2ο κεφάλαιο μέρος 1ο

137 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
137
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

2ο κεφάλαιο μέρος 1ο

  1. 1. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμικές Συνήθεις ∆ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ∆ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
  2. 2. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης A(x)y + B(x)y + C(x)y = F(x).
  3. 3. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης A(x)y + B(x)y + C(x)y = F(x). ή y + p(x)y + q(x)y = f (x). (1)
  4. 4. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης A(x)y + B(x)y + C(x)y = F(x). ή y + p(x)y + q(x)y = f (x). Ομογενής γραμμική εξίσωση όταν f (x) = 0. (1)
  5. 5. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y + k2 y = 0 ∆υο λύσεις: y − k2 y = 0 ∆υο λύσεις: y1 = cos kx, y2 = sin kx. y1 = ekx , y2 = e−kx .
  6. 6. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Θεώρημα Υπέρθεσης Αν y1 και y2 είναι δύο λύσεις της ομογενούς εξίσωσης τότε η y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x), είναι επίσης λύση της, για οποιεσδήποτε σταθερές C1 και C2 . Μπορούμε να προσθέσουμε λύσεις (ή να πολλαπλασιάσουμε λύσεις με κάποιον αριθμό) και το αποτέλεσμα να είναι επίσης λύση.
  7. 7. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Θεώρημα Υπέρθεσης - Απόδειξη ´Εστω y = C1 y1 + C2 y2 . Τότε y + py + qy = (C1 y1 + C2 y2 ) + p(C1 y1 + C2 y2 ) + q(C1 y1 + C2 y2 ) = C1 y1 + C2 y2 + C1 py1 + C2 py2 + C1 qy1 + C2 qy2 = C1 (y1 + py1 + qy1 ) + C2 (y2 + py2 + qy2 ) = C1 · 0 + C2 · 0 = 0
  8. 8. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οι p, q, f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οι a, b0 , b1 είναι σταθερές. Η εξίσωση y + p(x)y + q(x)y = f (x), έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξής αρχικές συνθήκες y(a) = b0 y (a) = b1 .
  9. 9. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Θεώρημα ´Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οι p, q, f είναι συνεχείς συναρτήσεις και ότι οι a, b0 , b1 είναι σταθερές. Η εξίσωση y + p(x)y + q(x)y = f (x), έχει ακριβώς μια λύση y(x) η οποία ικανοποιεί τις εξής αρχικές συνθήκες y(a) = b0 y (a) = b1 . Παραδείγματα, • y + y = 0 με y(0) = b0 και y (0) = b1 ⇒ y(x) = b0 cos x + b1 sin x . • y − y = 0 με y(0) = b0 και y (0) = b1 ⇒ y(x) = b0 cosh x + b1 sinh x .
  10. 10. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6.
  11. 11. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τ·οτε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e
  12. 12. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τ·οτε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0.
  13. 13. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τ·οτε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x .
  14. 14. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τ·οτε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x . y = C1 e2x + C2 e4x .
  15. 15. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τ·οτε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x . y = C1 e2x + C2 e4x . −2 = y(0) = C1 + C2 , 6 = y (0) = 2C1 + 4C2 .
  16. 16. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τ·οτε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x . y = C1 e2x + C2 e4x . −2 = y(0) = C1 + C2 , 6 = y (0) = 2C1 + 4C2 . y = −7e2x + 5e4x .
  17. 17. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6.
  18. 18. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τότε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e
  19. 19. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τότε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0.
  20. 20. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τότε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x .
  21. 21. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τότε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x . y = C1 e2x + C2 e4x .
  22. 22. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τότε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x . y = C1 e2x + C2 e4x . −2 = y(0) = C1 + C2 , 6 = y (0) = 2C1 + 4C2 .
  23. 23. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 8y = 0, y(0) = −2, y (0) = 6. rx . Τότε y = rerx και y = r 2 erx Μαντεψιά: y = e y − 6y + 8y = 0, 2 erx − 6rerx + 8erx = 0, r r 2 − 6r + 8 = 0, (r − 2)(r − 4) = 0. y1 = e2x και y2 = e4x . y = C1 e2x + C2 e4x . −2 = y(0) = C1 + C2 , 6 = y (0) = 2C1 + 4C2 . y = −7e2x + 5e4x .
  24. 24. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γενικά ay + by + cy = 0
  25. 25. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γενικά ay + by + cy = 0 Μαντεψιά y = erx ar 2 erx + brerx + cerx = 0.
