Διανύσματα

1. Διαγώνισμα
Μαθηματικά Κατ.
Εξεταζόμενο μάθημα
Β΄ Λυκείου
Τάξη
Ζαχαριάδης Γιώργος
Μάγκος Μιχάλης
Μπούρας Θάνος
Πλουμάκης Κώστας
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Καθηγητές
Κυριακή 24/11/2013
Ημερομηνία
ΘΕΜΑ Α
Α.1 Ορισμός σελ.41 σχολικού βιβλίου.
Α.2 Απόδειξη σελ.43 σχολικού βιβλίου.
Α.3
α.
β.
γ.
δ.
ε.
Λάθος
Λ ά θο ς
Σωστό
Λάθος
Λάθος
ΘΕΜΑ Β
Β.1
α = (λ , 2) και β = (3 , 1) , λ  R
λ
3
2
 0  λ-6=0  λ=6.
1
α.
α // β  det(α , β) = 0 
β.
α  β  α  β = 0  3λ+2  0  λ= -
γ.
α - 2β = (λ , 2) - 2(3 , 1) = (λ , 2) - (6 , 2) = (λ - 6 , 0).
2
.
3
α - 2β / / y ΄ y  λ – 6 = 0  λ = 6 .
δ.
   π
   α  β
2
α , β =
, άρα συν  α , β  =



4
2



 αβ
6 λ+4>0  λ>2
3λ+2
2
λ 4
10

2
3
2 λ  4 10  6λ+4

20λ2  80  36 λ2  48λ+16 
5λ2  20  9λ2  12λ+4  4λ2 +12λ - 16 = 0 
λ2 + 3λ - 4 = 0  λ = - 4(απορρίπτεται) ή λ = 1
Σελίδα 1 από 4

2. α = 1 , β = 2 , γ = 2 , μ ε α - β + 2γ = 0 ,
Β.2
α = β - 2γ , άρα α 2  β 2  4β  γ + 4γ 2  1  4  4β  γ +8  β  γ =
11
4
β = α + 2γ , άρα β 2  α 2  4α  γ + 4γ 2  4  1  4α  γ +8  α  γ = -
5
4
2γ = β - α , άρα 4γ 2  β 2  2α  β + α 2  8  4  2α  β +1  α  β = -
3
2
Α= 
3
11
5
33
 2
  .
2
4
4
4
ΘΕΜΑ Γ

Γ.1
 a , a  2   
3
α.



a , a  2 

3
κ α ι a  2  2 a .



, άρα συν a, a  2 

α  α + 2β
α α + 2β
1α
 2α  β

α 2 α
2
2
2 α  2α2  4α  β  α  β = 0. Ά ρ α α  β .
2
2
γ.
αβ=0
2
a  2  2 a  a  2  4 a  α2  4α  β + 4β 2  4 a  4 β  3 a   
β.
2
2
2
3
a.
2
a· 4  a   4 2   2  4α  γ - α2  4β2  γ 2  4α  γ - α2  3α2  γ 2 
4α2  4α  γ  γ 2  0   2α - γ   0  2α - γ  0  2α - γ  0  2α - γ = 0  γ =2α .
2
Άρα:
Γ.2
α.
a
2
.
α = - 2i  3 j = ( - 2 , 3) , β = 3i  5 j = (3 , -5) .
γ = 2α + β = 2 (-2 , 3) + (3 , - 5) = ( - 4 , 6) + (3 , - 5) = (-1 , 1).
Σελίδα 2 από 4

3.  1
Άρα γ 
β.
2
 12  2
α2 =  2  2 +32 =13.
α  β =  2   3  3   5 = - 21.
α  γ =  2    1  3 1= 5.
Ά ρ α : Α = α2 + α  β + 3α  γ = 13 - 21 +15 = 7.
γ.
λγ 
1
 1.
1
Ά ρ α γ ι α τ η γ ω ν ί α ω π ο υ σ χ η μ α τ ί ζε ι τ ο δ ι ά ν υ σ μ α γ μ ε τ ο ν ά ξ ο ν α x ΄ x θ α
ι σ χ ύ ε ι ε φ ω = - 1 κ α ι ε π ε ι δ ή τ ο γ β ρ ί σ κ ε τ α ι σ τ ο 2 ο τ ε τ α ρ τ η μ ό ρ ιο θ α ε ί ν α ι :
ω = 1350.
δ.
   βγ
3  5
8
8
4
.
συν  β , γ  




9  25 2
34 2
17 2 2
17

 βγ
ΘΕΜΑ Δ
ΑΒ = 2α + β , ΑΓ = - 3β , α  β  1 κ α ι
α.
α  β = α  β συν
2π
1
=- .
3
2
α,β = 2π .
3
 4β + 2α  16β  16α  β + 4α  16  8  4  12
α - β   α - β  α  2α  β + β  1  1  1  3 . Άρα:
2
2
2
2
2
2
2
α-β  3 .
β.
i.
AB  ΑΓ 2α + β -3β 2α - 2β


 α - β.
2
2
2
ΒΓ = ΑΓ - ΑΒ =β-3 2α β = - 2α - 4β .
ΑΜ 



i i . ΑΜ  ΒΓ = α - β  2α - 4β  2α2  4α  β + 2α  β + 4β2  ...  3 .
AM  α  β  3
BΓ = -2α - 4β  2α + 4β  12





Ά ρ α : συν  AM , ΒΓ  
AM  ΒΓ
AM  ΒΓ




3
3 12

1
.
2


Ά ρ α η ζ η τ ο ύ μ ε ν η γ ω ν ί α  AM , ΒΓ  ε ί ν α ι 6 0 0 .
Σελίδα 3 από 4

4. iii.
Α
Β
Μ
Γ
Δ
ΑΔ  ΑΒ + ΒΔ = ΑΒ + ΑΓ = 2α + β - 3β = 2α - 2β. Άρα ΑΔ  2α - 2β .
BΓ=ΑΓ - ΑΒ = - 3β - 2α - β = - 2α - 4β. Άρα BΓ  - 2α - 4β .
i v . ΑΜ  α - β  3

  4α  4α  β + β  3 . Ά ρ α : AB 
AB  AM   2α + β    α - β   2α  2α  β + α  β - β  2α  α  β - β
2
2
AB  2α + β  2α + β
2
2
3.
2
2
2
2
2
1
3
 2  1  .
2
2
3
1

 AB  ΑΜ
Ά ρ α : συν  AB , ΑΜ  
 2  .

 AB  ΑΜ
3 3 2

Ά ρ α η ζ η τ ο ύ μ ε νη γ ω ν ί α ΒΑΜ ε ί ν α ι 6 0 0 .



( Π αρ ατ η ρ ή σ τ ε ό τ ι AB  ΑΓ  2α +β  - 3β  6α  β-3β2  3  3  0 , δ η λ αδ ή τ ο τ ρ ί γ ων ο
Α Β Γ ε ί ν αι ο ρ θο γ ών ιο κ αι ε π ί σ η ς τ ο π αρ / μ ο Α Β Δ Γ ε ίν αι ο ρ θο γ ώ νι ο !
Θ α μ π ο ρ ού σ ατ ε λ ο ιπ ό ν ν α δ ο υ λ έ ψ ε τ ε και μ ε τ η βο ή θ ε ι α τ η ς Γ ε ω μ ε τ ρ ί ας ! )
Επιμέλεια:
Σελίδα 4 από 4