Theorems useful in signal processing

1. Tehnici (Transformate) utilizate in procesarea
semnalelor analogice
• Convolutia:
– concept de baza in procesarea
semnalelor care afirma ca semnalul de
IN poate fi combinat cu diferite functii
ale sistemului pt. determinarea
marimii de IE;
• Transformata Fourier
– Descompune un semnal intr-un sir de
componente sinusoidale de frecvente
diferite, facand trecerea din domeniul
frecventa in domeniul timp, realizand
calculul amplitudinii si fazei semnalului
transformat
• Transformata Laplace
– Transformata Fourier generalizata care
transforma un semnal sau un sistem
intr-un nr. complex
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
y t x h t x h t dτ τ τ= × × = × − ×∫
( ) ( ) j t
X j x t e dtω
ω
∞
−
−∞
= ×∫
( ) ( ) st
X s x t e dt
∞
−
−∞
= ×∫

2. Analiza Fourier
• Analiza Fourier este extrem de utilă pentru procesarea
datelor, deoarece descompune un semnal într-un şir de
componente sinusoidale de frecvenţe diferite, făcând
trecerea din domeniul timp în domeniul frecvenţă,
realizând calculul amplitudinii şi fazei variabilelor (datelor,
semnalelor) transformate.
• Pentru eşantionarea datelor vectoriale, analiza Fourier
utilizează transformata Fourier discretă (discrete Fourier
transform-DFT).
• Transformata Fourier rapidă - FFT (Fast Fourier
Transform) este un algoritm foarte eficient pentru
calcularea transformatei Fourier, sau a transformatei
Fourier discrete (DFT).

3. Transformata Fourier
• Unealta matematică pentru analiza unui semnal în domeniul
frecvenţei care poate lua diferite forme în funcţie de semnalul
analizat.
• Ceea ce au în comun aceste semnale este faptul că sunt alcătuite
dintr-un număr de componente sinusoidale de frecvenţe diferite,
fiecare având o anumită amplitudine şi fază iniţiale.
• Transformata Fourier face conversia unui semnal din domeniul
timp într-un semnal discret în domeniul frecvenţei.
• Dacă g(t) este un semnal neperiodic exprimat ca funcţie de timp,
transformata Fourier a funcţiei g(t) este dată de expresia integrala:
∑
∞
∞−
−= dtftjtgfG )2exp()()( π

4. Transformata Fourier Rapida-FFT
• Transformata Fourier rapidă (FFT) este o metodă eficientă de calcul a
transformatei Fourier discrete.
• Transformata Fourier discretă poate fi exprimată prin relaţia:
• FFT reduce numărul de calcule matematice necesare pentru calculul
transformatei Fourier discrete (DFT). De exemplu, dacă o secvenţă
are N puncte, pentru calculul DFT sunt necesare N2
operaţii iar pentru
calculul FFT sunt necesare doar N/2 log2(N) înmulţiri şi împărţiri
complexe.
• FFT poate fi utilizată si pentru calculul spectrului puterii unui semnal,
pentru filtrarea digitală a semnalelor sau pentru obţinerea corelaţiei
dintre 2 semnale.
∑
−
=
−=
1
0
)/2exp(][][
N
n
NnkjngkG π

5. Distorsiunea Totala a Armonicilor unui Semnal-
THD(Total Harmonic Distorsion)
• Distorsiunea armonică aproximează forma de undă
a unui semnal (curent, tensiune, putere etc.) cu
fundamentala acestuia.
• Pentru seria Fourier, distorsiunea armonică
procentuală, pentru fiecare componentă este dată
de una din relaţiile:
%100*...[%]
2
1
2
1
3
2
1
2






++





+





=
A
A
A
A
A
A
THD n
%100*
...
[%]
1
22
3
2
2
A
AAA
THD n+++
=

6. Transformata Laplace
• Transformata Laplace a unui
semnal in timp continuu x(t) poate
fi exprimata prin relatia:
• Poate fi reprezentata in planul s in
doua dimensiuni, cu σ de-a lungul
axei reale si pulsatia Ω pe axa
imaginara.
( ) ( ) st
X s x t e dt
∞
−
−∞
= ×∫
s jσ= + ×Ω

7. TehniciTehnici (Transformate)(Transformate) utilizate in procesareautilizate in procesarea
semnalelor digitalesemnalelor digitale
• Corelatia (autocorelatia);
• Convolutia (produsul de convolutie);
• Transformata Fourier Discreta (TFD-fft);
• Transformata z;
• Transformata Hilbert;
• Transformata Wavelet.

8. CORELATIA
• Permite recunoasterea
sau identificarea
semnalelor emise (radar,
ECG);
• Pt. un semnal (secventa)
de IN x[n] si o secventa
data(sablon) h[n] de
lungime ct. M, corelatia se
defineste:
1
[ ] [ ] [ ( 1) ]
0
M
n k n M k
k
y h x
−
− − +
=
= ×∑

9. CONVOLUTIA
• Este unul dintre cei mai importanti
algoritmi utilizati in procesarea
numerica a semnalelor;
• La convolutia dintre coeficientii unui
sistem liniar si semnalul de IN (x[n]),
esantionul curent de IE se obt. ca
suma ponderata a ultimelor N
esantioane ale semnalului de IN;(pt.
calculul esantionului de IE sunt
necesare N inmultiri si N-1 adunari);
• Convolutia semnalelor poate fi
determinata:
– Direct:utilizand formula de def.;
– Indirect: utilizand transformata
Fourier (se calculeaza transf. Fourier,
se face produsul semnalelor si apoi se
calculeaza transformata Fourier
inversa);
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n k n k n ny h x h x−= × = ×∑

10. Transformata Fourier discreta-TFD
• Ofera informatii despre spectrul de frecventa al unui
sistem (spectrul unui semnal discret);
• Este utilizata pt. esantionarea datelor vectoriale
(multimea semnalelor armonice in care semnalul
discret poate fi descompus);
• Transforma N esantioane ale unui semnal din
domeniul timp in N valori complexe din domeniul
frecventa;
0
0
1
[ ] [ ]
0
{ } [ ] ; 0,1,2,..
N
jn kTe
nTe TFD n
k
TFD u U u kTe e n
−
− Ω ×
Ω
=
= = × =∑

