Mireille Bousquet-Mélou (LABRI, CNRS) The Number of Inversions After n Adjacent Transpositions Algorithms & Permutations 2012, Paris. http://igm.univ-mlv.fr/AlgoB/algoperm2012/

1. Ì ÜÔ
Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö× ÓÒ×
Ø Ö n
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×
ÅÖ ÐÐ ÓÙ×Õ٠عŠÐÓÙ
ÆÊ˸ Ä ÊÁ¸ ÓÖ Ùܸ Ö Ò
Ö Ú ¼ ¼ ¼½¼¿

2. Å Ö ÓÚ
Ò
• ÓÒ× Ö Ø ×ÝÑÑ ØÖ
ÖÓÙÔ Sd+1 ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ× {0, 1, . . . , d}º
• ËØ ÖØ ÖÓÑ Ø ÒØ ØÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ π (0) = 012 · · · dº
• ÔÔÐÝ Ò
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ ´ÔÖÓ Ð ØÝ 1/d
ÓÖ
µº
• Ê Ô Øº
Ü ÑÔÐ d=2
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
π (0) = 012
½¼¾ ¼¾½
¼½¾

3. Å Ö ÓÚ
Ò
• ÓÒ× Ö Ø ×ÝÑÑ ØÖ
ÖÓÙÔ Sd+1 ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ× {0, 1, . . . , d}º
• ËØ ÖØ ÖÓÑ Ø ÒØ ØÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ π (0) = 012 · · · dº
• ÔÔÐÝ Ò
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ ´ÔÖÓ Ð ØÝ 1/d
ÓÖ
µº
• Ê Ô Øº
Ü ÑÔÐ d=2
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
π (1) = 102
½¼¾ ¼¾½
¼½¾

4. Å Ö ÓÚ
Ò
• ÓÒ× Ö Ø ×ÝÑÑ ØÖ
ÖÓÙÔ Sd+1 ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ× {0, 1, . . . , d}º
• ËØ ÖØ ÖÓÑ Ø ÒØ ØÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ π (0) = 012 · · · dº
• ÔÔÐÝ Ò
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ ´ÔÖÓ Ð ØÝ 1/d
ÓÖ
µº
• Ê Ô Øº
Ü ÑÔÐ d=2
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
π (2) = 120
½¼¾ ¼¾½
¼½¾

5. Å Ö ÓÚ
Ò
• ÓÒ× Ö Ø ×ÝÑÑ ØÖ
ÖÓÙÔ Sd+1 ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ× {0, 1, . . . , d}º
• ËØ ÖØ ÖÓÑ Ø ÒØ ØÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ π (0) = 012 · · · dº
• ÔÔÐÝ Ò
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ ´ÔÖÓ Ð ØÝ 1/d
ÓÖ
µº
• Ê Ô Øº
Ü ÑÔÐ d=2
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
π (3) = 102
½¼¾ ¼¾½
¼½¾

6. Å Ö ÓÚ
Ò
• ÓÒ× Ö Ø ×ÝÑÑ ØÖ
ÖÓÙÔ Sd+1 ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ× {0, 1, . . . , d}º
• ËØ ÖØ ÖÓÑ Ø ÒØ ØÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ π (0) = 012 · · · dº
• ÔÔÐÝ Ò
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ ´ÔÖÓ Ð ØÝ 1/d
ÓÖ
µº
• Ê Ô Øº
Ü ÑÔÐ d=2
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
π (4) = 012
½¼¾ ¼¾½
¼½¾

7. Å Ö ÓÚ
Ò
• ÓÒ× Ö Ø ×ÝÑÑ ØÖ
ÖÓÙÔ Sd+1 ÓÒ Ø Ð Ñ ÒØ× {0, 1, . . . , d}º
• ËØ ÖØ ÖÓÑ Ø ÒØ ØÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ π (0) = 012 · · · dº
• ÔÔÐÝ Ò
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ¸ Ø Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ø Ö Ò ÓÑ ´ÔÖÓ Ð ØÝ 1/d
ÓÖ
µº
• Ê Ô Øº
Ü ÑÔÐ d=2
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
π (5) = 012
½¼¾ ¼¾½
¼½¾

8. È Ö Ó
ØÝ
Ì ×
Ò¸ π (0), π (1), π (2), . . . × Ô Ö Ó
Ó Ô ÖÓ ¾ Ø Ø × Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö
Ó ×Ø Ô× ØÓ Ö ØÙÖÒ ØÓ ÔÓ Òغ
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
½¼¾ ¼¾½
¼½¾

9. Ò Ô Ö Ó
Ú Ö ÒØ
Ì ×
Ò¸ π (0), π (1), π (2), . . . × Ô Ö Ó
Ó Ô ÖÓ ¾ Ø Ø × Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö
Ó ×Ø Ô× ØÓ Ö ØÙÖÒ ØÓ ÔÓ Òغ
¾½¼
½¾¼ ¾¼½
½¼¾ ¼¾½
¼½¾
• Ó ÒÓØ Ò ÛØ ÔÖÓ Ð ØÝ 1/(d + 1)¸ Ò ÓØ ÖÛ × ÔÔÐÝ Ò
ÒØ ØÖ Ò×¹
ÔÓ× Ø ÓÒ
Ó× Ò ÙÒ ÓÖÑÐÝ
Ì ×
Ò × Ô ÖÓ
¸ ÖÖ Ù
Ð Ò ×ÝÑÑ ØÖ
¸ Ò Ø Ù×
ÓÒÚ Ö × ØÓ Ø
ÙÒ ÓÖÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Sd+1º

10. ÅÓØ Ú Ø ÓÒ×
• ½ ¼ → ¾¼½¾ Ê Ò ÓÑ Û Ð × Ò ÒØ ÖÓÙÔ× ´ Ð ÓÙ׸
ÓÒ ×¸ Ä Ø
¸
Ë ÐÓ ¹ Ó×Ø ¸ Ï Ð×ÓÒºººµ
ÌÓÓÐ×
ÓÙÔÐ Ò Ø
Ò Õ٠׸ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÖݺºº

11. ÅÓØ Ú Ø ÓÒ×
• ½ ¼ → ¾¼½¾ Ê Ò ÓÑ Û Ð × Ò ÒØ ÖÓÙÔ× ´ Ð ÓÙ׸
ÓÒ ×¸ Ä Ø
¸
Ë ÐÓ ¹ Ó×Ø ¸ Ï Ð×ÓÒºººµ
ÌÓÓÐ×
ÓÙÔÐ Ò Ø
Ò Õ٠׸ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÖݺºº
• ÅÓÖ Ö
ÒØÐÝ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÐÓ Ý ´Æº Ö ×Ø
ݸ ÙÖÖ Øظ Ö × Ò¸ ÀÙÐع
Ñ Ò¸ Àº Ö ××ÓÒ¸ ú Ö ××ÓÒ¸ Ë ×ØÖ Ò ºººµ
ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ Ò ÑÙØ Ø ÓÒ

12. Ï Ø ÓÛ × Ï Ø ÓÛ ÜÔ
Ø
•ÅÜÒ ØÑ ÀÓÛ ÑÙ
ØÑ Ó × ØØ ØÓ Ö
Ø ÙÒ ÓÖÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ
Ì ØÓØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ×Ø Ò
ØÛ Ò Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ØÑ n Ò Ø ÙÒ ÓÖÑ
×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Sd+1
d=3 d=4 d Ð Ö
1
n

13. Ï Ø ÓÛ × Ï Ø ÓÛ ÜÔ
Ø
•ÅÜÒ ØÑ ÀÓÛ ÑÙ
ØÑ Ó × ØØ ØÓ Ö
Ø ÙÒ ÓÖÑ ×ØÖ ÙØ ÓÒ
Ì ØÓØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ×Ø Ò
ØÛ Ò Ø ×ØÖ ÙØ ÓÒ Ø ØÑ n Ò Ø ÙÒ ÓÖÑ
×ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ Sd+1
d=3 d=4 d Ð Ö
1
n
1 3
π2
d log d
Ð ÓÙ× ¿¸
ÓÒ × ² Ë ÐÓ ¹ Ó×Ø ¿¸ Ï Ð×ÓÒ ¼ ℄

