Hedef programlama goal programming türkçe turkce dokuz eylül üniversitesi şevkinaz gümüşoğlu deu sayısal yöntemler yönetim bilimi management science operating research operational research

1. HEDEF PROGRAMLAMA
(Goal Programming)
HAZIRLAYAN
Engin ÇAKIR

2. Çok Amaçlı Karar Verme



Karar problemlerinin çözümünde çoğunlukla optimal
çözüm değeri elde edilmeye çalışılır. İşletmecilik
problemlerinde kar maksimizasyonu optimal bir sonucu
oluştururken, maliyet minimizasyonu da ayrı bir optimal
sonuç oluşturmaktadır.
Doğrusal Programlamada amaç kar maksimizasyonu ya
da maliyet minimizasyonu olarak ifade edilmektedir.
Oysa gerçek hayattaki karar problemlerinde tek bir amaç
bulunmaz.
Gerek kişiler gerekse kurumlar aynı anda birden çok
amaca sahip olabilir.

3. 


Örneğin fabrika yeri seçilirken, şüphesiz ki maliyet
minimizasyonu önemli bir amaçtır. Fakat bu amacın
yanında kar maksimizasyonu, işgücüne yakınlık, ulaşım
kolaylığı, pazar ve enerji kaynaklarına yakınlık amaçları
da vardır.
Ancak bir çok açıdan çelişen hedefler içeren böyle bir
problemin tüm kriterlerinin aynı anda gerçekleşmesi
oldukça güçtür.
Bu tür problemlerin çözümünde çok amaçlı karar verme
teknikleri kullanılır. Bu yöntemlerden biri de hedef
programlamadır.

4. HEDEF PROGRAMLAMA
(GOAL PROGRAMMING)



Uygulamada karşılaşılan sistemler birden çok amaca
sahip olabilir.
Tek
amaç
optimizasyonuna
çalışan
doğrusal
programlamanın yetersiz kaldığı bu durumlarda, hedef
programlama kullanılır.
Karar vericiden her bir amaç için ulaşılması istenen
hedef değerler belirlenmesi istenir. Bu hedef değerlerden
sapmaları minimize eden bir çözüm bulunur. Bu hedefler
birbiriyle çelişebilir.

5. 

Örneğin, hırslı politikacılar hem iç borcu azaltmayı, hem
de gelir vergisi oranını azaltmayı hedefleyebilir. Böyle
durumlarda, çelişen amaçları optimumu kılan tek bir
çözüm bulmak olanaksız olabilir. Bunun yerine, her
amacın önem derecesini temel alan uzlaşık çözümler
bulunabilir.
Temel düşünce, orijinali çok amaçlı olan problemi tek
amaçlı probleme dönüştürmektir. Modelin sonucuna
ETKİN ÇÖZÜM denir. Çünkü; problemin tüm çelişen
amaçlarına uygun çözüm bulunmayabilir.

6. Başlıca Uygulama Alanları








Reklam programlarının
kullanılması.
İşgücü planlaması
Üretim planlaması
Akademik planlama
Finansal Analiz
Ekonomik politika
analizleri
Ulaştırma ve lojistik
Pazarlama str.planlaması





Çevrenin korunması
Sağlık hizmetlerinin
planlaması
Kısıtlı Kaynakların
opt.dağıtımını yapılması
Kuruluş yeri seçimi
Kamu sektöründeki
kurumlarda ve kar amaçlı
olmayan işletmelerde
politika analizlerinin
yapılması

7. Hedef Programlama Terminolojileri






Amaç: Kullanıcı tarafından belirlenen genel nitelik
(gelirin artırılması, pazar payını korunması gibi)
Hırs seviyesi: Karar veren kişinin ortaya koyduğu
hedefin sayısal değeri (5000 dolar haftalık gider, % 15
Pazar payı)
Sapma: Çözümle sağlanan gerçek performans seviyesi
ile modelde belirlenen amaç arasındaki fark.
Karar değişkenleri: Karar vermek için araştırdığımız
bilinmeyenler kümesi.
Sağ taraf sabitleri: Kaynak değerlerini ifade eden
değerlerdir.
Hedef: Belirlenmiş bir hedef kısıtı içinde belirlenmiş sağ
taraf sabiti değerinden sayısal sapmayı en küçükleme
isteğidir.

8. 

Öncelikli üstünlük faktörü: Amaç fonksiyonunun
oluşturulabilmesi için en önemliden daha az önemliye
sıralanan hedefler, ilk önce birinci öncelikli hedefin
karşılanmasını daha sonra sırayla diğer hedeflerin
karşılanmasını gerektirir. Bu durum şu ilişki ile
gösterilebilir:
(En önemli hedef) P1>>>P2>>> Pk (En az önemli hedef)
Diferansiyel ağırlık: k. seviyede i. hedeften oluşan
sapmaya ilişkin matematiksel ağırlık olarak ifade edilir.
Wki ile gösterilir.

9. Doğrusal Programlama

Standart bir DP’nin matematiksel tanımı
bu şekildedir.
ZMin=c1x1+c2x2+...+cnxn
a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2
...
... ... ... ...
am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

10. Örnek
Masa ve sandalye imal eden bir mobilya şirketinde montaj ve son
işlem daireleri mevcuttur. Belirlenen üretim devresinde bir birimin
imali için gerekli süreler ve dairelerin kullanılabilir zamanları aşağıda
verilmiştir. Zaman birimi saattir.
Montaj
Son İşlem
Birim Kar(TL)
Önem Dereceleri Konusu
Masa
4
2
8
Sandalye Toplam Saat
2
60
4
48
6

11. 
Doğrusal Programlama ile çözümü gerçekleştiğinde;
Zmax=8x1+6x2
4x1+2x2 ≤ 60
2x1+4x2 ≤ 48
x1,x2 ≥ 0
DS for Windows ile Çözüm
X1=12
X2=6
Z=132 YTL

12. LP’nin Grafikle Çözümü

13. Mamul bileşim probleminde tek hedefin kar olduğunu
varsayalım. Hedef Kar= 140 TL’den fazla olsun.
d1+ : Hedefin üzerindeki sapma
 d1- : Hedefin altındaki sapma olmak üzere
Hedef programlama aşağıdaki gibi ifade edilir.

Zmin=Hedefin altındaki sapmaların minimize edilmesidir. (d1-)
Kısıtlar
8x1+6x2+ d1- - d1+ =140
4x1+2x2 ≤ 60
2x1+4x2 ≤ 48
x1,x2,d1+, d1- ≥ 0
Verilen kısıtlar altında maksimum karın 132 TL olduğunu daha önce
DP’yi çözerek görmüştük.
Verilen HP probleminde amaç fonk.
Zmin= D1-

14. DS for Windows ile Çözümü
x1=12, x2=6 ve z=8
z=8 hedeften sapmayı gösterir.

16. Hedef
Programlama
Algoritmaları

17. Eşit Önemde Çoklu Hedefler
Yöntemi
Bu yöntemde belirlenen hedeflere önem
düzeylerine dikkat edilmemektedir.
 Bütün hedefler eşit önemdedir.


18. Örnek (Eşit Önemde Çoklu Hedefler)

DAĞ firması üç farklı ürün üretmektedir. Her ürün için gerekli işçilik
saati, boya plastik malzeme ile ürünlerden elde edilen birim kar
aşağıdaki tabloda verilmektedir. İşletmenin kullanılabilir 900 işçilik
saati, 1550 varil boyası, 1600 birim plastik mlz. bulunmaktadır.
Ürün
Saati
İşçilik
Boya
Malzeme
Plastik
Kar
A
B
C
1,5
4
3
3
2
2
2
3
4
16
22
24
Ağırlıklandırma Konusu

19. İşletme yönetimi aşağıdaki eşit öncelikli hedefleri
belirlemiştir.
HEDEF 1: Tam 10 500 YTL kar elde etmek
HEDEF 2: Fazla mesai yapmamak
HEDEF 3: İlave boya almamak
HEDEF 4: İlave plastik malzeme almamak.
d1-
Kar hedefinin altında kalan
miktar
d3+
İlave olarak alınan boya
(fazla kullanım)
d1+
Kar hedefinin üstüne çıkan
miktar
d3-
Kullanılmayan boya (eksik
kullanım)
d2+
Fazla mesai saati
d4+
İlave olarak alınan plastik
malzeme (fazla kullanım)
d2-
Kullanılmayan işgücü
d4-
Kullanılmayan plastik
malzeme (eksik kullanım)

