Cach giai toan

Caïch giaíi toaïn
[Âáy laì pháön lyï thuyãút toaïn hoüc 3 nàm 10, 11, 12. Så læåüc laûi 1 chuït, coìn nhiãöu pháön næîa chæa
âæa vä âæåüc. Chuïc caïc baûn hoüc täút!]
NHAÌ XUÁÚT BAÍN THÄN 1 FC

Caïch giaíi toaïn PTX
Moüi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû: www. fb.com/toansocaphue
1
1. (1 x)m n
y x  våïi 0 1x  , m,n  Z
thç
.
0
( )
m n
m n
m n
y
m n 
 

2. (1 x )m n
y x  våïi 0 1x  , m,n  Z
thç 0
m
n
m n
y
m n m n
 
   
  
3. ( )f x k min ( )x f x k  
4. ( )f x k coï nghiãûm max ( )f x k 
5. ( )f x k max ( )x f x k  
6. ( )f x k coï nghiãûm min ( )f x k 
7. (0; )
2
x

  thç
sinx x tanx
sinx.cosx sinx x
 

 
1. 1+2+3+..+n =
( 1)
2
n n 
2. 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)=
( 1)( 2)
3
n n n 
3. …
' '
'3
3 2 23
( )
; ( )
3 3 ( )
u g x
y u u g x y
u g x
    
Âaûo haìm nhanh:

 
2
'
ax b ad bc
y y
cx d cx d
 
  
 
*
 
2 2
2
2
'
ax bx c adx ae be cd
y y
dx e dx e
    
  
 

1
1 '
'n nn
u
y y
u n u 
  

2

 
 
22
1 1 1 1 1 1
22 2
1 1 1 1 1 1
( ) 2
'
ab a b x x ac a c bc b cax bx c
y y
a x b x c a x b x c
     
  
   
 Tiãûm cáûn xiãn: tæì haìm säú:
2
ax bx c
y
dx e
 


 TCX:
 
 2 2
e bd aea bd ae
y x
d d d dx e

  

nãúu e(bd-ae) = 0 thç TCX: 2
a bd ae
y x
d d

 
TÄØNG Sn cuía 1 cáúp säú nhán luìi vä haûn 1
1;
1
u
S u
q


: laì säú haûng âáöu, cäng bäüi 1q 
Täøng n säú haûng âáöu tiãn cuía cáúp säú nhán ;( 1)nu q  1
1 1
1
; .
1
n
n
n n
q
S u u u q
q

  

1. Vaìi âiãøm nhoí cáön læu yï:
1.1 Âäö thë haìm säú y=f(x) vaì y= -f(x) âäúi xæïng nhau qua truûc Ox
1.2 Âäö thë haìm säú chàôn nháûn Oy laìm truûc âäúi xæïng.
1.3 Âäö thë haìm säú leí nháûn gäúc toüa âäü O laìm tám âäúi xæïng.
1.4 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x) âäö thë (C1): y=  f x
- Ta coï:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x

  

nãúu
( ) 0
( ) 0
f x
f x


- Tæì âäö thë (C) âaî veî ta suy ra nhæ sau:
 Giæî nguyãn pháön âäö thë phêa trãn Ox
 Láúy âäúi xæïng pháön âäö thë phêa dæåïi Ox
 Boí pháön âäö thë phêa dæåïi Ox ta thu âæåüc âäö thë (C1) cáön tçm
1.5 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x) âäö thë (C2): y= ( )f x
- Ta coï:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x

  

nãúu
0
0
x
x


 Giæî nguyãn pháön âäö thë bãn phaíi Oy
 Láúy âäúi xæïng qua Oy pháön âäö thë nàòm bãn phaíi
 Boí pháön âäö thë phêa bãn traïi ta thu âæåüc âäö thë (C2) cáön tçm
1.6 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x) âäö thë (C3): ( )y f x

3
- Ta coï:
( ) 0
( ) ( )
( )
f x
y f x y f x
y f x


  
  
nãúu
0
0
y
y


 Giæî nguyãn pháön âäö thë phêa trãn Ox
 Láúy âäúi xæïng pháön âäö thë nàòm phêa trãn Ox
 Boí pháön âäö thë phêa dæåïi ta thu âæåüc âäö thë (C3) cáön tçm.
2. Khi viãút phæång trçnh âæåìng thàóng hoàûc tiãúp tuyãún cuía haìm säú nãn viãút dæåïi daûng âån
giaín nháút, daûng chung nhæ
y=kx+m
y=k(x-x0)+y0 våïi k laì hãû säú goïc; k= tan ;  laì âäü däúc. k>0: âäö thë haìm säú hæåïng lãn;
k<0: âäö thë haìm säú hæåïng xuäúng.
3. Khaío saït haìm säú coï càn thæïc:
3.1 Tçm D: táûp xaïc âënh
3.2 Tçm y’
3.3 Xem y”(x0) >0 hay <0 âãø kãút luáûn cæûc trë
3.4 Tçm phæång trçnh tiãûm cáûn xiãn
( )
lim
x
f x
a
x
 vaì  lim ( )
x
b f x ax

 
3.5 Baíng biãún thiãn vaì veî âäö thë
3.6 Chè ra âäö thë haìm säú càõt truûc hoaình, truûc tung taûi âiãøm naìo.
4. Khi aïp duûng âënh lyï Viet nhåï kiãøm tra laûi âiãöu kiãûn cáön vaì âuí
5. Khi tçm pt tiãûm cáûn xiãn cuía âths coï tham säú m. tçm âiãöu kiãûn âãø täön taûi tiãûm cáûn xiãn.
( )
( )
( )
c m
y a m x b
g x
   giaí sæí c(m) = 0 pt tråí thaình âæåìng thàóng khäng phaíi tiãûm cáûn
xiãn. Giaí sæí a(m) = 0 tiãûm cáûn xiãn tiãûm cáûn ngang. Kãút luáûn: khi a(m) vaì c(m)
0 thç ta coï tiãûm cáûn xiãn.
6. Nãúu Phæång trçnh báûc 3 khäng coï nghiãûm âàûc biãût thç âãø 2 âäö thë tiãúp xuïc nhau ta phaíi
duìng
( ) ( )
'( ) '(x)
g x f x
g x f



coï nghiãûm âãø âiãöu kiãûn tiãúp xuïc.
7. Khi tênh khoaíng caïch tæì 1 âiãøm âãún âæåìng thàóng, chàóng haûn âiãøm thuäüc âäö thë
2
;
' '
ax bx c ax b
y y
a x b cx d
  
 
 
;…viãút laûi chuïng dæåïi daûng 1
' '
c
y a x b
a x b
  

;
1
1
c
y ax b
cx d
  

. âãø tênh khoaíng caïch aïp duûng cäng thæïc, Báút âàóng thæïc Cosi (nãn
âæa vaìo dáúu giaï trë tuyãût âäúi sau âoï khai triãøn ra)

4
8. Khi viãút pt tiãúp tuyãún haìm säú coï daûng:

3 2
4 3 2
y ax bx cx d
y ax bx cx dx e
    

    
laìm phæång phaïp tiãúp âiãøm

2
2
;
y ax bx c
ax b ax bx c
y y
cx d dx e
   

   
 
 
laìm phæång phaïp hãû säú goïc
 Cuû thãø phæång phaïp tiãúp âiãøm: goüi M0(x0;y0) laì tiãúp âiãøm. Ta coï pt tiãúp tuyãún:
0 0 0: '( )( )y y f x x x    vç ( ; )A AA x y   0 0 0'( )( )A Ay y f x x x   giaíi tçm x0; y0.
 Cuû thãø phæång phaïp hãû säú goïc: goüi  laì âæåìng thàóng qua A: ( )A Ay y k x x   laì
tiãúp tuyãún nãn ( ) ( )A Af x k x x y   coï nghiãûm keïp  tçm k.
9. Khi tháúy caïc hãû säú cuía phæång trçnh hay âiãøm ( ; )A AA x y , B, C… maì ( ; )A Ax y …laì caïc
säú phæïc taûp, ta chæïng minh BA = BC âãø kiãøm tra xem B coï laì trung âiãøm cuía AC hay
khäng.
10. Baìi toaïn yãu cáöu xaïc âënh tiãúp tuyãún cuía âäö thë haìm säú coï 2 tiãúp âiãøm. Goüi tiãúp tuyãún laì
y=ax+b; pt f(x) =ax+b coï 2 nghiãûm keïp phán biãût
2 2
( ) ( ) (ax b) (x m) ( ) ;F x f x x n x         âäöng nháút âa thæïc F(x) vaì
2 2
(x m) ( )x n   ta tçm âæåüc a,b,m,n.
11. Daûng tçm m âãø 2 giao âiãøm A, B cuía âäö thë (H) vaì (D) âäúi xæïng nhau qua  coï D 
thç:
 Tçm phæång trçnh hoaình âäü giao âiãøm cuía (H) vaì (D)
 Tçm âiãöu kiãûn âãø (H) vaì (D)giao nhau taûi 2 âiãøm phán biãût (âoï laì phæång trçnh
hoaình âäü coï 2 nghiãûm phán biãût) chuï yï a 0
 Tçm giao âiãøm C cuía  vaì D do D 
 A, B âäúi xæïng nhau qua  maì D  nãn C laì trung âiãøm cuía A, B
 Aïp duûng âënh lyï Viet suy ra m cáön tçm
12.Tçm tám âäúi xæïng cuía âäö thë (H) laì haìm phán thæïc.
- Ta tçm A laì giao âiãøm cuía tiãûm cáûn
- Chuyãøn âäøi hãû truûc toüa âäü
- Chæïng minh haìm säú måïi laì haìm leí
13.Haìm säú khäng coï cæûc âaûi hoàûc cæûc tiãøu  âaûo haìm báûc nháút y’ vä nghiãûm hoàûc coï
nghiãûm keïp. Tæïc laì '' 0y  vaì y’ =0 coï nghiãûm keïp laì ' 0 
14.Tçm nghiãûm âàûc biãût cuía haìm säú  tçm âiãøm cäú âënh maì âäö thë haìm säú âi qua
15.Âäö thë (C) laì haìm báûc 3 thç
  C Ox taûi 3 âiãøm phán biãût coï hoaình âäü låïn hån  thç

5
max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cucdai
y
y y
f
a


 




 

 
hoàûc
max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cuctieu
y
y y
f
a


 




 

 

 

  C Ox taûi 3 âiãøm phán biãût coï hoaình âäü nhoí hån  thç
max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cucdai
y
y y
f
a


 




 

 
hoàûc
max min
'
. 0
( ) 0
x
0
0
Cuctieu
y
y y
f
a


 




 

 
  C tiãúp xuïc Ox chè coï thãø taûi cæûc âaûi cæûc tiãøu thç:
max min
' '
. 0
' 0y y
y y
hoac


  
16. Hai âiãøm âäúi xæïng nhau qua âæåìng phán giaïc thæï 1 y = x thç
1 2 2
1 2 1 2
1 2 1
( ) 2
x y ax b
x x a x x b
y x ax b
  
    
  
17.Chæïng minh ràòng (CMR) trãn âäö thë haìm säú coï vä säú càûp âiãøm sao cho tiãúp tuyãún våïi
âäö thë haìm säú taûi âiãøm âoï song song nhau. CMR âoaûn thàóng näúi caïc trung âiãøm, càûp
âiãøm áúy luän luän âäöng quy.
Caïch laìm:
17.1 Caïch 1
17.1.1 Ta chæïng minh coï vä säú càûp âiãøm maì taûi âoï âaûo haìm báûc nháút cuía haìm säú
bàòng nhau tæïc laì chæïng minh y’ = k coï 2 nghiãûm phán biãût (âãø chæïng minh ta phán têch
k ra nheï).
17.1.2 Ta chæïng minh caïc càûp âiãøm naìy âäúi xæïng våïi nhau qua tám âäúi xæïng cuía âäö thë
(âäúi våïi haìm phán thæïc) tæïc laì trung âiãøm cuía caïc càûp âiãøm laì tám âäúi xæïng I
17.2 Caïch 2
17.2.1 CMR caïc càûp âiãøm âäúi xæïng nhau qua tám I coï tiãúp tuyãún taûi âoï song song
nhau (tæïc laì cuìng hãû säú goïc)

