4. De una hoja rectangular grande se recortan pequeños
rectángulos, cada uno con una base de (𝒙 + 𝟐)cm y una
altura de ( 𝒙 + 𝟑 )cm. Si el área de un pequeño
rectángulo recortado es a lo más 12𝒄𝒎𝟐
, determine las
dimensiones enteras de dichos rectángulos pequeños.
CASO: El área de un rectángulo
𝑥 + 2
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) ≤ 12
La condición es
Área ≤ 12
Es decir, se debe resolver
la siguiente inecuación:
𝑥 + 3
5. CONTENIDO: INECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
❑ Método de solución de una inecuación polinómica.
❑ Aplicaciones de inecuaciones polinómicas.
❑ Método de solución de una inecuación racional.
6. Al finalizar la sesión el estudiante
resuelve ejercicios de inecuaciones
polinómicas y racionales así como
problemas del contexto real
haciendo uso de la teoría de
inecuaciones polinómicas.
OBJETIVO
7. INECUACIONES POLINÓMICAS
Una inecuación polinómica es aquella que se reduce a
una de las siguientes formas:
𝑃𝑛 𝑥 > 0 , 𝑃𝑛 𝑥 ≥ 0 , 𝑃𝑛 𝑥 < 0 , 𝑃𝑛(𝑥) ≤ 0
Un polinomio de grado 𝑛 es de la forma
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
donde 𝑎𝑛 ≠ 0
9. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINÓMICA
El método para determinar el conjunto solución será el de valores críticos.
Un valor crítico es una raíz real de la ecuación polinómica asociada a la inecuación
polinómica.
Los valores críticos los obtendremos mediante un proceso de factorización o
aplicando la Regla de Ruffini.
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ≥ 0
Inecuación Polinómica
Ecuación polinómica asociada
a la inecuación
Sus raíces son los valores críticos
Nota: Para aplicar este método el
coeficiente principal debe
ser positivo (𝑎𝑛 > 0).
10. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
✓ Se factoriza 𝑃 𝑥 en binomios de la forma
𝑥 − 𝑟 𝑘, siendo r un valor crítico y k su
multiplicidad.
✓ Si 𝑟 es un número complejo entonces el
factor correspondiente se elimina.
✓ Si 𝑟 es un número real entonces se lo ubica
en la recta numérica indicando si tiene
multiplicidad par o impar (k es un número
par o impar)
Ejemplo:
Resuelva 𝑥5 − 4𝑥4 + 6𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 − 2 ≤ 0
✓ Al factorizar 𝑥5
− 4𝑥4
+ 6𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 − 2, se
obtiene 𝑥 − 1 2
𝑥 − 2 𝑥2
+ 1 , donde 1 y 2 son
valores críticos con multiplicidades 2 y 1
respectivamente.
✓ Como el factor 𝑥2
+ 1 tiene discriminante
negativo, sus raíces son complejas. Luego, el
factor se elimina (o se ignora).
✓ Se ubican los números 1 y 2 en la recta numérica,
indicando que sus multiplicidades son “par” e
“impar” , respectivamente.
1 2
MI
MP
Sea 𝑃(𝑥) el polinomio asociado a la inecuación
a ser resuelta, entonces:
+∞
−∞
11. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
1 2
MI
MP
✓ Cuando la desigualdad sea < o > (la
relación de orden es abierta), entonces los
puntos críticos no deben pertenecer al
conjunto solución.
𝑥5 − 4𝑥4 + 6𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 − 2 ≤ 0
✓ Cuando la desigualdad sea ≤ o ≥ (la relación
de orden es cerrada), entonces los puntos
críticos deben pertenecer al conjunto
solución.
−∞ +∞
12. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
✓ Esta alternancia de signos se interrumpe
cada vez que el valor crítico es de
multiplicidad par (k es un número par)
porque inmediatamente antes y después de
este valor crítico el signo debe ser el mismo.
✓ Se asigna un signo a cada uno de los
intervalos creados en el paso anterior,
colocando el signo + al intervalo que se
encuentra a la derecha de los demás
intervalos y en forma alternada a los demás
intervalos: −; +; −; +; ⋯
𝑥5 − 4𝑥4 + 6𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 − 2 ≤ 0
−
1 2
MI
MP
−∞ +∞
+
−
13. MÉTODO DE PUNTOS CRÍTICOS
✓ El conjunto solución de la inecuación
polinómica será la unión de todos los
intervalos que tienen el signo que satisface
la inecuación.
