Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang integral tak tentu dan integral tentu untuk kelas XII IPA. Peserta didik akan mempelajari cara menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri serta menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar menggunakan metode ceramah, tanya jawab, dan diskusi. Materi ajar meliputi aturan rantai untuk mencari turunan fungsi, pengertian integral,
Dokumen tersebut merupakan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) tentang Integral tak tentu dan tentu untuk kelas XII. RPP ini menjelaskan standar kompetensi, indikator, tujuan pembelajaran, materi ajar, pendekatan pembelajaran, alokasi waktu, langkah-langkah kegiatan, penilaian, dan sumber belajar.
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang materi turunan fungsi aljabar untuk siswa kelas XI semester 2. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar, indikator, tujuan pembelajaran, materi, metode, dan penilaian yang akan digunakan dalam pembelajaran tentang konsep turunan fungsi.
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang integral tak tentu dan integral tentu untuk kelas XII IPA. Peserta didik akan mempelajari cara menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri serta menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar menggunakan metode ceramah, tanya jawab, dan diskusi. Materi ajar meliputi aturan rantai untuk mencari turunan fungsi, pengertian integral,
Dokumen tersebut merupakan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) tentang Integral tak tentu dan tentu untuk kelas XII. RPP ini menjelaskan standar kompetensi, indikator, tujuan pembelajaran, materi ajar, pendekatan pembelajaran, alokasi waktu, langkah-langkah kegiatan, penilaian, dan sumber belajar.
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang materi turunan fungsi aljabar untuk siswa kelas XI semester 2. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar, indikator, tujuan pembelajaran, materi, metode, dan penilaian yang akan digunakan dalam pembelajaran tentang konsep turunan fungsi.
Rpp problem based learning materi diagonal bidang dan diagonal ruangRatnah Lestary
RPP ini membahas model pembelajaran berbasis masalah untuk materi diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal. Pembelajaran dilakukan secara kooperatif menggunakan diskusi kelompok dan LKS permasalahan untuk meningkatkan pemahaman siswa tentang konsep-konsep tersebut dan penerapannya dalam pemecahan masalah.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas tentang fungsi eksponen dan logaritma untuk siswa kelas X SMA. RPP ini menjelaskan kompetensi, tujuan, materi, metode pembelajaran, dan penilaian yang akan digunakan. Pembelajaran akan difokuskan pada menjelaskan konsep fungsi eksponen dan logaritma, menggambar grafiknya, serta menyelesaikan masalah terkait pertumbuhan dan peluru
1. Rencana pelaksanaan pembelajaran mata pelajaran matematika kelas X membahas materi geometri bidang. Materi tersebut meliputi konsep titik, garis, sudut, dan segitiga serta dalil-dalil yang terkait.
2. Pembelajaran menggunakan pendekatan saintifik yang terdiri atas kegiatan mengamati, menanya, mengeksplorasi, mengasosiasi, dan mengkomunikasikan. Siswa dibagi kelompok untuk berdiskusi dan memecahkan mas
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang materi vektor untuk siswa kelas XII, mencakup tujuan pembelajaran mengenai konsep vektor dan pemecahan masalah menggunakan kaidah vektor, serta metode pembelajaran diskusi dan penugasan.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas program linear untuk kelas XI semester 1 dengan alokasi waktu 10 jam pelajaran. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar dan indikator, tujuan pembelajaran, materi, model pembelajaran, dan kegiatan pembelajaran yang meliputi pendahuluan, inti, dan penutup untuk 5 pertemuan. Penilaian dilakukan dengan observasi, tes tertulis, dan unjuk kerja.
Program kbm mat x dan xi peminatan isnoto 2016Fauzi Badarudin
[Ringkasan]
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran tentang fungsi eksponensial dan logaritma untuk siswa kelas X SMA. Materi akan disampaikan dalam 3 pertemuan dengan menggunakan metode diskusi, tanya jawab, dan penugasan serta didukung buku panduan dan sumber belajar lainnya. Tujuan pembelajaran antara lain memahami konsep dan sifat fungsi eksponensial serta mampu menyelesaikan masalah
Rencana pelaksanaan pembelajaran ini membahas tentang pembelajaran materi fungsi invers pada kelas XI semester 1. Pembelajaran akan dilaksanakan dengan model cooperative learning pendekatan scientific menggunakan metode group to group exchange. Siswa akan belajar menentukan invers fungsi dan menerapkannya dalam pemecahan masalah melalui diskusi kelompok dan presentasi hasil diskusi.
RPP ini merangkum pembelajaran fungsi eksponensial dan logaritma selama 3 pertemuan. Materi meliputi sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma, bentuk persamaan, grafik, dan penyelesaian masalah. Pembelajaran menggunakan pendekatan saintifik dengan kegiatan mengamati, menanya, mengeksplorasi, menalar, dan mengomunikasikan dalam kelompok. Tujuannya agar siswa memahami konsep dan mampu menyeles
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran materi program linear untuk siswa kelas XI semester 1. RPP ini menjelaskan kompetensi yang akan dicapai, tujuan pembelajaran, metode dan media yang digunakan serta penilaian yang dilakukan untuk mengevaluasi pemahaman siswa terhadap materi program linear.
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang pengajaran konsep limit fungsi dan turunan fungsi untuk peserta didik kelas XI IPA. Materi pelajaran meliputi penghitungan limit fungsi aljabar dan trigonometri, sifat-sifat limit, dan penerapan limit dalam menemukan garis singgung kurva dan laju perubahan fungsi. Metode pengajaran yang digunakan adalah ceramah, tanya jawab, dan diskusi.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran materi Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponensial untuk siswa kelas X semester 1. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar, tujuan pembelajaran, metode, dan kegiatan pembelajaran yang meliputi pendahuluan, inti, dan penutup untuk tiga pertemuan. Penilaian dilakukan terhadap sikap, pengetahuan, dan keterampilan siswa.
1. Siswa mempelajari konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi untuk menentukan anti turunan dari fungsi aljabar.
2. Materi pembelajaran meliputi penjelasan tentang hubungan antara turunan dan integral sebagai anti turunan, serta contoh penentuan anti turunan beberapa fungsi.
3. Siswa diharapkan mampu menentukan anti turunan fungsi setelah mempelajari konsep integral sebagai kebalikan dari
Rppfungsieksponendanlogaritma 140121221637-phpapp01Bari Spd
Rencana pelaksanaan pembelajaran ini membahas tentang materi fungsi eksponen dan logaritma untuk siswa kelas X. Materi akan disampaikan dalam 5 pertemuan melalui pendekatan pembelajaran berbasis masalah dan diskusi kelompok. Siswa akan mempelajari pengertian dan grafik fungsi eksponen dan logaritma, serta menyelesaikan masalah-masalah terkait pertumbuhan dan peluruhan menggunakan sifat-sifat kedua
Rpp problem based learning materi diagonal bidang dan diagonal ruangRatnah Lestary
RPP ini membahas model pembelajaran berbasis masalah untuk materi diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal. Pembelajaran dilakukan secara kooperatif menggunakan diskusi kelompok dan LKS permasalahan untuk meningkatkan pemahaman siswa tentang konsep-konsep tersebut dan penerapannya dalam pemecahan masalah.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas tentang fungsi eksponen dan logaritma untuk siswa kelas X SMA. RPP ini menjelaskan kompetensi, tujuan, materi, metode pembelajaran, dan penilaian yang akan digunakan. Pembelajaran akan difokuskan pada menjelaskan konsep fungsi eksponen dan logaritma, menggambar grafiknya, serta menyelesaikan masalah terkait pertumbuhan dan peluru
1. Rencana pelaksanaan pembelajaran mata pelajaran matematika kelas X membahas materi geometri bidang. Materi tersebut meliputi konsep titik, garis, sudut, dan segitiga serta dalil-dalil yang terkait.
2. Pembelajaran menggunakan pendekatan saintifik yang terdiri atas kegiatan mengamati, menanya, mengeksplorasi, mengasosiasi, dan mengkomunikasikan. Siswa dibagi kelompok untuk berdiskusi dan memecahkan mas
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang materi vektor untuk siswa kelas XII, mencakup tujuan pembelajaran mengenai konsep vektor dan pemecahan masalah menggunakan kaidah vektor, serta metode pembelajaran diskusi dan penugasan.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas program linear untuk kelas XI semester 1 dengan alokasi waktu 10 jam pelajaran. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar dan indikator, tujuan pembelajaran, materi, model pembelajaran, dan kegiatan pembelajaran yang meliputi pendahuluan, inti, dan penutup untuk 5 pertemuan. Penilaian dilakukan dengan observasi, tes tertulis, dan unjuk kerja.
Program kbm mat x dan xi peminatan isnoto 2016Fauzi Badarudin
[Ringkasan]
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran tentang fungsi eksponensial dan logaritma untuk siswa kelas X SMA. Materi akan disampaikan dalam 3 pertemuan dengan menggunakan metode diskusi, tanya jawab, dan penugasan serta didukung buku panduan dan sumber belajar lainnya. Tujuan pembelajaran antara lain memahami konsep dan sifat fungsi eksponensial serta mampu menyelesaikan masalah
Rencana pelaksanaan pembelajaran ini membahas tentang pembelajaran materi fungsi invers pada kelas XI semester 1. Pembelajaran akan dilaksanakan dengan model cooperative learning pendekatan scientific menggunakan metode group to group exchange. Siswa akan belajar menentukan invers fungsi dan menerapkannya dalam pemecahan masalah melalui diskusi kelompok dan presentasi hasil diskusi.
RPP ini merangkum pembelajaran fungsi eksponensial dan logaritma selama 3 pertemuan. Materi meliputi sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma, bentuk persamaan, grafik, dan penyelesaian masalah. Pembelajaran menggunakan pendekatan saintifik dengan kegiatan mengamati, menanya, mengeksplorasi, menalar, dan mengomunikasikan dalam kelompok. Tujuannya agar siswa memahami konsep dan mampu menyeles
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran materi program linear untuk siswa kelas XI semester 1. RPP ini menjelaskan kompetensi yang akan dicapai, tujuan pembelajaran, metode dan media yang digunakan serta penilaian yang dilakukan untuk mengevaluasi pemahaman siswa terhadap materi program linear.
