة‬ ‫يمكن‬ ‫تجربة‬ ‫كل‬ ‫هى‬ :‫العشواذية‬ ‫التجربة‬ 6
.‫إجرائها‬ ‫عند‬ ً‫فعلا‬ ‫سيتحقق‬ ‫النواتج‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫أ‬ ‫مؤكدة‬ ‫بصفة‬ ‫نحدد‬
‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫الممكنة‬ ‫النواتج‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ :)‫النواتج‬ ‫(فضاء‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ 7
‫ف‬ ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬
‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ : ‫الحدث‬ 8
‫فقط‬ ‫ا‬ً‫واحد‬ ‫ا‬ً‫عنصر‬ ‫تحوى‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ :)‫(أولى‬ ‫بسيط‬ ‫حدث‬ 9
.‫ب‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫هى‬ ‫عناصره‬ ‫الذى‬ ‫الحدث‬ ‫هو‬ : ‫مؤكد‬ ‫حدث‬ 10
z ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫عنصر‬ ‫أى‬ ‫من‬ ‫الخالى‬ ‫الحدث‬ ‫هو‬ :‫مستحيل‬ ‫حدث‬ 11
‫الفرق‬ - ‫االكمال‬ - ‫االتحاد‬ - ‫التقاطع‬ :‫االحداث‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ 12
‫المتنافية‬ ‫االحداث‬ 13
½½z = ‫ب‬ ∩ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫متنافيان‬ ‫ب‬ ،C ‫الحدثين‬ ‫أن‬ ‫يقال‬
½½‫مثنى‬ ‫مثنى‬ ‫متنافية‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫وفقط‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫متنافية‬ ‫أنها‬ ‫أحداث‬ ‫لعدة‬ ‫يقال‬
‫االحتمال‬ ‫مسلمات‬ 13
½½1 H )C(‫ل‬ H 0 : ‫حيث‬ ‫ل‬ ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫يرمز‬ C ‫الحدث‬ ‫احتمال‬ ‫يسمى‬ ‫حقيقى‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫ف‬ ⊂ C ‫حدث‬ ‫لكل‬
½½1 = )‫ل(ف‬
½½)‫ل(ب‬ + )C(‫ل‬ = )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ :‫فإن‬ ‫متنافيين‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬‫و‬ ‫ف‬ ⊂ ‫ب‬ ،‫ف‬ ⊂ C ‫كان‬ ‫إذا‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
144

150. :)‫ف‬ ⊂ ‫ب‬ ،‫ب‬ ⊂ C( ‫واحتماالتها‬ ‫ڤن‬ ‫بشكل‬ ‫وتمثيلها‬ ‫اللفظية‬ ‫بالصورة‬ ‫األحداث‬ 14
‫لفظية‬ ‫صورة‬ ‫فى‬ ‫الحدث‬‫ڤن‬ ‫بشكل‬ ‫الحدث‬ ‫تمثيل‬‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬
C ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬
C
‫ف‬
C
)C(‫ل‬ - 1 = )
/
C(‫ل‬
‫أحدهما‬ ‫(وقوع‬ ‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬
)‫األقل‬ ‫على‬C
‫ف‬
‫ب‬
‫ب‬ ∪ C
)‫ب‬ ∩ C (‫ل‬ - )‫ل(ب‬ + )C(‫ل‬ = )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬
)‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫(وقوعهما‬ ‫ب‬ ‫و‬ C ‫وقوع‬
C
‫ف‬
‫ب‬
‫ب‬ ∩ C
)‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ - )‫ل(ب‬ + )C(‫ل‬ = )‫ب‬ ∩ C(‫ل‬
‫فقط‬ C ‫الحدث‬ ‫وقوع‬
)‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫(وقوع‬C
‫ف‬
‫ب‬
) ‫ب‬ ∩ C ( - C =
/
‫ب‬ ∩C = ‫-ب‬ C
)
/
‫ب‬ ∩ C (‫ل‬ = )‫ب‬ ∩ C (‫ل‬ - )C(‫ل‬ = )‫ب‬ - C(‫ل‬
‫فقط‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬
)‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫أو‬ ‫فقط‬ C ‫(وقوع‬C
‫ف‬
‫ب‬
)C - ‫(ب‬ ∪ )‫ب‬ - C (
))C - ‫(ب‬ ∪ )‫ب‬ - C ((‫ل‬
) C - ‫ب‬ (‫ل‬ + )‫ب‬ - C (‫ل‬ =
)‫ب‬ ∩ C (‫ل‬ - )‫ب‬ ∪ C (‫ل‬ =
‫الحدثين‬ ‫من‬ ‫أى‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬
)‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫(عدم‬C
‫ف‬
‫ب‬
/
‫ب‬ ∩
/
C =
/
)‫ب‬ ∪ C(
)‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬ - 1 = )/
‫ب‬ ∩
/
C(‫ل‬ =
/
)‫ب‬ ∪ C (‫ل‬
‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬
)‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫(عدم‬
/
‫ب‬ ∪
/
C =
/
)‫ب‬ ∩ C(
C
‫ف‬
‫ب‬
)‫ب‬ ∩ C(‫ل‬ - 1 = )
/
‫ب‬ ∪
/
C(‫ل‬ =
/
)‫ب‬ ∩ C(‫ل‬
‫فقط‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬
)C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أو‬ ‫ب‬ ‫(وقوع‬C
‫ف‬
‫ب‬
/
C ∪ ‫ب‬ =
/
)‫ب‬ - C (
)
/
C ∪ ‫(ب‬ ‫ل‬ = )‫ب‬ - C(‫ل‬ - 1 =
/
)‫ب‬ - C (‫ل‬
)
/
C ∪ ‫(ب‬ ‫ل‬ =
/
)
/
‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ =
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬145
�����������

151. )‫الرابعة‬ ‫(الوحدة‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫للبيانات‬ ‫المناسب‬ ‫المفتاح‬ ‫باختيار‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫اآلتية‬ ‫البيانات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫كل‬ ‫مثل‬ ‌
:‫منها‬ ‫لكل‬ ‫الوسيط‬
:‫بالسنتميترات‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫أطوال‬ ‫أ‬
163170188172165161184181
191162175161185172165
:‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫الزراعية‬ ‫المحاصيل‬ ‫بعض‬ ‫عبوات‬ ‫أوزان‬ ‫ب‬
9٫413٫31214٫110٫29٫611٫314٫411٫59٫6
:‫جنية‬ ‫بالمليون‬ ‫المتاجر‬ ‫ألحد‬ ‫الشهرية‬ ‫المبيعات‬ ‍‫ج‬
2٫2521٫972٫52٫292٫52٫162٫21
2٫091٫952٫051٫99
:‫اآلتية‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخططات‬ ‫لبيانات‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ - ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ - ‫االدنى‬ ‫الربيع‬ - ‫الوسيط‬ ‫أوجد‬ ‌
‫أ‬‫بالدقائق‬ ‫الرحلة‬ ‫زمن‬‫ب‬‫الجنيهات‬ ‫بآالف‬ ‫المبيعات‬‍‫ج‬‫بالجرام‬ ‫الذهب‬ ‫وزن‬
‫ األوراق‬ 42 = 4|2‫الساق‬‫ األوراق‬ 4٫7 = 4|7‫الساق‬‫ األوراق‬ 2٫43 = 24|3‫الساق‬
2 1 2 547 6 8 8 642 3 122
7 3 650 2 3 156 522
067 554 0 423
6 4 6 271 2 1 369 7 7 5 623
5 1 58963 2 124
:‫ناقد‬ ‫تفكير‬
:‫الربيعى‬ ‫المدى‬ - ‫الوسيط‬ ‫قيمة‬ ‫استنتج‬ ‫ثم‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫تمثيل‬ ‫يمكن‬ ‫كيف‬ ‫بين‬ ‌
900750770850860780810920
680820780950
:‫الجنيهات‬ ‫بآالف‬ ‫مقدره‬ ‫ب‬ ،C ‫فرعيها‬ ‫فى‬ ‫الشهيرة‬ ‫المطاعم‬ ‫ألحد‬ ‫اليومية‬ ‫المبيعات‬ ‫اآلتية‬ ‫البيانات‬ ‫توضح‬ ‌
C ‫فرع‬213220281418251417241622
‫ب‬ ‫فرع‬362318342428272111161413
.‫لظهر‬ ‫ا‬ً‫ظهر‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫أ‬
.‫بينهما‬ ‫وقارن‬ ‫الفرعين‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الوسيط‬ ‫استنتج‬ ‫ب‬
.‫ا‬ ً‫تجانس‬ ‫أكثر‬ ‫البيانات‬ ‫أى‬ ‫بين‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫باستخدام‬ ‍‫ج‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
146

152. ‫لهذه‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫اكتب‬ E ،‫جـ‬ ،‫ب‬ ،C ‫االحرف‬ ‫عليها‬ ‫كتبت‬ ‫بطاقات‬ ‫أربع‬ ‫به‬ ‫كيس‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫بطاقتان‬ ‫سحبت‬ ‌
:‫اآلتية‬ ‫الحاالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫التجربة‬
.‫االحالل‬ ‫مع‬ ‫اآلخرى‬ ‫بعد‬ ‫واحدة‬ ‫البطاقتان‬ ‫سحبت‬ ‫أ‬
.‫إحالل‬ ‫دون‬ ‫األخرى‬ ‫بعد‬ ‫واحدة‬ ‫البطاقاتان‬ ‫سحبت‬ ‫ب‬
:‫مطاعم‬
‫ب‬ ،C ‫نوعين‬ ‫من‬ ‫إختيارها‬ ‫يمكن‬ ،‫عصائر‬ - ‫مقبالت‬ - ‫رئيس‬ ‫طبق‬ ‫من‬ ‫نة‬‫و‬‫مك‬ ‫كاملة‬ ‫وجبات‬ ‫المطاعم‬ ‫أحد‬ ‫يقدم‬ ‌
‫لتتابع‬ ‫البيانية‬ ‫الشجرة‬ ‫إرسم‬ ،‫ص‬ ، ‫س‬ ‫العصائر‬ ‫من‬ ‫نوعين‬‫و‬ ‫هـ‬ ،E ،‫جـ‬ ‫المقبالت‬ ‫من‬ ‫أنواع‬ ‫وثالثة‬ ،‫ئيس‬‫ر‬‫ال‬ ‫للطبق‬
.‫المطعم‬ ‫هذا‬ ‫يقدمها‬ ‫التى‬ ‫الكاملة‬ ‫الوجبات‬ ‫عدد‬ ‫واكتب‬ ‫االختيار‬ ‫عملية‬
:‫هندسة‬
‫ضلعان‬ ‫فيه‬ ‫واآلخر‬ ‫متعامدان‬ ‫قطراه‬ ‫األول‬ ،‫عشوائية‬ ‫بصورة‬ ‫رباعيين‬ ‫شكلين‬ ‫رسم‬ ‫طالبه‬ ‫من‬ ‫معلم‬ ‫طلب‬ ‌
.‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫نواتج‬ ‫عدد‬ ‫اذكر‬ ‫ثم‬ ،‫الهندسية‬ ‫والصورة‬ ‫البيانية‬ ‫بالشجرة‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫مثل‬ .‫األقل‬ ‫على‬ ‫متوازيان‬
:‫ناقد‬ ‫تفكير‬
‫األخرى‬ ‫تلو‬ ‫الواحدة‬ ‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫منه‬ ‫سحبت‬ 5 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫ومرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫كرات‬ 5 ‫يحتوى‬ ‫صندوق‬ ‌
‫؟‬‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫ما‬ .‫إحالل‬ ‫بدون‬
‫؟‬‫عندئذ‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫فما‬ ‫متماثلة‬ ‫كره‬ ‫ن‬ ‫الصندوق‬ ‫فى‬ ‫كان‬ ‫وإذا‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ ‫حساب‬ ‫فى‬ ‫التباديل‬ ‫استخدام‬ ‫يمكن‬ ‫هل‬
:‫الدوار‬ ‫القرص‬
‫الموضح‬ ‫الدوار‬ ‫القرص‬ ‫الالعب‬ ‫فيدير‬ ،‫الدوار‬ ‫القرص‬ ‫لعبة‬ ‫ويوسف‬ ‫أحمد‬ ‫يلعب‬ ‌
‫المجموع‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫مرة‬ ‫كل‬ ‫المؤشر‬ ‫عليه‬ ‫يتوقف‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ويالحظ‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫بالشكل‬
‫فوز‬ ‫إحتمال‬ ‫احسب‬ .‫يوسف‬ ‫يكسب‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫زوج‬ ‫المجموع‬ ‫كان‬ ‫وإذا‬ ‫أحمد‬ ‫يكسب‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫فرد‬
.‫إجابتك‬ ‫فسر‬ ‫؟‬‫عادلة‬ ‫اللعبة‬ ‫هل‬ .‫أحمد‬
.‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
:‫يأتى‬ ‫فيما‬ ‫صحيحة‬ ‫العبارة‬ ‫لتكون‬ ‫أكمل‬
:‫متنافيين‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫أ‬
½½............................................. = ‫ب‬ ∩ C½½............................................ = ‫ب‬ - C½½...................................................... = C - ‫ب‬
:‫فإن‬ C ⊂ ‫ب‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫ب‬
½½................................. = )‫ب‬ ∩ C(½½........................................ = ‫ب‬ ∪ C½½..................................................... = C - ‫ب‬
:‫فإن‬ 0٫1 = )‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ ، 0٫5 = )‫ل(ب‬ ، 0.3 = )C(‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‍‫ج‬
½½................................ = )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬½½................................. = )C - ‫ل(ب‬½½................................. = )
/
‫ب‬ ∩
/
C(‫ل‬
2
1
3
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬147
)‫الرابعة‬‫(الوحدة‬‫عامة‬‫متارين‬

