ความสัมพัธ์ของข้อมูล

1. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
1
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
เมื่อนาคู่อันดับ (x,y) จานวนหนึ่ง มาเขียนกราฟ เรียกกราฟที่มีลักษณะเป็นจุดว่า แผนภาพการ
กระจาย ซึ่งจะทาให้เห็นลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x กับ y และสามารถหาความสัมพันธ์
ระหว่างx กับy เป็นสมการ ในรูป y = f(x) เมื่อ x คือ ตัวแปรอิสระ และ y คือตัวแปรตาม หรือในรูป
x = f(y) เมื่อ y คือ ตัวแปรอิสระ และ x คือ ตัวแปรตามได้
วิธีการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x และ y ให้อยู่ในรูปสมการ เรียกว่า ระเบียบวิธีกาลัง
สองน้อยที่สุด (Method of Least Squares) เป็นวิธีที่ทาให้ได้ค่าy มีความคลาดเคลื่อนกาลังสอง (Square
Error) ต่าที่สุด และสมการที่ได้เรียกว่า สมการปกติ
รูปแบบความสัมพันธ์ของ x และ y ที่จะศึกษาในระดับนี้ ได้แก่ เส้นตรง พาราโบลา และเอกซ์
โพเนนเชียล
1. ii yx , เป็นข้อมูลที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นเส้นตรง
1.1 เมื่อ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม มีสมการทั่วไปคือ
cmxY ˆ
เมื่อ m, c เป็นค่าคงตัว หาค่า m, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
ncxmy
n
i
i
n
i
i    11
 

n
i
i
n
i
i
n
i
ii xcxmyx
11
2
1
1.2 เมื่อ y เป็นตัวแปรอิสระ และ x เป็นตัวแปรตาม มีสมการทั่วไปคือ
cmyX ˆ
เมื่อ m, c เป็นค่าคงตัว หาค่า m, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
ncymx
n
i
i
n
i
i    11
 

n
i
i
n
i
i
n
i
ii ycymyx
11
2
1
2. ii yx , เป็นข้อมูลที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นพาราโบลา
2.1 เมื่อ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม มีสมการทั่วไปคือ
cbxaxY  2ˆ
เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว หาค่า a, b, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
ncxbxay
n
i
i
n
i
i
n
i
i    11
2
1
 

n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii xcxbxayx
11
2
1
3
1

2. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
2
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
 

n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii xcxbxayx
1
2
1
3
1
4
1
2
2.2 เมื่อ y เป็นตัวแปรอิสระ และ x เป็นตัวแปรตาม มีสมการทั่วไปคือ
cbyayX  2ˆ
เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว หาค่า a, b, c ได้จากสมการปกติ ดังนี้
ncybyax
n
i
i
n
i
i
n
i
i    11
2
1
 

n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii ycybyayx
11
2
1
3
1
 

n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii ycybyayx
1
2
1
3
1
4
1
2
3. ii yx , เป็นข้อมูลที่มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันเป็นเอกซ์โพเนนเชียล
3.1 เมื่อ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม มีสมการทั่วไปคือ
x
abY ˆ หรือ xbay )(logloglog 
เมื่อ log a, log b เป็นค่าคงตัว หาค่า log a, log b ได้จากสมการปกติ ดังนี้
 

n
i
i
n
i
i xbany
11
)(logloglog
 

n
i
i
n
i
i
n
i
ii xbxayx
1
2
11
)(log)(loglog
3.2 เมื่อ y เป็นตัวแปรอิสระ และ x เป็นตัวแปรตาม มีสมการทั่วไปคือ
y
abX ˆ หรือ ybax )(logloglog 
เมื่อ log a, log b เป็นค่าคงตัว หาค่า log a, log b ได้จากสมการปกติ ดังนี้
 

n
i
i
n
i
i ybanx
11
)(logloglog
 

n
i
i
n
i
i
n
i
ii ybyaxy
1
2
11
)(log)(loglog
**ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลในรูปอนุกรมเวลา**
ข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา หมายถึง ข้อมูลที่แสดงความเปลี่ยนแปลงตามลาดับก่อนหลังของ
ช่วงเวลาที่ข้อมูลนั้น ๆ เกิดขึ้น โดยปกติแล้ว ข้อมูลนั้นๆ จะเกิดขึ้นในช่วงเวลาที่เท่า ๆ กัน เช่น
ปริมาณน้าฝนนที่วัดได้ในแต่ละเดือน
กาไรจากการทาธุรกิจอย่างหนึ่งในแต่ละปี
ฯลฯ

3. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
3
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่น่าสนใจ (y) กับช่วงเวลาที่ข้อมูลนั้นเกิด (x)
เมื่อ x คือตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม เขียนความสัมพันธ์ได้เป็น y = f(x)
***ค่า x ในช่วงเวลาที่เท่ากัน อาจเป็นวัน เดือน หรือปี
1. ถ้าช่วงเวลาที่นามาสร้างความสัมพันธ์เป็นจานวนคี่ จะกาหนดช่วงตรงกลางเป็น 0
เช่น …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
2. ถ้าช่วงเวลาที่นามาสร้างความสัมพันธ์เป็นจานวนคู่ จะกาหนดช่วงตรงกลาง
เป็น -1 กับ1
เช่น …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …

4. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
4
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
แบบฝึกหัด
1. กาหนดคู่อันดับ (x, y) ต่อไปนี้
ix 0 1 2 3 4 5
iy 5 4 3 2 1 0
1.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล
1.2 จงเติมตารางให้สมบูรณ์
ix iy ii yx 2
ix 2
iy


6
1i
ix 
6
1i
iy 

6
1i
ii yx 
6
1
2
i
ix 

6
1
2
i
iy
1.3 จงหาสมการทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่มี y เป็นตัวแปรตาม
……………………………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

5. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
5
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
1.4 ถ้าค่า x = 4 แล้วค่า y = …………………………………………………………….
1.5 จงหาสมการทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่มี x เป็นตัวแปรตาม
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
1.5 ถ้าค่า y = 2 แล้วค่า x = …………………………………………………………….

6. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
6
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
2. กาหนดคู่อันดับ (x, y) ต่อไปนี้
ix 1 2 3 4 5
iy 3 7 14 20 18
2.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล เมื่อ x เป็นตัวแปรอิสระ
2.2 จงเติมตารางให้สมบูรณ์
ix iy 2
ix 3
ix 4
ix ii yx ii yx2


5
1i
ix 
5
1i
iy 
5
1
2
i
ix 
5
1
3
i
ix 
5
1
4
i
ix 

5
1i
ii yx 

5
1
2
i
ii yx
2.3 จงหาสมการทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..

7. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
7
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
2.4 ถ้าค่า x = 10 แล้วค่า y =
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
3. กาหนดคู่อันดับ (x, y) ต่อไปนี้
ix 1 2 3 4 5
iy 6 15 38 68 105
3.1 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล เมื่อ x เป็นตัวแปรอิสระ

8. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
8
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
3.2 จงเติมตารางให้สมบูรณ์
ix iylog ii yx log 2
ix


5
1i
ix 
5
1
log
i
iy 
5
1
log
i
ii yx 
5
1
2
i
ix
3.3 จงหาสมการทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
3.4 ถ้าค่า x = 20 แล้วค่า y =
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

9. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
9
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
4. ข้อมูลที่กาหนดให้แสดงรายจ่ายประจาเดือนของพอใจ ตั้งแต่เดือนมกราคม ถึงเดือนกรกฎาคม
ดังตารางข้างล่าง
เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค.
รายจ่าย (พันบาท) 5 5.5 6.5 7 8.5 10 11
ถ้า x แทนระยะเวลาเป็นเดือน
y แทนรายจ่ายประจาเดือน
4.1จงเติมตารางให้สมบูรณ์
x
y 5 5.5 6.5 7 8.5 10 11
4.2 จงเขียนแผนภาพการกระจายของข้อมูล
4.3 จงหาสมการความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างเวลากับรายจ่าย
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….

10. เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ค 33202 เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ระดับชั้นม.6
10
เรียบเรียงและจัดทาโดยนางสาวศิริกัญญา กิตติวุฒิ โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา
4.4 ในเดือนธันวาคมปีเดียวกัน พอใจจะมีรายจ่ายเท่าไร
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………