1 2
MI
MP
𝑥5
− 4𝑥4
+ 6𝑥3
− 6𝑥2
+ 5𝑥 − 2 ≤ 0
+
−
−
𝑆 = ۦ−∞; ሿ
2
+∞
−∞
14. 1) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
2𝑥3
− 3𝑥2
− 11𝑥 + 6 < 0
Factorizamos el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟔 con la Regla de Ruffini
EJEMPLOS
Solución
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
divisores de (6)
divisores de (2)
= ±1, ±
1
2
, ±2, ±3, ±
3
2
, ±6
= ±
1; 2; 3; 6
1; 2
𝑥 = −2
2 − 3 − 11 + 6
2
− 4
− 7 + 3 0
+14 − 6
2𝑥2
− 7𝑥 + 3 = 0
2𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 0
Luego, la inecuación es equivalente a
𝑥 + 2 2𝑥 − 1 𝑥 − 3 < 0
Los puntos críticos, son:
𝑥 = −2, 𝑥 =
1
2
, 𝑥 = 3
15. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 < 0, se toma los intervalos que
tengan signo negativo.
Como la desigualdad es < (la relación de orden es abierta), entonces los
puntos críticos no deben pertenecer al conjunto solución.
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
1/2 3
MI
MI
+
−
+
−2
MI
−
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando la
multiplicidad de cada punto crítico.
𝑆 = −∞; −2 ∪ 1
2; 3
+∞
−∞
16. 2) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
Multiplicar por (−1):
𝑥 − 1 2
2𝑥 + 3 3
𝑥 − 2 ≥ 0
Puntos críticos:
Primero, se observa que el polinomio ya está factorizado. Sin embargo, para aplicar el
método de puntos críticos, se multiplica a la inecuación por (−1) y cambia el signo
del factor 2 − 𝑥 y así también cambia la relación de orden:
𝑥 − 1 2
2𝑥 + 3 3
2 − 𝑥 ≤ 0
𝑥 − 1 2 2𝑥 + 3 3 2 − 𝑥 ≤ 0
𝑥 = 1 multiplicidad par ,
𝑥 = −
3
2
multiplicidad impar ,
𝑥 = 2 (multiplicidad impar)
Solución
17. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 ≥ 0, se toma los intervalos que tengan
signo positivo y además los puntos cerrados.
Como la desigualdad es ≥ (relación de orden es cerrada), entonces los puntos
críticos deben pertenecer al conjunto solución.
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
1 2
MI
MP
+
−
−
−3/2
MI
+
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando la
multiplicidad de cada punto crítico.
𝑆 = ۦ−∞; − ൧
3
2 ∪ ሾ2; ۧ
+∞ ∪ 1
+∞
−∞
18. 3) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
𝑥2 2𝑥2 − 5𝑥 − 3 (𝑥2 − 𝑥 + 2) < 0
Solución
Factorizamos 2𝑥2 − 5𝑥 − 3
Puntos críticos:
𝑥2 2𝑥 + 1)(𝑥 − 3 (𝑥2 − 𝑥 + 2) < 0
Como el discriminante del factor (𝑥2−𝑥 + 2) es negativo, sus raíces no son reales,
entonces dicho factor se elimina de la inecuación.
𝑥2
2𝑥2
− 5𝑥 − 3 (𝑥2
− 𝑥 + 2) < 0
𝑥 = −
1
2
(multiplicidad impar, igual a 1)
𝑥 = 0 (multiplicidad par, igual a 2)
𝑥 = 3 (multiplicidad impar, igual a 1)
Luego,
19. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 < 0, se toma los intervalos que
tengan signo negativo.
Como la desigualdad es < (relación de orden es abierta), entonces los puntos críticos
no deben pertenecer al conjunto solución.
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
0 3
MI
MP
+
−
−
−1/2
MI
+
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando la
multiplicidad de cada punto crítico.
𝑆 = −1
2
; 3 − 0
+∞
−∞
𝑆 = −1
2; 0 ∪ 0; 3
21. 2) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
(𝑥2
+ 5𝑥 + 9)(𝑥2
+ 𝑥 − 6)(𝑥 − 2) ≤ 0
Solución
El discriminante del factor (𝑥2
+ 5𝑥 + 9) es negativo, entonces dicho factor se elimina.
Mientras que, 𝑥2
+ 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Luego, la inecuación a resolver es equivalente a: (𝑥 + 3) 𝑥 − 2 2 ≤ 0
Los puntos críticos, son: 𝒙 = −𝟑 (multiplicidad impar) y 𝒙 = 𝟐 (multiplicidad par)
2
−3 +∞
−∞
+
MP
MI
+
−
𝑆 = ۦ−∞; ሿ
−3 ∪ 2
22. Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
𝑥3
+ 2𝑥2
− 3𝑥 ≥ 0
a) 𝑆 = ۦ−∞; − 3ሿ ∪ ሾ1; + ۧ
∞
b) 𝑆 = ۦ−∞; ሿ
1
c) 𝑆 = ሾ−3 ሿ
; 0 ∪ ሾ1; + ۧ
∞
d) 𝑆 = ۦ−∞; ሿ
−1 ∪ ሾ3; + ۧ
∞
SONDEO
Respuesta: c
23. PROBLEMA DE APLICACIÓN
1. La compañía Todo madera S.A. produce escritorios y los vende a $70 cada
uno. Si se fabrican y venden 𝑥 escritorios mensualmente, entonces el costo
total mensual de producción, en dólares, es de 𝐶 𝑥 = 𝑥2
+ 20𝑥 + 96.
¿Cuántos escritorios deben venderse mensualmente para que la compañía
tenga ganancia?
24. Sea 𝒙 el número de escritorios fabricados y vendidos mensualmente
Solución
Como cada escritorio se vende a $ 70, entonces el ingreso por las ventas, es: 𝐼 𝑥 = 70𝑥
Para que la compañía tenga ganancia, el ingreso por las ventas debe ser mayor que el costo de
producción.
Es decir, 𝐼(𝑥) > 𝐶(𝑥) → 70𝑥 > 𝑥2 + 20𝑥 + 96
Luego se obtiene la inecuación: 𝑥2 − 50𝑥 + 96 < 0
(𝑥 ∈ ℕ)
(𝑥 − 2)(𝑥 − 48) < 0
Puntos críticos: 𝑥 = 2 y 𝑥 = 48 (multiplicidad impar)
48
+
−
2
+
2 < 𝑥 < 48 ∧ 𝑥 ∈ ℕ
Para que la compañía tenga ganancia debe producir y vender más de 2, pero menos de 48 escritorios.
Para que la compañía tenga ganancia debe producir y vender desde 3 hasta 47 escritorios.
25. PROBLEMA DE APLICACIÓN
2. Rosa desea construir una caja como la que se muestra en la figura, con
3 𝑐𝑚 de altura y por lo menos 144 𝑐𝑚3 de volumen. Si el largo de la base
debe medir 2 𝑐𝑚 más que el ancho, determine las dimensiones mínimas
que puede tener la caja.
26. Sea 𝒙: longitud del ancho de la base de la caja
Solución
3
𝑥
𝑥 + 2
𝑥 𝑥 + 2 3 ≥ 144
𝑥2 + 2𝑥 ≥ 48
𝑥2 + 2𝑥 − 48 ≥ 0
𝑥 + 8 𝑥 − 6 ≥ 0
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 𝑥 + 2 3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 ≥ 144𝑐𝑚3
6
+
−
−8
+
Luego, las dimensiones mínimas de la caja son: largo 8 𝑐𝑚 , ancho 6 𝑐𝑚 y altura 3 𝑐𝑚 .
Como 𝒙 es una longitud, entonces 𝒙 ≥ 𝟔 y para que las dimensiones sean mínimas, 𝑥 = 6
27. Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones polinómicas:
a) −3 ≤ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
Ejercicio N° 3 (página 110)
b) 3𝑥2
+ 4 < 𝑥4
− 3𝑥3
− 3𝑥
c) 𝑥 + 2 4
𝑥 − 3 𝑥 − 5 > 0
d) 𝑥2 + 𝑥 + 4 −2 − 3𝑥 − 𝑥2 ≥ 0
28. Solución a) −3 ≤ 𝑥2 + 4𝑥 < 0
Descomponemos la doble inecuación
−3 ≤ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
−3 ≤ 𝑥2
+ 4𝑥 ∧ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
𝑥2
+ 4𝑥 + 3 ≥ 0 ∧ 𝑥2
+ 4𝑥 < 0
𝑥 + 3 𝑥 + 1 ≥ 0 ∧ 𝑥 𝑥 + 4 < 0
⟺
⟺
𝑃. 𝐶 = −3; −1 𝑃. 𝐶 = −4; 0
−3 − 1 −4 0
𝑆1 = ۦ−∞; ሿ
−3 ∪ ሾ−1; ۧ
+∞
𝑆2 = −4; 0
𝑆 = ۦ−4; ሿ
−3 ∪ ሾ−1; ۧ
0
El conjunto solución de la
primera inecuación es
El conjunto solución de la
segunda inecuación es
Por lo tanto, el conjunto solución es
𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2
30. Solución c) 𝑥 + 2 4 𝑥 − 3 𝑥 − 5 > 0
𝑆 = −∞; −2 ∪ −2; 3 ∪ 5; +∞
𝑃. 𝐶 = −2; 3; 5
El punto crítico −2 tiene multiplicidad par.
Por lo tanto, en la recta numérica el signo
antes y después de −2 se repite.
Al igualar a cero cada factor, se obtienen
los puntos críticos
−2 3 5
31. Solución d) 𝑥2 + 𝑥 + 4 −2 − 3𝑥 − 𝑥2 ≥ 0
𝑥2
+ 𝑥 + 4 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 ≤ 0
𝑥 + 2 𝑥 + 1 ≤ 0
𝑆 = −2; −1
Al multiplicar por −1 el segundo factor,
la desigualdad cambia de sentido.
El discriminante del factor (𝑥2+𝑥 + 4)
es negativo, ∆ = 12 − 4 1 4 = −15,
entonces dicho factor se elimina.
Luego, la inecuación se reduce a:
𝑥2 + 3𝑥 + 2 ≤ 0
Al factorizar, se obtiene:
𝑃. 𝐶 = −2; −1
−2 − 1
32. INECUACIONES RACIONALES
Una inecuación racional es aquella que se reduce a una de las siguientes
formas:
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
> 0 ,
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
≥ 0 ,
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
< 0 ,
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
≤ 0
Donde 𝑃𝑛 𝑥 y 𝑄𝑛(𝑥) son polinomios en la variable 𝑥, tal que 𝑄𝑛(𝑥) tiene
coeficiente principal diferente de cero.
34. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN RACIONAL
Resolver una inecuación racional es equivalente a resolver una inecuación
polinómica:
Por lo que, para determinar el conjunto solución de una inecuación racional,
se aplica también el método de los puntos críticos a la inecuación
polinómica equivalente.
𝑃𝑛(𝑥)
𝑄𝑛(𝑥)
> 0 ⇔ ሾ 𝑃𝑛 𝑥 ∙ 𝑄𝑛 𝑥 > 0 ∧ 𝑄𝑛(𝑥) ≠ 0 ሿ
No se deben incluir en el conjunto solución los puntos críticos que anulan
el denominador.
35. EJEMPLOS
1) Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación:
Solución
Puntos críticos:
Como el numerador y denominador están factorizado, entonces determinamos los puntos críticos:
𝑥 − 2 𝑥 + 3
𝑥 + 1 𝑥 − 4
≤ 0
𝑥 = 2 multiplicidad impar, igual a 1 ,
𝑥 = −3 multiplicidad impar, igual a 1 ,
𝑥 = −1 (multiplicidad impar, igual a 1)
𝑥 = 4 (multiplicidad impar, igual a 1)
36. Como la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 ≤ 0, se toma los intervalos que
tengan signo negativo.
Como la desigualdad es ≤ (relación de orden es cerrada), entonces los
demás puntos críticos deben pertenecer al conjunto solución.
Como los puntos críticos 𝑥 = −1 y 𝑥 = 4 están en el denominador de la
expresión racional, entonces no deben pertenecer al conjunto solución.
−1 2
MI
MI
−
+
−
−3
MI
+
Se colocan los signos correspondientes en cada intervalo, considerando
la multiplicidad de cada punto crítico.
4
MI
Se ubican los puntos críticos en la recta numérica.
+
𝑆 = ൣ−3; ۧ
−1 ∪ ሾ2; ۧ
4
+∞
−∞
40. Solución a)
6 − 5𝑥
𝑥2 − 4
≥ 0
Al multiplicar el numerador por (−1):
5𝑥 − 6
𝑥2 − 4
≤ 0
Al factorizar, se obtiene:
5𝑥 − 6
𝑥 − 2 𝑥 + 2
≤ 0
Puntos críticos:
𝑥 = −2, 𝑥 = 2, 𝑥 = 6/5
−2 6
5
−
−∞
+
2
−
+∞
+
S=ۦ−∞; ۧ
−2 ∪
6
5
; ۧ
2
La desigualdad
cambia
Los puntos críticos del
denominador son
abiertos
41. Solución b)
𝑥 − 2
𝑥 − 3
<
𝑥 − 1
𝑥
Al pasar la fracción del lado derecho
al lado izquierdo, se obtiene:
𝑥 − 2
𝑥 − 3
−
𝑥 − 1
𝑥
< 0
Al efectuar por el M.C.M. de los
denominadores, se obtiene:
𝑥 𝑥 − 2 − (𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
𝑥 − 3 𝑥
< 0
Puntos críticos:
𝑥 = 0, 𝑥 = 3, 𝑥 = 3/2
0 3
2
−
−∞
+
3
−
+∞
+
𝑆 = ۦ−∞; ۧ
0 ∪ 3
2
; 3
El lado derecho debe
ser cero
→
2𝑥 − 3
𝑥 − 3 𝑥
< 0
42. Solución d)
𝑥3
− 1
𝑥2 + 1
≥
𝑥3
− 2
𝑥2 + 2
Al transponer el segundo miembro de la inecuación al primero y efectuar
operaciones correspondientes, se tiene:
𝑥3 − 1
𝑥2 + 1
−
𝑥3 − 2
𝑥2 + 2
≥ 0 →
𝑥3 − 1) 𝑥2 + 2 − (𝑥3 − 2)(𝑥2 + 1
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
Luego de efectuar, la inecuación resulta
𝑥5
+ 2𝑥3
− 𝑥2
− 2 − (𝑥5
+ 𝑥3
− 2𝑥2
− 2)
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
43. 𝑥2(𝑥 + 1)
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
Puntos críticos:
Discriminante es
negativo, no tiene
puntos críticos
𝑥 = 0 (multiplicidad par), 𝑥 = −1(multiplicidad impar)
−1
MI
+
+
−
0
MP
El conjunto solución es 𝑆 = ሾ−1; ۧ
+∞
−∞
+∞
Continúa la solución
Al reducir, se obtiene 𝑥3 + 𝑥2
(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 2)
≥ 0
Se factoriza el numerador
44. Solución f )
1 − 2𝑥 − 3𝑥2
2 − 2𝑥 − 3𝑥2
(3 + 𝑥)(2 − 𝑥)
≥ 0
Como hay 3 factores con coeficientes principales negativos, se multiplican
tres veces por × (−1) a ambos miembros de la inecuación, y se obtiene
3𝑥2
+ 2𝑥 − 1 3𝑥2
+ 2𝑥 − 2
(𝑥 + 3) 𝑥 − 2
≤ 0 (La desigualdad cambia)
Se factoriza la expresión 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 por aspa simple, se obtiene:
3𝑥 − 1)(𝑥 + 1 3𝑥2 + 2𝑥 − 2
(𝑥 + 3) 𝑥 − 2
≤ 0
46. Solución h)
𝑥2
− 4𝑥 + 4 𝑥 − 1
(2𝑥 + 1)(𝑥 + 4)
< 0
Se factoriza la expresión 𝑥2
− 4𝑥 + 4 por aspa simple, y resulta
(𝑥 − 2)2
𝑥 − 1
(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4
< 0
Multiplicidad
doble o par
Los puntos críticos que son: 𝑥 = 2 multiplicidad par , 𝑥 = 1, 𝑥 = −4, 𝑥 = −
1
2
47. Los puntos críticos determinan en la recta numérica los siguientes intervalos
−4
−
1
2
MI
MI
+
−
−∞
+
1
MI MP
−
(𝑥 − 2)2
𝑥 − 1
(2𝑥 + 1) 𝑥 + 4
< 0
Luego, el conjunto solución es 𝑆 = ۦ − ∞; ۧ
−4 ∪ ۦ−
1
2
; ۧ
1
Continúa la solución
En la inecuación
2
+
+∞
49. EJERCICIO N° 3 (página 110)
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones polinómicas:
e) 𝑥5 + 8𝑥4 + 12𝑥3 < 𝑥2 + 8𝑥 + 12
f ) (𝑥2 + 3𝑥 + 2)(𝑥2 + 2𝑥 − 8)(𝑥2 + 2𝑥 + 5) ≤ 0
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones racionales:
e)
𝑥2 + 4𝑥 − 12
𝑥2 + 6𝑥 + 8
≤ 0 g) 1 −
4𝑥 + 32
𝑥2 − 2𝑥 − 8
< 0
EJERCICIO N° 5 (página 110)
RESPUESTAS: En la página 475 del libro texto.
50. TEORÍA Y
PRÁCTICA
AUTOR TÍTULO EDITORIAL
Páginas: 94 - 110
Cárdenas, V., del Águila, V.,
Mitacc,M., y Yalta, A.
Matemática Básica
(2a ed.).(2017)
Universidad de Lima
Fondo Editorial
REVISE EL LIBRO TEXTO DE LA ASIGNATURA
