1. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
1
I. Bentuk Umum
Bentuk umum dari persamaan diferensial linear dapat dinyatakan sebagai
berikut :
푦′ + 푃 푦 = 푄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
P dan Q adalah fungsi – fungsi dari 푥
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear ini dapat melalui 2 cara,
yaitu :
1. Cara Bernoulli
푦 = 푢 . 푣 Solusi umum ; u , v masing – masing fungsi dari x
푦′ = 푢′ 푣 + 푣′푢 (turunan aturan perkalian) subsitusi ke
persamaan (1)
푢′푣 + 푢 푣′ + 푃 푢푣 = 푄
푣(푢′ + 푃 푢) + 푢푣′ = 푄
Ambil 푢′ + 푃 푢 = 0 푢푣′ = 푄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Maka : 푢′ = −푃 푢
푢′
푢
= −푃 atau
푑푢
푑푥
푢
= 푃
∫ 푑푢
푢
= ∫ −푃 푑푥
ln u = ∫ −푃 푑푥
u = 푒−∫ 푃 푑푥
kita subsitusikan u = 푒−∫ 푃 푑푥 ke persamaan (2) menjadi :
푢푣′ = 푄
푒−∫ 푃 푑푥 . 푣′ = 푄
푣′ = 푄 . 푒∫ 푃 푑푥

2. 2
∫ 푣′ = ∫ 푄 . 푒∫ 푃 푑푥
푣 = ∫ 푒∫ 푃 푑푥 . 푄 푑푥 + 퐶
Setelah diperoleh nilai u dan v maka disubsitusikan ke solusi umum yaitu :
푦 = 푢 . 푣
푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 [ ∫ 푒∫ 푃 푑푥 . 푄 푑푥 + 퐶 ]
2. Cara Lagrange
푦′ + 푃 푦 = 푄. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Kita ambil 푦′ + 푃 푦 = 0
Maka : ∫ 푑푦
푦
= ∫ −푃 푑푥
ln y = − ∫ 푃 푑푥 + 퐶1
ln y = ln 푒−∫ 푃 푑푥+푐1
푒ln 푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 . 푒퐶1 misal 푒퐶1 = 퐶 yang merupakan suatu
fungsi dari x
Jadi, 푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 . 퐶 (푥)
푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 . 퐶 (푥) (kedua ruas ln kan) . . . . . (2)
Maka ln y = ln 푒−∫ 푃 푑푥 + ln 퐶(푥)
ln y = −∫ 푃 푑푥 + ln 퐶 (푥)
diffrensial ke x maka :
1
푦
. 푑푦
푑푥
= −푃 + 1
퐶(푥)
. 푑 퐶 (푥)
푑푥
푑푦
푑푥
= −푃 푦 + 푦
퐶 (푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
푑푦
푑푥
+ 푃 푦 = 푦
퐶 (푥)
. 푑퐶 (푥)
푑푥

3. 3
푑푦
푑푥
+ 푃 푦 = 푒 −∫ 푃 푑푥 . 퐶(푥)
퐶 (푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
푑푦
푑푥
+ 푃 푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 . 푑 퐶(푥)
푑푥
Ξ 푄
푄 = 푒−∫ 푃 푑푥 . 푑 퐶 (푥)
푑푥
∫ 푑퐶 (푥) = ∫ 푄 푒∫ 푃 푑푥 푑푥
퐶(푥) = ∫ 푒∫ 푃 푑푥 . 푄 푑푥 + 퐶 subsitusi ke pers. (2)
푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 . 퐶(푥)
푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 [ ∫ 푒∫ 푃 푑푥 . 푄 푑푥 + 퐶 ]
II. Contoh Soal
Carilah persamaan differensial berikut :
1.
푑푦
푑푥
− 푦
푥
= 푥
푝푒푛푦푒푙푒푠푎푖푎푛 ∶
푑푦
− 푦
푑푥
푥
= 푥 , ( 푃 = −1
푥
, 푄 = 푥 )
a. Dengan cara Bernoulli
푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 [ ∫ 푒∫ 푃 푑푥 . 푄 푑푥 + 퐶 ]
푦 = 푒−∫
1
푥
1
푥
푑푥 [ ∫ 푒∫ −
푑푥 푥 푑푥 + 퐶
푦 = 푥 [ ∫ 푥 −1 . 푥 푑푥 + 퐶 ]
푦 = 푥 (푥 + 퐶 )
푦 = 푥 2 + 퐶 x
b. Dengan cara Lagrange
푑푦
푑푥
− 푦
푥
= 0
푑푦
푑푥
= 푦
푥

4. 4
∫ 푑푦
푦
= ∫ 푑푥
푥
ln 푦 = ln 푥 + 퐶1 misal C1 = ln C
ln 푦 = ln 푥 + ln 퐶
푦 = 푥 . 퐶 misal 퐶 푓푢푛푔푠푖 푡푒푟ℎ푎푑푎푝 푥
푦 = 푥 . 퐶(푥) kedua ruas di ln kan . . . . . . . . (2)
ln 푦 = ln 푥 . ln 퐶 (푥) 푑푖푓푓푒푟푒푛푠푖푎푙 푥
1
푦
. 푑푦
푑푥
= 1
푥
+ 1
퐶(푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
(dikali y)
푑푦
푑푥
= 푦
푥
+ 푦
퐶(푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
푑푦
푑푥
− 푦
푥
= 푥 퐶(푥)
푐 (푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
= 푥
푥 푑퐶 (푥)
푑푥
= 푥
∫ 푑 퐶(푥) = ∫ 푑푥
퐶(푥) = 푥 + 퐶 subsitusi ke persamaan (2)
푦 = 푥 [ 푥 + 퐶 ]
푦 = 푥 2 + 퐶x
2. 푦′ − 푦 = 2푒푥
a. Cara Bernoulli
푃 = −1 , 푄 = 2푒푥
푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 [ 푒∫ 푃 푑푥 . 푄푑푥 + 퐶 ]
= 푒∫ 푑푥 [∫ 푒−∫ 푑푥 . 2푒푥 푑푥 + 퐶 ]
= 푒푥 [∫ 푒−푥 . 2푒푥 푑푥 + 퐶 ]
= 푒푥 [ ∫ 2 푑푥 + 퐶 ]
= 푒푥 [ 2푥 + 퐶 ]
푦 = 2 푥 푒푥 + 퐶

5. 5
b. Cara Lagrange
Ambil
푑푦
푑푥
− 푦 = 0
푑푦
푑푥
= 푦
푑푦 = 푦 푑푥
푑푦
= 1 푑푥
푦
∫ 푑푦
푦
= ∫ 푑푥
ln 푦 = 푥 + 퐶1
ln 푦 = ln 푒푥+퐶1 misal 푒퐶1 = 퐶
푦 = 퐶. 푒푥 pandang C sebagai fungsi dari x
푦 = 퐶(푥) . 푒푥 kedua ruas di ln kan
Maka, ln 푦 = ln 퐶 (푥) + ln 푒푥
ln 푦 = ln 퐶 (푥) + 푥 differensial terhadap 푥
1
푦
. 푑푦
푑푥
= 1
퐶 (푥)
. 푑 퐶 (푥)
푑푥
+ 1 dikali y
푑푦
푑푥
= 푦
퐶(푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
+ 푦
푑푦
푑푥
− 푦 = 푦
퐶(푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
푑푦
푑푥
− 푦 = 퐶(푥) 푒푥
퐶(푥)
. 푑 퐶(푥)
푑푥
푑푦
푑푥
− 푦 = 푒푥 . 푑 퐶 (푥)
푑푥
2 푒푥 = 푒푥 . 푑 퐶 (푥)
푑푥
2 푑푥 = 푑 퐶(푥)
∫ 푑 퐶(푥) = ∫ 2 푑푥
퐶(푥) = 2푥 + 퐶
maka, 푦 = (2푥 + 퐶 ) . 푒푥
푦 = 2 푥푒푥 + 퐶 푒푥

6. 6
3.
푑푥
푑푦
− 2푥푦 = 6푦푒푦2
a. Cara Bernoulli
푃 = −2푦 푄 = 6푦푒푦2
푥 = 푒− ∫ − 2푦 푑푦 [ ∫ 푒∫ −2푦 푑푦 . 6푦푒푦2
푑푦 + 퐶 ]
= 푒푦2
[ ∫ 푒−푦2
6푦. 푒푦2
푑푦 + 퐶 ]
= 푒푦2
[ ∫ 6푦 푑푦 + 퐶 ]
= 푒푦2
[ 3푦2 + 퐶 ]
푥 = 3푦2푒푦2
+ 퐶 푒푦2
b. Cara Lagrange
푑푥
푑푦
− 2푥푦 = 6푦푒푦2
푑푥
푑푦
− 2푥푦 = 0
푑푥
푑푦
= 2푥푦
푑푥 = 2푥푦 푑푦
푑푥
= 2푦 푑푦
푥
ln 푥 = 푦2 + 퐶
푒ln 푥 = 푒푦2
+ 푒퐶1 misal 푒퐶1 = C
푒ln 푥 = 푒푦2
+ 퐶 pandang C sebagai fungsi terhadap y
푥 = 푒푦2
+ 퐶(푦) kedua ruas di ln kan
2
ln 푥 = ln 푒푦+ ln 퐶(푦)
ln 푥 = 푦2 + ln 퐶(푦) differensial ke y
1
. 푑푥
= 2푦 + 1
. 푑퐶 (푦)
(dikali x)
푥
푑푦
퐶(푦)
푑푦
푑푥
푑푦
= 2푥푦 + 푥
퐶 (푦)
. 푑퐶(푦)
푑푦
푑푥
푑푦
− 2푥푦 = 푒 푦2
퐶(푦)
퐶(푦 )
. 푑퐶 (푦)
푑푦
푒푦2
. 푑퐶(푦)
푑푦
Ξ Q

7. 7
푒푦2
. 푑퐶(푦)
푑푦
= 6푦푒푦2
푑퐶 (푦)
푑푦
= 6푦
∫ 푑퐶(푦) = ∫ 6푦 푑푦
퐶(푦) = 3푦2 + 퐶
푥 = 푒푦2
. 퐶 (푦)
= 푒푦2
. (3푦2
+ 퐶)
푥 = 푒푦2
. 3푦2
+ 퐶푒푦2
4.
푑푦
푑푥
= 푥2+2푦
푥
a. Cara Bernoulli
푑푦
푑푥
= 푥2+2푦
푥
푑푦
푑푥
= 푥 + 2푦
푥
푑푦
푑푥
− 2푦
푥
= 푥
푃 = − 2
푥
푄 = 푥
푦 = 푒−∫ 푃 푑푥 [ ∫ 푒∫ 푃 푑푥 . 푄 푑푥 + 퐶 ]
푦 = 푒− ∫ −
2
푥
2
푥
푑푥 [∫ 푒∫ −
푑푥 . 푥 푑푥 + 퐶 ]
= 푒2 ln 푥 [ ∫ 푒−2 ln 푥 . 푥 푑푥 + 퐶 ]
= 푒ln 푥2
[ ∫ 푒ln 푥 −2
. 푥 푑푥 + 퐶 ]
= 푥 2 [ ∫ 1
푥2 . 푥 푑푥 + 퐶 ]
= 푥 2 [ ∫ 1
푥
+ 퐶 ]
푦 = 푥 2 [ ln 푥 + 퐶 ]
푦 = 푥 2 ln 푥 + 퐶 푥 2

8. 8
b. Cara lagrange
푑푦
푑푥
= 푥2+2푦
푥
푑푦
푑푥
= 푥2
푥
+ 2푦
푥
푑푦
푑푥
= 푥 + 2푦
푥
푑푦
푑푥
− 2푦
푥
= 푥
ambil
푑푦
푑푥
− 2푦
푥
= 0
푑푦
푑푥
= 2푦
푥
푑푦
푦
= 2
푥
푑푥
∫ 푑푦
푦
= ∫ 2
푥
푑푥
ln 푦 = 2 ln 푥 + 퐶
푒ln 푦 = 푒2 ln 푥+퐶
푒ln 푦 = 푒ln 푥2
. 푒푐
푦 = 푥 2. 푒푐 misal 푒푐 = 퐶
푦 = 푥 2 . 퐶 pandang C sebagai fungsi x
푦 = 퐶(푥). 푥 2 kedua ruas di ln kan
ln 푦 = ln 퐶(푥) + ln 푥 2 differensial terhadap x
1
. 푑푦
= 1
. 푑퐶 (푥)
+ 2
푦
푑푥
퐶 (푥)
푑푥
푥
푑푦
푑푥
= 푦
퐶(푥)
. 푑퐶 (푥)
푑푥
+ 2푦
푥
푑푦
푑푥
− 2푦
푥
= 퐶(푥) . 푥2
퐶 (푥)
. 푑퐶(푥)
푑푥
푥 = 푥 2 . 푑퐶 (푥)
푑푥
푑퐶 (푥)
푑푥
= 푥
푥2
푑퐶 (푥)
푑푥
= 1
푥
∫ 푑퐶 (푥) = ∫
1
푥
푑푥
퐶(푥) = ln 푥 + 퐶 푠푢푏푠푖푡푢푠푖 푛푖푙푎푖 퐶(푥) 푘푒 푦

9. 9
푦 = 푥 2 [ ln 푥 + 퐶 ]
푦 = 푥 2 ln 푥 + 퐶 푥 2
5. 푑푦 + (푦 − 2 sin 푥) cos 푥 푑푥 = 0
a. Cara Bernoulli
푑푦 + (푦 − 2 sin 푥) cos 푥 푑푥 = 0
푑푦 + (푦 cos 푥 − 2 sin 푥 cos 푥)푑푥 = 0
푑푦
+ 푦 cos 푥 − 2 sin 푥 cos 푥 = 0
푑푥
푑푦
푑푥
+ 푦 cos 푥 = 2 sin 푥 cos 푥
Maka : 푃 = cos 푥 푄 = 2 sin 푥 cos 푥
푦 = 푒−∫ cos 푥 푑푥 [∫ 푒∫ cos 푥 푑푥 . 2 sin 푥 cos 푥 푑푥 + 퐶
푦 = 푒− sin 푥 [ ∫ 푒sin 푥 . 2 sin 푥 cos 푥 푑푥 + 퐶 ]
푦 = 푒− sin 푥 (2 sin 푥 . 푒sin 푥 − 2푒sin 푥 + 퐶 )
푦 = 2 sin 푥 − 2 + 퐶 푒−푠푖푛푥
푦 + 2 = 2 sin 푥 + 퐶 푒− sin 푥
b. Cara Lagrange
푑푦 + (푦 − 2 sin 푥) cos 푥 푑푥 = 0
푑푦 + (푦 cos 푥 − 2 sin 푥 cos 푥)푑푥 = 0
푑푦
+ 푦 cos 푥 = 2 sin 푥 cos 푥 = 0
푑푥
푑푦
푑푥
+ 푦 cos 푥 = 2 sin 푥 cos 푥
푑푦
푑푥
+ 푦 cos 푥 + 0
푑푦
푑푥
= −푦 cos 푥
푑푦
푦
= − cos 푥 푑푥
∫ 푑푦
푦
= −∫ cos 푥 푑푥

10. 10
ln 푦 = − sin 푥 + 퐶
푒ln 푦 = 푒− sin 푥+퐶
푦 = 푒− sin 푥+퐶
푦 = 푒− sin 푥+퐶 . 푒퐶 misal : 푒퐶 = 퐶
푦 = 푒− sin 푥+퐶 . 퐶 (kedua ruas di ln kan)
ln 푦 = ln 푒− sin 푥 . ln 퐶 pandang C sebagai fungsi x
ln 푦 = ln 푒− sin 푥 . ln 퐶 (푥) differensial ke x
1
푦
. 푑푦
푑푥
= 1
퐶 (푥)
. 푑퐶 (푥)
푑푥
− cos 푥 dikali y
푑푦
푑푥
= 푦
퐶(푥)
. 푑퐶 (푥)
푑푥
− 푦 cos 푥
푄 = 푑푦
푑푥
+ 푦 cos 푥
= 푒 − sin 푥 . 퐶 (푥)
퐶 (푥)
. 푑퐶 (푥)
푑푥
2 sin 푥 cos 푥 = 푒− sin 푥 . 푑퐶 (푥)
푑푥
2 sin 푥 cos 푥 푑푥 = 푒− sin 푥 . 푑퐶(푥)
푑퐶 (푥) = 2 sin 푥 cos 푥 푑푥
푒 − sin 푥
∫ 푑퐶(푥) = ∫ sin 푥 cos 푥 푒sin 푥 푑푥
퐶(푥) = 2 sin 푥 . 푒sin 푥 − 2 푒sin 푥 + 퐶
푠푢푏푠푖푡푢푠푖 푛푖푙푎푖 퐶(푥) 푘푒 푦
푦 = 푒− sin 푥 . 퐶(푥)
푦 = 푒−푠푖푛푥 . (2 sin 푥 . 푒sin 푥 − 2 푒푠푖푛 + 퐶)
푦 = 2 sin 푥푒푠푖푛 푥−sin 푥 − 2 푒sin 푥−sin 푥 + 퐶 푒− sin 푥
푦 = 2 sin 푥 − 2 + 퐶 푒− sin 푥
푦 + 2 = 2 sin 푥 + 퐶 푒− sin 푥

11. 11
III. Soal Latihan
Carilah jawab Persamaan Differensial Linear berikut .
1.
푑푦
푑푥
+ 푦 = 푒푦

12. 12
2.
푑푥
푑푦
− 4푦 = 6푦2

13. 13
3. (푥 2 + 1) 푑푦
푑푥
+ 푥푦 = 푥 2

14. 14
4.
푑푦
푑푥
= 푦 sin 푥

15. 15
5.
푑푦
푑푥
= sin 푥−(푥−푦) cos 푥
sin 푥