2. Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0)
nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’ của chúng , ta
có: M’N’ = k.MN
Nhận xét:
Phép đồng dạng là một phép dời hình với k = 1.
Phép đồng dạng là một phép vị tự với k > 0.
Để thực hiện một phép đồng dạng, ta thường phân tích
nó thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự.
3. Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều hợp thành một phép
vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D.
Định lý
Phép đồng dạng biến:
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng (và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó).
Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia.
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k lần.
Tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k.
Đường tròn thành đường tròn có bán kính k.R
Góc thành góc bằng nó.
Hệ quả
4. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép
đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Nhắc lại kiến thức lớp 8:
Nếu ba cạnh (góc) của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh
(góc) của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam
giác kia, va góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai
tam giác đó đồng dạng.
Trong hai tam giác đồng dạng thì: Tỉ số đường cao, trung
tuyến, phân giác, chu vi bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số diện
tích bằng bình phương chỉ số dồng dạng.
5. Để chứng tỏ việc tồn tại một phép đồng dạng biến hình
(H) thành hình (H’), ta thường thực hiện theo ba bước:
Bước 1: Tìm phép dời hình D biến (H) thành (H1).
Bước 2: Tìm phép vị tự V biến (H1) thành (H’).
Bước 3: Vậy, tồn tại phép đồng dạng F là hợp thành
của phép vị tự V và phép dời hình D.
Cho tam giác đều ABC và hai điểm D, E thỏa mãn các hệ
thức: 2AD + CD = 0 và 3AE + 2BA = 0
a. Xác định phép đồng dạng F tâm A, biến E thành D
b. Tìm ảnh của điểm B trong phép đồng dạng F.
Ví dụ
6. Giải
Cho tam giác đều ABC và hai điểm D, E thỏa mãn các hệ
thức: 2AD + CD = 0 và 3AE + 2BA = 0
a. Xác định phép đồng dạng F tâm A, biến E thành D
A
CB
.D60O
E. .E’
a. Từ các hệ thức ta suy ra:
D ∊ AC và AC = 3AD; E ∊ AB và 3AE = 2AB
⇒ 3AE = 2AC = 6AD ⇒ AE = 2AD.
⇒ E’ = Q(A, π/3) (E) và AE’ = 2 AD
⇒ D = V(A, 1/2) (E’)
Vậy ta thực hiện liên tiếp phép quay Q(A, π/3) và phép vị tự
V(A, 1/2) biến E thành D
.D
7. Cho tam giác đều ABC và hai điểm D, E thỏa mãn các hệ
thức: 2AD + CD = 0 và 3AE + 2BA = 0
a. Xác định phép đồng dạng F tâm A, biến E thành D
A
CB
.D60O
E. .E’
Vì tích một phép quay và một phép vị
tự là một phép đồng dạng, nên phép
đồng dạng biến E thành D là phép
đồng dạng với:
Tâm A
Góc 60o
Tỉ số đồng dạng k = 1/2
8. C
A
B
.D60O
E. .E’
.B’
Cho tam giác đều ABC và hai điểm D, E thỏa mãn các hệ
thức: 2AD + CD = 0 và 3AE + 2BA = 0
a. Xác định phép đồng dạng F tâm A, biến E thành D
b. Tìm ảnh của điểm B trong phép đồng dạng F.
Giải
b. Ta có:
C = Q(A, π/3) (B)
B’ = V(A, 1/2) (C) ⇒ AC = 2 AB’
Nên B’ là trung điểm AC.
Vậy ảnh của B qua phép đồng dạng là trung điểm B’ của AC