  26. 26. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γενικά ay + by + cy = 0 Μαντεψιά y = erx ar 2 erx + brerx + cerx = 0. χαρακτηριστική εξίσωση ar 2 + br + c = 0.
  27. 27. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γενικά ay + by + cy = 0 Μαντεψιά y = erx ar 2 erx + brerx + cerx = 0. χαρακτηριστική εξίσωση ar 2 + br + c = 0. Θεώρημα: ´Εστω r1 και r2 οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. (i) Αν r1 = r2 ∈ R ⇒ y = C1 er1 x + C2 er2 x . (ii) Αν r1 = r2 ∈ R ⇒ y = (C1 + C2 x) er1 x .
  28. 28. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0
  29. 29. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0
  30. 30. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx
  31. 31. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0
  32. 32. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0 ⇒ r 2 − 8r + 16 = (r − 4)2 = 0
  33. 33. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0 ⇒ r 2 − 8r + 16 = (r − 4)2 = 0 y = (C1 + C2 x) e4x = C1 e4x + C2 xe4x .
  34. 34. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0 ⇒ r 2 − 8r + 16 = (r − 4)2 = 0 y = (C1 + C2 x) e4x = C1 e4x + C2 xe4x . Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις;
  35. 35. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0 ⇒ r 2 − 8r + 16 = (r − 4)2 = 0 y = (C1 + C2 x) e4x = C1 e4x + C2 xe4x . Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe4x ⇒ y = e4x + 4xe4x , y = 8e4x + 16xe4x
  36. 36. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0 ⇒ r 2 − 8r + 16 = (r − 4)2 = 0 y = (C1 + C2 x) e4x = C1 e4x + C2 xe4x . Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe4x ⇒ y = e4x + 4xe4x , y = 8e4x + 16xe4x y − 8y + 16y = 8e4x + 16xe4x − 8(e4x + 4xe4x ) + 16xe4x = 0
  37. 37. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0 ⇒ r 2 − 8r + 16 = (r − 4)2 = 0 y = (C1 + C2 x) e4x = C1 e4x + C2 xe4x . Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe4x ⇒ y = e4x + 4xe4x , y = 8e4x + 16xe4x y − 8y + 16y = 8e4x + 16xe4x − 8(e4x + 4xe4x ) + 16xe4x = 0 xe4x = Ce4x
  38. 38. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παραδείγματα y − k2 y = 0 ⇒ r 2 − k2 = 0 ⇒ y = C1 e−kx + C2 ekx y − 8y + 16y = 0 ⇒ r 2 − 8r + 16 = (r − 4)2 = 0 y = (C1 + C2 x) e4x = C1 e4x + C2 xe4x . Είναι οι e4x και xe4x γραμμικές ανεξάρτητες λύσεις; y = xe4x ⇒ y = e4x + 4xe4x , y = 8e4x + 16xe4x y − 8y + 16y = 8e4x + 16xe4x − 8(e4x + 4xe4x ) + 16xe4x = 0 xe4x = Ce4x ⇒ x=C
  39. 39. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη.
  40. 40. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη. 2. Γιατί η xerx είναι λύση;
  41. 41. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη. 2. Γιατί η xerx είναι λύση; • ´Εστω r1 = r2 τότε er2 x −er1 x r2 −r1 είναι μια λύση.
  42. 42. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παρατηρήσεις 1. Η περίπτωση να έχουμε διπλή ρίζα είναι εξαιρετικά σπάνιο στην πράξη. 2. Γιατί η xerx είναι λύση; • ´Εστω r1 = r2 τότε • ´Οταν r1 → r2 τότε λύση. er2 x −er1 x είναι μια r2 −r1 er2 x −er1 x → (erx ) = r2 −r1 λύση. xerx , επίσης
  43. 43. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Τύπος του Euler eiθ = cos θ + i sin θ e−iθ = cos θ − i sin θ.
  44. 44. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα ar 2 + br + c = 0 Μιγαδικές ρίζες √ b2 −4ac −b 2 − 4ac < 0 ⇒ r με b 1,2 = 2a ± i 2a
  45. 45. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα ar 2 + br + c = 0 Μιγαδικές ρίζες √ b2 −4ac −b 2 − 4ac < 0 ⇒ r με b 1,2 = 2a ± i 2a y = C1 e(α+iβ)x + C2 e(α−iβ)x .