20. HP’nin Formülasyonu
Karar değişkenleri saptanır.
 Kısıtlar saptanır.
 Bu kısıtlardan Hedef kısıtları saptanır.
 Kısıtlar ve hedef kısıtların formülleri yazılır.
 Amacın formülü yazılır.
 Pozitiflik koşulu belirtilir.


21. Yönetim kar hedefi için hem aşağı (d1-) hem de yukarı
(d1+) sapma ile ilgilenmektedir. Fakat eksik işgücü
kullanımı, boyanın ve plastik malzemenin eksik kullanımı
ele alınmamaktadır. Amaç fonksiyonunda d1+ , d1- , d2+ , d3+
ve d4+ sapma değişkenleri amaç fonksiyonunda yer
almaktadır.

22. Amaç Fonksiyonu
Zmin= d1+ + d1- + d2+ + d3+ + d4+
Kısıtlar
16x1+22x2+24x3+ d1- - d1+ = 10 500
1,5x1+ 3x2+ 2x3 + d2- - d2+ = 900
3x1+ 2x2+ 2x3 + d3- - d3+ = 1550
2x1+ 3x2+ 4x3 + d4- - d4+ = 1600
x1, x2, x3, x4, d1+, d1-, d2+, d2-, d3+, d3-, d4+, d4- ≥0

23. Ağırlıklandırma Yöntemi

Bu yöntemde belirlenen hedeflere önem düzeylerine
göre ağırlık puanları atanarak hedefler tek bir amaç
fonksiyonu olarak ifade edilir. n hedefli bir hedef
programlama
modelinin
ağırlıklandırma
yöntemi
kullanılarak oluşturulmuş amaç fonksiyonu;
Z Min = w1G1+ w2G2+...+ wnGn
Burada wi, i=1,2...,n, her bir hedefe karar vericinin verdiği
önemi yansıtan pozitif ağırlıklardır. wi değerleri
çoğunlukla öznel yöntemlerle belirlenmektedir.

24. HEDEF 1: Tam 10 500 YTL kar elde etmek
HEDEF 2: Fazla mesai yapmamak
HEDEF 3: İlave boya almamak
HEDEF 4: İlave plastik malzeme almamak.
Yönetici tarafından 2. hedefin 4. hedeften 2 kat daha önemli
olduğu; 1. ve 3. hedefin 4.hedefin yarısı kadar önemli olduğu
bilgisi veriliyor olsun.
Eşit Öncelikli Sorusu Sayfasına Git

25. Zmin=1G1+4G2+1G3+2G4
Zmin= 1(d1+ + d1- )+ 4d2+ + 1d3+ + 2d4+
haline gelir.
Kısıtlar
16x1+22x2+24x3+ d1- - d1+ = 10 500
1,5x1+ 3x2+ 2x3 + d2- - d2+ = 900
3x1+ 2x2+ 2x3 + d3- - d3+ = 1550
2x1+ 3x2+ 4x3 + d4- - d4+ = 1600
x1, x2, x3, x4, d1+, d1-, d2+, d2-, d3+, d3-, d4+, d4- ≥0
Eşit Öncelikli Sorusu Sayfasına Git

26. Önceliği Koruma Yöntemi



Önem derecelerinin farklı olduğu hedeflerde ise daha
düşük önem derecesine sahip hedefler, ancak daha
yüksek önem derecesine sahip hedeflere ulaşıldığında
gerçekleştirilebilir.
P1, P2, ..., Pn önem derecelerini simgeler.
Mamul bileşimi sorusunda P1=13 adet masa üretmek,
P2=135 TL kar elde etmek ve P3=5 adet sandalye
üretmek olsun.
Mamul Bileşimi Sorusu

27. d1- = Masa üretimi hedefinden negatif sapma
d1+ = Masa üretimi hedefinden pozitif sapma
d2- = Kar hedefinden negatif sapma
d2+ = Kar hedefinden pozitif sapma
d3- = Sandalye üretimi hedefinden negatif sapma
d3+ = Sandalye üretimi hedefinden pozitif sapma
Zmin = P1 d2-+P2 d1-+P3 d3x1+ d1-- d1+ = 13
8x1+6x2+ d2- - d2+ =135
x2 + d3-- d3+ = 5
4x1+2x2 ≤ 60
2x1+4x2 ≤ 48
x1, x2, d1+ ,d1- , d2+ ,d2- , d3+ ,d3- ≥ 0

28. HP’nin Grafik ile Çözümü
1.
2.
3.
4.
Grafik metodu 3’ten az karar değişkenine sahip problemler
için kullanılır.
Karar değişkeni olarak düşünülen amaçlar koordinat
sistemine yerleştirilir.
En yüksek önceliğe sahip amaçların çözümü belirlenir.
Bu adımda, hedefler biraz az öncelikli olanlara taşınır ve bu
düzeyde amaçları gerçekleştiren en iyi çözümler bulunur
veya en yüksek öncelik taşıyan amaçları gerçekleştiren
mevcut çözümleri indirgemeyecek en iyi çözümler belirlenir.
Bütün öncelikli seviyeleri araştırmak amacı ile adım 3
tekrarlanır.

29. Örnek
Zmin=P1d1+ + P2d2- +P3 d3G 1:
10x1+15x2+d1- - d1+ =40
G2: 100x1+100x2+d2- - d2+ = 1000
G 3:
x2+d3- - d3+ =7
x1, x2, di-+ ≥ 0

30. Grafik Yöntemle Çözümü
x
2
10
G2
•
d3+
G2
d3d2+
5
G1
d1+
•
d2-
d15
10
x1
Daire içine alınan sapan
değişkenler
minimize
yapılacak değişkenlerdir.
En yüksek öncelikli amaç
olan G1 göz önüne alınır.
d1+ minimize yapıldığı
takdirde
tatminkarlık
sağlanacaktır. Yani d1+
=0 x1,x2 ≥0 olacaktır.
Tatminkarlık
bölgesi
taralı
bölge
olarak
gösterilmiştir. G2 amacı
için ise d2- minimize
yapılacaktır.

31. x2
10
G2
•
d3+
G2
d3d2+
5
•
G1
d2-
10
x1=4, x2=0
x1
Bununla birlikte, yüksek
öncelikli hedefin bir önceki
tablodaki çözümün değerini
düşüreceği için d2- sapan
değişkeni sıfır olmamalıdır.
Yüksek öncelikli amacın
başarılmasının dışında d2sapan değişkeninin min
değeri x1=4 ve x2=0’dır.
Son öncelik düzeyi
incelendiğinde d3-‘ün
minimizasyonu istenmekte
fakat bunun için önceki
hedeflerden
vazgeçemiyoruz.

32. Sonuç olarak çözüm:
x1=4, x2=0 ve Zmin=P1d1+ + P2d2- +P3 d3- =(0,600,7)
elde edilir.
Z=(0,600,7) vektörü için en yüksek öncelikli amaç tamamen
tatmin edilirken ikinci ve üçüncü amaçlar için tam bir
tatminkarlık sağlanamamıştır.

33. Örnek:






Doğaşehir, 20 000 nüfuslu bir ilçe olup ilçe belediyesi
topladığı vergilerle ilgili adil bir düzenleme yapma çabası
içindedir.
Emlak vergisi için yıllık vergi tabanı 550 milyon pb’dir
Çevre vergisi için yıllık vergi tabanı 35 milyon pb’dir
Temizlik vergisi için yıllık vergi tabanı 55 milyon pb’dir.
Yıllık yerel doğalgaz tüketiminin ise 7.5 milyon varil olacağı
tahmin edilmektedir.
Belediye meclisi, dört ana hedefi temel alan bir vergi oranı
belirleme istemektedir.

