3. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их произведения:
P( A
24.02.2014
B)
P ( A)
P(B)
P( A B)
3
4. Теорема сложения вероятностей совместных событий
Из теоремы получаем ряд следующих частных случаев:
1. Для независимых событий: P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B )
2. Для зависимых событий: P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) P A ( B )
3. Для несовместных событий P ( AB ) 0
и в этом случае имеем подтверждение теоремы: P ( A B ) P ( A ) P ( B )
Теорему сложения вероятностей можно обобщить на случай событий.
Следствие1.
n
n
P ( Ai )
i 1
24.02.2014
P ( Ai )
i 1
P ( Ai A j )
1 i j n
n 1
P ( A i A j A k ) ... ( 1) P ( A1 A 2 ... A n ).
1 i j k n
4
5. Пример.
В группе из 20 человек проводился экспресс-тест «Узнай свой характер». При определении
«ведущей руки» у 8 испытуемых это оказалась левая рука, а при определении «ведущего глаза» у
10 человек ведущим оказался правый глаз. Какова вероятность того, что у произвольно выбранного
человека данной группы ведущим будут левая рука или левый глаз?
Решение. Пусть событие А ={у выбранного человека ведущая левая рука};
20 10
0 ,5
В = {у выбранного человека ведущий левый глаз}. Тогда , Р ( А ) 8
.
0,4 Р ( В )
20
20
События А и В совместны и независимы, поэтому
P( A
B)
P ( A)
P(B)
P ( A) P ( B )
0,4
0 ,5
0 , 4 0 ,5
0 ,7
Следствием теорем сложения и умножения являются формула полной вероятности и формула
Байеса.
24.02.2014
5
6. Формула полной вероятности
Теорема 2. Вероятность события , появление которого возможно
лишь
при наступлении одного из несовместных событий образующих полную
группу ( i 1, 2 ,... n ), равна сумме попарных произведений вероятностей
каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность
события :
P ( A)
24.02.2014
P ( B 1 ) PB1 ( A ) P ( B 2 ) PB 2 ( A ) ... P ( B n ) PB n ( A )
6
7. Пример.
В деканат поступили работы (результаты тестирования) по трем предметам в
соотношении 2:3:5. При этом вероятности неудовлетворительной оценки по каждому из
этих предметов соответственно равны 0,05; 0,02 и 0,08. Определить вероятность того,
что взятая наугад работа окажется неудовлетворительной.
Решение. Обозначим А – взятая наугад работа – неудовлетворительная.
Гипотезы: B– взята наугад работа по i-му предмету. ( i=1,2,3).
i
Вероятности гипотез: P ( B 1 ) 2 / 10 P ( B 2 ) 3 / 10 P ( B 3 ) 5 / 10
Условные вероятности события А: PB ( A ) 0 , 05 PB ( A ) 0 , 02 PB ( A ) 0 , 08
Обратим внимание, что сумма этих вероятностей равна 1.
Отсюда при n=3 получаем искомую вероятность события А:
1
P ( A)
P ( B1 ) PB1 ( A )
0 , 2 0 , 05
24.02.2014
0 ,3 0 , 02
3
2
P ( B 2 ) PB 2 ( A )
0 ,5 0 , 08
P ( B 3 ) PB 3 ( A )
0 , 056 .
7
8. Формула Байеса
Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события (т.е. по мере
получения новой информации), мы можем проверять и корректировать выдвинутые до
испытания гипотезы. Такой подход называется байесовским. Он дает возможность
корректировать управленческие решения в экономике, принимать решения в условиях риска и
неопределенности и т.п.
Формула Байеса (или формула гипотез):
PA ( B i )
P ( B i ) PB i ( A )
n
(i
1, 2 ,..., n )
P ( B i ) PB i ( A )
i 1
24.02.2014
8
9. Пример.