14. Ï Ø ÓÛ × Ï Ø ÓÛ ÜÔ
Ø
• Ó
Ù× ÓÒ Ó × ÖÚ Ð ×¸ ÓÖ Ò×Ø Ò
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö Id,n = inv(π (n))º
Ì ÜÔ
Ø Ú ÐÙ Ó Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö¸ Id,n := E(Id,n )
d=3 d=4
4
2,5
2,0
3
1,5
2
1,0
1
0,5
0 0
0 5 10 15 20 0 10 20 30 40
=⇒ ×Ø Ñ Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× ´ÑÙØ Ø ÓÒ×µ Ø Ø Ú Ó
ÙÖÖ ¸
Ò Ò
Ø ÚÓÐÙØ ÓÒ ÖÝ ×Ø Ò
ØÛ Ò ×Ô
׺
Ç Ô ÖØ
ÙÐ Ö ÒØ Ö ×Ø Û Ø ÔÔ Ò× ÓÖ ÑÜÒ º

15. ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö
Ì ÓÖ Ñ Ì ÜÔ
Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö× ÓÒ× Ø Ö n
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×
Ò Sd+1 ×
d (c + c )2
d(d + 1) 1 j k
Id,n = − xjk n,
4 8(d + 1)2 k,j=0 s2s2
j k
Û Ö
(2k + 1)π
ck = cos αk , sk = sin αk , αk = ,
2d + 2
Ò
4
xjk = 1 − (1 − cj ck ).
d
d(d+1)
Ê Ñ Ö ÓÖ d Ð Ö ÒÓÙ ´d ≥ 8µ¸ Id,n Ò
Ö × ×¸ × n ÖÓÛ׸ ØÓ 4 ¸ Û
× Ø Ú Ö ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò Sd+1 º

16. ÒÓØ Ö ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö Ö × Ò¼ ℄
n
1 n r r−1
Id,n = r
(−4)r−sgs,d hs,d,
r=1 d r s=1 s − 1
ÛØ
d
k 2⌈s/2⌉ − 1
gs,d = (−1) (p − 2ℓ)
ℓ=0 k≥0
⌈s/2⌉ + ℓ + k(d + 1)
Ò
2⌊s/2⌋
hs,d = (−1)j .
j∈Z
⌊s/2⌋ + j(d + 1)
× ÓÒ Ö ××ÓÒ ² Ö ××ÓÒ ² Ë ×ØÖ Ò ¼¼℄
Ö ×Ø
Ý ² ÙÖÖ ØØ ¼ Ø × Ö ÖÓÑ Ó Ú ÓÙ× ÓÛ ØÓ ÜØÖ
Ø Ù× ÙÐ ×ÝÑÔ¹
ØÓØ
ÖÓÑ Ø × ÓÖÑÙÐ º
ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ×Ø×
ÓÙÐ ÒÓØ Ø ÖÓÛ Ò Ø ×ÔÓÒ

17. ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö
Ì ÓÖ Ñ Ì ÜÔ
Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö× ÓÒ× Ø Ö n
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×
Ò Sd+1 ×
d (c + c )2
d(d + 1) 1 j k
Id,n = − xjk n,
4 8(d + 1)2 k,j=0 s2s2
j k
Û Ö
(2k + 1)π
ck = cos αk , sk = sin αk , αk = ,
2d + 2
Ò
4
xjk = 1 − (1 − cj ck ).
d
d(d+1)
Ê Ñ Ö ÓÖ d Ð Ö ÒÓÙ ´d ≥ 8µ¸ Id,n Ò
Ö × ×¸ × n ÖÓÛ׸ ØÓ 4 ¸ Û
× Ø Ú Ö ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ò Sd+1 º

