1. Страница 1. Неопределённость измерения и её оценивание
Выполнение практических работ связано с измерением различных физических величин и
последующей обработкой их результатов.
Измерение — нахождение значения физической величины опытным путём с помощью
средств измерений.
То есть, измерение — это совокупность операций, имеющих целью определение значения
величины.
Измерить физическую величину Х — значит узнать, сколько раз в X 0 (значении
физической величины) содержится единица измерения a . Тогда X 0 можно представить
как X 0 = n  a .
Измерения могут быть прямыми и косвенными.
В прямых измерениях значение физической величины считывается непосредственно со
шкалы прибора. Например, измерение длины с помощью линейки, измерение напряжения
вольтметром.
При косвенных измерениях значения физической величины определяются по формулам,
выражающим какие-то законы. Например, для измерения площади круга необходимо
сделать прямые измерения диаметра, тогда
d 2
площадь вычисляется косвенно по известной формуле S = .
4
Никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряя какую-либо величину,
мы всегда получаем результат с некоторой погрешностью (ошибкой). Другими словами,
измеренное значение величины всегда отличается от истинного её значения.
Измерения, проводимые при выполнении практических работ с целью проверки
физических законов и определения физических величин и характеристик, дают, как
правило, только приближённые значения. При составлении отчёта о результате измерения
физической величины необходимо дать какое-либо количественное указание о качестве
результата так, чтобы те, кто используют этот результат, могли бы оценить его
надёжность.
Когда все известные или предполагаемые компоненты погрешности оценены и внесены
соответствующие поправки, всё ещё остаётся относительно истинности указанного
результата, т.е. сомнение в том, насколько точно результат измерения представляет
значение измеряемой величины.
В результате однократного измерения физической величины Х получается значение  изм ,
отличающееся от истинного значения X 0 , которое неизвестно. Точность измерения —
близость результата измерения к истинному значению измеряемой величины.

2. Истинное значение по природе неопределимо. Это — значение, которое могло бы быть
получено при идеальном измерении.
На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины,
то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путём и
настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче
может быть использовано вместо него.
Действительное значение величины — значение, приписываемое конкретной величине и
принимаемое, часто по соглашению, как имеющее неопределённость, приемлемую для
данной цели.
Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в
измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным
результатом указывается погрешность измерений. При прямых измерениях погрешность
устанавливается из анализа точности выбранного метода и точности приборов, а также из
повторяемости результатов.
Задача обработки результатов измерений заключается в том, чтобы определить границы
интервала, в котором заключено истинное значение измеряемой величины.
Для этого используются границы абсолютной и относительной погрешностей.
Границей абсолютной погрешности физической величины будем называть  (  —
греческая буква «дельта») которая находится как разница между измеренным  изм и
истинным значением физической величины X 0 :
   изм   0 , (3.1)
Границы абсолютной погрешности измерений в силу случайного характера могут с
равной вероятностью принимать положительные и отрицательные значения. Поэтому
результат измерений записывается следующим образом:
 0  изм  . (3.2)
 — наибольшая погрешность результата измерения. Знак «плюс-минус» символизирует
границы, в которых заключено истинное значение измеряемой физической величины.
То есть при измерении неизвестной величины измеряемая величина должна находиться в
интервале:
(  изм –  ;  изм +  ).
Этот интервал, который достоверно содержит истинное значение измеряемой физической
величины, называется интервалом достоверных значений величины. Половина его
значения называется границей абсолютной погрешности  . Граница погрешности
показывает, на сколько неизвестное истинное значение измеряемой величины может
отклоняться от её значения, полученного в результате измерений (рис. 1).
Рис. 1. Интервал достоверных значений
Например, запись t = (2,8 ± 0,1) c означает, что истинное значение величины t лежит в
интервале от 2,7 с до 2,9 с с некоторой оговорённой вероятностью.