6
17.2.2 Vç I laì tám âäúi xæïng cuía âäö thë nãn coï vä säú càûp âiãøm.
18. Muäún CM 3 âiãøm thàóng haìng ta chæïng minh chuïng coï cuìng hãû säú goïc. Giaí sæí:
   ; ; ( ; );C ;A B CA a y B b y c y thç A, B, C thàóng haìng khi 1 2tan tanC BB A y yy y
b a c b
 

  
 
19. Âäö thë haìm säú báûc 2/báûc 1 coï giaï trë cæûc tiãøu, cæûc âaûi maì
 yCÂ.yCT > 0  âäö thë haìm säú y = f(x) càõt truûc hoaình taûi 2 âiãøm phán biãût tæïc laì
phæång trçnh f(x) = 0 coï 2 nghiãûm phán biãût.
 yCÂ.yCT < 0  âäö thë haìm säú y = f(x) khäng càõt truûc hoaình tæïc phæång trçnh f(x) = 0
vä nghiãûm
20. Âäi khi viãûc âàût áøn phuû yãu cáöu phaíi xaïc âënh chênh xaïc vuìng giaï trë cuía biãún do âoï
âãø laìm âæåüc âiãöu naìy ta thæåìng duìng âaûo haìm âãø xeït räöi suy ra âiãöu kiãûn cuía biãún.
21. Tçm âiãøm maì âäö thë haìm säú khäng âi qua (hoàûc âi qua) våïi moüi m (m laì tham säú).
Ta coï âiãøm maì âäö thë haìm säú khäng âi qua våïi moüi m bao gäöm nhæîng âiãøm taûi âoï haìm
säú khäng xaïc âënh hoàûc âäö thë coï âiãøm cäú âënh A(xA; yA) (âiãøm naìy âäö thë luän âi qua våïi
moüi m – âoüc kyî âãö laì dãù nháûn ra làõm) thç nhæîng âiãøm naìy laì âiãøm maì âäö thë khäng âi qua
(hoàûc âi qua).
22. CM hoü âæåìng cong tiãúp xuïc nhau:
 tçm âiãøm cäú âënh A(xA; yA)
 moüi âæåìng cong âãöu âi qua A(xA; yA) 0'( ) ;k y x const m   
 Vç k laì hàòng säú do âoï moüi âæåìng cong âãöu coï tiãúp tuyãún chung taûi âiãøm A nãn
chuïng tiãúp xuïc nhau!
23. Mäüt vaìi læu yï:
23.1 Phæång trçnh báûc 3 bao giåì cuîng coï nghiãûm.
23.2 Càûp âiãøm caïch âãöu 2 truûc toüa âoü laì 0 0y x 
23.3 Quyî têch daûng x2
+ y2
+ 2ax + 2by =C (C>0) laì âæåìng troìn tám O(-a;-b)
23.4 Tçm 2 âiãøm thuäüc 2 nhaïnh cuía âäö thë (C) sao cho khoaíng caïch giæîa chuïng laì nhoí
nháút?
Ta coï tiãûm cáûn âæïng: x= x0  x1 < x0 < x2
Âàût x1 = x0 – a vaì x2 = x0 + b  a; b >0
23.5 CM x0 laì truûc âäúi xæïng vaì tênh duy nháút cuía noï?
Ta láúy 2 âiãøm âäúi xæïng nhau qua x0 räöi kiãøm tra xem 0 0( ) ( ); xf x x f x x    hay khäng.
23.6 CM tám âäúi xæïng I(xI;yI) vaì tênh duy nháút.
Ta c/m nãúu x0 + x MXD thç x0 – x cuîng MXD
 0 0
0
( ) ( )
;
2
f x x f x x
y x
  
  

7
23.7 Khi gàûp haìm säú maì yï nghé laì duìng âãún âaûo haìm thç haìm säú âoï phaíi laì 1 áøn säú.
23.8 Tçm hãû säú goïc cuía âæåìng thàóng qua âiãøm A(a;b) vaì âiãøm B(c;d)
Ta coï: Hãû säú goïc laì
d b
k
c a



suy ra phæång trçnh âæåìng thàóng laì
d b d b
y kx m x a b
c a c a
 
     
 
23.9 Tënh tiãún âäö thë: tæì âäö thë y= f(x) suy ra caïc âäö thë sau:
 Âäö thë y= f(x+a)



 Âäö thë y= f(x)+b



23.10 Våïi haìm phán thæïc: yãu cáöu tçm âiãøm cäú âënh maì (C) tiãúp xuïc våïi âæåìng thàóng cäú
âënh taûi âiãøm âoï thç laìm theo caïch: tçm âiãøm cäú âënh thuäüc (C) räöi viãút phæång trçnh
âæåìng thàóng cäú âënh áúy!
23.11 Haìm âa thæïc thç ta tçm tiãúp tuyãún täøng håüp bàòng caïch: Goüi A(x0;y0) laì âiãøm maì
âæåìng thàóng f(x): y = ax+ b luän tiãúp xuïc våïi (C): g(x) tæì âoï thay vaìo hãû phæång trçnh sau
âãø giaíi:
0 0
0 0
'( ) '( )
( ) ( )
f x g x
m
f x g x