34. 
Belediye meclisi, dört ana hedefi temel alan bir vergi
oranı belirlemek istemektedir.
1.
Vergi gelirleri ilçenin finansal gereksinimlerini karşılamak
için en az 16 milyon pb olmak zorundadır.
Çevre vergisi toplam verginin % 10’unu geçemez.
Temizlik vergisi toplam verginin % 20’sini geçemez.
Doğalgazdan alınacak vergi m3 başına 2 pb’yi geçemez.
2.
3.
4.
xe
xç
xt
xd
Emlak vergi oranı
Çevre vergi oranı
Temizlik vergi oranı
m3 başına doğalgaz vergisi

35. Belediye meclisinin hedefleri aşağıdaki gibidir.
550xe+35xç+55xt+0.075xd≥16
Vergi geliri
35xç ≤ 0.1(550xe+35xç+55xt+0.075xd)
Çevre vergisi
55xt ≤ 0.2(550xe+35xç+55xt+0.075xd)
Temizlik vergisi
xd ≤ 2
Doğalgaz vergisi
Xe,xç,xt,xd ≥0
Bu kısıtlar şu şekilde basitleştirilir.
550xe+35xç+55xt+0.075xd≥16
55xe- 31,5xç+ 5,5xt+0.0075xd ≥ 0
110xe+7xç- 44xt+0.15xd ≥ 0
xd ≤ 2
Xe,xç,xt,xd ≥0

36. 550xe+35xç+55xt+0.075xd + d1- - d1+ = 16
55xe- 31,5xç+ 5,5xt+0.0075xd + d2- - d2+ = 0
110xe+ 7xç- 44xt+0.15xd + d3- - d3+ = 0
xd + d4- - d4+ = 2
Xe,xç,xt,xd ≥0
di+ ,di- ≥0, i = 1,2,3,4
Doğaşehir modelinde, ilk üç kısıt ≥ tipinde, dördüncü kısıt
da ≤ tipinde verildiğinde, d1+, d2+, d3+, d4- sapma değişkenleri
ihlal edilebilecek hedef miktarlarıdır. Böylelikle, uzlaşık
çözüm dört amacı mümkün olduğunca sağlamaya
çalışacaktır.

37. Min.G1 = d1+
Min.G2 = d2+
Min.G3 = d3+
Min.G4 = d4Bu fonksiyonlar, modelin kısıt denklemlerine göre minimum kılınır.

38. DS for Windows ile Çözümü

39. HP’nin Avantajları



Bu yöntemle iki ve daha çok amaca sahip karar
problemlerinin çözümü yapılabilir.
Gevşek kısıtlara izin verir.
Hedef programlama, doğrusal programlamada
“Uygun Çözümü Mevcut olmayan” (infeasible)
problemlere uygun bir çözüm geliştirmede
yardımcı teknik olarak da kullanılmaktadır.

40. HP’nin Dezavantajları




Başarma fonksiyonu çok sayıda amaç
fonksiyonunun birleştirilmesiyle oluşturulur. Bu
nedenle karmaşık bir yapıya sahip olabilirler.
Hedef değerleri karar verici tarafından tespit
edilmelidir.
Karar verici, hedeflerin ağırlıklarını ve öncelik
seviyelerini belirlemelidir.
Bu değerleri bağdaşık hale getirecek bir yol
bulunmalı.

41. KAYNAKÇA





Tütek H. H., Ş. Gümüşoğlu (2008), Sayısal Yöntemler, Beta
Basın Yayın Dağıtım, İstanbul
Taha Hamdy A. Yöneylem Araştırması, Çeviren Ş. Alp
Baray ve Şakir Esnaf, 6.Baskı, Literatür Yayıncılık, İstanbul
Halaç O. (2001), Kantitatif Karar Verme Teknikleri, Alfa
Basın Yayın Dağıtım, Bursa
Umarusman N. (2002), Bulanık Çok Amaçlı Hedef
Programlama ve Bir Üretim Süreci Uygulaması, DEU SBE,
YL Tezi, İzmir
Hillier F.S., G.J. Lieberman (2001), Intoduction to
Operations Research, 7.Baskı, R.R Donallery&Sons Co.,
New York

42. TE Ş EKKÜRLER
Engin ÇAKIR