153. :‫فإن‬ 0٫4 = )
/
‫ل(ب‬ ،0.7 = )
/
C(‫ل‬ ، z = ‫ب‬ ∩ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫د‬
½½................................. = )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬½½................................. = )‫ب‬ ∩ C(‫ل‬½½................................. = )‫ب‬ - C(‫ل‬
‫كان‬‫و‬ ،‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫احتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
.‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫إحتمال‬ ‫احسب‬ .0٫2 = ‫فقط‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫احتمال‬ ،1
2 = )C(‫ل‬ ، ‫ب‬ ⊂ C
‫كان‬‫و‬ ،‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
1
3 = /)‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ ،‫س‬ = )‫ل(ب‬ ، ،1
2 = )C(‫ل‬
:‫كان‬ ‫إذا‬ ‫س‬ ‫قيمة‬ ‫أوجد‬ ‫أ‬
½½.‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ،C½½.‫ب‬ ⊂ C
.)‫ب‬ ∩ C(‫ل‬ ‫فأوجد‬ 1
4 = ‫س‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ب‬
‫ومثلها‬ ،‫اآلتية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رمز‬ ‫ا‬ً‫تعبير‬ ‫اعط‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ 1‌
:‫ڤن‬ ‫بشكل‬
.‫ب‬ ‫أو‬ C ‫الحدثين‬ ‫أى‬ ‫وقوع‬ ‫ب‬ .C ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أ‬
.‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫د‬ .‫فقط‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ‫وقوع‬ ‍‫ج‬
.‫فقط‬ ‫أحدهما‬ ‫وقوع‬ ‫و‬ .‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الحدثين‬ ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‍‫ه‬
‫لهذه‬‫العينة‬‫فضاء‬‫مثل‬‫والكتابات‬‫الصور‬‫تتابع‬‫ومالحظة‬‫متتالية‬‫مرات‬‫ثالث‬‫منتظمة‬‫نقود‬‫قطعة‬‫القاء‬‫تجربة‬‫فى‬ 1‌
:‫التالية‬ ‫األحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫إحتمال‬ ‫احسب‬ ‫ثم‬ ،‫البيانية‬ ‫بالشجرة‬ ‫التجربة‬
.»‫األكثر‬ ‫على‬ ‫صورتين‬ ‫«ظهور‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ‫ب‬ .»‫فقط‬ ‫صورتين‬ ‫«ظهور‬ C ‫الحدث‬ ‫أ‬
.»‫الثالث‬ ‫الرميات‬ ‫ناتج‬ ‫«تشابه‬ ‫د‬ ‫الحدث‬ ‫د‬ .»‫االكثر‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫كتابة‬ ‫«ظهور‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬ ‍‫ج‬
.‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ 1‌
:‫اآلتية‬ ‫األحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عليه‬ ‫ا‬ً‫موضح‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫يمثل‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫هندس‬ ً‫شكلا‬ ‫ارسم‬ ‫أ‬
½½.»6 ‫من‬ ‫وأكبر‬ ‫فردى‬ ‫مجموعهم‬ ‫عددين‬ ‫على‬ ‫«الحصول‬ C ‫الحدث‬
½½.»5 H ‫ومجموعها‬ 2 ‫أحدهما‬ ‫عددين‬ ‫على‬ ‫«الحصول‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬
½½.»‫متساويين‬ ‫عددين‬ ‫على‬ ‫«الحصول‬ ‫ج‬ ‫الحدث‬
.‫ا‬ً‫ي‬‫تبادل‬ ‫متنافية‬ ‫ج‬ ،‫ب‬ ،C ‫االحداث‬ ‫أى‬ ‫ب‬
:‫اآلتية‬ ‫االحتماالت‬ ‫احسب‬ ‍‫ج‬
½½.)‫ج‬ - ‫ ، ل(ب‬
/
)‫ج‬ ∪ C(‫ج) ، ل‬ ∩ ‫ب) ، ل(ب‬ ∪ C(‫ل‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
148

154. ‫الرقم‬ ‫ومالحظة‬ ‫إحالل‬ ‫بدون‬ ‫اآلخرى‬ ‫بعد‬ ‫الواحدة‬ ‫بطاقتين‬ ‫سحبت‬ 6 ‫إلى‬ 2 ‫من‬ ‫مرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫بطاقات‬ ‫خمسة‬ 1‌
:‫احتمال‬ ‫أوجد‬ .‫الرقمين‬ ‫ذات‬ ‫الممكنة‬ ‫األعداد‬ ‫جميع‬ ‫لتكوين‬ ‫عليها‬ ‫المسجل‬
.‫ا‬ً‫ي‬‫فرد‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‫العشرات‬ ‫رقم‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫ب‬ .‫ا‬ً‫ي‬‫ل‬‫و‬‫أ‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‫االحاد‬ ‫رقم‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫أ‬
.‫ا‬ً‫ي‬‫فرد‬ ‫عدد‬ ‫العشرات‬ ‫رقم‬ ‫أو‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫ل‬‫و‬‫أ‬ ‫ا‬ً‫د‬‫عد‬ ‫االحاد‬ ‫رقم‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‍‫ج‬
:‫صحف‬
‫يقرأون‬ ‫أشخاص‬ 9 ،‫ب‬ ‫الصحيفة‬ ‫يقرأون‬ 24 ،C ‫الصحيفة‬ ‫يقرأون‬ ‫ا‬ ً‫شخص‬ 27 ‫أن‬ ‫وجد‬ ‫ا‬ ً‫شخص‬ 50 ‫من‬ ‫عينة‬ ‫فى‬ 1‌
‫المختار‬ ‫الشخص‬ ‫يقرأ‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫أوجد‬ .‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫العينة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫واحد‬ ‫ا‬ ً‫شخص‬ ‫إختير‬ .‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫الصحيفتين‬
.‫األقل‬ ‫على‬ ‫الصحيفتين‬ ‫إحدى‬ ‫ب‬ .‫فقط‬ C ‫الصحيفة‬ ‫أ‬
:‫سياحة‬
‫والضوء‬ ‫الصوت‬ ‫مشروع‬ ‫عروض‬ ‫أحد‬ ‫فى‬ 1‌
‫مختلفة‬‫جنسيات‬‫من‬‫شخص‬200‫حضر‬‫بالهرم‬
‫إختير‬ ‫فإذا‬ ، ‫اآلتى‬ ‫بالجدول‬ ‫موضح‬ ‫بيانهم‬
‫بطاقات‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫الحاضرين‬ ‫أحد‬
.‫تذكارية‬ ‫جائزة‬ ‫لمنحه‬ ‫بهم‬ ‫الخاصة‬ ‫الدخول‬
‫المختار‬ ‫الشخص‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫أحتمال‬ ‫أوجد‬
.‫امريكية‬ ‫سيدة‬ ‫ب‬ .‫أوربى‬ ‫رجل‬ ‫أ‬
.‫أوربية‬ ‫أو‬ ‫عربية‬ ‫جنسية‬ ‫ذو‬ ‫د‬ .‫سيدة‬ ‍‫ج‬
‫عربى‬‫اوربى‬‫امريكى‬‫المجموع‬
‫رجل‬32471594
‫سيدة‬236320106
‫المجموع‬5511035200
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬149
)‫الرابعة‬‫(الوحدة‬‫عامة‬‫متارين‬

155. ‫تراكمى‬ ‫اختبار‬
:‫المعطاه‬‫إجابات‬‫ال‬‫بين‬‫من‬‫ال�صحيحة‬‫االجابة‬‫إختر‬�
:‫يساوى‬ ‫الوسيط‬ ‫المقابل‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫فى‬ ‌
65 ‫ب‬ 4 ‫أ‬
74 ‫د‬ 64 ‍‫ج‬
‫يساوى‬ )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ :‫فإن‬ ‫ب‬ ⊂ C ‫كان‬‫و‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫ف‬ ‫حيث‬ ‫ف‬ ⊂ ‫ب‬ ،‫ف‬ ⊂ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
)C - ‫ل(ب‬ ‫د‬ )‫ل(ب‬ ‍‫ج‬ )C(‫ل‬ ‫ب‬ )‫ل(ب‬ + )C(‫ل‬ ‫أ‬
3
4 = )/
C(‫ل‬
)C(‫ل‬
‫كان‬‫و‬ ،‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمالية‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫ف‬ ‫حيث‬ ‫ف‬ ⊂ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
‫يساوى‬ )C( ‫ل‬ ‫فإن‬
3
10 ‫د‬ 4
7 ‍‫ج‬ 3
7 ‫ب‬ 4
3 ‫أ‬
‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫له‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫الظاهر‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ 6 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫مرقم‬ ‫منتظم‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القى‬ ‌
‫يساوى‬ )‫ب‬ ∩ C(‫ل‬ ‫فإن‬ ،‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫هو‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ،‫فردى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫هو‬ C ‫الحدث‬
2
3 ‫د‬ 1
2 ‍‫ج‬ 1
3 ‫ب‬ 1
6 ‫أ‬
:‫ق�صيرة‬‫إجابات‬�‫ذات‬‫ا�سئلة‬
‫أحد‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫درجات‬ ‫المقابل‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫مخطط‬ ‫يمثل‬ ‌
:‫أوجد‬ ‫االختبارات‬
.‫الوسيطية‬ ‫والدرجة‬ ‫المجموعة‬ ‫هذه‬ ‫طالب‬ ‫عدد‬ ‫أ‬
.‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ،‫األعلى‬ ‫والربيع‬ ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ‫ب‬
،‫إيطاليا‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫سائح‬ 17 ،‫روسيا‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫سائح‬ 19 ‫من‬ ‫مكون‬ ‫سياحى‬ ‫فوج‬ ‌
:‫السائح‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫احسب‬ ،‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫أحدهم‬ ‫إختير‬ ،‫نسا‬‫ر‬‫ف‬ ‫من‬ ‫ا‬ً‫سائح‬ 14
.‫نسا‬‫ر‬‫ف‬ ‫من‬ ‫ليس‬ ‫ب‬ .‫نسا‬‫ر‬‫ف‬ ‫من‬ ‫أو‬ ‫روسيا‬ ‫من‬ ‫أ‬
.‫لندا‬‫و‬‫ه‬ ‫من‬ ‫د‬ .‫أوربا‬ ‫من‬ ‍‫ج‬
‫عام‬‫مدير‬‫حضور‬‫وإحتمال‬،0٫8‫المحافظ‬‫حضور‬‫احتمال‬‫كان‬‫إذا‬،‫طالبها‬‫أوائل‬‫بتكريم‬‫المدرسة‬‫احتفال‬‫فى‬ ‌
:‫أوجد‬ 0٫75 ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫حضورهما‬ ‫وإحتمال‬ 0٫9 ‫التعليم‬
.‫األقل‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫حضور‬ ‫إحتمال‬ ‫ب‬ .‫فقط‬ ‫المحافظ‬ ‫حضور‬ ‫إحتمال‬ ‫أ‬
.‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫حضورهما‬ ‫عدم‬ ‫احتمال‬ ‍‫ج‬
‫األوراق‬‫الساق‬
3 15
2 4 4 6 86
0 1 47
53 = 5|3
‫األوراق‬‫الساق‬
1 2 22
7 72
03
5 8 93
1 14
6 7 8 94
‫درجة‬ 38 = 3|8
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬
‫ءاصحالا‬ ‫لامتحالاو‬
150

156. :‫طويلة‬‫إجابات‬�‫ذات‬‫ا�سئلة‬
.‫جرام‬ ‫بالكيلو‬ ‫النوادى‬ ‫أحد‬ ‫فى‬ ‫القدم‬ ‫لكرة‬ ‫ب‬ ،C ‫الفريقين‬ ‫العبى‬ ‫أوزان‬ ‫التالى‬ ‫الجدول‬ ‫يبين‬ ‌
‫بمخطط‬ ‫البيانات‬ ‫هذه‬ ‫ مثل‬ ‫أ‬
.‫لظهر‬ ‫ا‬ً‫ظهر‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬
‫لكال‬ ‫الوسيط‬ ‫الوزن‬ ‫ استنتج‬‫ب‬
.‫بينهما‬ ‫وقارن‬ ‫الفريقين‬
‫بين‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫ باستخدام‬‍‫ج‬
.‫ا‬ ً‫تجانس‬ ‫اكثر‬ ‫الفريقيين‬ ‫أى‬
‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫مثل‬ ،‫مرة‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫الظاهر‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫منتظم‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫القى‬ ‌
:‫احتمال‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫هندسية‬ ‫بطريقة‬
.»‫األقل‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫مرة‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ 2 ‫العدد‬ ‫«ظهور‬ C ‫الحدث‬ ‫أ‬
.»6 ‫هو‬ ‫الرميتين‬ ‫فى‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬ ‫الظاهرين‬ ‫العددين‬ ‫«مجموع‬ ‫ب‬ ‫الحدث‬ ‫ب‬
.‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‍‫ج‬
.‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫إحتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ،‫ف‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ف‬ ‫العينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C 1‌
:‫اآلتية‬ ‫االحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫إحتمال‬ ‫أوجد‬ ،0٫9 = )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ ، 0٫3 = )
/
‫ل(ب‬ ،0٫6 = )C(‫ل‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬
‫فقط‬ ‫ب‬ ‫أو‬ ‫فقط‬ C ‫وقوع‬ ‍‫ج‬ ‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫ووقع‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫و‬ C ‫وقوع‬ ‫أ‬
‫رقم‬ ‫السؤال‬ ‫حل‬ ‫تستطع‬ ‫لم‬ ‫إذا‬12345678910
‫إلى‬ ‫ارجع‬2-43-43-43-42-43-43-4
1-4
2-4
3-43-4
C ‫الفريق‬
7369657988
8677737790
6973667491
‫ب‬ ‫الفريق‬
8673848769
7266677481
7864716373
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬151
‫تراكمى‬‫اختبار‬

157. ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ل‬‫األو‬ ‫االختبار‬
:‫التالية‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
....................................................................................... = I ‫محصلتها‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ c60 ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ 12 ، 8 ‫مقدارها‬ ‫قوتان‬ ‌
................................................ = ‫منها‬ ‫قوتين‬ ‫أى‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫فإن‬ ‫نة‬‫ز‬‫ومت‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫المقدار‬ ‫متساوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‌
‫م/ث‬ .................................................... = ‫441كم/س‬ ‌
....................................................................................................................................................................................................... ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫متنافيان‬ ‫ب‬ ، C ‫الحدثين‬ ‫أن‬ ‫يقال‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫اختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
:‫وذلك‬ ‫بوضوح‬ ‫السماوية‬ ‫األجرام‬ ‫بين‬ ‫المادى‬ ‫التجاذب‬ ‫قوي‬ ‫تظهر‬ ‌
‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫جـ‬ ،‫ب‬ ‫د‬ ‫م‬‫بينه‬ ‫المسافة‬ ‫لقرب‬ ‍‫ج‬ ‫األجسام‬‫هذه‬‫كتل‬‫لكبر‬ ‫ب‬ ‫ا‬‫بينهم‬ ‫المسافة‬ ‫لبعد‬ ‫أ‬
.‫متر‬ .......................... = ‫البرج‬ ‫قمة‬ ‫ارتفاع‬ ‫فإن‬ ‫ثون‬ 4 ‫بعد‬ ‫األرض‬ ‫لسطح‬ ‫فوصل‬ ‫برج‬ ‫قمة‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫سقط‬ ‫إذا‬ ‌
43٫2 ‫د‬ 78٫4 ‍‫ج‬ 39٫2 ‫ب‬ 89 ‫أ‬
2‫سم‬.......................... = ‫8سم‬ ‫وارتفاعه‬ ،‫6سم‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫لمخروط‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‌
r48 ‫د‬ r10 ‍‫ج‬ r28 ‫ب‬ r60 ‫أ‬
13 = 2‫ص‬ + 2)2 - ‫(س‬ ‫الدائرة‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫التى‬ ‫النقطة‬ ‌
)3 ،4( ‫د‬ )5 ،2( ‍‫ج‬ )2- ،3( ‫ب‬ )3 ،2( ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫أوجد‬ ‫نيوتن‬ 52 ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ،‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 60 ،32 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫القوتين‬ ‫هاتين‬ ‫بين‬
‫52٫6متر‬ ‫مسافة‬ ‫قطع‬ ‫أن‬ ‫وبعد‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ 2‫4سم/ث‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
.‫االبتدائية‬ ‫سرعته‬ ‫هى‬ ‫فما‬ ‫001سم/ث‬ ‫سرعته‬ ‫أصبحت‬
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫فى‬ ‫طرفاهما‬ ‫ثبت‬ ‫خيطين‬ ‫بواسطة‬ ‫ا‬ً‫حر‬ ‫ا‬ً‫ق‬‫تعلي‬ ‫طرفيه‬ ‫من‬ ‫علق‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 150 ‫نه‬‫ز‬‫وو‬ ‫001سم‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‌
.‫منها‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫مقدار‬ ‫فأوجد‬ ‫06سم‬ ،‫08سم‬ ‫الخطين‬ ‫طوال‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫واحدة‬ ‫نقطة‬
.‫الجانبية‬ ‫مساحته‬ ‫أوجد‬ .‫سم‬3 10 ‫وارتفاعه‬ ‫02سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‌
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫هـ‬ C ، E C ، ‫جـ‬ C ، ‫ب‬ C ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 3 4 ، 5 ، 3 6 ، 8 ‫مقاديرها‬ ‫قوى‬ ‫أثرت‬ ‫منتظم‬ ‫سداسى‬ ‫و‬ ‫هـ‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬
35 ،11 ،59 ،24 ،78 ،65 ،32 ،28 ،17 ،46 ،25 ،38:‫التالية‬‫للقيم‬‫األعلى‬‫والربيع‬‫األدنى‬‫الربيع‬‫احسب‬ ‌
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 152
‫عامة‬‫اختبارات‬

158. ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ى‬‫الثان‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
........................... = X ‫فإن‬ ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫تنصف‬ ‫ومحصلتهما‬ ‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقيتان‬ ‫نيوتن‬ 8 ،X2 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
‫57كم/س‬ ،‫521كم/س‬ ‫بالسرعتين‬ ‫متضادين‬ ‫اتجاهين‬ ‫وفى‬ ‫واحد‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫ب‬ ،C ‫سيارتان‬ ‫تتحرك‬ ‌
................................................................................................................................................... = C ‫السيارة‬ ‫إلى‬ ‫بالنسبة‬ ‫ب‬ ‫السيارة‬ ‫سرعة‬ ‫فإن‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬
................................................................... ‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫جسم‬ ‫اتزن‬ ‫إذا‬ ‌
...................................................................................................................................................................................... ‫بالحدث‬ ‫يسمى‬ ‫عنصر‬ ‫أى‬ ‫من‬ ‫الخالى‬ ‫الحدث‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫اختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫نيوتن‬ ............................... = I ‫فإن‬ N + M = 2X ، N 3 + M 2 = 1X ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
7 ‫د‬ 5 ‍‫ج‬ 2 ‫ب‬ 13 ‫أ‬
: ‫هو‬ ‫ف‬ ‫مسافة‬ ‫كزيهما‬‫مر‬ ‫بين‬ ‫تفصل‬ 2‫ك‬ ،1‫ك‬ ‫كتلتين‬ ‫بين‬ ‫الجاذبية‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬ ‌
2‫ف‬ 2‫ك‬
1‫ك‬
* ‫ث‬ = X ‫د‬ 2‫ك‬ 1‫ك‬
2‫ف‬
* ‫ث‬ = X ‍‫ج‬
2‫ف‬ 1‫ك‬
2‫ك‬
* ‫ث‬ = X ‫ب‬
2‫ف‬
2‫ك‬ 1‫ك‬
* ‫ث‬ = X ‫أ‬
......................................................................................... ‫هو‬ ‫صفر‬ = ‫8ص‬ + ‫6س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫الدائرة‬ ‫كز‬‫مر‬ ‌
)3 ،4-( ‫د‬ )4 ،3-( ‍‫ج‬ )3- ،4( ‫ب‬ )4- ،3( ‫أ‬
.2‫سم‬............................ ‫يساوى‬ ‫8سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫21سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫لهرم‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‌
240 ‫د‬ 144 ‍‫ج‬ 96 ‫ب‬ 360 ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫الجسم‬ ‫اتزان‬ ‫وحفظ‬ 45 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫أملس‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 30 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‫وضع‬ ‌
.‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫بواسطة‬
‫الثانيتين‬ ‫وفى‬ ‫27سم‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫من‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫الثالث‬ ‫الثوانى‬ ‫فى‬ ‫فقطع‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
.‫عجلته‬ ‫ومقدار‬ ‫االبتدائية‬ ‫سرعته‬ ‫أوجد‬ .‫54سم‬ ‫التاليتين‬
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫والثانية‬ ‫الشرق‬ ‫نحو‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬ ،‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 2 500 ، 75 ، 85 ‫مقاديرها‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‌
.‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫الغرب‬ ‫جنوب‬ c45 ‫والثالثة‬ ‫الشمال‬ ‫غرب‬ c30
‫العجلة‬ ‫انقطعت‬ ‫ثم‬ ‫27كم/س‬ ‫سرعته‬ ‫فأصبحت‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 200 ‫فقطع‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫تحرك‬ ‌
‫احسب‬ .‫سكن‬ ‫حتى‬ 2‫5م/ث‬ ‫مقدارها‬ ‫تقصيرية‬ ‫بعجلة‬ ‫تحرك‬ ‫ثم‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 360 ‫مسافة‬ ‫اكتسبها‬ ‫التى‬ ‫بالسرعة‬ ‫وسار‬
.‫كلها‬ ‫الرحلة‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
.‫03سم‬ ‫راسمه‬ ‫وطول‬ 2‫سم‬ r 616 ‫الكلية‬ ‫مساحته‬ ‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫دائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬ ‌
19 ، 5 ، 9 ، 8 ، 10 ، 4 ، 6 ، 10 ، 1 ، 11 ، 8 ، 7 :‫التالية‬ ‫للقيم‬ ‫والوسيط‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫احسب‬ ‌
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬153
‫عامة‬‫اختبارات‬

159. ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ث‬‫الثال‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
........................................ = I‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫ى‬ ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ 2X ،1X ‫مقدارهما‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقيتان‬ ‫قوتان‬ ‌
..........................................................................................................................................
2X ، N 3 - M 2 = 1X ‫كانت‬‫و‬ ‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫ومتالقية‬ ‫نة‬‫ز‬‫مت‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ 3X ، 2X ، 1X ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‌
....................................................................................................................................................... = 3X ‫فإن‬ N 5 + M 3 =
............................. ‫مع‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫وعكس‬ ............................. ‫مع‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫طرد‬ ‫تتناسب‬ ‫قوة‬ ‫بواسطة‬ ‫األخرى‬ ‫األجسام‬ ‫مع‬ ‫تتجاذب‬ ‫األجسام‬ ‫كل‬ ‌
....................................................................................................... = ‫المنتظم‬ ‫للهرم‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫إختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
........................................... :‫يساوى‬ ‫نيوتن‬ 8 ،6 ‫مقدارهما‬ ‫متعامدتان‬ ‫قوتان‬ ‫محصلة‬ ‫مقدار‬ ‌
10 ‫د‬ 14 ‍‫ج‬ 8 ‫ب‬ 6 ‫أ‬
.‫ثانية‬................................ =‫زمن‬‫بعد‬‫ا‬ً‫ي‬‫لحظ‬‫يتوقف‬‫الجسم‬‫فإن‬2‫6م/ث‬‫تقصيرية‬‫وبعجلة‬‫42م/ث‬ ‫بسرعة‬‫جسيم‬‫تحرك‬ ‌
‫3ث‬ ‫د‬ ‫ث‬4 ‍‫ج‬ ‫ث‬5 ‫ب‬ ‫ث‬6 ‫أ‬
3‫سم‬ ........................................ = ‫21سم‬ ‫وارتفاعه‬ ،‫8سم‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫حجم‬ ‌
r96 ‫د‬ r256 ‍‫ج‬ r192 ‫ب‬ r225 ‫أ‬
........................................ ‫هو‬ )1 ،9 ،5 ،7 ،3( ‫للقيم‬ ‫الوسيط‬ ‌
5 ‫د‬ 1 ‍‫ج‬ 7 ‫ب‬ 3 ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫الزاوية‬ ‫أوجد‬ .‫لى‬‫و‬‫األ‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫ومحصلتهما‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 3 X ،X ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
.X ‫يساوى‬ ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫أن‬ ‫وأثبت‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬
.‫األرض‬ ‫إلى‬ ‫الحجر‬ ‫يصل‬ ‫ثانية‬ ‫كم‬ ‫بعد‬ ، ‫ا‬ً‫متر‬ 122٫5 ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫صغير‬ ‫حجر‬ ‫سقط‬ ‌
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫لقت‬‫ز‬‫ان‬ ‫فإذا‬ ‫81سم‬ = ‫ب‬ C ، ‫ا‬ً‫ي‬‫أفق‬ ‫ب‬ C ‫كان‬ ‫بحيث‬ ‫ب‬ ،C ‫نقطتين‬ ‫في‬ ‫طرفيه‬ ‫من‬ ‫ربط‬ ،‫03سم‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫أملس‬ ‫خيط‬ ‌
‫ثم‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫متساو‬ ‫الخيط‬ ‫فرعى‬ ‫طوال‬ ‫يكون‬ ‫االتزان‬ ‫وضع‬ ‫فى‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬ .‫الخيط‬ ‫على‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 150 ‫نها‬‫ز‬‫و‬ ‫ملساء‬ ‫حلقة‬
.‫منهما‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫الشد‬ ‫أوجد‬
‫نفس‬ ‫وفى‬ ‫04سم/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫الجسيم‬ ‫بدأ‬ ‫فإذا‬ 2‫5سم/ث‬ ‫منتظمه‬ ‫بعجلة‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
‫06م/د‬ ‫سرعته‬ ‫تبلغ‬ ‫عندما‬ ‫قطعها‬ ‫قد‬ ‫يكون‬ ‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫هى‬ ‫فما‬ ‫العجلة‬ ‫اتجاه‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
.‫5سم‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ )4- ،2( ‫كزها‬‫مر‬ ‫دائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫أوجد‬ ‌
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 154
‫عامة‬‫اختبارات‬

160. :‫حيث‬ ‫ف‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫احتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ، ‫عشوائية‬ ‫لتجربه‬ ‫عينه‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ، C ‌
)‫ل(ب‬ ‫فإوجد‬ 3
4 = )‫ب‬ ∪ C(‫ ، ل‬3
8 = )/C(‫ل‬
1
8 = )‫ب‬ ∩ C(‫ل‬ ‫ب‬ ‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ‫أ‬
‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ع‬‫الراب‬ ‫االختبار‬
:‫التالية‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
............................................................................................................................................................ ‫تساوى‬ ‫نيوتن‬ 8 ،15 ‫القوتين‬ ‫لمحصلة‬ ‫الصغرى‬ ‫القيمة‬ ‌
‫سرعته‬ ‫متجه‬ ‫واصبح‬ ‫جـ‬ ‫ثابت‬ ‫عجلة‬ ‫ومتجه‬ 0‫ع‬ ‫ابتدائية‬ ‫سرعه‬ ‫بمتجه‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫تحرك‬ ‫إذا‬ ‌
................................................................................................................................................................................................................... = ‫جـ‬ ‫فإن‬ ‫ن‬ ‫زمنية‬ ‫فترة‬ ‫بعد‬ ‫ع‬
......... = ‫إليه‬ ‫وصل‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫فإن‬ ‫ثوانى‬ 6 ‫بعد‬ ‫إليها‬ ‫فعاد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫ألعلى‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‌
................................................................................... = )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ ‫فإن‬ ‫ب‬ ⊂ C ،‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫اختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫معها‬ ‫يصنعان‬ 2X ، 1X ‫كبتين‬‫مر‬ ‫إلى‬ ‫حللت‬ ‫نيوتن‬ 10 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ :‫المقابل‬ ‫الشكل‬ ‫فى‬ ‌
...................................... * - 2X ، ‫نيوتن‬ ......................................* - 1X ‫فإن‬ c45 ،c35 ‫قياسهما‬ ‫زاويتين‬
45 ‫حا‬
35 ‫حا‬
،75 ‫حا‬
80 ‫حا‬
‫د‬ 80 ‫حا‬
35 ‫حا‬
،80 ‫حا‬
45 ‫حا‬
‍‫ج‬ 35 ‫حا‬
80 ‫حا‬
،45 ‫حا‬
80 ‫حا‬
‫ب‬ 45 ‫حا‬
35 ‫حا‬
،35 ‫حا‬
45 ‫حا‬
‫أ‬
.............................. = ‫ب‬C‫ع‬ ‫فإن‬ ‫واحد‬ ‫إتجاه‬ ‫فى‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫كم/س‬ 80 ،‫06كم/س‬ ‫بالسرعتين‬ ‫ب‬ ،C ‫سيارتان‬ ‫تتحرك‬ ‌
140 ‫د‬ 20 ‍‫ج‬ 20- ‫ب‬ 140- ‫أ‬
.2‫سم‬ ...................................... ‫تساوى‬ ‫42سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫وطول‬ ‫61سم‬ ‫ارتفاعه‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫لهرم‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ ‌
1536 ‫د‬ 40 ‍‫ج‬ 80 ‫ب‬ 960 ‫أ‬
‫لية‬‫و‬‫ط‬ ‫وحدة‬ ...................................... ‫يساوى‬ 25 = 2)2 + ‫(س‬ + 2)3 - ‫(س‬ ‫معادلتها‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫محيط‬ ‌
r10 ‫د‬ r25 ‍‫ج‬ r2 ‫ب‬ r3 ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
.‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫فأوجد‬ ‫الثانية‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫محصلتها‬ ‫كانت‬ ‫فإذا‬ ‫نيوتن‬ 3 ،6 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
‫احسب‬ .‫52سم‬ ‫مسافة‬ ‫فيها‬ ‫فغاص‬ ‫رملية‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫5٫22م‬ ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫جسم‬ ‫سقط‬ ‌
‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫أ‬
‫األرض‬ ‫داخل‬ ‫الجسم‬ ‫بها‬ ‫يتحرك‬ ‫التى‬ ‫العجلة‬ ‫احسب‬ ‫ب‬
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫حالة‬‫فى‬‫الجسم‬‫وحفظ‬0٫6 =‫جيبها‬‫بزاوية‬‫األفقى‬‫على‬‫يميل‬‫أملس‬‫مستوى‬‫على‬‫جم‬‫ث‬800 ‫نه‬‫ز‬‫و‬‫جسم‬‫وضع‬ ‌
‫الجسم‬ ‫على‬ ‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫القوة‬ ‫هذه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ .‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫بواسطة‬ ‫توازن‬
c35
c45
10
2X
1X
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬155
‫عامة‬‫اختبارات‬

