1. Метод простых итераций
x=Bx+b
Строится интеграционная последовательность
,...2,1.........1
kприbBxx kk
Теорема. Если … 1,B то система уравнений имеет единственное решение х* и
итерации сходятся к решению со скоростью метрической погрешности.
Оценка погрешности итераций
* * 1
* 1 1 * 1
* 1 1 * 1
1 * 1
* 1 1
* * 1
* * 1
( )
( )
(1 )( )
( )
1
k k
k k k k
k k k k
k k k
k k k
k k
k k
x x Bx Bx
x x x x B x x
x x x x B x x
x x B x x
B x x x x
x x B x x
B
x x x x
B
Эта оценка используется на практике
Теорема. Пусть система x=Bx+b имеет единственное решение. Последовательные
приближения 1k k
x Bx b
сходятся к решению системы при любом начальном х0
тогда и
только тогда, когда все собственные значения матрицы В по модулю меньше 1.
1 1
1
1
1
( )
1 1
x Bx b
Ax b A E B
A B A
B
x Bx b B x b
b B
x A
B B