11. Conversia din domeniul timp in domeniul
frecventa utilizand TFD

12. Legatura dintre Transformata Fourier si
Transformata Fourier discreta
• Considerand ca tensiunea u[nTe]provine din tensiunea
u(t), esantionata cu frecventa fe=1/Te, atunci TFD poate
fi privita ca un caz particular al Transformatei Fourier
in care:
0
0
1
[ ]
0
[ ]
; ;
( ) ( )
( )
e
e e
N
jk nTj t
nT e
k
e TFD n
t n T dt T k
F j u t e dt u e T
F j T U
ω
ω
ω
ω
∞ −
− Ω ×−
=−∞
Ω
= × = = ×Ω
= × → ×
→ ×
∑∫

13. Transformata Fourier discreta rapida
• Algoritm de calcul f. eficient pt. analiza unui
semnal in raport cu frecventa;
• Reduce nr. de calcule matematice de la N2
operatii la N/2 * log2(N);
• Daca aplicam TFD unei secvente de N date,
semnalul caruia ii va corespunde spectrul
rezultat se obtine multiplicand prin periodicitate
aceasta secventa (daca secventa nu contine un
nr. intreg de perioade spectrul rezultat nu este
corect);

14. Spectrul dat de TFD pt. o secventa de date

15. Transformata z
• Este o unealta matematica f. utila pt. analiza si
proiectarea semnalelor in timp discret;
• Plecand de la Transf. Fourier in timp discret a unui
semnal x[n] si notand variabila complexa z=ejω
se obtine
transformata z a semnalului:
( ) [ ] n
n
X z x n z
∞
−
=−∞
= ×∑

16. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Procesorul de semnal (DSP) nu poate opera cu ambele concepte
simultan.
Pentru a calcula ieşirea unui sistem pentru un semnal de intrare dat,
trebuie să-i furnizăm o metodă de calcul a rezultatului logică, pas cu
pas.
Suntem deci în faţa unei dileme: dacă semnalul de intrare este o serie
secvenţială de pulsuri numerice, deci un semnal în domeniul timp şi
sistemul este descris prin răspunsul său în frecvenţă, cum va executa
DSP –ul acest program ?
• Transformăm semnalul de intrare în domeniul frecvenţă;
• Transformăm răspunsul sistemului în domeniul timp.
Amândouă tipurile de transformări sunt utilizate în procesarea numerică
a semnalului.
Adesea transformăm răspunsul în frecvenţă în domeniul timp pentru a
ne permite să construim filtre numerice.

17. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
• Cu filtrele FIR sau IIR producem o reprezentare în
domeniul timp a răspunsului filtrului, pe care îl
combinăm cu semnalul de intrare pentru a calcula
ieşirea rezultantă.
• Altă metodă este de a converti semnalul de intrare în
domeniul frecvenţă, care este extrem de util când
dorim să înţelegem caracteristicile de frecvenţă ale
unui semnal.
De exemplu, cunoaşterea răspunsului în frecvenţă a
unui canal de telecomunicaţii este extrem de utilă.
Aceasta ne permite să decidem care este frecvenţa
maximă pe care o putem transmite şi ce distorsiune va
căpăta semnalul după străbaterea canalului.

18. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
• Alt exemplu este în analiza vorbirii. Prin transformarea
semnalului de vorbire în componente de frecvenţă, putem
distinge între vorbitori şi putem determina cuvintele rostite.
Aceasta este foarte util în recunoaşterea şi identificarea
vorbirii, două aplicaţii care au crescut în interes o dată cu
creşterea performanţelor DSP –urilor.
• Alt exemplu foarte evident al transformării unui semnal din
domeniul timp în domeniul frecvenţă este în analizoarele
de spectru, care sunt acum în uz general în majoritatea
laboratoarelor electronice. Analizoarele de spectru pot fi
utilizate pentru a examina ieşirea de la senzorii ataşaţi
structurilor mecanice, de exemplu: poduri, unde o
schimbare semnificativă în răspunsul în frecvenţă poate
însemna o solicitare excesivă a unei anume părţi a structurii
şi ruperea în viitorul imediat.

19. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Jean Baptiste Joseph Fourier a obţinut formulele sale clasice
în anul 1822 !
În lucrarea lui Fourier intitulată
Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides
, la paginile 218 și 219, se pot citi următoarele:
Înmul ind ambele păr i cuț ț
i apoi integrând de laș la
rezultă:

20. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Modelul fazorului
Ca un punct de plecare, avem nevoie de o metodă simplă
pentru descrierea unui semnal. Vom utiliza modelul
fazorului.
Un fazor este de fapt un
vector care se roteşte în
planul complex, cu o
amplitudine A şi o viteză
de rotaţie ω rad/sec.

21. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Dacă luăm un moment instantaneu de timp, putem
vedea că semnalul în acel moment, x(t) este dat de:
X(t) = (coordonata reală) + j (coordonata imaginară) = a + jb
unde:

22. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Cealaltă metodă, este forma polară, unde:
x(t) = A ej(ωt)
şi
ej(ωt)
= cos (ωt) + j sin(ωt)

23. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Descrierea fazorului poate fi cu uşurinţă extinsă la timpul discret sau
sisteme numerice, unde semnalul se produce numai la intervale
specifice de timp, definite prin intervalul de eşantionare TS:
x(n) = Aej(nωTs)
Astfel în loc de variabila continuă timp t, avem acum o variabilă
discretă n, astfel că fazorul avansează în salturi de TS.
Luând oricare dintre cazuri, continuu sau discret, dacă avem o
valoarea iniţială pentru x:
x(0) = Aej(α)
Putem obţine forma generală pentru ambele ecuaţii, după cum
urmează:
x(t) = Aej(ωt+α)
sau x(n) = Aej(nωTs+α)
Aceste simple ecuaţii formează baza tuturor analizelor următoare.

24. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Modelarea sinusoidelor
Întorcându-ne la descrierea lui ej(ωt)
putem să îl rescriem
astfel:
ejθ
= cosθ + jsinθ
de asemenea:
e-jθ
= cosθ – jsinθ.
unde
θ = (ωt + α) sau (nωTS
+ α)
Din aceste două ecuaţii putem obţine următoarele relaţii:

25. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Aceasta înseamnă că un semnal general sinus sau
cosinus, x(t) poate fi definit ca suma a doi fazori. De
exemplu
Astfel semnalul nostru cosinus poate fi reprezentat prin
doi fazori care formează o pereche conjugată.

26. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Aceasta înseamnă că au aceeaşi valoarea reală (a) şi valori
egale şi de semn contrar pentru b. Putem calcula forma
fazorului a unei forme de undă sinusoidale şi vom găsi că
aceasta constă de asemenea într-o pereche conjugată de
fazori, însă semnul va fi diferit.

27. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
Să ne reamintim că fazorii noştri se rotesc în oricare
direcţie, în sensul acelor de ceasornic sau în sens
contrar şi că putem obţine o proprietate foarte
interesantă şi anume că toate semnalele reale trebuie
făcute din perechi conjugate de fazori, astfel că suma
vectorilor va fi întotdeauna legată de axa reală.

28. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
• Serii Fourier
Formele de undă mai complicate pot să fie de asemenea împărţite în mai multe
forme de undă sinus sau cosinus.
De exemplu, un tren de pulsuri dreptunghiulare constă într-un număr infinit de
forme de undă sinusoidale de o amplitudine variabilă.
Astfel, putem descrie orice semnal periodic complex ca o sumă de mai mulţi fazori.
O metodă de descriere a semnalului în acest mod este numită serii Fourier, care
presupune că setul fazorilor are frecvenţe care sunt multipli de anumite frecvenţe
fundamentale, f0 (sau frecvenţe unghiulare ω0)

29. Transformarea semnalelor în domeniul frecvenţă
• Serii Fourier
Orice semnal periodic poate fi reprezentat printr-o serie Fourier cu
condiţia ca N să fie destul de mare. Componentele individuale de
frecvenţă sunt cunoscute ca şi armonici.
Putem construi modelul Fourier mai general prin utilizarea fazorilor ai
căror frecvenţe nu sunt legate armonic care este în general cazul când
un semnal complex nu este periodic (majoritatea cazurilor în aplicaţiile
reale):
Orice formă de undă arbitrară poate fi reprezentată printr-o serie
Fourier de acest tip general.

30. Serii Fourier Discrete
• Acum avem nevoie să translatăm aceste ecuaţii continue în timp
în domeniul discret sau numeric pentru a ne permite să obţinem
anumite formule folositoare pentru DSP –uri.
• Analiza de mai sus poate fi extinsă la sisteme cu timp discret. Tot
ceea ce e necesar este să înlocuim funcţia continuă t, cu una care
progresează în salturi de ω0TS astfel că pentru cazul periodic
Este interesant de remarcat că atunci când saltul fazei pentru
armonica de ordinul k este dat de:
k ω0
TS
= 2πm
unde m este un întreg, faza nu se distinge de cazul când k =
0.

31. Aceasta se întâmplă deoarece 2 π = 3600
şi are loc când:
Aceasta înseamnă că răspunsul în frecvenţă al unui
semnal discret este periodic, cu o perioadă de 1/TS
.
Am utilizat acum modelul de fazor simplu pentru a
descrie un semnal discret general.
Utilizând această descriere putem merge mai departe să
explicăm cum putem face transformarea între domeniile
timp şi frecvenţă.

32. Semnale neperiodice – Transformata Fourier
În aplicaţiile reale, cele mai multe semnale nu sunt periodice, deci
trebuie să modificăm seria noastră Fourier ca să cuprindă aceasta.
Hai să considerăm seria Fourier generală unde toate frecvenţele
sunt legate armonic, deci
ωk = ωk0
Faptul că semnalul final nu este periodic poate fi reprezentat prin
ω0  0
Această ecuaţie pur şi simplu stabileşte că nu există “cel mai mic
numitor comun” în frecvenţele tuturor fazorilor noştri separaţi.
Când numărul fazorilor tinde către infinit şi suma noastră devine o
integrală:

33. În ecuaţia de mai sus am presupus că amplitudinea semnalului poate
fi definită ca o funcţie de frecvenţă (ω), deci x(ω). Ecuaţia “inversă”
care defineşte pe x(ω) este dată de:
Astfel, avem acum o ecuaţie care ne permite să calculăm amplitudinea
răspunsului unui semnal continuu în domeniul frecvenţă utilizând
răspunsul său în domeniul timp. Aceste două ecuaţii sunt numite perechea
de transformate Fourier.
Aceste formule sunt foarte utile pentru matematicieni însă, din nefericire,
nu este posibil să le implementăm pe un DSP.
Evident, acum este necesar un număr infinit de măsurători pentru a
determina funcţia x(ω). În practică, transformatele Fourier nu sunt în
realitate calculate; pur şi simplu utilizăm tabelele de perechi de
transformate Fourier care se găsesc tipărite în majoritatea cursurilor de
matematică sau de DSP

34. Transformata Fourier discretă (DFT)
Pentru a găsi echivalentul discret al transformatei Fourier, trebuie
să înlocuim variabila continuă t cu variabila discretă nTS.
În afara intervalului ±π/TS, spectrul se repetă; astfel putem
schimba limitele de integrare ωTS şi integrala devine acum:
Transformata inversă este:

35. Consideratii practice
Până acum, am introdus o metodă de descriere a unui semnal care
variază în timp, numită modelul fazorului.
Am raportat acest model la formele de undă sinus şi cosinus şi am
introdus seriile Fourier, care ne spun că orice semnal periodic poate
fi reprezentat printr-un număr de forme de undă sinusoidale
raportate armonic.
După ce am făcut seriile Fourier mai generale prin eliminarea relaţiei
dintre armonici am aplicat forma discretă a ecuaţiei care în final ne-
a dat perechea de DFT.
Astfel acum avem o pereche de ecuaţii care ne va permite să
transformăm orice semnal discret între domeniile timp şi frecvenţă,
însă cum programăm DSP –ul pentru a face-o DFT ?

36. Referindu-ne în urmă la ecuaţia DFT pentru x(ω), există două
probleme evidente:
• Prima, în lumea reală o adunare infinită nu este posibilă, că nu vom
furniza niciodată un răspuns.
• A doua, suntem limitaţi în timp când trebuie să calculăm o ieşire –
chiar şi cu un DSP. Astfel, suntem restrânşi în numărul frecvenţelor la
care putem face calculele matematice.

37. • Prima problemă este uşor de depăşit:
Trebuie să luăm doar o secţiune din mărimea de intrare x(n). Aceasta
este de obicei referită ca deschidere şi este utilizată în multe alte
aplicaţii.
Dacă executăm DFT asupra lui x(n) deschis, spectrul rezultant este dat
de:
XN(ω) = X(ω) * W(ω)
unde XN(ω) denotă spectrul deschis cu N – numărul de eşantioane
utilizate, W(ω) denotă spectrul deschiderii cu * denotă convoluţia
dintre W(ω) şi x(ω).

38. Fereastra ideală ar trebui să aibă un spectru dreptunghiular în domeniul
frecvenţă. Spectrul de frecvenţe va fi periodic cu frecvenţa ωS, un spectru
dreptunghiular în domeniul frecvenţă implică faptul că nu vom produce nici o
interferenţă între buclele adiacente ale răspunsului. Din nefericire, un răspuns
în frecvenţă dreptunghiular este practic imposibil de realizat.
• Să presupunem că am ales o funcţie de deschidere. Trebuie să ştim cum are
sens să utilizăm numai un număr limitat de frecvenţe şi cât de multe frecvenţe
sunt necesare pentru a menţine o suficientă acurateţe. În principiu nu este un
răspuns simplu. În general, numărul optim de fazori este egal cu numărul
punctelor iniţiale în x(n) deci, N. Calea cea mai simplă ca să ne inaugurăm
aceasta este să presupunem că porţiunea noastră deschisă din x(n) constă într-
o perioadă dintr-o secvenţă lungă cu perioada NTS şi frecvenţa ωS/N. Dacă
facem aceasta putem trata secvenţa ca pe o serie Fourier şi putem vedea că
spectrul va consta în N fazori.

39. Am remarcat mai devreme că spectrul unei DFT este periodic cu
perioada ωS, astfel dacă spunem că fazorii sunt separaţi între ei
prin δ atunci:
Nδ = ωS
Aceasta ne-a permis să digitizăm scala de frecvenţe astfel că
spectrul nostru poate acum fi scris în termeni de k în loc de ω:

47. Transformate Fourier
• Obiectiv: descompunerea unui semnal
complex intr-o suma de semnale simple
– semnale simple: set de semnale sinusoidale
• pentru ca sunt ortogonale
• nu isi schimba forma la trecerea printr-un sistem liniar
(se schimba amplitudinea si faza, dar semnalul ramane
sinusoidal si de aceeasi frecventa)
– Mai multe tipuri de transformate Fourier pentru diferite tipuri
de semnale:

48. Transformate Fourier
• Mai multe tipuri de transformate Fourier pentru diferite tipuri
de semnale
Tip semnal Forma senalului Tip de transformata
Fourier
Semnal aperiodic
continuu
Transformata Fourier
Semnal periodic
continuu
Serii Fourier
Semnal aperiodic
discret
Transformata Fourier
de timp discreta
Semnal periodic
discret
Transformata Fourier
discreta (DFT)

49. Transformata Fourier Discreta
• se aplica numai semnalelor discrete periodice
– pentru ca are un numar finit de termeni
– se poate calcula printr-un numar finit de pasi
– semnalele digitale aperiodice pot fi “transformate” artificial in
semnale periodice
– transformata Fourier discreta (DFT) transforma un set de N
esantioane de intrare (din domeniul timp) in 2 seturi de N/2+1
esantioane de iesire din domeniul frecventa
• un set de amplitudini pentru functii cosinus – partea reala
– ReX[k], pentru functii ck[i] = cos (2πki/N) – cos() esantionat
• un set de amplitudin pentru functii sinus – partea imaginara
– ImX[k], pentru functii Sk[i] = sin (2πki/N) – sin() esantionat
unde k=0 - N/2, iar i=0 – (N-1)

50. Sinteza unui semnal pe baza coeficientilor transformatei
Fourier discrete:
• unde
sunt valorile normalizate ale coeficientilor din transformata
Fourier discreta

51. Calcularea DFT
• trei metode:
– didactica, dar foarte lenta
– prin convolutie (clasica)
– transformata Fourier rapida FFT
• Didactica:
– folosind formula anterioara de sinteza, scriem N ecuatii cu N
necunoscute pentru cele N valori discrete ale lui x[i]
• teoretic ar fi (N/2+1) + (N/2+1) = N+2 coeficienti de determinat, dar
se poate arata ca ImX[0]=0 si ImX[N/2]=0, asa ca raman N
necunoscute ReX[k] si ImX[k]
– se rezolva setul de N ecuatii cu N necunoscute (ex. cu metoda
eliminarii a lui Gauss)
– metoda prea lenta, nu se foloseste practic, dar arata teoretic de
ce se pot determina coeficientii Fourier din N esantioane ale
intrarii

52. Calcularea DFT prin convolutie
• se bazeaza pe ortogonalitatea functiilor elementare sinusoidale
– daca un semnal de intrare x[i] contine o sinusoida de o anumita
frecventa atunci corelatia lui x[i] cu acea functie este diferita de zero
(este amplitudinea acelei componente in x);
– daca semnalul nu contine acea componenta convolutia lui x[i] cu acea
sinusoida este 0
• formula de calcul a coeficientilor:

53. Reprezentarea polara a transformatei Fourier
discrete
• reprezentarea grafica a ReX[k] si ImX[k] nu este relevanta pentru
ochiul uman
– perechile sin si cos de aceeasi frecventa se transforma intr-o
functie cos dupa formula:
• A cos(x+θ)= C cos(x) + S sin (x)
– pentru fiecare frecventa rezulta o magnitudine A (amplitudine) si
o faza θ, care se calculeaza cu:
A[k] = ReX[k]2
+ ImX[k]2
θ[k] = arctan(ImX[k]/ReX[k]))
ImX[k]
ReX[k]
θ[k]
A[k]

54. Reprezentarea polara a transformatei Fourier
discrete

55. Reprezentarea frecventei in diagramele DFT
(reprezentarea axei x)
• patru posibilitati de reprezentare a frecventei:
– ca esantioane ale transformatei, de la 0 la N/2
• N este numarul de esantioane ale intrarii
• de exemplu pentru N=128, se obtin 64 de esantioane ale transformatei
• programatorii prefera aceasta metoda, desi nu este prea sugestiva privind
frecventele reale prezente in semnal
– ca o fractie din frecventa de esantionare, cu interval de variatie (0-0,5)
• teorema lui Shannon limiteaza frecventa semnalului de intrare la jumatate din
frecventa de esantionare
• trecerea din prima reprezentare in a doua se face prin divizare cu N
– similar cu cazul 2 dar multiplicat cu 2π
• se obtine o variatie in radiani, intre 0 si π
– ca o secventa de frecvente reale
• valorile din cazul 2 de reprezentare se inmultesc cu frecventa de esantionare
• de exemplu daca frecventa de esantionare este 1000Hz atunci axa Ox variaza intre
0 si 500 Hz

56. Reprezentarea unui semnal
in Domeniul timp si in Domeniul frecventa
Domeniul timp Domeniul frecventa
a. semnalul esantionat in timp
b. partea reala a transformatei
(functii cos())
c. partea imaginara a transformatei
(functii sin())
Reprezentare
prin N/2
esantionane
Reprezentare
prin fractii ale
frecventei de
esantionare

57. Transformata Fourier Rapida (FFT)
• observatii preliminarii:
– o metoda de a calcula mult mai eficient DFT
– timpul de calcul scade cu 2, 3 ordine de marime;
– permite utilizarea transformatei Fourier ca metoda de analiza in aplicatii de
procesare a semnalelor on-line (in timp real)
– complexitatea algoritmului de calcul al DFT prin convolutie este n2
;complexitatea FFT este n*lg n
– explicarea bazelor matematice ale metodei FFT este mult mai complexa decat
forma algoritmului care rezulta
– “FFT este pentru Procesarea digitala a semnalelor ca si un tranzistor pentru
circuitele electronice: o componenta de baza;
• dar nu trebuie sa intelegi structura complexa a tranzistorului ca sa-l folosesti
cu succes;
• doar un mic numar de specialisti inteleg cu adevarat cum functioneaza
tranzistorul (ca si FFT-ul) dar foarte multi il folosesc”

58. Metoda de calcul a FFT
• Secventa de calcul:
– pasul 1: un semnal de N puncte din domeniul
timp se descompune in N semnale de cate un
singur punct
– pasul 2: se calculeaza distributiile spectrale
pentru cele N semnale de un punct
– pasul 3: cele N spectre obtinute se sintetizeaza
intr-un singur spectru

59. Detalii privind calculul FFT
• Pasul 1: Decompozitia semnalului avand N puncte in domeniul timp
– exemplu de descompunere pentru un semnal avand 16 puncte
Semnalul initial cu 16 puncte
2 semnale a cate 8 puncte
16 semnale a cate 1 punct
log2n
pasi

60. Detalii privind calculul FFT
• Pasul 2: descompunerea spectrala a semnalului de un punct
– banal: spectrul este egal cu valoarea punctului (demonstrat in
teoria semnalelor)
– deci nu se calculeaza nimic, valorile spectrale sunt valorile
punctelor din domeniul timp
• Pasul 3: sinteza spectrelor fiecarui punct pentru a obtine
spectrul semnalului initial
– sinteza se face in ordine inversa celei de descompunere:
• se combina cate 2 spectre de punct pentru a obtine spectrul
pentru 2 puncte, apoi spectrele de 2 puncte cate 2 pentru a
obtine spectre de cate 4 puncte s.a.m.d. pana la obtinerea
spectrului pentru semnalul initial cu N puncte

61. Detalii privind calculul FFT
• Pasul 3(continuare):
– exemplu de combinare a 2
spectre de 4 puncte pentru a
obtine un spectru pentru 8
puncte
– operatia de baza: compozitia
a 2 puncte in alte 2 puncte
Spectrul pentru 4 puncte
impare
Spectrul pentru 4
puncte pare
Spectrul de frecventa pentru 8 puncte
2 puncte de intrare
2 puncte de iesire
Unitate elementara de calcul de tip fluture (butterfly)
xS – reprezinta multiplicarea cu o sinusoida

62. Detalii privind calculul FFT
• Diagrama de executie a
programului
Decompozitia semnalului de
intrare
Antet
Antet
Calculul unei unitati
butterfly
Semnal in domeniul timp
Distributia spectrala
(semnal in domeniul frecventa)
log2n ori
pentru fiecare sub-DFT
pentru fiecare butterfly

63. Transformata Hilbert
Se ştie că un semnal armonic: x(t) = A cos(ω0t+φ) poate fi reprezentat ca suma a
doi fazori:
Acelaşi semnal poate fi însă reprezentat şi ca partea reală a unei exponenţiale
complexe:
Aplicând transformata Fourier semnalului xa(t) obţinem:
)AeRe(=(t)}x{Re=x(t) )+tj(
a
00 ϕω
)-(eA=}eeA{F=}(t)x{F o
jtjj
a
ooo
ωωδφωφ

64. Se observă că transformata Fourier a semnalului xa(t) este nulă
la frecvenţe negative. Un astfel de spectru este denumit
spectru unilateral.
Transformata Fourier a semnalului real x(t) este:
)+(e
2
A
+)-(e
2
A
=}
2
e+eA
{F=}x(t){F o
j-
o
j
)+t-j()+tj(
oo
oooo
ωωδωωδ φφ
φωφω
Se observă uşor că Xa
(ω)=2X(ω)σ(ω), unde σ(ω) este treapta
unitate:



0<pt.0
0>pt.1
=)(
ω
ω
ωσ

65. Se poate extinde reprezentarea complexă şi la semnale x(t) care nu sunt
armonice, prin introducerea noţiunii de semnal analitic xa
(t). Acesta este un
semnal complex a cărui parte reală este chiar semnalul x(t) şi a cărui
transformată Fourier este nulă la frecvenţe negative:
x(t): xa
(t)= x(t) +j(t)
Se poate scrie în continuare:
F{xa(t)} = Xa (ω) = X(ω)+ j(ω)= 2X(ω)σ(ω)
şi din această relaţie rezultă:
(ω)=(-j sgn ω )X(ω), unde sgn este funcţia:



0<pt.1-
0>pt.1
=)sgn(
ω
ω
ω

66. Părţile reală şi imaginară ale unui semnal analitic nu sunt
independente. Transformatele Fourier ale lor au acelaşi modul,
dar fazele diferă cu ±π/2 pentru frecvenţe pozitive şi negative.
se numeşte Transformata Hilbert a lui x(t), astfel încât acum
putem spune că un spectru unilateral are drept original o
funcţie complexă, ale cărei părţi reală şi imaginară sunt legate
prin Transformata Hilbert.
Se poate scrie:
xa(t) = x(t)+j(t) =
unde
eA(t)=e(t)x+(t)x
(t)j(t)j22 φφ~
x(t)
(t)x
arctg=(t);)(tx+)x(t=A(t) 22
~
~ φ

67. Am arătat mai înainte că: (ω)=(-j sgn ω)X(ω). Este uşor de arătat
că originalul lui (-j sgn ω) este 1/πt (ţinînd cont de faptul că F(sgn
t)=2/jωt şi folosind proprietăţile de simetrie ale Transformatei
Fourier). Se poate scrie:
(t)=H{x(t)}= τ
τ
τ
ππ
d
-t
1
)x(
1
=x(t)*
t
1
-
∫
∞
∞
Recapitulând, se poate spune că sunt 3 moduri diferite de a
introduce Transformata Hilbert a unui semnal real x(t):
- ca parte imaginară a semnalului analitic asociat
- utilizând produsul de convoluţie
- modificând cu ± π/2 argumentul transformatei Fourier a
semnalului
Este important de subliniat că transformata Hilbert lasă
semnalul original în acelaşi domeniu, timp sau frecvenţă.

68. Principalele proprietăţi ale transformatei Hilbert sunt enumerate
mai jos:
- liniaritatea:
H{ax1
(t)+bx2
(t)}= aH{x1
(t)}+bH{x2
(t)}
- ortogonalitatea:
<x, > = 0=dsgn|)X(|X=(t)dtxx(t) 2
-
*
--
-j=)d(X)( ωωωωωω ∫∫∫
∞
∞
∞
∞
∞
∞
~~
-H{H{(t)}}=-x(t)
Exemplu: H{cos ω0t} =sin ω0t; H{sin ω0t} =-cosω0t

69. Transformata Z
Semnalecutimpdiscret
• Un semnal cu timp discret se obţine prin memorarea valorii unui semnal cu timp continuu la anumite momente de timp,
echidistante. Valorile memorate se numesc eşantioane, iar procesul de memorare a acestur valori poartă numele de
discretizare a unui semnal cu timp continuu. Intervalul de timp intre 2 eşantioane se numeşte pas sau perioadă de eşantionare
şi în cele ce urmează se va nota cu T.
• De multe ori, semnalul obţinut se reprezintă ca în c) omiţând pe axa timp înmulţirea cu timpul de eşantionare T, astfel că
momentele de eşantionare kT apar ca fiind doar k Z. Un astfel de semnal se numeşte semnal discret.

72. Avantajele utilizarii sistemelor de procesare
numerica fata de sistemele analogice
• Flexibilitate;
• Eficienta economica;
• Fiabilitate;
• Diagnoza;
• Integrare;
• Adaptabilitate;
• Stocarea si transmisia performanta a datelor;
• Performante superioare.

73. Flexibilitate, Fiabilitatea si Integrarea
• Flexibilitatea.
– Sistemul de prelucrare numeric se bazeaza pe un algoritm de
calcul, pe care-l efectueaza un sistem cu microprocesor sau
microcontroller specializat;
– Algoritmul poate fi usor schimbat, reprogramat fara nici o
modificare fizica a sistemului de calcul.
• Fiabilitate.
– Depinde de partea hardware a sistemului care necesita
intretinere;
• Integrarea.
– Sistemele digitale pot fi realizate intr-o capsula de circuit
integrat

74. Diagnoza, Adaptabilitatea,
Stocarea si Transmisia datelor
• Diagnoza
– Este necesara testarea atat in functionarea normala cat si in
situatii de avarie. Folosirea sistemelor digitale se preteaza mai
bine decat cele analogice prin folosirea unor algoritmi care sa
testeze si sa furnizeze informatii usor de interpretat despre
starea sistemului, sau sa decida folosirea unor resurse
hardware de rezerva;
• Adaptabilitatea
– Un algoritm de procesare numerica poate fi folosit in mai
multe aplicatii prin ajustarea parametrilor;
• Stocarea si transmisia datelor
– Datele numerice pot fi stocate mult mai rapid si cu o densitate
mult mai mare pe unitatea de volum. De asemenea,
semnalele numerice au o imunitate redusa la zgomot, atat in
procesul de stocare cat si de transmisie.

75. Transferul de date
Termenul de date se refera la caractere alfabetice, numerice, sau cu destinaţie specială
care sunt grupate în mod corespunzător în formă binară pentru a constitui cuvinte,
mesaje, sau informaţii.
Comunicaţiile de date se referă în primul rând la transferul de date de la un aparat
dintr-o locaţie la un aparat aflat într-o altă locaţie.
Două sau mai multe dispozitive care comunică unul cu celălalt formează un sistem şi
dispozitivele se spune că sunt în reţea.
Reţele pot fi cablate, wireless, sau o combinaţie a celor două.
Transferul de date de la un dispozitiv la altul este măsurată ca și baud rate sau rată de
biţi (bit rate).
Rata baud (baud rate) indică numărul de simboluri transmise într-o unitate de timp, de
obicei, pe secundă.
Rata de biţi indică numărul de biţi transmiși pe secundă.

76. Rata baud şi rata de biţi sunt aceleaşi doar atunci când pentru fiecare simbol
este alocat un singur bit.
Dar simbolurile sunt de obicei exprimate ca o serie de biţi care formează
cuvinte, fluxuri şi coduri. De exemplu codul Murray, care este utilizat pentru
numere şi caractere alfanumerice, conţine cinci biţi pentru fiecare simbol.
Informaţiile digitale sunt deseori transmise în secvenţe de date. O secvenţă de
date este o colecţie de caractere pentru transmiterea unui mesaj complet și
care poate fi înţeleasă de dispozitivul transmiţător şi de cel de recepţie.
O secvenţă tipică de date este se arată în figură.
Transferul de date.

77. Când se utilizează secvenţele de date, rata de informaţie nu este la fel cu rata de biţi sau rata baud,
deoarece el conţine în plus date de adrese, controale de eroare, precum şi informaţii de start și stop.
Tipul de informaţii din secvenţe este reglementat de protocoalele şi standardele utilizate în aplicaţii
speciale.
Protocoale sunt configurate în cadrul unor modele de referinţă (de exemplu, modelele de referinţă ale
The Institute of Electrical and Electronics Engineers [IEEE] 802 și Open Systems Interconnection [OSI]).
Este de înţeles că atunci când sunt utilizate protocoale, rata de informaţii poate fi mult mai mică.
Transferul de date.

78. Transferul de date.
Teoria, protocoalele, precum şi implementarea sistemelor de comunicaţie digitale şi a
reţelelor asociate care se bazează pe conexiuni fizice, cum ar ca fire sau cabluri optice
sunt bine stabilite şi au fost folosite de mai mulţi ani.
Cu toate acestea, în comparaţie cu tehnicile cablate, transmiterea de date wireless şi
crearea de reţele de instrumente şi senzori este relativ nouă şi poate oferi multe
facilităţi suplimentare.
Este suficient de spus că, în acest stadiu, componentele wireless din cele mai multe
reţele wireless se comportă ca și omoloagele lor din reţelele cablate.
Astfel, principiile de funcţionare a reţelelor wireless și a reţelelor cablate au multe
puncte comune, dar reţele wireless sunt în curs de dezvoltare ca o entitate separată în
evoluţiile tehnologice şi în aplicaţii.
În ambele tipuri de sisteme de comunicaţii, cablate şi wireless, datele pot fi transmise
fie paralel sau serie, cu flux de informaţie sincron sau asincron, în formă de transport
simplex, semi-duplex, sau full-duplex.
Prin urmare, discuţiile prezentate pe aceste concepte sunt aplicabile atât sistemelor de
comunicaţie cablate cât și reţelelor wireless.

79. Transmisia de date serială i paralelăș
Datele pot fi transmise de la un dispozitiv la altul în formă serială sau paralelă.
În transmisiile de date seriale, fiecare bit al unui cod este trimis succesiv, după
cum se arată în figură.
În consecinţă, transmiterea serială poate fi realizată de către o singură
pereche de conductoare care conectează împreună un receptor şi un emiţător.

80. Transmisia de date serială i paralelăș
În transmisia paralelă a datelor, toţi biţii sau un număr de biţi a unui cod sunt
transmiși simultan. Prin urmare, numărul de fire necesar este egal cu numărul
de biţi de transmis plus firul de retur.
De exemplu, pentru un cod de opt biţi este necesar ca cel puţin opt fire să se
conecteze între emiţător şi receptor, astfel cum este ilustrat în figură.

81. Transmisia sincronă i asincronăș
Transmisia serială poate fi realizată în două forme: în mod asincron sau sincron.
În transmisia asincronă, mesajele sunt transmise sub formă de blocuri. Această formă
de transmitere poate conţine perioadele de repaus semnificative între blocuri şi este
adesea utilizată în cazul în care nu este necesară o viteză mare de transmisie a datelor.
Transmisia asincronă a datelor utilizează caractere de date care conţin informaţii cu
privire la procesul de sincronizare, natura şi lungimea datelor, precum şi locaţiile
primului şi ultimului bit din blocul de date, astfel încât receptorul să ştie caracteristicile
informaţiei ce provine de la transmiţător.
De vreme ce receptorul ştie bitul de start și bitul de stop al blocului, acesta poate fi
trimis oricând şi cu orice rată.
Fiecare bloc între emiţător şi receptor este sincronizat cu drepturi proprii prin utilizarea
elementelor de start și stop.
Lungimea fluxului de date si decalajul de timp dintre blocuri nu sunt de obicei fixe, dar
sunt decise pe baza sincronizării.
Fireşte, modul de transmisie asincron este mai lent decât modul de transmisie sincron
din cauza adăugării elementelor de sincronizare.

82. Transmisia sincronă i asincronăș
Figura ilustrează un caracter binar tipic transmis în mod asincron.
Când caracterul este transmis, acesta este precedat de un bit de start (binary
0), urmat de un bit de paritate opţional şi unul sau mai mulţi biţi de stop. Bitul
stop are de obicei valoarea binară 1.

83. Transmisia sincronă i asincronăș
În modul de transmisie asincron, receptorul detectează bitul de start prin
sesizarea tranziţiei de la un marker la un spaţiu, apoi decodează următorii
şapte biţi ca un caracter. În cazul în care trebuie transmise mai multe
caractere, acest proces este repetat.
Receptorul şi transmiţătorul au fiecare ceasul intern propriu, ambele fiind la
aproximativ aceeaşi rată, dar aceste ceasuri nu sunt neapărat sincronizate.
De asemenea, modul de transmitere asincron permite intervale de timp
variabile între caractere transmise.
Transmisia sincronă este o tehnică de transmisie bazată pe mesaj; acesta nu
utilizează biţi de start și stop la fel ca transmisia asincron.
Aceasta necesită un tact comun de ceas la cele două capete, de transmisie şi
recepţie pentru a realiza sincronizarea.
Utilizarea unui ceas comun ajută de asemenea la identificarea frecvenţei
caracterelor.

84. Transmisia sincronă i asincronăș
Receptorul este capabil să recunoască un cod unic în biţii primiţi ca și flux de date de
intrare.
Acest cod permite receptorului să blocheze fluxul de biţi de intrare.
Receptorul trebuie să fie setat la exact acelaşi ritm de ceas ca și transmiţătorul.
Sincronizarea ceasului este cunoscută ca și sincronizare de biţi (bit synchrinization).
Funcţionarea sincronă poate fi caracterizată după cum urmează:
• Nu există biţi de start sau de stop pentru a sincroniza fiecare caracter.
• Fiecare bit la emiţător şi la receptor trebuie să fie sincronizat la un ceas comun.
• Datele sunt trimise în blocuri care constau din mai multe elemente, fără separare
între ele.
• Blocul în întregime este încadrat de codurile care indică începutul şi finalul.
• Receptorul trebuie să cunoască codurile, lungimea de bloc, şi alte informaţii relevante
şi de control.
• Nu este sensibil la posibila denaturare a semnalelor transmise, deoarece
cronometrarea se face într-un mod sincronizat.
Cu transmisia sincronă, sincronizarea este tratată mai degrabă pe bază de mesaj decât
pe bază de caracter. Odată sincronizate, nu se mai permite nici o pauză sau un interval
între caractere. Acest lucru poate limita o comunicare eficientă între dispozitivele care
nu au un flux continuu de informaţie sau dispozitive care nu au tampoane (buffere)
pentru a stopa mesajele în cazul în care transmisia continuă nu poate fi menţinută.

85. Transmisia sincronă i asincronăș

86. Transmisia sincronă i asincronăș
Transmisiile sincrone şi asincrone sunt realizate cu dispozitive dedicate, cum ar
fi universal synchronous-asynchronous receiver/transmitters (USARTs) și
universal asynchronous receiver/transmitters (UARTs). USARTs şi UARTs sunt
părţi importante în transmisia serială a datelor.
Un USART este un dispozitiv care transformă biţii paraleli într-o un flux de date
continuu serial, sau invers.
Un USART poate funcţiona în formă sincronă sau asincronă.
Un UART este un dispozitiv care se ocupă de comunicaţia serială asincronă.
Un UART tipic este un dispozitiv programabil cu 40 de pini care transmite şi
primeşte date în mod asincron fie în mod semi-duplex fie în mod full duplex.
Un UART acceptă date paralele şi le converteşte în mod asincron pentru a le
pregăti pentru o transmisie serială.

87. Transmisia de date simplex, half-duplex i full duplexș
Transmiterea de date între două dispozitive poate fi caracterizată ca: simplex,
semi-duplex sau duplex complet, după cum se arată în figură.

88. Operarea simplex indică faptul că transmisia poate avea loc într-o singură direcţie de la un aparat la altul.
În acest mod, unul dintre dispozitivele poate transmite, dar nu poate recepţiona, sau recepţionează dar
nu transmite.
Operarea half-duplex se referă la o transmisie în orice direcţie, dar aceasta poate avea loc într-o singură
direcţie la un moment dat.
Operarea full-duplex indică faptul că operaţiunea de transport are loc în ambele direcţii simultan.
În reţelele unde sunt implicate în comunicare multe dispozitive, transmisia utilizează mai multe canale.
Un canal este definit ca o singură cale pe o linie prin care circulă semnalele.
Liniile sunt definite ca și componentele şi părţile care se extind între terminalele dispozitivelor de
comunicare.
Transmisia de date simplex, half-duplex i full duplexș

89. Un exemplu de operare simplex este un sistem de paging. În paging, mesaje
sunt primite, dar nu neapărat confirmate.
Un exemplu de operare semi-duplex este un walkie-talkie. În walkie-talkie,
operatorul apasă un buton pentru a vorbi şi eliberează butonul pentru a
asculta. Ambii operatori nu pot să comunice în acelaşi timp.
Un sistem full-duplex oferă simultan, dar separat canale prin tehnici cum ar fi
duplexarea divizării de frecvenţă (FDD) sau duplexarea divizării de timp (TDD).
FDD utilizează canale de frecvenţă diferite şi TDD folosește intervale de timp
adiacente pe un singur canal.
Transmisia de date simplex, half-duplex i full duplexș

90. Transmisia de date wireless
Dispozitivele pot comunica prin conexiuni wireless sau cablate formând reţele locale de
zonă (LAN).
Componentele wireless ale celor mai multe reţele locale se comportă la fel ca și
omoloagele lor cablate, dar ele utilizează spaţiul ca și mediu de transmisie.
Principiile operaţionale ale reţelelor cablate și wireless sunt asemănătoare: este necesar
să se anexeze o interfaţă de reţea pentru dispozitivele care transmit respectiv
recepţionează.
În cazul reţelelor wireless, interfaţa este mai degrabă un transciever de radiofrecvenţă
(RF) decât cabluri.
În multe cazuri, sistemele cablate şi sistemele wireless sunt folosite împreună, într-o
formă mix-and-match.
În cazul interfaţării sistemelor wireless cu sisteme cablate, sunt utilizate dispozitivele
numite puncte de acces (access point) pentru a realiza această conexiune.
Acest lucru permite transferul traficului de date între componentele cablate şi wireless.

91. În sistemele de comunicaţii wireless, frecvenţele utilizate pentru transmiterea datelor
afectează cantitatea de date şi de viteza la care datele pot fi transmise.
Tăria sau nivelul de putere a semnalului de transmisie determină distanţa la care datele
pot fi trimise şi primite, fără erori şi de corupţie. În general, principiul care
reglementează transmisiile wireless stipulează că o frecvenţă mai mică de canal poate
transporta mai puţine date, mai lent, dar pe distanţe mai lungi.
Pe de altă parte, frecvenţele mai mari pot transporta mai multe date, la rate mai rapide,
dar distanţa de transport eficient devine mai scurtă.
Sistemele moderne de comunicaţii wireless utilizează în mare măsură partea de mijloc a
spectrului electromagnetic. Partea de mijloc a spectrului electromagnetic este împărţită
în mai multe game de frecvenţe, sau benzi, pentru scopuri de comunicare.
Aceste benzi de frecvenţă sunt:
•spectrul de frecvenţe radio (10 kHz până la 1 GHz);
•spectrul de frecvenţe cu microunde (1 GHz la 500 GHz);
•frecvenţa vizibilă și în infraroşu (500 GHz până la 1 THz).
Transmisia de date wireless

92. Eficienta economica. Performante superioare
• Eficienta economica
– Pentru modificarea comportamentului unui amplificator
numeric se modifica programul (o parte din algoritmul de
calcul) fara modificari fizice ale sistemului.
– In cazul unui amplificator analogic cu tranzistoare, pentru
modificarea caracteristicilor trebuie modificate diferite
componente (R, C) ceea ce implica cheltuieli materiale,
experimente, teste etc
• Performante superioare
– Exista numeroase tipuri de procesari a datelor care nu pot fi
realizate in sisteme analogice (filtre de ordin superior);