В группе 25 студентов: 5 «отличников» по математике, 10
«хорошистов», 8 «троечников» и 2 «двоечника». «Отличник» решает любую
задачу с вероятностью 1, «хорошист» – с вероятностью 0,9, «троечник» – с
вероятностью 0,7, «двоечник» – с вероятностью 0,5. Наугад вызванный студент
решил предложенную задачу. Какова вероятность того, что был вызван
«хорошист»?
Решение. Событие ={предложенная задача решена}. К какой группе
относится решивший еѐ студент – неизвестно. Выдвигаем гипотезы:
B 1 = {задачу решил «отличник»}, B 2 = { задачу решил «хорошист»},
B 3 = {задачу решил «троечник»}, B 4 = { задачу решил «двоечник»}.
24.02.2014
9
10. Решение.
По классическому определению вероятности находим:
P ( B1 )
5
P(B2 )
0,2
25
10
0,4
8
P (B3 )
25
0 ,32
25
2
P(B4 )
0 , 08
25
Условные вероятности заданы:
PB1 ( A )
1
PB 2 ( A )
0 ,9
PB 3 ( A )
0 ,7
PB 4 ( A )
0 ,5
По формуле полной вероятности определим:
P ( A)
0,2 1
P ( B1 ) PB1 ( A )
0 , 4 0 ,9
P ( B 2 ) PB 2 ( A )
0 ,32 0 , 7
0 , 08 0 ,5
P ( B 3 ) PB 3 ( A )
P ( B 4 ) PB 4 ( A )
0 ,824 .
По формуле Байеса находим искомую вероятность:
PA ( B 2 )
24.02.2014
P ( B 2 ) PB 2 ( A )
0 , 4 0 ,9
P ( A)
0 ,824
0 , 44
10
11. Принятие решений на основе Байесовских стратегий
(Ганичева)
Постановка задачи заключается в следующем. Имеются две альтернативные гипотезы В1 и
В2 (случай трех гипотез и более рассматривается аналогично).
Например, В1 – на должность заместителя директора походит кандидатура Смирнова; В2 – на
должность заместителя директора походит кандидатура Егорова (здесь рассматриваются всего две
кандидатуры).
На основе мнения сотрудников, статистических и иных данных задаются вероятности этих
гипотез. В рамках каждой гипотезы рассматриваются все возможные последствия, на основе которых
по формулам Байеса происходит уточнение (перерасчет0 вероятностей гипотез.
Какую из гипотез выбрать: гипотезу, имеющую большую вероятность или гипотезу с меньшей
вероятностью?
Конечно, более достоверна гипотеза с большей вероятностью. Однако, на самом деле может
иметь место как раз гипотеза с меньшей вероятностью. Поэтому при выборе гипотез можно совершить
ошибку. Например, с точки зрения общества обвинить невинного человека хуже, чем оправдать
виновного. Для учета этого обстоятельства вводятся коэффициенты k1 и k2 , характеризующие
соответственно величину ошибок при принятии гипотез В2 вместо В1 и В1 вместо В2. Эти
коэффициенты называют также коэффициентами сожаления. Пусть событие А характеризует
данные, относящиеся к делу.
Для каждой гипотезы В1 и В2 вычисляется так называемый байесовский риск,
обозначаемый R1 и R2 соответственно. А именно: R 1 k 2 P A ( B 2 ) , R 2 k 1 P A ( B 1 ) , где R1 характеризует
величину риска при выборе гипотезы В1 , R2 – при выборе гипотезы В2 .
Далее выбирается та гипотеза, для которой указанный риск является наименьшим.
24.02.2014
11
12. Пример.
Иван Петрович Мизинцев, решив жениться, подал объявление в газету и получил ответ от двух
претенденток:
Анастасия: живет в Москве, филолог по образованию, стройная и изящная, но далеко не красавица,
возраст 25 лет.
Кристина: проживает в Санкт-Петербурге, экономист, полноватая, с правильными чертами лица, но не
красавица, возраст 28 лет.
Кому должен отдать предпочтение Иван Петрович?
Решение. Выдвигаются две гипотезы: В1– отдать предпочтение Анастасии; В2– отдать предпочтение
Кристине.
