1. 1/2/2013
1
CHƯƠNG II
MÔ HÌNH HOÁ HOẠT ĐỘNG KINH TẾ CÓ YẾU TỐ RỦI RO
Nội dung chính
- Mô hình hóa hoạt động có yếu tố rủi ro của tác
nhân
- Mô hình hóa sự lựa chọn của tác nhân trong môi
trường bất định
- Mô hình hóa và đo lường thái độ đối với rủi ro của
nhà đầu tư
Yêu cầu
- Nắm vững cách tiếp cận và mô hình phản ánh sự
lựa chọn của tác nhân trong môi trường bất định
- Vận dụng mô hình hàm lợi ích kỳ vọng trong các
phân tích
§1. Môi trường bất định và yếu tố rủi ro trong
hoạt động kinh tế
• Môi trường bất định (Uncertainty Environment)
– Hoạt động thực hiện trong những điều kiện (tự
nhiên, XH), bối cảnh nhất định: môi trường hoạt
động
– Môi trường hoạt động gồm nhiều yếu tố liên quan
với các mối quan hệ phức tạp và biến động
thường xuyên theo không gian và thời gian
– Môi trường bất định: Các hoạt động không thể biết
chắc kết quả (Môi trường với thông tin không đầy
đủ, không hoàn hảo)
Mô hình hóa môi trường bất định
• Hoạt động kinh tế của tác nhân trong môi trường bất
định: kết quả cuối cùng phụ thuộc vào diễn biến (tình
huống, kết cục) cuối cùng của môi trường
• Mô hình hoá môi trường bất định: không gian xác suất
với độ đo P (độ đo xác suất khách quan): (Ω, P)→
(Ω, P, F)
2. 1/2/2013
2
Yếu tố rủi ro trong hoạt động kinh tế&Mô hình hóa
• Khái niệm
– Hoạt động có yếu tố rủi ro (hoạt động có rủi
ro): hoạt động có kết quả cuối cùng có thể rất
khác so với dự tính ban đầu của tác nhân
– Hoạt động kinh tế diễn ra trong môi trường
bất định: hàm chứa yếu tố rủi ro (Risk)
• Các vấn đề cơ bản liên quan tới mô hình hóa
– Mô hình hóa các khả năng lựa chọn của tác nhân
– Mô tả cách thức lựa chọn
– Mô tả thái độ của tác nhân đối với rủi ro
§2. Mô hình hóa sự lựa chọn của tác nhân đối với
hoạt động có rủi ro
• Môi trường bất định: không gian xác suất (Ω, P, F)
• I. Mô hình hoá khả năng lựa chọn: Ván bài
(Gamble,Lottery)
– Ván bài - Trường hợp rời rạc
• Hữu hạn n kết cục: Ω =
• Các định nghĩa
– Ván bài đơn (Simple gamble)
pk : xác suất xảy ra biến cố ak
P: véctơ phân bố xác suất: ván bài đơn
1 2{ , ,... }na a a
n21 ...pp,p 1p1,p0
n
1k
kk
Ván bài - Trường hợp rời rạc
• Ván bài phi rủi ro:
• Ván bài hợp (Compound gamble)
– m ván bài đơn:
– Cho vectơ xác suất
Q: ván bài hợp từ m ván bài đơn
n,1i,0...10,0,..,Ρ
(i)
i
m21
P,...,P,P
i i i i
1 2 nP (p ,p ,....,p ) i 1 ,n
mqqqq ..., 21
m
1j
j
j PqQ
3. 1/2/2013
3
Minh hoạ các ván bài với n = 3
• P → một điểm trên mặt phẳng đáy của tứ diện có đỉnh là
gốc tọa độ và mặt phẳng đáy là tam giác đều có đường
cao là 1 đơn vị độ dài.
• Ba ván bài phi rủi ro → Ba đỉnh của diện đáy
1
11
p2
p1
1 2
p2 p1
p3
p3
3
3
1k
kk321 1p1,p,0p,p,pΡ
Thí dụ về ván bài
• Thị trường cổ phiếu Việt nam, sau một tuần nữa tình trạng
giá cổ phiếu SAM: giá tăng: a1, giá không đổi: a2 và giá
giảm: a3 → Ω = (a1,a2, a3)
• PSAM = (p1, p2, p3): vectơ xác suất bất kỳ:
PSAM: ván bài đơn
• Việc nắm giữ cổ phiếu SAM: có ván bài PSAM
• PCallSAM, PCallREE : ván bài ứng với việc mua Call về cổ
phiếu SAM, REE → PCallSAM, PCallREE: các ván bài hợp
• Ký hiệu mô tả ván bài: P: (a1, a2,…, an; p1, p2,…,pn)
• Ván bài với các kết cục được tiền tệ hóa
a1, a2,…, an: các khoản tiền (được hoặc mất): thu hoạch (pay
off) của ván bài
ai > (<) 0: khoản tiền được (mất)
Ván bài - Trường hợp liên tục
• Ω: vô hạn không đếm được và các kết cục được tiền tệ
hóa
• Tác nhân thực hiện hoạt động sẽ đạt kết quả (hoặc hậu
quả): thu hoạch → thu hoạch: biến ngẫu nhiên X
• Ván bài đơn: hàm phân bố F(x) của biến ngẫu nhiên X
bất kỳ trên Ω
• Ván bài hợp: F1, F2,… Fm : các ván bài đơn
(p1, p2,…,pm) vectơ xác suất:
• F: ván bài hợp của F1, F2,… Fm
m
1k
k
k FpF
4. 1/2/2013
4
Tập các ván bài
• (Ω, P, F): môi trường bất định
Ω: tập các biến cố sơ cấp được tiền tệ hóa
• Tập các ván bài - Trường hợp rời rạc
• G(Ω):lồi, compact
Tập các ván bài - Trường hợp liên tục
G(Ω):tập các hàm phân bố xác suất (F(x)) trên Ω
G(Ω):lồi, bị chặn trong không gian
• Mỗi phần tử của G(Ω): khả năng (phương án) lựa chọn (có rủi ro)
của tác nhân
• Thu hoạch (giá trị) kỳ vọng của ván bài
P: (a1, a2,…, an; p1, p2,…,pn):
P: F(x):
• E(P): không phụ thuộc vào tác nhân
• Ván bài có kỳ vọng bằng không: “trò chơi công bằng” (Fair Game)
n
n
i
i 1
G (Ω ) { P R : p 1}
p
L
n
1i
ii apE(P)
dF(x)xE(F)
Mô hình hoá sự lựa chọn ván bài của tác nhân
• Thứ tự ưa thích của tác nhân trên tập ván bài
– G(Ω): tập ván bài có thứ tự ưa thích ≿
– Các giả thiết:
(i) Tính hợp lý
(ii) Tính liên tục
(iii) Tính độc lập
Thứ tự ≿ có tính độc lập:
Với mọi P, P2, P3 G(Ω) và 0 ≤ ≤ 1:
P1≿ P2 khi và chỉ khi
P1 + (1 - )P3 ≿ P2 + (1- )P3
Hàm lợi ích kỳ vọng – Hàm VNM
(Von Neuman – Morgenstern)
• Dẫn xuất hàm lợi ích kỳ vọng
Khái niệm
– Tác nhân lựa chọn một ván bài: đạt lợi ích
nhất định
– Ván bài có kết cục được tiền tệ hóa: các
khoản tiền tương ứng với các kết cục sẽ
được xem như lợi ích đem lại cho tác nhân
– Phân bố xác suất của các khoản tiền → hàm
số hóa mối quan hệ giữa ván bài và lợi ích
của tác nhân khi chọn ván bài: Hàm lợi ích kỳ
vọng (Expected Utility)
– P → U(P); P: F(x) → U(F)
5. 1/2/2013
5
Hàm lợi ích theo tài sản
• u: mức lợi ích, x: là giá trị tài sản của tác nhân
• Giả thiết: u = u(x)
– Sự tồn tại hàm lợi ích theo tài sản của tác
nhân có thể được lý giải tương tự như khi xét
hàm lợi ích tiêu dùng
– Với tư cách là hàm lợi ích u = u(x), u: giả
thiết là hàm đơn điệu tăng (lợi ích tăng theo
tài sản)
– Cùng mức tài sản nhưng các tác nhân khác
nhau sẽ có hàm lợi ích khác nhau
Hàm lợi ích kỳ vọng – Trường hợp rời rạc
• Xét G(Ω) với
• Tác nhân có hàm lợi ích theo tài sản u=u(x)
• Xét n ván bài phi rủi ro
• Khi tác nhân chọn ván bài Pi chắc chắn sẽ nhận khoản
tiền ai và với hàm lợi ích u= u(x) sẽ đạt mức lợi ích u(ai) →
u(ai): mức lợi ích tác nhân sẽ đạt được khi chọn ván bài Pi
• → u(ai): mức lợi ích tác nhân sẽ đạt được khi chọn ván
bài Pi → U(Pi) u(ai)
naaa ..., 21
i
P (0,0,1,...,0) 1,i n
1,i n
Hàm lợi ích kỳ vọng
Xét ván bài
Biểu diễn:
Mặt khác: U(Pi) = u(ai) →
Hàm U xác định trên tập ván bài G(Ω) gọi là hàm lợi ích kỳ
vọng của tác nhân (có hàm lợi ích theo tài sản u = u(x)) đối
với ván bài P nếu:
p ,p ,...p ( )
1 2 n
G
n i
i
1 1
P p P
n i
i 1 2 n
i 1
U(P) p U(P ) P (p ,p ,...,p ) G( ) (*)
6. 1/2/2013
6
Hàm lợi ích kỳ vọng – Trường hợp liên tục
Hàm U xác định trên tập ván bài G(Ω) gọi là hàm lợi ích kỳ
vọng của tác nhân (có hàm lợi ích theo tài sản u = u(x)) đối
với ván bài F(x) nếu:
Lợi ích kỳ vọng của tác nhân khi có ván bài: P:U(P), F: U(F)
phụ thuộc vào tác nhân
Giá trị kỳ vọng của ván bài:
E(P), E(F) không phụ thuộc vào tác nhân
-
U(F) u(x)dF(x) F(x) G( ) (**)
n
i ii 1
E(P) p a ; E(F) xdF(x)
Hàm lợi ích Von Neuman – Morgenstern – Hàm VNM
• Định nghĩa
Hàm VNM: G(Ω) R1 gọi là hàm lợi ích
(theo Von Neuman và Morgenstern) của
ván bài đối với tác nhân nếu:
– (i) VNM tương thích (phù hợp) với thứ tự ≿
– (ii) VNM thỏa mãn hệ thức (*) (hoặc (**)
trong trường hợp liên tục)
Sự tồn tại hàm VNM & Mối quan hệ giữa VNM và
hàm lợi ích kỳ vọng
Sự tồn tại hàm VNM
• Định lý Von Neuman – Morgenstern: Nếu thứ
tự ≿ trên tập ván bài G(Ω) thỏa mãn tính chất
hợp lý, liên tục và độc lập thì tồn tại hàm VNM
liên tục trên G(Ω)
Tính bất biến của hàm VNM
• Nếu VNM(P) là hàm VNM khi đó với a > 0, b bất
kỳ V(P) = aVNM(P) + b cũng là hàm VNM
– Phép biến đổi trên đối với hàm VNM(P): “phép biến
đổi affin dương”
Quan hệ giữa hàm VNM và hàm lợi ích kỳ vọng
Do điều kiện (ii) trong định nghĩa VNM → VNM chính là
hàm lợi ích kỳ vọng của tác nhân khi có ván bài
7. 1/2/2013
7
Kết luận
• Mô hình hóa môi trường hoạt động có rủi ro của
tác nhân:
Không gian xác suất (Ω, P, F)
• Mô hình hóa phương án lựa chọn của tác nhân
đối trong môi trường hoạt động có rủi ro:
Ván bài
• Với tác nhân có hàm lợi ích theo tài sản u = u(x):
– Tiêu chuẩn lựa chọn: cực đại hóa lợi ích kỳ
vọng
§3. Một số ứng dụng của mô hình ván bài&hàm
lợi ích kỳ vọng
• Sử dụng&Phân tích mô hình ván bài và
hàm lợi ích kỳ vọng:
– Xác định thái độ của tác nhân đối với rủi ro họ
gánh chịu khi nắm giữ ván bài
– So sánh thái độ trên đối với các tác nhân
– So sánh mức độ rủi ro giữa các ván bài
– Một số ứng dụng khác
Thái độ của tác nhân đối với rủi ro
(Invididual’s attitude towards risk)
• Phân loại thái độ của tác nhân đối với rủi ro
• Mối liên hệ giữa thái độ đối với rủi ro và hàm
lợi ích theo tài sản của tác nhân
8. 1/2/2013
8
Thí dụ dẫn xuất
Ba tác nhân A, B, C với hàm lợi ích theo tài sản: uA = Ln W,
uB = W2 và uC = W; W là giá trị tài sản
• Giả sử ban đầu cả ba tác nhân đều không có tài sản gì (W
=0)
Cho ván bài L: (100$, -100$; 0,75, 0,25)
Kỳ vọng của L:
E(L)=100$x0,75–100x0,25$ = 50$
Nếu có khoản 50$:
A sẽ có lợi ích uA = Ln (50) 3,912
B sẽ có uB = 502 = 2500
C: uC =50
Nếu nắm giữ ván bài L, lợi ích kỳ vọng:
Của A: UA(L) = 0,75x ln(100) – 0,25xLn(100) = 0,5x ln(100)
2.3
Của B: UB(L) = 0,75x1002 – 0,25x1002 = 5000
Của C : UC(L) = 0,75x100 – 0,25x100=50
So sánh
- Tác nhân A đánh giá cao khoản tiền 50$ (kỳ vọng của ván
bài) hơn bản thân ván bài : uA(E(L))=3,912 > UA(L) = 2,3
- Tác nhân B đánh giá cao ván bài L hơn rất nhiều so với
khoản 50$ (5000 > 2500)
- Tác nhân C đánh giá việc có khoản tiền 50$ và có ván bài L
là như nhau (có lợi ích bằng nhau)
• Nếu phải lựa chọn giữa khoản tiền 50$ và ván bài
L:
• A sẽ chọn khoản tiền
• B sẽ chọn ván bài
• C sẽ thờ ơ trong tình huống này
• Chọn ván bài là chịu rủi ro:
• Tác nhân A không chọn vì e ngại rủi ro
• B thích rủi ro, mạo hiểm nên chọn L
• C không quan tâm tới rủi ro (thờ ơ, dung hòa với
rủi ro)
9. 1/2/2013
9
Thái độ đối với rủi ro của tác nhân
Xét tác nhân có hàm lợi ích theo tài sản u = u(x)
+ Tác nhân e ngại rủi ro (Risk Aversion) nếu:
với mọi ván bài F G(Ω)
+ Tác nhân ưa thích rủi ro (Risk Lover) nếu:
với mọi ván bài F G(Ω)
+ Tác nhân dung hoà với rủi ro (Risk Neutral) nếu:
với mọi ván bài F G(Ω)
u( xdF(x)) u(x)dF(x)
u( xdF(x)) < u(x)dF(x)
u( xdF(x))= u(x)dF(x)
Mối liên hệ giữa thái độ đối với rủi ro và hàm lợi ích theo tài sản
của tác nhân
• Bất đẳng thức Jensen
• Trong không gian xác suất (Ω, P) cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ
vọng, phương sai hữu hạn và có hàm phân bố F(x). Cho u=u(x) là
hàm liên tục trong R1. Khi đó:
(i)
khi và chỉ khi u là hàm lõm (theo nghĩa chặt)
(ii)
khi và chỉ khi u là hàm tuyến tính
(iii)
khi và chỉ khi u là hàm lồi (theo nghĩa chặt)
u( xdF(x)) u(x)dF(x)
u( xdF(x))= u(x)dF(x)
u( xdF(x))< u(x)dF(x)
Đặc điểm của hàm lợi ích và thái độ đối với rủi ro
• Tác nhân là e ngại rủi ro khi và chỉ khi có hàm
lợi ích theo tài sản là hàm lõm
• Tác nhân là ưa thích rủi ro khi và chỉ khi có hàm lợi
ích theo tài sản là hàm lồi
• Tác nhân là dung hoà với rủi ro khi và chỉ khi có
hàm lợi ích theo tài sản là hàm tuyến tính
• u’’ < 0 (u: hàm lõm) thì tác nhân là e ngại rủi ro
• u’’ > 0 (u: hàm lồi) thì tác nhân là ưa thích rủi ro
• u’’ = 0 (u: hàm tuyến tính) thì tác nhân là dung
hòa với rủi ro
10. 1/2/2013
10
Hình minh họa
• Phân tích hoạt động đầu tư: giả thiết tác nhân là e ngại
rủi ro
W WW0 W0+1W0-1 W0+1W0W0-1 W0W0-1 W0+1
Ngại rủi ro Dung hòa rủi ro Thích rủi ro
u
u u
Đo lường mức ngại rủi ro của tác nhân
• Hệ số ngại rủi ro tuyệt đối – ARA (Absolute Risk
Aversion coefficient)
• Tác nhân ngại rủi ro:hàm lợi ích u = u(W) lõm: đồ thị
càng cong (càng lõm): tác nhân càng ngại rủi ro
• Mức độ cong của đồ thị đặc trưng bởi u’’ → có thể sử
dụng u’’ để đo mức độ ngại rủi ro của tác nhân
• Hàm lợi ích kỳ vọng bất biến qua phép biến đổi affin
dương trong khi đó u’’ lại không như vậy:
– v(W) = a u(W) + b với a > 0, b bất kỳ
– khi đó v(W) cũng là hàm lợi ích theo tài sản của tác
nhân
– v’’= au’’ u’’, nhưng v’’/v’ = u’’/u’
Định nghĩa “Hệ số ngại rủi ro tuyệt đối”
• Hệ số ngại rủi ro tuyệt đối (ARA) của tác nhân có hàm lợi ích
theo tài sản u = u(W) tại mức tài sản W0 là:
• Hệ số ARA càng lớn thì tác nhân càng ngại rủi ro
• Tỷ số 1/ARA(u,W0): “hệ số chấp nhận rủi ro” (Risk Tolerance)
của tác nhân tại mức tài sản W0
• Mức độ ngại rủi ro của tác nhân phụ thuộc vào số tài sản hiện
có. Lớp hàm lợi ích có hệ số ARA giảm theo tài sản trong tài
chính thường được ký hiệu là DARA
• So sánh mức độ ngại rủi ro giữa các tác nhân
– Xét hai tác nhân I, II với hàm lợi ích theo tài sản tương
ứng uI = uI(W), uII = uII(W). Tác nhân II gọi là ngại rủi ro
hơn tác nhân I nếu ARAI(W) < ARAII(W) với mọi W
)(Wu
)(Wu
)WARA(u,
0
0
0
11. 1/2/2013
11
Hệ số ngại rủi ro tương đối – RRA (Relative Risk
Aversion coefficient)
• Hệ số ngại rủi ro tuyệt đối: phản ánh thái độ của tác
nhân đối với việc tài sản của họ tăng giảm một lượng
tuyệt đối
• Phân tích tài chính: tỉ lệ tăng giảm tài sản (tỷ lệ tương
đối) so với ban đầu, thái độ phản ứng của tác nhân
trước tỷ lệ này → Đo lường mức ngại rủi ro của tác nhân
trong tình huống này?
• Hệ số ngại rủi ro tương đối (RRA) của tác nhân có hàm lợi
ích theo tài sản u = u(W) tại mức tài sản W0:
0 0
0
0
Wu (W )
RRA(u,W )
u(W )
Quan hệ giữa RRA và ARA
• RRA(u,W) = W ARA(u,W)
• Nếu RRA là hàm giảm theo W thì ARA cũng là hàm
giảm; tuy nhiên điều ngược lại không đúng
• Trong phân tích đầu tư thường giả thiết RRA không đổi
theo W; lớp hàm lợi ích có hệ số RRA không đổi theo tài
sản: CRRA (Constant Relative Risk Aversion coefficient)
Phân tích một số đặc trưng liên quan tới rủi ro của ván
bài và thái độ ngại rủi ro của tác nhân
• Nhà đầu tư nắm giữ tài sản ~ Nắm giữ ván bài → Chịu
rủi ro (rủi ro của ván bài)
• ? Những đặc trưng liên quan tới rủi ro của ván bài →
– Đặc trưng rủi ro của ván bài kết hợp với thái độ ngại
rủi ro của tác nhân →
− đánh giá, so sánh các ván bài dưới góc độ lợi ích
của tác nhân →
– cách thức lựa chọn →
− mức cầu
12. 1/2/2013
12
Các đặc trưng liên quan đến rủi ro của ván bài
Phần bù tương đương chắc chắn, phần bù rủi ro và chi phí của
ván bài
• Các định nghĩa
– Xét tác nhân có hàm lợi ích theo tài sản u = u(W), tài sản
ban đầu W0 và ván bài F với thu hoạch X, phân bố F(x)
– Khi có ván bài F:
• Tài sản của tác nhân sẽ là: W= W0 + X
• Tài sản kỳ vọng E(W) = E(W0 +X) = W0+ E(F)
• Lợi ích kỳ vọng của tác nhân khi có ván bài:
xdF(x)E(F)
0 0U(W ,F) u(W x)dF(x)
• Phần bù tương đương chắc chắn (Certainty Equivalent)
của ván bài F đối với tác nhân có tài sản W0 là một
khoản tiền, ký hiệu: CE(u,W0,F), sao cho tác nhân thờ ơ
trong việc chọn ván bài hoặc khoản tiền này:
– Để tính CE sử dụng hệ thức:
– Xét theo lợi ích, ta có thể coi CE(u,W0,F) là tài sản
của tác nhân khi có ván bài
F),U(WF)],Wu[CE(u, 00
1
0 0CE(u,W ,F) u (U(W ,F))
• Phần bù rủi ro (Risk Premium) của ván bài F đối với tác
nhân có tài sản W0,ký hiệu RP(u,W0,F):
RP(u,W0,F)= E(W0+X)– CE(u,W0,F)
→ RP(u,W0,F) = W0 + E(F) – CE(u,W0,F)
• Chi phí của ván bài (Cost of Gamble) F đối với tác nhân
có tài sản W0,ký hiệu C(u,W0,F):
C(u,W0,F) = W0 – CE(u,W0,F)
• Tất cả các đặc trưng trên của ván bài khi tính toán đều
liên quan tới tác nhân: (u, W0), phản ánh sự đánh giá
của họ
13. 1/2/2013
13
Ý nghĩa của các đặc trưng CE, RP và C
Ý nghĩa của RP
• Nếu tác nhân có ván bài, RP chính là khoản tiền tác nhân sẵn sàng bỏ ra
để tránh rủi ro của ván bài. Như vậy nếu có công ty bảo hiểm nhận bảo
hiểm rủi ro liên quan đến ván bài với phí bảo hiểm thấp hơn PR thì tác nhân
nên sử dụng bảo hiểm.
• Ngược lại, nếu muốn tác nhân chọn ván bài thì phải “bù” cho họ khoản RP
Ý nghĩa của CE
• Từ định nghĩa CE ta thấy nếu tác nhân với hàm lợi ích u =u(W) và tài sản
ban đầu W0 sở hữu ván bài F thì khi rao bán trên thị trường, CE(u,W0,F) sẽ
là mức giá tối thiểu (mức giá thấp nhất) tác nhân đặt ra
Ý nghĩa của C
• Chi phí của ván bài F đối với tác nhân có hàm lợi ích u =u(W) và tài sản
ban đầu W0: C(u,W0,F) có thể là dương, âm, thậm chí bằng 0.
• Nếu C(u,W0,F) > 0 đó chính là khoản phí tổn do ván bài gây ra đối với tác
nhân
• Nếu C(u,W0,F) < 0 tác nhân rõ ràng nên có ván bài
• Vì vậy có thể coi
là giá mua cao nhất mà tác nhân có thể chấp nhận mua ván bài trên thị
trường.
F),WCE(u,WF),WC(u, 000
F),WC(u, 0
Minh họa
• Tác nhân ngại rủi ro,có hàm lợi ích u =u(W), W0=0
• Ván bài F: {x1, x2; p, (1-p)}:
– E(F) = px1 + (1-p)x2
– U(F) = pu(x1) + (1-p)u(x2)
– u(E(F))= u[px1 + (1-p)x2]
? u(E(F)) > U(F)
→ CE(u,F) < E(F) → RP(u,F) > 0
E(F)CE
U(F)
u(E(F))
x
u
x1
x2
RP
Thí dụ
• Xét tác nhân có hàm lợi ích theo tài sản u(W) = LnW, W0=10 và ván bài:
F: {-5, 20; 0,8 0,2}
– Phân bố tài sản của tác nhân khi có ván bài:
W: {5, 30; 0,8 0,2}
– Thu hoạch kỳ vọng của ván bài:
E(F) = -5*0,8 + 20*0,2 = 0
– Giá trị kỳ vọng của tài sản:
E(W) = 5*0,8 + 30*0,2 =10
– Lợi ích kỳ vọng của tác nhân khi có ván bài:
U(W0,F) = u(5)*0,8 + u(30)*0,2 = Ln(5)*0,8 + Ln(30)*0,2 1,97
– Suy ra CE(W0,F)=u-1(1,97) =e1,97 7,17
– và RP(W0,F)=E(W)–CE(W0,F)=10- 7,17 = 2,83
– Chi phí của ván bài C(W0,F) = W0 – CE = 10 – 7,17 = 2,83
– Nếu tác nhân có F và muốn mua bảo hiểm để phòng hộ rủi ro
thì khi phí bảo hiểm nhỏ hơn 2,83 nên mua bảo hiểm
– Nếu tác nhân có F và muốn bán trên thị trường thì mức giá tối
thiểu là 7,17
– Nếu ván bài được rao bán trên thị trường với giá là 2, liệu tác
nhân có muốn mua?
14. 1/2/2013
14
• Để trả lời câu hỏi này ta cần thực hiện tính toán:
– Tính lợi ích kỳ vọng của tác nhân khi không mua ván
bài (lợi ích kỳ vọng = lợi ích)
– Tính lợi ích kỳ vọng của tác nhân khi mua ván bài
– So sánh và chọn phương án tốt hơn
• Lợi ích của tác nhân khi không mua:
U = u(W0) = Ln(10) 2,3
• Tác nhân bỏ ra khoản tiền: 2 mua ván bài →
– Trạng thái tài sản: 8 + F: {3, 28; 0,8 0,2}
– Lợi ích kỳ vọng tương ứng:
U = Ln(3)*0,8 + Ln(28)*0,2 1,55
• Không nên mua!
• So sánh giữa các ván bài – Tính trội ngẫu
nhiên (Stochastic Dominance) (Tự đọc)
• Phân tích sự liên hệ giữa thái độ đối với rủi
ro và các đặc trưng
So sánh mức ngại rủi ro giữa các tác nhân
– Xét hai tác nhân I, II với hàm lợi ích theo tài sản
tương ứng uI = uI(W), uII = uII(W)
Định lý Pratt: Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Tác nhân II ngại rủi ro hơn tác nhân I
(ii) CE(uII,F) < CE(uI, F)[hoặc RP(uII,F)> RP(uI,F)] với
mọi ván bài F và mức tài sản W
(iii) Tồn tại hàm h(x) đơn điệu tăng, lõm sao cho
uII(W) = h(uI(W)) với mọi W
• Sự liên hệ giữa thái độ ngại rủi ro của tác nhân và đặc
trưng của ván bài
– Xét tác nhân với hàm lợi ích theo tài sản u = u(W)
– Hệ quả định lý Pratt: Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Tác nhân e ngại rủi ro
(ii) CE(u,W, F) < E( F) với mọi ván bài F và mức tài sản W
(iii) RP(u,W,F) > 0 với mọi ván bài F và mức tài sản W
• Công thức Arrow – Pratt - Quan hệ giữa rủi ro của ván bài
và mức ngại rủi ro của tác nhân
– Ván bài F là trò chơi công bằng (E(F) =0)
– X: thu hoạch của F với 2:phương sai của X
– Tác nhân ngại rủi ro có hàm lợi ích theo tài sản u = u(W)
21
( , , ) ( , )
2
RP u W F ARA u W
F có thu hoạch X N(,2
),
α W
e
u(W)
α
, > 0
công thức là chính xác
15. 1/2/2013
15
Ứng dụng hàm lợi ích kỳ vọng trong phân tích nhu cầu
đầu tư vào tài sản rủi ro
• Giả thiết và tình huống
• Trên thị trường có tài sản rủi ro có lợi suất r: biến ngẫu
nhiên, hàm phân bố F(r) và tài sản phi rủi ro với lãi suất rf
• Lợi suất kỳ vọng của tài sản rủi ro lớn hơn lãi suất phi rủi ro:
• Nhà đầu tư ngại rủi ro có hàm lợi ích theo tài sản u = u(W),
tài sản ban đầu W0
• Nhà đầu tư có nên đầu tư vào tài sản rủi ro?
frrdF(r)
Mô hình phân tích nhu cầu đầu tư vào tài sản rủi ro
• Các biến của mô hình
– xr, xf: lượng tài sản ban đầu đầu tư vào tài sản rủi ro,
phi rủi ro: xr+ xf=W0
– Lượng tài sản cuối kỳ của nhà đầu tư khi thực hiện đầu
tư theo danh mục:
[(1+r)xr +(1+rf) xf] = (xr+ xf) +(r xr +rf xf) = W0 + (r xr +rf xf)
– Nhà đầu tư cần chọn danh mục (xr, xf) sao cho lợi ích kỳ
vọng ứng với tài sản cuối kỳ lớn nhất
– Do W0 là hằng số nên lợi ích kỳ vọng ứng với tài sản
cuối kỳ lớn nhất khi và chỉ khi lợi ích kỳ vọng ứng với
(rxr +rfxf)
(khoản lãi đầu tư) lớn nhất
Mô hình
Xác định xr, xf:
r f f
r f 0
r f
z u(r x r x ) dF(r) Max
x x W (i)
x ,x 0 (ii)
16. 1/2/2013
16
Bài toán tương đương
• Phân tích (tự đọc)
Kết luận
• Nhà đầu tư ngại rủi ro sẽ đầu tư vào tài sản rủi ro nếu lợi
suất kỳ vọng lớn hơn lãi suất phi rủi ro
• Nếu nhà đầu tư có RRA giảm (tăng, không đổi) theo tài
sản thì tỉ trọng đầu tư vào tài sản rủi ro tăng (giảm, không
đổi) theo tài sản ban đầu
• Đối với hai nhà đầu tư ngại rủi ro có cùng mức tài sản ban
đầu, nhà đầu tư nào e ngại rủi ro hơn sẽ đầu tư vào tài sản
rủi ro ít hơn
0-
0
[ ( - ) ] ( )
0
f f r
r
z u rW r r x dF r Max
x W
§4. Phân tích lợi ích (kỳ vọng) của nhà đầu tư
• Nhà đầu tư nắm giữ danh mục → nắm giữ ván bài
• Hàm lợi ích theo tài sản → hàm lợi ích theo lợi suất tài sản?
Lợi suất đầu tư tài sản rủi ro
• Nhà đầu tư có hàm lợi ích theo tài sản u = u(W) và tài sản
hiện thời (tài sản ban đầu) W0
• Y: tài sản (hoặc danh mục) rủi ro với thu hoạch tại thời điểm
cuối chu kỳ đầu tư (thời điểm T): biến ngẫu nhiên X có phân
bố F(x)
• Tài sản cuối kỳ của nhà đầu tư: WT = W0 + X
• Tỷ số: (WT – W0) / W0 r lợi suất đầu tư
• → r là biến ngẫu nhiên có hàm phân bố giống như của X:
F(r); r: lợi suất của tài sản (danh mục) Y trong chu kỳ [0, T ]
Hàm lợi ích (kỳ vọng) của nhà đầu tư theo lợi suất tài sản
• Lợi suất r của tài sản: WT = (1+r) W0
• Lợi ích kỳ vọng tại T của nhà đầu tư:
• Đặt v(r) u[(1+r)W0]: v(r) thể hiện lợi ích của nhà đầu tư
theo lợi suất r của tài sản
• Ta có v’(r)=u’[(1+r)W0] W0 > 0; nếu nhà đầu tư ngại rủi
ro: v’’(r) = u’’[(1+r)W0]W0
2 <0.
