Προβλήματα εξισώσεων 2ου βαθμού, Γ Γυμνασίου

1. Μ 2
ι
.< Ι λ « ^ ίΧ>{ ^ 0 4 ^ © ^ , ^ ; φ ^ β ί Μ - ί ϊ , ’ α ρ ΐ ι 9 [ # α > ΐ,ο ζ ε . :
Χ.ζ + (χ Η / * ζ β ? ~“
Χ Ζ^ Λ ^ χ λ / ^
2 ^ 2 / ^ Λ ^ / - ^ Γ = ^
3 χ*+2λ - β ^ -<? Α<^. $ - 2 , ^ = - β Ϋ
^ x 4 ζ - * { ψ - ’ 2 Ά- ίί■2 ■ ^-Β «) τ — _ . .
- ^ * 6 ( * 6 * 6 " 5 β )
^ - « Λ » - * α * ^ " ^ Μ ? β £ ^ Τ - ί !
*·2 ' ~ ^ . 2 ~ α '
~£_ΐϋ ■=ζ ί 3 " - ψ Λοορρ.^ιο^ 70
- " ί ώ 6 ) ί ^ Χ ί-Λ
4 ^ **©3 0^5ίβ[*«>
Α ρ Ο Ο ' £> Ι Ο ί Ο & χ / *<£,< ( ρ ϋ ζ ΐ ί - 0 1 £ * ρ ( (&|ΐ>&£, ^ ,^ 3 5 4 . '.
Α - (ζ
χ + ! ~ $ ~ ^ ·
ν<£’|^ -ΐ.ιΟ * .— > νχθ-> X ο ι ^>θΟ ο ^Ολ Ο ο κ ^1=0ί ν^ροβ^ ρ ρ * Γ ο ί £ ·
( * - > ) % * * = $ 5
χ * - 2 χ -κ * + * Ζ ^ § 5
+ ' · " 6 5 - °
5 ^ - 2 χ - 6 < ί - ° Κ - ν λ , α . ^ 2 , & = - 2 . ) ^ — - 8 Μ :
^ - ( £ - 4 < ^ - ί - ζ ' ΐ - * + ν 2 · ί - β 4 ) = Η +&-8<4
- β ΐ / Χ . ( - 3 . ) ! & ΐ ί _ 3 * & 6 _ *!£ % > Μ ί - χ Λ · ^ τ Η
Λ ·> ϊ" %α- X -2. 4 Ν-*
<μ & α & © χ . « κ ο ί ι ^ ο £ ι } < ο ΐ ο ^ ρ ν ί φ ί Λ ί ^ ν ί ϊ α .
χ - ) - Τ - 1 ~ 6
Λ * 7
^ ΐ ϋ ^ , Ι ί ί . - , - £ & Ω ο «>
Η Η _ .. ~
Να βρείτε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα έχουν άθροισμα 85.

2. Ϊ γ £ι Τ < -* 2 Α ο Τ Ο Ε 8 - ·
χ 2 / / Κ - ΐ - / 2 < - » χ Ζ - ΐ ί χ - ζ ζ - & ^ Λ . α ~ ^
χ - έ χ ~ 4 < ^ = ( - Η Ϋ - ' 4 ■ί · ^ ~ ' * ■+ = ^
_ - / - » ? / > £ » .. = ?
* ' * ' ^ ' 4? · / " *
2 " 2
^ Π α λ ύ Θ ^ ^ Η .
α X ~ Β - * * - 4 x 4 : ΐ ά .
6 Χ ~ ^ - 6 + * ^ *>6 = ? Η 4 ί * .
ϊ >6 ~ Ϊ 6.
Ά ρ ^ ~ & ϊ ν ε ^ τ ^
Γ ια χ = - 2 *
* * · - Η * 4 τ Ι 2 .
4 - 4
' λ - ^ Ο ί _ X - - 2. ) & ^ Τ Μ.
Το τετράγωνο ενός αριθμού είναι ίσο με το τετραπλάσιο του αριθμού
αυξημένο κατά 12. Να βρείτε τον αριθμό αυτό.