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang pengajaran konsep limit fungsi dan turunan fungsi untuk peserta didik kelas XI IPA. Materi pelajaran meliputi penghitungan limit fungsi aljabar dan trigonometri, sifat-sifat limit, dan penerapan limit dalam menemukan garis singgung kurva dan laju perubahan fungsi. Metode pengajaran yang digunakan adalah ceramah, tanya jawab, dan diskusi.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran materi Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Eksponensial untuk siswa kelas X semester 1. RPP ini menjelaskan kompetensi dasar, tujuan pembelajaran, metode, dan kegiatan pembelajaran yang meliputi pendahuluan, inti, dan penutup untuk tiga pertemuan. Penilaian dilakukan terhadap sikap, pengetahuan, dan keterampilan siswa.
1. Siswa mempelajari konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi untuk menentukan anti turunan dari fungsi aljabar.
2. Materi pembelajaran meliputi penjelasan tentang hubungan antara turunan dan integral sebagai anti turunan, serta contoh penentuan anti turunan beberapa fungsi.
3. Siswa diharapkan mampu menentukan anti turunan fungsi setelah mempelajari konsep integral sebagai kebalikan dari
Rppfungsieksponendanlogaritma 140121221637-phpapp01Bari Spd
Rencana pelaksanaan pembelajaran ini membahas tentang materi fungsi eksponen dan logaritma untuk siswa kelas X. Materi akan disampaikan dalam 5 pertemuan melalui pendekatan pembelajaran berbasis masalah dan diskusi kelompok. Siswa akan mempelajari pengertian dan grafik fungsi eksponen dan logaritma, serta menyelesaikan masalah-masalah terkait pertumbuhan dan peluruhan menggunakan sifat-sifat kedua
Rencana pelaksanaan pembelajaran (RPP) ini membahas tentang limit fungsi aljabar untuk siswa kelas XI IPA di SMA Negeri 1 Banyuasin III. Materi akan diajarkan dalam dua pertemuan dengan menggunakan pendekatan saintifik dan model discovery learning. Siswa akan belajar menentukan limit fungsi aljabar menggunakan beberapa metode seperti substitusi langsung, pemfaktoran, dan merasionalkan bentuk akar.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas materi Fungsi Invers untuk siswa kelas XI SMA. Pembelajaran akan dilaksanakan selama 1 kali pertemuan dengan metode diskusi kelompok. Siswa diajak mengamati contoh soal, mengumpulkan informasi, dan menyelesaikan masalah terkait fungsi invers secara kelompok. Diharapkan siswa memahami konsep dan langkah menentukan invers suatu fungsi serta mampu m
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas materi Fungsi Invers untuk siswa kelas XI SMA. Pembelajaran akan dilaksanakan selama 1 kali pertemuan dengan metode diskusi kelompok. Siswa diajak mengamati contoh soal, mengumpulkan informasi, dan menyelesaikan masalah terkait fungsi invers secara kelompok. Diharapkan siswa memahami konsep dan langkah menentukan invers suatu fungsi serta mampu m
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini membahas pembelajaran matematika tentang konsep bilangan berpangkat, bentuk akar, dan logaritma untuk menyelesaikan masalah untuk siswa kelas X. RPP ini menjelaskan kompetensi inti dan dasar, indikator pencapaian, tujuan pembelajaran, materi, metode, media, dan langkah-langkah pembelajaran untuk tiga pertemuan.
1. Rencana pelaksanaan pembelajaran ini membahas tentang penentuan limit fungsi aljabar di kelas XI IPA semester 2 dengan menggunakan beberapa metode seperti substitusi langsung, pemfaktoran, merasionalkan bentuk akar, dan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi.
2. Pembelajaran dilaksanakan selama 2 x 40 menit dengan pendekatan saintifik dan model discovery learning melalui diskusi kelompok dan presentasi hasil.
3. Siswa dihar
This document provides information about the textbook "Mathematical Reasoning: Writing and Proof" by Ted Sundstrom. It describes the following:
- There are no changes in content between Version 1.1 and Version 2.0 of the textbook. The only change is that Appendix C now contains solutions and hints for more exercises.
- The textbook is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License, allowing free use of the work with proper attribution in a non-commercial manner.
- The textbook is designed to help students learn to write mathematical proofs and focuses on developing mathematical reasoning and writing skills. It includes features such as preview activities, progress checks, and
This document provides an overview of set theory concepts including:
- Sets, elements, and set operations like union, intersection, difference, and complement.
- Finite and countable sets versus infinite sets.
- Product sets involving ordered pairs from two sets.
- Classes of sets including the power set of a set, which contains all subsets.
Schaum's Outline of Theory and Problems of Differential and Integral Calculus...Sahat Hutajulu
This document provides the table of contents for the third edition of Schaum's Outline of Theory and Problems of Differential and Integral Calculus. The book contains 76 chapters covering topics in analytic geometry, differential calculus, integral calculus, sequences and series, and multivariable calculus. The third edition has been thoroughly revised with new chapters added on analytic geometry and exponential/logarithmic functions. It aims to provide students with a collection of carefully solved problems representative of those encountered in elementary calculus courses.