18. Ì ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ×ÝÑÔØÓØ
×
Ì Ö Ö Ñ ×¸ × d Ò n Ø Ò ØÓ ∞
•Ï Ò n × ×Ñ ÐÐ ¸
×Ø Ô Ó Ø
Ò Ò
Ö × × Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ÛØ
ÔÖÓ Ð Øݺ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸
(1) (2) 1 (n) 1
inv(π ) = 1, P inv(π ) = 2 = 1− , P inv(π ) = n = 1−O .
d d

19. Ì ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ×ÝÑÔØÓØ
×
Ì Ö Ö Ñ ×¸ × d Ò n Ø Ò ØÓ ∞
•Ï Ò n × ×Ñ ÐÐ ¸
×Ø Ô Ó Ø
Ò Ò
Ö × × Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ÛØ
ÔÖÓ Ð Øݺ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸
(1) (2) 1 (n) 1
inv(π ) = 1, P inv(π ) = 2 = 1− , P inv(π ) = n = 1−O .
d d
• Ï Ò n × Ð Ö
¸ Ø ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ÑÙ×Ø ÔÔÖÓ
Ø× Ð Ñ Ø
Ú ÐÙ d(d + 1)/4 ∼ d2/4º

20. Ì ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ×ÝÑÔØÓØ
×
Ì Ö Ö Ñ ×¸ × d Ò n Ø Ò ØÓ ∞
•Ï Ò n × ×Ñ ÐÐ ¸
×Ø Ô Ó Ø
Ò Ò
Ö × × Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ÛØ
ÔÖÓ Ð Øݺ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸
(1) (2) 1 (n) 1
inv(π ) = 1, P inv(π ) = 2 = 1− , P inv(π ) = n = 1−O .
d d
• Ï Ò n × Ð Ö
¸ Ø ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö ÑÙ×Ø ÔÔÖÓ
Ø× Ð Ñ Ø
Ú ÐÙ d(d + 1)/4 ∼ d2/4º
• Ò ÒØ ÖÑ Ø Ö Ñ

21. ËÑ ÐÐ Ø Ñ × Ð Ò Ö Ò ÓÖ
• ËÙ ¹Ð Ò Ö Ö Ñ º Á n = o(d)¸
Id,n
= 1 + O(n/d).
n

22. ËÑ ÐÐ Ø Ñ × Ð Ò Ö Ò ÓÖ
• ËÙ ¹Ð Ò Ö Ö Ñ º Á n = o(d)¸
Id,n
= 1 + O(n/d).
n
• ÄÒ Ö Ö Ñ º Á n ∼ κd¸
Id,n
= f (κ) + O(1/d)
n
Û Ö
1 ∞ 1 − exp(−8κt2 /(1 + t2))
f (κ) = dt
2πκ 0 t2(1 + t2)
(2j)!
= (−1)j (2κ)j .
j≥0 j!(j + 1)!2
Ì ÙÒ
Ø ÓÒ f (κ)
Ö × × ÖÓÑ f (0) = 1 ØÓ f (∞) = 0º

23. Ä Ö Ø Ñ ×
Ù
Ò ÝÓÒ
• ËÙÔ Ö¹
Ù
Ö Ñ º Á n ≫ d3¸
Id,n 1
→ .
d2 4

24. Ä Ö Ø Ñ ×
Ù
Ò ÝÓÒ
• ËÙÔ Ö¹
Ù
Ö Ñ º Á n ≫ d3¸
Id,n 1
→ .
d2 4
• Ù
Ö Ñ º Á n ∼ κd3 ¸
Id,n
2
∼ g(κ)
d
Û Ö
2
−κπ 2 (2j+1)2 /2

1 16  e
g(κ) = − 4  .
4 π j≥0 (2j + 1)2
Ì ÙÒ
Ø ÓÒ g(κ) Ò
Ö × × ÖÓÑ g(0) = 0 ØÓ g(∞) = 1/4º

25. Ì ÒØ ÖÑ Ø Ö Ñ
• Á d ≪ n ≪ d3¸
Id,n 2
√ → .
dn π
Ê Ñ Ö º ÓÖ Ö Ð Ø
ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ø Ñ
Ò¸ Ø ÒÓÖÑ Ð Þ ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö
√
Id,n/ dn
ÓÒÚ Ö × Ò ÔÖÓ Ð ØÝ ØÓ 2/π Ö ×Ø
Ý ² ÙÖÖ ØØ ¼ ℄

26. ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö
Ì ÓÖ Ñ Ì ÜÔ
Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö× ÓÒ× Ø Ö n
ÒØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×
Ò Sd+1 ×
d (c + c )2
d(d + 1) 1 j k
Id,n = − xjk n,
4 8(d + 1)2 k,j=0 s2s2
j k
Û Ö
(2k + 1)π
ck = cos αk , sk = sin αk , αk = ,
2d + 2
Ò
4
xjk = 1 − (1 − cj ck ).
d

27. Ï Ö Ö Ø ÒÚ Ö× ÓÒ× Ö ××ÓÒ Ø Ðº ¼¼℄
(n)
ÓÖ i ≤ j ¸ Ð Ø pi,j Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ö × Ò ÒÚ Ö× ÓÒ Ø ØÑ n Ò Ø
ÔÓ× Ø ÓÒ× i Ò j + 1
(n) (n) (n)
pi,j = P(πi > πj+1).
• Ì ÜÔ
Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö× ÓÒ× Ø ØÑ n ×
(n)
Id,n = pi,j .
0≤i≤j<d

28. Ï Ö Ö Ø ÒÚ Ö× ÓÒ× Ö ××ÓÒ Ø Ðº ¼¼℄
(n)
ÓÖ i ≤ j ¸ Ð Ø pi,j Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ö × Ò ÒÚ Ö× ÓÒ Ø ØÑ n Ò Ø
ÔÓ× Ø ÓÒ× i Ò j + 1
(n) (n) (n)
pi,j = P(πi > πj+1).
(n)
• Ì ÒÙÑ Ö× pi,j
Ò ×
Ö Ö
ÙÖ× Ú ÐÝ Ý Ü ÑÒÒ Û Ö Û Ö Ø
(n) (n)
Ú ÐÙ × πi Ò πj+1 Ø Ø Ñ n − 1º

29. Ï Ö Ö Ø ÒÚ Ö× ÓÒ× Ö ××ÓÒ Ø Ðº ¼¼℄
(n)
ÓÖ i ≤ j ¸ Ð Ø pi,j Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ö × Ò ÒÚ Ö× ÓÒ Ø ØÑ n Ò Ø
ÔÓ× Ø ÓÒ× i Ò j + 1
(n) (n) (n)
pi,j = P(πi > πj+1).
(n)
• Ì ÒÙÑ Ö× pi,j
Ò ×
Ö Ö
ÙÖ× Ú ÐÝ Ý Ü ÑÒÒ Û Ö Û Ö Ø
(n) (n)
Ú ÐÙ × πi Ò πj+1 Ø Ø Ñ n − 1º ÓÖ Ò×Ø Ò
Á i=j Ò Ø nØ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ × ×Û Ø
Ø iØ Ò i + 1×Ø Ú ÐÙ ×
(n−1) 1
1 − pi,j
d
Ø
º

30. Ö
ÙÖ× ÓÒ ÓÖ Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÔÖÓ ÐØ ×
(n)
Ä ÑÑ º Ì ÒÚ Ö× ÓÒ ÔÖÓ ÐØ × pi,j Ö
Ö
Ø Ö Þ Ý
(0)
pi,j = 0 ÓÖ 0 ≤ i ≤ j < d,
Ò ÓÖ n ≥ 0¸
(n+1) (n) 1 (n) (n) δi,j (n)
pi,j = pi,j + pk,ℓ − pi,j + 1 − 2pi,j ,
d (k,ℓ)↔(i,j)
d
Û Ö δi,j = 1 i=j Ò 0 ÓØ ÖÛ × ¸ Ò Ø Ò ÓÙÖ Ö Ð Ø ÓÒ× ↔ Ö Ø Ó×
Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ô
(d − 1)
½
¼ ½ (d − 1)
´Û Ø µ Û Ð Ò ØÖ Ò Ð º

