1. Integration Using
Substitution

2. Integration Using
Substitution
Try to convert the integral into a “standard integral”

3. Integration Using
Substitution
Try to convert the integral into a “standard integral”
STANDARD INTEGRALS
1 n 1
 x dx  x , n  1; x  0, if n  0
n
n 1

4. Integration Using
Substitution
Try to convert the integral into a “standard integral”
STANDARD INTEGRALS
1 n 1
 x dx  x , n  1; x  0, if n  0
n
n 1
1
 xdx  ln x, x  0

5. Integration Using
Substitution
Try to convert the integral into a “standard integral”
STANDARD INTEGRALS
1 n 1
 x dx  x , n  1; x  0, if n  0
n
n 1
1
 xdx  ln x, x  0

6. Integration Using
Substitution
Try to convert the integral into a “standard integral”
STANDARD INTEGRALS
1 n 1
 x dx  x , n  1; x  0, if n  0
n
n 1
1
 xdx  ln x, x  0
1
 e ax dx  e ax , a  0
a

7. Integration Using
Substitution
Try to convert the integral into a “standard integral”
STANDARD INTEGRALS
1 n 1
 x dx  x , n  1; x  0, if n  0
n
n 1
1
 xdx  ln x, x  0
1
 e ax dx  e ax , a  0
a
1
 cos ax dx  sin ax, a  0
a

8. Integration Using
Substitution
Try to convert the integral into a “standard integral”
STANDARD INTEGRALS
1 n 1
 x dx  x , n  1; x  0, if n  0
n
n 1
1
 xdx  ln x, x  0
1
 e ax dx  e ax , a  0
a
1
 cos ax dx  sin ax, a  0
a
1
 sin ax dx   cos ax, a  0
a

9. 1
 sec  tan ax, a  0
2
ax dx
a

10. 1
 sec  tan ax, a  0
2
ax dx
a
1
 sec ax tan ax dx  sec ax, a  0
a

11. 1
 sec  tan ax, a  0
2
ax dx
a
1
 sec ax tan ax dx  sec ax, a  0
a
1 1 1 x
 a 2  x 2 dx  tan
a a
, a0

12. 1
 sec  tan ax, a  0
2
ax dx
a
1
 sec ax tan ax dx  sec ax, a  0
a
1 1 1 x
 a 2  x 2 dx  tan
a a
, a0
1 x
 a 2  x 2 dx  sin 1 , a  0,  a  x  a
a

13. 1
 sec  tan ax, a  0
2
ax dx
a
1
 sec ax tan ax dx  sec ax, a  0
a
1 1 1 x
 a 2  x 2 dx  tan
a a
, a0
1 x
 a 2  x 2 dx  sin 1 , a  0,  a  x  a
a
1
 x 2  a 2 dx  
 ln x  x 2  a 2 , x  a  0

14. 1
 sec  tan ax, a  0
2
ax dx
a
1
 sec ax tan ax dx  sec ax, a  0
a
1 1 1 x
 a 2  x 2 dx  tan
a a
, a0
1 x
 a 2  x 2 dx  sin 1 , a  0,  a  x  a
a
1
 x 2  a 2 dx  
 ln x  x 2  a 2 , x  a  0

1
x a
2 2
dx 
 ln x  x 2  a 2 

15. e.g. (i)  x x 2  4dx

16. e.g. (i)  x x 2  4dx u  x2  4

17. e.g. (i)  x x 2  4dx u  x2  4
u

18. e.g. (i)  x x 2  4dx u  x2  4
du  2 xdx
u

19. e.g. (i)  x x 2  4dx u  x2  4
1 du  2 xdx
du u
2

20. e.g. (i)  x x 2  4dx  1 2 x x 2  4dx
2 u  x2  4
1 1 2
1 du  2 xdx
2
du u   u du
2

21. e.g. (i)  x x 2  4dx  1 2 x x 2  4dx
2 u  x2  4
1 1 2
1 du  2 xdx
2
du u   u du
2
3
1 2 2
  u c
2 3

22. e.g. (i)  x x 2  4dx  1 2 x x 2  4dx
2 u  x2  4
1 1 2
1 du  2 xdx
2
du u   u du
2
3
1 2 2
  u c
2 3
3
1 2
 u c
3

23. e.g. (i)  x x 2  4dx  1 2 x x 2  4dx
2 u  x2  4
1 1 2
1 du  2 xdx
2
du u   u du
2
3
1 2 2
  u c
2 3
3
1 2
 u c
3
 x  4 2  c
3
1 2
3

24. e.g. (i)  x x 2  4dx  1 2 x x 2  4dx
2 u  x2  4
1 1 2
1 du  2 xdx
2
du u   u du
2
3
1 2 2
  u c
2 3
3
1 2
 u c
3
 x  4 2  c
3
1 2
3
 x  4  x 2  4  c
1 2
3

25. x 1
ii  dx
4 x  8x  7
2

26. x 1
ii  dx u  4x2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx

27. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx

28. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx
1
 log u  c
8

29. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx
1
 log u  c
8
 log4 x 2  8 x  7   c
1
8

30. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx
1
 log u  c
8
 log4 x 2  8 x  7   c
1
8
dx
iii 
xlog x 
3

31. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx
1
 log u  c
8
 log4 x 2  8 x  7   c
1
8
dx
iii  u  log x
xlog x 
3
dx
du 
x

32. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx
1
 log u  c
8
 log4 x 2  8 x  7   c
1
8
dx du
iii   3 u  log x
xlog x 
3
u
dx
  u du
3
du 
x

33. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x 2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx
1
 log u  c
8
 log4 x 2  8 x  7   c
1
8
dx du
iii   3 u  log x
xlog x 
3
u
dx
  u du
3
du 
x
1 2
  u c
2
1
  2 c
2u

34. x 1 1 du
ii 
8 u
dx  u  4x 2  8x  7
4 x  8x  7
2
du  8 x  8dx
1
 log u  c
8
 log4 x 2  8 x  7   c
1
8
dx du
iii   3 u  log x
xlog x 
3
u
dx
  u du
3
du 
x
1 2
  u c
2
1
  2 c
2u
1
 c
2log x 
2

35. x
iv  dx
1 x

36. x
iv  dx x  1 u2  u  1 x
1 x
dx  2udu

37. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
dx  2udu

38. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu

39. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 1 u3  u   c
 2 
 3 

40. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 1 u3  u   c
 2 
 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3

41. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
3

42. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
 3
2
v  sin 5 x cos xdx

3

43. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
 3
2
v  sin 5 x cos xdx u  sin x

3
du  cos xdx

44. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
 3
2
 
v  sin 5 x cos xdx u  sin x x  , u  sin
3 3

3
du  cos xdx
3
u
2

45. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
 3
2
 
v  sin 5 x cos xdx u  sin x x  , u  sin
3 3

3
du  cos xdx
3
u
2
 
x , u  sin
2 2
u 1

46. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
 3 1
2
 
v  sin 5 x cos xdx   u 5 du u  sin x x  , u  sin
3 3

3 2
3
du  cos xdx
3
u
2
 
x , u  sin
2 2
u 1

47. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
 3 1
2
 
v  sin 5 x cos xdx   u 5 du u  sin x x  , u  sin
3 3

3 2
3
du  cos xdx
3
 u  3
1 61 u
2
6 2  
x , u  sin
2 2
u 1

48. x 1 u2
iv  dx    2udu x  1 u2  u  1 x
1 x u
 2  u 2  1du dx  2udu
 2 1 u3  u   c

 3 
  1 x  2 1 x  c
2 3
3
2
 1  x  1  x  2 1  x  c
 3 1
2
 
v  sin 5 x cos xdx   u 5 du u  sin x x  , u  sin
3 3

3 2
3
du  cos xdx
3
 u  3
1 61 u
2
6
1 6 2  3 6 
  
 1     x , u  sin
6 2 2
  2   u 1
37


49. 4
xdx
vi 
3 25  x 2

50. 4
xdx
vi  u  25  x 2
25  x 2
3
du  2 xdx

51. 4
xdx
vi  u  25  x 2
25  x 2
3
du  2 xdx
x  3, u  16
x  4, u  9

52. 4 9
xdx
vi  1 du
  u  25  x 2
25  x 2
2 16 u
3
du  2 xdx
16 1
1 

29 u du 2
x  3, u  16
x  4, u  9

53. 4 9
xdx
vi  1 du
  u  25  x 2
25  x 2
2 16 u
3
du  2 xdx
16 1
1 

29 u du 2
x  3, u  16
x  4, u  9
1 16
 
 u  2
 9

54. 4 9
xdx
vi  1 du
  u  25  x 2
25  x 2
2 16 u
3
du  2 xdx
16 1
1 

29 u du 2
x  3, u  16
x  4, u  9
1 16
 
 u  2
 9
 16  9
1

55. 5
vii  25  x 2 dx
0

56. 5
x
vii  25  x dx
2 1
x  5 sin u  u  sin
0
5
dx  5 cos udu

57. 5
x
vii  25  x dx
2
x  5 sin u  u  sin 1
0
5
dx  5 cos udu
x  0, u  sin 1 0
u0
x  5, u  sin 1 1

u
2

58. 
5 2
x
vii  25  x dx  
2
25  25 sin u  5 cos udu x  5 sin u  u  sin
2 1
0 0
5
dx  5 cos udu
x  0, u  sin 1 0
u0
x  5, u  sin 1 1

u
2

59. 
5 2
x
vii  25  x dx   25  25 sin u  5 cos udu x  5 sin u  u  sin
2 2 1
0 0
5
2 dx  5 cos udu
  25 cos u  5 cos udu
2
0
x  0, u  sin 1 0
 u0
2
 25 cos 2 udu x  5, u  sin 1 1
0

u
2

60. 
5 2
x
vii  25  x dx   25  25 sin u  5 cos udu x  5 sin u  u  sin
2 2 1
0 0
5
2 dx  5 cos udu
  25 cos u  5 cos udu
2
0
x  0, u  sin 1 0
 u0
2
 25 cos 2 udu x  5, u  sin 1 1
0
 
2
u
25 2
  1  cos 2u du
2 0

25  1 2
 u  sin 2u 
2  2 0

61. 
5 2
x
vii  25  x dx   25  25 sin u  5 cos udu x  5 sin u  u  sin
2 2 1
0 0
5
2 dx  5 cos udu
  25 cos u  5 cos udu
2
0
x  0, u  sin 1 0
 u0
2
 25 cos 2 udu x  5, u  sin 1 1
0
 
2
u
25 2
  1  cos 2u du
2 0

25  1 2
 u  sin 2u 
2  2 0
25  1 
   sin   0
2 2 2 
25

4

62. 5
vii  25  x 2 dx
0

63. 5 y
vii  25  x 2 dx 5 y  25  x 2
0
-5 5 x

64. 5 y
vii  25  x 2 dx 5 y  25  x 2
0
-5 5 x

65. 5 y
vii  25  x 2 dx 5 y  25  x 2
0
1
  5
2
4
25 -5 5 x

4

66. 5 y
vii  25  x 2 dx 5 y  25  x 2
0
1
  5
2
4
25 -5 5 x

4
Exercise 6C; 1, 2ace, 3, 4ace, 5ace etc, 6, 7 & 8ac, 11, 12
Exercise 6D; 1, 2a, 3, 4b, 5ac, 6ace etc, 7ab(i,ii)
8ab (i,iii,vi), 9ab (ii,iv,vi), 11, 13
Patel Exercise 2A ace in all
NOTE: substitution is not given in Extension 2