  46. 46. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα ar 2 + br + c = 0 Μιγαδικές ρίζες √ b2 −4ac −b 2 − 4ac < 0 ⇒ r με b 1,2 = 2a ± i 2a y = C1 e(α+iβ)x + C2 e(α−iβ)x . Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(α−iβ)x έχουμε y1 = eαx cos βx + ieαx sin βx, y2 = eαx cos βx − ieαx sin βx.
  47. 47. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα ar 2 + br + c = 0 Μιγαδικές ρίζες √ b2 −4ac −b 2 − 4ac < 0 ⇒ r με b 1,2 = 2a ± i 2a y = C1 e(α+iβ)x + C2 e(α−iβ)x . Θέτοντας y1 = e(α+iβ)x και y2 = e(α−iβ)x έχουμε y1 = eαx cos βx + ieαx sin βx, y2 = eαx cos βx − ieαx sin βx. Κάθε γραμμικός συνδυασμός λύσεων είναι και αυτός λύση. y +y y3 = 1 2 = eαx cos βx, 2 y1 − y2 y4 = = eαx sin βx. 2i
  48. 48. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Θεώρημα Θεώρημα Αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της διαφορικής εξίσωσης ay + by + cy = 0. είναι οι α ± iβ, τότε η γενική της λύση είναι y = C1 eαx cos βx + C2 eαx sin βx.
  49. 49. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y + k2 y = 0 k > 0.
  50. 50. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y + k2 y = 0 k > 0. • Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 + k2 = 0 • Ρίζες r = ±ik • Γενική λύση y = C1 cos kx + C2 sin kx.
  51. 51. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10.
  52. 52. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10. Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 − 6r + 13 = 0 με ρίζες r = 3 ± 2i και γενική λύση y = C1 e3x cos 2x + C2 e3x sin 2x
  53. 53. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10. Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 − 6r + 13 = 0 με ρίζες r = 3 ± 2i και γενική λύση y = C1 e3x cos 2x + C2 e3x sin 2x 0 = y(0) = C1 e0 cos 0 + C2 e0 sin 0 = C1 Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2 e3x sin 2x οπότε ´ y = 3C2 e3x sin 2x + 2C2 e3x cos 2x
  54. 54. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 6y + 13y = 0, y(0) = 0 y (0) = 10. Χαρακτηριστική εξίσωση r 2 − 6r + 13 = 0 με ρίζες r = 3 ± 2i και γενική λύση y = C1 e3x cos 2x + C2 e3x sin 2x 0 = y(0) = C1 e0 cos 0 + C2 e0 sin 0 = C1 Αρα C1 = 0 συνεπώς y = C2 e3x sin 2x οπότε ´ y = 3C2 e3x sin 2x + 2C2 e3x cos 2x 10 = y (0) = 2C2 , ή C2 = 5. Αρα y = 5e3x sin 2x ´
  55. 55. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης y(n) + pn−1 (x)y(n−1) + · · · + p1 (x)y + p0 (x)y = 0. (2)
  56. 56. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης y(n) + pn−1 (x)y(n−1) + · · · + p1 (x)y + p0 (x)y = 0. (2) Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 , y2 , . . . , yn είναι λύσεις της ομογενούς εξίσωσης, τότε η y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x), είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 , . . . , Cn .
  57. 57. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμικές Σ∆Ε υψηλότερης τάξης y(n) + pn−1 (x)y(n−1) + · · · + p1 (x)y + p0 (x)y = 0. (2) Θεώρημα Υπέρθεσης Εάν y1 , y2 , . . . , yn είναι λύσεις της ομογενούς εξίσωσης, τότε η y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x), είναι επίσης λύση για οποιεσδήποτε C1 , . . . , Cn . Θεώρημα Υπαρξης και Μοναδικότητας ´Εστω ότι οι συναρτήσεις p0 , p1 , . . . , pn−1 , και f είναι συνεχείς και οι a, b0 , b1 , . . . , bn−1 είναι σταθερές. Η εξίσωση y(n) + pn−1 (x)y(n−1) + · · · + p1 (x)y + p0 (x)y = f (x), . έχει ακριβώς μια λύση y(x) οι οποία ικανοποιεί τις παρακάτω αρχικές συνθήκες y(a) = b0 , y (a) = b1 , . . . , y(n−1 )(a) = bn−1 .
