2. Zenone (V sec. a. C.)
➲ Allievo di Parmenide, voleva contribuire a
dimostrare che solo l'Essere è, e il non
Essere non può in alcun modo essere
➲ Quindi il movimento è impossibile, in quanto
passaggio dall'essere al non-essere
3. Percorso di Zenone
➲ Zenone segue il percorso contrario di
Parmenide, ovvero una dimostrazione per
assurdo che parte dal movimento, e ne
dimostra l'impossibilità, la assurdità, la
contraddittorietà, per inferire da lì
l'immobilità dell'essere
4. Paradossi del moto
➲ Non si può partire
➲ Non si può essere in viaggio
➲ Non si può arrivare
5. Non si può partire
➲ Se parto da A per raggiungere B, devo
prima raggiungere la metà del percorso, e
prima di raggiungere la metà del percorso
dovrò raggiungere la metà della metà, e
così via (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32....etc).
➲ Da notare il presupposto nascosto dietro
questo ragionamento: non si può andare
all'infinito!
6. Non si può essere in viaggio (la
freccia)
➲ Non si può nemmeno essere in viaggio:
Una freccia lanciata è in realtà una
successione infinita di istanti in cui essa è
immobile. Presi ciascuno per sè, essa è
immobile, dunque è impossibile che una
serie di immobilità dia luogo al movimento
➲ Come dire: una serie di fotogrammi non può
fare un film
7. Non si può arrivare
➲ Non si può arrivare: Per raggiongere la
tartaruga nel punto B, Achille deve
impiegare un certo tempo t❶, durante il
quale la tartaruga si è spostata in C, e
mentre raggiunge C in un tempo t❷ essa si
sposta in D, e così via...
➲
8. Non si può arrivare
➲ Quindi Achille non raggiungerà mai la
tartaruga
➲ Anche qui, nascosto, c'è il presupposto
dell'impossibilità di procedere all'infinito
9. Il presupposto nascosto
➲ Il presupposto nascosto a questi
ragionamenti è la divisibilità dello spazio
all'infinito, che per i greci è impossibile!
➲ Ovvero, posso ridurre lo spazio ad una
somma infinita di punti nello spazio?
➲ Oppure questa è una idealizzazione dei
matematici, ma per la fisica non si può
fare?
10. Regresso all'infinito
➲ Anche Democrito aveva rifiutato la
divisibilità (dei corpi) all'infinito, ed aveva
supposto l'esistenza di atomi, mattoni
indivisibili della materia.
➲ L'equivalente logico della divisibilità fisica
all'infinito è il
➲ Regresso all'infinito
11. Rifiuto dell'infinito
➲ Per i greci il concetto di infinito è irrazionale,
e lo rifiutano
➲ Quindi rifiutano il movimento ed ogni forma
di regressione all'infinito da un p.d.v. logico
12. Chuang-Tsu (IV sec. a. C.)
Se ogni volta che muore il re si taglia lo scettro
a metà, non si finirà mai, c'è sempre una
metà della metà, ache se le dinastie fossero
infinite.
E' una diversa versione, presente anche nella
cultura orientale
13. Scetticismo
Pirrone (IV sec. a.C.), Agrippa (I sec. a.C.) e
Sesto Empirico (II sec. a.C.) trasportano il
paradosso in ambito gnoseologico:
→ Niente si può dimostrare, perchè gni
affermazione si fonda su un'ipotesi, e questa
su un'altra ipotesi e così via all'infinito
→ Niente si può definire: ogni definizione si
basa su termini, per definire i quali servono
altri termini, e così via all'infinito, cosa
impossibile etc...
14. Soluzioni
Una semplice soluzione fu introdotta da
Euclide col metodo assiomatico, ovvero col
fondare la costruzione teorematica della
Matematica di Euclide su
assiomi, postulati e nozioni primitive
Essi non si dimostrano e non si definiscono
15. Teologia
Aristotele, (III sec. a.C.)
San Tommaso d'Aquino (XIV sec.) applicano
la impossibilità della reductio ad infinitum
alla teologia, per dimostrare l'esistenza di Dio.
Le cinque vie di Tommaso sintetizzano tutti gli
argomenti
16. Le cinque vie
Dio come:
Ente necessario
Ente perfetto
Primo motore
Causa prima
Fine ultimo
17. 1. Dio come Ente necessario
Gli enti finiti sono contingenti.
Sono, ma possono non essere, hanno in altro
la ragion necessaria del proprio essere.