Пусть, по мнению жениха, Р(В1 )=0,55 и Р(В2 )=0,45. рассматриваются сопутствующие факторы:
А1 – место проживания будущей супруги устраивает Мизинцева;
А2– профессия будущей супруги удовлетворяет Ивана Петровича;
А3– фигура девушки Мизинцеву нравится;
А4– лицо девушки привлекает жениха;
А5– возраст невесты подходит Мизинцеву.
24.02.2014
12
13. Решение
Пусть, например, Иван Петрович считает, что проживание невесты в Москве
устраивает его на 70%, а в Петербурге – на 60%; профессия филолога устраивает его на
50%, а экономиста – на 75%; поскольку Мизинцев отдает предпочтение стройным и
худощавым женщинам, то фигура Анастасии устраивает его на 90%, а Кристины – на
60%; Иван Петрович очень хочет иметь симпатичную жену, поэтому портрет Анастасии
подходит ему на 50%, а Кристины – на 80%; возраст обеих устраивает на 70%.
Поскольку Мизинцев заинтересован в совместном выполнении условий А1, А2 ,
А3, А4 , А5 ,то важно знать вероятность произведения этих событий. Положив А= А1, А2 ,
А3, А4 , А5 и заметив, что события А1, А2 , А3, А4 , А5 независимы, найдем условную
вероятность события А в рамках каждой из гипотез, а именно:
Р В1 ( А )
24.02.2014
0 , 7 0 ,5 0 ,9 0 ,5 0 , 7
0 ,11
Р В2 ( А )
0 , 6 0 , 75 0 , 6 0 ,8 0 , 7
0 ,15
13
14. Решение
Далее осуществляется перерасчет вероятностей гипотез по формулам Байеса:
Р А ( В1 )
Р А (В2 )
Р ( В 1 ) Р В1 ( А )
Р ( А)
Р ( В 2 ) Р В2 ( А )
Р ( А)
0 , 55 0 ,11
0 ,55 0 ,11
0 , 45 0 ,15
0 ,55 0 ,11
0 , 47
0 , 45 0 ,15
0 ,53
0 , 45 0 ,15
Затем вводятся коэффициенты сожаления k1 и k2, которые характеризуют ошибки принятия
гипотез и B1 и B2 соответственно. Например, допустим, что Иван Петрович больше боится потерять
Анастасию, поэтому изначально отдал ей большее предпочтение: 55% против 45% у Кристины. Тогда он
полагает k1= 4 и k2 =2.
После этого вычисляются риски: R 1 k 2 PA ( B 2 ) = 2∙0,53 = 1,06 – риск принятия гипотезы ,
R 2 k 1 P A ( B 1 ) = 4∙0,47 = 1,88 – риск принятия гипотезы B2 .
Выбирается та гипотеза, для которой риск имеет наименьшее значение, т.е. гипотеза . Таким образом,
Иван Петрович Мизинцев должен отдать предпочтение Анастасии.
24.02.2014
14
15. Решение
Мы рассмотрели случай двух альтернативных гипотез. В общем случае все рассуждения
проводятся совершенно аналогично. Например, в случае трех гипотез вводятся коэффициенты
сожаления k ij , которые характеризуют ошибку принятия гипотезы B вместо гипотезы B j . Затем
i
вычисляются риски: R1 k 12 PA ( B 2 ) k 13 PA ( B 3 ) ; R 2 k 21 PA ( B1 ) k 23 PA ( B 3 ) ; R 3 k 31 PA ( B1 ) k 32 PA ( B 2 )
Принимается гипотеза, для которой величина риска наименьшая.
Рассмотренный метод дает возможность прогнозировать оптимальные стратегии и
соответственно планировать действия.
В рассмотренном примере не учитывался приоритет исходных данных А1, А2 , А3, А4 , А5.
Однако можно было задать коэффициенты приоритета этих условий.
В случае наличия приоритетов вероятность каждого условия Аi умножается на
соответствующий коэффициент, а далее все вычисления проводятся согласно рассмотренному методу.
24.02.2014
15
