1. Exponentials

2. Exponentials
y
x

3. Exponentials
y y  ax
a  1
1
x

4. ya x
Exponentials
y y  ax
0  a  1 a  1
1
x

5. ya x
Exponentials
y y  ax
0  a  1 a  1
 y  ax 

1  0  a  1 

x

6. ya x
Exponentials
y y  ax
0  a  1 a  1
x
y  a   y  ax 

 
a  1 
1  0  a  1 

x

7. ya x
Exponentials
y y  ax
0  a  1 a  1
x
y  a   y  ax 

 
a  1 
1  0  a  1 

x
domain : all real x

8. ya x
Exponentials
y y  ax
0  a  1 a  1
x
y  a   y  ax 

 
a  1 
1  0  a  1 

x
domain : all real x
range : y  0

9. ya x
Exponentials
y y  ax
0  a  1 a  1
y  a  x  y  ax 

 
a  1 
1  0  a  1 

x
domain : all real x
range : y  0
y  ex

10. ya x
Exponentialsy y  ax
0  a  1 a  1
y  a  x  y  ax 

 
a  1 
1  0  a  1 

x
domain : all real x
range : y  0
y  ex
n
  1
e is an irrational number, it is defined as; lim1 
n   n

11. ya x
Exponentialsy y  ax
0  a  1 a  1
y  a  x  y  ax 

 
a  1 
1  0  a  1 

x
domain : all real x
range : y  0
y  ex
n
  1
e is an irrational number, it is defined as; lim1 
n   n
e  2.718281828

12. ya x
Exponentials y y  ax
0  a  1 a  1
y  a  x  y  ax 

 
a  1 
1  0  a  1 

x
domain : all real x
range : y  0
y  ex
n
1  1 
e is an irrational number, it is defined as; lim 
n   n
e  2.718281828
e.g. e3  20.086 (to 3 dp)

13. Differentiating
Exponentials

14. Differentiating
Exponentials
y  e f x

15. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx

16. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy
 f  x e f  x 
dx

17. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx

18. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x

19. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x
dy
 ex
dx

20. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x ii  y  e5 x
dy
 ex
dx

21. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x ii  y  e5 x
dy dy
 ex  5e5 x
dx dx

22. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x ii  y  e5 x iii  y  e 4 x 3
dy dy
 ex  5e5 x
dx dx

23. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x ii  y  e5 x iii  y  e 4 x 3
dy dy dy
 ex  5e5 x  4e 4 x  3
dx dx dx

24. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x ii  y  e5 x iii  y  e 4 x 3 iv  y  e x 2 3 x  2
dy dy dy
 ex  5e5 x  4e 4 x  3
dx dx dx

25. Differentiating
Exponentials
y  e f x y  a f x
dy dy
 f  x e f  x   f  x log a a f  x 
dx dx
e.g. i  y  e x ii  y  e5 x iii  y  e 4 x 3 iv  y  e x 2 3 x  2
dy dy dy dy
 ex  5e5 x  4e 4 x  3  2 x  3e x 2 3 x  2
dx dx dx dx

26. (v) y  3 x 2 e 4 x

27. (v) y  3 x 2 e 4 x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
dx

28. (v) y  3 x 2 e 4 x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1

29. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1

30. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1

31. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1

32. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3

33. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

dx e x  32

34. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

dx e x  32
e 2 x  3e x  e 2 x

e  3
x 2
3e x

e x
 3
2

35. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
vii  y  x
e 3
at the point 1, e 2  1
dy e x  3e x   e x e x 

dx e x  32
e 2 x  3e x  e 2 x

e  3
x 2
3e x

e x
 3
2

36. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
vii  y  x
e 3
at the point 1, e 2  1
dy e x  3e x   e x e x 
 y  e2 x  1
dx e x  32 dy
e 2 x  3e x  e 2 x  2e 2 x
 dx
e  3
x 2
3e x

e x
 3
2

37. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
vii  y  x
e 3
at the point 1, e 2  1
dy e x  3e x   e x e x 
 y  e2 x  1
dx e x  32 dy
e 2 x  3e x  e 2 x  2e 2 x
 dx
e  3
x 2
dy
when x  1,  2e 2
3e x dx

e x
 3
2

38. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
vii  y  x
e 3
at the point 1, e 2  1
dy e x  3e x   e x e x 
 y  e2 x  1
dx e x  32 dy
e 2 x  3e x  e 2 x  2e 2 x
 dx
e  3
x 2
dy
when x  1,  2e 2
3e x dx
 y  e 2  1  2e 2  x  1
e x
 3
2

39. vi  y  e  2
7
(v) y  3 x 2 e 4 x 3x
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dy
 7e  2  3e3 x 
dy 3x 6
dx dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x  21e e  2 
3x 3x 6
 6 xe 4 x 2 x  1
ex viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
vii  y  x
e 3
at the point 1, e 2  1
dy e x  3e x   e x e x 
 y  e2 x  1
dx e x  32 dy
e 2 x  3e x  e 2 x  2e 2 x
 dx
e  3
x 2
dy
when x  1,  2e 2
3e x dx
 y  e 2  1  2e 2  x  1
e x
 3
2
y  e 2  1  2e 2 x  2e 2
2e 2 x  y  e 2  1  0

40. ix  y  4 x2

41. ix  y  4 x2
dy
 2 xlog 4 4 x2
dx

42. ix  y  4 x2
 x  y  log x
dy
 2 xlog 4 4 x2
dx

43. ix  y  4 x2
 x  y  log x
dy
 2 xlog 4 4 x2 x  ey
dx

44. ix  y  4 x2
 x  y  log x
dy
 2 xlog 4 4 x2 x  ey
dx dx
 ey
dy

45. ix  y  4 x2
 x  y  log x
dy
 2 xlog 4 4 x2 x  ey
dx dx
 ey
dy
dy 1
 y
dx e

46. ix  y  4 x2
 x  y  log x
dy
 2 xlog 4 4 x2 x  ey
dx dx
 ey
dy
dy 1
 y
dx e
1

x

47. ix  y  4 x2
 x  y  log x
dy
 2 xlog 4 4 x2 x  ey
dx dx
 ey
dy
dy 1
 y
dx e
1

x
Exercise 13A; 1 to 4 ace etc, 6 to 8 ace, 10 to 12 ac
Exercise 13B; 4, 7, 8 to 22 evens (not 18)