31. ÙÒ
Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ó Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÔÖÓ ÐØ ×
(n)
Ä Ø P (t; u, v µ Ø Ò Ö ØÒ ÙÒ
Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö× pi,j
(n)
P (t; u, v) ≡ P (u, v) := tn pi,j uiv j .
n≥0 0≤i≤j<d

32. ÙÒ
Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ó Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÔÖÓ ÐØ ×
(n)
Ä Ø P (t; u, v µ Ø Ò Ö ØÒ ÙÒ
Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö× pi,j
(n)
P (t; u, v) ≡ P (u, v) := tn pi,j uiv j .
n≥0 0≤i≤j<d
Ì ÓÚ Ö
ÙÖ× ÓÒ ØÖ Ò×Ð Ø × ×
t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ (v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv) ,
u v
d (1 − uv)(1 − t)
(n)
Û Ö u = 1/u¸ ¯ = 1/v ¸ Ò Ø
¯ v × Ö × Pℓ ¸ Pt Ò Pδ ×
Ö Ø ÒÙÑ Ö× pi,j
ÓÒ Ø ÓÙÒ Ö × Ó Ø Ö Ô
j Pt ´ØÓÔµ
Pℓ ´Ð ص Pδ ´ ºµ
Pℓ (v) ≡ Pℓ (t; v) = P (t; 0; v)
i

33. ØÓ Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö
Ï Ö ÒØ Ö ×Ø Ò
Im(t) = Id,ntn = P (t; 1, 1),
n≥0
Û
¸
ÓÖ Ò ØÓ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ¸ Ñ Ý Ö ÛÖ ØØ Ò
t 2tPδ (1)
Im(t) = 2
− .
(1 − t) d(1 − t)
⊳ ⊳ ⋄ ⊲ ⊲
(n)
P (t; u, v) ≡ P (u, v) := tn pi,j uiv j .
n≥0 0≤i≤j<d
t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ (v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv) ,
u v
d (1 − uv)(1 − t)

34. t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ(v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv)
u v
d (1 − uv)(1 − t)

35. Ï Ø ÙØ ÙÐ ÕÙ Ø ÓÒ
t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ(v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv)
u v
d (1 − uv)(1 − t)
Ò ÐÓ × ÛØ
d
• Ï Ð × ÛØ ×Ø Ô× ±1 Ò ×ØÖ Ô Ó Ø d
¾
½
(1 − t(u + u))P (u) = 1 − t¯P0 − tud+1Pd
¯ u
¼
• Ï Ð × Ò Ø ÕÙ ÖØ Ö ÔÐ Ò
(1 − t(u + u + v + ¯))P (u, v) =
¯ v
1 − t¯P (0, v) − t¯P (u, 0)
u v
• Ò ÓØ Ö׺ºº

36. Ì Ò Ö ÒØ× Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ(v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv)
u v
d (1 − uv)(1 − t)
• Ò
Ð Ø ÖÒ Ð t
1 − t + d (4 − u − u − v − ¯)
¯ v Ý
ÓÙÔÐ Ò u Ò v

37. Ì Ò Ö ÒØ× Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ(v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv)
u v
d (1 − uv)(1 − t)
• Ò
Ð Ø ÖÒ Ð t
1 − t + d (4 − u − u − v − ¯)
¯ v Ý
ÓÙÔÐ Ò u Ò v
• ÜÔÐÓ Ø Ø ×ÝÑÑ ØÖ × Ó Ø × ÖÒ Ð¸ Û
× ÒÚ Ö ÒØ Ý (u, v) → (¯, v)
u
(u, v) → (u, ¯)¸ (u, v) → (¯, ¯) ´Ø
v u v Ö
Ø ÓÒ ÔÖ Ò
ÔÐ µ