Schaum Outlines Of Beginning Statistics.pdfSahat Hutajulu
This document provides an introduction to statistics, including descriptive and inferential statistics. Descriptive statistics involves organizing and summarizing data using graphs, charts, tables, and statistical measures. Inferential statistics allows conclusions to be drawn about an entire population based on a sample of that population. A population is the complete set of data being studied, while a sample is a subset of the population. Examples are given to illustrate key concepts like populations, samples, descriptive versus inferential statistics, and how statistics are used in areas like polling and crime reporting.
The seventh edition of Kenneth Rosen's Discrete Mathematics and Its Applications textbook is a substantial revision based on extensive feedback from instructors, students, and reviewers. It reflects both improvements based on this feedback as well as insights from the author's experience in industry and academia. Some key benefits of this edition include substantial revisions and improvements based on feedback.
Rosen, K. - Elementary Number Theory and Its Application, 5th ed.pdfSahat Hutajulu
This document outlines a plan to restructure a company's operations to improve efficiency and reduce costs. Key points of the plan include consolidating three regional offices into one central location, reducing management positions by 30% through attrition and early retirement, and standardizing equipment and procedures across all business units. The changes are projected to save the company over $5 million annually starting in its third year of implementation.
Rosen, K. - Elementary Number Theory and Its Application (Instructor's Soluti...Sahat Hutajulu
This document is the instructor's solutions manual for Elementary Number Theory and Its Applications, 5th Edition by Bart Goddard and Kenneth H. Rosen. It contains copyright information and solutions to exercises from Chapter 1 on the integers. The solutions provide step-by-step workings to problems involving properties of integers, number sets, floor and fractional part functions, and other topics related to elementary number theory.
Rosen - Elementary number theory and its applications.pdfSahat Hutajulu
This textbook introduces elementary number theory and its applications. It covers topics such as divisibility, representations of integers, prime numbers, greatest common divisors, congruences, multiplicative functions, and applications to cryptography. The book is suitable for undergraduate number theory courses and provides traditional topics as well as applications relevant to computer science, such as cryptography. It aims to integrate important applications of elementary number theory with traditional topics.
This document introduces coordinate systems on a line. It defines how to assign coordinates to points on a line by choosing an origin point and direction, and measuring distances from the origin. Points to the right of the origin have positive coordinates equal to their distance from the origin, while points to the left have negative coordinates equal to the negative of their distance. The absolute value of a real number is defined as its magnitude, regardless of sign.
This document provides a summary of the 9th edition of Schaum's Outline of College Physics. It covers key topics in introductory physics taught in high school or college without calculus. The summary includes brief descriptions of vectors, uniformly accelerated motion, Newton's laws of motion, equilibrium under concurrent forces, equilibrium of rigid bodies under coplanar forces, and work, energy, and power. The 9th edition aims to modernize and improve the pedagogy from previous editions, including simplifying the notation, introducing significant figures, and redrawing diagrams.
Irving, R. S. - Integers, Polynomials, and Rings.pdfSahat Hutajulu
This document provides an index of undergraduate mathematics textbooks published by Springer-Verlag. It lists over 100 textbooks across various areas of mathematics, including algebra, analysis, geometry, probability, and topology. The index provides the author(s) and title for each textbook. It also notes that Ronald S. Irving's textbook "Integers, Polynomials, and Rings" is included in the series.
This document provides a list of staff members involved in the production of a textbook on geometry. It includes the acquisitions editor, several assistant and managing editors, a production project manager, marketing manager and assistant, senior author support and technology specialist, senior manufacturing buyer, design manager and specialist, and credits the cover image and other photos. It also provides the copyright information and ISBN numbers.
This document provides information about the textbook "Mathematical Reasoning: Writing and Proof" by Ted Sundstrom. It describes the following:
- There are no changes in content between Version 1.1 and Version 2.0 of the textbook. The only change is that Appendix C now contains solutions and hints for more exercises.
- The textbook is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License, allowing free use of the work with proper attribution in a non-commercial manner.
- The textbook is designed to help students learn to construct and write mathematical proofs, with a focus on both mathematical content and the process of mathematical reasoning.
Pengembangan Kurikulum Mat 2- H revisi 17 Mei.pdfSahat Hutajulu
Beberapa karakteristik penting matematika antara lain:
- Matematika bersifat objektif dan pasti, sehingga hasil penelitian dan kesimpulan yang diperoleh bersifat universal dan dapat diverifikasi.
- Matematika memiliki sistematika dan logika yang kuat, sehingga unsur-unsurnya saling terkait satu sama lain secara hirarkis.
- Matematika bersifat abstrak, dimana unsur-unsur dan konsepnya tidak selalu memiliki
Modul ini membahas tentang pelatihan guru matematika SMA untuk meningkatkan kompetensi mereka, khususnya di bidang kalkulus dan trigonometri. Modul ini dapat digunakan secara mandiri maupun dalam pelatihan pasca uji kompetensi guru untuk mengembangkan keprofesian guru secara berkelanjutan. Modul ini berisi penjelasan materi, contoh soal, dan aktivitas pembelajaran untuk meningkatkan pemahaman guru.
1. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan Pendidikan : SMA
Kelas/Semester : XI – WAJIB / 2
Mata Pelajaran : Matematika
Materi Pokok : Integral
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit ( 1 kali pertemuan)
A. Kompetensi Inti :
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya
2. Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli, santun, ramah lingkungan,
gotong royong, kerjasama, cinta damai, responsif dan proaktif) dan menunjukkan sikap
sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan bangsa dalam berinteraksi secara
efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan
bangsa dalam pergaulan dunia
3. Memahami,menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural
berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan
humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang
spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait
dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu
menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator:
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa
percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan
menerapkan strategi menyelesaikan masalah
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis
dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.
