2. Los recursos que utilizaremos serán:
Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas
1_ día 3, Ficha 10, páginas 131, 132 y 133.
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma. Días 3 y 4:
4. Repartimos frutas
Diego abrió un negocio de venta de frutas. El primer día
de abril repartió 12 cajas de fruta; el segundo día, 18
cajas; el tercer día, 24 cajas, y así sucesivamente hasta el
último día del mes.
5. A partir de la situación responde las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántas cajas de fruta repartió el 12 de abril? ¿Y el último día del
mes?
2. Escribe la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajas
por día y determina la cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo.
6. 1. ¿Qué datos se presentan en la situación?
Las fechas y la cantidad de venta de cajas por cada día:
• 1 día de abril – repartió 12 cajas de fruta
• 2 día de abril – repartió 18 cajas de fruta
• 3 día de abril – repartió 24 cajas de fruta
Repartió cajas hasta el 30 abril.
Comprendemos la situación
7. 2. ¿Cuántas cajas repartió el quinto día?
Día 1 ---------- 12 cajas
Día 2 --------- 18 cajas
Día 3 ---------- 24 cajas
Día 4 ---------- 30 cajas
Día 5 ---------- 36 cajas
Notamos que cada día aumentó en 6 el
número de cajas que repartía, entonces
el día 5 repartió 36 cajas.
+6
+6
+6
+6
Sigamos respondiendo
8. • El número de cajas que repartió Diego el día 12.
• El número de cajas que repartió el último día del mes, es decir, el 30 de
abril.
• Hallar la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajas por
día.
• Determinar la cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo.
Recuerda:
Tener visible tu organizador con las fases para empezar
a dar respuesta a las situaciones.
3. ¿Qué piden hallar las preguntas de la situación?
Sigamos respondiendo
9. 1. Describe el procedimiento que realizarías para dar respuesta a las preguntas de la
situación significativa.
Estrategia :
• Calcula la diferencia entre las cantidades, día a día.
• Completa los datos de la tabla donde se relaciona el día y la cantidad de cajas repartidas.
• Identifica el primer término y el último día de abril como término 30.
• Expresa la cantidad de cajas que repartió el segundo y tercer día a partir del número de cajas que
repartió el primer día.
• Obtén el término general para la progresión aritmética.
• Calcula la cantidad de cajas repartidas los días 12, 30 y otros.
Recuerda:
La razón aritmética es la diferencia constante entre las cantidades correlativas de una progresión
aritmética. Es la comparación de dos cantidades por medio de una sustracción. Por ejemplo en la
sucesión 3; 7; 11; 15, la razón aritmética es 4, porque 7 – 3 = 4; 11 – 7 = 4 y así sucesivamente.
Diseñamos una estrategia o plan
10. Algunas nociones básicas
Sucesión
Progresión
aritmética
Una sucesión o progresión es un conjunto de números que tienen un determinado orden. Cada
número ocupa una posición y recibe el nombre de término. Así:
Es una sucesión de números, tal que la diferencia de dos números seguidos es
constante, así:
El término que ocupa la posición n se denota por 𝑎𝑛 y se denomina término
general o término enésimo.
Término
𝑎1, 𝑎2 ,𝑎3 … 𝑎𝑛
𝑎1 𝑎2 𝑎4 𝑎5
𝑎3 … 𝑎𝑛
2; 5; 8; 11; 14… Ubicación
11. Volvemos a la situación y ejecutamos la estrategia
1. Completamos los datos de la tabla.
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30
Cajas
(unidades)
12 18 24
+ 6 + 6
1.° Colocamos los datos que
nos da la situación.
2.° Encontramos la diferencia
entre las cantidades de cajas
de frutas repartidas.
3.° Completamos la cantidad de
cajas repartidas por cada
día.
Para completar los datos de la tabla seguiremos los
siguientes pasos:
12. Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30
Cajas
(unidades)
12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … 186
+ 6 …
+ 6 + 6 + 6
¿Y el último día del mes?
El último día del mes es el 30.
Respuesta: Repartió 186 cajas.
¿Cuántas cajas de fruta repartió Diego el 12 de
abril?
Respuesta: Repartió 78 cajas.
2. A partir de los datos de la tabla, responde.
13. 3. ¿Cuál es la razón de la progresión aritmética generada por la cantidad de cajas
repartidas por día?
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30
Cajas
(unidades)
12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … n
𝒂𝟐
𝒂𝟏 𝒂𝟑 𝒂𝟒 𝒂𝟔
𝒂𝟓 𝒂𝒏
Hallamos la razón de la progresión aritmética:
• Comparamos las cantidades de cajas de frutas repartidas
entre días consecutivos. Calculamos la diferencia entre
estas cantidades:
18 − 12 = 6
24 − 18 = 6
…
Respuesta:
De acuerdo a la situación, la razón es la
diferencia entre las cantidades de cajas de frutas
repartidas entre dos días consecutivos.
Por lo tanto, la razón de la progresión es 6.
+ 6 + 6
1.er Elemento de la
progresión Último elemento de
la progresión
14. 4. Expresa la cantidad de cajas que repartió el primer día.
𝑎1 es el primer día, entonces:
5. Expresa la cantidad de cajas que repartió el segundo día, en función de la cantidad
de cajas del primer día y de la razón.
𝑎1 = 12
Recordemos que la razón de la
progresión es 6, porque es la
diferencia entre dos cantidades
consecutivas de la progresión.
Entonces, r = 6.
𝑎2 = 𝑎1 + 6 𝑎2 = 𝑎1 + r
𝑎2 = 12 + (1) 6
𝑎2 = 18
15. Sabemos que:
6. Expresa la cantidad de cajas que repartió el tercer día, en función de la cantidad
de cajas que repartió el primer día y de la razón.
𝑎1= 12
𝑎2= 𝑎1 + (1) 6
Entonces: 𝑎3 = 12 + 6 + 6
𝑎3 = 24
r = 6
+ 6 + 6
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … a30
Tiempo
(días)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 30
Cajas
(unidades)
12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … n
16. Ahora que ya conocemos los elementos de una progresión aritmética, analicemos:
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 … a30
Cajas
(unidades)
12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 … n
+ 6 + 6
𝑎1 = 12
𝑎2 = 12 + 6
1 vez el seis
Primer término
𝑎3 = 12 + 6 + 6
2 veces el seis
𝑎4 = 12 + 6 + 6 + 6
3 veces el seis
+ 6 + 6
𝑎5 = 12 + 6 + 6 + 6 + 6
4 veces el seis
𝑎1 = 12
𝑎2 = 12 + 6(2 − 1)
𝑎3 = 12 + 6(3 − 1)
𝑎4 = 12 + 6(4 − 1)
𝑎5 = 12 + 6(5 − 1)
𝑎6 = 12 + 6(6 − 1)
𝑎𝑛 = 12 + 6(𝑛 − 1)
𝑎1 𝑟
𝑎𝑛 = 𝑎1 + r(n − 1)
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r
Fórmula para calcular el
término enésimo (𝑎𝑛).
Para encontrar los siguientes
términos de la progresión
procedemos así:
17. 7. Calcula la cantidad de cajas que repartió el día 12 y el día 30, respectivamente.
Cantidad de cajas para el día 12:
Término que queremos
calcular
𝑆𝑖 𝑎1 = 12, r = 6, 𝑎𝑛 = ?? Término general
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r
𝑎12 = 12+ 66
𝑎12 = 12 + (12 − 1) 6
𝑎12 = 78
Cantidad de cajas para el día 30:
𝑎30 = 12 + (30 − 1) 6
𝑎30 = 12 + 174
𝑎30 = 186
Respuesta: La cantidad de cajas que repartió el día 12 y el día 30 fue de 78 y 186, respectivamente.
18. Volvemos a la situación
8. Expresa la cantidad de cajas que se repartió el día n, considerando la razón y la
cantidad de cajas que repartió el primer día.
Respuesta:
La cantidad de cajas que se
repartió el día n, es:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r
Razón de la progresión aritmética: 6 = r.
Cantidad de cajas que se reparte el primer día: 12 = 𝑎1.
𝑎𝑛 = 12 + 6n − 6
𝑎𝑛 = 6n + 6 𝑎𝑛 = 6n + 6
Reemplazamos los valores en la fórmula: 𝑎𝑛 = 12 + (n − 1)6
Día: n.
19. Entonces, la entrega de cajas por día
será:
Cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo:
El 30 de abril es el término número 30 →
Hasta el 20 de mayo, serán 20 días más →
Entonces:
Respuesta: El 20 de mayo entregará 306 cajas de frutas.
Tenemos que:
𝑎𝑛 = 6n + 6
9. Escribe la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajas por día y determina la
cantidad de cajas que entregará el 20 de mayo.
𝑎𝑛 = 6n + 6
𝑎1 = 6(1) + 6 = 12
𝑎2 = 6(2) + 6 = 18
𝑎3 = 6(3) + 6 = 24
𝑎4 = 6(4) + 6 = 30
𝑎5 = 6(5) + 6 = 36
𝑎50 = 6(50) + 6
Día 1 →
Día 2 →
Día 3 →
Día 4 →
Día 5 →
𝑎30
𝑎30+20 = 𝑎50
𝑎50 = 300 + 6
𝑎50 = 306
Volvemos a la situación
20. 1. ¿Podrías usar otro procedimiento para dar respuesta a las preguntas de la situación? Justifica tu
respuesta.
Pregunta 1: ¿Cuántas cajas de fruta repartió el 12 de abril? ¿Y el último día del mes?
𝑎2 = 12 + 6 = 18
𝑎3 = 12 + 6 + 6
𝑎4 = 12 + (3)(6) = 30
𝑎5 = 12 + (4)(6) = 36
= 12+ (2)(6) = 24
𝑎12 = 12 + (11)(6) = 78
𝑎30 = 12 + (29)(6) = 186
El día 2 reparte:
El día 3 reparte:
6 + 6 el doble de 6, es decir, (2)(6).
El día 4 será 12 + tres veces el 6.
El día 5 será 12 + cuatro veces el 6.
El día 12 será 12 + once veces el 6.
El día 30 será 12 + veintinueve veces el 6.
Se establece
una relación: se
multiplica el
número de
ubicación del
término
anterior por la
razón, más el
primer término.
Si tenemos en cuenta
que:
- El día 1 repartió 12.
- La diferencia entre
las cantidades es 6,
es decir, que todos
los días aumentará
esta cantidad.
Reflexionamos sobre lo desarrollado
21. Pregunta 2: Escribe la expresión matemática correspondiente a la entrega de cajas por día y determina la cantidad
de cajas que entregará el 20 de mayo.
• Hasta el 30 de abril son 30 días y el reparto de ese día el término 30
• Del 1 al 20 de mayo son 20 días más, será el día 50 de entrega de frutas, y
el reparto será el término 50
Entonces, podemos aplicar la fórmula:
(𝑎30).
𝑎50 = 12 + (49)(6)
𝑎50 = 12 + 294
𝑎50 = 306
(𝑎50).
Considerando que el primer día
entrega 12 cajas de fruta y que
cada día aumenta en 6,
podemos decir:
𝑎1 = 12
𝑎2 = 12 + 6
𝑎3 = 12 + (2)(6)
𝑎4 = 12 + (3)(6)
𝑎𝑛 = 12 + (n – 1)(6)
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r
¿Podrías usar otro procedimiento para dar respuesta a las preguntas de la situación? Justifica tu
respuesta.
22. Para seguir aprendiendo en casa
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.
Estimadas(os) estudiantes con la finalidad de afianzar tus
aprendizajes matemáticos te invitamos a revisar el siguiente
desafío de las páginas 137, 138 y 139 del cuaderno de trabajo de
Matemática, Resolvamos problemas 1_día 4 donde encontrarás
otras situaciones similares que te será útil resolver.
Días 3 y 4:
