เป็นหนึ่งในปัญหากราฟที่เป็นเอ็นพีบริบูรณ์ (พิสูจน์โดยริชาร์ด คาร์ปในปี 2515) โดยที่กลุ่มพรรคพวก (clique) ภายในกราฟหมายถึงเซ็ตของจุดที่ระหว่างคู่ใดๆมีด้านเชื่อมกัน หรือพูดอีกอย่างก็คือ กลุ่มพรรคพวกเป็น complete induced subgraph

1. ปัญหากลุ่มพรรคพวก

2. บทนิยาม1.

3. ปัญหากลุ่มพรรคพวก (อังกฤษ: Clique problem) เป็นหนึ่ง
ในปัญหากราฟที่เป็นเอ็นพีบริบูรณ์ (ปัญหาใด ๆ ในกลุ่ม
ปัญหา เอ็นพี สามารถลดรูปมาเป็นปัญหาใน เอ็นพีบริบูรณ์
ได้) เนื่องมาจากว่าถ้ามีกลุ่มพรรคพวกที่มีขนาด k ในกราฟ
G จะมีเซตอิสระขนาด k ในกราฟ G̅ เสมอ เพราะฉะนั้นเรา
สามารถเห็นได้อย่างชัดเจนว่าปัญหากลุ่มพรรคพวกกับปัญหา
เซตอิสระสามารถ ลดรูป ระหว่างสองปัญหาได้

4. กลุ่มพรรคพวก ( clique ) ภายในกราฟหมายถึง เซตของจุดที่
ระหว่างคู่ใดๆมีด้านเชื่อมกัน หรือพูดอีกอย่างก็คือ กลุ่มพรรค
พวกเป็น complete induced sub graph โดยปัญหากลุ่ม
พรรคพวกคือ ปัญหาที่ตัดสินว่ากราฟที่กาหนดมีกลุ่มพรรคพวก
ที่มีขนาด k หรือไม่ เราอาจจะนิยามปัญหานี้ได้อีกแบบก็คือ ให้
หากลุ่มพรรคพวกที่ใหญ่ที่สุดในกราฟที่กาหนดหรือ หากราฟ
ย่อยที่เป็นกราฟบริบูรณ์ที่มีขนาดใหญ่ที่สุด เช่น ในรูปจะเห็น
ได้ชัดเจนว่า ระหว่างจุด 1 2 และ 5 มีด้านเชื่อมถึงกันหมด ใน
กรณีนี้เราเรียกว่าทั้งสามจุดนี้เป็นกลุ่มพรรคพวกที่มีขนาด
เท่ากับ 3

5. อัลกอริทึมที่ใช้ในการแก้ปัญหา2.

6. วิธีโบรน-เคอร์โบสท์ ( Bron–Kerbosch algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีการหากลุ่ม
พรรคพวกที่ใหญ่ที่สุดในกราฟไม่ระบุทิศทาง คือการระบุสับเซตทั้งหมดของจุดยอด ประกอบด้วย
คุณสมบัติสองประการคือ แต่ละคู่ของจุดยอดของสับเซตที่ถูกระบุแต่ละครั้งจะต้องถูกเชื่อมโดยเส้นเชื่อม
เสมอ และ ไม่มีสับเซตใดที่จะมีจุดยอดเพิ่มเติมถูกเพิ่มเข้าไปในสับเซตขณะที่มันเป็นการเชื่อมต่อที่
บริบูรณ์ แม้ว่าขั้นตอนวิธีอื่นๆ สาหรับการแก้ปัญหากลุ่มพรรคพวก (clique problem) จะมีเวลา
การทางานดีกว่าในทางทฤษฎีสาหรับข้อมูลขาเข้าที่เป็นเซตอิสระขนาดใหญ่สุด (maximal
independent set) จานวนน้อยๆ แต่ขั้นตอนวิธีโบรน-เคอร์โบสท์ และการปรับปรุงจากขั้นตอนวิธีนี้
ถูกรายงานบ่อยครั้งว่ามีประสิทธิภาพดีกว่าแบบอื่นๆ ในทางปฏิบัติ
การแก้ปัญหาโดยวิธีโบรน-เคอร์โบสท์ มี 3 รูปแบบ ดังนี้
Bron–Kerbosch algorithm

7. 1.
แบบไม่มีแกนหลัก

8. ซึ่งเป็นรูปแบบพื้นฐานของขั้นตอนวิธีโบรน-เคอร์โบสท์ คือขั้นตอน
วิธีการย้อนรอยแบบเวียนเกิด (recursive backtracking) ที่ค้นหากลุ่มพรรคพวกที่
ใหญ่ที่สุดในกราฟ G โดยทั่วไป กาหนดให้มีสามเซต R P และ X แล้วมันจะทาการ
หากลุ่มพรรคพวกที่ใหญ่ที่สุด
การเวียนเกิดนี้เริ่มต้นโดยกาหนดให้เซต R และ X เป็นเซตว่าง และให้
P เป็นเซตของจุดยอดของกราฟ โดยภายในการเรียกการเวียนเกิดแต่ละครั้ง จะมีการ
พิจารณาจุดยอดใน P ถ้าไม่มีจุดยอดใดๆเลย ก็จะให้ R เป็นกลุ่มพรรคพวกที่ใหญ่
ที่สุด (ในกรณีที่ X เป็นเซตว่าง) หรือให้ย้อนรอย สาหรับแต่ละจุดยอด v ที่ถูกเลือก
จาก P มันจะทาการเรียกการเวียนเกิด

9. ซึ่ง v ถูกเพิ่มเข้าไปใน R  Exam. v = 1 ; R = {1}
และ P ถูกจากัดไว้สาหรับจุดยอดประชิดของ v (N(v))
Exam. N(v) = 2,3 ; P = { 2, 3 }
เมื่อย้อนรอยเสร็จแล้วจะทาการย้าย v จาก P ไปยัง X และทาต่อไป
เรื่อยๆ กับจุดยอดต่อไปใน P  Exam. P = {2,3,4} X = {1}

10. “
ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดย วิธีโบรน-เคอร์โบสท์
แบบไม่มีแกนหลัก

12. 2.
แบบมีแกนหลัก

13. เพื่อที่จะประหยัดเวลาและให้ขั้นตอนวิธีดังกล่าวย้อนรอยได้อย่างรวดเร็ว
โบรนและเคอร์โบสท์ได้นาเสนอขั้นตอนวิธีที่ต่างออกไปเกี่ยวกับ จุดยอดแกนหลัก (pivot
vertex) u ซึ่งถูกเลือกจาก P โดยที่ u เป็นจุดยอดที่มีดีกรีสูงที่สุดในกราฟ และ กลุ่ม
พรรคพวกที่ใหญ่ที่สุดใดๆ ต้องประกอบด้วย u หรือ จุดยอดหนึ่งที่ไม่ใช่จุดยอดประชิด
ของ u นอกนั้น กลุ่มพรรคพวกสามารถที่จะขยายโดยเพิ่ม u เข้าไป ดังนั้น เฉพาะ u
และจุดยอดที่ไม่ใช่จุดยอดประชิดของมันต้องถูกทดสอบเพื่อเป็นตัวเลือกสาหรับจุดยอด v
ที่จะถูกรวมเข้ากับ R ในแต่ละครั้งของการเรียกการเวียนเกิด รูปแบบนี้จะลดเวลาการ
ทางานลงได้มากเมื่อเทียบกับแบบไม่ใช้แกนหลัก

14. “
ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดย วิธีโบรน-เคอร์โบสท์ แบบมีแกนหลัก
โดยจุดยอดแกนหลัก(u)ของกราฟนี้คือ 4 จากนั้นลบ u = 4 ออกจาก P
หาจุดยอดที่ไม่เป็นจุดยอดประชิดของ 4 คือ P/N(4) = {1,2,3,5,6,7} / {1,2,3,5,6} = {7}
ดังนั้น กลุ่มพรรคพวกที่ใหญ่ที่สุดใดๆ ต้องประกอบด้วย 4 และ 7

16. 3.
แบบลาดับจุดยอด

17. เป็นรูปแบบที่ผสมระหว่าง รูปแบบมีแกนและไม่มีแกน แต่มีการเลือกจุด
ยอดแบบเรียงลาดับ จากจุดยอดที่มีดีกรีน้อยที่สุดไปมากที่สุด
ในการเรียกการเวียนเกิดในขั้นตอนวิธีนี้ชั้นของการเวียนเกิดที่อยู่ต่ากว่า
ชั้นบนสุดยังคงต้องใช้แบบมีแกนหลักอยู่
จากกราฟนี้การลาดับที่เป็นไปได้คือ 6,4,3,1,2,5

18. เปรียบเทียบทั้งสามรูปแบบ
ในการแก้ปัญหา
3.