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ノンパラベイズ入門の入門

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機械学習×プログラミング勉強会 vol.2 での発表資料です。
ベイズの何が嬉しいか、ノンパラベイズの何が嬉しいかを数式を使わず語ります。

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ノンパラベイズ入門の入門

  1. 1. ノンパラベイズ入門の入門 2012/11/09 MLxPGstudy中谷 秀洋 (@shuyo, id:n_shuyo) サイボウズ・ラボ
  2. 2. 資料について• やること – ベイズって何が嬉しいの? – ノンパラベイズって何が嬉しいの?• やらないこと えー数式のほうが わかりやすいのに! – どうやって学習するの? – プログラミング – 数式 数式ないって よかった~
  3. 3. パラメータの推定- 最尤推定とベイジアン -
  4. 4. さて問題です。
  5. 5. 問題 1 • たかしくんがコインを 5 回投げたら、そ のうち 3 回表が出ました。このコインの 表が出る確率を求めなさい。つ、つっこまないぞ…… では投げます! 3 解答: 5
  6. 6. 問題 2• たかしくんがコインを 5000 回投げたら、 そのうち 3000 回表が出ました。このコ インの表が出る確率を求めなさい。 3000 3 解答: = 5000 5
  7. 7. どっちも同じ答えでいいの?
  8. 8. コインの確率は?• 確率 1/2 のコインかも – たまたま「5回中、3回表」だっただけ• 確率 1/5 のコインかも – たまたま「5回中、3回表」だっただけ• 5000回なら「めっちゃ 3/5」っぽい – 何回以上なら 3/5 だって言ってもいい?• これは「コイン投げ」のパラメータを求める 問題
  9. 9. 最尤推定• お手本(訓練データ)の確率が最大になるよ うにパラメータを定める – 実際に起きていることが一番起きやすい!• 「表表表裏裏」の確率が最大になるのは 表の確率が 3/5 のとき – ラグランジュ未定乗数法とか使うと示せる
  10. 10. ベイジアン めっちゃ3/5! • コインの確率は 3/5? 1/2? 1/5? – それぞれの可能性を確 率で表す • 答えが確率分布で求まる – 青: 3表/5回 – 赤: 3000表/5000回3/5 の可能性高め • 情報量が多いでも自信はない!! – 最尤推定だとどちらも 3/5 で区別できない 1つのチャートに収めるため、2つの縦の縮尺は異なっています 事前分布によってグラフの形は大きく変わります(図は Beta(1,1) の場合)
  11. 11. 最尤推定 vs ベイジアン• どっちがいいの? – どっちがいいとかそういうことではなく – 解き方はまだまだ他にもあるし• 結局、問題やモデル次第 – 最尤推定が適した問題なら最尤推定 – ベイジアンが(ry• ただし、この発表の中ではベイジアン推し – ノンパラベイスの話だからね!
  12. 12. 具体例:言語モデル
  13. 13. 言語モデル• 文章のもっともらしさを数値化 – もっともらしい文章に良い数値を返す – 確率的言語モデル:もっともらしさを確率で• 簡単なモデルからスタートして、ノンパラベイズに たどり着くのを見ていきましょう「もっともらしさ」 さりげに難しいこと って何? 聞いてくるねえ
  14. 14. ユニグラム(1-gram)• 最も簡単な言語モデル – 文書の内の単語の確率を掛け算 – お手本文書(コーパス)での各単語の割合が そのまま単語の確率に • 最尤推定! この文章の確率 (もっともらしさ) I am a pen 0.011×0.005×0.025×0.001 =1.375 × 10-9
  15. 15. ユニグラム(1-gram) コーパスから作った単語分布矢印は文書の単語がこの単語分布に従っているってこと アニメ 政治 IT• 全ての文書に共通の単語分布を使う – 単語「マンガ」の確率はどの文書でも同じ
  16. 16. 性能を上げたい!
  17. 17. 文書ごとに単語分布を作ったら……• 1つの単語分布を作るのに使えるデータが少ない – 共通の単語もいっぱいあるのに…… – 機械学習の大原則「データが増えるほどよい」!
  18. 18. 文書グループごとに単語分布を…… アニメ 政治 IT• 文書を「正しく」グループ分けするのは大変!! – 複数のグループに属するような文書はどうする? – 「ナイーブベイズモデル」は こっち方向
