3. Aturan-aturan untuk menentukan logika digital, atau
`switching algebra‟
Terkait dengan nilai-nilai Boolean yaitu 0, 1
Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-variabel – {X, Y, DIN, …}
Perjanjian logika positif
Tegangan (LOW, HIGH) (0, 1)
logika negatif – jarang digunakan
Operator-operator: { · , + , „ , }
Aksioma-aksioma dan Teorema-teorema …
Membantu untuk mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih
sederhana dan meningkatkan “area dan kecepatan” dari
rangkaian digital
3 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
4. Definisi: Ekspresi Boolean
Literal: sebuah variabel atau komplemennya
X′, X, DIN′, TK_L
Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND,
OR, tanda kurung, komplementasi
X+Y
P·Q · R
A+B · C
((DIN · Z′) + TK_L · A · B′ · C + Q5) · RESET′
Persamaan: variabel = ekspresi
P = ((DIN · Z′) + TK_L · A · B′ · C + Q5) · RESET′
4 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
5. Aksioma
Aksioma
kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1‟-A5‟) minimal yang
diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan
aljabar switching
Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar
switching lainnya (T1-T15).
5 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
7. Cont’
Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfect
induction)
Karena sebuah variabel switching hanya dapat
mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan
sebuah teorema dengan melibatkan sebuah
variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X
= 0 atau X =1
Contoh: (T1) X + 0 = X
X=0 : 0 + 0 = 0 benar menurut aksioma A4‟
X=1 : 1 + 0 = 1 benar menurut aksioma A5‟
7 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
8. Teorema-teorema dua dan tiga variabel (T6-
T11)
(T6) X+Y=Y+X (T6′) X·Y=Y·X (Commutativity)
(T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7′) (X · Y) · Z = X · (Y · Z) (Associativity)
(T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (T8′) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z (Distributivity)
(T9) X+X·Y=X (T9′) X · (X + Y) = X (Convering)
(T10) X · Y + X · Y′ = X (T10′) (X + Y) · (X + Y′) = X (Combining)
(T11) X · Y + X′ · Z + Y · Z = X · Y + X′ · Z
(Consensus)
(T11′) (X + Y) · (X′ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X′ + Z)
8 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
9. Cont‟
Dualitas:
Tes: 0 & 1, AND & OR teorema-teorema tetap
benar?
Ya!! …kenapa? … setiap aksioma memiliki sebuah
dual …
Hati-hati dengan` urutan operator (operator
precedence ’ dan penggunaan tanda kurung)
9 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
10. Teorema T6, T7
(Commutatif)
(T6) X + Y = Y + X
(T6’) X · Y = Y · X
(Assosiatif)
(T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
(T7’) (X · Y) · Z = X · (Y · Z)
10 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
11. Cont‟
Mirip dengan hukum-hukum komutatif dan
asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari
bilangan-bilangan bulat dan riil
11 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
12. Teorema T8
(Distributif)
(T8) X · Y + X · Z = X · (Y + Z)
(T8’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z
Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs. Perkalian dari jumlah (product-
of-sums (POS))
V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z = V · (W + X) · (Y + Z)
(bentuk SOP) (bentuk POS)
(V · W · X) + (Y · Z ) = (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) · (X + Z)
Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana
Yang mana lebih logis menurut anda?
12 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
13. Teorema T9, T10
(Covering)
(T9) X + X · Y = X
(T9’) X · (X + Y) = X
(Kombinasi)
(T10) X · Y + X · Y’ = X
(T10’) (X + Y) · (X + Y’) = X
Berguna dalam penyederhanaan fungsi-fungsi logika
13 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
14. Teorema T11
(konsensus)
(T11) X · Y + X’ · Z + Y · Z = X · Y + X’ · Z
(T11’) (X + Y) · ( X’ + Z) · (Y + Z) = (X + Y) · (X’ + Z)
Pada T11 term Y·Z disebut konsensus dari term X·Y dan X‟·Z:
Jika Y · Z = 0, maka T11 pasti benar
Jika Y · Z = 1, maka X · Y atau X‟ · Z harus 1
Sehingga term Y · Z : redundan dan harus dibuang
14 Zulfadli Sulthan - PTIK - UNM 12/13/2011
