1. Giới hạn dãy số.ppt

GIỚI HẠN DÃY SỐ
http://e-learning.hcmut.edu.vn/

DÃY SỐ THỰC
Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số
từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N.
VD: 1/ xn = n2, n = 0, 1, 2, …
2/ xn = 1/n, n = 1, 2, …
3/ {xn} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d, …

Các cách cho dãy số
2
1
, /
n n
x n x n
 
1/ Dạng liệt kê:
VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,…
2/ Dạng tường minh:
{xn} cho dạng biểu thức giải tích của biến n.
3/ Dạng quy nạp:
Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước
VD:
VD: dãy 2
1 1
1 1
, n n n
x x x x

   
dãy 1
1 2 1
1 1
2
, , n n
n
x x
x x x 


  

Dãy đơn điệu
{xn} là dãy tăng  xn  xn+1, với mọi n đủ lớn
{xn} là dãy giảm  xn  xn+1, với mọi n đủ lớn
Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng
(giảm) ngặt.

1.Xét hiệu số: xn+1 – xn (so với “0”)
2.Xét thương số: xn+1/xn (so với “1”)
(dùng cho dãy số dương)
3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = xn
Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:

Ví dụ
1 1
1
2
   
/ :
n
a x
n
1 1
/ 1 1 :
2
n
b x
n
   
  
   
   
 giảm
1 1
1
1
  

n
n
x
x n
1
1
1
  

n n
x x
n
0
  tăng

2 3
/ :
3 4
n
n
c x
n



Biểu thức giống hàm số, xét đạo hàm
2
2 3 1
( ) , ( ) 0
3 4 (3 4)
x
f x f x
x x


   
 
 f(x) tăng  {xn} tăng.

Dãy bị chặn
{xn} là dãy bị chặn trên  M : xn  M,  n  N0
{xn} là dãy bị chặn dưới  m : xn  m,  n  N0
{xn} bị chặn  {xn} bị chặn trên và bị chặn dưới
VD: Xeùt tính bò chaën cuûa
caùc daõy
 
 
/ 1
n
c n

 
/ 3n
b
 
2
1
/
a
n

•Các chỉ số của dãy con cũng kéo dài ra 
   
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , , , , ,
n n
x x x x x x x x x x

DÃY CON
Cho {xn}, chọn ra các số hạng từ dãy này
1cách tùy ý theo thứ tự chỉ số tăng dần ta
được 1 dãy con của {xn}.
VD:
{x2n – 1}
{x2n}
{x2n-1} = {x1, x3, x5, …}
{x2n} = {x2, x4, x6, …}

GiỚI HẠN DÃY SỐ
Định nghĩa đơn giản: {xn} có giới hạn là a
khi n ra  tức là xn  a khi n đủ lớn
Dãy hội tụ 
0 0
0, : ,
 
        
n
N N x a n N
0 0
0, : n
N a x a n N
  
         
: lim
höõ
u haï
n n
n
a x a

 
a
0
N
x
0
( )
n
x n N

a 
 a 

Định nghĩa chặt chẽ:
1
x
2
x
3
x

Ví dụ
lim 1
1
n
n
n



1
1
1 1
n
n
x a
n n
   
 
1 1
1 1
1
n
x n
n
 

      

Chứng minh
0
1 1
1 1
n
n N n n x 
 
        
Chọn N0  1/ , với  > 0 (đủ bé)
* Với  = 10-3, tìm N0?

Tính chất dãy hội tụ
•Dãy hội tụ thì bị chận.
•an 0 và an a thì a  0
•an  a và a < c thì an < c với n  N0
a
a -  a + 
c
an, n  N0
a
a -  a + 
an, n  N0 0

Các phép toán trên dãy hội tụ
 
 
 
lim , lim
lim lim lim
lim lim lim lim 0
lim lim 0 & lim 0
n
ÑK :
ÑK :
n n
n n
n n n n
n n n
n n n n n
n n n n
n n n
n n n
x y
x y x y
x y x y y
x x x x
 
  
   
  

   


  


   

lim tổng (hiệu, tích, thương, căn,…)
= tổng (hiệu…) lim
(hữu hạn)

SÖÏ HOÄI TUÏ VAØ DAÕY CON
VD: dãy {xn} = {(–1)n} phân kỳ
2
2 1
1 1
1 1
Vì 2daõ
y con n
n
x
x 
 


   

lim xn = a  Mọi dãy con của xn đều  a
Dãy xn phân kỳ 
1daõ
y con phaâ
n kyø
2daõ
y con coù
lim nhau


 

2
2 1



 



n
n
n
x a
x
x a
a
Hệ quả:

GIÔÙI HAÏN KEÏP
Cho 3 dãy xn, yn, zn
0
lim lim
n n n
n n
n n
x y z n N
x z a
 
   


  


lim

 
n
n
y a
n n n
x y z
 
a
Hệ quả: 0 & lim 0 lim 0
n n n n
n n
x y n y x
 
     

Dãy phân kỳ ra vô cùng
Giới hạn =   : không thể xét | xn – a | !
Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ:
Không có giới
hạn
Phân kỳ ra vô
cùng

0 0
lim , : ,
> 0
n n
n
x M N N x M n N

        
0 0
lim , : ,
> 0
n n
n
x M N N x M n N

         

Ví dụ
lim 2n
n
 
2
2 log
n
M n M
  
Chứng minh
Với M > 0 (lớn) tùy ý,
Chọn N0 > log2M + 1, ta có :
0 2
log 2n
n N n M M
    

Các phép toán trên dãy phân kỳ ra 
0
lim 0
0( 0),
n
n
n
a
a n N





   


1
lim 0
n
n
a


lim n
n
a

 
1/ Nếu thì
2/ Nếu thì lim n
n
a

 
()
lim n
n
a

  , lim n
n
b c


lim n
n
a

 
lim( )
lim ,
n n
n
n n
n
a b
a b


  


 
  


neá
u c 0
, lim n
n
b

  lim( )
n n
n
a b

   
lim n n
n
a b

  
lim n
n
a

  , lim n
n
b

 
3/

GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN
3 / lim 1,
n
n
n


 
lim 0, 1
n
n
n
a
a


  
4 / lim 1, 0
n
n
a a

  
1 lim
1 1 lim 0
n
n
n
n
a a
a a


    


    


0 lim
0 lim 0
n
n
n
n






    


  


2/. Haøm
muõ:
1/. Luõy
thöøa:
lim 0, 0
!
n
n
a
a
n

  
ln
5 / lim 0, 0
p
n
n
n 

  
lnp n
n n a


2
/ lim 1



n
n
e n
2
/ lim

 
n
a n 1 2
1
/ lim lim 0
n n
b n
n

 
 
/ lim 2

 
n
n
c 1
/ lim 0
2

  
 
 
n
n
d
2
/ lim 0
3


n
n
n
f
Ví dụ

7 DẠNG VÔ ĐỊNH
0
,0 , ,
0

    

0 0
1 ,0 ,


• Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia:
• Đối với dạng mũ   n
b
n
a

2
sin
2 / lim
1
n
n n
n
 
1000
3 / lim
n
n n

 
 
 
!
1/ lim n
n
n
n

! 1 2 1
0 0
n
n n
n n n n
n

   

2 2
sin
0 0
1 1
n n n
n n
  
 
Với n  2000: 1000 1
0 0
2
n n
n
   
  
   
   
Ví dụ tổng hợp

Tổng cấp số nhân
 
1 1
2 1 1
lim 1 lim
1 1
n q
n
n n
q
q q q
q q
 
 

     
 
 
 
1 1
0 0
0 0 0
1
lim lim
1 1
n q
n
n n
u q u
u u q u q
q q
 
 

    
 

1 1 1
4 / lim 1
2 4 2

 
   
 
 
n
n
1
1 1 2 1
lim 2
1 1 2 1 1 2
n
n



  
 
2 1 3 9
lim ,
3 2 8 32

 
    
 
 
n
5/ S
0
1 3 3 2 8
,
2 2 4 3 21
q u S
       

 
2
5 / lim 1
n
n n

 
2 2
2
1
lim
1
n
n n
n n

 

 
2 2
1 1 1 1
lim lim 0. 0
2
1 1 1
n n n
n n n
 
   
   
 
2
6 / lim 1
n
n n n

 
 
2
7 / lim 1 2
n
n n

 

8 / lim 3 2
n n n
n

3 
( 0 )
2 3
n n
  3 2
n
 
3 1

n  
3
 lim 3
n
n
x


3 2
n n n
n
x  
2
8 / lim 3 2
n n n
n
n



TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS
Dãy tăng & bị chặn trên thì hội tụ,
Dãy giảm & bị chặn dưới thì hội tụ

VD: 1/ Chứng minh tồn tại giới hạn sau:
2 2 2
1 1 1
lim 1 ...
2 3

 
   
 
 
n n
2 2
1 1
1 ... :
2
n
x
n
   
 
2
1 1 1 1
2
1 1
n
x
n n n n
n
    
 
 
1 2
1
0
( 1)
tang
n n n
x x x
n
    


2/ Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy số:
0 1
3, 1
2
n
n
x
x x 
  
1
n n
x x
 
TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS
• Dùng quy nạp chứng minh xn > 2 (bị chặn
dưới)
• Đơn điệu:
1
2
1 1 2
2 2
n
k
x
x      
1
0
2
n
x

 
Gs xk > 2,
1
2
n
n
x
x
  
{xn} giảm và bị chận dưới nên hội tụ

lim n
x L

Gọi:
Khi đó 1
lim n
x L
 
Ta lại có
1 1
2
n
n
x
x   
Qua giới hạn khi n, ta được
1 2
2
L
L L
   

SOÁ e
1
1
n
n
x
n
 
 
 
 
1 1 1
1 1
1
n
n
n n
  
  
 

 
1
lim 1
n
n
e
n

 
 
 
 
Chứng minh tồn tại giới hạn sau :
• Tính đơn điệu:
1
1 1
1 1
1
n n
n n

   
   
   

   
sử dụng bđt Cauchy cho 1 và n số (1+1/n)
Vậy {xn} tăng.

0
1
1
n k
n
n
k
k
C
n n

 
 
 
 

2
1 1 1
2 1 1
!
n
k
k
n n k


   
    
    
   
1
2
1 1 2
2 2 3
1 1 2
2 

    


n
k
k
• Bị chặn:
   
2
1 1 1
2
!
n
k
k
n n n k
k n

  
  

2
1
2
!
n
k k

  

PHAÙ DAÏNG VOÂ ÑÒNH 1
: lim 1 .
n
a
n
a
a e
n

 
  
 
 
1 1
1/ lim 1
VD :
n
n n e

 
 
 
 
2 3
2
2 / lim
4
n
n
n
n



 
 

 
2 3
4 4 2
2
4
2 1
lim 1
4
Bieá
nñoå
i
n
n n
n
e
n e

 


 
   
  
 
   

 
 
1 .
Daï
ng 

1. Giới hạn dãy số.ppt

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 1. Giới hạn dãy số.ppt

Similar to 1. Giới hạn dãy số.ppt (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

1. Giới hạn dãy số.ppt