2. Analiştii de semnal dispun de un impresionant arsenal de
instrumente. Poate cel mai cunoscut dintre ele este analiza Fourier,
care descompune semnalul într-o sumă de sinusoide de diferite
frecvenţe, amplitudini sau faze.
Analiza Fourier poate fi interpretată ca o tehnică matematică
pentru transformarea percepţiei semnalului din domeniul timp (ca
funcţie de timp) în domeniul frecvenţă (ca o funcţie de frecvenţă).
21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
1. Ferestre de timp şi de frecvenţă
3. Analiza Fourier este folositoare deoarece frecvenţele conţinute
de semnal prezintă o mare importanţă, oferind o serie de informaţii
despre semnal.
Analiza Fourier are totuşi şi un dezavantaj. Prin transformarea
semnalului de timp într-unul de frecvenţă informaţia despre timp este
pierdută. De asemenea, dacă se cunoaşte transformata Fourier a
semnalului în domeniul timp, este imposibil să spunem când anume a
avut loc un eveniment de timp.
Considerăm un semnal oarecare . . Pentru acest semnal
definim:
)(tf
−=
−=
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
−
inversăFouriertatransformadeFtf
directăFouriertatransformadtetfF
tj
tj
ωω
π
ω
ω
ω
|
)(
2
1
)(
)()(
Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)21-Jan-13
4. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Se observă că dacă dispunem de putem spune orice
despre conţinutul de frecvenţă al semnalului dar nu ştim nimic
despre . Pentru a avea o informaţie despre la o anumită
frecvenţă ω este nevoie să integrăm pe un interval de timp infinit,
pierzându-se astfel informaţia temporală punctuală. Dual, transformata
Fourier inversă oferă informaţie completă în domeniul timp integrand
pe un domeniu infinit în frecvenţă. Se constată
că există o dualitate timp/frecvenţă: informaţie completă într-un
domeniu (timp sau frecvenţă) conduce la lipsă de informaţie totală în
domeniul dual (frecvenţă sau respectiv timp). în practică majoritatea
semnalelor conţin numeroase caracteristici nestaţionare sau tranzitorii:
schimbări abrupte de nivel, formă, fază sau declanşarea sau terminarea
unor evenimente. Cum analiza Fourier nu a fost concepută pentru a
detecta sau surprinde aceste caracteristici (care se produc pe intervale
scurte sau foarte scurte de timp), a fost nevoie de tehnici noi pentru
corectarea deficienţei prezentate anterior. Astfel a apărut:
Analiza Fourier pe timp scurt (Short-Time Fourier Analysis)
)(ωF
)(tf
)(tf f
)(tf
)(ωF
5. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
În 1946 Dennis Gabor a adaptat transformarea Fourier pentru
a analiza semnalul pe porţiuni mici de timp, tehnică numită ferestruirea
(windowing) semnalului. Această adaptare a lui Gabor, numită
transformarea Fourier pe timp scurt, Short-Time Fourier Transform
(STFT), mapează semnalul de timp într-o funcţie bidimensională, de
timp şi de frecvenţă.
Short-Time Fourier Analysis
6. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
În practica analizei Fourier, un semnal continuu în timp este
ferestruit cu o fereastră de o anumită dimensiune . Spectrul discret
de frecvenţe se obţine utilizând un algoritm discret numit - Discret
Fourier Transform.
Ferestruirea în timp are, evident, un corespondent în domeniul
frecvenţă. Astfel, este binecunoscut faptul că spectrul de frecvenţe al
unui semnal eşantionat este unul periodic determinat prin repetarea
spectrului semnalului neeşantionat centrat pe multipli ai frecvenţei de
eşantionare.
Ferestruirea în timp sau în frecvenţă creează însă nişte efecte
secundare, unul dintre acestea şi poate cel mai important fiind
fenomenul Gibbs.
T∆
7. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
1.1. Fenomenul Gibbs
Fenomenul Gibbs :
•Apare la reconstituirea semnalelor discontinue pe baza spectrului dat
de integrala Fourier .
•Constă în apariţia unor oscilaţii în jurul unor tranziţii abrupte în
frecvenţă (frecvenţă de tăiere).
Atât în proiectarea filtrelor numerice cât şi la estimarea
densităţii de putere spectrală, alegerea unei funcţii de ferestruire
(ferestre) joacă un rol important în determinarea calităţii rezultatelor
obţinute.
Rolul principal al ferestrei constă în diminuarea efectelor
fenomenului Gibbs provocat de trunchierea unei serii de timp infinite.
8. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Exemplu:
Pentru a proiecta un filtru - Finite Impulse Response prin
ferestruire, se porneşte de la răspunsul său ideal în frecvenţă
(caracteristica de frecvenţă dorită) , se calculează răspunsul la
impuls (ce reprezintă - Infinite Impulse Response) şi apoi se
trunchiază (ferestruieşte) răspunsul la impuls pentru a obţine un număr
finit de coeficienţi.
Trunchierea răspunsului ideal la impuls conduce la un
efect cunoscut ca fenomenul Gibbs şi constă într-un comportament
oscilant în jurul unor tranziţii abrupte în frecvenţă (frecvenţa de tăiere).
Dacă vom calcula răspunsul în frecvenţă al filtrului FIR obţinut
vom constata oscilaţii în frecvenţă în jurul frecvenţei de tăiere.
Se observă că:
•ferestruirea se face în timp (se trunchiază semnalul în domeniul timp)
•fenomenul Gibbs se manifestă în domeniul frecvenţă.
)(ωH
)(th
)(th
9. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
•Dacă ferestruirea se face în frecvenţă, atunci fenomenul Gibbs se va
observa în domeniul timp.
•Ferestruirea în frecvenţă apare inerent la sinteza unui semnal periodic
pe baza coeficienţilor Fourier.
•Sumarea efectivă nu se poate face practice pentru un număr infinit de
frecvenţe.
•Semnalul de timp aproximat se va sintetiza prin sumare finită, deci
practic spectrul semnalului periodic aproximat se obţine prin
ferestruirea în frecvenţă a spectrului semnalului original.
Concluzie:
Fenomenul Gibbs este reprezentat de oscilaţii ale semnalelor
sintetizate în jurul punctelor de discontinuitate (în timp sau în
frecvenţă), oscilaţii datorate ferestruirii semnalelor în domeniul
complementar (în frecvenţă, respectiv timp).
10. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Tipuri de ferestre:
•1. Fereastra dreptunghiulară de frecvenţă
•2. Fereastra triunghiulară de frecvenţă
•3. Fereastra Hamming
•4. Ferestre Cosinus Generalizate
1.2. Ferestre de semnal în domeniul frecvenţă
11. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
1. Fereastra dreptunghiulară de frecvenţă
Fie un semnal în domeniul timp şi transformata sa Fourier.
Considerăm o trunchiere de bandă finită a acesteia, astfel:
care rescrisă sub forma unde este un
impuls dreptunghiular unitar de frecvenţă de lăţime , centrat în
(figura a)
a) Reprezentare intrare-ieşire b) Caracteristica de frecvenţă
)(tu )(ω
∧
u
>
≤
=
∧
∧
B
Bu
uB
ω
ωω
ω
,0
),(
)(
)()()( ωωω BB puu
∧∧
= )(ωBp
B2
0=ω
12. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Semnalul de ieşire din acest sistem va fi o aproximaţie a
semnalului iniţial de intrare. Conform relaţiei generale de convoluţie
obţinem:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Funcţia pondere astfel determinată este cunoscută: forma ei
exprimă faptul că sistemul astfel definit este necauzal.
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−= ττττττ dtuwdutwtu DDB )()()()()(
)(sinsin
1
2
1
2
1
)( Btc
B
Bt
t
e
jt
detw B
B
tj
B
B
tj
D
πππ
ω
π
ωω
==== −
−
∫
( ) ( )∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−=−= τττ
π
τττ
π
dtuBc
B
dutBc
B
tuB )(sin)()(sin)(
13. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Forma sa de undă sugerează ca dacă în (2.3) este un punct
de discontinuitate a lui , atunci pe măsură ce “alunecă”
spre discontinuitate creşte frecvenţa oscilaţiilor, dar amplitudinea
maximă a oscilaţiilor rămâne constantă.
Fie, de exemplu, funcţia treaptă, adică . Deducem:
Considerăm funcţia specială (neexprimabilă prin funcţii elementare)
sinus integral:
(2.4)
Deducem că:
t
)(tu )(⋅Dw
)()( ttu 1=
∫∫∫∫ ∞−∞−∞−
∞
∞−
===−=
BtBtt
DB dcdd
B
dwttu λλ
π
λ
λ
λ
π
τ
τ
τ
π
τττ )(sin
1sin1sin1
)()(1)(
λλ dcxSi
x
∫=
0
)(sin)(
)(
2
1
)(sin
1
)(sin
1
)(sin
1
)(
0
0
BtSidcdcdctu
Bt Bt
B +=+== ∫ ∫ ∫∞− ∞−
λλ
π
λλ
π
λλ
π
14. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Expresia (2.4) este reprezentată în figura de mai jos:
Mărirea lui B (lăţimii ferestrei, a benzii de frecvenţă) conduce la
apropierea momentului maximului de t = 0 , dar nu-I afectează
amplitudinea de 1.094.
Creşterea lărgimii de bandă a sistemului definit de fereastra
dreptunghiulară nu face decât să comprime oscilaţiile către punctul de
discontinuitate; în punctul de discontinuitate se va manifesta o eroare
sistematică de 9% (fenomenul Gibbs).
15. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
2. Fereastra triunghiulară de frecvenţă
(2.5)
Caracteristică de frecvenţă este impulsul triunghiular unitar din figura
de mai jos:
b) Caracteristica de frecvenţă
Semnalul de ieşire din acest sistem va fi o aproximaţie a
semnalului de intrare iniţial. Conform relaţiei generale de
convoluţie obţinem:
(2.6)
>
<−
=Λ
B
B
BB
ω
ω
ω
ω
,0
,1
)(
τττ dutwtu DB )()()( ∫
∞
∞−
−=
)(tu
16. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
unde este funcţia pondere a ferestrei triunghiulare de
frecvenţă. Aceasta se obţine din transformata Fourier inversă a lui
:
(2.7)
Fie, funcţia treaptă, . Din relaţia (2.5) deducem:
(2.8)
de
B
detw tj
B
B
B
B
tj
BD
ωω
ω
π
ωω
π ∫ ∫− −
−=Λ= 1
2
1
)(
2
1
)(
)()( ttu 1=
τλλλτττ −==−= ∫∫ ∞−
∞
tdwdtwtu
t
DDB ,)()(1)()(
0
)(twD
)(ωBΛ
17. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
3. Fereastra Hamming
Caracteristica de frecvenţă a acestei ferestre este:
Pe măsură ce lăţimea ferestrei Hamming de frecvenţă creşte
(odată cu creşterea lui ), lăţimea lobului central de timp a ferestrei
corespondente de timp se îngustează, iar frecvenţa lobilor laterali
creşte.
Aproximarea semnalului treaptă unitară este mai bună.
>
<+
=
B
B
BwHM
ω
ω
πω
ω
,0
,cos46.054.0
)(
18. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
4. Ferestre Cosinus Generalizate
•ferestrele Blackman, Flat Top, Hamming, Hann şi rectangulare sunt
toate cazuri speciale de ferestre cosinus generalizate.
•sunt o combinaţie de secvenţe sinusoidale cu frecvenţele 0, şi
2 .
Ferestrele pot fi descrise în general sub forma:
unde A, B şi C sunt constante pe care putem să le definim.
B
πω
B
πω
⋅+
⋅+=
B
C
B
BAW
πωπω
ω 2coscos)(
19. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Conceptul din spatele acestor ferestre este că prin sumarea
termenilor individuali din definiţia ferestrelor, vârfurile frecvenţelor joase
se combină în frecvenţă de o asemenea manieră încât amplitudinea
lobilor laterali să scadă. Efectul secundar este însă creşterea lăţimii
lobului principal.
•ferestrele Hamming şi Hann sunt ferestre cosinus generalizate cu doi
termeni
•fereastra Blackman este o fereastră cu trei termeni
•Fereastra cu vârf plat (Flat Top window) este o fereastră cu 5 termeni
şi este folosită pentru calibrare.
Fereastra Blackman are mai multe variante. Forma originală
este:
în care coeficienţii au următoarele valori:
+
+
+=
B
a
B
a
B
aaW
πωπωπω
ω 3cos2coscos)( 3210
20. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Fereastra dreptunghiulară în domeniul timp
(3.1)
Egalitatea:
(3.2)
sugerează faptul că aplicarea ferestrei de timp se traduce într-o
convoluţie în domeniul frecvenţă. Relaţia (3.2) înseamnă de fapt
trecerea semnalului printr-un sistem a cărui caracteristică de
frecvenţă este (vezi figura de mai jos)
a) Reprezentare intrare-ieşire b) Caracteristica de frecvenţă
1.3. Ferestre de semnal în domeniul timp
>
≤
=
Bt
Bttu
tuB
,0
),(
)(
λλλω
π
λλωλ
π
ω dupdupu BBB )()(
2
1
)()(
2
1
)(
∧∞
∞−
∧∧∞
∞−
∧∧
∫∫ −=−=
)(ωu
)()( ωω BpjH
∧
=
21. 21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
Caracteristica de frecvenţă a ferestrei dreptunghiulare din
figura b) va fi:
(3.3)
Cu (3.3), relaţia (3.2) se scrie sub forma:
Toate rezultatele care s-au obţinut pentru ferestrele de
frecvenţă vor fi valabile şi în domeniul timp.
)(sin2sin
21
)( ωω
ωω
ω ωω
BcBBe
j
dtep B
B
tj
B
B
tj
B ⋅==−== −
−
−
−
∧
∫
λλλω
π
λλωλ
π
ω duBc
B
duBc
B
uB )())((sin)()(sin)(
∧∞
∞−
∧∞
∞−
∧
⋅−⋅=−⋅⋅= ∫∫
22. Va multumim pentru atentie !
21-Jan-13 Prelucrarea matematică a semnalelor (PMS)
