1. TEMA 8
OPTIMITZACIO AMB RESTRICCIONS
Tenim , el plantejament del problema [P] és optimitzar una f(x) s.a. una
sèrie de restriccions que venen donades por una funció g(x).
Per exemple, amb connotació econòmica serveix per fer un pressupost o bé tenim una
quantitat de m/p i les hem de gastar totes i ens fan la pregunta de quina seria la
manera de gastar-les totes però tenint el menor possible de despeses.
Per aquest tipus de problemes començarem amb:
- f.o.  Funció objectiu
- x=(x1, x2, ... xn) variables de decisió.
- Conjunt factible ={ | ( ) ( )
MÈTODE DE LAGRANGE
Es construeix una funció anomenada lagrangiana definida per les variables de la funció
objectiu. Té la següent forma:
( ) ( ) ( ( ) )
En el cas de que tinguéssim una funció de dues variables.
La lambda s’anomena multiplicador de Lagrange o preus ombra.
També és necessari definir què és un punt regular: un punt és regular si i només si el
vector gradient de les restriccions són linealment independents, és a dir, no és nul.
El multiplicador de Lagrange és una taxa de variació, la qual si és positiva (per
exemple: si produeixo una unitat més tindré benefici). Si es tractés d’una recta
pressupostària la qual diu que com a màxim em vull gastar 20 um i la diu que, si
augmento una unitat el preu pressupost, augmentarà o disminuirà la meva utilitat. Això
bé definit pel signe de la lambda.
TEOREMA DELS MULTIPLICADORS DE LAGRANGE (TML)
Condició necessària de primer ordre (CNPO)
i. Tenim f.o. que pertany a C²
ii. Restriccions que pertanyen a C¹
iii. X és regular
iv. X és un punt crític ja que el gradient de la funció lagrangiana s’anul·la.
Condició suficient de segon ordre (CSSO)
- La HA f(x,y, ) és definida positiva MÍNIM CONDICIONAT

2. - La HA f(x,y, ) és definida negativa  MÀXIM CONDICIONAT
Per classificar si és definida positiva o negativa:
- Positiva: Els (n-m) últims menors principals diagonals tenen el mateix signe
donat per ( )
- Negativa: Els (n-m) últims menors principals diagonals tenen alternança de
signe començant per: ( )
De fet, tenim uns casos particulars que són els que nosaltres usarem:
- n= 2 m=1  D3
o Si D3<0 Mínim local.
o Si D3 >0 Màxim local.
- n=3 m=1  D3 i D4
o Si D3 >0 i D4 <0 Màxim local.
o Si D3 <0 i D4 <0Mínim local.
La Hessiana Ampliada és aquella que:
( ) (
( )
( )
)
EXEMPLE I
( )
1. Condicions TML:
a. És de classe ce-dos perquè és polinòmica i les parcials també
ho són. Per tant és contínua i diferenciable dues vegades. La restricció
és de classe ce-u pel mateix motiu. En aquest cas al derivar ens queda
dues constants.
b. Existeixen punts NO regulars? Amb una única restricció hem de mirar el
gradient d’aquesta:
( ) ( ) ( )
2. CNPO i funció lagrangiana
( ) ( ) ( )
( )
( )

3. ( ) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(4)+(5) ( ) ( ) ( )
(6)+(3) y=0 (8)
(6)+(3)+(8) =0 (9)
(7)+(3) y=-2/3 (10)
(10)+(7)+(3) =0 (11)
Finalment trobem que:
(6)+(8)+(9) PC(0,0,0)  Candidat a òptim (0,0)
(7)+(10)+(11) PC(2/3, -2/3 , 0)  Candidat a òptim (2/3, -2/3)
3. CSSO
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )