Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Mates simetries transform_geometriques

2,958 views

Published on

Resum i formules de l'assignatura de Mates I de la UOC

Published in: Education
  • Be the first to comment

Mates simetries transform_geometriques

  1. 1. 1 - DISSENY I PROPORCIÓPROPORCIÓLa teoria de la proporció s’ha aplicat a les piràmides egípcies, edificis de la Grècia clàssica, pinturesde Leonardo da Vinci i escultures de Miguel Àngel. La intenció d’aquests autors era aconseguir unefecte visual agradable.TEOREMA DE TALESUna de les primeres aplicacions de la proporció. La va fer Tales de Milet (s. IV a.C.)Dos triangles són semblants si tenen els angles corresponents iguals i els seus costats són proporcionals entre sí. Si a un triangle es traça una línea paral·lela a qualsevol dels seus costats, s’obtenen dos triangles semblants.DEFINICIÓ DE LA PROPORCIÓLa proporció de dos nombres positius a i b es defineix com el quocient del més gran entre el méspetit.La proporció d’un rectangle seria el costat més gran dividit entre el costat més petit.PROPIETATS DE LA PROPORCIÓ - La proporció és sempre igual o més gran que 1. Els quadrats tenen proporció 1. Si la proporció és més gran ens indica que és un rectangle. - La proporció no depèn de la posició d’un rectangle, sinó del costat més gran entre el costat més petit. - La proporció és invariable a reduccions o ampliacions. Si multipliquem els costats a i b d’un rectangle per una constant positiva k s’obté un rectangle de la mateixa proporció. - Dos rectangles amb la mateixa proporció, les seves diagonals se sobreposen
  2. 2. AMPLIACIONS I REDUCCIONS DE LA PROPORCIÓDividirem la quantitat per 100.Si volem fer una ampliació del 200% haurem de multiplicar les longituds per 2Si volem fer una ampliació del 150% haurem de multiplicar les longituds per 1,5Si volem fer una reducció del 50% haurem de multiplicar les longituds per 0,5RECTANGLES RECÍPROCSEls rectangles són recíprocs perquè:Tenen la mateixa proporció.La cara més gran d’un és la més petita del’altre.PROPORCIONS RACIONALSS’anomena proporció racional, si en calcular una proporció s’obté un nombre que es potexpressar com a quocient de nombres enters.Les més usuals són 2/3 i 3/4Un rectangle és racional si podem construir una quadrícula que s’hi adapti ben bé. Si construïmdirectament un rectangle sobre una quadrícula, segur que la proporció és racional.Pitàgores va descobrir proporcions racionals en l’escala musical, els arquitectes han usat aquestesproporcions en les mides d’unes rajoles, separació entre columnes d’una catedral o la divisió d’unafinestra per a distribuir-hi els vidres, també en un tríptic publicitari.MESURES COMMENSURABLES – Són les mesures que es poden mesurar, com per exemple elssegments de longituds racionalsMESURES INCOMMESURABLES – Són les mesures que no es poden mesurar, com √2 o com elnombre π = 3,1415926535897932384626433832795...PROPORCIONS DEL TIPUS √NEls rectangles de proporció √n són els únics que, en retallar-los en rectangles iguals s’obtenenrectangles amb la mateixa proporció √n.Les més usuals són √2, √3 i √5.
  3. 3. Si tenim un rectangle de proporció √2 , en dividir-lo per la meitat pel costat més gran, obtenimdos rectangles que també tenen proporció √2. - Els rectangles de proporció √2 s’han fet molt comuns gràcies a la família de fulls DIN A. Tots els fulls d’aquesta sèrie han de tenir proporció √2. Les mides són : A0 (841x1189mm), A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9. A10 (26x37mm) - El nombre √2 apareix com la diagonal d’un quadrat de costat 1Un rectangle de proporció √3, en dividir-lo en tres iguals per talls paral·lels al costat més petit,proporciona tres rectangles de proporció √3. - El nombre √3 apareix com la longitud del costat d’un triangle inscrit en una circumferència de radi 1. - També com la distància entre els dos punts d’intersecció de dues circumferències de radi 1 quan cadascuna passa pel mig de l’altra.Exemples: Tenim un rectangle amb un costat petit 5. Volem saber quina mida ha de tenir el costatque falta perquè el rectangle tingui proporcions √2, √3 i √5. Apliquem la regla de les proporcionsen la que el costat gran partit pel costat petit és igual a la proporció: Comprovem: √2 = √2 X = √2 · 5 Si dividim el rectangle en dos parts X = 1,4142 · 5 = 7 tenim que = √2 El costats del rectangle proporció √2 són 5 i 7 Comprovem: √3 = √3 X = √3 · 5 X = 1,7320 · 5 = 8,66 Si dividim el rectangle en tres parts tenim que El costats del rectangle proporció √3 = √3 són 5 i 8,66 Comprovem: √5 = √5 X = √5 · 5 Si dividim el rectangle en dos parts X = 2,2360 · 5 = 11,18 tenim que = √5 El costats del rectangle proporció √5 són 5 i 11,18
  4. 4. NOMBRE D’OR I APLICACIONSPROPORCIÓ ÀURIALa proporció àuria ( o proporció divina ) és la que el segment més llarg dividit pel segment méscurt és el nombre d’or: NOMBRE D’OR √ Φ ≈ 1,61803398874989484820458683436564..És a dir: = √ = 1,61803398874989484820458683436564 Exemple amb una segona forma de calcular un rectangle auri: - Crear un segment de llargada 300px i un altra d’igual mida col·locat de manera que formin un angle de 90º. - Del punt intermedi del segment horitzontal, traçar una línia fins a l’extrem més llunyà del segment vertical. - Aquesta línia formarà la hipotenusa del triangle que acabo de crear. Calcularé la hipotenusa. h 2 = c2 + c2 h2 = 1502 + 3002 h2 = 22.500 + 90.000 = 112.500 h = 112.500 = 335,4101966 - La meitat del primer segment + la hipotenusa formen la cara més llarga del rectangle auri. Per tant, les mides de l’escenari són 485,41 x 300px.SUCCESSIÓ DE FIBONACCIRespon a la regla de la recurrència, on cada nombre d’aquesta successió s’obté de la suma delsdos predecessors. A partir dels dos primers termes es ponen crear tots els termes de la successió. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
  5. 5. Els nombres de Fibonacci apareixen de manera natural en el fenomen biològic de la fil·lotaxi, queestudia la distribució de les fulles en una branca d’una planta o d’un arbre.PROPORCIÓ EN L’ARTGeomètricament, el nombre d’or està lligat al pentàgon regular. Si 1 és lalongitud de cada costat del pentàgon i d és la longitud de les diagonals del pentàgon, la proporció entre aquests dos segments és el nombre d’or.Tenim una relació del dodecaedre amb la proporció ària, ja que a les cares hiha el nombre d’or. El dodecaedre era elsímbol de l’univers, el lloc on vivien elsdéus. En l’arquitectura religiosa només s’utilitzava en el disseny de les parts més sagrades. Predominava sobre les altres proporcions. Durant l’edatmitjana va ser la proporció més secreta.
  6. 6. 2 – SIMETRIA I DISSENYDEFINICIÓ DE SIMETRIAEn matemàtiques només s’accepta la simetria quan és perfecta.TIPUS DE SIMETRIA - Un patró repetit diverses vegades (una fila d’ànecs que neden) - Un patró repetit com si es reflectís en un mirall - Un patró repetit com si fossin les aspes d’un molí que se centren en un punt.APLICACIONS BIJECTIVESTot element del conjunt B és imatge d’un element de A, i de només un.Dins de les aplicacions bijectives tenim l’aplicació identitat que simbolitzarem amb id. La identitatd’un element és ell mateix. Id(x) = xL’efecte de compondre amb l’aplicació identitat és nul i es denomina element neutre de lacomposició.Per a una aplicació bijectiva tenim definida l’aplicació inversa. Si y és la imatge de x, llavors x és laimatge de y. f ° f -1 = f -1 ° f = Id, ISOMETRIES DEL PLADenominarem isometria tota aplicació bijectiva del pla que conservi les distàncies. És a dir, ladistància entre dos punts i la distància entre les seves imatges respectives sempre sigui lamateixa. Amb l’aplicació d’una isometria, es canvia la posició del l’objecte sense deformar-lo.ISOMETRIES AMB TRES O MÉS PUNTS FIXOS NO ALINEATSTota isometria amb un mínim de tres punts fixos no alineats és la identitat. És a dir, és igual a símateix.ISOMETRIES AMB DOS PUNTS FIXOS – SIMETRIA AXIALLa recta de simetria és la determinada pels dos punts i s’anomena eix de simetria. Aquestasimetria inverteix l’orientació dels objectes.
  7. 7. ISOMETRIES AMB UN SOL PUNT FIX – ISOMETRIA DE GIR O ROTACIÓEl punt fix és el centre de gir. Els girs conserven l’orientació.ISOMETRIES SENSE PUNTS FIXOS – TRANSLACIONS O LLISCAMENTSLes translacions conserven l’orientació dels objectes. El vector de translació són rectes fixes peròno tenen punts fixos.Els lliscaments s’obtenen a partir d’una simetria amb la translació de vector paral·lel a l’eix desimetria. inverteixen l’orientació dels objectes. Són una composició d’una simetria amb unatranslació paral·lela a l’eix de simetria. L’únic element fix és la recta de simetria. No tenen puntsfixos.
  8. 8. ISOMETRIES EN L’ESPAIEs defineixen de la mateixa manera que en el pla: Són aplicacions bijectives que conserven lesdistàncies..TRANSLACIÓ EN L’ESPAIEs defineixen de la mateixa manera que en el pla: Tots els punts es modifiquen desplaçant-se unadistància fixada en una mateixa direcció i sentit. És una de les isometries més simples.GIR EN L’ESPAI RESPECTE A UNA RECTAUn gir en l’espai entorn d’una recta és el resultat de girar tots els punts un cert angle fixat entornde la recta o eix de gir.SIMETRIA ESPECULAR O SIMETRIA RESPECTE D’UN PLATransforma cada punt de l’espai com si el pla fos un mirall.
  9. 9. GRUPS DE SIMETRIAAnomenarem grup de simetria d’una figura el conjunt de les isometries del pla que deixen fixa lafigura. Exemple: Id Sr Ss St Su G90º G180º G270º Id Id Sr Ss St Su G90º G180º G270º Sr Sr Id G270º G180º G90º Su St Ss Ss Ss G90º Id G270º G180º Sr Su St St St G180º G90º Id G270º Ss Sr Su Su Su G270º G180º G90º Id St Ss Sr G90º G90º Ss St Su Sr G180º G270º Id G180º G180º St Su Sr Ss G270º Id G90º G270º G270º Su Sr Ss St Id G90º G180º A Es pot donar el cas extrem en el qual el grup de simetria sigui format només per la isometria identitat. És a dir, que a la figura no s’hi observa cap simetria. Figura amb infinites isometries que la deixen invariant. Qualsevol simetria axial o qualsevol gir de centre dels cercles deixarà aquesta figura fixa.GRUPS DE SIMETRIA FINITS O GRUPS DE SIMETRIA DE LEONARDOTotes les figures tenen un punt fix i són grups finits. - Grups cíclics – Formats únicament per un gir i les seves composicions
  10. 10. - Grups diedrals – Formats per girs i simetries. En un grup diedral sempre coincideix el nombre de girs i el nombre de simetries Un clar exemple el tenim amb les ROSASSES. Aquestes estan formades per un patró que es repeteix per mitjà d’un gir de centre fixat.El FRIS o SANEFA es un disseny d’una banda rectangular produïda per repetició d’un motiu ambdeterminades isometries. - Els eixos de les simetries només podran ser la recta que segueix la direcció de la sanefa i les rectes perpendiculars a aquesta. - Els girs hauran de ser de 180ºEs poden crear set frisos diferents a partir d’un patró qualsevol: - Translacions - Translacions i simetria respecte a l’eix central de la banda - Translacions i simetria respecte de rectes perpendiculars a l’eix de la banda - Translacions i lliscaments - Translacions i girs - Translacions i simetria respecte a l’eix central de la banda i respecte a rectes paral·leles a aquest eix - Translacions, simetries respecte a rectes perpendiculars a la banda i lliscaments
  11. 11. ELS MOSAICSLes rosasses pretenen omplir un cercle per mitjà d’un patró i els frisos una banda infinita per unconjunt d’isometries. Quan volem omplir tot el pla a partir d’un patró i un conjunt d’isometriesobtenim un MOSAIC.Podem usar translacions amb dues direccions. Els únics gir possibles són els de 60º, 90º 120º,180º, 240º. Aquesta afirmació rep el nom de restricció cristal·logràfica.Només hi ha disset grups d’isometries per a construir mosaics.La malla fonamental és el mosaic més simple de tots ja que només utilitza les translacions.Aquesta és la forma que usa el llenguatge HTML per a crear fons en pàgines web.Un mosaic és regular quan és format per polígons regulars.Mosacis de M. C. Escher – Va crear els seuspropis mosaics en els quals el patró generadorera sotmès a una sèrie de transformacions, finsa aconseguir crear peces que encaixenperfectament entre sí.Els mosaics de Penrose són mosaics noperiòdics. El seu grup de simetria no incloutranslacions. Es poden construir seguint unesregles de formació determinades aplicades ados patrons. Van ser inventats pel matemàticRoger Penrose.
  12. 12. 3 – GEOMETRIA FRACTALDEFINICIÓ DE FRACTALLa característica bàsica dels fractals és l’existència d’una certa autosemblança entre les parts del’objecte. Descriurem un objecte fractal amb un procediment que especifiqui una operació per agenerar les parts de l’objecte per repetició.Per a crear un fractal necessitarem un objecte inicial o llavor i una transformació que aplicaremrepetidament sobre aquesta llavor que anomenarem iteració.Un objecte fractal pot ser una corba, una superfície o un sòlid.ELS PRIMERS FRACTALS CORBA DE KOCH1904, Niels Helge von Koch (1870-1924)Comença amb un segment com a llavor.Cada segment que tinguem a la figura es divideixen tres parts iguals.La part central del segment se substitueix per dossegments de la mateixa longitud, de manera queformin un triangle equilàter amb el tros desegment que hem suprimit.Es repeteix l’operació. La primera iteració suprimeix un terç del segment i hi afegeix dos d’aquesta mateixa longitud. . Repetint el procés, el perímetre de la corba després de k iteracions serà Per tant: Podem afirmar que la longitud de la corba és infinita
  13. 13. ANTICOPO DE KOCHLa llavor és un triangle equilàter.Dividir cada costat del triangle en tres parts ieliminar la secció central.Substituir la secció eliminada per dos línies de lamateixa longitud, però col·locades cap a dintredel triangle.Repetir l’operació amb els triangles que vanquedant. EL TRIANGLE DE SIEPINSKI1915, Waclaw Sierpinski (1882-1969)Comença amb un triangle equilàter com a llavor.La primera iteració consisteix a suprimir eltriangle equilàter que es forma amb els trespunts mitjans dels tres costats. Obtenim unafigura formada per tres triangles equilàtersiguals.Les iteracions següents consisteixen a realitzar lamateixa transformació en cada un dels triangles.En aquest cas, la superfície total és zero, i la suma dels perímetres de tots els triangles generatsés infinitaEl principi de la retroalimentació (feedback)La càmera s’enfoca a la mateixa pantalla en la qual s’està visualitzant la imatge recollida per lacàmera. La imatge queda repetida dins de la mateixa imatge fins que la definició de la pantalla noés suficient per a poder representar amb nitidesa l’objecte.Si ampliem una part d’un objecte fractal, sigui autosemblant o no, el veiem exactament amb elmateix grau de detall que l’objecte original.DIMENSIÓ FRACTALLa dimensió d’una recta és 1, la dimensió d’un pla és 2 i la dimensió d’un cub és 3. Les dimensionsdels fractals no tenen perquè ser nombres enters, sinó que solen ser nombres fraccionaris ipresenten moltes és possibilitats. La dimensió fractal mesura la rugositat i la fragmentació del’objecte fractal.La fórmula per a calcular la dimensió fractal és: D=Per a calcular la dimensió de la corba de Koch, cada iteració que realitzem ens proporcionaquatre vegades aquesta mateixa corba, però cada corba té una longitud tres vegades menor.
  14. 14. D= = 1,2618595...Una corba fractal que es trobi en un pla i que no es talli a sí mateixa tindrà com a dimensió unnombre comprès entre 1 i 2. Quan més s’aproximi a 1, més suau serà aquesta corba.Si la corba es talla a sí mateixa diverses vegades, la dimensió serà un nombre comprès entre 2 i 3.FRACTALS ALEATORISEls fractals són de tipus determinista i autosemblants, ja que la seva construcció quedadeterminada a partir de la llavor i de la iteració. En considerar una part del total obtenim un fractalsimilar al tot.Però en els fractals autosemblants aleatoris, la iteració té un component aleatori.Fractal deterministaEn aquest exemple obtenim un arbre amb només tresbranques. A cada un dels tres segments que formen lesbranques apliquem novament la mateixa iteració.Fractal aleatoriPer a crear un fractal autosemblant aleatori, n’hi haurà prouamb afegir variacions aleatòries sobre aquesta construcció. Elsfractals aleatoris resulten fonamentals per a representarobjectes de la naturalesa.Camí aleatoriPot consistir en les coordenades d’un punt. Es parteix d’un puntqualsevol en el pla i es tria la direcció i la longitud de formaaleatòria. Això crea un camí pel pla format per segmentsrectilinis. Aquest tipus de fractal s’utilitza per a crear imatgescom el contorn d’una costa o el perfil d’una muntanya.
  15. 15. ALTRES TIPUS DE FRACTALSConjunt de CantorS’elimina el terç central d’un fragment i així indefinidament.Usat per George Cantor i aplicat per Mandelbrot en latransmissió de dades informàtiques per cable elèctric.Conjunt de JuliaDel matemàtic francès Gaston Julia (1893-1978). Partim d’unpunt z del pla, s’aplica de forma repetida la transformació z2+c.“c” és un paràmetre de control que podem ajustararbitràriament. Els resultats poden ser de dos tipus: Un conjuntconnex, d’una sola peça o inconnex com un núvol de polsformat per infinits punts. Són fractals no lineals.Conjunt de MandelbrotDel matemàtic Benoît Mandelbrot, creador de la geometriafractal. Reuneix tots els punts “c” del conjunt de Julia connex.Cadascuna de les parts del conjunt de Mandelbrot caracteritzauna família de conjunts de Julia. No és autosemblant en total’escala, però una ampliació basta per a poder descobrir còpiesminúscules del propi conjunt. És fractal no lineal.
  16. 16. 4 – ASPECTES BÀSICS I SISTEMES DE COORDENADES NOMBRES NATURALS (N) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,150,184... -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5... (positius i NOMBRES ENTERS (Z) negatius) Finits– Representació decimal amb nombre finitNOMBRES REALS (R) de xifres RACIONALS Infinits – Representació decimal periòdica IRRACIONALS Representació decimal no periòdica MAGNITUDS ANGULARS RADIANTUn radiant és l’angle l’arc del qual té unalongitud igual que el radi de la circumferència.Tots els angles en Flash s’expressen enradiants.Si tenim un angle t en una circumferència deradi R, la longitud de l’arc corresponent és s = RtPerímetre d’una circumferència: P = 2 · radi · πO també: P = diàmetre · π GRAU SEXAGESIMALS’anomena grau sexagesimal a cadascuna de les parts del resultat de dividir la circumferència en360 parts iguals. Un angle recte són 90 graus, un angle pla són 180 graus i la circumferènciacompleta correspon a 360 graus.Quan parlem de graus ens referirem sempre als graus sexagesimals. Així tenim que: - 1 angle recte = 90º graus sexagesimanls - 1 grau sexagesimal = 60’ minuts sexagesimals - 1 minut sexagesimal = 60’’ segons sexagesimals
  17. 17. INTERCONVERSIÓ EQUIVALÈNCIA DE GRAUS A RADIANS 0º = 0 30º = 45º = 60º = 90º = 180º = π 360º = 2 πConvertir radiants en graus RadiansConvertir graus en radiants Graus TRIGONOMETRIA BÀSICATRIANGLES EQUILÀTERSEls costats són igualsTots els angles són de 60ºTRIANGLES RECTANGLESTenen un angle de 90ºLa suma de tots els angles és de 180ºHIPOTENUSA D’UN TRIANGLE hipotenusa2 = catet2 + catet2HIPOTENUSA D’UN TRIANGLE AMB CATETS IGUALS hipotenusa = √2 · catet SINUS COSINUS Sin β = Cos β = TANGENT tg β = = Cos = VECTORS I CÀLCUL VECTORIAL BÀSICUn vector w = (a, b), “a” representa la coordenada “x” i “b” representa la coordenada “y”Un vector w = (a, b, c), “a” representa la coordenada “x”, “b” representa la coordenada “y” i “c”representa la coordenada “z”.
  18. 18. SUMA ESCALARS DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3 (a, b) + (a’, b’) = (a + a’, b + b’) (a, b, c) + (a’, b’, c’) = (a + a’, b + b’, c + c’) PRODUCTE ESCALARS DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3 t (a, b) = (ta, tb) t (a, b, c) = (ta, tb, tc) MATRIUSUn vector w = (a, b), es pot representar amb la matriu següent:Si tenim, u = (a, b, c), v = (a’, b’, c’) i w = (a’’, b’’, c’’) la matriuassociada als vectors (u, v, w) seria: SUMA DE MATRIUS DIMENSIÓ 2Han de tenir elmateix nombre decolumnes i de files. DIMENSIÓ 3Han de tenir elmateix nombrede columnes i defiles. PRODUCTE D’UN ESCALAR PER UNA MATRIUEs multiplica cadaelement perl’escalar
  19. 19. PRODUCTE DE MATRIUSEl nombre de columnes deA ha de coincidir amb elnombre de files de B  a11 a12 a13  x   a11x  a12 y  a13z       AX =  a 21 a 22 a 23  y    a 21x  a 22 y  a 23z   a31 a32 a33  z   a31x  a32 y  a33z       SISTEMES DE COORDENADESCOORDENADES CARTESIANESEs fa servir per a determinar cada punt del pla a través de dos nombres reals anomenats x(abscissa) i y (ordenada). Per a definir les coordenades s’especifiquen dues rectes perpendicularsDimensió 2 – La verticalitat la dóna l’eix “y” Dimensió 3 – La verticalitat la dóna l’eix “z”PARAMETRITZACIÓUn dels objectes més simples són el segment o la recta. Una de les trajectòries més simples per auna animació és la trajectòria rectilínia. Quan s’obtenen els punts de l’objecte (corbes, superfícies)segons un paràmetre que varia, són una parametrització de l’objecte.
  20. 20. COORDENADES POLARSÉs un sistema de coordenades de duesdimensions en el que cada punt en un pla estàdeterminat per un angle i una distància.Conversió de coordenades polars a coordenades cartesianes – Si tenim un angle “t”: x = radi · cos t y = radi · sin t PARAMETRITZACIÓ DE LA CIRCUMFERÈNCIASi el centre de la circumferència és (0, 0)P (t) = ( Radi · cos t, Radi · sin t), 0 ≤ t ≤ 2πx = radi · cos ty = radi · sin tSi el centre no és (0, 0) sinó (a, b)P (t) = ( a + Radi · cos t, b + Radi · sin t), 0 ≤ t ≤ 2πx = a + radi · cos ty = b + radi · sin tSi el centre és (0, 0, 0), Triem l’angle polar t del plaxyP (t) = (Radi · cos t, Radi · sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2πx = radi · cos ty = radi · sin tz=0Si el centre és (a, b, 0)P (t) = ( a + Radi · cos t, b + Radi · sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2πx = a + radi · cos ty = b + radi · sin tz=0 PARAMETRITZACIÓ DE L’ESFERAConsiderem una esfera de centre (0, 0, 0), radi R, a ib són els angles i que P = (x, y, z) és un punt genèricde l’esfera
  21. 21. 5 – TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUESPRODUCTE ESCALAR DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3 u = (a, b) u = (a, b, c) v = (a’, b’) v = (a’, b’, c’) u · v = a·a’ + b·b’ u · v = a·a’ + b·b’ + c·c’ Exemple: (1, 2, 3) · (–2, 0, 4) = 1 · (–2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS DIMENSIÓ 2 DIMENSIÓ 3

×