3.28 Mendeskripsikan konsep integral tak tentu suatu fungsi sebagai kebalikan dari turunan
fungsi.
Indikator:
Dengan menggunakan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi,
siswa dapat menentukan anti turunan dari fungsi aljabar.
2. 4.20 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan
masalah nyata tentang integral taktentu dari fungsi aljabar.
Indikator:
Terampil menerapkan konsep integral taktentu dari fungsi aljabar sebagai kebalikan dari
turunan fungsi (antiturunan fungsi aljabar) dalam menyelesaikan masalah nyata.
C. Tujuan Pembelajaran:
Dengan proses mengamati, menanya, mengumpulkan informasi, mengasosiasi dan
mengomunikasikan melalui kegiatan di dalam kelas atau diluar kelas, siswa dapat:
1. Menemukan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi.
2. Menentukan anti turunan dari fungsi aljabar dengan menggunakan konsep integral tak
tentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi.
3. Menyelesaikan masalah mencari anti turunan fungsi jika gradien garis singgung diketahui,
dengan menggunakan konsep integral taktentu.
D. Materi Pembelajaran:
Mengingat kembali tentang turunan
Dalam konsep defferensial (turunan) fungsi telah kita pahami teorema sebagai berikut
Fungsi aLjabar
y = a x n
y’ = a. n xn -1
y = 2 x4
y’ = 2 (4) x
14
y = 3 x3/2
y’ = (3). 2
3
x
1
2
3
y = 5x x - 2 = 5x 2
3
-2 y’ = 5.
2
3
x 2
1
Integral sebagai anti turunan
Definisi: F(x) disebut anti turunan dari f(x) pada interval I, jika )(xF
dx
d
= f(x) untuk semua x
dalam I.
Perhatikan beberapa masalah di bawah ini:
Fungsi [ F(x) ] Fungsi Turunan [ f(x) ]
y = 2 x5
y’ = 2 (5) x5 - 1
= 10 x
4
y = 2 x5
+ 15 y’ = 2 (5) x5 - 1
= 10 x
4
y = 2 x5
- 543 y’ = 2 (5) x5 - 1
= 10 x
4
3. y = 2 x5
+ c y’ = 2 (5) x5 – 1
= 10 x
4
ANTI TURUNAN/INTEGRAL
E. Metode Pembelajaran:
Diskusi kelompok, Tanya jawab, Penugasan.
Pendekatan pembelajaran adalah pendekatan saintifik (scientific), menggunakan model
pembelajaran Discovery Learning dengan langkah – langkah:
1. Stimulation (stimulasi / pemberian rangsangan)
2. Problem Statement (pertanyaan/ identifikasi masalah)
3. Data Collection (pengumpulan data)
4. Data Processing (pengolahan data)
5. Verification (pembuktian)
6. Generalization (menarik kesimpulan / generalisasi)
F. Media, Alat dan Sumber Pembelajaran:
Media : LCD, gambar tayang
Alat : Penggaris, Lembar Kerja Siswa
Sumber Belajar:
a. Buku siswa (matematika kelas XI Wajib kurikulum 2013 semester 2) hal. 201 - 208
b. Buku guru (matematika kelas XI Wajib kurikulum 2013 semester 2) hal. 483 - 492
G. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran:
Kegiatan Deskripsi Kegiatan Waktu
Pendahuluan Guru membuka pelajaran dengan
mempersilahkan sketua kelas untuk
memimpin doa
Guru menanyakan materi sebelumnya
tentang rumus turunan fungsi yang sudah
dikuasai siswa
Guru memberitahu tujuan pembelajaran yang
akan dicapai siswa.
Sebagai apersepsi untuk mendorong rasa
ingin tahu dan berpikir kritis, guru
menampilkan masalah 12.1 dalam bentuk
power point, dan gambar kegiatan bongkar
muat barang di pelabuhan.
10 menit
Inti 1. Stimulation (stimulasi/pemberian
rangsangan)
- Guru menayangkan video atau foto tentang
kegiatan bongkar muat ikan di pelabuhan,
siswa mengamati sketsa yang dibuat guru
5 menit
4. berdasarkan masalah 12.1
- Mengingatkan kembali tentang materi
turunan yang telah diperoleh sebelumnya,
dan menghubungkan dengan materi yang
akan dibahas.
- Siswa diberi pertanyaan tentang perbedaan
dari fungsi-fungsi yang telah diturunkan dan
hasil turunannya sama, diharapkan
membangkitkan rasa ingin tahu siswa
tentang materi anti turunan.
2. Problem statemen (pertanyaan/identifikasi
masalah)
- Siswa diberi lembar kerja siswa yang berisi
tentang langkah-langkah menemukan
konsep integral tak tentu sebagai kebalikan
dari turunan fungsi.
- Dengan menggunakan rumus-rumus
turunan 𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑛
dan 𝐹(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑛
yang
diperoleh pada bab sebelumnya, siswa
diharapkan dapat mengidentifikasi masalah
bagaimana cara menentukan kebalikan dari
turunan fungsi.
- Dengan memanfaatkan turunan fungsi g(𝑥),
siswa diharapkan timbul pertanyaan
bagaimana cara menentukan anti turunan
fungsi 𝑓(𝑥)
- Dengan mengingat konsep gradien garis
singgung dengan turunan bahwa gradien
adalah turunan pertama fungsi tersebut,
siswa diharapkan mengidentifikasi masalah
bagaimana menentukan fungsi yang
memenuhi jika gradien garis singgungnya
diketahui.
3. Data collection (pengumpulan data)
- Siswa menurunkan beberapa fungsi yang
hasil turunannya sama.
- Setiap kelompok membuat contoh
berdasarkan definisi 12.1 dan sifat 12.1 dan
12.2 , dengan fungsi yang berbeda-beda
untuk lebih memantapkan pemahaman
siswa tentang anti turunan.
- Siswa menurunkan beberapa fungsi dengan
menggunakan rumus turunan fungsi,
𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑛
turunannya 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) =
𝑛 𝑥 𝑛−1
,dan 𝐹(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑛
turunannya
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1
,
- Siswa membuat contoh, atau mencari dari
buku lain terkait gradien garis singgung
dengan turunan dan mengaitkan kembali
10 menit
10 menit
5. dengan anti turunan.
4. Data processing (pengolahan data)
- Siswa menganalisis dan membuat kategori
dari unsur-unsur pada turunan fungsi, yaitu
mana yang disebut dengan turuan fungsi
dan mana yang anti turunan fungsi.
- Siswa menganalisis perbedaan dari fungsi-
fungsi yang mempunyai turunan yang sama,
dan membuat generalisasinya.
- Mengaitkan antara turunan dan anti
turunan masing-masing fungsi, dan
menunjukkan bahwa jika F(x) adalah fungsi
yang dapat diturunkan yaitu f (x), maka anti
turunan dari f (x) adalah F (x) + c, dengan c
adalah sembarang konstanta.
- Siswa mengolah data yang diperoleh dari
menurunkan beberapa fungsi dengan
menggunakan rumus turunan fungsi,
sehingga dapat menentukan anti turunan
dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
dan 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑛
.
- Siswa mengaitkan hubungan gradien garis
singgung dengan turunan serta mengaitkan
kembali dengan antiturunan.
5. Verification (pembuktian)
- Guru meminta dua siswa dari masing-
masing kelompok untuk mempresentasikan
hasil diskusinya.
- Siswa menyampaikan hasil diskusinya,
sedangkan kelompok lain menanggapi.
- Siswa menyampaikan hal yang membedakan
dari fungsi-fungsi yang turunannya sama.
- Siswa menyampaikan contoh-contoh
berdasarkan definisi dan sifat anti turunan.
- Salah satu siswa dari perwakilan kelompok
memberikan penjelasan terkait hubungan
gradien garis singgungdengan turunan serta
mengaitkan kembali dengan anti turunan.
- Siswa menyampaikan hasil diskusi mengenai
konsep integral taktentu sebagai kebalikan
dari turunan fungsi, yaitu anti turunan
fungsi.
6. Generalization (menarik
kesimpulan/generalisasi)
- Dengan mengingat bahwa turunan dari
𝐹 (𝑥) = 𝑥 𝑛
adalah 𝑓(𝑥) = 𝑛 𝑥 𝑛−1
, maka
dengan definisi 12.1 berarti anti turunan
dari 𝑓(𝑥) = 𝑛 𝑥 𝑛−1
adalah 𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑛
- Siswa mendeskripsikan konsep integral
15 menit
15 menit
5 menit
6. taktentu sebagai kebalikan dari turunan
fungsi, yaitu anti turunan fungsi
Penutup - Guru memberikan soal dan dikerjakan siswa
untuk dikumpulkan dan dinilai.
- Guru menutup pembelajaran dengan
mengingatkan siswa akan materi yang akan
dipelajari selanjutnya. dan siswa diberi tugas
membaca materi tersebut.
20 menit
H. Penilaian Hasil Pembelajaran:
1. Teknik Penilaian: pengamatan, tes tertulis, penugasan
2. Prosedur Penilaian:
No Aspek yang dinilai Teknik Penilaian Waktu Penilaian
1. Sikap Religi dan Sosial
a. Mengagungkan
kebesaran Tuhan Yang
Maha Esa, bahwa dengan
memahami konsep
integral tak tentu sebagai
kebalikan turunan fungsi,
siswa lebih
b. Bekerjasama dalam
kegiatan kelompok
c. Kritis dalam proses
pemecahan masalah
d. Bertanggung jawab dalam
mengerjakan tugas
Pengamatan Selama pembelajaran dan saat
diskusi
2. Pengetahuan
Dengan menggunakan
konsep integral tak tentu
sebagai kebalikan dari
turunan fungsi, siswa dapat
menentukan anti turunan
dari fungsi aljabar.
Tes tertulis Penyelesaian soal individu
3. Keterampilan
Terampil menerapkan
konsep integral taktentu
dari fungsi aljabar sebagai
kebalikan dari turunan
fungsi (antiturunan fungsi
aljabar) dalam
menyelesaikan masalah
nyata.
Pengamatan Penyelesaian soal dalam
kelompok saat diskusi
3. Instrumen Penilaian Hasil belajar
Penilaian Pembelajaran:
7. 1. Penilaian Pengetahuan
Indikator: Dengan menggunakan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan
fungsi, siswa dapat menentukan anti turunan dari fungsi aljabar.
Instrumen:
1. Tentukan anti turunan dari fungsi berikut:
a. 𝑓 (𝑥) = 2𝑥2
b. 𝑓 (𝑥) = 5𝑥
1
3
2. Tentukan anti turunan 𝑓 (𝑥) = 8𝑥3
+ 4𝑥 dengan memanfaatkan turunan fungsi 𝑓 (𝑥) =
𝑥4
+ 𝑥2
Pedoman penskoran:
No Penyelesaian Skor
1. a. 𝑓 (𝑥) = 2𝑥2
↔ 𝑓 (𝑥) = 2 .
3
3
𝑥2
↔ 𝑓 (𝑥) = 2 .
3
3
𝑥 3−1
↔ 𝑓 (𝑥) = 2 .
1
3
. 3 𝑥3−1
↔ 𝑓 (𝑥) =
2
3
. 3 𝑥3−1
Maka 𝐹 (𝑥) =
2
3
𝑥3
+ 𝑐
(Ingat aturan turunan dari 𝐹 (𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛
adalah
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1
)
2. Penilaian Sikap:
Aspek-aspek sikap yang dinilai, meliputi: kerjasama, kritis dan bertanggung jawab.
Rubrik penilaian sikap kerja sama dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria Skor Indikator
Sangat Baik (SB) 4 Selalu bekerjasama dalam proses pembelajaran baik individu
atau dalam kelompok
Baik (B) 3 Sering bekerjasama dalam proses pembelajaran baik individu
atau dalam kelompok
Cukup (C) 2 Kadang-kadang bekerjasama dalam proses pembelajaran baik
individu atau dalam kelompok
Kurang (K) 1 Tidak pernah bekerjasama dalam proses pembelajaran baik
individu atau dalam kelompok
No Aspek yang diamati
Kriteria
1 2 3 4
1 Bekerjasama dalam menentukan turunan fungsi v
2 Bekerjasama dalam menghubungkan antara turunan
fungsi dengan anti turunannya
v
8. 3 Bekerjasama dalam mengaitkan hubungan gradien
garis singgung dengan turunan serta mengaitkan
kembali dengan antiturunan.
v
4 Bekerjasama dalam menyimpulkan konsep integral
taktentu sebagai kebalikan dari turunan fungsi.
v
5 Bekerjasama dalam mempresentasikan hasil diskusi
kelompok
V
Penilaian =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟
𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙
× 100 Contoh:
18
20
× 100 = 90
Rubrik penilaian sikap kritis dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria Skor Indikator
Sangat Baik (SB) 4 Selalu kritis dalam proses pembelajaran baik di kelompok
maupun individu
Baik (B) 3 Sering kritis dalam proses pembelajaran baik di kelompok
maupun individu
Cukup (C) 2 Kadang-kadang kritis dalam proses pembelajaran baik di
kelompok maupun individu
Kurang (K) 1 Tidak pernah kritis dalam proses pembelajaran baik di
kelompok maupun individu
No Aspek yang diamati
Kriteria
1 2 3 4
1 Bertanya dalam diskusi kelompok v
2 Menemukan kesalahan dari jawaban yang didapat v
3 Memberikan alternative jawaban yang benar v
4 Menanyakan apa yang belum bisa dikuasai terhadap
guru
v
5 Dapat menyimpulkan dari data yang telah diperoleh V
Penilaian =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟
𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙
× 100Contoh:
15
20
× 100 = 75
9. Rubrik penilaian sikap bertanggungjawab dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria Skor Indikator
Sangat Baik (SB) 4 Selalu bertanggungjawab dalam proses pembelajaran baik di
kelompok maupun individu
Baik (B) 3 Sering bertanggungjawab dalam proses pembelajaran baik di
kelompok maupun individu
Cukup (C) 2 Kadang-kadang bertanggungjawab dalam proses pembelajaran
baik di kelompok maupun individu
Kurang (K) 1 Tidak pernah bertanggungjawab dalam proses pembelajaran baik di
kelompok maupun individu
No Aspek yang diamati
Kriteria
1 2 3 4
1 Melaksanakan tugas yang dibebankan kelompok v
2 Melaksanakan tugas individu, dan menyelesaikannya v
3 Menerima kesalahan dari jawaban yang diberikan v
4 Melaksanakan aturan main dalam pembelajaran di
kelas
v
5 Berusaha memperbaiki jawaban yang tidak benar v
Penilaian =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟
𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙
× 100Contoh:
17
20
× 100 = 85
Selanjutnya guru membuat rekapitulasi hasil penilaian sikap peserta didik dalam
format seperti contoh berikut.
No Nama
Skor untuk sikap Jml
skor
Rata-
rata
Nilai
Pre-
dikat
Religius Kerjasama Kritis Bertanggung
jawab
1 Adi 90 90 75 85 340 85 SB
2 ........
Keterangan
10. 1. Nilai sikap dikualifikasikan menjadi predikat sebagai berikut:
SB = Sangat Baik = 80 – 100 C = Cukup = 60 - 69
B = Baik = 70 – 79 K = Kurang = < 60
3. Penilaian keterampilan
LEMBAR PENGAMATAN KETRAMPILAN
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI - WAJIB / 2
Tahun Pelajaran : 2014/2015
Waktu Pengamatan : .................................
Ketrampilan yang dinilai disini adalah ketrampilan ketika menggunakan konsep anti turunan
dalam menyelesaikan masalah mencari anti turunan fungsi jika gradien garis singgung
diketahui.
Rubrik penilaian ketrampilan dapat disusun sebagai berikut:
Kriteria Skor Indikator
Sangat Baik (SB) 4
Selalu Trampil
Baik (B) 3
Sering Trampil
Cukup (C) 2
Kadang-kadang Trampil
Kurang (K) 1
Tidak pernah Trampil
No
Aspek yang diamati
Kriteria
1 2 3 4
1 Terampil dalam menggunakan rumus turunan fungsi
aljabar.
v
2 Terampil dalam menyatakan masalah kedalam model
matematika
v
3 Terampil dalam menghubungkan antara turunan
dengan anti turunan
v
4 Terampil dalam mengaitkan hubungan gradien garis
singgung dengan turunan serta mengaitkan kembali
dengan antiturunan.
v
5 Terampil dalam menyelesaikan soal-soal anti turunan v
Penilaian =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑘𝑜𝑟
𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙
× 100
11. Contoh:
17
20
× 100 = 85
Selanjutnya guru membuat rekapitulasi hasil penilaian sikap peserta didik dalam format
seperti contoh berikut.
No Nama
Skor untuk ketrampilan Jml
skor Nilai
Pre- dikat
Aspek
1
Aspek
2
Aspek 3 Aspek 4 Aspek 5
1 Adi 4 4 3 3 3 17 85 SB
2 ........
Keterangan
Nilai ketrampilan dikualifikasikan menjadi predikat sebagai berikut:
SB = Sangat Baik = 80 – 100 C = Cukup = 60 - 69
B = Baik = 70 – 79 K = Kurang = < 60
12. LEMBAR KERJA SISWA
Kelas : .........................................
Kelompok : ..........................................
Anggota Kelompok : 1........................................
2........................................
3........................................
4........................................
5........................................
Kegiatan 1:
Ingat Rumus Turunan Fungsi:
Misalkan 𝐹 (𝑥) adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada interval I, a bilangan real,
maka:
𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑛
turunannya 𝐹′(𝑥) = 𝑓 (𝑥) = 𝑛 𝑥 𝑛−1
,
𝐹(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑛
turunannya 𝐹′(𝑥)
= 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1
,
Perhatikan fungsi-fungsi berikut, dan turunkan masing-masing fungsi dengan mengisi titik-titik yang
ada:
1. 𝐹 ( 𝑥 ) =
1
3
𝑥3
maka 𝐹′( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦′
=
𝑑
𝑑𝑥
(
1
3
𝑥 3
) =
1
3
∙ 3 ∙ 𝑥3−1
= 𝑥 2
2. 𝐹 ( 𝑥 ) =
1
3
𝑥3
+ 5 maka
𝐹′( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦′
=
𝑑
𝑑𝑥
(
1
3
𝑥 3
+ 5) = … . .∙ 3 ∙ 𝑥…..−1
= .......
3. 𝐹 ( 𝑥 ) =
1
3
𝑥3
− 7 maka
𝐹′( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦′
=
𝑑
𝑑𝑥
(
1
3
𝑥 3
− 7) =
1
…….
∙ … .∙ 𝑥 3 −⋯..
= .......
4. 𝐹 ( 𝑥 ) =
1
3
𝑥3
+
1
5
maka
𝐹′( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦′
=
𝑑
𝑑𝑥
(
1
3
𝑥 3
+ … … ) = … . .∙ … … .∙ 𝑥…..− ⋯…
= .......
5. 𝐹 ( 𝑥 ) =
1
3
𝑥3
−
13
200
maka
𝐹′( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥) = 𝑦′
=
𝑑
𝑑𝑥
(… . . 𝑥 3
− … … ) = … . .∙ … … ∙ … … . = .......
Amati kelima fungsi F (x ) diatas.
1. Bagaimana turunan dari fungsi – fungsi tersebut?.................yaitu..........
13. 2. Meskipun turunannya sama, apa yang membedakan masing-masing fungsi
tersebut?...........................................................................................................................
3. Lengkapi bagan berikut:
TURUNAN ANTI TURUNAN
.................... .................... ........................
Kesimpulan apa yang dapat kalian peroleh dari kegiatan diatas?
KESIMPULAN: ..............................................................................
..............................................................................
..............................................................................
Kegiatan 2:
Berdasarkan definisi 12.1. tentang anti turunan, dan sifat 12.1 dan 12.2, buatlah 5 contoh fungsi
aljabar dan turunannya.
1. F (x) = .............................................. dan F’ (x) = f (x) = ..............................
2. F (x) = .............................................. dan F’ (x) = f (x) = ..............................
3. F (x) = .............................................. dan F’ (x) = f (x) = ..............................
4. F (x) = .............................................. dan F’ (x) = f (x) = ..............................
5. F (x) = .............................................. dan F’ (x) = f (x) = ..............................