1. Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева
Факультет технической кибернетики и информатики
Направление 210200 «Проектирование и технология электронных средств»
Дисциплина «Информационные технологии электромагнитной совместимости ЭС»
Лабораторная работа №1 «Анализ емкостных
параметров межсоединений электронных средств»
Автор - Чермошенцев С.Ф.
Казань 2008
2. Методы анализа емкостей межсоединений на основе расчета
электростатического поля.
Другие методы непосредственного расчета емкостей (метод эквивалентных
зарядов) и вспомогательные методы (конформных преобразований,
пространственной инверсии, симметризации проводников и др.) не позволяют
рассчитывать емкостные параметры межсоединений в СБИС и МПП.
Решение задачи анализа емкостей межсоединений ЭС на основе расчета
электростатического поля структуры конструктива [134, 135, 156, 174, 259, 261], то
есть нахождения скалярного потенциала U, удовлетворяющего уравнению Пуассона
∇ 2U ( x, y, z ) = −
на которое наложены граничные условия
ρ ( x, y , z )
,
ε
(2.11)
(2.12)
где r(x, y, z) – объемное распределение заряда;
e – диэлектрическая проницаемость;
G1 и G2 – участки границы G рассматриваемой области, в которой определено
уравнение (2.11).
3. Затем по известному распределению поля и формуле (2.2) можно определить
заряд каждого проводника. Взаимная частичная емкость между проводниками i и k
определяется выражением
Cik = dQi/dUk,
(2.13)
где Uk – потенциал на проводнике k.
Собственная частичная емкость проводника i вычисляется по (2.13) при
k=i. В зависимости от конкретных требований к анализу емкостей межсоединений
конструктивов ЭС задачу (2.11) можно решать в трехмерной или двухмерной
формулировке. При этом можно рассматривать конструктив полностью или же
ограничиться исследованием некоторой его области, например, проводников в
канале СБИС или же межсоединений в одном сигнальном слое МПП.
Решение уравнения (2.11) для структуры конструктива возможно следующими
методами:
– методом конечных разностей;
– методом конечных элементов (МКЭ);
– методом граничных элементов.
4. Метод конечных элементов.
Сущность метода конечных элементов [78, 176, 218, 280] заключается в
унифицированной аппроксимации потенциала внутри каждого элемента и подборе
таких распределений потенциала в различных конечных элементах, при которых
сохранялась бы его непрерывность во всей области. Для каждого конечного элемента
выбирается определенное количество узлов и принимается, что каждый элемент
взаимодействует с соседними только в выбранных узлах. В пределах каждого конечного
элемента вводится аппроксимирующая функция, которая определяется через значения
потенциала в узловых точках. Совокупность аппроксимирующих функций, определенных
на множестве конечных элементов, составляет модель искомой непрерывной функции.
Алгоритм МКЭ состоит из следующих этапов:
1) разбиение области конструктива на конечные элементы;
2) построение матричного представления для каждого элемента;
3) объединение всех конечных элементов в ансамбль или глобальную матрицу и
наложение граничных условий;
4) решение результирующей СЛАУ относительно потенциалов в узлах при условии
минимума запасенной энергии.
5. Ряд значений узловых потенциалов является просто компактным
представлением кусочно-планарной поверхности решения, которое дает минимум
энергии. МКЭ позволяет проводить дискретизацию кусочно-однородных областей с
геометрически сложными границами. В задачах анализа конструктивов ЭС возникают
размерности
уравнений. Такие размерности обусловлены желаемой точностью
анализа полей, требующей большой степени дискретизации структур конструктивов по
каждой координате.
В данной работе предлагается использование МКЭ для анализа электро- и
магнитостатических полей конструктивов ЭС. В связи с этим ниже рассматривается
структура, организация и вычислительные возможности специализированного пакета
программ для анализа электрических параметров межсоединений.
Одним из важных вопросов создания пакета программ является разработка
эффективного программного инструмента, сочетающего в себе гибкость по отношению к
типам конструктивов, видам границ структур и краевых условий, реализующих
современные эффективные методы для решения конечно-элементных уравнений.
В последние годы все более широкое распространение при конструировании
численных алгоритмов приобретает МКЭ [78, 193, 218]. Естественная возможность
применения нерегулярных сеток в МКЭ позволяет эффективно аппроксимировать
границы раздела сред и структур, а вариационная формулировка задачи дает
возможность легко учитывать различные типы граничных условий. Достоинством МКЭ
является также возможность автоматического составления системы уравнений
конечных элементов, что достигается независимым рассмотрением каждого элемента в
отдельности и применение процедуры сборки, обеспечивающей непрерывность
функций на межэлементных границах. Для задач, имеющих вариационную
формулировку минимизации функционала, эффективность МКЭ подтверждена
многочисленными теоретическими и практическими исследованиями.
6. На базе МКЭ в настоящее время созданы проблемно-ориентированные пакеты
программ для классов задач [6, 8], среди которых особо следует выделить систему
ANSYS, предназначенную для анализа пространственных электромагнитных полей [13].
Задача расчета трехмерных полей является плохо реализуемой и на практике
приводит к значительным затратам ресурсов всех видов (человеческих, машинных,
временных), что требует разработки экономичных и эффективных процедур решения и
использования более мощных ЭВМ [121].
В связи с этим разработка эффективного программного обеспечения с
возможностями анализа трехмерных электромагнитных полей представляется
актуальной задачей.
Блок-схема пакета программ на языке программирования Фортран для анализа
электрических параметров межсоединений конструктивов ЭС приведена на рис. 2.2.
Пакет программ включает основную программу и 14 подпрограмм. Главная
программа определяет структуру исходных данных и последовательность вызова
подпрограмм.
Такая
организация
программы позволяет заменять отдельные
подпрограммы без влияния этой операции на другие подпрограммы.
Подпрограммы выполняют следующие процедуры:
– считывание исходных данных задачи и хранение их в разных массивах данных;
– проверка правильности обозначения конечных элементов и отсутствия их
перекрытий;
– ввод дополнительных исходных данных и полуавтоматическая генерация сетки
конечных элементов для 2- и 3-мерных задач анализа структур конструктивов;
– обнуление глобальной матрицы энергий элементов;
– вычисление матричного представления каждого конечного элемента из имеющегося
библиотечного набора;
– внесения вклада матрицы отдельного конечного элемента в глобальную матрицу
энергий;
8. – решение СЛАУ соответственно методом Холесского или итерационным методом
Гаусса-Зейделя с переходом к итерациям, дающим квадратичную сходимость;
– построение картины поля, определение максимальных и минимальных значений
поля, других величин, представляющих интерес;
– вычисление значений электрических параметров межсоединений (емкостей,
индуктивностей);
– вывод результатов анализа.
Некоторые задачи теории электромагнитного поля обладают симметрией, которая
позволяет использовать для их описания две, а не три независимые пространственные
координаты. Подобные упрощения возможны для тел вращения с осевым или
периферическим
возбуждением
поля.
Двумерными
моделями
хорошо
аппроксимируются также протяженные цилиндрические объекты с аксиальным
возбуждением.
Однако реальные конструктивы ЭС такой симметрией не обладают, поэтому для их
более точного описания потребуются три независимые пространственные координаты и
соответствующая им трехмерная постановка задачи. Ниже рассматривается
нахождение распределения потенциалов и полей с использованием линейных и
билинейных конечных элементов (рис. 2.3).
Для снижения размерности задачи на этапе выполнения дискретизации структуры
конструктива в пакете программ реализованы плоские и объемные бесконечные
элементы (рис. 2.3). Каждый бесконечный плоский (объемный) элемент в конечноэлементной модели имеет 2 (4) общих узла с одним из обычных элементов первого
порядка. Для бесконечных элементов обеспечивается линейное изменение
аппроксимирующей функции вдоль стороны (грани), смежной с обычным конечным
элементом, и ее линейное уменьшение до нуля вдоль стороны, смежной с бесконечным
элементом. Применение бесконечных элементов в анализе открытых структур СБИС и
печатных плат позволяет снижать число узлов в конечно-элементной модели до 70%.
