Презентация Галины Медведевой.

1. Параметры
По материалам И.Фельдман , 2016г

2. Найдем корни квадратного трехчлена в левой части
неравенства с помощью теоремы Виета:
При каких a множество решений неравенства
x2
- ( a2
+ a ) x + a3
≤ 0 содержит не менее пяти
целых чисел? (задача из подборки И. Яковлева)
x1
+ x2
= a 2
+ a
x1
x2
= a 3 Отсюда x1= a2
, x2 = a
Разложим левую часть неравенства на множители:
( x - a2
) ( x – a ) ≤ 0

3. Введём параметрическую плоскость (a;x) - вертикальная
ось x, горизонтальная ось a.
Изобразим на параметрической плоскости (a;x) множество
решений неравенства (x-a2
)(x-a) ≤ 0
Знак неравенства меняется при переходе через нули левой
части, то есть через линии x=a2
и x=a.
Эти линии являются границами областей плоскости
(a;x),
в каждой из которых
точки соответствуют
определённому знаку
левой части неравенства.
a
x

4. Эти линии являются границами областей плоскости
(a;x) , в каждой из которых точки соответствуют
определённому знаку левой части неравенства.
Методом проб определим эти знаки.
Пусть a=3 x=0 , т.е.берём точку (3;0 ) ; получим:
(0-32
)(0-3)>0, значит, в области, где лежит эта
точка, левая часть неравенства положительна:
a
x
(3;0)

5. В самом деле,
a x Знак
неравенства Пояснения
0 2 + (2-0)(2-0)>0
3 0 + (0-9)(0-3) >0
3 4 - (4-9)(4-3) <0
-2 3 - (3-4)(2+3) <0

6. Выделим голубым цветом области,
координаты точек которых удовлетворяют
исходному неравенству:
Заметим, что точки,
на графиках x=a2
и x= a
принадлежат множеству
решений исходного неравенства.
Теперь варьируя значения а
(двигая слева направо прямую,
параллельную вертикальной оси) ,
заметим, что множество
решений исходного
неравенства содержит не
менее пяти целых
значений x при 3−≤a
или при 7≥a

7. 3−

8. Не менее пяти–это значит 5 и более ,т.е. « ≥5 »
По графику смотрим , где целых 5 значений х
(при каком a )?
Ответ: при a = -√3 , а более пяти при a ≤ -√3
В самом деле,
Двигаем далее вправо прямую х= a,
ищем, где количество целых значений х « ≥5 »
по графику смотрим :при a ≥ √7

9. 7
]3;( −−∞∈a

10. Ответ: (-∞;-√3]; [√7;∞)
зелёная область

11. );7[]3;( ∞∪−−∞∈a