161. ‫عجلتى‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫كانت‬‫و‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫0046كم‬ ،‫0061كم‬ ‫واألرض‬ ‫القمر‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫كتلتيها‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫فأوجد‬ 6 : 1 ‫منهما‬ ‫لكل‬ ‫الجاذبية‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫على‬ ‫المكتوب‬ ‫العدد‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫عشوائ‬ ‫واحدة‬ ‫بطاقة‬ ‫سحبت‬ 9 ‫إلى‬ 1 ‫من‬ ‫ومرقمة‬ ‫متماثلة‬ ‫بطاقات‬ 9 ‫به‬ ‫صندوق‬ ‌
:‫التالية‬ ‫األحداث‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫إحتمال‬ ‫أوجد‬ ‫البطاقة‬
.3 ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫يقبل‬ ‫أو‬ ‫فردى‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬ .‫لى‬‫و‬‫أ‬ ‫عدد‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫أ‬
24 ، 42 ، 35 ، 75 ، 93 ، 60 ، 51 ، 39 :‫التالية‬ ‫للبيانات‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫احسب‬ ‌
‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫س‬‫الخام‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
................................................. 3 ................................................. 2 ................................................. 1 : ‫اآلتية‬ ‫بالعوامل‬ ‫الجسم‬ ‫على‬ ‫القوة‬ ‫تأثير‬ ‫يتحدد‬ ‌
........................................ = ‫عجلة‬ ‫فإن‬ ‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫فى‬ ‫4ثوانى‬ ‫بعد‬ ‫81م/ث‬ ‫فأصبحت‬ ‫01م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫جسم‬ ‫بدأ‬ ‌
................................................. , ................................................. ‫على‬ ‫جسمين‬ ‫بين‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬ ‫تتوقف‬ ‌
.............................................................................................................. = )C(‫ل‬ ‫فإن‬ ‫متنافيان‬ ‫حدثان‬ ‫ب‬ ، C ،3
8 = )‫ل(ب‬ ،4
5 = )‫ب‬ ∪ C(‫ل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫إختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫العظمى‬ ‫قيمتها‬ ‫فى‬ ‫تكون‬ ‫المحصلة‬ ‫فإن‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 2X ،1X ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
c180 ‫د‬ c120 ‍‫ج‬ c60 ‫ب‬ c‫صفر‬ ‫أ‬
‫تساوى‬ ‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬ ‫فإن‬ ‫ثوان‬ 4 ‫خالل‬ ‫فى‬ ‫63كم/س‬ ‫إلى‬ ‫09كم/س‬ ‫من‬ ‫ة‬ ‫سيارة‬ ‫سرعة‬ ‫تناقصت‬ ‌
‫متر‬ 140 ‫د‬ ‫ر‬‫مت‬ 70 ‍‫ج‬ ‫ر‬‫مت‬ 25 ‫ب‬ ‫ر‬‫مت‬ 10 ‫أ‬
‫هو‬ ،56 ،13 ،3 ،28 ،16 ،25 :‫للقيم‬ ‫الوسيط‬ ‌
261
2 ‫د‬ 16 ‍‫ج‬ 30 ‫ب‬ 28 ‫أ‬
‫ارتفاعه‬ ‫ع‬ . ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ H ‫حيث‬ ................................................. ‫يساوى‬ ‫القائم‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‌
‫ع‬2Hr 1
3 ‫د‬ ‫ع‬2Hr 1
4 ‍‫ج‬ ‫ع‬2Hr 3
4 ‫ب‬ ‫ع‬2Hr 4
3 ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫طرفى‬ ‫بأحد‬ ‫سطحها‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫علقت‬ ،‫03سم‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫وطول‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 10 ‫نها‬‫ز‬‫و‬ ‫ملساء‬ ‫منتظمة‬ ‫كرة‬ ‌
‫من‬‫كال‬‫التوازن‬‫وضع‬‫فى‬‫أوجد‬.‫أملس‬‫رأسى‬‫حائط‬‫من‬‫نقطة‬‫فى‬‫اآلخر‬‫طرفه‬‫ومثبت‬‫02سم‬‫له‬‫و‬‫ط‬‫خفيف‬‫خيط‬
.‫الحائط‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫الخيط‬ ‫فى‬ ‫الشد‬
‫وقطع‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫الرابعة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫سم‬ 26 ‫مسافة‬ ‫قطع‬ ‫فإذا‬ ‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
.‫من‬ ‫كال‬ ‫احسب‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫التاسعة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫65سم‬
‫للجسم‬ ‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ ‫ب‬ ‫م‬‫الجس‬ ‫عجلة‬ ‫أ‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 156
‫عامة‬‫اختبارات‬

162. :‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫الجاذبية‬‫مجال‬‫شدة‬‫فأوجد‬‫متر‬610* 6٫36‫قطرها‬‫نصف‬‫وطول‬‫كجم‬2410* 5٫97‫األرض‬‫كتلة‬‫أن‬‫علمت‬‫إذا‬ ‌
2‫/كجم‬2‫نيوتن.م‬ 11- 10 * 6٫67 ‫يساوى‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫ثابت‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫األرضية‬
:‫اآلتية‬ ‫األحداث‬ ‫احتماالت‬ ‫احسب‬ ،‫والكتابات‬ ‫الصور‬ ‫تتابع‬ ‫لوحظ‬‫و‬ ‫متتالية‬ ‫مرات‬ ‫ثالث‬ ‫نقود‬ ‫قطعة‬ ‫ألقيت‬ ‌
.‫األكثر‬ ‫على‬ ‫صورتين‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬ ‫ط‬‫فق‬ ‫واحدة‬ ‫كتابة‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫أ‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
، M ‫األساسيين‬ ‫الوحدة‬ ‫متجهى‬ ‫بداللة‬ ‫الزمن‬ ‫فى‬ ‫كدالة‬ ‫يعطى‬ S ‫موضعه‬ ‫متجه‬ ‫كان‬ ‫بحيث‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
3 = ‫ن‬ ‫اللحظة‬ ‫حتى‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫أوجد‬ . N )1 + ‫(8ن‬ + M )3 - ‫(6ن‬ = S ‫بالعالقة‬ N
36 ، 15 ، 42 ، 29 ، 17 ، 26 ، 12 ، 35 :‫التالية‬ ‫للقيم‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫احسب‬ ‌
‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫س‬‫الساد‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
.................. ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫فإن‬ ‫نيوتن‬ ‫ق‬ ‫محصلتهما‬ ، ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثران‬ ‫نيوتن‬ 3 ‫ق‬ ،‫ق‬ ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
‫على‬ 2H ،1H ‫قطريهما‬ ‫نصفى‬ ‫وطوال‬ 2‫ك‬ ،1‫ك‬ ‫كتلتاهما‬ ‫كبين‬‫كو‬ ‫على‬ 2‫ى‬ ،1‫ى‬ ‫الجاذبية‬ ‫عجلتى‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‌
.................................................................................................................................................................................................... ‫هى‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬
....................................................... = )‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬ ‫فإن‬ ‫ب‬ ⊃ C ‫كان‬‫و‬ ، ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ، C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
.......................................................................................................................... = ‫المنتظم‬ ‫للهرم‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫إختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
.................... ، .................... ‫هما‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫لمحصلتهما‬ ‫الصغرى‬ ‫والقيمة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ،‫نيوتن‬ 13 ، 8 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
5 ، 21 ‫د‬ 8 ، 21 ‍‫ج‬ 5 ، 13 ‫ب‬ 8 ، 13 ‫أ‬
‫المسافة‬ ‫فإن‬ ‫االبتدائية‬ ‫سرعته‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ 2‫سم/ث‬ 5 ‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫سم/ث‬ 30 ‫بسرعة‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫جسيم‬ ‫بدأ‬ ‫إذا‬ ‌
‫سم‬ ..................... = ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدأ‬ ‫من‬ ‫ثوانى‬ 10 ‫بعد‬ ‫المقطوعة‬
1500 ‫د‬ 550 ‍‫ج‬ 150 ‫ب‬ 300 ‫أ‬
.......................................................................................................................................................... = ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‌
‫االدنى‬ ‫الربيع‬ * ‫االعلى‬ ‫الربيع‬ ‫ب‬ ‫ى‬‫االدن‬ ‫الربيع‬ + ‫االعلى‬ ‫الربيع‬ ‫أ‬
‫االدنى‬ ‫الربيع‬ ÷ ‫االعلى‬ ‫الربيع‬ ‫د‬ ‫ى‬‫االدن‬ ‫الربيع‬ - ‫االعلى‬ ‫الربيع‬ ‍‫ج‬
............................... ‫يساوى‬ ‫صفر‬ = 1 + ‫6ص‬ - ‫2س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‌
4 ‫د‬ 6 ‍‫ج‬ 3 ‫ب‬ 5 ‫أ‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬157
‫عامة‬‫اختبارات‬

163. :‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫فى‬ N ‫ب‬ + M 3 = 3‫ق‬ ، N 7 - M C = 2‫ق‬ ، N 5 + M 4 = 1‫ق‬ ‫القوى‬ ‫أثرت‬ ‫إذا‬ ‌
.‫نه‬‫ز‬‫مت‬ ‫القوى‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ب‬ , C ‫قيمتى‬ ‫فأوجد‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬
‫يعود‬‫حتى‬‫يمضى‬‫الذى‬‫والزمن‬‫الجسم‬‫إليه‬‫يصل‬‫ارتفاع‬‫أقصى‬‫أوجد‬ ،‫06م/ث‬‫بسرعة‬‫ألعلى‬‫ا‬ً‫ي‬‫رأس‬‫جسيم‬‫قذف‬ ‌
.‫القذف‬ ‫نقطة‬ ‫إلى‬
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫وضع‬ ‫فى‬ ‫القضيب‬ ‫حفظ‬ C ‫عند‬ ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫فى‬ ‫بمفصل‬ ‫متصل‬ ‫نيوتن‬ 30 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫04سم‬ ‫له‬‫و‬‫ط‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‫ب‬ C ‌
‫سم‬ 40 ‫بمسافة‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رأس‬ C ‫تعلو‬ ‫الحائط‬ ‫على‬ ‫جـ‬ ‫وبنقطة‬ ‫ب‬ ‫عند‬ ‫القضيب‬ ‫بطرف‬ ‫يتصل‬ ‫خفيف‬ ‫خيط‬ ‫بواسطة‬ ‫أفقى‬
.C ‫عند‬ ‫الفعل‬ ‫ورد‬ ‫الشد‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أوجد‬
‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫أوجد‬ ‫54سم‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫إلى‬ ‫حول‬ ‫03سم‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الشمع‬ ‫من‬ ‫مكعب‬ ‌
.‫والتحويل‬ ‫الصهر‬ ‫عمليتى‬ ‫أثناء‬ ‫فقد‬ ‫قد‬ ‫الشمع‬ ‫من‬ ٪8 ‫أن‬ ‫علم‬ ‫إذا‬ ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫فوجدتها‬ ‫المضاد‬ ‫االتجاه‬ ‫فى‬ ‫قادمة‬ )‫(ب‬ ‫أخرى‬ ‫سيارة‬ ‫سرعة‬ ‫رصدت‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫كة‬‫متحر‬ )‫(أ‬ ‫سيارة‬ ‌
‫سرعتها‬ ‫أن‬ ‫فوجدت‬ )‫(ب‬ ‫السيارة‬ ‫رصد‬ ‫وأعادت‬ ‫النصف‬ ‫إلى‬ ‫سرعتها‬ )‫(أ‬ ‫السيارة‬ ‫خفضت‬ ‫لما‬‫و‬ ،‫كم/س‬ 130
.‫السيارتين‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الفعلية‬ ‫السرعة‬ ‫هى‬ ‫فما‬ ‫011كم/س‬
‫التعليم‬‫مدير‬‫حضور‬‫واحتمال‬0٫7‫المحافظ‬‫حضور‬‫احتمال‬‫كان‬‫إذا‬‫طالبها‬‫اوائل‬‫بتكريم‬‫المدرسة‬‫احتفال‬‫فى‬ ‌
:‫احتمال‬ ‫أوجد‬ 0٫6 ‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫حضورهما‬ ‫واحتمال‬ 0٫8
‫فقط‬ ‫المحافظ‬ ‫حضور‬ ‫أ‬
.‫األقل‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫حضور‬ ‫احتمال‬ ‫ب‬
.‫ا‬ً‫ع‬‫م‬ ‫حضورهما‬ ‫عدم‬ ‫احتمال‬ ‍‫ج‬
‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ع‬‫الساب‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
‫نيوتن‬ 3 ‫لمحصلتهما‬ ‫الصغرى‬ ‫والقيمة‬ ‫نيوتن‬ 9 ‫لمحصلتهما‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ 2‫ق‬ ،1‫ق‬ ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
...................................................... = 2‫ق‬ ...................................................... =1‫ق‬ ‫فإن‬
‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫الوزن‬ ‫كبة‬‫مر‬ ‫فإن‬c 60 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫األفقى‬ ‫على‬ ‫يميل‬ ‫مستوى‬ ‫علي‬ ‫وضع‬ ‫نيوتن‬ 20 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫جسم‬ ‌
............................................................................................................ = ‫المستوى‬
‫فترة‬‫خالل‬‫ف‬‫مسافة‬‫يقطع‬‫فإنه‬‫جـ‬‫قدرها‬‫منتظمة‬‫وبعجلة‬0‫ع‬‫ابتدائية‬‫بسرعة‬‫مستقيم‬‫خط‬‫فى‬‫جسم‬‫تحرك‬‫إذا‬ ‌
.............................................................................................. ‫تساوى‬ ‫ن‬ ‫زمنية‬
............................................................................ = )C (‫ل‬ ‫فإن‬ 3
5= )/
C(‫ل‬
)C(‫ل‬
‫كان‬‫و‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ف‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدث‬ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 158
‫عامة‬‫اختبارات‬

164. -:‫القوسين‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫اختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫نيوتن‬ ...................................................... = ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ r
2
= ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ، ‫نيوتن‬ 4 ،3 ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
12 ‫د‬ 7 ‍‫ج‬ 5 ‫ب‬ 1 ‫أ‬
2‫م/ث‬..................... =‫كة‬‫الحر‬‫عجلة‬‫فإن‬‫متر‬122٫5‫مسافة‬‫قطع‬‫أن‬‫بعد‬‫وتوقف‬‫621كم/س‬‫بسرعة‬‫كته‬‫حر‬‫جسم‬‫بدأ‬ ‌
10 ‫د‬ 7 ‍‫ج‬ 5- ‫ب‬ 3٫5- ‫أ‬
.................... = ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ‫قيمة‬ ‫فإن‬ 8 ‫يساوى‬ ‫األعلى‬ ‫والربيع‬ 4 1
2‫هو‬ ‫القيم‬ ‫من‬ ‫لمجموعة‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
31
2 ‫د‬ 12 1
2 ‍‫ج‬ 8 ‫ب‬ 4 1
2 ‫أ‬
3‫سم‬ ...................................................... ‫يساوى‬ ‫01سم‬ ‫وارتفاعه‬ ‫21سم‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‫حجم‬ ‌
r20 ‫د‬ r 22 ‍‫ج‬ r 40 ‫ب‬ r120 ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫األرض‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كتلة‬ ‫وأن‬ ‫نيوتن‬ 2110 * 35٫67 ‫هى‬ ‫واألرض‬ ‫الشمس‬ ‫بين‬ ‫المتبادلة‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‌
‫ثابت‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫إذا‬ ‫والشمس‬ ‫األرض‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫وأوجد‬ ‫كجم‬ 2910 * 19 ، ‫كجم‬ 2410 * 5٫97 ‫هما‬ ‫والشمس‬
2‫/كجم‬2‫م‬ . ‫نيوتن‬ 11- 10 * 6٫67 ‫يساوى‬ ‫العام‬ ‫الجذب‬
. ‫الجانبية‬ ‫ومساحته‬ ‫الجانبى‬ ‫ارتفاعه‬ ‫فأوجد‬ 2‫سم‬ 1296 ‫حجمه‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫81سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‌
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
E C ، ‫جـ‬ C ، ‫ب‬ C ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 6 ، 3 ،4 ، 3 2 ، 5 ‫مقاديرها‬ ‫التى‬ ‫القوى‬ ‫أثرت‬ ‫منتظم‬ ‫سداسى‬ ‫و‬ ‫هـ‬ E ‫جـ‬ ‫ب‬ C ‌
‫المجموعة‬ ‫محصلة‬ ‫واتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫و‬ C ، ‫هـ‬ C ،
‫فى‬ ‫47كم‬ ‫مسافة‬ ‫فقطعت‬ ‫عادت‬ ‫ثم‬ ‫06سم/س‬ ‫مقدارها‬ ‫بسرعة‬ ‫مستقيم‬ ‫طريق‬ ‫على‬ ‫54كم‬ ‫مسافة‬ ‫سيارة‬ ‫قطعت‬ ‌
.‫كلها‬ ‫الرحلة‬ ‫خالل‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫متجه‬ ‫أوجد‬ ‫05كم/س‬ ‫بسرعة‬ ‫المعاكس‬ ‫االتجاه‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫بزاوية‬ ‫يميل‬ ‫واآلخر‬ ، c60 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫القوة‬ ‫على‬ ‫لهما‬‫و‬‫أ‬ ‫يميل‬ ‫اتجاهين‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 100 ‫مقدارها‬ ‫قوة‬ ‫حلل‬ ‌
.‫األخرى‬ ‫الناحية‬ ‫من‬ c30 ‫قياسها‬
‫الوسيط‬ ‫واستنتج‬ ‫واألوراق‬ ‫الساق‬ ‫بمخطط‬ ‫المقابلة‬ ‫البيانات‬ ‫مثل‬ ‌
‫المدى‬ ‫احسب‬ ‫ثم‬ )3S( ‫األعلى‬ ‫والربيع‬ )1S( ‫األدنى‬ ‫والربيع‬
.‫الربيعى‬
4542474947
5243545651
4147525358
5655544552
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬159
‫عامة‬‫اختبارات‬

165. ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ن‬‫الثام‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
‫لى‬‫و‬‫األ‬‫القوة‬‫على‬‫تميل‬‫المحصلة‬‫فإن‬c‫ي‬‫بينهما‬‫الزاوية‬‫وقياس‬،‫نقطة‬‫فى‬‫متالقيتان‬‫قوتان‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫كانت‬‫إذا‬ ‌
.............................................................................................................................................................................................. = ‫هـ‬ ‫طا‬ ‫حيث‬ c‫هـ‬ ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ 1‫ق‬
....................... ‫هما‬‫والشمال‬‫الشرق‬‫اتجاهى‬‫فى‬‫كبتها‬‫مر‬‫مقدار‬‫فإن‬‫الشرقى‬‫الشمال‬‫اتجاه‬‫فى‬‫تعمل‬‫نيوتن‬6‫مقدارها‬‫قوة‬ ‌
‫م/ث‬ ..................... = ‫كم/س‬ 36 ‌
‫فإن‬ 2
3 =
)C( ‫ل‬
)‫(ب‬ ‫ل‬ ‫كان‬‫و‬‫عشوائية‬‫لتجربة‬‫عينة‬‫فضاء‬‫فى‬‫متنافيين‬‫حدثين‬‫ب‬،C‫حيث‬،0٫6=)‫ب‬∪ C(‫ل‬‫كان‬‫إذا‬ ‌
..................... = )‫(ب‬ ‫ل‬ ،..................... = )C(‫ل‬
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫إختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ r
2
‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫نيوتن‬ 8 ‫يساوى‬ ‫محصلتهما‬ ‫ومقدار‬ ‫المقدار‬ ‫فى‬ ‫متساويتان‬ ‫قوتان‬ ‌
.‫نيوتن‬ .......................................... = ‫منهما‬
8 ‫د‬ 2 4 ‍‫ج‬ 4 ‫ب‬ 2 2 ‫أ‬
‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫فإن‬ ‫األعلى‬ ‫الربيع‬ 1
2 = ‫األدنى‬ ‫الربيع‬ ‫كان‬‫و‬ 15 ‫يساوى‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
40 ، 20 ‫د‬ 30 ،15 ‍‫ج‬ 20 ، 10 ‫ب‬ 10 ،5 ‫أ‬
. ‫يساوى‬ ‫الجسم‬ ‫إليه‬ ‫يصل‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫فإن‬ ‫كم/س‬ 42 ‫بسرعة‬ ‫ألعلى‬ ‫رأسيا‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‌
‫كم‬ 90 ‫د‬ ‫م‬‫ك‬ 84 ‍‫ج‬ ‫م‬‫ك‬ 98 ‫ب‬ ‫كم‬ 65 ‫أ‬
:‫فإن‬ ‫ب‬ ⊂ C ‫كان‬‫و‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ , C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
)
/
C( ‫ل‬ - 1 = )‫ب‬ ∪ C( ‫ل‬ ‫ب‬ )‫(ب‬ ‫ل‬ = ) ‫ب‬∪ C( ‫ل‬ ‫أ‬
‫صفر‬ = )‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ ‫د‬ )‫(ب‬ ‫ل‬ = )‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ ‍‫ج‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫يميل‬ ‫واآلخر‬ ‫رأسى‬ ‫أحدهما‬ ‫أملسين‬ ‫مستويين‬ ‫بين‬ ‫موضوعه‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫فى‬ ‫يؤثر‬ ‫جم‬ ‫ث‬ 400 ‫نها‬‫ز‬‫و‬ ‫معدنية‬ ‫كرة‬ ‌
‫المستويين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫أوجد‬ c60 ‫قياسها‬ ‫بزاوية‬ ‫الرأس‬ ‫على‬
.‫لية‬‫و‬‫ط‬ ‫وحدات‬ 8 ‫قطرها‬ ‫وطول‬ )3 ، 2-( ‫كزها‬‫مر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫أوجد‬ ‌
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫على‬ ‫ق‬ ‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫أثرت‬ ‫رأسى‬ ‫حائط‬ ‫فى‬ ‫مثبت‬ ‫بمفصل‬ C ‫طرفه‬ ‫يتصل‬ ‫كجم‬ ‫ث‬ 20 ‫نه‬‫ز‬‫و‬ ‫منتظم‬ ‫قضيب‬ ‫ب‬ C ‌
.‫المفصل‬‫فعل‬‫ورد‬، ‫ق‬ ‫مقدار‬‫أوجد‬30‫قياسها‬‫بزاوية‬‫الرأسى‬‫على‬‫يميل‬‫وهو‬‫القضيب‬‫فاتزن‬‫ب‬‫عند‬‫القضيب‬
:‫الرياضيات‬ ‫اختبار‬ ‫فى‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫لعدد‬ ‫المئوية‬ ‫النسب‬ ‫التالية‬ ‫البيانات‬ ‫توضح‬ ‌
.‫البيانات‬ ‫لهذه‬ ‫الربيعى‬ ‫المدى‬ ‫احسب‬ 88 ، 29 ، 86 ، 36 ، 45 ، 96 ، 78 ، 46 ، 65 ، 75
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 160
‫عامة‬‫اختبارات‬

166. :‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ 2‫سم/ث‬ 2٫5 ‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫51سم/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫ثابت‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫كته‬‫حر‬ ‫جسم‬ ‫بدأ‬ ‌
.‫الرابعة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫الجسم‬ ‫قطعها‬ ‫التى‬ ‫المسافة‬ ‫احسب‬
‫نصف‬‫تساوى‬‫بسرعة‬‫أعلى‬‫إلى‬‫ثانية‬‫ارتدت‬‫لألرض‬‫لها‬‫و‬‫وص‬‫وعند‬‫األرض‬‫سطح‬‫عن‬‫09م‬‫ارتفاع‬‫من‬‫كرة‬‫سقطت‬ ‌
. ‫الكرة‬ ‫إليه‬ ‫تصل‬ ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫أوجد‬ . ‫األرض‬ ‫إلى‬ ‫لها‬‫و‬‫وص‬ ‫سرعة‬
‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ع‬‫التاس‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
................ ‫وإحداهما‬ ‫محصلتهما‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫فإن‬ ‫منهما‬ ‫أى‬ ‫تساوى‬ ‫ومحصلتهما‬ ‫المقدار‬ ‫فى‬ ‫متساويتان‬ ‫قوتان‬ ‌
‫52سم/ث‬‫سرعته‬ ‫فتصبح‬ ،‫سرعته‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ 2‫4سم/ث‬‫منتظمة‬ ‫وبعجلة‬ ‫01سم/ث‬‫ابتدائية‬ ‫بسرعة‬ ‫جسم‬‫تحرك‬ ‫إذا‬ ‌
‫ث‬ .................................................................................................... ‫قدره‬‫زمن‬ ‫بعد‬
................................................................................. ‫يساوى‬ ‫ف‬ ‫بينهما‬ ‫والمسافة‬ 2‫ك‬ ،1‫ك‬ ‫كتلتاهما‬ ‫جسمين‬ ‫بين‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬ ‌
........................................................................................... = )C( ‫ل‬ + )
/
C(‫ل‬ ‫فإن‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫ف‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫فى‬ ‫حدث‬ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫اختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫على‬‫جهتيها‬‫من‬2‫هـ‬،1‫هـ‬‫قياسيهما‬‫زاويتين‬ I ‫مع‬‫وتصنعان‬ 2‫ق‬ ، 1‫ق‬ ‫قوتين‬‫إلى‬‫تحليلها‬‫يمكن‬ I ‫القوة‬ ‌
.................................................................................................... = 1‫ق‬ ‫فإن‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬
)2‫هـ‬ + 1‫(هـ‬ ‫حا‬ I
2‫هـ‬ ‫حا‬ ‫د‬ 2‫هـ‬ ‫حا‬ I
)2‫هـ‬ + 1‫(هـ‬ ‫حا‬
‍‫ج‬ 2‫هـ‬ ‫حا‬ I
)2‫هـ‬ - 1‫(هـ‬ ‫حا‬ ‫ب‬ 1‫هـ‬ ‫حا‬ I
)2‫+هـ‬ 1‫(هـ‬ ‫حا‬
‫أ‬
:‫فإن‬ )‫(ب‬ ‫ل‬ - 1 = )C( ‫ل‬ ، 1
2= )‫(ب‬ ‫ل‬ ، ‫ف‬ = ‫ب‬∪ C ‫كان‬‫و‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ،C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
1 = )‫(ب‬ K + )C( K ‫د‬ )‫(ب‬ K )C( K ‍‫ج‬ )‫(ب‬ K )C( K ‫ب‬ )‫(ب‬ K = )C( K ‫أ‬
................................................................................. = ‫ارتفاع‬ ‫أقصى‬ ‫إلى‬ ‫الوصول‬ ‫زمن‬ ‫فإن‬ ‫89م/ث‬ ‫بسرعة‬ ‫ألعلى‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رأس‬ ‫جسم‬ ‫قذف‬ ‌
‫ث‬ 20 ‫د‬ ‫ث‬ 3 ‍‫ج‬ ‫ث‬ 10 ‫ب‬ ‫ث‬ 15 ‫أ‬
................................................................. ‫حجمه‬ ‫فإن‬ ‫41سم‬ ‫راسمه‬ ‫وطول‬ ‫7سم‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ ‫قائم‬ ‫دائرى‬ ‫مخروط‬ ‌
3‫سم‬ 343 ‫د‬ 3‫سم‬ 3 49 ‍‫ج‬ 3‫سم‬r 343 ‫ب‬ 3‫سم‬r 3 49 ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫قطر‬‫نصف‬‫طول‬‫يساوى‬‫بينهما‬‫البعد‬،‫واحد‬‫أفقى‬‫مستوى‬‫فى‬‫يقعان‬‫متوازيين‬‫قضيبين‬‫على‬‫تكز‬‫ر‬‫ت‬‫منتظمة‬‫كرة‬ ‌
.‫نيوتن‬ 10 ‫الكرة‬ ‫وزن‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫القضيبين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫الضغط‬ ‫أوجد‬ ‫الكرة‬
‫قيمة‬ ‫أوجد‬ ‫تيب‬‫ر‬‫الت‬ ‫على‬ )10 ، 12( ‫ب‬ ، )3 ،7 (C ‫الموضعين‬ ‫عند‬ 5 ،2 ‫زمنيتين‬ ‫لحظتين‬ ‫عند‬ ‫الجسيم‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
.‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬ ‫هذه‬ ‫واتجاه‬ ‫معيار‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫الزمنية‬ ‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫للجسيم‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬161
‫عامة‬‫اختبارات‬

167. :‫الرابع‬ ‫السؤال‬
‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫فإذا‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تؤثر‬ ‫نيوتن‬ 7 4 ،10 ،5 ‫مقاديرها‬ ‫مستوية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‌
.‫الثالثة‬ ‫القوى‬ ‫لمحصلة‬ ‫الصغرى‬ ‫والقيمة‬ ‫العظمى‬ ‫القيمة‬ ‫فأوجد‬ c60 ‫يساوى‬ ‫والثانية‬ ‫لى‬‫و‬‫األ‬
‫مسافة‬ ‫ألعلى‬ ‫ا‬ً‫ي‬‫رأس‬ ‫وارتدت‬ ‫باألرض‬ ‫فاصطدمت‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫ا‬ً‫متر‬ 15 ‫ارتفاع‬ ‫من‬ ‫المطاط‬ ‫من‬ ‫كرة‬ ‫سقطت‬ ‌
.‫مباشرة‬ ‫باألرض‬ ‫التصادم‬ ‫وبعد‬ ‫قبل‬ ‫الكرة‬ ‫سرعة‬ ‫احسب‬ . ‫6م‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
. )2 ،3( ‫بالنقطة‬ ‫وتمر‬ )5 ،2-(‫م‬ ‫كزها‬‫مر‬ ‫التى‬ ‫الدائرة‬ ‫لمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫أوجد‬ ‌
، 0٫6 = )
/
C( ‫ل‬ ‫حيث‬ ‫التجربة‬ ‫لهذه‬ ‫احتمال‬ ‫دالة‬ ‫ل‬ ، ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدثين‬ ‫ب‬ ، C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
‫احتمال‬ ‫احسب‬ 0٫2 = )‫ب‬ ∩ C( ‫ل‬ ، 0٫25 = )‫(ب‬ ‫ل‬
‫ب‬ ‫وقوع‬ ‫وعدم‬ C ‫وقوع‬ ‫عدم‬ ‍‫ج‬ ‫ب‬ ‫أو‬ C ‫وقوع‬ ‫ب‬ C ‫وقوع‬ ‫أ‬
‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ ‫ر‬‫العاش‬ ‫االختبار‬
:‫آتية‬‫ل‬‫ا‬‫أ�سئلة‬‫ل‬‫ا‬‫جميع‬‫عن‬‫أجب‬�
:‫مايأتى‬ ‫أكمل‬ :‫األول‬ ‫السؤال‬
................................................ = ‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫فإن‬ ‫نيوتن‬ ‫ق‬ 3 4 ‫محصلتهما‬ ‫مقدار‬ ، ‫نيوتن‬ ‫4ق‬ ، ‫ق‬ ‫مقدارهما‬ ‫قوتان‬ ‌
............................................................................................................... ‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫مقدار‬ ‫فإن‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫متالقية‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫نت‬‫ز‬‫ات‬ ‫إذا‬ ‌
‫م/ث‬ ................................................................................. = ‫54كم/د‬ ‌
................................................................................................................... * )C( ‫ل‬ = ) C(K ‫فإن‬ ‫عشوائية‬ ‫لتجربة‬ ‫عينة‬ ‫فضاء‬ ‫من‬ ‫حدث‬ C ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
-:‫المعطاة‬ ‫اإلجابات‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫الصحيحة‬ ‫اإلجابة‬ ‫اختر‬ :‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫قوة‬ ‫وحدة‬ .................................................................= || I || ‫فإن‬ N 5 - M 7 = 2‫ق‬ ، M 5 = 1‫ق‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‌
5 - 12 ‫د‬ 13 ‍‫ج‬ 49 ‫ب‬ 74 + 5 ‫أ‬
‫داخل‬‫الجسم‬‫كة‬‫حر‬‫عجلة‬‫فإن‬‫سكن‬‫حتى‬‫سم‬14 ‫فيها‬‫فغاص‬‫رملية‬‫أرض‬‫على‬‫متر‬19٫6‫ارتفاع‬‫من‬‫جسم‬‫سقط‬ ‌
2‫سم/ث‬ ................................... = ‫الرمل‬
1732 ‫د‬ 19٫6 ‍‫ج‬ 9٫8- ‫ب‬ 1372 ‫أ‬
.............................. ‫يساوى‬ 45 ، 52 ، 45 ، 13 ، 22 ، 45 ، 35 ، 5 ‫للقيم‬ ‫المنوال‬ ‌
45 ‫د‬ 40 ‍‫ج‬ 52 ‫ب‬ 5 ‫أ‬
3‫سم‬ .......................................... ‫يساوى‬ ‫حجمه‬ ‫فإن‬ ‫31سم‬ ‫الجانبى‬ ‫ارتفاعه‬ ‫01سم‬ ‫قاعدته‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫منتظم‬ ‫رباعى‬ ‫هرم‬ ‌
10 * 2)13( 1
3 ‫د‬ 13 * 2)12( * 1
3 ‍‫ج‬ 12 * 2)10( * 1
3 ‫ب‬ 13 * 2)10( * 1
3 ‫أ‬
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
‫الجسم‬‫وحفظ‬0٫6=‫هـ‬‫حا‬‫حيث‬‫هـ‬‫بزاوية‬‫األفقى‬‫على‬‫يميل‬‫أملس‬‫مستوى‬‫على‬‫جم‬‫ث‬800‫نه‬‫ز‬‫و‬‫جسم‬‫وضع‬ ‌
‫الجسم‬ ‫على‬ ‫المستوى‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫القوة‬ ‫هذه‬ ‫مقدار‬ ‫أوجد‬ ‫أفقية‬ ‫قوة‬ ‫بواسطة‬ ‫توازن‬ ‫حالة‬ ‫فى‬
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 162
‫عامة‬‫اختبارات‬

168. ‫بالعالقة‬ ‫يتحدد‬ S ‫موضعه‬ ‫متجه‬ ‫أن‬ ‫بحيث‬ )‫(و‬ ‫ثابتة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫جسيم‬ ‫يتحرك‬ ‌
‫متجه‬ ‫كذلك‬ ،‫اإلزاحة‬ ‫متجه‬ ‫أوجد‬ ‫المستقيم‬ ‫للخط‬ ‫مواز‬ ‫وحدة‬ ‫متجه‬ ‫ى‬ ‫حيث‬ ‫ى‬ )5 + ‫ 3ن‬+ 2‫(ن‬ = S
‫ث‬ 3 = ‫ن‬ ‫حتى‬ ‫كة‬‫الحر‬ ‫بدء‬ ‫منذ‬ ‫المتوسطة‬ ‫السرعة‬
:‫الرابع‬ ‫السؤال‬
c60 ‫اتجاهيهما‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫وقياس‬ ‫المقدار‬ ‫فى‬ ‫متساويتين‬ ‫قوتين‬ ‫إلى‬ ‫نيوتن‬ 90 ‫قدرها‬ ‫قوة‬ ‫حلل‬ ‌
‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫مترا‬ 34 ‫وقطع‬ ‫الرابعة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫42مترا‬ ‫فقطع‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫فى‬ ‫منتظمة‬ ‫بعجلة‬ ‫جسم‬ ‫يتحرك‬ ‌
:‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫احسب‬ ‫التاسعة‬
‫كة‬‫الحر‬ ‫عجلة‬ ‫أ‬
‫كة‬‫للحر‬ ‫االبتدائية‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬ ‫ب‬
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
‫المعطاه‬ ‫بالبيانات‬ ‫ا‬ً‫ن‬‫مستعي‬ ،‫قائم‬ ‫مخروط‬ ‫شبكة‬ ‫يوضح‬ ‫الشكل‬ ‌
)22
7 = r( ‫حجمه‬ ‫أوجد‬
‫يظهر‬ ‫الذى‬ ‫العدد‬ ‫ومالحظة‬ ‫متتاليتين‬ ‫تين‬‫ر‬‫م‬ ‫نرد‬ ‫حجر‬ ‫إلقاء‬ ‫تجربة‬ ‫فى‬ ‌
:‫احتمال‬ ‫احسب‬ . ‫مرة‬ ‫كل‬ ‫فى‬ ‫العلوى‬ ‫الوجه‬ ‫على‬
8 ‫عن‬ ‫يزيد‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫أن‬ ‫حدث‬ ‫أ‬
‫متساويين‬ ‫عددين‬ ‫ظهور‬ ‫حدث‬ ‫ب‬
C
‫ن‬
‫ب‬
‫جـ‬
‫م‬2 21
2 44
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬163
‫عامة‬‫اختبارات‬

