Se presentan problemas resueltos donde se calculan desplazamentos en estructuras estáticamente determinadas aplicando el método del trabajo virtual

1. PROBLEMA Nº 1
• Aplicando el método del trabajo virtual determine VA y A,
considerando sólo el efecto de la flexión.
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

2. PROBLEMA Nº 1
• 1ro. Se analiza la estabilidad y
determinación de la estructura.
• Descripción de la estructura: Es una
estructura plana conformada dos elementos
unidos en B por medio de una junta rígida.
Esto hace que se comporte como un solo
cuerpo que requiere sólo de tres reacciones,
no concurrentes y no paralelas para que sea
estable y estáticamente determinada.
• El apoyo en D es un empotramiento que
proporciona tres reacciones: r = 3. El número
de ecuaciones de equilibrio en el plano es e =
3 y no existe inestabilidad geométrica
externa, como r = e = 3 se concluye que la
estructura es estable y estáticamente
determinada.
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

3. PROBLEMA Nº 1
• 2do. Se determinan las reacciones en
la estructura real.
• Se reconocen los tipos de apoyos. Se
dibuja el diagrama de cuerpo libre. Se
sustituyen los apoyos por la reacción
correspondiente.
• 𝑀𝐷 = 0; 3 ∙ 4 − 2 − 𝑀𝐷 = 0
• 𝑀𝐷 = 10 𝑡 ∙ 𝑚
• 𝐹𝑥 = 0; 𝐷𝑥 = 0
• 𝐹𝑦 = 0; 𝐷𝑦 − 4 = 0
• 𝐷𝑦 = 4 𝑡
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

4. PROBLEMA Nº 1
• 3ro. Se determinan las ecuaciones de
momento flector para la estructura real, en
términos de una variable s, para cada
segmento de la estructura.
• Tramo DC, 0  s1  2
• M1 + 10 – (s1)*4 = 0; M1 = 4*s1 – 10 (1)
• Tramo CB, 0  s2  2
• M2 + 2 + 10 – (s2 + 2)*4 = 0;
• M2 = 4*s2 – 4 (2)
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

5. PROBLEMA Nº 1
• Tramo AB, 0  s3  2,5 m
• M3 + (x3 / 2)*2*x3 ; M3 = −𝑥3
2
(3)
• Pero x3 = 𝑠3 ∙
4
5
, Dado que 4/5 es el coseno
del ángulo entre la carga distribuida y el
segmento de viga inclinada. Sustituyendo en
(3).
• M3 = −
16
25
∙ 𝑠3
2
(4)
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

6. PROBLEMA Nº 1
• 4to. Se determinan las reacciones en sistema
virtual y se determinan las ecuaciones de
momento flector para cada segmento.
• Se reconocen los tipos de apoyos. Se dibuja el
diagrama de cuerpo libre. Se sustituyen los
apoyos por la reacción correspondiente.
• 𝑚𝐷 = 0; 2 ∙ 1 − 𝑚𝐷 = 0
• 𝑚𝐷 = 2 𝑡 ∙ 𝑚
• 𝐹𝑥 = 0; 𝐷𝑥 = 0
• 𝐹𝑦 = 0; 𝑑𝑦 − 1 = 0
• 𝑑𝑦 = 1 𝑡
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

7. PROBLEMA Nº 1
• Se determinan las ecuaciones de momento
flector para la estructura virtual, en
términos de una variable s, para cada
segmento de la estructura.
• Tramo DC, 0  s1  2
• m1 + 2 – (s1)*1 = 0; M1 = s1 – 2 (5)
• Tramo CB, 0  s2  2
• m2 + 2 – (s2 + 2)*1 = 0;
• m2 = s2 (6)
• Tramo AB, 0  s3  2,5 m
• m3 + (x3 )*1 ; m3 = −𝑥3 (7)
• Pero x3 = 𝑠3 ∙
4
5
,
• m3 = −
4
5
𝑠3 (8)
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

8. PROBLEMA Nº 1
• 5to. Aplicamos la fórmula de cálculo de desplazamientos
por efectos de la flexión a cada segmento y se hace la
suma algebraica de los términos obtenidos.
• 1 ∙ ∆𝑉𝐴 = 0
𝐿
𝑚
𝑀 𝑑𝑠
𝐸𝐼
• 1 ∙ ∆𝑉𝐴 = 0
2
𝑠 − 2
4𝑠−10 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ 0
2
𝑠
4𝑠−4 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+
0
2,5
−
4
5
𝑠
−
16
25
𝑠2 𝑑𝑠
𝐸𝐼
• ∆𝑉𝐴 = 0
2 4𝑠2
−18 𝑠+20 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ 0
2 4 𝑠2
−4𝑠 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ 0
2,5
64
125
𝑠3
𝑑𝑠
𝐸𝐼
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

9. PROBLEMA Nº 1
• Cálculo de la rotación en A, A
• Se determinan las reacciones en sistema
virtual y se determinan las ecuaciones
de momento flector para cada
segmento.
• Se reconocen los tipos de apoyos. Se
dibuja el diagrama de cuerpo libre. Se
sustituyen los apoyos por la reacción
correspondiente.
• 𝑚𝐷 = 0; 1 − 𝑚𝐷 = 0
• 𝑚𝐷 = 1 𝑡 ∙ 𝑚
• 𝐹𝑥 = 0; 𝑑𝑥 = 0
• 𝐹𝑦 = 0; 𝑑𝑦 = 0
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

10. PROBLEMA Nº 1
• Se determinan las ecuaciones de momento
flector para la estructura virtual, en
términos de una variable s, para cada
segmento de la estructura.
• Tramo DC, 0  s1  2
• m1 - 1; m1 = 1 (9)
• Tramo CB, 0  s2  2
• m2 - 1 = 0;
• m2 = 1 (10)
• Tramo AB, 0  s3  2,5 m
• m3 + 1 ; m3 = −1 (11)
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

11. PROBLEMA Nº 1
• 5to. Aplicamos la fórmula de cálculo de desplazamientos por efectos
dela flexión a cada segmento y se hace la suma algebraica de los
términos obtenidos.
• 1 ∙ ∆𝜃𝐴 = 0
𝐿
𝑚
𝑀 𝑑𝑠
𝐸𝐼
• 1 ∙ ∆𝜃𝐴 = 0
2
1
4𝑠−10 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ 0
2
1
4𝑠−4 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ 0
2,5
−1
−
16
25
𝑠2 𝑑𝑠
𝐸𝐼
• ∆𝜃𝐴 = 0
2 4𝑠−10 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ 0
2 4𝑠−4 𝑑𝑠
𝐸𝐼
+ 0
2,5
16
25
𝑠2 𝑑𝑠
𝐸𝐼
• Lo que indica que rota en sentido antihorario, es decir, en sentido opuesto a
como se supuso el sentido del momento unitario.
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales