de thi

1. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG
VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Phương trình mũ và phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương
trình Giải tích lớp 12. Đây là một phần hay và tương đối khó, trong cấu trúc của đề
thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng một vài năm gần đây loại toán này thường
rất hay xuất hiện. Để giải phương trình mũ và logarit có rất nhiều phương pháp, tuy
nhiên trong phạm vi nhỏ của bài viết này tác giả chỉ đề cập đến phương pháp sử
dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit.
I. Kiến thức cơ bản cần nhớ.
1, Hàm số ,0 1x
y a a= < ≠ đồng biến khi 1a > và nghịch biến khi 0 1a< < , tức là:
* Nếu 1a > thì 1 2
1 2
x x
x x a a> ⇔ > .
* Nếu 0 1a< < thì 1 2
1 2
x x
x x a a> ⇔ < .
* 1 2
1 2
x x
x x a a= ⇔ = .
2, Hàm số log ,0 1ay x a= < ≠ đồng biến khi 1a > và nghịch biến khi 0 1a< < , tức là:
* Nếu 1a > thì 1 2 1 20 log loga ax x x x> > ⇔ > .
* Nếu 0 1a< < thì 1 2 1 20 log loga ax x x x> > ⇔ < .
* 1 2 1 20 log loga ax x x x= > ⇔ = .
II. Các ví du minh hoạ.
Thí dụ 1. Giải phương trình 2
2 3 1.
x
x
= +
Lời giải. Chia hai vế của phương trình cho 2x
ta được:
3 1
1
2 2
x x
   
= + ÷  ÷ ÷   
Xét hàm số ( )
3 1
2 2
x x
f x
   
= + ÷  ÷ ÷   
có ( )
3 3 1 1
' ln ln 0,
2 2 2 2
x x
f x x R
   
= + < ∀ ∈ ÷  ÷ ÷   
.
Mặt khác ( )
2 2
3 1 3 1
2 1
2 2 4 4
f
   
= + = + = ÷  ÷ ÷   
. Vậy phương trình có nghiệm 1x = . Ta chứng
minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy, do ( )f x là hàm số nghịch
biến trên R nên ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 1
2 2 1
x f x f f x
x f x f f x
> ⇔ < ⇔ <
< ⇔ > ⇔ >

 .
Thí dụ 2. Giải phương trình ( ) ( ) ( )6 4 2 17 12 2 34 24 2 1.
x x x
− + − + − =
Lời giải. Ta có ( )
2
6 4 2 2 2− = − với 0 2 2 1< − <
( )
2
17 12 2 3 2 2− = − với 0 3 2 2 1< − <
( )
2
34 24 2 3 2 4− = − với 0 3 2 4 1< − <
Cấn Duy Phúc

2. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
Phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 4 1
x x x
− + − + − =
Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3 2 2 3 2 4
x x x
f x = − + − + − có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
' 2 2 2 ln 2 2 2 3 2 2 ln 3 2 2 2 3 2 4 ln 3 2 4 0,
x x x
f x x R= − − + − − + − − < ∀ ∈
Nhận xét rằng
1
2
x = là nghiệm của phương trình. Do vế trái là một hàm số nghịch biến,
vế phải luôn bằng 1, suy ra
1
2
x = là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thí dụ 3. Giải phương trình
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2 .
2
x x
x x
x
− −
− = −
Lời giải. Điều kiện 0x ≠
Nhận thấy rằng
2 2
2 2 2
1 2 1 2 2 1 1
1 2 .
2
x x x x
x x x x x
− − − +  
− = = − = − ÷
 
Đưa phương trình đã cho về dạng
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 22 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 1 2
2 2 2 . 2 .
2 2 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − − −
 − − − −
− = − ⇔ + = + ÷
 
Xét hàm số ( ) 2
2
t t
f t = + có ( )
1
' 2 ln 2 0,
2
t
f t t R= + > ∀ ∈ suy ra ( )f t là hàm số luôn đồng
biến. Mặt khác từ phương trình ta có
{ 2
2 2
0
2 2 2 2 2 0
1 1 2 1 1 2
2x
x x
x x x x
f f x
x x x x
≠
− =
 − − − − 
= ⇔ = ⇔ ⇔ = ÷  ÷
  