38. Ì Ò Ö ÒØ× Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ(v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv)
u v
d (1 − uv)(1 − t)
• Ò
Ð Ø ÖÒ Ð t
1 − t + d (4 − u − u − v − ¯)
¯ v Ý
ÓÙÔÐ Ò u Ò v
• ÜÔÐÓ Ø Ø ×ÝÑÑ ØÖ × Ó Ø × ÖÒ Ð¸ Û
× ÒÚ Ö ÒØ Ý (u, v) → (¯, v)
u
(u, v) → (u, ¯)¸ (u, v) → (¯, ¯) ´Ø
v u v Ö
Ø ÓÒ ÔÖ Ò
ÔÐ µ
• ÈÐÙ× ÓÒ ÑÓÖ
ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò u Ò vº

39. Ì Ò Ö ÒØ× Ó Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ
t
1 − t + (4 − u − u − v − ¯) P (u, v) =
¯ v
d
t 1 − ud v d
− (¯ − 1)Pℓ(v) − (v − 1)v d−1Pt(u) − (u + ¯)Pδ (uv)
u v
d (1 − uv)(1 − t)
• Ò
Ð Ø ÖÒ Ð t
1 − t + d (4 − u − u − v − ¯)
¯ v Ý
ÓÙÔÐ Ò u Ò v
• ÜÔÐÓ Ø Ø ×ÝÑÑ ØÖ × Ó Ø × ÖÒ Ð¸ Û
× ÒÚ Ö ÒØ Ý (u, v) → (¯, v)
u
(u, v) → (u, ¯)¸ (u, v) → (¯, ¯) ´Ø
v u v Ö
Ø ÓÒ ÔÖ Ò
ÔÐ µ
• ÈÐÙ× ÓÒ ÑÓÖ
ÓÙÔÐ Ò ØÛ Ò u Ò vº
ÇÒ Ó Ø Ò× Ò ÜÔÐ
Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ Ó Pδ (q) Ø Ú ÖÝ q = −1 ×Ù
Ø Ø q d+1 = −1¸
Ò Ø × × ÒÓÙ ØÓ Ö
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ø Û ÓÐ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Pδ (u) ´ Ò Ò Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸
Pδ (1)µ Ý ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº

40. Ì Ò Ð Ö ×ÙÐØ
Ì Ò Ö ØÒ ÙÒ
Ø ÓÒ Id(t) = n ×
n≥0 Id,n t
d (c + c )2
d(d + 1) 1 j k 1
Id(t) = −
4(1 − t) 8(d + 1)2 k,j=0 s2s2
j k 1 − txjk
ÛØ
(2k + 1)π
ck = cos αk , sk = sin αk , αk = ,
2d + 2
Ò
4
xjk = 1 − (1 − cj ck ).
d

41. È Ö×Ô
Ø Ú ×
• ÇØ Ö Ò Ö ØÓÖ× ´ Ü ÐÐ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ë ×ØÖ Ò ½¼℄¸ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× (0, i)¸
ÐÓ
ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ׺ººµ

42. È Ö×Ô
Ø Ú ×
• ÇØ Ö Ò Ö ØÓÖ× ´ Ü ÐÐ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ë ×ØÖ Ò ½¼℄¸ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× (0, i)¸
ÐÓ
ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ׺ººµ
• ÇØ Ö ×Ø Ø ×Ø
× ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö → Ñ ×ÙÖ Ó Ø ×Ø Ò
ØÛ Ò Ø
ÒØ ØÝ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ´ Ü Ö × Ò ² ÀÙÐØÑ Ò ¼ ℄¸ ÜÔ
Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ
×Ø Ò
Ø Ö n ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×µ

