Storia della matematica: Egizi

1. Storia della
Matematica
Le origini ai
tempi di AIDA

2. E’ nell’antico Egitto che comparvero le prime tracce della Matematica.
Gli egizi furono grandi innovatori.
Scoprirono le potenzialità della geometria e dei numeri e furono
precursori delle più grandi scoperte nella storia della Matematica.

3. Per gli agricoltori egizi l’evento più importante dell’anno era la
piena del Nilo.
Questo evento venne utilizzato come linea di demarcazione per
l’inizio di un nuovo anno.
Se molti calendari contano quanti giorni
intercorrono tra una fase lunare e l’altra,
i calendari egizi , invece, consideravano
quanti giorni si succedevano tra una piena e
l’altra.

4. Registrare il succedersi delle stagioni era indispensabile
non solo per l’agricoltura,
ma anche per la Religione.
Gli antichi egizi credevano che fosse Api, il dio del
fiume, a provocare le inondazioni ogni anno.
Per ringraziarlo per l’acqua che dava la vita,
i contadini
offrivano parti del loro raccolto alla divinità.

5. Gli egizi usavano il corpo per misurare.
Unità di misura base era il PALMO, cioè la larghezza di una mano
e il CUBITO, cioè la lunghezza dal gomito alla punta delle dita
Per le superfici l’unità base era una striscia rettangolare di
1 cubito per 100 cubiti
utilizzata dagli agrimensori del Faraone per misurare i terreni
Man mano che gli insediamenti diventavano più grandi diventò necessario amministrarli.
Bisognava calcolare l’area dei terreni, seminare le giuste quantità di grano, imporre
delle tasse e riscuoterle.

6. Gli addetti del faraone spesso dovevano misurare aree irregolari e la necessità
di effettuare calcoli sempre più complessi fece di loro i primi matematici della storia.
Avevano bisogno di un SISTEMA NUMERICO .
Il sistema di numerazione degli antichi egizi era decimale
perché 10 sono le dita delle mani.
Il segno che indicava l’1 era un tratto
Il 10 un pezzo di corda
Il 100 una corda a spirale
Il 1000 un fiore di loto

7. I geroglifici sono belli da vedere, ma il sistema numerico egizio era fondamentalmente
incompleto.
Non esisteva il concetto di posizione numerica.
Un tratto rappresentava sempre e solo le singole unità, mai le decine, le centinaia o le
migliaia.
Potevano sì rappresentare 1000 con un solo simbolo, ma per scrivere 1000 meno 1
dovevano raffigurare 9 tratti, 9 pezzi di corda, 9 spirali per un totale di 27 caratteri.
Nonostante questi svantaggi gli egizi risolvevano problemi complicatissimi
= 999

8. Un sistema del genere era piuttosto insoddisfacente per coloro che, come gli scribi
egizi, desideravano risparmiare tempo. Inoltre il disegno delle cifre geroglifiche era
eccessivamente minuzioso per consentire una trascrizione dei numeri semplice e
rapida.
Fu per tale motivo che gli scribi egizi
cercarono di semplificare al massimo il
grafismo e la struttura delle loro cifre
originarie, pervenendo ad una notazione
numerica assai sintetizzata, nota con il
nome di NUMERAZIONE
IERATICA
Così, quattro non viene più rappresentato
con quattro trattini verticali, ma da una
lineetta orizzontale; e sette non viene scritto
con sette trattini, ma come una unica cifra
simile ad una falce.
Vengono così introdotti nove segni
specifici per le unità semplici, altri nove per
le decine, ancora altri nove per le centinaia,
e così di seguito.

9. Gli egizi utilizzavano i papiri, ma poiché questo materiale col tempo si deteriorava
con esso sono andati persi molti segreti.
Tuttavia se ne è conservato uno di particolare importanza: il Papiro di Rhind.
E’ il più importante documento
sulle conoscenze matematiche dell’antico Egitto
Contiene una panoramica dei vari tipi di problemi
che gli egizi sapevano risolvere grazie
alle loro competenze matematiche.
Il papiro di Rhind ci dice, tra l’altro, come gli egizi eseguivano
la MOLTIPLICAZIONE e la DIVISIONE

10. Nel papiro c’è una moltiplicazione tra numeri grandi, ma vediamo il metodo
con due numeri piccoli:
3 x 6
Lo scriba posizionava il 3 nella1°colonna
Nella 2° metteva l’ 1
Poi raddoppiava i numeri di ogni colonnaPoi raddoppiava i numeri di ogni colonna
3 x 2 = 6 e 6 x 2 = 12
Nella 2° colonna
1 x 2 = 2 e 2 x 2 = 4
Lo scriba voleva moltiplicare 3 x 6:
Prendeva le potenze di 2 nella 2° colonna
2 e 4 che sommati danno 6
Poi tornava alla 1° colonna:
Prendeva le righe corrispondenti
al 2 e al 4 cioè 6 e 12.
Sommiamo le due quantità e
otteniamo il risultato: 18
+
=6
=18
+

11. l’aspetto sorprendente è questo: lo scriba rappresentava il secondo
fattore con il SISTEMA BINARIO
6 è una volta 4,
una volta 2
e zero volte 1
cioè 1 1 0
0
1
1
Gli egizi, dunque, utilizzavano il sistema binario 3000 anni prima che Leibniz lo
inventasse.
E pensare che i computer si basano sul sistema binario come i calcoli degli antichi egizi!

