3. Теорема сложения вероятностей
несовместных событий
Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух
несовместных событий равно сумме вероятностей этих
событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Следствие: Вероятность суммы конечного числа несовместных
событий А1, А2,… Аn равна сумме вероятностей этих событий:
Р ( А1 + А2 +…+ Аn ) = Р ( А1 ) + P( А2 ) +…+P( Аn )
24.02.2014
3
4. Пример.
В группе из 25 учащихся при тестировании было
обнаружено, что 8 человек имеют уровень проявления
коммуникативных и организаторских склонностей (КОС) ниже
среднего (они не стремятся к общению, плохо ориентируются в
незнакомой ситуации, тяжело переживают обиды и т.д.); 7
человек характеризуются средним уровнем КОС (стремление к
контактам); остальные относятся к группе с высоким уровнем
проявления КОС (стремятся к контактам, занимаются
общественной деятельностью и т.д.). Какова вероятность того,
что наугад вызванный учащийся будет либо со средним, либо с
высоким уровнем проявления КОС?
24.02.2014
4
5. Решение
События: А = {вызван учащийся со средним уровнем
проявления КОС};
В = {вызван учащийся с высоким уровнем проявления КОС};
С = {вызван учащийся со средним или высоким уровнем
проявления КОС}.
По формуле классического определения вероятности: P(A) =
7/25, Р (В) = 10/25 .
Событие С = А + В и события А и В – несовместны,
поэтому: Р (С) = 10/25 + 7/25 =0,68.
24.02.2014
5
6. Теорема сложения вероятностей
несовместных событий
Теорема 2. Сумма вероятностей событий А1, А2,… Аn ,
образующих полную группу, равна единице:
Р ( А1 ) + P( А2 ) +…+P( Аn ) = 1
Следствие: Сумма вероятностей противоположных событий
равна единице:
Р ( А ) + P( А ) = 1
Например, если Р(А) = 0,8 – вероятность записи нейронной
активности клеток «внимания», то P( А ) = 1 – 0,8 = 0,2 –
вероятности записи для клеток другого вида активности.
24.02.2014
6
7. Пример.
Предположим, что в некоторой семье имеется два ребенка.
Какова вероятность того, что оба ребенка – мальчики?
Если известно, что по крайней мере один из детей – мальчик, то какова
вероятность того, что оба – мальчики?
Если известно, что старший ребенок – мальчик, то какова вероятность того, что
оба – мальчики?
Решение. 1) Элементарные исходы: {ММ, МД, ДМ, ДД}
Р (А)=1/4.
2) {ММ, МД, ДМ } Р (А)=1/3 ; 3) {ММ, МД}
Р (А)=1/2.
24.02.2014
7
8. Условная вероятность. Теоремы умножения
вероятностей.
Вероятность события , вычисленная при условии, что событие
произошло, называется условной вероятностью события А и
обозначается РB (A).
Теорема 3. Вероятность совместного появления двух
событий равна произведению вероятности одного из этих
событий, безразличного какого, на условную вероятность
другого при условии, что первое произошло.
Следствие: Р ( А1 * А2 *…* Аn ) = Р ( А1 ) * P( А2 ) *…*P( Аn )
24.02.2014
8
9. Пример.
Бросают две правильные кости. Какова вероятность того, что хотя бы одно из
выпавших чисел есть 2? Если сумма выпавших чисел = 6, то какова вероятность
того, что одно из них есть 2?
Решение. Событие А ={хотя бы одно из выпавших чисел есть 2}.
1) P(А)= 11/ 6*6 , т.к. пара (2; 2) содержит две двойки.
2) Событие В = {сумма выпавших чисел = 6}. Благоприятствующие В исходы: (1, 5),
(2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1). Совместному появлению событий А и В благоприятствуют
два исхода: (2, 4), (4, 2). Тогда Р(В)=5/36, Р(А*В)=2/36
PВ (А)= 2/5 = 0,4.
Если Р(А)>0 и Р(В)>0, то Р(АВ)=Р(А)*РА(В)=Р(В)*РВ(А)
Это так называемая теорема умножения вероятностей.
24.02.2014
9
10. Пример.
Студент пришел на экзамен, зная лишь 40 из 50
вопросов программы. В билете 3 вопроса. Найти
вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.