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2x = .
Thí dụ 4. Giải phương trình 2 2 1
2 3 2 3 1
x x
x x
x+
+ = + + +
Lời giải. Đưa phương trình về dạng
2 2 1 2 2 1 1
2 3 2 2.2 3 1 2 3 2 2 3 1
x x x x
x x x x x x
x x+ + +
+ + = + + + ⇔ + + = + + +
và đặt 2 , 1x
u v x= = + khi đó ta được phương trình 2 3 2 3u u v v
u v+ + = + +
xét hàm số ( ) 2 3t t
f t t= + + có ( )' 2 ln 2 3 ln3 1 0,t t
f t t R= + + > ∀ ∈ suy ra ( )f t là hàm số
đồng biến trên R , từ phương trình ta có ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = và phương trình ban đầu
tương đương với 2 1 2 1 0.x x
x x= + ⇔ − − =
Xét hàm số ( ) 2 1x
g x x= − − có ( ) ( ) 2
1 1
' 2 ln 2 1 ' 0 2 log
ln 2 ln 2
x x
g x g x x= − ⇒ = ⇔ = ⇔ =
Lại có ( )lim 2 1x
x
x
→+∞
− − = +∞ và ( )lim 2 1x
x
x
→−∞
− − = +∞
Suy ra bảng biến thiên của hàm số ( )g x là
Cấn Duy Phúc

3. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
x
−∞ 0 2
1
log
ln 2
1 +∞
g’(x) - 0 +
g(x)
+∞ +∞
0 0
g( 2
1
log
ln 2
)
(
2
1
log
ln 2
2 2
1 1
log 2 log 1 0
ln 2 ln 2
g
 
= − − < ÷
 
)
Căn cứ vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình ( ) 0g x = chỉ có nhiều nhất là
hai nghiệm. Mặt khác ( ) ( )0 1 0g g= = , vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 0x =
hoặc 1x = .
Thí dụ 5. Giải phương trình 2log 3x x= −
Lời giải. Điều kiện 0x >
Phương trình đã cho tương đương 2log 3x x+ =
Xét hàm số ( ) 2logf x x x= + với 0x > có ( )
1
' 1 0, 0
ln 2
f x x
x
= + > ∀ >
Vậy ( )f x là hàm số đồng biến, mặt khác ( )2 3f = nên 2x = là nghiệm duy nhất của
phương trình.
Thí dụ 6. Giải phương trình
2
2
3 2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
Lời giải. Đưa phương trình về dạng
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
3 3log 3 log 2 4 5 2 4 5 3x x x x x x x x+ + − + + = + + − + +
Đặt 2 2
3, 2 4 5u x x v x x= + + = + + ta được phương trình
3 3 3 3log log log logu v v u u u v v− = − ⇔ + = +
Xét hàm số ( ) 3log , 0f t t t t= + > ta có ( )
1
' 1 0, 0
ln3
f t t
t
= + > ∀ > suy ra f(x) là hàm
số đồng biến, từ tính đơn điệu của f(x) suy ra ( ) ( ) 2 2
3 2 4 5f u f v u v x x x x= ⇔ = ⇒ + + = + +
2 1
23 2 0 x
xx x =−
=−
⇔ + + = ⇔ 
Cấn Duy Phúc

4. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit
Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn bài toán, vậy phương trình có hai nghiệm 1x = −
hoặc 2x = − .
Thí dụ 7. Giải phương trình ( )2 2
3 3log 1 log 2x x x x x+ + − = −
Lời giải. Điều kiện 0x >
Ta đưa phương trình về dạng ( )
2
22
3 3
1 1
log 1 1 2 log 1 1 1
x x
x x x x
x x
 + +  
= − + − ⇔ + + = − − ÷  ÷
  
Dễ dàng nhận thấy ( )
2
1 1 1VP x= − − ≤ và do x>0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có
3
1 1 1
2 1 3 log 1 1x x x
x x x
 
+ ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ ÷
 
hay 1VT ≥ .
Dấu bằng xảy ra khi
( )2
1 1 1
1
2
1
x
x
x
x
− − =
+ =

⇔ =

Vậy phương trình có một nghiệm 1x = .
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
sin
1, 3 cos .
x
x=
2 2
sin cos 2
2, 2 2 3 sin 2 .x x
x+ = +
2
6 10 2
3, 3 6 6.x x
x x− +
= − + −
2 2
sin cos
4, 3 3 2 2 2.x x x x−
+ = + +
( )5, 8 3 1 4.x
x + =
( )2 2
2 62 6
6, 3 2.3 3 0.
xx x x ++ +
− + =
( ) ( )7, 2 3 2 3 2 .
x x
x
− + + =
( )3 78, log 2 log .x x+ =
( )4 4
6 29, log log .x x x+ =
( )2
3 210, log 3 13 log .x x x− − =
( )6log
2 611, log 3 log .x
x x+ =
( ) ( ) ( )2 3 4 512, log log 1 log 2 log 3 .x x x x+ + = + + +
( )
2
2 2
2 1
13, 2 6 1 log 1.
1
x
x x
x
+
− + = −
−
( ) ( )2
14, log 6 log 2 4.x x x x− − + = + +
Cấn Duy Phúc