• → v(r) có đầy đủ các đặc điểm của hàm lợi ích → Hàm
lợi ích theo lợi suất tài sản của nhà đầu tư
• Ký hiệu hàm lợi ích của nhà đầu tư theo lợi suất tài sản:
u = u(r)
dF(r)]r)Wu[(1)U(W 0T
17. 1/2/2013
17
Lợi ích kỳ vọng (theo lợi suất) của nhà đầu tư
• Hàm lợi ích kỳ vọng (theo lợi suất) của nhà đầu tư:
• Việc đồng nhất tài sản (danh mục) rủi ro có lợi suất r với
ván bài cho phép ta có thể áp dụng các định nghĩa và tính
chất liên quan đến các hệ số ARA, RRA, tính trội ngẫu
nhiên của ván bài đối với tài sản như một trường hợp riêng
• Bất kể thái độ đối với rủi ro, nhà đầu tư sẽ chọn tài sản trội
ngẫu nhiên cấp 1 để đầu tư
• Trong số các tài sản có cùng lợi suất kỳ vọng, nhà đầu tư
ngại rủi ro sẽ chọn tài sản trội ngẫu nhiên cấp 2 để đầu tư
dF(r)u(r)U(r)
Hàm lợi ích kỳ vọng phụ thuộc kỳ vọng và phương sai
lợi suất
• Trường hợp hàm lợi ích theo lợi suất dạng bậc 2 (tự đọc)
• Trường hợp lợi suất tài sản có phân bố chuẩn
– r: biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với kỳ vọng và
phương sai 2 hữu hạn: r N(, 2)
– Ta có:
• Hàm mật độ của r:
• Hàm mật độ của phân bố chuẩn hóa z N(0,1):
2
2
( )
2
1
( )
2
r
f r e
2
2
1
( )
2
z
f z e
• Đặt z =
→ z N(0, 1) và r = + z
Nhà đầu tư có hàm lợi ích theo lợi suất tài sản u = u(r) nếu
chọn tài sản (danh mục) Y khi đó lợi ích kỳ vọng:
→ hàm lợi ích kỳ vọng U(r) của nhà đầu tư khi chọn tài sản với
lợi suất r để đầu tư sẽ chỉ phụ thuộc vào và (hoặc 2)
nên ta có thể viết U(r) U(,)
r
1
? ( ) ( )f r f z
U(r) u(r)f(r)dr u( z)f(z)dz
18. 1/2/2013
18
Phân tích hàm lợi ích kỳ vọng – Phân tích tác động của lợi
suất kỳ vọng () và độ dao động () tới lợi ích kỳ vọng
• ? Ta có:
• Mặt khác:
( ) ( ) 0(?)
U
U u z f z dz
( ) ( ) 0(?)
U
U u z zf z dz
Kết luận
Nếu nhà đầu tư ngại rủi ro lựa chọn tài sản (danh mục) có lợi suất là
biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn để đầu tư:
• Lợi ích kỳ vọng sẽ tăng theo lợi suất kỳ vọng và giảm theo độ dao
động của tài sản (danh mục)
• Dáng điệu đường mức hàm lợi ích kỳ vọng:
Cho mức lợi ích kỳ vọng U, ta sẽ xác định đường mức của hàm lợi ích
kỳ vọng U(,) trên mặt phẳng tọa độ (,). Từ phương trình U(,) = U,
áp dụng cách tính đạo hàm của hàm ẩn ta có:
0
d U
d U
→ đường mức có độ dốc dương, tức là có “sự đánh đổi” (Trade – off)
giữa lợi suất kỳ vọng và độ dao động của tài sản đối với nhà đầu tư. Nhà
đầu tư muốn lợi suất cao thì độ dao động (rủi ro) cũng sẽ cao, nhà đầu tư
muốn độ dao động (rủi ro) thấp thì phải chấp nhận lợi suất kỳ vọng thấp
Kết luận
Nếu nhà đầu tư ngại rủi ro lựa chọn tài sản (danh mục) có lợi
suất là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn để đầu tư:
• Lợi ích kỳ vọng sẽ tăng theo lợi suất kỳ vọng và giảm theo
độ dao động của tài sản (danh mục)
• Dáng điệu đường mức hàm lợi ích kỳ vọng:
• Cho mức lợi ích kỳ vọng
• Đường mức của hàm lợi ích kỳ vọng U(,) trên mặt
phẳng tọa độ (,):
• Phương trình U(,) =
• → đường mức có độ dốc dương, tức là có “sự đánh đổi”
(Trade – off) giữa lợi suất kỳ vọng và độ dao động của tài
sản đối với nhà đầu tư. Nhà đầu tư muốn lợi suất cao thì
độ dao động (rủi ro) cũng sẽ cao, nhà đầu tư muốn độ dao
động (rủi ro) thấp thì phải chấp nhận lợi suất kỳ vọng thấp
U
U
0
d U
d U