10. Разбиение структуры конструктива на конечные элементы связано с определением
координат узловых точек элементов. При этом предполагается , что решение задачи с
достаточной полнотой представлено значениями параметров, определенными в этих
узлах. Точность решения задачи будет зависеть от выбора расстояний между узлами и
вида аппроксимирующих функций конечных элементов. Поэтому для решения двух- и
трехмерных задач потребуется использовать соответственно n2 и n3 узлов, где n –
число узлов по одной координате, соответствующее требуемой точности решения.
Очевидно, что при расчете конечно-элементной модели в трехмерном случае
потребуются значительно большие затраты ресурсов ЭВМ.
Следует отметить, что время, необходимое для генерации глобальной матрицы
энергий, невелико по сравнению с полным временем решения задачи. Основную долю
машинных затрат дает этап решения СЛАУ. Обычно решение
двумерных полей печатных плат приводит к матричным уравнениям с 102…104
переменными, а для расчета трехмерных полей в геометрически сложных структурах
может потребоваться 103…106 переменных.
Дискретизация дифференциальных уравнений МКЭ дает разреженные матрицы, так
как любая узловая переменная связывается только с узловыми переменными того же
конечного элемента. Следовательно, количество нулевых элементов в строке матрицы
зависит от типа используемых конечных элементов и мало зависит от задачи. Поэтому
большие системы уравнений, полученные дискретизацией дифференциальных
уравнений, очень разрежены.
Для реализации МКЭ наибольшее распространение нашли программы [69],
включающие тот или иной вариант метода Гаусса, состоящего из прямого исключения
и обратной подстановки.
11. В ряде программ [218, 345] применяется метод Холесского на основе разложения
глобальной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. После выполнения
разложения Холесского проводится исключение переменных и обратная подстановка.
При решении СЛАУ больших размерностей используется технология разреженных
матриц [191], предполагаются различные способы хранения матричной информации.
Наиболее распространенными формами хранения информации в разреженной матрице
являются ленточный и профильный методы.
Преимуществом ленточной записи является простота: необходим лишь один новый
информационный параметр – полуширина или ширина ленты. Однако эта форма записи
оказывается относительно малоэффективной, так как многие строки содержат еще нули.
В методах профильной записи число хранимых нулевых элементов можно сократить.
Для этого записываются только те члены в каждой строке матрицы, которые расположены,
например, между самым левым ненулевым элементом в строке и диагональным. Однако
применение профильных методов осложнено организацией динамического изменения
профиля из-за появления вторичных ненулевых элементов при прямом исключении.
Прямые методы решения СЛАУ, реализуемые в алгоритмических программах МКЭ,
позволяют получать решение систем при фиксированной форме хранения информации в
разреженной матрице коэффициентов. Поэтому вначале должна исследоваться структура
разреженной матрицы и подбираться форма ее хранения, а затем производиться решение
СЛАУ.
Произвольная нумерация в конечно-элементной модели довольно редко приводит к
хорошей структуре разреженной матрицы. В большинстве программ МКЭ проводится
сначала случайная нумерация узлов, а затем применяются специальные методы для
улучшения структуры разреженной матрицы. В методах перенумерации не учитываются
численные значения элементов глобальной матрицы, а принимается во внимание лишь
структура матрицы.
12. Известен единственный способ [218], действительно гарантирующий получение
минимальной ширины матрицы, – это перебор всех возможных нумераций. Метод
непосредственного перебора неэффективен, так как в задаче с N переменными
имеется N! возможных нумераций. С другой стороны, существует несколько
алгоритмов, обеспечивающих для большинства задач близкую к минимальной ширину
ленты. Поэтому при создании универсальных вычислительных алгоритмов,
предназначенных для оптимальной нумерации узлов сетки, целесообразно отказаться
от перебора возможных вариантов с целью отыскания абсолютного минимума ширины
ленты и выбрать путь целенаправленной минимизации, приводящий к минимуму, но не
обязательно абсолютному.
В работе [6] изложены алгоритмы перенумерации, базирующиеся на
последовательном удовлетворении некоторым критериям, характеризующим качество
нумерации. Благодаря эффективности и наглядности большую популярность завоевал
безытерационный алгоритм, называемый фронтальным. Названием данный алгоритм
обязан специфике перенумерации, ведущейся от некоторой вершины таким образом,
что последовательно занумерованные узлы образуют фронт, который подобно бегущей
волне распространяется по сетке до полной перенумерации всех узлов.
В [6] представлено сравнение 5 наиболее распространенных алгоритмов (Катхилла и
Мак-Ки, Розена, Акьюца и Утку, Грумса, Коллинза) для минимизации ширины ленты
системы уравнений МКЭ применительно к 10 примерам. Результаты свидетельствуют о
преимуществах фронтального (Коллинза) алгоритма в формировании ленты
минимальной ширины при наименьших затратах времени ЭВМ. Этот алгоритм
позволяет уменьшать первоначальную ширину ленты в 2 – 10 раз.
13. Для ряда выполненных расчетов полей в печатных платах ЭС уменьшение ширины
ленты матрицы энергий в 2 – 5 раз дает в последующем выигрыш при решении СЛАУ
методом Холесского от 3 до 15 раз. Затраты машинного времени на решение СЛАУ
методом Холесского при различных величинах ширины ленты (9, 17, 25) и размерностях
до 104 являются приемлемыми. Однако исследование фронтального алгоритма
перенумерации показывает его принципиальную ограниченность в получении ленты
минимальной ширины, т.е. лучше, чем 0,08 – 0,12 от размерности СЛАУ.
Хранение первоначальной ленты (до перенумерации) требует значительных затрат
памяти ЭВМ, а при размерностях СЛАУ 103 – 104 уже ограничивается физической
оперативной памятью ЭВМ. Указанные недостатки не позволяют эффективно
проводить расчеты конечно-элементных моделей структур печатных плат с
использованием прямых методов при числе узлов сетки свыше 1000.
Эффективный подход в разработке программного обеспечения для задач
конечно-элементного анализа состоит в использовании матричного процессора в
плане ускорения вычислений. В этом случае особо длительные вычислительные
процедуры, связанные с обширными и повторяющимися операциями над векторами
(разложение матриц, прямая и обратная подстановка), перекладываются на матричный
процессор. Это дает ускорение в десятки раз. Однако применение неускоряемых
операций (чтение матриц, запись матриц) снижает общий коэффициент ускорения
решения СЛАУ до нескольких раз.
14. Другим возможным подходом к снижению затрат при решении СЛАУ является
применение итерационных методов решения [169, 172]. Вычислительный процесс в
итерационных методах (простой итерации,
Гаусса-Зейделя, последовательной
верхней релаксации) начинается с задания начального приближения решения,
выполнения ряда итераций и заканчивается когда разница между решениями,
полученными в двух последовательных приближениях, станет меньше некоторой
заданной величины. На каждом шаге итерационного алгоритма необходимо проводить
проверку точности полученного решения и невязок правой части. Важно, чтобы
итерационный процесс был сходящимся к решению.
Условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя для системы из N
уравнений и с N неизвестными выполняется, если: 1) абсолютные значения
диагональных элементов больше или равны сумме модулей членов строки для всех
строк; 2) по крайней мере для одной строки значение диагонального элемента по
модулю больше суммы абсолютных значений всех элементов строки. Первое условие
выполняется для всех строк в глобальной матрице энергий, соответствующих
свободным узловым потенциалам, а второе условие соблюдается для строк с
фиксированными потенциалами (граничные узлы и узлы, принадлежащие элементам
источникам). Так как задачи анализа полей в печатных платах имеют всегда свободные
узлы и хотя бы один фиксированный узел, то итерационный процесс по методу ГауссаЗейделя сходится.