3. Использование понятия «граница погрешности измерений» вместо понятия погрешность
измерения связано с тем, что истинные значения физических величин остаются
неизвестными, поэтому неизвестны и значения погрешностей измерений  .
В отличие от погрешности измерений границу погрешностей измерений физической
величины, можно определить, зная характеристики применяемых приборов и методов
измерений.
Граница абсолютной погрешности не в полной мере характеризует качество измерения.
Пусть, например, в результате измерений установлено, что длина бруска равна
l = (100± 1) см, а толщина d = (2 ± 1) см.
Хотя граница абсолютной погрешности измерений в этих двух случаях одинакова, ясно,
что качество измерений в первом случае выше.
Качество измерений характеризуется понятием границы относительной погрешностью 
(греческая буква «эпсилон»), равной отношению границы абсолютной погрешности к
значению величины, полученной в результате измерения:

 .
 изм
Граница абсолютной погрешности может быть выражена и в процентах:

  100 %.
 изм
Погрешности прямых измерений. Самыми распространенными являются
систематические погрешности, которые при повторных измерениях остаются
постоянными или изменяются по определённому закону. При этом результаты измерении
оказываются во всех опытах либо завышенными, либо заниженными.
Они могут быть инструментальными, связанными, например, со сдвигом или перекосом
приборной шкалы, изгибом стрелки у стрелочных приборов, изменением физических
параметров приборов, и методическими,
возникающими из-за выбора неточной методики измерений или неоправданного
использования приближённых расчётных формул (неучёт сил трения, масс нитей и блоков
и т. д.)
Систематические погрешности должны быть выявлены и устранены.
Приборные погрешности связаны с ограниченной точностью приборов (нельзя,
например, абсолютно точно изготовить одинаковые деления приборной шкалы).
Для простейших приборов погрешность совпадает с ценой деления их шкалы, но не всегда
ей равна. Например, для деревянных линеек  пр = 1 мм, а для металлических и
современных пластмассовых линеек  пр = 0,5 мм, хотя цена деления у них одинаковая
— 1 мм; для штангенциркуля с ценой деления 0,1 мм целесообразно полагать  пр = 0,1
мм.
Абсолютная погрешность средства измерения, т. е. прибора, зависит от качества
изготовления прибора на заводе.

4.  пр
Обычно в паспорте прибора указана относительная погрешность  пр  ,
М
где М — максимальное значение физической величины на шкале. Величина  пр  М пр
называется классом точности прибора.
Например, динамометр (см. рис. 2) для практических работ имеет погрешность  пр =
0,05 Н.
Рис. 2.
Амперметр и вольтметр для лабораторных работ — погрешности  пр = 0,05 А и  пр =
0,15 В соответственно. Зная класс точности прибора и предел его измерения М, можно
определить абсолютную погрешность прибора
 пр  М
 пр  . (3.5)
100
Например, если  пр = 4, а предел измерения прибора М = 250 мА, то абсолютная
погрешность составляет 4 % от 250 мА, т. е. 10 мА на всей шкале. Другой пример:
амперметр класса 0,2 имеет абсолютную погрешность, не превышающую 0,2% от тока
соответствующей полной шкалы прибора.
Промахи — результаты, которые очень сильно отклоняются от всех остальных
полученных результатов (чаще всего из-за небрежности экспериментатора во время
проведения опыта).
Промахи отбрасываются.
После устранения систематических причин появления погрешностей и отбрасывания
промахов основными погрешностями являются приборные и случайные.
Случайные погрешности возникают из-за действия на установку большого количества
случайных факторов: колебания температуры, электромагнитный фон, неоднородность
измеряемого образца и т. д. Это погрешности, принимающие при повторных измерениях
одной и той же величины в одних и тех же условиях различные значения.
Измеряемая величина может от измерения к измерению принимать разные значения.
Например, нужно установить дальность полётов пуль, выпущенных с определённой
высоты в горизонтальном направлении из данного оружия. Понятно, что от выстрела к
выстрелу немного меняются условия внутри ствола орудия, там появляется и счищается
нагар, стенки ствола орудия изнашиваются. Заряды пороха и массы пуль в разных
патронах немного отличаются, даже если все патроны были выпущены одним и тем же
заводом в одну и ту же смену одним и тем же мастером. Крепление орудия от выстрела к
выстрелу меняется, поэтому лишь с некоторой погрешностью можно устанавливать
горизонтальность оси симметрии ствола орудия. И тому подобное. Таким образом,
существует множество факторов, которые невозможно учесть, но которые влияют на
результат, причём могут изменить его как в большую, так и в меньшую сторону.
Изменения дальности полёта от выстрела к выстрелу принимают разные значения,
которые предсказать невозможно, — они носят случайный характер. При этом приборная
ошибка измерений гораздо меньше, чем среднее по величине значение отклонения

5. дальности полёта пули в одном выстреле от результата, полученного в другом выстреле. В
таких случаях говорят, что имеется непредсказуемый случайный разброс измеряемых
значений от опыта к опыту.
Чтобы охарактеризовать измеряемую величину, нужно найти (вычислить по результатам
многих выстрелов) некое среднее её значение и указать среднюю величину разброса
значений вблизи этого среднего значения. Этих сведений будет достаточно, чтобы в
технических документах орудия данного типа указать для него дальность стрельбы
«прямой наводкой».
Какое разумное число измерений нужно провести, чтобы найти это среднее значение с
максимальной возможной точностью?
В учебной практике три — пять измерений необходимо производить всегда. Если
результаты совпали, то следует на этом остановиться. В качестве среднего значения для
измеренной величины обычно принимают среднее арифметическое  ср из
1   2  ...   n
всех полученных результатов:  ср  , (3.6)
n
где n — число опытов.
Мерой случайной погрешности может служить стандартное отклонение  (греческая
буква «сигма») единичного результата при n измерениях, которое определяется
формулой:
( 1   ср ) 2  (  2   ср ) 2  ...  (  n   ср ) 2
 . (3.7)
n 1
Почему в формуле (3.7) стоит в знаменателе n  1 вместо n ? Оказывается, что при
небольших n такая формула даёт лучшую оценку стандартного отклонения, чем формула
с n в знаменателе. А если сделан один опыт, в формуле (3.7) получается «ноль, делённый
на ноль»: и это напоминает нам о невозможности вычислить стандартное отклонение по
результатам единственного измерения.
Рассмотрим примеры расчёта стандартного отклонения.
Повторим измерение одной величины Х несколько раз ( n раз). Результаты измерений
будем обозначать 1 ,  2 ,  3 ,...,  n . Среднее значение —  ср .
Пример 1.
Измеряя время движения тела по наклонной плоскости, ученик получил результаты: 7, 5,
4, 5, 6, 3 секунды. Среднее время:
75 4563 30
 ср  с  с  5,0с.
6 6
Стандартное отклонение:
(7  5) 2  (5  5) 2  (4  5) 2  (5  5) 2  (6  5) 2  (3  5) 2 4  0 1 0  4 10
    1,4 с.
6 1 5 5
Итак, время движения тела по наклонной плоскости равно (5,0 ± 1,4) с. Отметим, что в
промежуток (5,0 – 1,4; 5,0 + 1,4) с, то есть от 3,6 до 6,4с, попадают не все результаты
измерений, а только 4 из 6 (результаты 3 и 7 с лежат вне этого промежутка). Этого и
следовало ожидать, так как в математической статистике доказано, что около 2/3 опытов
должно попасть в промежуток (  ср – σ;  ср + σ) .

6. Итак, среднее значение  ср и стандартное отклонение σ можно легко вычислить по
результатам нескольких измерений.
Пример 2. (правило трёх сигм)
Если мы проведём достаточно много, например, 100 измерений и вычислим  ср и  , то из
величин 1 ,  2 ,..., 100 68 значений попадут в интервал от (  ср –  ) до (  ср +  ), а 96 из
100 — в интервал от (  ср – 2  ) до (  ср + 2  ). Практически все значения случайной
величины лежат в интервале (  ср – 3  ;  ср + 3  ). Более строго — не менее чем с
99,7 % достоверностью значение случайной величины лежит в указанном интервале. В
этом и состоит смысл стандартного отклонения.
На рисунке 3 представлен график, где на горизонтальной оси отмечено среднее значение
 ср и стандартное отклонение  σ ;  2σ ;  3σ . А по вертикальной оси —
относительные частоты, которые получаются при делении каждой из частот на количество
всех значений. Сумма всех относительных частот равна единице.
Рис. 3.
Для более подробного изучения стандартного отклонения, можно познакомиться с
примером «Анализ данных в Excel: малые выборки» по ссылке:
http://www.youtube.com/watch?v=WLDwc9EfPjs 13.08с
Граница случайной погрешности  случ среднего значения  ср из n измерений равна
границе случайной погрешности  случ единичного измерения, делённой на корень
квадратный из числа n измерений:
 случ 3
 случ .ср   ,
n n
где  — стандартное отклонение результатов единичных измерений.
Результирующая абсолютная погрешность физической величины  находится как
сумма случайной  случ.ср и приборной погрешностей  пр :
   пр   случ.ср .
Результат опыта записывают в виде:  0   ср   .

7. Относительная погрешность  при прямых измерениях — безразмерная величина, равная
отношению абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению измеряемой
величины:

 100 %.
 cр