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無理数とお友達になろう - 第384回科学勉強会

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2015年8月3日に開催された第384回科学勉強会(http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/)にて辻(@tsujimotter)が発表した資料です。

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無理数とお友達になろう - 第384回科学勉強会

  1. 1. 無理数とお友達になろう 日曜数学者    辻 順平 ウェブサイト: http://tsujimotter.info/    
  2. 2. 整数とお友達になろう(第348回 科学勉強会) http://www.slideshare.net/junpeitsuji/ss-­‐39378514     Check  it  !!
  3. 3. 今日は「無理数」と   お友達になりましょう! 3
  4. 4. ほとんどすべての実数は「無理数」である 4 お友達がたくさんできる
  5. 5. 5 今日は全部で12組のお友達(無理数)をご紹介します 0 5 20 25 p 5 p 3 p 2 ⇣(2) ⇣(3) ⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . . e ⇡ e⇡ 0.123 . . . p 2 p 2
  6. 6. 本日のお品書き •  無理数と超越数   •  絶対に覚えたい基本的な無理数3選   「無理数であること」の証明法   •  超越数発見の秘技「ゲルフォント・シュナイダーの定理」   •  ゼータ・ファミリー   6
  7. 7. 無理数とは   有理数ではない数のこと ・・・・ 7
  8. 8. 定義 有理数とは 30   384 3.84    = 384   100 3    = 3   1 整数の比(分数)で表すことができる数のこと 8 0.142857    = 1   7 ・ ・
  9. 9. 無理数 有理数 実 数 全 体 π  =  3.14159265…     e  =  2.71828182846… √2  =  1.41421356… 3 3.84 30   384 9 無 限 続 循 環 小 数
  10. 10. 無理数 有理数 実 数 全 体 もう少し細かく分類できない? 10
  11. 11. 超越数 代数的数   有理数 実 数 全 体 11
  12. 12. 有理数 x は分数の形で表せる (互いに素な)整数 有理数の別の定義 整数係数の一次方程式の解 ・・・・・ 12 x = b a 整数係数の一次方程式 両辺 a をかける () ax = b
  13. 13. 代数的数の定義 整数係数のn次方程式の解(nは正の整数) ※「代数的数ではない数」のことを超越数という ・・・・・ 13 一般化 例: の解 の解 •      •    x2 = 2 x -2x10 + 7x7 + 6x3 - 19 = 0 x
  14. 14. 超越数 代数的数   有理数 π  =  3.14159265…     e  =  2.71828182846… √2  =  1.41421356… 3 3.84 30   384 14
  15. 15. 絶対に覚えたい   基本的な無理数3選 √2  ,      e,      π 15
  16. 16. √2  (ルート2) •  代数的数   •  数学史上,最初に発見された「無理数」 の解のうち,正のもの 定義 超 代   有 お友達候補  No.  1 二次方程式 16 x2 = 2
  17. 17. 超 代   有 一辺の長さが  1  の正方形の対角線の長さは  √2   ピタゴラスの定理 1 1 17 x2 = 12 + 12 ) x2 = 2
  18. 18. 超 代   有 18 ピタゴラス 「すべての数は整数の比で表せる(有理数)はずだ」 弟子「ピタゴラス先生の定理使ったら   有理数じゃない数できたったwww」 ピタゴラス「・・・」
  19. 19. どうして   無理数だと   わかるの? 19
  20. 20. 「無理数であること」の証明法 「(証明したい数が)有理数である」   と仮定して矛盾を導く 背理法(はいりほう) 20
  21. 21. 「無理数であること」の証明は   たいへん 一般に 21
  22. 22. 「√2  は無理数である」の証明(概略) 「     は有理数である」を仮定すると,        とかける(ただし,     は互いに素な整数)   いろいろあって,   実は  は互いに素ではないことがわかる   仮定と矛盾   背理法により仮定は誤り        よって「  は無理数である」 22 ・・ a, b p 2 = b a p 2 = b a p 2 = b a a, b
  23. 23. p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, . . .超 代   有 お友達候補  No.  2 平方数ではない正の整数の平方根 は すべて「無理数」 23
  24. 24. 超 代   有 おぼえかた ひと よひとよにひとみご ろ ひと な み に お ご れ や ふ じさんろくおうむなく 24 p 2 = 1.41421356... p 3 = 1.7320508... p 5 = 2.2360679...
  25. 25. e  (ネイピア数) •  微分積分学に登場する基本定数   •  歴史上2番目に超越数であることが示された数    (証明:エルミート,1873年) 定義 超 代   有 お友達候補  No.  3 25 e = lim n!1 ✓ 1 + 1 n ◆n
  26. 26. 超 代   有 26 e = lim n!1 ✓ 1 + 1 n ◆n = 2.7182818...
  27. 27. 超 代   有 自然対数の底 指数関数は 微分しても形が変わらない 27 loge x (ex )0 = ex
  28. 28. 超 代   有 テイラー展開が分かりやすい形でかける 無限和の形で書くことが出来る! ex = 1 + x 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + · · · e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + · · · x = 1
  29. 29. π  (円周率) •  古代より知られた,円を象徴する定数   •  リンデマンにより超越数であることが示された(1882  年) 定義 超 代   有 お友達候補  No.  4 円周 直径 π  =   直径 円周 29
  30. 30. 超 代   有 どんな円をとってきても,円周と直径の比は一定 《不変なものには名前をつける価値がある》   数学ガール/ガロア理論より引用
  31. 31. 超 代   有 31 ⇡ = 3.14159265358...
  32. 32. 超 代   有 ライプニッツの公式 円周率πも無限和によって表せる 32 ⇡ = 4 ✓ 1 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + · · · ◆
  33. 33. 超 代   有 これら2つの超越数はきれいな無限和で表すことができる 33 ⇡ = 4 ✓ 1 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + · · · ◆ e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + · · ·
  34. 34. 絶対に覚えたい   基本的な無理数3選 √2  ,      e,      π Complete!! 34
  35. 35. もっとお友達(無理数)を   増やしたい   35
  36. 36. 超越数かどうか不明 有理数か無理数か,すらわからない (未解決問題) どちらも超越数 36 e ⇡ e + ⇡ e - ⇡ e⇡ ⇡ e ee ⇡⇡
  37. 37. 無理数(超越数)を   見つけるのは難しい 37
  38. 38. 超越数発見の   秘技 38
  39. 39. ゲルフォント   ・   シュナイダー の定理
  40. 40. ゲルフォント・シュナイダーの定理 0, 1 ではない数 有理数ではない数 のいずれか1つは超越数   超代代 40 a b a, b, ab
  41. 41. オイラーの公式 「世界一美しい式」とよく言われる式 (基本的な定数        がきれいに組み合わされた式) 41 ei⇡ = -1 e, ⇡, i = p -1
  42. 42. オイラーの公式 「世界一美しい式」とよく言われる式 (基本的な定数        がきれいに組み合わされた式) 42 ei⇡ = -1 e, ⇡, i = p -1超越数論において実用的な式の1つ
  43. 43. 使い方(例) 0,1 ではない代数的数 有理数ではない 代数的数 43 e⇡ = (ei⇡ )-i ∵オイラーの公式 = (-1)-i よって,ゲルフォント・シュナイダーの定理より,   は超越数e⇡ = (ei⇡ )-
  44. 44. 定義    eπ  (ゲルフォントの定数) 超 代   有 お友達候補  No.  5 ゲルフォント・シュナイダーの定理より超越数 44 e⇡ = 23.1406926328...
  45. 45. 超 代   有 お友達候補  No.  6   ゲルフォント・ファミリー 45 自然数  n  に対する    は   ゲルフォント・シュナイダーの定理より,すべて超越数   e⇡ p n e⇡ p 2 , e⇡ p 3 , e⇡ p 4 , e⇡ p 5 , e⇡ p 6 , e⇡ p 7 , . . .
  46. 46. 超 代   有 46 =  262537412640768743.99999999999925007… 超越数であるにも関わらず,   整数に非常に近い値をとる不思議な定数   (ほとんど整数) e⇡ p 163
  47. 47. 超 代   有 お友達候補  No.  7   √2√2  (ルート2のルート2乗) ゲルフォント・シュナイダーより超越数であることが示せる p 2 p 2 0,1 ではない代数的数 有理数ではない 代数的数 47
  48. 48. 超 代   有 お友達候補  No.  8   チャンパーノウン数 定義 小数点以下に正の整数を1から順に並べた数 48 単純な形で定められるにも関わらず,無理数かつ超越数 0.12345678910111213...
  49. 49. ゼータ・ファミリー 49
  50. 50. ゼータ関数ギリシャ文字の “ゼータ” 50 ⇣(x) = 1 1x + 1 2x + 1 3x + 1 4x + 1 5x + · · · 変数  に整数を入れたときのゼータ関数の値について考えたいx
  51. 51.     (ゼータツー) 定義 超 代   有 お友達候補  No.  9 51 ⇣(2) = 1 12 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + · · · ⇣(2) •  オイラーが       を証明した(1735年)  ⇣(2) = ⇡2 6 •  リンデマンが「  は超越数である」を証明し,     超越数であることが明らかに(1882年) ⇡2
  52. 52. 超 代   有 偶数のゼータはすべて超越数   お友達候補  No.  10 (奇数のゼータは,ほとんどの場合無理数かどうかさえ不明)   ・・・・・・・ ⇣(2) = ⇡2 6 ⇣(4) = ⇡4 90 ⇣(6) = ⇡6 945 ⇣(8) = ⇡8 9450 ⇣(10) = ⇡10 93555 ⇣(12) = 691⇡12 638512875
  53. 53.     (ゼータスリー,アペリーの定数) 定義 無 有 お友達候補  No.  11 53 ⇣(3) ロジャー・アペリーが「  は無理数である」を証明(1978年)⇣(3) ⇣(3) = 1 13 + 1 23 + 1 33 + 1 43 + 1 53 + · · · = 1.2020569...
  54. 54. 54 1700年 1800年 1900年 2000年 オイラー(1735年) リンデマン(1882年) は超越数 アペリー(1978年) は無理数 約100年 ⇣(2) = ⇡2 6 ⇣(2n) ⇣(3) (未解決問題) 以外の奇数ゼータの無理性⇣(3)
  55. 55.     (ゼータファイブ)    (ゼータセブン)    (ゼータナイン)     (ゼータイレブン) 無 有 お友達候補?  No.  12 のうち,少なくとも1つは無理数(W.  Zudilin,  2001年) 55 ⇣(5) ⇣(7) ⇣(9) ⇣(11)
  56. 56. 奇数ゼータは   超HOT! 56
  57. 57. なぜ「無理数かどうか」   にこだわるのか 57
  58. 58. 無 有 これ以上簡単には表現できない X  がもし無理数であれば・・・ 58 「無理数かどうか」が分かれば   「(その数は)どこまで表現可能か」が分かる x = 1 - 1 9 + 1 81 - 1 729 + · · · X  がもし有理数であれば・・・ のように分数で表現できる x = 9 10
  59. 59. 「無理数であるかどうか」は   「数の理解」についての本質的な問い 59
  60. 60. まとめ •  「無理数であるかどうか」は「数の理解」についての本質的な問い である   •  ほとんどすべての実数は「無理数(超越数)」であるにも関わらず, 人類がそれと知っている数はごく一部である(未解決問題の宝庫)   •  「ゲルフォント・シュナイダーの定理」をはじめとした「秘技」に よって,いくつかのクラスの超越数を見つけることができる   60
  61. 61. ちょっと取っ付きにくいやつらですが, いいやつらなので,お友達になってあげてください 0 5 20 25 p 5 p 3 p 2 ⇣(2) ⇣(3) ⇣(4), ⇣(5), ⇣(6), . . . e ⇡ e⇡ 0.123 . . . p 2 p 2 無理数とお友達になろう(完) 61
  62. 62. 参考文献 •  塩川宇賢 著「無理数と超越数」森北出版   (定価  2,400  円) 62
  63. 63. 補足 63
  64. 64. 定義   α  (リウヴィルの定数) 超 代   有 お友達候補  No.  0 •  超越数と証明された最初の数(リウヴィル,1844年)   •  「超越数論」の研究はここからはじまった   64 c ↵ = 1 2 + 1 22! + 1 23! + 1 24! + 1 25! + · · ·
  65. 65. 「√2  は無理数である」の証明 65
  66. 66. 例:√2  の場合 「√2  が有理数である」と仮定する   ・・・・ とかける ただし,   は互いに素な整数 4 5 6 1 2 3 66 p 2 = b a a, b
  67. 67. 例:√2  の場合 両辺二乗すると 両辺に a をかけて 左辺は偶数 よって,  も偶数 4 5 6 1 2 3 67 p 2a = b 2a2 = b2 b2
  68. 68. 例:√2  の場合 は偶数より, も偶数 したがって,     とかける 整数 4 5 6 1 2 3 68 b2 b2 b = 2b0
  69. 69. 例:√2  の場合 代入すると 右辺は偶数 よって,同様に      とかける 4 5 6 1 2 3 69 2a = (2b0 )2 ) 2a = 4b02 ) a2 = 2b02 a = 2a0
  70. 70. 例:√2  の場合 これまでの議論より, とかけることが分かった。 つまり   は互いに素ではない   これは仮定「√2    は有理数である」に矛盾する 4 5 6 1 2 3 70 すなわち    はいずれも2で割り切れる。   a = 2a0 b = 2b0 a, b a, b
  71. 71. 例:√2  の場合 背理法により,仮定「√2  は有理数である」は誤り     したがって,   「√2    は無理数である」が示された(証明終わり)   4 5 6 1 2 3 71
  72. 72. 参考:ヒルベルトの23の問題(第7問)   『a  が 0  でも 1  でもない代数的数で,   b  が代数的無理数であるとき,ab  は超越数であるか』 72

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