2. ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
(Đáp án Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I.1 1.(1 điểm). Khi 1 m = hàm số trở thành: 4 2
2 y x x= -
· TXĐ: D = R
· Sự biến thiên: ( ) ' 3 2
0
4 4 0 4 1 0
1
x
y x x x x
x
=é
= - = Û - = Û ê = ±ë 0.25
( ) ( ) 0 0, 1 1 CD CT y y y y= = = ± = - 0.25
· Bảng biến thiên
x ¥ 1 0 1 +¥
y ’ - 0 + 0 - 0 +
y +¥ 0 +¥
1 1
0.25
· Đồ thị
0.25
I.2
2. (1 điểm) ( ) ' 3 2
2
0
4 4 4 0
x
y x mx x x m
x m
=é
= - = - = Û ê
=ë
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û pt '
0 y = có ba nghiệm phân biệt và '
y đổi dấu khi
x đi qua các nghiệm đó 0 mÛ > 0.25
· Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
( ) ( ) ( ) 2 2
0; 1 , ; 1 , ; 1 A m B m m m C m m m- - - + - - + - 0.25
· 2 1
.
2
ABC B A C B S y y x x m m= - - =V ; 4
, 2 AB AC m m BC m= = + =
0.25
·
( ) 4
3
2
1
2 . .
1 1 2 1 0 5 1 4 4
2
ABC
m
m m m AB AC BC
R m m
S m m m
=é
+ ê= = Û = Û - + = Û -ê =
êë
V
0.25
II.1 * ĐK: cos 0 x ¹ . PT
3 3
sin cos cos2 .(2cos sin ) x x x x xÛ + = -
0.25
(sin cos ).cos .(2sin cos ) 0 x x x x xÛ + - = 0.25
sin cos 0;2sin cos 0 x x x xÛ + = - = 0.25
1
; arctan ;( , )
4 2
x k x l k l Z
p
p pÛ = - + = + Î
0.25
8
6
4
2
2
4
6
8
10 5 5 10
3. II.2 * Đk: xÎD=(¥;1/2] È{1} È[2;+ ¥) 0.25
* x = 1 là nghiệm phương trình đã cho 0.25
* với x ³2 Bpt đã cho tương đương: 1 2 1 2 -+-³- x x x ...vô nghiệm 0.25
*x
2
1
£ : Bpt đã cho tương đương: x x x 2 1 1 2 -³-+- c ó nghiệm x
2
1
£
*BPT có tập nghiệm S=(¥;1/2] È{1} 0.25
2 2 2
0 0
sin 2 . co s s inx. os
2
1 cos 1 cos
x x c x
I dx dx
x x
p p
= =
+ +ò ò 0.25
Đặt 1 cos t x= + sin x dt dxÞ = - , cos 1 x t= -
0 2 x t= Þ = , 1
2
x t
p
= Þ =
0.25
III
I =
2 2 2
1 1
( 1 ) 1
2 2 ( 2 )
t
d t t d t
t t
-
= - +ò ò 0.25
=
2
2
2 ( 2 ln ) 2 ln 2 1
1 2
t
t t- + = -
0.25
Theo đlý cosin ta có: BC = 7 a
Theo Pitago ta được: MB = 2 3a ; MA1=3a
Vậy 2 2 2 2
1 1 21 MB MA BA a+ = = 1 MA MBÞ ^
0.50
Ta lại có: 1 1 1 1
1 1
( ,( )). .
3 3
ABA M ABA MBA V d M ABA S d S= =
1 1 ( ,( )) ( ,( )) 3 d M ABA d C ABA a= =
1
2
1
1
. 5
2
ABA S AB AA a= =
0.25
IV
1
2
1
1
. 3 3
2
MBA S MB MA a= =
5
3
a
dÞ =
0.25
V Do
2 2 2
9 a b c+ + = nên ít nhất một bình phương lớn hơn hoạc bằng 3.
Giả sử
2 2 2
3 6 c a b³ Þ + £
VT 2
= [ ]
2 2 2 2
2( ) (2 ) (4 (2 ) )(( ) ) a b ab c ab a b c+ + - £ + - + +
VT 2 2 2
(8 4 )(9 2 ) ab a b ab£ - + +
Ta sẽ CM
2 2
(8 4 )(9 2 ) 100 ab a b ab- + + £
3 2
2( ) ( ) 20 28 0 ab ab abÛ + - - £
3 2 2
2( ) ( ) 20 28 0 (2 7)( 2) 0 ab ab ab ab abÛ + - - £ Û - + £ 1,0
A
M
C1B1
B
A
C
4. N
D
I
A C
B
N' M
2 2
6
3 2 7 0
2 2
a b
ab ab
+
£ £ = Þ - < . Vậy BDT Đúng
VI.a1 Tọa dộ giao điểm I của d và d’ là nghiệm của hệ phương trình
9
3 0 9 3 2 ;
6 0 3 2 2
2
x
x y
I
x y
y
ì
=ï- - =ì ï æ ö
Û Þí í ç ÷+ - = è øî ï =
ïî
Do vai trò của A, B, C, D là như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD
( ) Ox 3;0 M d MÞ = Ç Þ
0.25
Ta có: 2 3 2 AB IM= =
Theo giả thiết . 12 2 2 ABCD S AB AD AD= = Þ =
Vì I, M thuộc d : 3 0 d AD AD x yÞ ^ Þ + - = 0.25
Lại có 2 MA MD= = Þtọa độ điểm A, D là nghiệm cuẩ hệ phương trình
( )
( ) ( ) 2 2
3 0 2 4
2;1 ; 4; 1
1 1 3 2
x y x x
A D
y y x y
+ - =ì = =ì ìï
Û Ù Þ -í í í
= = -- + = î îïî
0.25
Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2) TT: I là trung điểm của BD nên B(5;
4) 0.25
. Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;2) R= 2 2 2
1 2 ( 2) 16+ + - + =5. 0.25
mp(P) có dạng: 2 2 0 x y z c+ + + = ( 3 c ¹ - )
. Do chu vi đường tròn bằng 8p nên bán kính 4 r =
0.25
2 2
( ;( )) 3 d I P R r= - = Û 4 9 c+ =
Û
5
13
c
c
=
= -
0.25
VI.a2
KL: ( 1 P ) 2 2 5 0 x y z+ + + = ( 2 P ) 2 2 13 0 x y z+ + - = 0.25
VII.a Ta có:
Đặt
0.5
Dẫn đến:
Kết hợp với giả thiết ban đầu: 0.25
Nên kế hợp lại ta được số phức :
; 0.25
VI.b1 Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có :
'
'
2 4
2 5
N I N
N I N
x x x
y y y
= - =ì
í
= - = -î
0.25
5. Phương trình đường thẳng AB:4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d
+ -
= =
+
0.25
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:
2 2 2
1 1 1
4 d x x
= + suy ra x = 5 suy ra BI = 5
0.25
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2 2
4x 3y – 1 0
( 2) ( 1) 5 x y
+ =ì
í
- + - =î
B có hoành độ dương nên B( 1; 1)
0.25
VIb2.
.Gọi ( ;0;0) C a OxÎ .
2
( ;( ))
3
a
d C P =
0.25
;
( ;( ))
MC u
d C
u
D
é ù
ë û
D =
uuuur uur
r với
(1;0; 2)
( 1;0;2)
(1;2;2)
M
MC a
uD
-
= -
=
uuuur
uur
. ; ( 4;4 2 ;2( 1)) MC u a aD
é ù = - - -ë û
uuuur uur
0.25
2
8 24 36
( ;( ))
3
a a
d C
- +
D = =
2
( ;( ))
3
a
d C P = Û 3 a = Vậy (3;0;0) C
0.25
Phương trình mp (P): 1 2 3 6 6 0
3 2 1
x y z
x y z+ + = Û + - - =
- 0.25
VIIb ĐK: x+y > 0
Hệ đã cho Û
3
5
( ) 3
27
( ) 5
x y
x y
x y
x y
-
-
ì
+ =ï
í
ï + =î
Û
3
3
5
5 3
27
( ) 5
x y
x y
x y
x y
-
-
-
ì
=ï
í
ï + =î 0.25
Û
3
3 3
3
5 3
( ) 5
x y
x y
x y
x y
- -
- -
-
ì
ï =
í
ï + =î
Û 3
3 0
( ) 5 x y
x y
x y -
- - =ì
í
+ =î
Û 3
3
(2 3) 125
y x
x
= -ì
í
- =î 0.5
3
2 3 5
y x
x
= -ì
Û í
- =î
Û
4
1
x
y
=ì
í
=î
thỏa mãn điều kiện.
0.25
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án
quy định.
Hết