  19. 19. LSI (Latent Semantic Indexing) 0.5 0.3 0.2• 単語分布の個数 K は適当に決める(図は K=3) – 各文章の単語分布は K 個の単語分布を適当に混ぜる – 単語分布と混合比を同時に最尤推定(EMアルゴリズム)
  20. 20. もっと性能を上げたい!
  21. 21. LSI をベイズ化• 最尤推定でパラメータを決定的に推定 – 「それってたまたまじゃあないの?」問題 • 他にもゼロ頻度問題とか(今はやらないけど)• ベイズ化してみよう! – LSI のパラメータは単語分布と混合比 – それらの可能性を分布として表現
  22. 22. ディリクレ分布 (0,1,0) (0.5,0.3,0.2) (0,0,1) (0,0,1) (1,0,0)• 足して1になる値の確率分布 – 3次元の場合、三角形の上の分布と見なせる – 高次元でも同じ三角形イメージで
  23. 23. LDA (Latent Dirichlet Allocation) (0,(0, (0, 0,10,1 0,1 ) ) )• LSI の単語分布と混合比にディリクレ分布を入れる – ゼロ頻度対策しつつ、混合により多い情報を反映• 言語モデルとして性能向上!
  24. 24. もっともっと性能を上げたい!
  25. 25. LDA をさらにベイズ化!? (0 ,0 ,1 (0 (0 ) ,0 ,0 ,1 ,1 ) )• 単語分布の個数 K と混合比のディリクレ分布のパラメータを 適切に選ぶと、LDA の性能が上がる• パラメータをベイズ化したら、学習時に自動的に決まる! – ……って、やりたいところだけど単純にはできない……
  26. 26. ベイズ化に都合のいい分布 (共役事前分布)• なんでもベイズ化できるわけではない – 推論に必要な積分が計算できないとツライ• 「共役事前分布」 – 推論に出てくる積分を計算しなくていい分布 – 実はディリクレ分布は多項分布の共役事前分布• ディリクレ分布に共役事前分布ある? – 一応あるけど、その分布自体すでに計算できない
  27. 27. ものすごく都合のいい分布• ディリクレ分布の代わりに使えて、• パラメータに分布を入れても計算できて、• ついでに単語分布数 K も勝手に決めてく れる分布そんな都合良すぎる分布あるわけないよなあ……
  28. 28. ノンパラメトリックベイズ
  29. 29. ディリクレ過程 (Dirichlet Process) 乱暴にいうと、次数が可変のディリクレ分布• 重み付きの空間(図の黒太線)から可変個の点を取っ て、それぞれに確率を与える分布 – 縦線の本数が K に対応 – 縦線の長さがそれぞれの点の確率に対応• 可変個 → 「ノンパラメトリック」な分布 – パラメータがないわけではない
  30. 30. 階層ディリクレ過程 (HDP) • ディリクレ過程のパラメータに ディリクレ過程を入れる – 積分は出来ないが、これを解く 方法がある(中華フランチャイズ 過程など) やめてー
  31. 31. LSI をノンパラベイズ化! (HDP-LDA) (0, 0,1 K ) …• LSIの単語分布をベイズ化、混合比をHDPでノンパラベイズ化 – 混合比分布のパラメータと単語分布の個数 K が自動的に決まる!• 本質的には LDA と大きく変わるわけではない – 最適なパラメータを選択した LDA と同じ精度になる
  32. 32. ノンパラベイズの応用• 階層化 – パラメータの自動決定 • チューニングに血道を上げなくても性能が出る – 複雑で高度なモデルの構築 • sequence memoizer (最高性能の言語モデル) • 教師無し分かち書き• 次数の自動決定 – クラスタ数を事前に仮定したくないモデル – 物体認識, 音源推定, etc• 実応用にはあともうちょっと? – 高速なオンライン&近似推論の決定版待望
  33. 33. まとめ• ノンパラベイズはパラメトリックモデルの 「究極進化形」(ポケモン的な意味で) – 「ノンパラメトリック」より「ウルトラパラメトリック」 とか呼びたいかも (解空間がデータによらないし) – ホントのノンパラメトリックなベイズと区別しないの?• 次に読むなら山本さん/持橋さんの資料がおすすめ – Topicに基づく統計的言語モデルの最前線 - PLSIからHDPまで- – http://chasen.org/~daiti-m/paper/topic2006.pdf• 入門編(数式バリバリ)は Tokyo.ML(仮称)で!? – 開催時期の予定は未定 ありがとうございました

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