一様収束の問題

1. R 上で定義された実数値関数列 {fn}∞n=1 が R 上で実
数値関数 f に一様収束すると する。
(1) 各 fn が R 上で一様連続であるならば, f も R
上で一様連続であることを示せ。
証明 [杉浦光夫]解析入門1p305
(2) An ={fn(x);x∈R}(n=1,2,3,...) , A={f(x); x∈R}とおく. 各An
が 上に有界ならば, A も上に有界であり,
lim
𝑛→∞
(sup An) = sup A が成立することを示せ。