Questo “altro” a sua volta è contingente,
rimanda ulteriormente ad un “altro”, ragion
d'essere dell'ente finito/contingente,etc.
→ Il regresso all'infinito è impossibile → ci
deve essere un Essere necessario, la cui
ragion d'essere è in sé e non in altro
18. 1. Dio Essere necessario
Il fondamento della contingenza del mondo è
nella necessità dell'Essere, Dio, che non può
non essere, che è necessario che sia.
19. 2. Dio Essere perfetto
Si desume dall'imperfezione degli enti finiti
→ impossibilità del regresso all'infinito
→ Essere perfetto, la cui perfezione è implicita
nella imperfezione degli enti
20. 3. Dio causa del moto
Omne quod movetur ab alio movetur = Tutto
ciò che si muove riceve da altro il suo
movimento (Il principio di inerzia verrà intuito
da Galileo e definito da Cartesio, XVII sec.)
→ Impossibilità del rimando all'infinito
→ Deve Esistere un Primo motore che muove
senza muoversi, causa immota del
movimento degli altri esseri che muove ed
attrae a sé come l'amato attrae l'amante: Dio
21. 4. Dio causa prima
Analogo ragionamento, dagli enti all'Essere,
questa volta applicato alla causalità.
Tutti gli enti hanno una causa del loro esistere
(causa efficiente, che li porta all'essere, che
li fa essere)
→ Impossibilità del rimando all'infinito
→ Deve Esistere una Causa Prima che causa
senza essere causata, Dio
22. 5. Dio causa finale
Simmetricamente alla causa efficiente della 4°
prova, c'è la 5° via della causa finale
Ogni ente ha un fine, uno scopo verso cui
tende
→ Impossibilità del rimando all'infinito
→ Deve Esistere una Causa Ultima, termine
ultimo e fine ultimo di ogni ente, che non
tende a null'altro che a sé stessa, che si
autorealizza: Dio
23. Gregorio di S. Vincenzo (XVII sec.)
Soluzione matematica: non c'è paradosso nel
concepire una serie infinita di intervalli finiti.
½ + ¼ + 1/8 + 1/16.... = 1
Una somma infinita di intervalli finiti può
TENDERE ad un valore FINITO,
a condizione che sia una serie
CONVERGENTE
(v. Teoria delle serie)
24. Laurence Sterne
Nel romanzo Tristan Shandy (1760):
Rivisitazione del Paradosso – versione
“Impossibile arrivare”
→ Qui: impossibile scrivere la propria
autobiografia
25. Lewis Carroll
“Ciò che la tartaruga disse ad Achille” (1895)
→ Non è possibile ragionare, c'è bisogno di
regole, ma come applicare queste regole?
Altre regole, e così via...
26. Joshua Royce (1899)
Joshua Royce utilizza l'intuizione zenoniana
per derivarne il "teorema del punto fisso",
dividendo (v. figura sotto) una mappa
all'infinito si arriva prima o poi ad un punto
che rimane fermo (quello piccolo rosso).
27. Franz Kafka (1917)
Il messaggio dell'imperatore,Il processo, Il
castello ed altri romanzi.
→ Tutti i protagonisti di Kafka devono sempre
superare una serie di ostacoli infinita, dopo
uno ce n'è sempre un altro, poi un altro etc...
→ angoscia
28. Josè Louis Borges
Metempsicosi della Tartaruga (1941)
Un detective è sulle tracce di un assassino,
che dissemina tracce di sè, dandogli
”appuntamento” al prossimo delitto, e così via,
fino a che il D raggiunge l'assassino, che lo
stava aspettando e lo uccide.
31. Soluzione fisica newtoniana
Il moto di Achille è una retta passante per
l'origine, quello della Tartaruga è
rappresentato da una retta con intercetta
diversa da zero (il vantaggio iniziale di T)
La pendenza delle rette è la Velocità
→ il punto di incontro delle due rette
rappresenta l'istante in cui A raggiunge T
32. Soluzione matematica
E' quella di Gregorio di San Vincenzo (XVII
sec.) → teoria delle serie
L ’ origine del paradosso è nell ’ assumere,
implicitamente, che un numero infinito di
lassi di tempo implica un tempo infinito.
Questo sarebbe vero se tutti i lassi di
tempo avessero la stessa durata.
Invece i lassi di tempo sono sempre pi ù
piccoli ed `e quindi possibile sommarne un
numero infinito.
