UNN - Mr. Fedosin

1. 1
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Факультет ВМК, кафедра прикладной теории вероятностей
fma5@rambler.ru
Инновационные методы обучения по проекту «MetaMath»
Теория вероятностей и математическая
статистика для студентов специальности
«Фундаментальная информатика и
информационные технологии»
Федоткин М.А.
Нижний Новгород
2014

2. 2
О трех подходах преподавания основ теории
вероятностей и математической статистики
Первый подход. Классический (инженерный подход), при
котором основные положения теории (определения,
формулировки и доказательства теорем, следствия и т. п.)
непосредственно базируются на конкретных реальных и
модельных примерах с использованием интуиции.
Можно сказать, что вероятность и статистика в примерах и задачах:
1) бросание монет, игральных костей, игры в карты;
2) выборка шаров из урн, задачи лотерей и рулеток;
3) схема независимых испытаний, задачи стрельб;
4) бросание точек на отрезок, в область или объем;
5) задачи страхования, юриспруденции, медицины;
6) проблемы очередей и надежности реальных систем;
7) задачи рыночной экономики;
8) задачи из физики, биологии.
Этот подход возник в 18 в.


3. 3
Недостатки.
Лаплас: “Исследователи, имея одни и те же данные и формулировку
задачи на содержательном уровне, приходят к совершенно
разным результатам”. Типичным примером такой ситуации
является задача Бертрана (1907)
Задача Бертрана. Наудачу выбирается хорда в круге радиуса R. Найти
вероятность того, что ее длина превосходит длину стороны
вписанного в этот круг равностороннего треугольника.
В этом примере для разных исследователей искомая вероятность
равна: или 1/2 (рис. а)), или 1/3 (рис. б)), или 1/4 (рис. в)).
Что означает наудачу?
а) б) в)

4. 4
Чтобы избежать такого рода парадоксы, последователи такого подхода
начинают вводить разного рода аксиомы, определения и доказывают
различные утверждения. Примеры такого рода определений.
Определение 1. Случайным событием называется факт, который
может произойти, либо не произойти.
Будет ли дождь 9 мая 2016 г. в Н. Новгороде. С точки зрения этого
определения такой факт является случайным событием. Однако
определить вероятность такого случайного события нельзя.
Определение 2. Два события называются несовместимыми, если
они не могут произойти оба вместе.
Задача Мизеса. Некий теннисист может поехать на турнир либо в
Москву, либо в Лондон. Причем турниры там происходят
одновременно. Вероятность события A того, что он займет первое
место в Москве равна 0,5. Вероятность события B того, что он займет
первое место в Лондоне равна 0,3. Вычислить вероятность события
A U B того, что он займет где-то первое место.
Решение. Вероятность P(A U B ) = P(A) + P(B) = 0,8.
Однако, при P(A) = 0,9 имеем P(A U B ) = 1,2.!!!

5. 5
При классическом подходе часто полагаются на интуицию, которая
оказывается сильно зависит от субъекта и может быть неодинаковой.
 Задача Даламбера. Монета бросается два раза. Определить
вероятность того, что хотя бы раз появится герб.
 Задача Де Мере (1607 – 1648). Бросается кость два раза. Найти
вероятность появления суммы очков 9 – {3, 6}, {4, 5}, суммы
очков 10 – {4, 6}, {5, 5}.
 Задача об интуиции (Задача Мостеллера)
Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец
обещает ему приз, если сын выиграет подряд, по крайней мере,
две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона.
Чемпион играет лучше отца. Сын выигрывает у чемпиона с
вероятностью p и у отца  с вероятностью q > p.
Предполагается, что выигрыши сына независимы в
совокупности. Сын имеет право выбрать один из двух вариантов
очерёдности игры:
 1) чемпион затем отец и снова чемпион (Ч → О → Ч);
 2) отец затем чемпион и снова отец (О → Ч → О).
Какой из двух вариантов следует выбрать сыну
с точки зрения наиболее вероятного получения приза?
Интуиция всегда голосует за второй вариант.

6. 6
Парадокс независимости.
Бросаются две монеты. Обозначим через A и B
выпадение герба на первой и на второй монете
соответственно. Пусть C означает появление только
одного герба. Независимость A и B интуиция
принимает, но независимость A и C, B и C отвергает.
Однако для симметричных монет интуиция грубо
ошибается.
Парадокс любовницы.
Некоторый мужчина приходит на остановку такси и
бросает симметричную монету. Если к моменту чисто
случайного прибытия такси появляется впервые
комбинация {0,0}, то он навещает мать, если
появляется впервые комбинация {0,1}, то он навещает
любовницу. В противном случае он едет домой.
Интуиция говорит о том, что он одинаково часто будет
навещать мать или любовницу. На самом деле он
существенно чаще навещает любовницу.

7. 7
Появление медицинских,
социологических и других химер
Тула A B
+
0
10
80
1
9
Орел A B
+
0
10
0
89
1
10/(0+10) > 89/(1+89)
Тула + Орел A B
+
0
20
80
90
10 20/(20+80) < 90/(10+90)
10/(10 + 80) > 1/(1+9)
+ есть эффект,
0 нет эффекта

8. 8
Выводы
Классический подход развивает
интуицию вероятностно-
статистического мировоззрения на мир.
Однако требуется большая
осторожность при изложении основ
теории вероятностей. Нельзя допускать
преподавателя к чтению лекции по
теории вероятностей, если он не освоил
аксиоматический подход Колмогорова.

9. 9
Литература
 Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы
эконометрики. — М: ЮНИТИ. 1998.
 Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая
статистика. — М.: Гардарика. 1998.
 Ватутин В.А. и др. Теория вероятностей и математическая
статистика в задачах. — М.: Дрофа. 2003.
 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Академия. 2003.
 Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории
вероятностей. — М.: Академия. 2003.
 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М:
Высшая школа., 1977.
 Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС.
2005.
 Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию
вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС. 2003.
 Кочетков Е.С., Смерчинская С.О. Теория вероятностей в задачах и
упражнениях. — М.: Форум — Инфра — М. 2005.
 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. —
М.: ЮНИТИ. 2000.

10. 10
 Второй подход. Аксиоматический подход Колмогорова с
широким использованием теории меры и функционального
анализа. Существенные недостатки классического подхода
привели к созданию такого подхода в 20 — 30 г.г. XX в.
 При таком подходе даны основные понятия и названия основным
объектам теории вероятностей. Приводятся небольшое число
аксиом и определений. Все утверждения строго доказываются.
Основным математическим объектом является упорядоченная
тройка (Ω, ℱ, Ρ(·)) — основное вероятностное пространство, где
 Ω — некоторое множество; ℱ — σ-алгебра подмножеств A из Ω;
 Ρ(A) , A ∈ ℱ — неотрицательная, нормированная и счетно-
аддитивная функция на ℱ.
Далее рассматриваются произвольное измеримое пространство
(X, ℜ) и измеримое отображение ξ(ω): Ω → X. Функция ξ(ω)
называется случайным элементом (в частности, например,
случайной величиной, случайным вектором, случайным
процессом, случайным полем).

11. 11
Проблемы теории вероятностей:
 Изучение свойств вероятностной функции Ρ(·): ℱ → [0, ∞);
 Вычисление неизвестных вероятностей некоторых событий через
известные вероятности других событий;
 Формализация независимости событий и случайных элементов;
 Вычисление распределения случайных элементов и изучение
свойств их распределений;
 Изучение разного рода зависимостей (статистическая,
корреляционная, функциональная и. т. д.) между случайными
элементами;
 Предельные теоремы и аппроксимация случайных элементов;
 Изучение свойств семейств вероятностных пространств и
семейств случайных величин (задачи теории случайных
процессов, задачи теории информации, задачи математической
статистики и т. д.).
Открывает фундаментальные свойства
Недостатки аксиоматического подхода:
 Потеря вероятностной интуиции;
 Невозможность вычисления значений вероятностей событий
конкретного случайного эксперимента;

12. 12
Задача Мостеллера
Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре
в теннис, отец обещает ему приз, если сын выиграет
подряд, по крайней мере, две теннисные партии против
своего отца и клубного чемпиона. Чемпион играет лучше
отца. Сын выигрывает у чемпиона с вероятностью p и
у отца  с вероятностью q > p . Предполагается, что
выигрыши сына независимы в совокупности. Сын имеет
право выбрать один из двух вариантов очерёдности
 1) чемпион затем отец и снова чемпион (Ч → О → Ч);
 2) отец затем чемпион и снова отец (О → Ч → О).
Какой из двух вариантов поведения следует выбрать сыну
с точки зрения наиболее вероятного получения приза?

13. 13
Пусть события A1, A2 и A3 означают, что сначала сын выиграл у
чемпиона, затем выиграл у отца и снова выиграл у чемпиона.
Событие A ― сын получит приз при первом варианте его
поведения. Пусть события B1, B2 и B3 заключаются в том, что
сначала сын выиграл у отца, затем выиграл у чемпиона и снова
выиграл у отца. Событие B ― сын получит приз при втором
варианте его поведения. Тогда имеем
A = (A1∩A2)U(A2∩A3), P1(A) = pq + qp − pqp,
B = (B1∩B2)U(B2∩B3), P2(B) = qp + pq − qpq.
Отсюда P1(A) > P2(B) при q > p.
Здесь вероятностные функции разные, так как относятся к
разным пространствам (Ω1, ℱ1, Ρ1 (·)), (Ω2, ℱ2, Ρ2 (·)).
Найдем вероятность события AUB, которое означает
получение приза сыном. Так как A∩B = ∅, то вероятность
события AUB равна (pq + qp − pqp) + (qp + pq − qpq).
При p = 2/5, q = 19/20 искомая вероятность равна 1,007> 1.

14. 14
Литература
 Боровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС.
1999.
 Боровков А.А. Математическая статистика. — Новосибирск:
Наука.1997.
 Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Эдиториал
УРСС. 2005.
 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. —
М.: ФАЗИС. 1998.
 Лоэв М. Теория вероятностей. — М.: ИЛ.1962.
 Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. — М.:
Мир. 1969.
 Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию
меры. — М.: Мир. 1983.
 Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов.
— М.: МГУ. 1992
 Ширяев А.Н. Вероятность —1, 2. — М.: МЦНМО. 2004.

15. 15
 Третий подход.Подход на основе фундаментального
понятия статистически устойчивого эксперимента E, включает
следующие этапы:
 1) построение общей вероятностной модели;
 2) строгое изложение математических основ курса с
минимальным использованием аксиоматического подхода
Колмогорова, теории меры и функционального анализа;
 3) содержательная интерпретация основных положений с целью
развития вероятностной интуиции у слушателей на основе
подробного решения большого числа конкретных задач.
 Основные понятия: эксперимент E, множество Σ условий
проведения E , множество ℑ допустимых исходов эксперимента,
статистическая устойчивость, элементарный (тестовый,
атомарный) исход, наблюдаемый исход.
Аксиомы выбора элементарных исходов:
 1) обязательное появление одного из элементарных исходов;
 2) наступление одного элементарного исхода исключает
появление любого другого;
 3) любой допустимый исход представляется через элементарные.

16. 16
 Определение случайных событий, построение
теоретико-множественной модели (Ω, )ℱ
статистически устойчивых случайных экспериментов:

ω — описание в некотором языке некоторого элементарного
исхода;
 {ω} — элементарное случайное событие;
 Ω — достоверное событие (множество описаний всех
элементарных исходов);
 A — случайное событие (множество описаний таких
элементарных исходов, которые могут когда-либо наступать с
исходом A);
 ∅ —невозможное событие (пустое множество);
 ℱ — совокупность всех наблюдаемых случайных событий A,
является σ-алгеброй и ℱ ⊂ ℑ.
 Построение вероятностной модели (Ω, ℱ, Ρ(·))
статистически устойчивых случайных экспериментов:

17. Задача об экзаменах
Студенты сдают экзамен, каждый из которых должен обязательно
ответить по билету только на три вопроса раздельно профессору и
ассистенту. Известно, что вопросы первый и третий являются
теоретическими, а второй заключается в решении практической
задачи. Студент сдаёт экзамен, если он , по крайней мере, два
раза подряд положительно отвечает на вопросы. Профессору
он отвечает положительно на любой вопрос с вероятностью p и
ассистенту ― с вероятностью q независимо от предыдущих
ответов. При этом естественно предположить, что p < q.
Студенту предлагается выбрать один из двух вариантов поведения:
 1) Cначала студент отвечает профессору, затем ― ассистенту и
снова ― профессору (пр→ ас → пр).
 2) Cначала он отвечает ассистенту, затем ― профессору, и на
последний вопрос ― ассистенту (ас → пр → ас).
Какой вариант следует выбрать студенту?
17

18. 18
Пусть события A1, A2 и A3 означают, что на первый вопрос
студент положительно ответил профессору, на второй вопрос
― ассистенту и на третий вопрос ― опять профессору.
Событие A ― студент сдаст экзамен при первом варианте его
поведения.
Пусть события B1, B2 и B3 заключаются в том, что на первый
вопрос студент положительно ответил ассистенту, на второй
вопрос ― профессору и на третий вопрос ― снова ассистенту.
Событие B ― студент сдаст экзамен при втором варианте
поведения.
Пусть пространство (Ω1, ℱ1, Ρ1 (·)) соответствует первому
варианту выбора и пространство (Ω2, ℱ2, Ρ2 (·)) соответствует
второму варианту выбора . Тогда имеем
A = (A1∩A2)U(A2∩A3), P1(A) = pq + qp − pqp,
B = (B1∩B2)U(B2∩B3), P2(B) = qp + pq − qpq.
Отсюда P1(A) > P2(B) при q > p.

19. 19
Эксперимент E и его модель (Ω, ℱ):
a)каждый студент сдаёт экзамен, если он, по крайней мере, два
раза подряд ответит на три вопроса в1, в2, в3;
b)либо студент отвечает по варианту №1: профессор →
ассистент → профессору с вероятностью r ∈ [0, 1], либо по
варианту № 2: ассистент → профессор → ассистент с
вероятностью 1 − r;
c)профессору студент отвечает с вероятностью p и ассистенту −
с вероятностью q > p, где p и q суть параметры подготовки;
d)предполагается зависимость ответов с параметром обучения ε,
где 0 ≤ ε, q + ε < 1, p ≤ q + ε −ε/p.
Модель (Ω, ℑ), где ω ∈ Ω, ω = (v, u1, u2, u3), v, u1, u2, u3 ∈{0, 1}.
Например, ω = (0, 0, 0, 0) — описание элементарного исхода Aэл
1,
когда студент по первому варианту не отвечает на три вопроса.
Множество ℑ = {A1, A2, …, A65536}, где событие A1= A = {(0, 1,1, 0),
(0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} означает,
что студент сдал экзамен.
P(A) = r[pq(q − p) − ε(1 + p2
− p − pq)] + qp(2 − q) + pε(1 − q) → max

20. 20
0 1/2 1 pq
=
(p
−
0,5)2
+
0,75
3/4
q ≥ (p − 0,5)2
+ 0,75; 0 ≤ ε < 1 − q;
r′ = 1
1
q
0 1/2 1 p
q
=
(p
−
1/2)2
+
3/4
3/4
q < (p − 0,5)2
+ 0,75; 0 ≤ ε < pq(q − p)(1 + p2
− p − pq)−1
;
r′ = 1
1
q
0 1/2 1 p
q
=
(p
−
0,5)2
+
0,75
3/4
q < (p − 0,5)2
+ 0,75;
ε = pq(q − p)(1 + p2
− p − pq)−1
; 0 ≤ r′ ≤ 1
1
q
0 1/2 1 p
q
=
(p
−
0,5)2
+
0,75
3/4
q < (p − 0,5)2
+ 0,75; pq(q − p)(1 + p2
− p − pq)−1
<
< ε ≤ p(q − p)(1 − p)−1
; r′ = 0
1
q

21. 21
а) б) в)
Задача Бертрана. Наудачу выбирается хорда в круге радиуса R. Найти
вероятность того, что ее длина превосходит длину стороны вписанного в
этот круг треугольника. Вероятность равна: или 1/2, или 1/3, или 1/4.
Задача о гончарном круге
(Двуречье — 4 тыс. до н. э.,
Древняя Русь —10 вв.)
Пропорции цен
C1 : C2 : C3 = 2 : 3 : 4

22. 22
Основная цель третьего подхода
 Изучение основ современной прикладной теории вероятностей и
математической статистики.
 Знакомство с методами построения и анализа адекватных
стохастических моделей реальных процессов и явлений
простейшего типа.
 Развитие интуиции вероятностно-статистического мировоззрения
на мир.
 Критическое знакомство с решениями конкретных задач с целью
усвоения основных понятий, положений и идей прикладной
теории вероятностей и математической статистики.
 Развитие навыков и умения имитационного моделирования
простейших ситуаций стохастического характера путем
выполнения лабораторного практикума.

23. 23
Общая структура курса
1. Основные понятия теории вероятностей и теоретико-
множественная модель случайных экспериментов
2. Вероятностная модель априорных экспериментов
3. Унифицированная и локализованная вероятностные
модели условных экспериментов
4. Количественные характеристики элементарных
исходов статистически устойчивых экспериментов
5. Числовые характеристики одномерных и
многомерных случайных величин и элементы теории
корреляции

24. 24
Общая структура курса
(продолжение)
6. Предельные теоремы теории вероятностей
7. Прикладная статистика. Выборочные
характеристики случайных величин и точечное
оценивание
8. Интервальное оценивание неизвестных параметров
законов распределения случайных величин
9. Проверка статистических гипотез
10. Исследование статистической зависимости между
случайными величинами

25. 25
Литература
 Боровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Эдиториал
УРСС. 1999.
 Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.:
Эдиториал УРСС. 2005.
 Федоткин М.А. Модели в теории вероятностей. — М.:
Наука — Физматлит. 2012.
 Федоткин М.А. Основы прикладной теории
вероятностей и статистики. — М.: Высшая школа. 2006.
 Крамер Г. Математические методы статистики. — М.:
Мир. 1975.
 Ширяев А.Н. Вероятность —1, 2. — М.: МЦНМО. 2004.
 Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её
приложения. Т 1,2. — М.: Мир. 1984..

26. 26
Контакты
ННГУ им. Н.И. Лобачевского
Зав. кафедрой прикладной теории вероятностей
профессор М.А. Федоткин
тел.:(8312)657883
e-mail: fma5@rambler.ru