2. Το παρόν έργο πνευµατικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της
ελληνικής νοµοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήµερα)
και τις διεθνείς συµβάσεις περί πνευµατικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύονται
απολύτως οι άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή µέσο
(ηλεκτρονικό, µηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει
αναπαραγωγή, εκµίσθωση ή δανεισµός, µετάφραση, διασκευή, αναµετάδοση στο
κοινό σε οποιαδήποτε µορφή και η εν γένει εκµετάλλευση του συνόλου ή µέρους
του έργου.
8. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
88
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_474
Θεωρούµε την ακολουθία ν(α ) των θετικών περιττών αριθµών: 1, 3, 5, 7, …
α) Να αιτιολογήσετε γιατί η ν(α ) είναι αριθµητική πρόοδος και να βρείτε τον εκα-
τοστό όρο της. (Μονάδες 15)
β) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθµών είναι
ίσο µε το τετράγωνο του πλήθους τους. (Μονάδες 10)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Αφού 2 1 3 2 4 3α α α α α α 2− = − = − = , η *
να , ν ,∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε
διαφορά ω = 2 και πρώτο όρο 1α 1= .
Ο νιοστός όρος είναι *
ν 1α α (ν 1)ω 1 (ν 1) 2 1 2ν 2 2ν 1, ν= + − = + − ⋅ = + − = − ∈N .
Συνεπώς 100α 2 100 1 200 1 199= ⋅ − = − = ,
δηλαδή ο εκατοστός όρος της είναι το 199.
β) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου *
να , ν ,∈N είναι:
( ) ( )1 2 *
ν
2α ν 1 ω 2 1 ν 1 2 2 2ν 2
S ν ν ν ν , ν
2 2 2
+ − ⋅ + − ⋅ + −
= = = = ∈N ,
δηλαδή το άθροισµα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθµών είναι ίσο µε το
τετράγωνο του πλήθους τους.
9. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
99
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19,
20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_477
∆ίνεται η συνάρτηση f, µε
2
x 5x 6
f(x)
x 3
− +
=
−
.
α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. (Μονάδες 7)
β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. (Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x΄x
και y΄y . (Μονάδες 9)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Πρέπει x – 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3, άρα fA {3} ( , 3) (3, )= − = −∞ ∪ + ∞R .
β) Το τριώνυµο 2
x 5x 6− + έχει διακρίνουσα ( )
2
∆ 5 4 1 6 1= − − ⋅ ⋅ = και ρίζες
( )
5 1 6
3
5 1 5 1 2 2x
5 1 42 2
2
2 2
+
= =− − ± ±
= = =
− = =
, άρα 2
x 5x 6 (x 2)(x 3)− + = − − .
Συνεπώς για κάθε x {3}∈ −R έχουµε
2
x 5x 6 (x 2)(x 3)
f(x) x 2
x 3 x 3
− + − −
= = = −
− −
.
γ) Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε:
f(0) = 0 – 2 = −2, δηλαδή είναι το σηµείο Α(0, −2).
Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα x΄x προκύπτει για y = 0, οπότε για x ≠ 3:
f(x) = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2 (δεκτή), δηλαδή είναι το σηµείο Β(2, 0).
10. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1010
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_478
∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2
x λx λ λ 1 0− + + − = (1), µε παράµετρο λ ∈ ℝ .
α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες
πραγµατικές. (Μονάδες 12)
β) Να λύσετε την ανίσωση: 2
S P 2 0− − ≥ , όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροι-
σµα και το γινόµενο των ριζών της (1). (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Το τριώνυµο ( )2 2
x λx λ λ 1− + + − έχει διακρίνουσα
( ) ( )2 2 2 2 2
∆ λ 4 λ λ 1 λ 4λ 4λ 4 3λ 4λ 4= − − + − = − − + = − − + .
Για να έχει µια δευτεροβάθµια εξίσωση πραγµατικές ρίζες, πρέπει ∆ ≥ 0,
δηλαδή πρέπει 2
3λ 4λ 4 0− − + ≥ (Ι).
Το τριώνυµο 2
3λ 4λ 4− − + έχει διακρίνουσα ( ) ( )
2
∆΄ 4 4 3 4 64= − − ⋅ − ⋅ = ,
ρίζες
( )
( )
4 8 12
2
4 64 4 8 6 6
λ
4 8 4 22 3 6
6 6 3
+
= = −− − ± ± − −
= = =
− −⋅ − − = =
− −
και πίνακα προσήµου:
−∞ +∞
2−
2
3
λ
2
3λ 4λ 4− − + +− −
Συνεπώς
2
(Ι) 2 λ
3
⇔ − ≤ ≤ .
β) Για
2
λ 2,
3
∈ −
, από τους τύπους του Vieta και αν 1 2x , x είναι οι πραγµατικές
ρίζες της εξίσωσης (1), έχουµε ότι:
1 2
λ
S x x λ
1
−
= + =− = και
2
2
1 2
λ λ 1
P x x λ λ 1
1
+ −
= = = + − .
Τότε:
2
S P 2 0− − ≥ ⇔ 2 2
λ (λ λ 1) 2 0− + − − ≥ ⇔ 2 2
λ λ λ 1 2 0− − + − ≥ ⇔
⇔ λ 2 1− ≥ − ⇔ λ 1− ≥ ⇔ λ 1≤ − .
Συναληθεύοντας τις λ ≤ −1 και
2
λ 2,
3
∈ −
, βρίσκουµε λ∈[−2, −1].
−∞ +∞
2− 1−
2
3
11. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1111
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_480
Ένα µικρό γήπεδο µπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισµάτων και κάθε σειρά έχει α
καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη. Η 7η σειρά έχει 36 καθίσµατα και
το πλήθος των καθισµάτων του σταδίου είναι 300.
α) Αποτελούν τα καθίσµατα του γηπέδου όρους αριθµητικής προόδου; Να αιτιολο-
γήσετε τον συλλογισµό σας. (Μονάδες 12)
β) Πόσα καθίσµατα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 13)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Το πλήθος καθισµάτων κάθε σειράς διαφέρει από το πλήθος των καθισµάτων της
προηγούµενης κατά τον σταθερό αριθµό α, οπότε το πλήθος των καθισµάτων
είναι όροι αριθµητικής προόδου *
να , ν ,∈N µε ν ≤ 10, διαφορά ω = α και πρώτο
όρο 1α .
β) Ο νιοστός όρος είναι ( ) ( ) *
ν 1 1α α ν 1 ω α ν 1 α, ν ,= + − = + − ∈N µε ν ≤ 10.
Ισχύει ότι α7 = 36, οπότε:
( )1α 7 1 α 36+ − = ⇔ 1α 6α 36+ = (Ι).
Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου *
να , ν ,∈N
µε ν ≤ 10, είναι:
( ) ( )1 1 *
ν
2α ν 1 ω 2α ν 1 α
S ν ν, ν ,
2 2
+ − + −
= ⋅ = ⋅ ∈N µε ν ≤ 10.
Ισχύει επίσης ότι:
10S 300= ⇔
( )12α 10 1 α
10 300
2
+ −
= ⇔ 15(2α 9α) 300+ = ⇔
⇔ 12α 9α 60+ = (ΙΙ).
Οι (Ι), (ΙΙ) δίνουν:
1
1
α 6α 36
2α 9α 60
+ =
+ =
⇔
1
1
2α 12α 72
2α 9α 60
− − = −
+ =
⇔
1
12α 9α 72 60
2α 9α 60
− + = − +
+ =
⇔
⇔
1
3α 12
2α 60 9α
− = −
= −
⇔
1
α 4
2α 60 9 4
=
= − ⋅
⇔
1
α 4
2α 24
=
=
⇔
1
α 4
α 12
=
=
.
Εποµένως ο αριθµός των καθισµάτων σε καθεµία από τις δέκα σειρές είναι:
12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48.
12. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1212
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_481
∆ίνεται η εξίσωση ( )2
x 2λx 4 λ 1 0− + − = , µε παράµετρο λ ∈ ℝ .
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ ∈ ℝ .
(Μονάδες 8)
γ) Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή του
λ ∈ ℝ ισχύει: 1 2 1 2x x x x+ = . (Μονάδες 9)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Το τριώνυµο ( )2
x 2λx 4 λ 1− + − έχει διακρίνουσα
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
∆ 2λ 4 1 4 λ 1 4λ 16λ 16 4 λ 4λ 4 4 λ 2= − − ⋅ ⋅ − = − + = − + = − .
β) Αφού ( )
2
λ 2 0 ∆ 0− ≥ ⇔ ≥ για κάθε λ ∈ ℝ ,
η εξίσωση ( )2
x 2λx 4 λ 1 0− + − = έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ ∈ ℝ .
γ) Από τους τύπους του Vieta και αφού 1 2x , x είναι οι πραγµατικές ρίζες της
εξίσωσης ( )2
x 2λx 4 λ 1 0− + − = , έχουµε ότι:
1 2
2λ
S x x 2λ
1
−
= + =− = και 1 2
4(λ 1)
P x x 4λ 4
1
-
-= = = .
Συνεπώς:
x x x x1 2 1 2+ =+ =+ =+ = ⇔ 2λ = 4λ – 4 ⇔ 2λ – 4λ = −4 ⇔ −2λ = −4 ⇔ λ = 2.
13. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1313
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 9, 11
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_483
α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 3− = . (Μονάδες 12)
β) Αν α, β µε α < β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (α), τότε να λύσετε
την εξίσωση 2
αx βx 3 0+ + = . (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) 2x 1 3− = ⇔ 2x – 1 = 3 ή 2x – 1 = −3 ⇔ 2x = 1 + 3 ή 2x = 1 − 3 ⇔
⇔ 2x = 4 ή 2x = −2 ⇔ x = 2 ή x = −1.
β) Αφού α, β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 1 3− = , αυτές είναι οι 2 και −1.
Επιπλέον, έχουµε α < β, οπότε α = −1 και β = 2.
Συνεπώς η εξίσωση 2
αx βx 3 0+ + = γίνεται 2
x 2x 3 0− + + = (Ι).
Το τριώνυµο 2
x 2x 3− + + έχει διακρίνουσα ( )2
∆ 2 4 1 3 16= − ⋅ − ⋅ =
και ρίζες
2 4 2
1
2 16 2 4 2 2x
2 4 62 ( 1) 2
3
2 2
− +
= = −− ± − ± − −= = =
− − −⋅ − − = =
− −
.
Συνεπώς (Ι) ⇔ x = −1 ή x = 3.
14. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1414
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 12, 13
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_484
α) Να λύσετε τις ανισώσεις: 2x 5 3− ≤ και 2
2x x 1 0− − ≥ . (Μονάδες 16)
β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος α). (Μονάδες 9)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) 2x 5 3− ≤ ⇔ −3 ≤ 2x – 5 ≤ 3 ⇔ 5 – 3 ≤ 2x ≤ 3 + 5 ⇔ 2 ≤ 2x ≤ 8 ⇔
⇔ 1 ≤ x ≤ 4.
Το τριώνυµο 2
2x x 1− − έχει διακρίνουσα 2
∆ ( 1) 4 2 ( 1) 9= − − ⋅ ⋅ − = ,
ρίζες
1 3 2 1
( 1) 9 1 3 4 4 2x
1 3 42 2 4
1
4 4
− −
= = −− − ± ±
= = =
+⋅ = =
και πίνακα προσήµου:
−∞ +∞
1
2
− 1
x
2
2x x 1− − + +−
Συνεπώς 2
2x x 1 0− − ≥ ⇔ [ )
1
x , 1,
2
∈ −∞ − ∪ + ∞
.
β) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:
−∞ +∞
1
2
− 1 4
Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι x∈[1, 4].
15. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1515
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 9 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_485
∆ίνεται η εξίσωση 2
λx x λ 1= + − , µε παράµετρο λ ∈ ℝ .
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα:
( )( ) (λ 1 x λ 1 , λ1) λ− = − + ∈ℝ . (Μονάδες 8)
β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς
µία λύση, την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8)
γ) Για ποια τιµή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των
πραγµατικών αριθµών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
2
λx x λ 1= + − ⇔ 2
λx x λ 1− = − ⇔ ( )( ) (λ 1 x λ 1 , λ1) λ− = − + ∈ℝ .
• Για λ – 1 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 1 η εξίσωση ( )( ) (λ 1 x λ λ 1)1− = − + έχει µοναδική λύση
τη
( )( )λ 1 λ 1
x λ 1
λ 1
− +
= = +
−
.
• Για λ = 1 η εξίσωση ( )( ) (λ 1 x λ λ 1)1− = − + γίνεται:
(1 – 1)x = (1 – 1)(1 + 1) ⇔ 0x = 0⋅2 ⇔ 0x = 0, η οποία είναι ταυτότητα.
β) Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η εξίσωση ( )λ 1 x λ 1 λ( ) ( ) λ ,1 ,− = − + ∈ℝ έχει µονα-
δική λύση για λ ≠ 1 τη x λ 1= + .
γ) Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η εξίσωση ( )λ 1 x λ 1 λ( ) ( ) λ ,1 ,− = − + ∈ℝ είναι ταυτό-
τητα στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών για λ = 1.
16. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1616
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_486
Αν 0 < α < 1, τότε:
α) να αποδείξετε ότι: 3
α α< . (Μονάδες 13)
β) να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς:
3 1
0, α ,1, α,
α
. (Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Αφού 0 < α < 1, έχουµε ότι α > 0 και
α + 1 > 0 + 1 ⇔ α + 1 > 1, οπότε α + 1 > 0.
Επιπλέον, ισχύει 0 < α < 1 ⇔ 0 – 1 < α – 1 < 1 – 1 ⇔ −1 < α – 1 < 0,
άρα α – 1 < 0.
Συνεπώς 3 2
α α α(α 1) α(α 1)(α 1) 0− = − = − + < , δηλαδή 3
α α< .
β) Θα αποδείξουµε ότι 3 1
0 α α 1
α
< < < < . Πράγµατι:
• 3
0 α< , αφού α > 0,
• 3
α α< , από το (α) ερώτηµα,
• α < 1, από τα δεδοµένα,
•
1
1
α
< , αφού α < 1 ⇔
1 1
α 1
> ⇔
1
1
α
> .
17. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1717
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_487
α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x, y ισχύει:
( ) ( )
2 2 2 2
x 1 y 3 x y 2x 6y 10− + + = + − + + . (Μονάδες 12)
β) Να βρείτε τους αριθµούς x, y ώστε: 2 2
x y 2x 6y 10 0+ − + + = . (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 2.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x, y έχουµε:
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
x 1 y 3 x 2x 1 y 6y 9 x y 2x 6y 10− + + = − + + + + = + − + + .
β) Λόγω του (α) ερωτήµατος έχουµε ότι:
2 2
x y 2x 6y 10 0+ − + + = ⇔ ( ) ( )
2 2
x 1 y 3 0− + + = ⇔
⇔ x – 1 = 0 και y + 3 = 0 ⇔ x = 1 και y = −3.
18. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1818
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_488
∆ίνεται η συνάρτηση f, µε
2
2
2x 5x 3
f(x)
x 1
− +
=
−
.
α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της A. (Μονάδες 5)
β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2
2x 5x 3− + . (Μονάδες 10)
γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈A ισχύει: ( )
2x 3
f x
x 1
−
=
+
. (Μονάδες 10)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Πρέπει 2 2
x 1 0 x 1 x 1 x 1− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± ⇔ ≠ ± .
Εποµένως { }A 1,1= − −R .
β) Το τριώνυµο 2
2x 5x 3− + έχει διακρίνουσα ( )
2
∆ 5 4 2 3 25 24 1= − − ⋅ ⋅ = − =
και ρίζες
( )
5 1 6 3
5 1 5 1 4 4 2x
5 1 42 2 4
1
4 4
+
= =− − ± ±
= = =
−⋅ = =
.
Συνεπώς 2 3 3
2x 5x 3 2 x (x 1) 2 x 2 (x 1) (2x 3)(x 1)
2 2
− + = − − = ⋅ − ⋅ − = − −
.
γ) Για κάθε { }x A 1,1∈ = − −R έχουµε:
( )
( )( )
2
2
(2x 3) x 12x 5x 3 2x 3
f(x)
x 1 x 1 x 1 x 1
− −− + −
= = =
− − + +
.
19. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
1919
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 12 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_489
α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 2− < . (Μονάδες 8)
β) Να λύσετε την ανίσωση 2 3x 5− > . (Μονάδες 8)
γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούµενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα
των πραγµατικών αριθµών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το
σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε µε διάστηµα ή
ένωση διαστηµάτων. (Μονάδες 9)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) x 5 2− < ⇔ −2 < x – 5 < 2 ⇔ 5 – 2 < x < 2 + 5 ⇔ 3 < x < 7.
β) 2 3x 5− > ⇔ 2 − 3x < −5 ή 2 – 3x > 5 ⇔ − 3x < −5 – 2 ή – 3x > 5 – 2 ⇔
⇔ −3x < −7 ή –3x > 3 ⇔
7
x
3
> ή x < −1.
γ) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:
−∞ +∞
1−
7
3
3 7
Οι κοινές λύσεις είναι x∈(3, 7) ή 3 < x < 7.
20. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2020
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8, 11,
13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_490
∆ίνεται το τριώνυµο 2
2x 3x 1− + .
α) Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιµές του x ∈ ℝ για τις οποίες: 2
2x 3x 1 0− + < . (Μονάδες 5)
γ) Να εξετάσετε αν οι αριθµοί
3
2
και
1
2
είναι λύσεις της ανίσωσης:
2
2x 3x 1 0− + < . (Μονάδες 10)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.4, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Το τριώνυµο 2
2x 3x 1− + έχει διακρίνουσα ( )
2
∆ 3 4 2 1 1= − − ⋅ ⋅ = και ρίζες
( )
3 1 4
1
3 1 3 1 4 4
x
3 1 2 12 2 4
4 4 2
+
= =− − ± ±
= = =
−⋅ = =
.
β) Κατασκευάζουµε τον πίνακα προσήµου και έχουµε:
−∞ +∞
1
2 1
x
2
2x 3x 1− + + +−
Συνεπώς 2
2x 3x 1 0− + < ⇔
1
x ,1
2
∈
.
γ) Έχουµε ότι
1 3
1
2 2
< < ⇔ 1 3 2< < ⇔
2
2 2
1 3 2< < ⇔ 1 < 3 < 4,
η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
Επίσης, έχουµε ότι
1 1 2 2
22 2 2
⋅
= =
⋅
και
1 1
1
2 2
< < ⇔
1 2
1
2 2
< < ⇔ 1 2 2< < ⇔
2
2 2
1 2 2< < ⇔ 1 < 2 < 4,
η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
Συνεπώς οι αριθµοί
3
2
και
1
2
είναι λύσεις της ανίσωσης 2
2x 3x 1 0− + < .
21. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2121
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 12 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_491
∆ίνονται οι ανισώσεις: 3x – 1 < x + 9 και
x 1
2 x
2 2
− ≤ + .
α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15)
β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
3x – 1 < x + 9 ⇔ 3x – x < 1 + 9 ⇔ 2x < 10 x < 5.
Επίσης:
x 1
2 x
2 2
− ≤ + ⇔
x 1
2 2 2 2 x 2
2 2
⋅ − ⋅ ≤ ⋅ + ⋅ ⇔ 4 – x ≤ 2x + 1 ⇔
⇔ −x – 2x ≤ 1 – 4 ⇔ −3x ≤ −3 ⇔ x ≥ 1.
β) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:
−∞ +∞
1 5
Οι κοινές λύσεις είναι x∈[1, 5) ή 1 ≤ x < 5.
22. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2222
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_492
∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x x 2x 15, x= + − ∈ℝ .
α) Να υπολογίσετε το άθροισµα f(−1) + f(0) + f(1). (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες.
(Μονάδες 15)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
( ) 2
f 1 2 1 15 1 2 15 121 = + ⋅ − = + − = − ,
( ) 2
f 0 0 2 0 15 15= + ⋅ − = − και
( ) 2
f 1 ( 1) 2 ( 1) 15 1 2 15 16− = − + ⋅ − − = − − = − .
Συνεπώς:
f(−1) + f(0) + f(1) = −16 + (−15) + (−12) = −43.
β) Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε:
f(0) = −15, δηλαδή είναι το σηµείο Α(0, −15).
Τα σηµεία τοµής της fC µε τον άξονα x΄x προκύπτουν για y = 0, οπότε:
f(x) = 0 ⇔ 2
x 2x 15 0+ − = (Ι).
Το τριώνυµο 2
x 2x 15+ − έχει διακρίνουσα ( )2
∆ = 2 4 1 15 64− ⋅ ⋅ − = και ρίζες
2 8 6
3
2 64 2 8 2 2
x
2 8 102 1 2
5
2 2
− +
= =− ± − ±
= = =
− − −⋅ = = −
.
Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 3 ή x = −5,
άρα τα σηµεία τοµής της fC µε τον άξονα x΄x είναι τα Β(3, 0) και Γ(−5, 0).
23. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2323
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_493
α) Να λύσετε την εξίσωση | x 2 3|− = . (Μονάδες 10)
β) Να σχηµατίσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του
α) ερωτήµατος. (Μονάδες 15)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) x 2 3 x 2 3 ή x 2 3 x 2 3 ή x 2 3| |− = ⇔ − = − = − ⇔ = + = − .
β) Έστω 1 2x 2 3, x 2 3= + = − οι ρίζες της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος.
Μια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ρίζες τις 1 2x , x έχει τη µορφή 2
x Sx P 0− + = ,
όπου:
1 2 2 3S x 2 4x 3+ += −+ == και
( )( )2
22
1 2 3 2 3 2 3 4 1P 3x x + − = − = −= == .
Εποµένως µια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ρίζες τις 1 2x , x είναι η 2
x 4x 1 0− + = .
24. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2424
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 17 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_495
Σε γεωµετρική πρόοδο ν(α ) µε θετικό λόγο λ, ισχύει: 3α 1= και 5α 4= .
α) Να βρείτε τον λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της. (Μονάδες 13)
β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: ν 3
να 2 −
= . (Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Αφού η *
να , ν ,∈N είναι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ,
ο νιοστός όρος είναι ν 1 *
ν 1α α λ , ν−
= ∈N . Τότε:
4
2 1 2
3 1 2
1 224
5 1111 2
1
α λ 4 λ 2
λ 2α 1 α λ 1 λ 4
α λ 1 1
α 4 αα 2 1α λ 1α λ 4
4α λ 1
== = = = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= =⋅ === =
,
αφού η τιµή λ = −2 απορρίπτεται.
β) Τότε:
ν 1 ν 1 2 ν 1 2 ν 1 ν 3
1
*
ν
1
α α λ 2 2 2 2 2
4
, ν− − − − − + − −
= = ⋅ = ⋅ = = ∈N .
25. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2525
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_496
∆ίνεται η εξίσωση ( )2
x 2λx 4 λ 1 0+ + − = µε παράµετρο λ ∈ ℝ .
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ ∈ ℝ .
(Μονάδες 8)
γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή
του λ ισχύει: ( )
2
1 2 1 2xx x x 5 0+ + =+ . (Μονάδες 9)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Το τριώνυµο ( )2
x 2λx 4 λ 1+ + − έχει διακρίνουσα
( ) ( )
2 2 2 2
∆ 2λ 4 4 λ 1 4λ 16λ 16 4(λ 4λ 4) 4(λ 2)= − ⋅ − = − + = − + = − .
β) Αφού 2
(λ 2) 0 ∆ 0− ≥ ⇔ ≥ για κάθε λ ∈ ℝ , η εξίσωση ( )2
x 2λx 4 λ 1 0+ + − =
έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ ∈ ℝ .
γ) Αφού 1 2x , x ρίζες της εξίσωσης ( )2
x 2λx 4 λ 1 0+ + − = , από τους τύπους του
Vieta έχουµε:
1 2S x x
2λ
2λ
1
−= =−= + και 1 2
4(λ 1)
P x x 4λ 4
1
−
= = = − .
Τότε έχουµε ότι:
( )
2
1 2 1 2xx x x 5 0+ + =+ ⇔ ( )
2
4λ 42λ 5 0− + − + = ⇔ 2
4λ4λ 1 0+ + = ⇔
⇔ 2
(2λ +1) 0= ⇔ 2λ +1 0= ⇔ 2λ = 1- ⇔
1
λ =
2
- .
26. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2626
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_497
Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι
συµµετέχουν 3 άντρες: ο ∆ηµήτρης (∆), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ), και 2 γυναί-
κες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και µια
γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόµατά τους.
α) Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. (Μονάδες 10)
β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων:
Α : Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης.
Β : Να διαγωνίστηκε η Ζωή.
Γ: Να µη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο ∆ηµήτρης. (Μονάδες 15)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Θα βρούµε τον δειγµατικό χώρο µε πίνακα διπλής εισόδου:
Εποµένως { }= Ε∆,ΕΚ,ΕΜ,Ζ∆,ΖΚ,ΖΜ και Ν( ) = 6.
β) Τότε:
Α = {ΕΚ, ΕΜ, ΖΚ, ΖΜ}, µε Ν(Α) = 4 και
N(A) 4 2
P(A)
N( ) 6 3
= = = ,
Β = {Ζ∆, ΖΚ, ΖΜ}, µε Ν(Β) = 3 και
N(Β) 3 1
P(Β)
N( ) 6 2
= = = .
Τέλος, όταν δε διαγωνίζεται ούτε ο Κώστας ούτε ο ∆ηµήτρης, σηµαίνει ότι δια-
γωνίζεται ο Μιχάλης, άρα:
Γ = {ΕΜ, ΖΜ}, µε Ν(Γ) = 2 και
N(Γ) 2 1
P(Γ)
N( ) 6 3
= = = .
27. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2727
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 13
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_498
α) Να λύσετε την εξίσωση:
| x 1| | x 1| 4 2
3 5 3
+ + +
− = . (Μονάδες 9)
β) Nα λύσετε την ανίσωση: 2
x 2x 3 0− + + ≤ . (Μονάδες 9)
γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος είναι και λύσεις της
ανίσωσης του (β) ερωτήµατος. (Μονάδες 7)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α)
| x 1| | x 1| 4 2
3 5 3
+ + +
− = ⇔
| x 1| | x 1| 4 2
15 15 15
3 5 3
+ + +
⋅ − ⋅ = ⋅ ⇔
⇔ 5| x 1| 3(| x 1| 4) 5 2+ − + + = ⋅ ⇔ 5| x 1| 3| x 1| 12 10+ − + − = ⇔
⇔ 5| x 1| 3| x 1| 12 10+ − + = + ⇔ 2 | x 1| 22+ = | x 1| 11+ = ⇔
⇔ x 1 11+ = ή x 1 11+ = − ⇔ x 11 1= − ή x 11 1= − − ⇔ x 10= ή x 12= − .
β) Το τριώνυµο 2
x 2x 3− + + έχει διακρίνουσα 2
∆ 2 4 ( 1) 3 16= − ⋅ − ⋅ = ,
ρίζες
2 4 2
1
2 16 2 4 2 2
x
2 4 62( 1) 2
3
2 2
− +
= = −− ± − ± − −
= = =
− − −− − = =
− −
και πίνακα προσήµου:
−∞ +∞1− 3x
2
x 2x 3− + + +− −
Συνεπώς:
2
x 2x 3 0− + + ≤ ⇔ x ( , 1] [3, )∈ −∞ − ∪ + ∞ .
γ) Αφού 10 [3, )∈ + ∞ και 12 ( , 1]− ∈ −∞ − , προκύπτει ότι και οι δύο λύσεις της εξί-
σωσης του (α) ερωτήµατος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήµατος.
28. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2828
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_499
Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα, το 30%
συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών συµµετέχει και στις
δύο οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Αν ονοµάσουµε τα ενδεχόµενα:
Α: «ο µαθητής να συµµετέχει στη θεατρική οµάδα» και
Β: «ο µαθητής να συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου»,
α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα:
i) Α Β∪ ii) Α Β∩ iii) B – A iv) Α΄ (Μονάδες 12)
β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων:
i) ο µαθητής που επιλέχθηκε να συµµετέχει µόνο στην οµάδα ποδοσφαίρου
ii) ο µαθητής που επιλέχθηκε να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) i) Α Β∪ = «ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική ή στην ποδοσφαιρική οµάδα».
ii) Α Β∩ = «ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική και στην ποδοσφαιρική οµάδα».
iii) B – A = «ο µαθητής συµµετέχει µόνο στην ποδοσφαιρική οµάδα».
iv) Α΄ = «ο µαθητής δε συµµετέχει στη θεατρική οµάδα».
β) Από τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε ότι:
( ) ( ) ( )Ρ A 25% 0,25, Ρ B 30% 0,3, Ρ A B 15% 0,15= = = = ∩ = = .
i) Τότε ( ) ( ) ( )Ρ B A Ρ B Ρ B A 0,3 0,15 0,15 15%− = − ∩ = − = = .
ii) Επίσης, ( ) ( ) ( ) ( )Ρ Α Β Ρ A Ρ B Ρ A B 0,25 0,3 0,15 0,4 40%∪ = + − ∩ = + − = = .
Επιπλέον:
( )Α Β ΄∪ = «ο µαθητής που επιλέχθηκε δε συµµετέχει σε καµία οµάδα»,
άρα ( )( ) ( )Ρ Α Β ΄ 1 Ρ Α Β 1 0,4 0,6 60%∪ = − ∪ = − = = .
29. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
2929
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 12 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_503
α) Να λύσετε την ανίσωση:
1
x 4
2
− < . (Μονάδες 9)
β) Να λύσετε την ανίσωση: | x 5 | 3+ ≥ . (Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτηµάτων (α) και (β) µε
χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών και να τις γράψετε µε τη µορφή
διαστήµατος. (Μονάδες 7)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α)
1 1 1 1 1 8 1 8
x 4 4 x 4 4 x 4 x
2 2 2 2 2 2 2 2
− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ − < < + ⇔
7 9
x
2 2
⇔ − < < .
β) | x 5 | 3+ ≥ ⇔ x + 5 ≤ −3 ή x + 5 ≥ 3 ⇔ x ≤ −3 – 5 ή x ≥ 3 – 5 ⇔
⇔ x ≤ −8 ή x ≥ –2.
γ) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:
−∞ +∞
8−
7
2
− 2−
9
2
Οι κοινές λύσεις είναι
9
x 2,
2
∈ −
ή
9
2 x
2
− ≤ < .
30. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3030
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_504
α) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι:
1
α 2
α
+ ≤ − . (Μονάδες 15)
β) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι:
1
α 2
α
+ ≥ . (Μονάδες 10)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Για α < 0 έχουµε ότι:
α 0
2 21 1
α 2 α α α α ( 2) α 1 2α α 2α 1 0
α α
<
+ ≤ − ⇔ ⋅ + ⋅ ≥ ⋅ − ⇔ + ≥ − ⇔ + + ≥ ⇔
( )2
α 1 0⇔ + ≥ , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
β) Για α < 0 έχουµε ότι |α| = −α και
|α| α
1 |1| 1 1 1
α 2 α 2 α 2 α 2 α 2
α | α | α α α
=−
+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔
−
1
α 2
α
⇔ + ≤ − ,
η οποία ισχύει [λόγω του (α) ερωτήµατος], άρα ισχύει και η αρχική.
31. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3131
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_505
α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x 4 3 x 1− = − . (Μονάδες 9)
β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 1− > . (Μονάδες 9)
γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος και λύσεις της ανίσωσης του
(β) ερωτήµατος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) | 2x 4 | 3| x 1|− = − ⇔ ( )| 2x 4 | | 3 x 1 |− = − ⇔
⇔ 2x – 4 = 3(x – 1) ή 2x – 4 = −3(x – 1) ⇔
⇔ 2x – 4 = 3x – 3 ή 2x – 4 = −3x + 3 ⇔
⇔ 2x – 3x = 4 – 3 ή 2x + 3x = 4 + 3 ⇔
⇔ –x = 1 ή 5x = 7 ⇔ x = −1 ή
7
x
5
= .
β) 3x 5 1− > ⇔ 3x – 5 < −1 ή 3x – 5 > 1 ⇔ 3x < 5 − 1 ή 3x > 5 + 1 ⇔
⇔ 3x < 4 ή 3x > 6 ⇔
4
x
3
< ή x > 2 ⇔ ( )
4
x , 2,
3
∈ −∞ ∪ + ∞
.
γ) Έχουµε ότι:
4 7
2
3 5
< < ⇔
4 7
15 15 15 2
3 5
⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 5 4 3 7 15 2⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 20 < 21 < 30,
η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
Συνεπώς ( )
7 4
, 2,
5 3
∉ −∞ ∪ + ∞
, ενώ
4
1 ,
3
− ∈ −∞
,
δηλαδή µόνο η λύση x 1= − της εξίσωσης | 2x 4 | 3| x 1|− = −
είναι και λύση της ανίσωσης 3x 5 1− > .
32. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3232
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_506
Αν 2 x 3≤ ≤ και 1 y 2≤ ≤ , να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιµή
καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις:
α) x + y (Μονάδες 5)
β) 2x – 3y (Μονάδες 10)
γ)
x
y
(Μονάδες 10)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Προσθέτοντας κατά µέλη τις ανισότητες 2 x 3≤ ≤ και 1 y 2≤ ≤ , βρίσκουµε ότι:
2 1 x y 3 2+ ≤ + ≤ + ⇔ 3 x y 5≤ + ≤ .
Συνεπώς η παράσταση x + y παίρνει τιµές από 3 µέχρι και 5.
β) Έχουµε τις ανισότητες:
• 2 x 3≤ ≤ ⇔ 2 2 2 x 2 3⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ⇔ 4 2x 6≤ ≤ ,
• 1 y 2≤ ≤ ⇔ ( 3) 1 ( 3) y ( 3) 2− ⋅ ≥ − ⋅ ≥ − ⋅ ⇔ 3 3y 6− ≥ − ≥ − ⇔
⇔ 6 3y 3− ≤ − ≤ − ,
τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε
4 6 2x 3y 6 3− ≤ − ≤ − ⇔ 2 2x 3y 3− ≤ − ≤ .
Συνεπώς η παράσταση 2x – 3y παίρνει τιµές από −2 µέχρι και 3.
γ) Έχουµε τις ανισότητες:
• 2 x 3≤ ≤ και
• 1 y 2≤ ≤ ⇔
1 1 1
1 y 2
≥ ≥ ⇔
1 1
1
2 y
≤ ≤ ,
τις οποίες πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη (που είναι θετικά) και βρίσκουµε
1 1
2 x 3 1
2 y
⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅
x
1 3
y
≤ ≤ .
Συνεπώς η παράσταση
x
y
παίρνει τιµές από 1 µέχρι και 3.
33. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3333
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 9 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_507
∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2
λ 9 x λ 3λ− = − , µε παράµετρο λ ∈ ℝ (1).
α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγµατικές τιµές για το λ, να γράψετε τρεις
εξισώσεις. (Μονάδες 6)
β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ ∈ ℝ , ώστε η (1) να έχει µία και µοναδική
λύση. (Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε την τιµή του λ ∈ ℝ , ώστε η µοναδική λύση της (1) να ισούται µε 4.
(Μονάδες 10)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
• Για λ = 0 η εξίσωση (1) γίνεται ( )2 2
0 9 x 0 3 0− = − ⋅ ⇔ −9x = 0.
• Για λ = 1 η εξίσωση (1) γίνεται ( )2 2
1 9 x 1 3 1− = − ⋅ ⇔ −8x = −2.
• Για λ = 3 η εξίσωση (1) γίνεται ( )2 2
3 9 x 3 3 3− = − ⋅ ⇔ 0x = 0.
β) Η εξίσωση ( )2 2
λ 9 x λ 3λ− = − έχει µοναδική λύση αν και µόνο αν
( )( )2
λ 9 0 λ 3 λ 3 0 λ 3 0 και λ 3 0 λ 3− ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ − ≠ + ≠ ⇔ ≠ ± .
γ) Για λ ≠ ±3 η εξίσωση (1) έχει µοναδική λύση, την
( )2 2 λ(λ 3) λ
λ 9 x λ 3λ (λ 3)(λ 3)x λ(λ 3) x x
(λ 3)(λ 3) λ 3
−
− = − ⇔ − + = − ⇔ = ⇔ =
− + +
.
Όµως θέλουµε η µοναδική λύση να είναι το 4, οπότε:
λ
4 4(λ 3) λ 4λ 12 λ 4λ λ 12 3λ 12 λ 4
λ 3
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = −
+
,
η οποία είναι δεκτή.
34. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3434
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 16
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_508
α) Να βρείτε το άθροισµα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων
1, 2, 3, …, ν. (Μονάδες 12)
β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να
χρησιµοποιήσουµε για να πάρουµε άθροισµα τον αριθµό 45. (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Οι δοσµένοι αριθµοί είναι όροι αριθµητικής προόδου *
να , ν ,∈N µε διαφορά
ω 1= και 1α =1, οπότε το άθροισµα των ν πρώτων όρων της είναι:
( ) ( ) 2
1 *
ν
2α ν 1 ω 2 1 ν 1 1 2 ν 1 (ν 1)ν ν ν
S ν ν ν , ν
2 2 2 2 2
+ − ⋅ + − ⋅ + − + +
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ∈N .
β) Αναζητούµε *
ν∈N έτσι ώστε νS 45= , οπότε:
2
ν ν
= 45
2
+
⇔ 2
ν ν = 90+ ⇔ 2
ν ν 90 = 0+ − (Ι).
Το τριώνυµο 2
ν ν 90+ − έχει διακρίνουσα 2
∆ 1 4 1 ( 90) = 361= − ⋅ ⋅ −
και ρίζες
1 19 18
9
1 361 1 19 2 2ν
1 19 202 1 2
10
2 2
− +
= =− ± − ±
= = =
− − −⋅ = = −
.
Συνεπώς (Ι) ⇔ ν = 9 ή ν = −10 (απορρίπτεται),
άρα οι εννέα πρώτοι θετικοί ακέραιοι δίνουν άθροισµα 45.
35. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3535
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_509
α) Αν { }α, β 0∈ −ℝ , να αποδειχθεί ότι:
α β
2
β α
+ ≥ (1). (Μονάδες 15)
β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Για { }α, β 0∈ −ℝ έχουµε ότι:
|α||β| 0
α β | α | |β | | α | |β |
2 2 | α ||β | | α ||β | 2| α ||β |
β α |β | | α | |β | | α |
>
+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔
( )
22 2 2 2
| α | |β | 2 | α || β | | α | | β | 2 | α ||β | 0 | α | |β | 0⇔ + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ ,
η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
β) Για { }α, β 0∈ −ℝ έχουµε ότι:
|α||β| 0
α β | α | |β | | α | |β |
2 2 | α ||β | | α ||β | 2 | α ||β |
β α |β | | α | |β | | α |
>
+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔
( )
22 2 2 2
| α | |β | 2 | α || β | | α | | β | 2 | α ||β | 0 | α | |β | 0⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔
| α | |β | 0 | α | | β | α β⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± ,
δηλαδή η ισότητα ισχύει αν και µόνο αν α = ±β.
36. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3636
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 10, 19
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_510
∆ίνεται η συνάρτηση f, µε: 2
2x 5, x 3
f(x)
x , 3 x 10
− ≤
=
< <
.
α) Να γράψετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f σε µορφή διαστήµατος.
(Μονάδες 8)
β) Να υπολογίσετε τις τιµές f(−1), f(3) και f(5). (Μονάδες 8)
γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 25. (Μονάδες 9)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
x 3 x ( , 3]≤ ⇔ ∈ −∞ και 3 x 10 x (3,10)< < ⇔ ∈ ,
οπότε fA ( , 3] (3,10) ( ,10)= −∞ ∪ = −∞ .
β) Επίσης:
f( 1) 2( 1) 5 2 5 7− = − − = − − = − ,
f(3) 2 3 5 6 5 1= ⋅ − = − = και
2
f(5) 5 25= = .
γ) • Για x ≤ 3 έχουµε:
f(x) = 25 ⇔ 2x – 5 = 25 ⇔ 2x = 25 + 5 ⇔ 2x = 30 ⇔
⇔ x = 15 (απορρίπτεται).
• Για 3 < x < 10 έχουµε:
f(x) = 25 ⇔ 2
x 25= ⇔ x = 5 (δεκτή) ή x = −5 (απορρίπτεται).
Συνεπώς µοναδική λύση της εξίσωσης f(x) = 25 είναι το x = 5.
37. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3737
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_936
∆ίνεται η παράσταση: ( )( )A x 4 x 1 x 4 x 1= − + + − − + .
α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας. (Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.
(Μονάδες 13)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν
x 4 0 x 4
x 4
x 1 0 x 1
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ≥
+ ≥ ≥ −
,
δηλαδή ορίζεται για x [4, )∈ + ∞ .
β) Για x [4, )∈ + ∞ έχουµε ότι:
( )( ) ( ) ( )
2 2
A x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 x 1= − + + − − + = − − +
(x 4) (x 1) x 4 x 1 5= − − + = − − − = − ,
δηλαδή η παράσταση A είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x).
38. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3838
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_938
α) Να δείξετε ότι: 3
3 30 4< < . (Μονάδες 12)
β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς 3
30 και 3
6 30− . (Μονάδες 13)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
3
3 33 3
3 30 4 3 30 4 27 30 64< < ⇔ < < ⇔ < < ,
η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
β) Έχουµε ότι:
3 3
6 30 30− < ⇔ 3 3
6 30 30< + ⇔ 3
6 2 30< ⇔ ( )
3
3 3
6 2 30< ⇔
⇔
3
3 3 3
6 2 30< ⋅ ⇔ 216 8 30< ⋅ ⇔ 216 < 240,
η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.
Συνεπώς 3 3
6 30 30− < .
39. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
3939
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_944
∆ίνεται η παράσταση: A x 4 6 x= − + − .
α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.
(Μονάδες 13)
β) Για x = 5, να αποδείξετε ότι: 2
A A 6 0+ − = . (Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν
x 4 0 x 4
4 x 6
6 x 0 x 6
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ≤ ≤
− ≥ ≤
,
δηλαδή ορίζεται για x [4, 6]∈ .
β) Για x = 5 έχουµε ότι:
A 5 4 6 5 1 1 1 1 2= − + − = + = + = ,
οπότε 2 2
A A 6 2 2 6 4 2 6 0+ − = + − = + − = .
40. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4040
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_947
∆ίνεται η παράσταση: 2
A x 4 x 4= + − − .
α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.
(Μονάδες 12)
β) Αν x = 4, να αποδείξετε ότι: ( )2
A A 2 10 5− = − . (Μονάδες 13)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν
2 2
xx 4 0 x 4
x 4
x 4x 4 0 x 4
∈ + ≥ ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ ≥
≥− ≥ ≥
R
,
δηλαδή ορίζεται για x [4, )∈ + ∞ .
β) Για x = 4 έχουµε ότι:
2
A 4 4 4 4 16 4 0 20 4 5 4 5 2 5= + − − = + − = = ⋅ = = ,
οπότε:
( ) ( )
2 2
2 2
A A 2 5 2 5 2 5 2 5 4 5 2 5 20 2 5 2 10 5− = − = − = ⋅ − = − = − .
41. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4141
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_950
∆ίνεται η παράσταση: 4 4
A 1 x x= − − .
α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.
(Μονάδες 13)
β) Αν x = −3, να αποδείξετε ότι: 3 2
A A A 1 0+ + + = . (Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν 4 4
1 x 0 x 1 x 1
x 1
xx 0 x 0
− ≥ ≤ ≤
⇔ ⇔ ⇔ ≤
∈≥ ≥ R
, δηλαδή
ορίζεται για x ( ,1]∈ −∞ .
β) Για x = −3 έχουµε ότι:
44
A 1 ( 3) ( 3) 1 3 | 3| 4 3 2 3 1= − − − − = + − − = − = − = − ,
οπότε 3 2 3 2
A A A 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 0+ + + = − + − + − + = − + − + = .
42. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4242
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_952
∆ίνεται η παράσταση: ( )
55
B x 2= − .
α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση B; Να αιτιολογήσετε την απάντησή
σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x υπό µορφή διαστήµα-
τος. (Μονάδες 13)
β) Για x = 4, να αποδείξετε ότι 2 4
B + 6B = B . (Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Η παράσταση Β ορίζεται όταν:
5
(x 2) 0 x 2 0 x 2− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ , δηλαδή ορίζεται για x [2, )∈ + ∞ .
β) Για x [2, ) x 2 x 2 0∈ + ∞ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ισχύει Β = |x – 2| = x – 2.
Συνεπώς για x = 4 έχουµε ότι Β = 4 – 2 = 2,
οπότε 2 2 4 4
B + 6B 2 + 6 2 4 12 16 2 B= ⋅ = + = = = .
43. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4343
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_955
∆ίνονται οι αριθµοί: ( )
6
A 2= και ( )
6
3
B 2= .
α) Να δείξετε ότι: Α – Β = 4. (Μονάδες 13)
β) Να διατάξετε από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο τους αριθµούς: 3
2, 1, 2 .
(Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
( ) ( )
36 2
3
A 2 2 2 8= = = = και ( ) ( )
26 3
23 3
B 2 2 2 4= = = = ,
άρα Α – Β = 8 – 4 = 4.
β) Επίσης:
•
3
33 3
1< 2 1 < 2 1 2⇔ ⇔ < , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική και
•
6 6
2 33 3
2 2 2 2 2 2 4 8< ⇔ < ⇔ < ⇔ < , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η
αρχική.
Συνεπώς 3
1< 2 2< .
44. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4444
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_991
Αν ο πραγµατικός αριθµός x ικανοποιεί τη σχέση: x 1 2+ < ,
α) να δείξετε ότι x∈(−3, 1). (Μονάδες 12)
β) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης:
x 3 x 1
K
4
+ + −
= είναι αριθµός ανεξάρ-
τητος του x. (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) x 1 2+ < ⇔ −2 < x + 1 < 2 ⇔ −2 – 1 < x < 2 – 1 ⇔ −3 < x < 1 ⇔
⇔ x∈(−3, 1).
β) Αφού −3 < x < 1 ⇔ 3 − 3 < x + 3 < 1 + 3 ⇔ 0 < x + 3 < 4,
άρα x + 3 > 0 και |x + 3| = x + 3.
Επίσης, −3 < x < 1 ⇔ −3 – 1 < x – 1 < 1 – 1 ⇔ −4 < x – 1 < 0,
άρα x – 1 < 0 και |x – 1| = −(x – 1) = −x + 1.
Συνεπώς:
x 3 x 1 x 3 ( x 1) x 3 x 1 4
K 1
4 4 4 4
+ + − + + − + + − +
= = = = = ,
δηλαδή η τιµή της παράστασης Κ είναι αριθµός ανεξάρτητος του x.
45. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4545
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_996
∆ίνεται η παράσταση: A = |x – 1| + |y – 3|, µε x, y πραγµατικούς αριθµούς, για τους
οποίους ισχύει: 1 < x < 4 και 2 < y < 3.
Να αποδείξετε ότι:
α) A = x – y + 2 (Μονάδες 12)
β) 0 < A < 4 (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
• 1 < x < 4 ⇔ 1 – 1 < x – 1 < 4 – 1 ⇔ 0 < x – 1 < 3,
άρα x – 1 > 0 και |x – 1| = x – 1.
• 2 < y < 3 ⇔ 2 – 3 < y – 3 < 3 – 3 ⇔ −1 < y – 3 < 0,
άρα y – 3 < 0 και |y – 3| = −(y – 3) = −y + 3.
Συνεπώς Α = x – 1 + (−y + 3) = x – 1 – y + 3 = x – y + 2.
β) Έχουµε τις ανισότητες:
• 1 < x < 4 ⇔ 1 + 2 < x + 2 < 4 + 2 ⇔ 3 < x + 2 < 6,
• 2 < y < 3 ⇔ (−1)⋅2 > (−1)⋅y > (−1)⋅3 ⇔ −2 > −y > −3 ⇔ −3 < −y < −2,
τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε
3 – 3 < x + 2 – y < 6 – 2 ⇔ 0 < x + 2 – y < 4 ⇔ 0 < Α < 4.
46. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4646
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_999
α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2
x 5x 6− + . (Μονάδες 12)
β) ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 2
x 2
f x
x 5x 6
−
=
− +
.
i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης. (Μονάδες 5)
ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈A ισχύει: ( )
1
f x
x 3
=
−
. (Μονάδες 8)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Το τριώνυµο 2
x 5x 6− + έχει διακρίνουσα ( )
2
∆ 5 4 1 6 1= − − ⋅ ⋅ =
και ρίζες
( )
5 1 6
3
5 1 5 1 2 2x
5 1 42 1 2
2
2 2
+
= =− − ± ±
= = =
−⋅ = =
,
οπότε 2
x 5x 6 (x 2)(x 3)− + = − − .
β) i) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 2
x 5x 6 0− + ≠ ⇔ x ≠ 2 και x ≠ 3,
οπότε { }A 2, 3 ( , 2) (2, 3) (3, )= − = −∞ ∪ ∪ + ∞ℝ .
ii) Για κάθε x A∈ έχουµε ( )
( )( )2
x 2 x 2 1
f x
x 5x 6 x 2 x 3 x 3
− −
= = =
− + − − −
.
47. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4747
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_1003
Ένα κουτί περιέχει άσπρες, µαύρες, κόκκινες και πράσινες µπάλες. Οι άσπρες είναι
5, οι µαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες µαζί είναι 16. Επιλέγουµε µια
µπάλα στην τύχη. ∆ίνονται τα παρακάτω ενδεχόµενα:
Α: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΑΣΠΡΗ
K: η µπάλα που επιλέγουµε είναι KOKKINH
Π: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ
α) Χρησιµοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδε-
χόµενα:
i) Η µπάλα που επιλέγουµε δεν είναι άσπρη,
ii) Η µπάλα που επιλέγουµε είναι κόκκινη ή πράσινη. (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόµενα του
ερωτήµατος (α). (Μονάδες 12)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) i) A΄ = «Η µπάλα που επιλέγουµε δεν είναι άσπρη».
ii) K Π∪ = «Η µπάλα που επιλέγουµε είναι κόκκινη ή πράσινη».
β) Έχουµε ότι Ν(Α) = 5, N(K Π) 16∪ = και Ν( ) = 5 + 9 + 16 = 30.
Συνεπώς:
( ) ( )
( )
( )
N A 5 30 5 25 5
P Α΄ 1 P A 1 1
N 30 30 30 30 6
= − = − = − = − = = και
( )
( )
( )
Ν Κ Π 16 8
P K Π
Ν 30 15
∪
∪ = = = .
48. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4848
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11
του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_1005
∆ίνονται οι παραστάσεις
1 x
Α
x 1
+
=
−
και 2
2
B
x x
=
−
, όπου ο x είναι πραγµατικός
αριθµός.
α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει:
x ≠ 1 και x ≠ 0. (Μονάδες 12)
β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει A = B. (Μονάδες 13)
Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
Η παράσταση Β ορίζεται όταν:
( )2
x x 0 x x 1 0 x 0 και x 1 0 x 0 και x 1− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ − ≠ ⇔ ≠ ≠ .
Συνεπώς, για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α και Β, πρέπει:
x ≠ 0 και x ≠ 1.
β) Για x ≠ 0 και x ≠ 1 έχουµε:
( )
( ) ( )
( )2
1 x 2 1 x 2 1 x 2
A B x x 1 x x 1
x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x 1
+ + +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔
− − − − − −
( ) 2 2
x 1 x 2 x x 2 x x 2 0⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = (Ι).
Το τριώνυµο 2
x x 2+ − έχει διακρίνουσα 2
∆ 1 4 1 ( 2) 9= − ⋅ ⋅ − =
και ρίζες
1 3 2
1
1 9 1 3 2 2
x
1 3 42 1 2
2
2 2
− +
= =− ± − ±
= = =
− − −⋅ = = −
.
Συνεπώς:
(Ι) ⇔ x = 1 (απορρίπτεται) ή x = −2 (δεκτή) ⇔ x = −2.
49. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
4949
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_1007
α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: 2
2x 10x 12− + = . (Μονάδες 15)
β) Να λύσετε την εξίσωση:
2
2x 10x 12
= 0
x 2
− + −
−
. (Μονάδες 10)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι 2
2x 10x 12− + = ⇔ 2
2x 10x 12 = 0− + − ⇔ 2
x 5x 6 = 0+- (Ι).
Το τριώνυµο 2
x 5x 6+- έχει διακρίνουσα 2
∆ ( 5) 4 1 6 25 24 1= − − ⋅ ⋅ = − =
και ρίζες
5 1 6
3
( 5) 1 5 1 2 2
x
5 1 42 1 2
2
2 2
+
= =− − ± ±
= = =
−⋅ = =
.
Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 2 ή x = 3.
β) Για x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 έχουµε ότι:
2
2x 10x 12
= 0
x 2
− + −
−
⇔ 2
2x 10x 12 = 0− + − ⇔ 2
x 5x 6 = 0+- ⇔
⇔ x = 2 (απορρίπτεται) ή x = 3 (δεκτή) ⇔ x = 3.
50. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
5050
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 7 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_1009
∆ίνεται η παράσταση: Α = |3x – 6| + 2, όπου ο x είναι πραγµατικός αριθµός.
α) Να αποδείξετε ότι:
i) για κάθε x 2, A 3x 4≥ = −
ii) για κάθε x 2, A 8 3x< = − . (Μονάδες 12)
β) Αν για τον x ισχύει ότι x ≥ 2, να αποδείξετε ότι:
2
9x 16
3x 4
3x 6 2
−
= +
− +
.
(Μονάδες 13)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Έχουµε ότι:
3x 6, 3x 6 0 3x 6, 3x 6 3x 6, x 2
| 3x 6 |
(3x 6), 3x 6 0 3x 6, 3x 6 3x 6, x 2
− − ≥ − ≥ − ≥
− = = =
− − − < − + < − + <
.
i) Για x ≥ 2 έχουµε Α = |3x – 6| + 2 = 3x – 6 + 2 = 3x – 4.
ii) Για x < 2 έχουµε Α = |3x – 6| + 2 = −3x + 6 + 2 = −3x + 8.
β) Για x ≥ 2 έχουµε ότι:
2 2
9x 16 9x 16 (3x 4)(3x 4)
3x 4
3x 6 2 A 3x 4
− − − +
= = = +
− + −
.
51. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
5151
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_1015
∆ίνεται η αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε όρους 2 4α 0,α 4= = .
α) Να αποδείξετε ότι ω = 2 και 1α 2= − , όπου ω είναι η διαφορά της προόδου και
1α ο πρώτος όρος της. (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος µε να 2ν 4, ν ∗
= − ∈N
και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 98. (Μονάδες 15)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *
να , ν ,∈N µε διαφορά ω και πρώτο όρο 1α , ο
νιοστός όρος είναι ( ) *
ν 1α α ν 1 ω, ν= + − ∈N .
Τότε:
( )
( )
12 1 1
14 1
α 2 1 ω 0α 0 α ω 0 α ω
α 4 1 ω 4α 4 α 3ω 4 ω 3ω 4
+ − == + = = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ − == + = − + =
1 1 1α ω α ω α 2
2ω 4 ω 2 ω 2
= − = − = −
⇔ ⇔ ⇔
= = =
.
β) Τότε:
( ) ( ) *
ν 1α α ν 1 ω 2 ν 1 2 2 2ν 2 2ν 4, ν= + − = − + − ⋅ = − + − = − ∈N .
Για να βρούµε ποιος όρος της αριθµητικής προόδου ισούται µε 98, αναζητούµε
*
ν∈N έτσι ώστε:
να 98 2ν 4 98 2ν 4 98 2ν 102 ν 51= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = .
Άρα ο πεντηκοστός πρώτος όρος ισούται µε 98, δηλαδή 51α 98= .
52. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
5252
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 20 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_1024
∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = αx + β, όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί.
α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σηµεία A(1, 6),
B(−1, 4), να βρείτε τις τιµές των α, β. (Μονάδες 13)
β) Αν α = 1 και β = 5, να προσδιορίσετε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f µε τους άξονες x΄x και y΄y. (Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.2 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Αφού η fC διέρχεται από το Α(1, 6), ισχύει f(1) = 6, και αφού διέρχεται από το
Β(−1, 4), ισχύει f(−1) = 4. Συνεπώς έχουµε ότι:
α 1 β 6
α ( 1) β 4
⋅ + =
⋅ − + =
⇔
α β 6
α β 4
+ =
− + =
⇔
α β α β 6 4
α β 4
+ − + = +
− + =
⇔
2β 10
α β 4
=
− + =
⇔
⇔
β 5
α β 4
=
− + =
⇔
β 5
α 5 4
=
− + =
⇔
β 5
α 4 5
=
− = −
⇔
β 5
α 1
=
− = −
⇔
β 5
α 1
=
=
.
β) Για α = 1 και β = 5 έχουµε f(x) = x + 5.
Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε:
f(0) = 0 + 5 = 5, δηλαδή είναι το σηµείο Α(0, 5).
Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα x΄x προκύπτει για y = 0, οπότε:
f(x) = 0 ⇔ x + 5 = 0 ⇔ x = −5, δηλαδή είναι το σηµείο Β(−5, 0).
53. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ
5353
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 17 του
βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των
Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.
GI_A_ALG_2_1032
α) Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό x ώστε οι αριθµοί: x, 2x + 1, 5x + 4, µε τη
σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου.
(Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τον λόγο λ της παραπάνω γεωµετρικής προόδου, όταν:
i) x = 1 ii) x = −1 (Μονάδες 12)
Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.3 Βαθµός δυσκολίας:
Λύση
α) Αφού οι αριθµοί x, 2x + 1, 5x + 4 είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου,
ισχύει:
( ) ( )
2 2 2 2 2
2x 1 x 5x 4 4x 4x 1 5x 4x 4x 4x 1 5x 4x 0+ = + ⇔ + + = + ⇔ + + − − = ⇔
2 2
x 1 0 x 1 x 1⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ± .
β) i) Για x = 1 οι αριθµοί είναι οι 1, 3, 9, οπότε ο λόγος της γεωµετρικής προόδου
είναι
3 9
3
1 3
= = .
ii) Για x = −1 οι αριθµοί είναι οι −1, −1, −1, οπότε ο λόγος της γεωµετρικής προ-
όδου είναι
1 1
1
1 1
− −
= =
− −
.
