1. Математика. 9 класс
Демонстрационный вариант
экзаменационной работы для проведения в 2012 году
государственной (итоговой) аттестации (в новой форме)
по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные
общеобразовательные программы основного общего образования
Пояснения к демонстрационному варианту экзаменационной работы
При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в
виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов
Государственная (итоговая) аттестация 2012 года (в новой форме) содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в
по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные 2012 году. Разделы содержания, на которых базируются контрольные
общеобразовательные программы измерительные материалы, определены в спецификации; полный перечень
соответствующих элементов содержания и умений, которые могут
контролироваться на экзамене 2012 года, приведён в кодификаторах,
размещённых на сайте: www.fipi.ru.
Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать
Демонстрационный вариант возможность участнику экзамена и широкой общественности составить
представление о структуре будущей экзаменационной работы, числе и форме
экзаменационной работы для проведения в 2012 году заданий, а также их уровне сложности. Эти сведения дают возможность
государственной (итоговой) аттестации (в новой форме) выработать стратегию подготовки к сдаче экзамена по математике.
по МАТЕМАТИКЕ обучающихся, освоивших основные
общеобразовательные программы основного общего
образования
подготовлен Федеральным государственным научным учреждением
«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 2

2. Математика. 9 класс Математика. 9 класс
Часть 1
Демонстрационный вариант 2012 года
Инструкция по выполнению работы 0,3 ⋅ 4, 4
1 Найдите значение выражения .
0,8
Работа состоит из двух частей. В первой части 18 заданий, во второй -
5 заданий. На выполнение всей работы отводится 4 часа (240 минут).
Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в Ответ: ______________________.
черновике. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут
учитываться при оценке работы. Если задание содержит рисунок, то на нём
можно проводить дополнительные построения. 2 На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении
Часть 1 включает 14 заданий с кратким ответом, 3 задания с выбором одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение
одного верного ответа из четырёх предложенных (задания 4, 5, 10) и одно температуры в градусах Цельсия. Найдите разность между наибольшим
задание на соотнесение (задание 12). значением температуры и наименьшим.
При выполнении заданий с выбором ответа обведите кружком номер 22
выбранного ответа в экзаменационной работе. Если Вы обвели не тот номер, 21
20
то зачеркните обведенный номер крестиком и затем обведите номер 19
правильного ответа. 18
Если ответы к заданию не приводятся, полученный ответ записывается 17
16
в экзаменационной работе в отведённом для этого месте. В случае записи 15
неверного ответа зачеркните его и запишите рядом новый. 14
В задании 12 требуется соотнести некоторые объекты (графики, 13
12
обозначенные буквами А, Б, В, и формулы, обозначенные цифрами 1, 2, 3, 4). 11
Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой 10
9
соответствующую цифру. 8
Ответом к заданию 15 является последовательность номеров верных 7
утверждений, записанных без пробелов и использования других символов, 6
5
например, 1234. 4
Ответы к заданиям 17 и 18 нужно записать на отдельном листе. 3
Решения заданий второй части и ответы к ним записываются на 2
0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 0:00
отдельном листе. Текст задания можно не переписывать, необходимо лишь
указать его номер.
Ответ: ______________________.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для
экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу,
и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас
3 Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей.
останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
группы из 4 взрослых и 12 школьников?
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.
Ответ: ______________________.
Желаем успеха!
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 3 © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 4

3. Математика. 9 класс Математика. 9 класс
4 На координатной прямой отмечено число a . 8 Найдите величину (в градусах) вписанного угла α ,
a опирающегося на хорду AB , равную радиусу
0 1
окружности.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным? α
O
1) a−3>0
2) 6−a<0
3) a−7>0 A B
4) 4−a >0
Ответ: ______________________.
5 Укажите наибольшее из чисел:
ab ⎛ a b ⎞
1) 4 2) 23 3) 3 7 4) 2 9 9 Упростите выражение ⋅ ⎜ − ⎟ и найдите его значение при a = 3 − 1 ,
a+b ⎝b a⎠
b = 3 + 1.
6 Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на
расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии Ответ: ______________________.
(в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см,
чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются 10 Завуч школы подвёл итоги контрольной работы по математике в 9-х классах.
неизменными? Результаты представлены на круговой диаграмме.
Результаты контрольной работы по математике.
9 класс
отсутствовали
отметка «2»
отметка «3»
отметка «4»
отметка «5»
A B
Ответ: ______________________. Сколько примерно учащихся получили положительную отметку «3», «4» или
«5», если всего в школе 120 девятиклассников?
7 Решите уравнение 5 − 2 x = 11 − 7 ( x + 2 ) . 1) более 100 учащихся
2) около 70 учащихся
Ответ: ______________________. 3) около 90 учащихся
4) менее 60 учащихся
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 5 © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 6

4. Математика. 9 класс Математика. 9 класс
11 На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с 15 Укажите номера верных утверждений.
вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что 1) Диагонали параллелограмма равны.
пирожок окажется с вишней. 2) Два различных диаметра окружности пересекаются в точке, являющейся
центром этой окружности.
Ответ: ______________________. 3) Сумма углов трапеции равна 360° .
4) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов.
12 Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые 5) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
их задают. противолежащего катета к гипотенузе.
A) Б) В)
y y y Ответ: ______________________.
16 На рисунке изображены графики функций y = 3 − x 2 и y = −2 x . Вычислите
1 1 1
координаты точки B .
x y
0 1 x 0 1 0 1 x
y = – 2x
A y = 3 – x2
2 x 2
1) y = x 2) y = 3) y = x 4) y =
2 x
0 x
А Б В
Ответ:
13 Дана арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, … Найдите сумму первых пяти её
членов. B
Ответ: ______________________.
14 Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
7 Ответ: ______________________.
15 12 13 При выполнении заданий 17 – 18 используйте отдельный лист. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите ответ.
9 12 17 abc
Из формулы площади треугольника S = выразите длину стороны b .
Ответ: ______________________. 4R
18 Решите неравенство x 2 − 100 ≤ 0 .
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 7 © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 8

5. Математика. 9 класс Математика. 9 класс
Часть 2
При выполнении заданий 19 – 23 используйте отдельный лист. Сначала
укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ.
Пишите четко и разборчиво.
19 18n + 3
Сократите дробь .
32 n + 5 ⋅ 2n − 2
20 В окружности с центром O проведены две равные хорды AB и CD . На эти
хорды опущены перпендикуляры OK и OL соответственно. Докажите, что
OK и OL равны.
A D
O
K L
B C
21 Из пункта A в пункт B , расстояние между которыми 80 км, выехал автобус.
В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на
20 км/ч, прибыл в пункт B вовремя. С какой скоростью автобус проехал
первую половину пути?
x 4 − 13 x 2 + 36
22 Постройте график функции y = и определите, при каких
( x − 3)( x + 2 )
значениях параметра с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую
точку.
23 Площадь треугольника ABC равна 40. Биссектриса AD пересекает медиану
BK в точке E , при этом BD : CD = 3: 2 . Найдите площадь четырёхугольника
EDCK .
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 9 © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 10

6. Математика. 9 класс Математика. 9 класс
Решения и критерии оценивания заданий части 2
Система оценивания экзаменационной работы по математике
19 18n + 3
Ответы к заданиям части 1 Сократите дробь .
32 n + 5 ⋅ 2n − 2
Номер задания Правильный ответ Ответ: 96.
1 1,65
2 17 Решение.
n+3
3 1980 18n + 3 (9 ⋅ 2) 32 n + 6 ⋅ 2n + 3
= 2n + 5 n − 2 = 2n + 5 n − 2 = 3
2 n + 6 − ( 2 n + 5)
⋅2
n + 3 − ( n − 2)
= 3 ⋅ 25 = 96.
4 1
32 n + 5 ⋅ 2n − 2 3 ⋅2 3 ⋅2
5 3
6 500 Критерии оценивания выполнения задания Баллы
7 –1,6 Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ 2
8 30 Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка
9 –2 вычислительного характера (например, при вычитании), с её 1
10 3 учётом дальнейшие шаги выполнены верно
11 0,2 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
Максимальный балл 2
12 142
13 55 В окружности с центром O проведены две равные хорды AB и CD . На эти
14 168 20
хорды опущены перпендикуляры OK и OL соответственно. Докажите, что
15 235 OK и OL равны.
16 (3; –6)
4SR A D
17 b= O
ac K L
18 [ −10;10]
B C
Решение.
Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, OD. Треугольники AOB и COD равны по
трём сторонам. OK и OL — их высоты, проведённые к равным сторонам,
следовательно, они равны как соответственные элементы равных
треугольников.
A D
O
K L
B C
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 11 © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 12

7. Математика. 9 класс Математика. 9 класс
Критерии оценивания выполнения задания Баллы 22 x 4 − 13 x 2 + 36
Доказательство верное 3 Постройте график функции y = и определите, при каких
( x − 3)( x + 2 )
Доказательство в целом верное, но содержит неточности 2
значениях параметра с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
Максимальный балл 3 точку.
Из пункта A в пункт B , расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. Ответ: − 6, 25 ; − 4 ; 6.
21
В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на
20 км/ч, прибыл в пункт B вовремя. С какой скоростью автобус проехал Решение.
первую половину пути? Разложим числитель дроби на множители:
Ответ: 60 км/ч.
( )( )
x 4 − 13 x 2 + 36 = x 2 − 4 x 2 − 9 = ( x − 2 )( x + 2 )( x − 3)( x + 3) .
При x ≠ 3 , x ≠ − 2 исходная функция
принимает вид y = ( x + 3)( x − 2 ) , её график y=6 y
Решение.
Пусть x (км/ч) — скорость, с которой автобус проехал первую половину — парабола, из которой выколоты точки
пути, тогда скорость на второй половине пути — x + 20 (км/ч). Первую ( 3; 6 ) и ( − 2; − 4 ) . y = x2 + x – 6
40 40 Прямая y = c имеет с графиком ровно
половину пути автобус проехал за ч, а вторую за ч. Из условия 1
x x + 20 одну общую точку либо тогда, когда
40 40 1 проходит через вершину параболы, либо –2 0 1 3 x
следует, что − = . Решим это уравнение:
x x + 20 6 тогда, когда пересекает параболу в двух y=– 4
800 1 4800 точках, одна из которых — выколотая.
= ; = 1; x 2 + 20 x − 4800 = 0 ; x1 = 60; x2 = − 80 .
x ( x + 20 ) 6 x ( x + 20 ) Вершина параболы имеет координаты y = – 6,25
Так как x — величина положительная, то второй корень уравнения не ( − 0,5; − 6,25) .
соответствует условию задачи. Поэтому c = − 6,25 , c = − 4 или c = 6 .
Критерии оценивания выполнения задания Баллы Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Правильно составлено уравнение, получен верный ответ 3 График построен правильно, верно указаны все требуемые
4
Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена значения c
2
вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа График построен правильно, указаны не все верные значения c 3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0 Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
Максимальный балл 3 Максимальный балл 4
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 13 © 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 14

8. Математика. 9 класс
23 Площадь треугольника ABC равна 40. Биссектриса AD пересекает медиану
BK в точке E , при этом BD : CD = 3: 2 . Найдите площадь
четырёхугольника EDCK .
Ответ: 11.
Решение.
AB BD 3
Пусть AK = KC = x . По свойству биссектрисы = = , откуда
AC CD 2
AB = 3x . Из треугольника АВK, где АЕ –
BE AB A
биссектриса, находим, что = = 3.
KE AK
Пусть S — площадь треугольника ABC , тогда
CD 2 K
S ACD = ⋅ S = S; E
CB 5
KE KE AK S
S AKE = ⋅ S ABK = ⋅ ⋅S = . D B
BK BK AC 8 C
2 S 11
Таким образом, S EDCK = S ACD − S AKE = S − = S = 11.
5 8 40
Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный
4
ответ
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение
обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но
3
допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен
неверный ответ
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям 0
Максимальный балл 4
© 2012 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации 15