Особенностью итерационного метода является возможность хранения только
ненулевых элементов. При этом число элементов в строке матрицы энергий
определяется типом используемых КЭ и составляет 9, 13, 17 и 25 (табл. 2). Также в
пакете анализа электрических параметров межсоединений конструктивов не
выполняется перенумерация узлов конечно-элементной модели, а элементы матрицы
энергий в строке хранятся без упорядочивания их индексов. Для хранения индексов
элементов матрицы энергий введен специальный массив.
15. Выполненные тестовые расчеты КЭ моделей структур [134] с помощью пакета
программ анализа параметров межсоединений показывают, что итерационный процесс
по методу Гаусса-Зейделя сходится за 8 –15 итераций при относительной точности
0,01 – 0,001%. Скорость сходимости практически мало зависит от начального
приближения. Однако при поиске решения от начальных значений, превышающих
наибольший корень, процесс сходится за меньшее число итераций. Скорость
сходимости зависит от нумерации узлов в конечно-элементной модели и процесс
сходится на 10 – 30% быстрее, если в строках матрицы энергий увязаны КЭ, имеющие
близкие по величине номера узлов.
Таблица 2
Соответствие между типом применяемых КЭ в модели и числом ненулевых элементов в
стороке матрицы энергий
Тип КЭ
Число
ненулевых
элементов
Линейный
плоский
Билинейный
плоский
Линейный
объемный
Билинейный
объемный
Плоский
бесконеч
ный
Объемный
бесконечный
17
9
25
13
9
13
16. .
Учитывая, что значения вектора неизвестных при решении СЛАУ могут быть
подобраны близкими по величине друг к другу (обусловленность не хуже 10-1),
вопрос сходимости решения при различных обусловленностях системы не
исследовался.
Одним из эффективных способов ускорения сходимости в итерационных
методах является применение алгоритмов решения со сверхлинейной и
квадратичной сходимостью. Однако применение таких алгоритмов возможно, если
только процесс уже начал сходиться в нескольких последовательных итерациях. В
работе [428] предложено эффективное выражение, использующее для вычисления
решения на К-й итерации комбинацию из значений потенциалов, полученных на (К1), (К-2) и (К-3) итерациях:
( X K −1 − X K − 2 ) 3
X K = X K −1 −
( X K −3 + X K −1 )( X K − 3 − 2 X K − 2 + X K −1 )
По этому выражению в предложенном пакете программ выполняется вычисление
неизвестных потенциалов в области устойчивой сходимости решения. Применение
данного алгоритма позволяет сократить число итераций в 2 – 4 раза.
Сравнение машинных затрат при решении СЛАУ типичных КЭ моделей структур
печатных плат методом Холесского и итерационным методом
Гаусса-Зейделя с
переходом на итерации по алгоритму квадратичной сходимости подтверждает
выигрыш последнего свыше 10 раз.
Таким образом, решение СЛАУ при анализе электро- и магнитостатических
полей структур печатных плат методом конечных элементов предлагается
проводить итерационным методом Гаусса-Зейделя с переходом на итерации (после
нескольких подряд сходящихся итераций) по алгоритму с квадратичной
сходимостью.
Применение метода конечных элементов при анализе электро- и
магнитостатических полей в конструктивах ЭС возможно при условии приемлемой
точности в определении электрических параметров межсоединений.
![Методы анализа емкостей межсоединений на основе расчета
электростатического поля.
Другие методы непосредственного расчета емкостей (метод эквивалентных
зарядов) и вспомогательные методы (конформных преобразований,
пространственной инверсии, симметризации проводников и др.) не позволяют
рассчитывать емкостные параметры межсоединений в СБИС и МПП.
Решение задачи анализа емкостей межсоединений ЭС на основе расчета
электростатического поля структуры конструктива [134, 135, 156, 174, 259, 261], то
есть нахождения скалярного потенциала U, удовлетворяющего уравнению Пуассона
∇ 2U ( x, y, z ) = −
на которое наложены граничные условия
ρ ( x, y , z )
,
ε
(2.11)
(2.12)
где r(x, y, z) – объемное распределение заряда;
e – диэлектрическая проницаемость;
G1 и G2 – участки границы G рассматриваемой области, в которой определено
уравнение (2.11).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)