Решение. Обозначим события: А ={студент ответит на
первый вопрос},
B ={студент ответит на второй вопрос}, С ={студент ответит
на третий вопрос}. Искомая вероятность
Р (АВС)= Р(А)РА(В)РАВ(С)= 40/50 * 39/49 * 38/48=0,504
24.02.2014
10
11. Независимые события. Теорема умножения
вероятностей независимых событий.
Событие А называется независимым от события В, если
условная вероятность события A Pв(А) равна его безусловной
вероятности Р(А):
Pв(А)=Р(А) (или Pв(А)=Р(А))
Теорема 4. Если событие А не зависит от В, то и событие В
не зависит от А.
Два события будем называть независимыми,
если появление одного их них не меняет
вероятности наступления другого.
24.02.2014
11
12. Независимые события. Теорема умножения
вероятностей независимых событий.
Для независимых событий теорема умножения
вероятностей имеет вид:
P(A B)=P(A) P(B)
Замечание: На практике данное равенство часто
используют для выявления зависимости или независимости
событий А и В. При этом, если события независимы, то
независимы также и соответствующие им противоположные
события.
24.02.2014
12
13. Пример.
При обследовании заболеваний легких проверялось 10 000 человек в возрасте
свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек из этой группы являются постоянными
курильщиками. У 1800 из курящих обнаружили серьезные нарушения в легких. Среди
некурящих серьезные нарушения в легких имели 1500 человек. Являются ли курение и
наличие нарушений в легких независимыми событиями?
Решение. Определим событие А = {наудачу выбранный человек – постоянный
курильщик}; В= {у человека серьезные нарушения в легких}.
Р(А) = 4000/10000=0,4 Р(В) = (1800+1500)/10000=0,33
Условная вероятность курения, при условии наличия нарушений в легких:
Pв(А)= Р(АВ)/Р(В)=1800/3300 0,55≠Р(А)→ А и В – зависимые события
А и В – зависимые события.
24.02.2014
13
14. Независимые события. Теорема умножения
вероятностей независимых событий.
События А1, А2,… Аn попарно независимы, если независимы любые два
из них. Например, события попарно независимы, если независимы события А и
В, А и С, В и С.
Независимость двух событий обобщается на независимость нескольких
событий. События А1, А2,… Аn независимы в совокупности (или просто
независимы), если
1) они попарно независимы, т.е. независимы любые два из них;
2) независимы одно из них и всевозможные произведения остальных.
Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий
недостаточно их попарной независимости.
Для независимых в совокупности событий А1, А2,… Аn теорема умножения
вероятностей в общей форме имеет вид :
Р(А1* А2* . . .*Аn)= Р ( А1 ) * P( А2 ) *…* P( Аn )
24.02.2014
14
15. Пример.
Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя
орудиями, если вероятности поражения цели соответственно равны 0,9, 0,85 и 0,8
(события А, В и С).
Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то
искомая вероятность вычисляется по формуле:
Р(АВС)=Р(А)*Р(В)*Р(С)=0,9*0,8*0,85=0,612.
Если в результате испытания может иметь место независимых событий
с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай
нахождения вероятности наступления хотя бы одного из них. Обозначим это
событие через А.
24.02.2014
15
16. Независимые события. Теорема умножения
вероятностей независимых событий.
Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из n
независимых событий А1, А2,…,Аn равна разности между
единицей и произведением вероятностей противоположных
событий:
Р ( А) = 1 – Р ( А1 ) Р ( А2 )… Р ( Аn )
24.02.2014
16
17. Пример.
Студент, оценивая свои возможности, пришел к выводу, что он может
набрать не менее 8 баллов по первому тесту с вероятностью 0,8, по второму – с
вероятностью 0,9 и по третьему – с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того,
студент хотя бы по одному тесту получит не менее 8 баллов.
Решение. Пусть событие ={студент по i-му тесту получит не менее 8
баллов}, А={ студент хотя бы по одному тесту получит не менее 8 баллов}. Искомая
вероятность равна:
Р( А )= 1 - Р( А1 ) Р ( А2 ) Р ( А3) = 1 – [1 - Р ( А1 ) ][1- Р ( А2 ) ][1- Р ( А3 ) ]=
= 1 – (1-0,8)(1-0,9)(1-0,6)=1-0,2*0,1*0,4=1-0,008=0,992
24.02.2014
17