våïi m: tham säú
23.12 Khäng thãø xeït dáúu y’ do càn thæïc phæïc taûp. Âãø giaíi quyãút, ta cho giaï trë cuía áøn säú x
báút kç taûi thuäüc âoaûn âang xeït vaìo y’. Nãúu:
 Kãút quaí cho ra giaï trë dæång thç y’ > 0
 Kãút quaí cho ra giaï trë ám thç y’ < 0
23.13 Nãúu âãö yãu cáöu 2 cæûc trë cuía haìm säú nàòm vãö 2 phêa cuía Ox thç: y1.y2 <0 vaì ngæåüc laûi
Nãúu âãö yãu cáöu 2 cæûc trë cuía haìm säú nàòm vãö 2 phêa cuía Oy thç: x1.x2 <0
24. Cm âäö thë haìm säú báûc 3 khäng täön taûi 2 âiãøm sao cho tiãúp tuyãún taûi âoï vuäng goïc
nhau. Xeït y’: chuï yï nãúu: y’>0 x 0 1;x x  sao cho y’(x0).y’(x1) = -1 âiãöu phaíi c/m
25. Âënh tham säú m âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng:
25.1 Haìm báûc 3: y = ax3
+ bx2
+ cx+d coï y’ = 3ax2
+ 2bx + c
Âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng thç y = 0 coï 3 nghiãûm phán biãût
Nãúu a> 0: tënh tiãún sang traïi a âån vë
Nãúu a < 0: tënh tiãún sang phaíi âån vë
Nãúu b> 0: tënh tiãún lãn phêa trãn b âån vë
Nãúu b < 0: tënh tiãún xuäúng dæåïi âån vë

8
1 3 2
1 2 3
2
2
0
3
' 3 0
x x x
b
x x x
a
b
y
a
b ac
  

    

       
   
2x m räöi thæí laûi âãø kiãøm tra
25.2 Haìm truìng phæång: y= ax4
+ bx2
+ c
Âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng thç y = 0 coï khäng êt hån 3 nghiãûm phán biãût. Ta âàût
t = x2
 0 thç
2
1 2
1 2 1
1 2
1 2 1 2
0 9 10
0 9
0
9 . .
b
t
t t a
P b b
t t t
S a a
c ct t t t t t
a a
    
     
      
  
      
26. Muäún âoaïn truûc âäúi xæïng cuía haìm truìng phæång báûc 4 (haìm chàôn), ta tçm trung bçnh
cäüng caïc nghiãûm cuía phæång trçnh y’ = 0, âoï chênh laì truûc âäúi xæïng cuía âäö thë haìm säú âaî
cho.
27. Âënh giaï trë cuía m (tham säú) âãø haìm säú âaût giaï trë Max, Min trãn âoaûn hoàûc khoaíng âaî
cho:
Caïch laìm: xeït f’(x) xem thæí f’(x) nhoí hån hay låïn hån khäng vaì xaíy ra dáúu bàòng taûi vë trê 
naìo. Tæì âoï suy ra giaï trë max, min chênh laì f() våïi  âiãøm thuäüc âoaûn hoàûc khoaíng âang
xeït. Vê duû âoaûn  ;  ,…
28. Tçm trãn âäö thë (C) càûp âiãøm âäúi xæïng nhau A, B qua I (a,b). Ta tiãún haình nhæ sau:
Thæûc hiãûn âäøi hãû truûc toüa âäü
( , )

OI
T a b
Oxy IXY


. Ta coï A, B âäúi xæïng nhau qua I trong hãû
toüa âäü Oxy  A, B âäúi xæïng nhau qua gäúc toüa âäü I trong hãû toüa âäü måïi
( ) ( )
( ) ( )
Y X f X
Y X f X

 
   
cäüng vãú theo vãú
X
Y

 

tæì âoï suy ra âæåüc x,y  càûp âiãøm A, B
29. Âäö thë (C) cuía haìm f(x) coï tiãúp tuyãún taûi âiãøm I laì âæåìng thàóng d: y= ax + b
 Nãúu f(x) < ax +b : âäö thë (C) nàòm dæåïi d
 Nãúu f(x) > ax +b : âäö thë (C) nàòm trãn d
30. Tçm âiãöu kiãûn âãø haìm säú f(x) coï cæûc tiãøu maì khäng coï cæûc âaûi:
Ta viãút laûi f(x) thaình (x- ).g(x) = 0 tæì âoï suy ra âãø thoía maîn âiãöu kiãûn baìi toaïn thç
 G(x) = 0 coï nghiãûm keïp
 G(x) = 0 vä nghiãûm

9
 x =  laì 1 nghiãûm cuía g(x) = 0. Trong âoï hãû säú a cuía g(x) låïn hån khäng.
31. Tçm cæûc trë cuía haìm læåüng giaïc:
Duìng âiãöu kiãûn âuí thæï 2, âoï laì tçm y”(x0) våïi x0 laì nghiãûm cuía pt y’(x) = 0.
a)
2
0
A B
A B
B
 
  

d)
2
0
0
0
A
B
A B
B
A B
 

   


e)
2
0
0
B
A B A
A B
 

  
 
b)
0
.
0
A
A B AB
B

  

f)
0B
A B
A B

  

c)
0 0
A B A B
A B
B A
  
   
  
1. NOÏI CHUNG KHI BÀÕT ÂÁÖU LAÌM TOAÏN LOAÛI NAÌY TIÃÚN HAÌNH NHÆ SAU:
 NHÁÛP PHÆÅNG TRÇNH VAÌO MAÏY TÊNH
 GAÏN NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT NHÆ TRÇNH BAÌY ÅÍ DÆÅÏI ÂÁY, KIÃØM TRA XEM COÏ BÀÒNG
0 ?
 COÏ ÂÆÅÜC NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT BÁY GIÅÌ TA MÅÏI VIÃÚT LAÛI PHÆÅNG TRÇNH NAÌY!
 VD: viãút laûi pt nhæ sau: pt (X-1)(3X2
+2X- 5 ) = 0
2. Phæång phaïp nhán liãn håüp
2.1 Daûng 1: ax b cx d kx h     (nhán læåüng liãn thæïc 0 )
Duìng maïy tênh cáöm tay tçm nghiãûm âàûc biãût.(thæåìng laì caïc säú nguyãn sau: -2; -1;
0; 1; 2 hoàûc caïc säú nhæ -1.5; -1.25; -0.75; -0.5; 0.5; 0.75; 1.25; 1.5). Caïch duìng
maïy tênh nhæ sau: Nháûp caí biãøu thæïc vaìo maïy (chuyãøn hãút vãö 1 vãú räöi nháûp) sau
âoï duìng lãûnh Shift+ Solve gaïn giaï trë x = bao nhiãu âoï vaìo (caïc säú nhæ trãn) räöi
áún dáúu =. Nãúu cho kãút quaí bàòng 0 thç giaï trë x gaïn vaìo âoï laì nghiãûm. Caïch naìy ráút
hiãûu quaí vaì tuyãût våìi!
2.2 Daûng 2:
2
ax b
kx h
cx d 

 
 
2.3 Daûng 3:
ax b
kx h
cx d 

 
 

10
Caïch laìm hoaìn toaìn tæång tæû nhæ daûng 1, tuy nhiãn, chuï yï 1 chuït laì nãúu
cx d   khäng biãút dáúu thç ta xeït thãm træåìng håüp 0cx d    træåïc khi laìm
hè.
3. Âàût áøn phuû
3.1 Daûng 1: n
a ax b ax b   thç ta âàût n
t ax b  vaì âæa vãö hãû âäúi xæïng.
3.2 ( ) ( ) ; , 2n ma f x b f x c m n 
     
Âàût
( ) ( )
( )( )
nn
n mmm
u a f x u v cu a f x
u v a bv b f xv b f x
        
   
     
tæì âoï dãù daìng giaíi âæåüc u, v
räöi tçm nghiãûm cuía phæång trçnh
4. Duìng phæång phaïp khaío saït haìm säú:
g(x)= f(m) coï nghiãûm x D  haìm f(m) coï f gT T
5. Phæång phaïp Veïc Tå: . .a b a b
   
a b a b  
   
dáúu bàòng xaíy ra khi a

cuìng phæång, chiãöu b

hoàûc 0a 

hoàûc 0b 

6. Phæång phaïp âäúi láûp chæïng minh:
a) f(x)  g(x) b) f(x)  g(x) c) f(x)  A  g(x)
d) f(x)  A  g(x)
e) f(x) càõt g(x) taûi 1 âiãøm duy nháút. Xeït dáúu “=” xaíy ra bàòng caïch sæí duûng Báút
âàóng thæïc Cosi, Bunhiacopxki, haìm f(u) = f(v)
7. Phæång phaïp læåüng giaïc hoïa:
7.1.1 Khi áøn x  ;a a  âàût
 
sin ; ;
2 2
cos ; 0;
x a t t
x a t t
 

  
    
  
7.1.2 Khi áøn 0 x a  âàût
2
2
sin ;0 t
2
cos ;0 t
2
x a t
x a t



  

   

7.1.3 Phæång trçnh chæïa càn thæïc: 2 2
x a âàût
 ; 0;
cos
a
x t
t
 
2
; ;
sin 2 2
a
x t
t

 
 
 
 
 
   
 0






7.1.4 Phæång trçnh chæïa càn: 2
x a âàût tan ;x a t t  ;
2 2
  
 
 
8. Phæång phaïp phaín chæïng: âoï laì chæïng minh hãû vä nghiãûm

11
9. Khi giaíi phæång trçnh càn thæïc maì 2 vãú khäng thãø bçnh phæång hoàûc láûp phæång âæåüc
(nãúu âæåüc thç ráút khoï khàn) ta nghé ngay âãún viãûc chia 1 vãú phæïc taûp cho vãú âån giaín
räöi duìng âaûo haìm tçm nghiãûm cuía phæång trçnh naìy!
10.Âäi luïc phæång phaïp hãû toüa âäü cuîng âæåüc sæí duûng 1 caïch linh hoaût, giuïp baìi toaïn tråí
nãn âån giaín hån. Choün âiãøm coï toüa âäü laì 1 haìm theo phæång trçnh âaî cho,…
11.Chuï yï: Khi giaíi phæång trçnh càn thæïc, ta haûn chãú bçnh phæång 2 vãú hoàûc 1 vãú cuía
phæång trçnh khi phæång trçnh càn thæïc âoï khaï phæïc taûp (vç nhæ váûy seî laìm baûn räúi
hån). Tuy nhiãn khäng hàón khi naìo cuîng loaûi boí phæång phaïp bçnh phæång naìy, baûn
phaíi kheïo leïo, tinh yï khi læûa choün phæång aïn naìy (giaí sæí ruït goün båït caïc pháön tæí bàòng
caïch âàût áøn phuû), biãút âáu noï laì chça khoïa âãø giaíi toaïn!
a) 2 20B
A B A B
A B

   
 
b) 2 2
0B
A B B A B
A B

      

c) A B A B A B     
d) 2 2
A B A B   ; 2 2
A B A B   hoàûc ( )( ) 0A B A B  
e)
, 0
,neuA 0
A neuA
A
A
 
 

f) 2 2
A B A B  
g)
0 0
( ) 0
( ) 0 ( ) 0
A A
a A bf x
aA bf x aA bf x
  
    
    
h) NÃÚU A, B  R THÇ
- A>B  3 3
A B
- A=B  3 3
A B
- A>B>0  2 2
A B
- 2 2
, 0
A B
A B
A B

 

1
' '
2
ax by c
a x b y c
 

 
coï D ' '
ab ab  ; '
1 2 ;xD c b c b  '
2 1yD ac a c 

12
Nãúu D ≠ 0 hoàûc ' '
a b
a b
 hãû coï nghiãûm duy nháút.
x
y
D
x
D
D
y
D



 

Nãúu D=0 vaì
0
0
x
y
D
D

 
hoàûc ' ' '
a b c
a b c
  thç hãû vä nghiãûm
Nãúu D=Dx=Dy= 0 hoàûc ' ' '
a b c
a b c
  hãû coï vä säú nghiãûm
 Khi giaíi hãû phæång trçnh maì 1 phæång trçnh tçm âæåüc nghiãûm dãù daìng (taûm goüi laì pt1) coìn
phæång trçnh coìn laûi tçm khoï ra, hoàûc chæa ra (taûm goüi laì pt2) thç ta nghé ngay âãún duìng
phæång phaïp âaûo haìm vaì duìng âaûo haìm chæïng minh phæång trçnh naìy (pt2) cuîng coï nghiãûm
thoía maîn phæång trçnh kia (pt1)!
 Ngoaìi ra coìn coï caïc phæång phaïp sau: cäüng træì vãú theo vãú (ta tçm BSCNN cuía 1 trong 2 áøn åí 2
phæång trçnh cuía hãû räöi thæûc hiãûn cäüng-træì), xem 1 áøn (giaí sæí y ) laì tham säú giaíi phæång trçnh
theo áøn coìn laûi (giaí sæí x), phæång phaïp âäøi biãún, phæång phaïp âàût áøn phuû, phæång phaïp hãû
toüa âäü (tæì âãö baìi kheïo leïo choün càûp âiãøm, âiãøm coï toüa âäü laì haìm theo x, y...),…
a c a c a b c d
b d b d b d
  
   

1. Haìm f(x) coï daûng báûc 2 / báûc 1  âæa vãö phán têch thaình báûc nháút. Vd:
2
4
3
t
dt
t


2. Daûng f(x) coï dáúu giaï trë tuyãût âäúi thç læu yï vãö dáúu f(x): ám, dæång trong khoaíng naìo 
duìng ( ) ( ) ( ) ;
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx     ;c a b
Vd:
2
0 0
2
cosx cos cos 2dx xdx xdx

 

     ; do cosx  0 trong 0;
2
 
  
; cosx<0 trong
;
2


 
  
3. Têch phán:
- Biãún âäøi:  
( )
'
( )
( ) ( ) ( )
u bb
a u a
u x f u x dx f u du 

13
Chuï yï: khi biãún âäøi phaíi xem âäøi biãún coï nghéa khäng nãúu khäng moüi tênh toaïn seî
vä nghéa
- Tæìng pháön: '
( ). ( ) u( ).v(x) ( ). ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx x u x v x dx  
Duìng têch phán biãún âäøi Duìng têch phán tæìng pháön
Khi haìm liãn tuûc [a,b] vaì coï âaûo haìm
quan hãû láùn nhau trong biãøu thæïc haìm
säú (chuï yï âoüc ké âãö, âaïnh giaï, nháûn xeït
kãút håüp caí so saïnh næîa khi laìm, khäng
väüi vaìng)
cos
( ) sinx ;
e
b
a x
x
I P x dx
 
 
  
  

sin
cos
axb
ax
a
e bx
I dx
e bx
 
  
 

 âàût
( )
cos
sinx
x
u P x
e
dv x dx


 
 
  
 
 
ln
arctanx
( ) ;
arcsinx
arccosx
b
a
x
I P x dx
 
 
 
 
 
 
  âàût
ln
arctanx
arcsinx
arccosx
( )
x
u
dv P x dx
  
  
  
 
 
 
 
4. Phaït hiãûn quan hãû âaûo haìm giæîa tæí vaì máùu  âäøi biãún säú
Vd:
sinx cosx
1 sin 2
dx
x


 . Phaït hiãûn ra laì 1+sin2x=(sinx+cosx)2
maì
 
'
sinx cosx cos sinx (sinx cosx)x      âàût áøn phuû sinx cosxt  
dãù daìng viãút laûi âæåüc nhæ sau: 2
;
dt dt
tt

  
5. Nãúu máùu hoàûc tæí coï daûng 2 2
ax a x m   truûc càn thæïc åí máùu hoàûc tæí.
6. Khi khäng phaït hiãûn âæåüc mäúi quan hãû âaûo haìm hoàûc khäng âàût âæåüc áøn phuû 
duìng têch phán toaìn pháön.
7. Gàûp daûng
(tanx)
cos2
f
dx
x hoàûc
(tanx)
sin 2
f
dx
x thç
2
2 2 2
2
2
sin
2 cos (1 ) cos (1 tan )
cos
sin 2x 2sinx.cosx 2cos .tanx
x
cos x x x x
x
x

   

  

14
Khi âoï âàût t = tanx thç 2
cos
dx
dt
x

8. Gàûp
sinx cosx tanx 1
tan( )
sinx cosx 1 tanx 4
x
 
   
 
; 1 sinx 2 sin( )
2 4
x 
  
 du=dx  u=x+C (C laì hàòng säú) d(1+sin2
x)=sin2xdx; d(1+cos2
x)= -
sin2xdx
 nãúu gàûp daûng coï cos2
x, sin2
x, sinx.cosx;…thç chia cho cos2
x
 nãúu gàûp daûng ( ). ( )n mf x f x âàût .. (x) ( )m nm n f t t f x  
 nãúu gàûp daûng x
ae b thç âàût x
t ae b 
 nãúu gàûp daûng
1
x
ae b

thç nhán caí tæí vaì máùu cho ex
(âãø goün gaìng hån khi laìm)
 nãúu gàûp daûng  ( ).ln ( )p x f x våïi p(x) laì haìm âa thæïc hoàûc læåüng giaïc thç âàût
 ln ( )
( )
u f x
dv p x dx
 


 2 2 1
(tan 1) (tan 1) (tanx)m m
x dx x d
  

1
cos .sinm n
dx
x x nãúu
+ ,m n leí thç nhán cho sinp
x. p laì säú nguyãn leí
+ ,m n chàôn thç 1=sin2
x+cos2
x  chuyãøn vãö
12tan 1
2cos
x
x
 
