Author :: อาจารย์จุฑาศินี พรพุทธศรี NPRU Open Courseware more info :: http://courseware.npru.ac.th/index.php

1. การประยุกต์ใช้ในงานทางไฟฟ้า
คณิตศาสตร์สาหรับครูช่างอุตสาหกรรมศิลป์

2. ไฟฟ้ากระแสสลับ
• วงจรไฟฟ้ากระแสสลับประกอบด้วยเครื่องกานิดกระแสสลับและ
ส่วนประกอบอีก 3 อย่างคือ ตัวต้านทาน (resistor) ตัวจุ (capacitor)
และ ตัวเหนี่ยวนา (inductor)

3. วงจรซึ่งมีตัวต้านทานอย่างเดียว
ในวงจรจะได้ 𝑉𝑅 = 𝐼𝑅
𝑉𝑅 = 𝑉 = 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡
𝐼𝑅 = 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡

4. วงจรซึ่งมีตัวต้านทานอย่างเดียว (ต่อ)
• กำลังไฟฟ้ำที่ตกคร่อมบนตัวต้ำนทำน (R) หาได้จาก 𝑖2 𝑅 เมื่อ i เป็นกระแสสลับที่เวลำใดๆ ค่ำโดย
เฉลี่ยของกระแสสลับดังกล่ำวเรียกว่ำ กระแสยังผล (effective current) นิยำมได้ดังนี้
• ค่ำยังผลของกระแสไฟฟ้ำสลับ หมำยถึง ค่ำของกระแสไฟฟ้ำตรงค่ำหนึ่ง ซึ่งจะทำให้ เกิดพลังงำน
(ควำมร้อน, แสง, เสียง) บนตัวต้ำนทำนตัวหนึ่งได้เท่ำกันในเวลำที่เท่ำกัน
• ในช่วงเวลำ dt พลังงำนที่เกิดขึ้นบนตัวต้ำนทำนเท่ำกับ dW คือ
dW = iR2dt
ต้องกำรหำงำนที่ได้จำกกระแสไฟฟ้ำสลับไหล 1 รอบ ซึ่งใช้เวลำ 𝑇 =
2𝜋
𝜔
วินำที

5. วงจรซึ่งมีตัวต้านทานอย่างเดียว (ต่อ)
• สมกำรทั่วไปของ กระแสไฟฟ้ำสลับที่ไหลผ่ำนตัวต้ำนทำน R คือ 𝑖 = 𝐼 𝑚 sin 2𝜋𝑓𝑡
ดังนั้นจะได้ W = 𝑅 0
𝑇
𝐼 𝑚
2 𝑠𝑖𝑛2 2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡
จำกสูตรตรีโกณมิติ
𝑠𝑖𝑛2
𝑥 =
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
จะได้
=
𝐼 𝑚
2 𝑅
2 0
𝑇
1 − 𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 =
𝐼 𝑚
2 𝑅
2
𝑇

6. ตัวอย่างที่ 6.1 เครื่องกำเนิดไฟฟ้ำให้แรงเคลื่อนไฟฟ้ำสูงสุด 30 โวลต์ มีควำมถี่ 50 รอบ/วินำที ถ้ำเครื่องกำเนิดไฟฟ้ำนี้ต่อ
กับวงจรที่มีตัวต้ำนทำน 10 โอห์ม จงหำค่ำกระแสไฟฟ้ำและ กระแสไฟฟ้ำสูงสุดที่ไหลผ่ำนตัวต้ำนทำนนี้
วิธีทำ สมกำรแรงเคลื่อนไฟฟ้ำ 𝑉 = 𝑉𝑚 𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑓𝑡
จำกสมกำร แทนค่ำจะได้ 𝑉 = 30𝑠𝑖𝑛100𝜋𝑡
𝑉𝑟𝑚𝑠 =
𝑉 𝑚
2
=
30
2
= 21.21 โวลต์
อำศัยกฎของโอห์มคำนวณหำกระแสยังผล (Irms) จะได้
𝐼𝑟𝑚𝑠 =
𝑉𝑟𝑚𝑠
𝑅
=
21.21
10
= 2.12 แอมแปร์
กระแสไฟฟ้ำค่ำสูงสุด =
𝑉 𝑚
𝐼 𝑚
=
30
10
= 3 แอมแปร์ Ans.

7. วงจรซึ่งมีตัวเหนี่ยวนาอย่างเดียว
มีแรงเคลื่อนไฟฟ้ำเป็น 𝑉 = 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡 และตัวเหนี่ยวนำซึ่งมีควำมเหนี่ยวนำ
(inductance) เป็น L (เฮนรี)
เมื่อ i เป็นกระแสไฟฟ้าในขณะใดๆ
VL ความต่างศักย์ระหว่างปลายทางของตัวเหนี่ยวนาในขณะใดๆ

8. วงจรซึ่งมีตัวเหนี่ยวนาอย่างเดียว (ต่อ)
วงจรที่มีขดลวดเหนี่ยวนำเพียงอย่ำงเดียว ควำมต่ำงศักย์ที่ตกคร่อม L คือ
𝑉𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡
เมื่ออินทิเกรตจะได้สมกำร i เป็นฟังก์ชันกับเวลำ
𝑖 𝐿 =
𝑉𝑚
𝐿
𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
จะได้
𝑖 𝐿 =
𝑉𝑚
𝜔𝐿
−𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

9. วงจรซึ่งมีตัวเหนี่ยวนาอย่างเดียว (ต่อ)
กำรอินทิเกรตนี้จะละค่ำคงที่ไว้ เพรำะสำมำรถทำให้ค่ำคงที่มีค่ำเป็นศูนย์ได้โดยกำร
จัดเงื่อนไขเริ่มต้นให้เหมำะสม อำศัยตรีโกณมิติ ที่ว่ำ
−𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 90°
𝑖 𝐿 =
𝑉 𝑚
𝜔𝐿
𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 −
𝜋
2
แอมแปร์
ให้ 𝐼 𝑚 =
𝑉 𝑚
𝜔𝐿
จะได้
𝑖 𝐿 = 𝐼 𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 −
𝜋
2
แอมแปร์

11. วงจรซึ่งมีตัวเก็บประจุอย่างเดียว
วงจรที่ประกอบด้วยตัวเก็บประจุเพียงอย่ำงเดียว ซึ่งมีสมกำรแรงเคลื่อนไฟฟ้ำใน
วงจรคือ 𝑉𝑐 = 𝑉𝑚 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
𝑉𝑐 =
𝑞
𝑐

12. วงจรซึ่งมีตัวเก็บประจุอย่างเดียว (ต่อ)
• กระแสไฟฟ้ำในวงจรคือ 𝑖 𝑐 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝑉𝑐 𝜔𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑖 𝑐 =
𝑉 𝑚
1
𝜔𝑐
𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 +
𝜋
2
โดยที่ 𝑋𝑐 คือควำมต้ำนทำนของตัวเก็บประจุ =
1
𝜔𝑐
มีหน่วยเป็นโอห์ม

13. ตัวอย่างที่ 6.3 ควำมต่ำงศักย์ที่ตกคร่อมตัวเก็บประจุขนำด 1 ไมโครฟำรัด เขียนเป็น
สมกำรคือ 𝑉𝑐 = 30𝑠𝑖𝑛400𝑡 โวลต์ จงเขียนสมกำรแสดงกระแสไฟฟ้ำที่ไหลผ่ำนตัวเก็บประจุ
วิธีทำ 𝑋𝑐 =
1
𝜔𝑐
=
1
400×1×10−6
= 2500 โอห์ม
𝐼 𝑚 =
𝑉𝑚
𝑋𝑐
=
30
2500
= 0.012 แอมแปร์
สมกำรแสดงกระแสไฟฟ้ำที่ไหลผ่ำนตัวเก็บประจุ คือ 𝑖 𝑐 = 0.012𝑠𝑖𝑛400𝑡

14. ตัวอย่างที่ 6.4 กำหนดให้ 𝑉𝐿 = 10𝑠𝑖𝑛2𝑡 และ 𝐿 = 5 เฮนรี จงหำคำตอบของ
สมกำรกระแสไฟฟ้ำเมื่อเทียบกับเวลำ
วิธีทำ จำกสมกำร 𝑖 𝐿 =
𝑉 𝑚
𝐿
𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
แทนค่ำ 𝑖 𝐿 =
10
5
𝑠𝑖𝑛2𝑡𝑑𝑡
= 2 𝑠𝑖𝑛2𝑡𝑑𝑡
= 2
−𝑐𝑜𝑠2𝑡
2
= −𝑐𝑜𝑠2𝑡