3. . = * ° * ν α 'ί “ ^ Ά ' ^ ο ϊ “ ^ ι 6 φ ϊ > ; ) τ ο ε ( , ο ά ) Α β & | > η β > ρ £ ΐ ν * " ^ ο ( * * & )
θ ! ν ο έ β ί ο > α ^ έ ρ ° « ν 5 ί > 2 ^ ” "
X5 * + 3 χ · Α 2 3 - χ 3 - 5 6
χ 3 / * * * · / / ? * ^ - χ 3 - 5 £ ^
6 ρ 2 + / $ χ - <=> 6 ·( * *+ ·2 * - £ ) ~ °
Χ^ ·*~·2χ~~θ ύ%-~ ,^ ϊ -- -&
^ -- - * * - * * ' * * 2 3 6
X
€ ί / Ζ - 2 * 0 6 _ - 2 £ & , ^ Γ 4 ^ - ~ Γ = ^
7' 2." ^ ~ 2 ·/ ' 2 2 .^ 6 —§ *
— = Κ α ^ 8 .
„ ^ 6 έ υ έ ^ ν ο υ ί
Οποττέ οι 6 ο ο ιρυ6ικ©»· ο*ρ»εψ©1 ^υ^ϋς-ό^ α^ι&(*«^.
X - ,2
χ 2 '=-^ + 2 . ~ Η _
0 . ^ Χ Ο Ο ^ ν ^ ' ^ ρ Ο ί Μ Κ Φ ΐ 1 ^ λ ·Μ * Α Μ . .
Α ο ο ΐρ υ ^ ΐ 1«εν <ΑρΘ^©ί ^0<^έ·£0<3ν υχΜ1_α 5 . ^ μΛ .
Ον κ ο ££»-3> <ρο6»Κε>ϊ> £*ρί&|ί*Λ Χ-Ο^έ-0 «λλε>3 ν α έ^ναυ ο ^ κ ^ - ')
Ο ί ν Ο ^ ο ί ΐ : ο ο > Ι μ ο τ . 0 . 5 ^ χ 3 ~ . ( κ - 2 . ) ~ 5 & <Η>
- 3 Χ * · 2 - * - : $ * . 2 : - 2 * ) ~ 5 € Κ ' 2 > ο ο ? λ ο . ^ 1
Κ3 - (λ 3 ^ Χ % )2 * - 8 V 5 6 - ° *---------_ _ _ — ——
χ 3 + +-1£ - 5 &
6 * ζ - ) 2 κ - ~ ° « Η > £ - ν *
ρ 2 + £ κ ~ 8 ~ ν
Κ = β * - ^ 1 = * * * * * 'χ 3 ^
=> " _ £ Α λ -2 ί* 3 6 -3-Γ6 ^ ^ /}'■ —χ - , ~ __— — = — —— ^ ^ . Ζ ί ^ α
'Μ ,<> 9λ ^ -1 2
— = χ - - - ^
- ν ε ίν 'ϊ.ΐνοίΛ (
υ δ * ΐ θ 3 ^ ο ^ ι < 9 ;-»<=■?
Δύο φυσικοί αριθμοί διαφέρουν κατά 2 και οι κύβοι τους διαφέρουν κατά 56.
Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

4. I
„ 1 ^ ο Ο έ τ ) ( ' θ υ ν ^ . ο ^ Λ |
ο ν X ϋ> έ Λ ί ύ ^ > ^ Ι ς / ^ Ι « - > > ^ 4 ) Χ θ - 5 > ' Β ' Λ ϋ - ν ί υ - Ω [ — . Κ .
£ ζ ( * Χ 4 ( 9 ~ Κ ) ' ^ + 4 - ° | .
* £ " * > ε ι ο ΐ Ρ - ± > > α . ' ς _ 1 , ; α _ Α . 1 ^ 6
X ■( 9 - λ ) ~ ί §
°[ χ - “ **&
- * : 2 - ί - € { Λ - ] ^ " Ο ί ν Χ (X . - - ί , & ~ ^ , ^ - 1 8
_ Η ,Τ _ -< ? * / ? . , ΐ2 ϋ : - ' ^ --Τ5 =+ 3
^ ~3 - » * . Α
—- 2. „ 2-
Η | ( Χ Λ ~ 3 0 ^ α , ^ » ν α Α χ - 3
- ^ ^ ^ ^ί=
© α ) ο ^ α ρ ι έ ψ « υ ί ι Ι ι ^ ΰ Μ 9 ~ Λ “
^ ΐ α χ : ( ) ^ .
’— ' ' Ο &^£ΐ_> ίχρίί^Ι*4^ ^ ’νΟ^Λ Κ~£>
& & - } θ 5 £ Χ ρ . ΐ θ | ΐ Ο ^ 6 ^ ν ο ΐ 4 ^ - κ ~ ^ - 6 ^ 3 .
Ά ^ & ό ο ο ο 0 ^ . ( 9 ^ *- % > ν ο α · ^ 3 ^ ^
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 9 και γινόμενο 18.
Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

5. β ρ ο γο ρ νθ < ψ ϊφ /ο / } β Γ ϊχ ο ΐ φ έ
ΒΓ2 ^ / ^ Γ 1
Χ 2 +
ί / χ 2¥ ? *?Α
11Κί 4 4 Χ * ' Λ - * * * + / * « « ?
* ΐ) < ^ + ίίκ υ - Ζ χ ^ - Μ χ - Φ ϊ ~ °
£ χ£-/ ^ χ ~ 4 ^ = © 4 ^ £ · ( χ * - - 5 χ - * * ) - 0
Χ ^ - Β χ - Φ ^ ο Α *? 0 . < ζ = Λ , £ ~ ~ 5 , ^ - - 2 4
^ ( - 5 ) * - * * - ^ - * * ) = 3 5 + η ε = Μ β
_ - 4 + Π Τ - Γ - 5 ) ί ί / ? / $ * / 4 ^
' * - ■ * * ^ ' ~ ' £ ! ! . ^
2 ~ 5 > "
Ο η ό τ ε ο ( η ) £ (/} ? £ > γ ·& ϋ τ ρ ψ ά ν # } ) / } β Γ 4 ^ ί > ν ^ μ * η
β β - X - Β *
β ζ ' ^ X I Ψ - Β ί Τ - ί 3 ,
β Γ - 3 χ + / =£·&■*/ ~ ^ ~4Ψ.
ε ^ ^ Ο & Ο Τ ί Τ ϋ ' ^ ρ ΐ ^ ν ο ' ν ' ] Α τ ^ ) Γ ^ > ν θ Μ . .
( Α δ Ο - Χ £α6κ *θν^ο_3 - Λ- Λ 6* Α
“ Χ - 8 · » 5 " - Μ - 1 ^ = 6 0
5
^ΑραΛ ( Α& *) ~ 60 τ.|*.
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α=90.
Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ.