2015年8月3日に開催された第384回科学勉強会（http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/）にて辻（@tsujimotter）が発表した資料です。

1. 無理数とお友達になろう
日曜数学者
辻 順平
ウェブサイト： http://tsujimotter.info/

2. 整数とお友達になろう（第348回 科学勉強会）
http://www.slideshare.net/junpeitsuji/ss-­‐39378514
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it
!!

3. 今日は「無理数」と
お友達になりましょう！
3

4. ほとんどすべての実数は「無理数」である
4
お友達がたくさんできる

5. 5
今日は全部で１２組のお友達（無理数）をご紹介します
0 5 20 25
p
5
p
3
p
2
⇣(2)
⇣(3)
⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . .
e ⇡ e⇡
0.123 . . . p
2
p
2

6. 本日のお品書き
• 無理数と超越数
• 絶対に覚えたい基本的な無理数３選
「無理数であること」の証明法
• 超越数発見の秘技「ゲルフォント・シュナイダーの定理」
• ゼータ・ファミリー
6

7. 無理数とは
有理数ではない数のこと
・・・・
7

8. 定義
有理数とは
30
384
3.84
=
384
100
3
=
3
1
整数の比（分数）で表すことができる数のこと
8
0.142857
=
1
7
・ ・

9. 無理数
有理数
実
数
全
体
π
=
3.14159265…
e
=
2.71828182846…
√2
=
1.41421356…
3
3.84
30
384 9
無
限
続
循
環
小
数

10. 無理数
有理数
実
数
全
体
もう少し細かく分類できない？
10

11. 超越数
代数的数
有理数
実
数
全
体
11

12. 有理数 x は分数の形で表せる
（互いに素な）整数
有理数の別の定義
整数係数の一次方程式の解
・・・・・
12
x =
b
a
整数係数の一次方程式
両辺 a をかける
() ax = b

13. 代数的数の定義
整数係数のｎ次方程式の解（ｎは正の整数）
※「代数的数ではない数」のことを超越数という
・・・・・
13
一般化
例：
の解
の解
•
•
x2
= 2 x
-2x10
+ 7x7
+ 6x3
- 19 = 0 x

14. 超越数
代数的数
有理数
π
=
3.14159265…
e
=
2.71828182846…
√2
=
1.41421356…
3
3.84
30
384 14

15. 絶対に覚えたい
基本的な無理数３選
√2
,
e,
π
15

16. √2
（ルート２）
• 代数的数
• 数学史上，最初に発見された「無理数」
の解のうち，正のもの
定義
超
代
有
お友達候補
No.
1
二次方程式
16
x2
= 2

17. 超
代
有
一辺の長さが
1
の正方形の対角線の長さは
√2
ピタゴラスの定理
1
1
17
x2
= 12
+ 12
) x2
= 2

18. 超
代
有 18
ピタゴラス
「すべての数は整数の比で表せる（有理数）はずだ」
弟子「ピタゴラス先生の定理使ったら
有理数じゃない数できたったwww」
ピタゴラス「・・・」

19. どうして
無理数だと
わかるの？
19

20. 「無理数であること」の証明法
「（証明したい数が）有理数である」
と仮定して矛盾を導く
背理法（はいりほう）
20

21. 「無理数であること」の証明は
たいへん
一般に
21

22. 「√2
は無理数である」の証明（概略）
「
は有理数である」を仮定すると，
とかける（ただし，
は互いに素な整数）
いろいろあって，
実は は互いに素ではないことがわかる 仮定と矛盾
背理法により仮定は誤り
よって「 は無理数である」
22
・・
a, b
p
2 = b
a
p
2 = b
a
p
2 = b
a
a, b

23. p
2,
p
3,
p
4,
p
5,
p
6,
p
7, . . .超
代
有
お友達候補
No.
2
平方数ではない正の整数の平方根
は
すべて「無理数」
23

24. 超
代
有
おぼえかた
ひと よひとよにひとみご ろ
ひと な み に お ご れ や
ふ じさんろくおうむなく
24
p
2 = 1.41421356...
p
3 = 1.7320508...
p
5 = 2.2360679...

25. e
（ネイピア数）
• 微分積分学に登場する基本定数
• 歴史上２番目に超越数であることが示された数
（証明：エルミート，1873年）
定義
超
代
有
お友達候補
No.
3
25
e = lim
n!1
✓
1 +
1
n
◆n

26. 超
代
有 26
e = lim
n!1
✓
1 +
1
n
◆n
= 2.7182818...

