Engineering Mechanics Dynamics

1. ‫الرحيم‬ ‫الرحمن‬ ‫هللا‬ ‫بسم‬
‫البدري‬ ‫عبدهللا‬ ‫الشيخ‬ ‫جامعة‬
‫الهندسة‬ ‫كلية‬
‫رقم‬ ‫محاضرة‬(4:)
Curvilinear Motion
‫القطبية‬ ‫األحداثيات‬ ‫في‬ ‫المنحنيه‬ ‫الحركة‬
Mohammed Abdelgadir Hassan Ibrahim
22/5/2013 1mohammed.abdelgadir1983@gmail.com

2. ‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫في‬ ‫المنحنية‬ ‫الحركة‬:-
CurvilinearMotion: Polar Coordinates
‫ب‬ ‫وصفه‬ ‫األفضل‬ ‫من‬ ‫مسار‬ ‫علي‬ ‫تكون‬ ‫الجسيم‬ ‫حركة‬ ً‫ا‬‫أحيان‬‫استخدام‬
‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬
‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬:-Polar Coordinates
‫باست‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬ ‫الجسيم‬ ‫موقع‬ ‫نعين‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬‫خدام‬
‫قطري‬ ‫النصف‬ ‫االحداثي‬(r)‫ثابتة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫يمتد‬ ‫الذي‬(O)‫إلي‬
‫الجسيم‬ ‫موقع‬.‫الزاوي‬ ‫واالحداثي‬(θ)‫عكس‬ ‫زاوية‬ ‫هو‬ ‫الذي‬
‫ومحور‬ ‫األفقي‬ ‫المرجعي‬ ‫الخط‬ ‫بين‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫اتجاه‬(r)
‫لـ‬ ‫الموجب‬ ‫االتجاه‬(r)‫و‬(θ)‫الوحدة‬ ‫بمتجهات‬ ‫يعرف‬ur‫و‬uθ
‫التوالي‬ ‫علي‬.‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ur‫زيادة‬ ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫هي‬(r)‫عندما‬
‫تبقي‬θ‫ثابتة‬.uθ‫زيادة‬ ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫هي‬θ‫يبقي‬ ‫عندما‬(r)‫ثابت‬.
ur‫و‬uθ‫بعضها‬ ‫علي‬ ‫متعامدة‬
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 2

3. ‫الجسيم‬ ‫وضع‬:-position
‫الموضع‬ ‫بمتجه‬ ‫يعرف‬ ‫هو‬ ‫الجسيم‬ ‫موضع‬ ‫للحظة‬ ‫أي‬ ‫عند‬
r = rur
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 3

4. ‫الجسيم‬ ‫سرعة‬:-Velocity
‫لدالة‬ ‫التفاضل‬ ‫بأجراء‬ ‫عليها‬ ‫نتحصل‬ ‫اللحظية‬ ‫السرعة‬(r)
‫زمن‬ ‫خالل‬∆t‫في‬ ‫التغير‬∆r‫في‬ ‫تغير‬ ‫اليسبب‬ur‫في‬ ‫التغير‬ ‫لكن‬∆θ‫تغير‬ ‫يسبب‬
‫في‬ur‫لتصبح‬´ur‫حيث‬
‫كانت‬ ‫إذا‬∆θ‫مقداره‬ ‫يكون‬ ‫المتجه‬ ‫هذا‬ ‫فأن‬ ً‫ا‬‫جد‬ ‫صغيرة‬
‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫ويعمل‬uθ
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 4

5. ‫تصبح‬ ‫السرعة‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫قيمة‬ ‫بتعويض‬
‫حيث‬
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 5

6. ‫السرعة‬ ‫مركبتي‬vr‫و‬vθ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫بيانيا‬ ‫موضحتا‬
‫هي‬ ‫القطرية‬ ‫المركبة‬vr‫الزيادة‬ ‫معدل‬ ‫تقيس‬‫او‬‫في‬ ‫النقصان‬
‫االحداثي‬ ‫طول‬r‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬.‫الزاوية‬ ‫المركبة‬vθ‫هي‬
‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫محيط‬ ‫طول‬ ‫علي‬ ‫الحركة‬r
θ˙‫وحداتها‬ ‫الزاوية‬ ‫السرعة‬ ‫تسمي‬(rad/sec.)vr‫و‬vθ‫هما‬
‫متعامدات‬ ً‫ا‬‫دائم‬.‫هو‬ ‫السرعة‬ ‫مقدار‬v‫بالمعادلة‬ ‫يعطي‬
‫اتجاه‬V‫الجسيم‬ ‫لمسار‬ ‫مماس‬ ‫يكون‬
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 6

7. 22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 7

8. ‫الجسيم‬ ‫عجلة‬Acceleration
‫لمع‬ ‫األول‬ ‫التفاضل‬ ‫بأخذ‬ ‫عليه‬ ‫يتحصل‬ ‫الجسيم‬ ‫تسارع‬‫ادلة‬
‫الجسيم‬ ‫سرعة‬
‫زمن‬ ‫خالل‬∆t‫تغير‬∆r‫اليغير‬‫اتجاه‬ ‫في‬uθ.‫تغير‬∆θ‫يجعل‬
uθ‫تصبح‬u´θ‫حيث‬
‫كانت‬ ‫إذا‬∆θ‫ويع‬ ‫مقداره‬ ‫يكون‬ ‫المتجه‬ ‫هذا‬ ً‫ا‬‫جد‬ ‫صغيرة‬ ‫زاوية‬‫مل‬
‫اتجاه‬ ‫في‬ur
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 8

9. ‫قيمة‬ ‫بتعويض‬uθ´‫المعادلة‬ ‫في‬)*(
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 9

10. 22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 10

11. 8/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 11

12. ‫مو‬ ‫كما‬ ‫منحني‬ ‫مسار‬ ‫في‬ ‫الفراغ‬ ‫خالل‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسيم‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫ضح‬
‫باألحداثيات‬ ‫موضعه‬ ‫يعين‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬
‫الثالثية‬r,ϴ,z‫األحداثي‬z‫األحداثيات‬ ‫في‬ ‫بالمستخدم‬ ‫شبيه‬ ‫هو‬
ً‫ا‬‫سابق‬ ‫دراستها‬ ‫تمت‬ ‫التي‬ ‫الثالثية‬.‫الوحدة‬ ‫متجه‬(Uz )‫يعرف‬
‫المتجه‬ ‫أتجاه‬zً‫ا‬‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫تفاضله‬ ‫ثابت‬ ‫هو‬.‫أن‬ ‫نجد‬
‫ك‬ ‫بالمعادالت‬ ‫تكتب‬ ‫الجسيم‬ ‫وعجلة‬ ‫وسرعة‬ ‫موضع‬ ‫معادالت‬‫ما‬
‫يلي‬
8/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 12

13. 8/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 13

14. Example (1)
The rod OA in below Fig rotates in the horizontal
plane such that θ = (t3) rad. At the same time,
the collar B is sliding outward along OA so that
r = (100t2) mm. If in both cases t is in seconds,
determine the velocity and acceleration of the
collar when t = 1 s.
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 14

15. 22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 15

16. Solution
‫السرعة‬:-
‫السرعة‬ ‫محصلة‬
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 16

17. 22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 17
‫السرعة‬ ‫محصلة‬ ‫اتجاه‬

18. ‫الجلبة‬ ‫عجلة‬
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 18

19. ‫العجلة‬ ‫محصلة‬
‫العجلة‬ ‫محصلة‬ ‫اتجاه‬
22/5/2013 mohammed.abdelgadir1983@gmail.com 19