  58. 58. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Γραμμική Ανεξαρτησία Ορισμός y1 , y2 , . . . , yn είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν η εξίσωση c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn = 0, έχει μόνον την τετριμμένη λύση c1 = c2 = · · · = cn = 0.
  59. 59. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Είναι οι ex , e−x , cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες;
  60. 60. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Είναι οι ex , e−x , cosh(x) γραμμικά ανεξάρτητες; sinh x = ex − e−x 2
  61. 61. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Είναι οι ex , e2x , e3x γραμμικά ανεξάρτητες;
  62. 62. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Είναι οι ex , e2x , e3x γραμμικά ανεξάρτητες; 1. c1 ex + c2 e2x + c3 e3x = 0 ⇒ c1 z + c2 z2 + c3 z3 = 0 με z = ex
  63. 63. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Είναι οι ex , e2x , e3x γραμμικά ανεξάρτητες; 1. c1 ex + c2 e2x + c3 e3x = 0 ⇒ c1 z + c2 z2 + c3 z3 = 0 με z = ex 2. c1 ex + c2 e2x + c3 e3x = 0 ⇒ c1 e−2x + c2 e−x + c3 = 0
  64. 64. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Είναι οι ex , e2x , e3x γραμμικά ανεξάρτητες; 1. c1 ex + c2 e2x + c3 e3x = 0 ⇒ c1 z + c2 z2 + c3 z3 = 0 με z = ex 2. c1 ex + c2 e2x + c3 e3x = 0 ⇒ c1 e−2x + c2 e−x + c3 = 0 3. c1 ex + c2 e2x + c3 e3x = 0 ⇒ c1 + c2 ex + c3 e2x = 0 Με x = 0 παίρνουμε c1 + c2 + c3 = 0. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέρη έχουμε c2 ex + 2c3 e2x = 0, ...
  65. 65. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 3y − y + 3y = 0,
  66. 66. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 3y − y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3
  67. 67. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 3y − y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 erx − 3r 2 erx − rerx + 3erx = 0 ⇒ r 3 − 3r 2 − r + 3 = 0
  68. 68. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 3y − y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 erx − 3r 2 erx − rerx + 3erx = 0 ⇒ r 3 − 3r 2 − r + 3 = 0 y = C1 e−x + C2 ex + C3 e3x
  69. 69. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 3y − y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 erx − 3r 2 erx − rerx + 3erx = 0 ⇒ r 3 − 3r 2 − r + 3 = 0 y = C1 e−x + C2 ex + C3 e3x 1 = y(0) = C1 + C2 + C3 , 2 = y (0) = −C1 + C2 + 3C3 , 3 = y (0) = C1 + C2 + 9C3 .
  70. 70. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα y − 3y − y + 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 r 3 erx − 3r 2 erx − rerx + 3erx = 0 ⇒ r 3 − 3r 2 − r + 3 = 0 y = C1 e−x + C2 ex + C3 e3x 1 = y(0) = C1 + C2 + C3 , 2 = y (0) = −C1 + C2 + 3C3 , 3 = y (0) = C1 + C2 + 9C3 . C1 = −1/4, C2 = 1 και C3 = 1/4 1 −1 −x e + ex + e3x y= 4 4
  71. 71. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y(4) − 3y + 3y − y = 0
  72. 72. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y(4) − 3y + 3y − y = 0 r 4 − 3r 3 + 3r 2 − r = 0 ⇒ r (r − 1)3 = 0 y= (c0 + c1 x + c2 x2 ) ex όροι προερχόμενοι από την r = 1 + c4 . από την r = 0 (c0 +c1 x+· · ·+ck−1 xk ) eαx cos βx+(d0 +d1 x+· · ·+dk−1 xk ) eαx sin βx. όπου c0 , . . . , ck−1 , d0 , . . . , dk−1 είναι τυχαίες σταθερές.
  73. 73. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y(4) − 4y + 8y − 8y + 4y = 0
  74. 74. Γραμμικές Σ∆Ε 2ης τάξης Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Σ∆Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγα Παράδειγμα Λύστε την εξίσωση y(4) − 4y + 8y − 8y + 4y = 0 r 4 − 4r 3 + 8r 2 − 8r + 4 = 0, (r 2 − 2r + 2)2 = 0, (r − 1)2 + 1 2 = 0. y = (c0 + c1 x) ex cos x + (d0 + d1 x) ex sin x.

×