43. È Ö×Ô
Ø Ú ×
• ÇØ Ö Ò Ö ØÓÖ× ´ Ü ÐÐ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ë ×ØÖ Ò ½¼℄¸ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× (0, i)¸
ÐÓ
ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ׺ººµ
• ÇØ Ö ×Ø Ø ×Ø
× ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö → Ñ ×ÙÖ Ó Ø ×Ø Ò
ØÛ Ò Ø
ÒØ ØÝ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ´ Ü Ö × Ò ² ÀÙÐØÑ Ò ¼ ℄¸ ÜÔ
Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ
×Ø Ò
Ø Ö n ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×µ
• ÇØ Ö ÖÓÙÔ× ÑÓ×ØÐݸ ÒØ ÖÖ Ù
Ð ÓÜ Ø Ö ÖÓÙÔ׸ Û Ø Ø Ð Ò Ø ×
Ø ×Ø Ò
×Ø Ø ×Ø
× ´ ÌÖÓ Ð ¼¾℄ Ø
× Ó I2(d)µº Ï Ò Ø Ò Ö ØÓÖ× Ö
ÐÐ Ö
Ø ÓÒ׸ × Ë ×ØÖ Ò ½¼℄º

44. È Ö×Ô
Ø Ú ×
• ÇØ Ö Ò Ö ØÓÖ× ´ Ü ÐÐ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× Ë ×ØÖ Ò ½¼℄¸ ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ× (0, i)¸
ÐÓ
ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ׺ººµ
• ÇØ Ö ×Ø Ø ×Ø
× ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö → Ñ ×ÙÖ Ó Ø ×Ø Ò
ØÛ Ò Ø
ÒØ ØÝ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ´ Ü Ö × Ò ² ÀÙÐØÑ Ò ¼ ℄¸ ÜÔ
Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ
×Ø Ò
Ø Ö n ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ×µ
• ÇØ Ö ÖÓÙÔ× ÑÓ×ØÐݸ ÒØ ÖÖ Ù
Ð ÓÜ Ø Ö ÖÓÙÔ׸ Û Ø Ø Ð Ò Ø ×
Ø ×Ø Ò
×Ø Ø ×Ø
× ´ ÌÖÓ Ð ¼¾℄ Ø
× Ó I2(d)µº Ï Ò Ø Ò Ö ØÓÖ× Ö
ÐÐ Ö
Ø ÓÒ׸ × Ë ×ØÖ Ò ½¼℄º
Ì Ò ÝÓÙ

45. ÖÓÙÒ Ø Ñ Ü Ò Ø Ñ ´×ÙÔ Ö¹
Ù
Ö Ñ µ
××ÙÑ n ∼ κd3 log dº
• Á κ < 1/π 2¸ Ø Ö Ü ×Ø× γ > 0 ×Ù
Ø Ø
d(d + 1)
Id,n ≤ − Θ(d1+γ ),
4
• Á κ > 1/π 2¸ Ø Ö Ü ×Ø× γ > 0 ×Ù
Ø Ø
d(d + 1)
Id,n = − O(d1−γ ).
4
• ÓÖ Ø
Ö Ø
Ð Ú ÐÙ κ = 1/π 2¸ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ò ×Ø Ñ Ø ÓÐ ×
n ∼ 1/π 2d3 log d + αd3 + o(d3)¸ Ø Ò
d(d + 1) 16d −απ 2
Id,n = − 4e (1 + o(1)).
4 π

46. Ï Ø ÓÛ × Ï Ø ÓÛ ÜÔ
Ø
Ä Ø Q = (Qσ,τ ) Ø ØÖ Ò× Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ó Ø
Ò
¾½¼
 
0 1/2 1/2 0 0 0
 1/2 ½¾¼ ¾¼½
0 0 0 1/2 0 
 
 
Q =  1/2 0 0 1/2 0 0 
½¼¾ ¼¾½
 
 0 0 1/2 0 0 1/2 
 
0 0 0 1/2 1/2 0
¼½¾
• Ì Ò ÓÖ ÐÐ σ ∈ Sd+1¸
P π (n) = σ tn = Qn tn = (1 − tQ)−1
id,σ id,σ
n≥0 n≥0
× Ö Ø ÓÒ Ð × Ö × Ò tº
• Ì Ó Ø ÜÔ
Ø ÒÚ Ö× ÓÒ ÒÙÑ Ö
 
E(Id,n)tn = inv(σ)P π (n) = σ  tn = inv(σ)Gσ (t)
 

n≥0 n≥0 σ∈Sd+1 σ∈Sd+1
× Ö Ø ÓÒ Ð × Û Ðк