 Têch phán maì coï cáûn ;
4 2
 
thç tæì
4

tanx hoàûc cotx; tæì
2

 sinx hoàûc cosx.
 Têch phán maì coï cáûn  0;1x nghé ngay âãún sint vaì cost . âàût x= sin2
t dt = sin2tdt
 2 2
1 1 1 1
ln
2 2
du u a
du
u a a u a u a a u a
 
   
    
  ;
 2 2
1 1 1 1
ln
2 2
du u a
du
a u a u a u a a u a
 
    
     
 
 Khi nhán læåüng liãn håüp nhåï ràòng máùu phaíi khaïc khäng
  
' 2
2
1
tanx tan 1 ;
cos
x
x
      ' 2
2
1
cotx cot 1 ;
sin
x
x
    
 tan ln cosxdx x  ; cot ln sinxdx x
 Gàûp x3
; x4
;… tçm caïch ruït goün muî vaì âàût u hoàûc v= x3
,x4
…
 Gàûp lnx, e-x
,
2
. xx e
,… tçm caïch ruït goün vaì âàût du hoàûc dv= lnxdx; dv= e-x
dx; dv=
2
. xx e
dx
 Gàûp f(x) = cos(lnx).dx  u= cos(lnx) vaì dx=dv
 Gàûp 2
1
1 x
âàût x= tant; ;
2 2
t
  
 
 
 2
1
cos
dx dt
t


15
 Gàûp 2
1
1 x
âàût x= sint; ;
2 2
t
  
  
 cosdx tdt
 Gàûp sin .cosa b
x x âàût u = cosx nãúu b>a; hoàûc u = sinx nãúu b<a
 Nãúu coï mäúi quan hãû giæîa tan2
x+ 1 vaì cos2
x thç âàût 2
1
1 tanx 2
cos
u udu dx
x
   
 Nãúu coï mäúi quan hãû giæîa cot2
x+ 1 vaì sin2
x thç âàût 2
1
1 cotx 2
sin
u udu dx
x
    
 tanx vaì cos2
x luän âi âäi våïi nhau. tæång tæû cho cotx vaì sin2
x
 Gàûp 2 2
1
x a
 viãút thaình
1 1 1
2 x a x a
 
 
  
 chuï yï: viãút x-a træåïc x+a
 Gàûp y=
2
a x  tênh
0
a
ydx thç âàût sinx a t hoàûc cosx a t våïi t 
 Gàûp 2
dx
x a
 liãn hãû âãún
2
ln x x a 
 Gàûp haìm læåüng giaïc åí máùu, chuï yï cäú gàõng phán têch âæåüc åí tæí daûng tæång tæû nhæ åí
máùu hoàûc daûng âaûo haìm cuía máùu  caïch laìm hay vaì nhanh nháút loaûi naìy!
Vd:
.sin .cosx (c.cosx d.sinx) ( sin cos )
c.cosx d.sinx c.cosx d.sinx
a x b m n c x d x    

 
ta tiãún haình âäöng nháút hãû
säú åí tæí räöi âàût t= b-x  dt = -dx
 Khi gàûp täøng hoàûc hiãûu cuía 1 biãøu thæïc x 1 biãøu thæïc ta nãn taïch ra thaình nhiãöu têch
phán tæìng pháön âãø tênh (âäi khi laûi dãù daìng hån so våïi khi âãø nguyãn maì tênh)
 Gàûp
2 2
( , )R u u a du âàût 2
sin
cos cos
a a t
u du dt
t t
  
 Gàûp
2
(x, ) ;R ax bx c dx  ( 0)a  nãúu:
- a>0 âàût
2
ax bx c t ax   
- c>0 âàût
2
ax bx c xt c   
 tiãún haình bçnh phæång lãn 2 vãú räöi ruït x theo t thay vaìo tçm 
- nãúu
2
0ax bx c   coï 2 nghiãûm phán biãût x1; x2 thç âàût
2
1( )ax bx c t x x   
 Gàûp , ,...,
m r
n sax b ax b
R x dx
cx d cx d
 
     
        
 
 thç âàût kax b
t
cx d



; k: bäüi chung nhoí nháút cuía
;
m r
n s
 ,
a x
R x dx
a x
 
   
 våïi a>0,
a x
a x


coï nghéa khi a x a   nãn x+a>0
2
( )x a x a   

16
Do âoï: 2 2 2 2 2 2
a x a x dx xdx
dx dx a
a x a x a x a x
 
  
   
    âàût x=asint, ;
2 2
t
  
  
 Daûng
 
  2
;n
Ax B dx
x ax bx c

  
 , 0n a  âàût
1
x
t
 
 Âäi khi biãøu thæïc dæåïi dáúu têch phán laì caïc biãøu thæïc cuía haìm læåüng giaïc báûc nháút vd:
cosx, sinx,… ta âàût tan
2
x
t 
 Haìm dæåïi dáúu têch phán (haìm báûc nháút) laì haìm leí (chàôn) thç âàût –t = x
 Haìm dæåïi dáúu têch phán laì càn thæïc ( )f x thç âàût t= ( )f x
9. ÆÏng duûng têch phán têch diãûn têch, thãø têch:
9.1 Diãûn têch hçnh thang cong: haìm y = f(x) liãn tuûc trãn [a, b] thç têch phán giåïi haûn båíi
4 âæåìng
( )
x b
y a
y f x
Ox

 



suy ra diãûn têch laì: ( )
b
a
S f x dx 
9.2 Têch phán giåïi haûn båíi
( )
( )
x a
x b
y f x
y g x

 


 
thç tçm f(x) = g(x) räöi suy ra x vaì diãûn têch hçnh
phàóng laì : ( ) ( )
b
a
S f x g x dx 
9.3 Goüi x laì haìm cuía biãún y thç diãûn têch giåïi haûn båíi caïc âæåìng:
(y)
(y)
y c
y d
x f
x g

 


 
suy ra diãûn
têch: ( ) ( )
d
c
S f y g y dy 
9.4 Thãø têch váût thãø: ( )
b
a
V S x dx 
9.5 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi
( )y f x
x a
x b
Ox

 



laì 2
( )
b
a
V f x dx  quay quanh truûc hoaình.