169. ‫االستاتيكا‬ :‫األولى‬ ‫الوحدة‬
‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
19 5 4 4 10 3
‫جـ‬ 8 ‫د‬ 7 ‫جـ‬ 6
c90 ، 3 5 11 ‫ب‬ 10 ‫د‬ 9
1
2
1-‫طا‬ ، ‫كجم‬ ‫ث‬ 5 3 12
‫نيوتن‬ 2 4 15 ‫ن‬‫نيوت‬ 8 14 c120 13
c 90 17 ‫ن‬‫نيوت‬ 8 16
12 ‫على‬ ‫عمودية‬ ، ‫نيوتن‬ 15 18
‫كجم‬ .‫ث‬ 3 6 ، 6 20 3 2 + 1 19
‫كجم‬ ‫ث‬ 15 22 ‫ن‬‫نيوت‬ 3 ،5 21
3 : 2 24 ‫كجم‬ ‫ث‬ 5 3 23
‫الثانى‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
4 2 ‫ر‬‫صف‬ 1
18 ، 25٫46 4 ‫ن‬‫نيوت‬ 6٫21 ، ‫نيوتن‬ 8٫78 3
2 6 ، 6 6 6 6 ، 6 5
2 60 ، 2 60 8 311 ، 439 7
3 9 ، 9 10 80 ، 3 80 9
360 ، 150 12 21 ، 3 21 11
‫الثالث‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
1 ،1- 3 10
3 ،3 2 4
3
1-‫طا‬ ، 5 1
c45 ، 2 3 2 ‫شكل‬ 3
4
1- ‫طا‬ 1 ‫شكل‬ 4
1‫ق‬ ‫اتجاه‬ ‫فى‬ 1= I 3 ‫شكل‬
، 3 6 ‫القوة‬ ‫إتجاه‬ ‫فى‬ 3 2 4 ‫شكل‬
c213 /
41
//
24 ، 58 5 ‫شكل‬
E C ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ‫نيوتن‬ 20 6 ‫شكل‬
‫الغرب‬ ‫جنوب‬ c30 ، 3 10 6 c240 ، 3 5
c 60 ، ‫نيوتن‬ 3 5 8 c120 ، ‫نيوتن‬ 10 7
1 ، 1- 10 ‫جـ‬ C ‫اتجاه‬ ‫فى‬ ، 2 10 9
‫الرابع‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
0 = ‫ص‬ ، 0 =‫س‬ 2 ‫ل‬‫مقف‬ ‫بمضلع‬ 1
‫نيوتن‬ 5 4 5 ،3 3
‫المتناظرة‬ ‫القوى‬ ‫مقادير‬ 5
.‫المقابلة‬ ‫الزوايا‬ ‫جيوب‬ 6
c120 8 ‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫فى‬ ‫تتالقى‬ 7
3 3 ، 3 9
3 40 ، 3 20 1 ‫شكل‬ 10
50 ، 5 50 3 ‫شكل‬ 6 ، 3 6 2 ‫شكل‬
2 20 5 ‫شكل‬ 24 ، 18 4 ‫شكل‬
16 = ‫و‬ ،c 60 = ‫هـ‬ 6 ‫شكل‬
‫ث.جم‬ 3 30 ، 30 11
‫جم‬ .‫ث‬ 120 ، ‫جم‬ .‫ث‬ 160 12
‫جم‬ ‫ث‬ 3 100 ، c60 13
‫نيوتن‬ 3 36 ، 72 15 ‫م‬.‫ث‬ 1000 ، 600 14
‫نيوتن‬ 16 ،12 17 ‫ن‬‫نيوت‬ 6 ، 3 3 16
9 = ‫ك‬ ، 6 = ‫ق‬ 19 ‫م‬‫كج‬ . ‫ث‬ 5 ، 9 18
‫كجم‬ ‫ث‬ 3 2 ،c 30 20
‫الديناميكا‬ :‫الثانية‬ ‫الوحدة‬
‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
18 3 25 2 72 1
‫جـ‬ 9 ‫ـ‬‫ج‬ 8 ‫جـ‬ 7
‫6كم/س‬ 13 ‫م‬225 11 ‫جـ‬ 10
120 ،60 16 30 ،150 15
)2( ‫نشاط‬
‫51كم/س‬ 22 2 21 28 20
‫الثانى‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
2‫م/ث‬ 3 ‫هـ‬ 10 ‫ب‬ 24 ‫أ‬ 1
6٫25 4 ‫م‬363 3 ‫27م‬ 2
‫24م‬ 8 1080 ،81 7 ‫م‬ 27 6
‫ثوان‬ 8 13 ‫3ث‬ 11
‫الثالث‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
‫م/ث‬ 58٫8 2 ‫ث‬/‫م‬ 8٫4 1
‫م/ث‬ 49 ‫ب‬ ‫ث‬ 10 ‫أ‬ 3
‫م/ث‬ 7 ،‫م/ث‬ 14 4
‫01ث‬ 8 ‫2ث‬ ،‫7٫41م/ث‬ 6
‫متر‬ 24٫5 ‍‫ج‬ ‫م‬19٫6 ‫ب‬ 2‫م/ث‬ 19٫6 ‫أ‬ 9
‫ث‬ 5 ‫د‬ ‫ث‬ 2 ‫ب‬ ‫م‬ 3٫6 ‫أ‬ 10
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 164
‫التمارين‬‫بع�ض‬‫اجابات‬

170. ‫ث‬ 10 ‍‫ج‬ ‫م‬ 62٫5 ‫ب‬ ‫ث‬/‫م‬ 35 ‫أ‬ 11
‫م‬ 15٫9 ،‫1٫44م‬ ،‫3ث‬ 12
‫الرابع‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
12- 10 * 6٫7368 7 12- 10 * 8٫004 6
10 10 * 1٫731 9 9- 10* 2٫5 8
22 10 * 1٫6008 11 24 10 * 6 10
2‫ 01م/ث‬13 368
2523 12
33 10 * 2٫668 15 3 : 1 14
‫ 9كجم‬16
‫والقياس‬ ‫الهندسة‬ :‫الثالثة‬ ‫الوحدة‬
‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
5 ‍‫ج‬ 6 ‫ب‬ 5 ‫أ‬ 1
‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ ‫سم‬ 109 ،‫سم‬ 120 3
‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ ‫متر‬ 145 ‫سم‬ 200 4
‫الثانى‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
2‫سم‬ 105٫6 ،2‫سم‬ 90 ‫أ‬ 1
2‫سم‬ 504 ،2‫سم‬ 360 ‫ب‬
2‫سم‬r 108 ،2‫سم‬r 72 ‫أ‬ 2
2‫سم‬ 528٫6 ،2‫سم‬r 58 27 ‫ب‬
‫ا‬ً‫ه‬‫جني‬ 510 ‫ب‬ ‫مربع‬ ‫متر‬ 34 ‫أ‬ 4
‫سم‬ 29٫24 5
‫الثالث‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
3‫سم‬ 9175٫8 2 3‫سم‬ 1200 1
3‫سم‬ 3500 4 ‫م‬‫س‬ 10 3
3‫سم‬ 342٫3 7 3‫سم‬ 1282٫8 6
‫مربع‬ ‫وحدة‬ r 12 ‫أ‬ 12
3‫سم‬ 4000 ‫ب‬ 3‫سم‬ 200 ‫أ‬ 13
‫الرابع‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
‫ب‬ 3 ‫ـ‬‫ج‬ 2 ‫أ‬ 1
‫د‬ 6 ‫د‬ 5 ‫ب‬ 4
5 = H ،)3- ،2( ‫م‬ ‫أ‬ 12
3 = H ،)0 ،1-(‫م‬ ‫ب‬
34 = H ،)5- ،3(‫م‬ ‍‫ج‬
0 = 770 - ‫81ص‬ + ‫41س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ 15
.‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ 283 16
0 = 102 + ‫81ص‬ - ‫01س‬ + 2‫ص‬ + 2‫س‬ 17
‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
2‫سم‬ 384 ‫ب‬ 2‫سم‬r 60 ‫أ‬ 2
‫سم‬ 260 4 ‫م‬‫9س‬ = ‫ع‬ 3
‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ 2‫سم‬ 282٫7 5
‫صفر‬ = ‫21ص‬ + ‫01س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ 7
‫ا‬ً‫ب‬‫تقري‬ ‫مربع‬ ‫متر‬ 1946 11 ‫ع‬‫مرب‬ ‫متر‬ 1100 9
‫التراكمى‬ ‫االختبار‬
‫ب‬ 3 ‫د‬ 2 ‫جـ‬ 1
3‫سم‬ 1433 ‫ب‬ 3‫سم‬ 1280 ‫أ‬ 5
0 = 48 - ‫41ص‬ + ‫4س‬ - 2‫ص‬ + 2‫س‬ 6
3‫سم‬ 167٫3 9 3‫سم‬ 1761٫8 8
‫واالحتمال‬ ‫االحصاء‬ :‫الرابعة‬ ‫الوحدة‬
‫األول‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
1٫4 3 2٫7 2 23 1
‫س‬c20 7 ‫س‬c43 5 ‫س‬c16 4
‫الثانى‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
‫جـ‬ 2 ‫د‬ 1
72 ، 72 4 6٫5 ، 53 ، 46٫5 ، 49٫5 3
‫الثالث‬ ‫الدرس‬ ‫تمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
0٫35 ،0٫25 8 1
18 ، 1
6 7 ‫ـ‬‫ج‬ ، ‫ب‬ ، C 5
0٫55 ‍‫ج‬ 0٫45 ‫ب‬ 0٫2 ‫أ‬ 10
5
18 ، 5
36 ، 1
6 14
‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫اجابة‬
10 7 12 6 110 ، 815 3
1
4 ، 1
2 ، 7
8 ، 3
8 14 0٫7 11
0٫88 ‫ب‬ 0٫36 ‫أ‬ 17
‫التراكمى‬ ‫االختبار‬
‫جـ‬ 3 ‫ب‬ 1
0٫72 ‫ب‬ 0٫66 ‫أ‬ 6
‫صفر‬ ‫د‬ 1 ‍‫ج‬
‫الثانوى‬ ‫الثانى‬ ‫الصف‬ - ‫الطالب‬ ‫كتاب‬165
‫التمارين‬‫بع�ض‬‫اجابات‬

171. 73 ، 74 ‫ب‬ 8
0٫5 ‍‫ج‬ 0٫3 ‫ب‬ 0٫4 ‫أ‬ 10
‫الثالث‬ ‫السؤال‬ :‫األول‬ ‫االختبار‬
2 50 2 120 1
:‫األول‬ ‫السؤال‬ :‫الثانى‬ ‫االختبار‬
‫كم/س‬ 200 2 4 1
:‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫أ‬ 3 ‫ـ‬‫ج‬ 2 ‫جـ‬ 1
:‫الثانى‬ ‫السؤال‬ :‫الثالث‬ ‫االختبار‬
‫جـ‬ 2 ‫د‬ 1
:‫الخامس‬ ‫السؤال‬
1
4 -‫ب‬ 1
8 -‫أ‬ 2
:‫األول‬ ‫السؤال‬ :‫الرابع‬ ‫االختبار‬
)‫ل(ب‬ 4
:‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫جـ‬ 4
:‫الثالث‬ ‫السؤال‬
2‫م/ث‬882 ‫ب‬ ‫م/ث‬21 ‫أ‬ 2 120 1
:‫األول‬ ‫السؤال‬ :‫السادس‬ ‫االختبار‬
150 1
:‫الثانى‬ ‫السؤال‬
‫جـ‬ 2 ‫د‬ 1
:‫السابع‬ ‫االختبار‬
‫أ‬ 4 ‫د‬ 3 ‫ب‬ 2 ‫ب‬ 1
:‫الثانى‬ ‫السؤال‬ :‫الثامن‬ ‫االختبار‬
‫جـ‬ 2 ‫جـ‬ 1
:‫الثانى‬ ‫السؤال‬ :‫العاشر‬ ‫االختبار‬
‫د‬ 3 ‫جـ‬ 1
‫علمى‬ - ‫الرياضيات‬ ‫تطبيقات‬ 166