27. 超
代
有
自然対数の底 指数関数は
微分しても形が変わらない
27
loge x (ex
)0
= ex

28. 超
代
有
テイラー展開が分かりやすい形でかける
無限和の形で書くことが出来る！
ex
= 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+
x5
5!
+ · · ·
e = 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ · · ·
x = 1

29. π
（円周率）
• 古代より知られた，円を象徴する定数
• リンデマンにより超越数であることが示された（1882
年）
定義
超
代
有
お友達候補
No.
4
円周
直径
π
=
直径
円周
29

30. 超
代
有
どんな円をとってきても，円周と直径の比は一定
《不変なものには名前をつける価値がある》
数学ガール／ガロア理論より引用

31. 超
代
有 31
⇡ = 3.14159265358...

32. 超
代
有
ライプニッツの公式
円周率πも無限和によって表せる
32
⇡ = 4
✓
1
1
-
1
3
+
1
5
-
1
7
+ · · ·
◆

33. 超
代
有
これら２つの超越数はきれいな無限和で表すことができる
33
⇡ = 4
✓
1
1
-
1
3
+
1
5
-
1
7
+ · · ·
◆
e = 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ · · ·

34. 絶対に覚えたい
基本的な無理数３選
√2
,
e,
π
Complete!!
34

35. もっとお友達（無理数）を
増やしたい
35

36. 超越数かどうか不明
有理数か無理数か，すらわからない
（未解決問題）
どちらも超越数
36
e ⇡
e + ⇡ e - ⇡
e⇡ ⇡
e
ee
⇡⇡

37. 無理数（超越数）を
見つけるのは難しい
37

38. 超越数発見の
秘技 38

39. ゲルフォント
・
シュナイダー
の定理

40. ゲルフォント・シュナイダーの定理
0, 1 ではない数
有理数ではない数
のいずれか１つは超越数
超代代
40
a
b
a, b, ab

41. オイラーの公式
「世界一美しい式」とよく言われる式
（基本的な定数 がきれいに組み合わされた式）
41
ei⇡
= -1
e, ⇡, i =
p
-1

42. オイラーの公式
「世界一美しい式」とよく言われる式
（基本的な定数 がきれいに組み合わされた式）
42
ei⇡
= -1
e, ⇡, i =
p
-1超越数論において実用的な式の１つ

43. 使い方（例）
0,1 ではない代数的数
有理数ではない
代数的数
43
e⇡
= (ei⇡
)-i
∵オイラーの公式
= (-1)-i
よって，ゲルフォント・シュナイダーの定理より， は超越数e⇡
= (ei⇡
)-

44. 定義
eπ
（ゲルフォントの定数）
超
代
有
お友達候補
No.
5
ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数
44
e⇡
= 23.1406926328...

45. 超
代
有
お友達候補
No.
6
ゲルフォント・ファミリー
45
自然数
n
に対する は
ゲルフォント・シュナイダーの定理より，すべて超越数
e⇡
p
n
e⇡
p
2
, e⇡
p
3
, e⇡
p
4
, e⇡
p
5
, e⇡
p
6
, e⇡
p
7
, . . .

46. 超
代
有 46
=
262537412640768743.99999999999925007…
超越数であるにも関わらず，
整数に非常に近い値をとる不思議な定数
（ほとんど整数）
e⇡
p
163

47. 超
代
有
お友達候補
No.
7
√2√2
（ルート２のルート２乗）
ゲルフォント・シュナイダーより超越数であることが示せる
p
2
p
2
0,1 ではない代数的数
有理数ではない
代数的数
47

48. 超
代
有
お友達候補
No.
8
チャンパーノウン数
定義
小数点以下に正の整数を１から順に並べた数
48
単純な形で定められるにも関わらず，無理数かつ超越数
0.12345678910111213...

49. ゼータ・ファミリー
49

50. ゼータ関数ギリシャ文字の
“ゼータ”
50
⇣(x) =
1
1x
+
1
2x
+
1
3x
+
1
4x
+
1
5x
+ · · ·
変数 に整数を入れたときのゼータ関数の値について考えたいx

51. （ゼータツー）
定義
超
代
有
お友達候補
No.
9
51
⇣(2) =
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+
1
52
+ · · ·
⇣(2)
• オイラーが を証明した（1735年）
⇣(2) = ⇡2
6
• リンデマンが「 は超越数である」を証明し，
超越数であることが明らかに（1882年）
⇡2

52. 超
代
有
偶数のゼータはすべて超越数
お友達候補
No.
10
（奇数のゼータは，ほとんどの場合無理数かどうかさえ不明）
・・・・・・・
⇣(2) =
⇡2
6
⇣(4) =
⇡4
90
⇣(6) =
⇡6
945
⇣(8) =
⇡8
9450
⇣(10) =
⇡10
93555
⇣(12) =
691⇡12
638512875

53. （ゼータスリー，アペリーの定数）
定義
無
有
お友達候補
No.
11
53
⇣(3)
ロジャー・アペリーが「 は無理数である」を証明（1978年）⇣(3)
⇣(3) =
1
13
+
1
23
+
1
33
+
1
43
+
1
53
+ · · ·
= 1.2020569...

54. 54
1700年 1800年 1900年 2000年
オイラー（1735年）
リンデマン（1882年）
は超越数
アペリー（1978年）
は無理数
約１００年
⇣(2) =
⇡2
6
⇣(2n)
⇣(3)
（未解決問題）
以外の奇数ゼータの無理性⇣(3)

55. （ゼータファイブ）
（ゼータセブン）
（ゼータナイン）
（ゼータイレブン）
無
有
お友達候補？
No.
12
のうち，少なくとも１つは無理数（W.
Zudilin,
2001年）
55
⇣(5)
⇣(7)
⇣(9)
⇣(11)

56. 奇数ゼータは
超HOT！
56

57. なぜ「無理数かどうか」
にこだわるのか
57

58. 無
有
これ以上簡単には表現できない
X
がもし無理数であれば・・・
58
「無理数かどうか」が分かれば
「（その数は）どこまで表現可能か」が分かる
x = 1 -
1
9
+
1
81
-
1
729
+ · · ·
X
がもし有理数であれば・・・
のように分数で表現できる
x =
9
10

59. 「無理数であるかどうか」は
「数の理解」についての本質的な問い
59

60. まとめ
• 「無理数であるかどうか」は「数の理解」についての本質的な問い
である
• ほとんどすべての実数は「無理数（超越数）」であるにも関わらず，
人類がそれと知っている数はごく一部である（未解決問題の宝庫）
• 「ゲルフォント・シュナイダーの定理」をはじめとした「秘技」に
よって，いくつかのクラスの超越数を見つけることができる
60

61. ちょっと取っ付きにくいやつらですが，
いいやつらなので，お友達になってあげてください
0 5 20 25
p
5
p
3
p
2
⇣(2)
⇣(3)
⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . .
e ⇡ e⇡
0.123 . . . p
2
p
2
無理数とお友達になろう（完）
61

62. 参考文献
• 塩川宇賢 著「無理数と超越数」森北出版
(定価
2,400
円)
62

63. 補足
63

64. 定義
α
（リウヴィルの定数）
超
代
有
お友達候補
No.
0
• 超越数と証明された最初の数（リウヴィル，1844年）
• 「超越数論」の研究はここからはじまった
64
c ↵ =
1
2
+
1
22!
+
1
23!
+
1
24!
+
1
25!
+ · · ·

65. 「√2
は無理数である」の証明
65

66. 例：√2
の場合
「√2
が有理数である」と仮定する
・・・・
とかける
ただし， は互いに素な整数
4
5
6
1
2
3
66
p
2 =
b
a
a, b

67. 例：√2
の場合
両辺二乗すると
両辺に a をかけて
左辺は偶数 よって， も偶数
4
5
6
1
2
3
67
p
2a = b
2a2
= b2
b2

68. 例：√2
の場合
は偶数より， も偶数
したがって， とかける
整数
4
5
6
1
2
3
68
b2
b2
b = 2b0

69. 例：√2
の場合
代入すると
右辺は偶数
よって，同様に とかける
4
5
6
1
2
3
69
2a = (2b0
)2
) 2a = 4b02
) a2
= 2b02
a = 2a0

70. 例：√2
の場合
これまでの議論より，
とかけることが分かった。
つまり は互いに素ではない
これは仮定「√2
は有理数である」に矛盾する
4
5
6
1
2
3
70
すなわち はいずれも２で割り切れる。
a = 2a0
b = 2b0
a, b
a, b

71. 例：√2
の場合
背理法により，仮定「√2
は有理数である」は誤り
したがって，
「√2
は無理数である」が示された（証明終わり）
4
5
6
1
2
3
71

72. 参考：ヒルベルトの２３の問題（第７問）
『a
が 0
でも 1
でもない代数的数で，
b
が代数的無理数であるとき，ab
は超越数であるか』
72