12. La DIVISIONE:
La divisione segue un procedimento simile a quello visto per la moltiplicazione.
Anche per eseguire la divisione gli antichi egizi procedevano raddoppiando
successivamente il numero
La procedura equivale, quindi, a un esercizio di moltiplicazione, vediamolo su due
esempi:
756 : 42
1 42
2 84
4 168
8 336
16 672
Lo scriba poneva il divisore nella colonna di destra
di fianco poneva il numero 1
Raddoppiava successivamente ciascuno dei due numeri e,
per non superare il dividendo, si fermava a 672
Cercava, nella colonna di destra, i numeri che sommati
davano come risultato il dividendo
I numeri corrispondenti a sinistra, sommati, davano il
risultato della divisione
672 + 84 = 756 e 16 + 2 = 18 756 : 42 = 18

13. 2° Esempio: divisione con resto 443 : 18 = 24 resto 9
181
36
72
144
288
2
4
8
16
t
i
c
h
i
E
g
i
z
i
p
r
o
c
e
d
e
v
a
n
o
r
a
144 + 288 = 432
443 – 432 = 9
16 + 8 = 24

14. Il papiro Rhind venne redatto intorno al 1650 a.C. da uno scriba di nome
Hacmes.
I problemi presenti prendono spunto dalla vita quotidiana.
Vengono menzionati, ad esempio il pane e la birra, spesso utilizzati per il
pagamento dei lavoratori.
In un problema si chiede come dividere 9 pagnotte per 10 lavoratori, senza
scatenare una rissa.
Soluzione:
ne prendo 5 e le divido a metà

15. Prendo le 4 rimanenti e le divido in 3
Ottengo 12 fette, 2 le divido in 5: ognuna è 1/15
1 /15

16. ogni lavoratore riceverà:
compaiono così nuovi numeri: le FRAZIONI
Le frazioni erano molto utili per esempio se bisognava dividere una
certa quantità di merce negli scambi al mercato.
1 / 2
1 / 3
1 /15

17. Lo spunto per spiegare questi nuovi numeri venne da l’ OCCHIO di
HORUS
Divinità dell’Antico Egitto, Horus veniva
rappresentato come un uomo dalla testa di falco
Secondo la leggenda il padre di Horus venne ucciso
dal fratello Seth. Horus volle vendicarsi e, durante una
furiosa battaglia Seth strappò un occhio a Horus e lo
fece a pezzi che poi sparse per tutto l’Egitto.
Gli dei, che parteggiavano per Horus, raccolsero i
frammenti e ricomposero l’occhio.

18. Ogni parte dell’occhio rappresentava una frazione diversa e ognuna era la
metà di quella precedente.
L’occhio simboleggiava una singola unità composta da 64 parti.
La loro somma si avvicinerebbe sempre più all’unità senza mai raggiungerla.

19. Dopo aver inventato un sistema numerico, gli egizi si servirono delle conoscenze
acquisite per comprendere la FORMA delle cose che vedevano intorno a sé.
Nel Papiro di Rhind, viene calcolata l’area della forma più diffusa in natura:
Il CERCHIO.
Probabilmente, il calcolo dell’area del cerchio nasceva dall’osservazione:
accostarono il cerchio a un’altra forma di cui sapevano già calcolare l’area.
Nel Papiro Rhind si afferma che l’area di un campo circolare del diametro
di 9 unità è equivalente a quella di un quadrato di lato 8 u.
Come stabilirono questo rapporto?

20. La risposta potrebbe venire da un gioco da tavola africano di origini antichissime:
il MANKALA
Una serie di buche per mankala è stata ritrovata sul tetto di un tempio egizio

21. Ogni giocatore comincia con un numero uguale di sassolini
e lo scopo del gioco è catturare quello del proprio avversario muovendoli da una
buca all’altra.
Forse un giocatore, studiando la mossa da fare, notò che i sassolini riempivano le
buche formando dei cerchi. Notò che 64 sassolini ( il quadrato di 8) potevano essere
usati per formare un cerchio del diametro 9.
Ridistribuendo i sassolini si ottiene un quadrato di lato 8 u.
Ecco trovato il rapporto!

22. Solo 2 centesimi in più del valore reale di π.
L’area del cerchio è : A = π r
2
Gli egizi stabilirono, dunque, un primo valore di π
Nell’esempio precedente, l’area del cerchio è 64 u .
Dividendolo per il quadrato del raggio ( in questo caso 4,5 ) si ottiene il valore di π
2
2
64 : 4,5 = 3,16
2

24. La forma che gli egizi studiarono di più è quella che divenne il loro simbolo:
la PIRAMIDE.
Per costruirle, gli egizi dovevano essere esperti matematici.
Pare, addirittura, che applicassero già il Teorema di Pitagora
Per ottenere angoli di 90° i
costruttori egizi usavano una corda
con dei nodi.
Si erano accorti, infatti, che facendo
con la corda un triangolo avente su
un lato 3 nodi, sul secondo 4 e sul
terzo 5 ottenevano un triangolo con
un angolo retto.
3 + 4 = 5 è il Teorema di Pitagora
22 2

25. Ogni triangolo che soddisfi queste proporzioni è un triangolo rettangolo.
Quasi sicuramente, tuttavia, gli egizi non compresero che era una regola
generale e sfruttarono solo quella peculiarità.
Dovevano passare altri 2000 anni prima che i greci con Pitagora
dimostrassero che tutti i triangoli rettangoli presentano determinate proprietà.

26. Per i costruttori egizi era certamente utile conoscere il volume di una piramide per
calcolare la quantità di materiale necessario a costruire i grandi monumenti.
Il metodo che utilizzavano per calcolarlo è davvero ingegnoso