17
(y)
y c
y d
x g
Oy

 



laì 2
(y)
d
c
V g dy  quay quanh truûc tung.
Våïi haìm säú y= f(x) liãn tuûc trãn [a, b] vaì     min ,c f a f b ;
    max ,d f a f b
( )
( )
x a
x b
y f x
g g x

 


 
laì 2 2
( ) ( )
b
a
V f x g x dx  quay quanh Ox.
(y)
(y)
y a
y b
x g
x h

 


 
laì 2 2
(y) (y)
b
a
V g h dy  quay quanh Oy.
1. ÂÀÛT ÁØN PHUÛ
2. NHOÏM ÁØN SÄÚ, ÂÀÛT NHÁN TÆÍ CHUNG SAU ÂOÏ AÏP DUÛNG CÄNG THÆÏC RUÏT GOÜN
3. tan( ).tan( ) 1
4 4
x x
 
   
4. Gàûp daûng asinx + bcosx + c = 0; chia 2 vãú cho 2 2
a b phæång trçnh naìy coï nhiãûm khi
c  2 2
a b
5. Gàûp daûng 2 2
sin sin .cos cosa x b x x c x d   thç chia 2 vãú cho 2
cos x nãúu cosx =0 khäng
laì nghiãûm
a b x
y
O
f(x)
g(x)
x
y
O g(y) h(y)
b
a

18
6. Gàûp daûng tanx + cotx hoàûc cosx + sinx thç âàût tanx cotx ; 2t t  
hoàûc cos sinx t ;cosx sinx 2 sin( ) t 2
4
x x

       ;
daûng tanx – cotx thç âàût 2cot 2 ;t x x  
7. Gàûp daûng 3
sinx sin cosx x  hoàûc 3
sinx cos cosx x  coï muî laï muî báûc 3 vaì muî báûc 1
thç chia hai vãú phæång trçnh cho 3
cos x nãúu 3
cos x = 0 khäng laì nghiãûm phæång trçnh.
8.
3 1
tan 2 1;cot 2 1;tan
8 8 12 3 1
   
    

9. Âån thæïc sinx, cosx coï báûc cuìng leí hoàûc cuìng chàón thç daûng âàóng cáúp. Nháûn xeït
2
x k

  hay cosx = 0 coï laì nghiãûm cuía phæång trçnh hay khäng. Chia 2 vãú cho
cosk
x âàût t= tanx.
10.Âiãøm 0 âæåüc biãøu diãùn thaình 2k 
11.Caïc cäng thæïc læåüng giaïc cáön nhåï:
sin2x=2sinx.cosx = 2
2cos tanx x ;
2 2 2 2 2 2
cos2x cos (1 tan ) sin (cot 1) 2cos 1 1 2sinx x x x x x       
cosx sinx 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x
 
    
3
sinx cosx 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x
 
    
cosx sinx 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x
 
    
sinx.siny=  
1
cos( ) cos( )
2
x y x y  
sinx.cosy=  
1
sin( ) sin( )
2
x y x y  
cosx.cosy=  
1
cos( ) cos( )
2
x y x y  
cosx + cosy=2cos cos
2 2
x y x y 

cosx - cosy= 2sin sin
2 2
x y x y 
 
sinx + siny= 2sin cos
2 2
x y x y 

sinx - siny= 2cos sin
2 2
x y x y 

tanx tany tanx tany
tan( ) ;tan( )
1 tanx.tany 1 tanx.tany
x y x y
 
   
 
2
x k
m

 âæåüc biãøu diãùn båíi m âiãøm.

19
Âàût t= tanx thç
2
2 2
2 1
sin 2x ;cos2
1 1
t t
x
t t

 
 
12.Duìng khaío saït haìm säú giaíi phæång trçnh læåüng giaïc duìng khi coï säú haûng x tæû do vê duû:
x, x2
, x3
…
y = ax
laì haìm giaím khi a(0;1)
sinx sinx
2
m n
n m x k

    
cos cosx
2
m n
x n m x k

    
sinx sinx
m n
n m x   
cos cosx
m n
x n m x   
13.Duìng âäúi láûp âãø giaíi phæång trçnh læåüng giaïc:
2
2
sin x sin x sin x; m n 2
cos x cos x cos x; m n 2
m n
m n
    
    
14.Gàûp pt daûng x6
-3x2
+…=0. Ta âàût: 2cosu = x; 0;
2
u
 
 
 
2cos3 ... 0u u x    
15.Baìi toaïn daûng maì khi chia cå säú láùn nhau ta âæåüc:
2
2 2
2 1
; ;...
1 1
x x
x x

 
Âàût tan
2
x

 våïi 0 0
2 4 2
  
    
Hoàûc phæång trçnh báûc 3 coï caïc daûng nhæ …+ t3
– 3t + ….(phæång trçnh báûc 3 khäng
nháøm âæåüc nghiãûm âàûc biãût) ta cuîng âàût: 2cos = t
16.Tçm max, min cuía haìm læåüng giaïc: duìng âiãöu kiãûn haìm säú coï nghéa tæïc laì duìng âaûo
haìm chæïng minh noï âäöng biãún hoàûc nghëch biãún räöi aïp duûng caïc âiãöu kiãûn sau:
2 2
sinx 1 1 sinx 1
cos 1 1 cosx 1
cos sin 1
tanx,cotx
x
x x
    
    
 

17.Caïc chuï yï vãö ké nàng khi laìm baìi: ÂOÜC ÂÃÖ THÁÛT KÉ, NHÁÛN XEÏT räöi ÂAÏNH GIAÏSO
SAÏNH räöi AÏP DUÛNG CÄNG THÆÏC!
Cäng thæïc täøng quaït:
 
0 0
. .b . .b
n n
n k k n k k n k k
n n
k k
a b C a C a 
 
   

20
Hoaïn vë Chènh håüp Täø håüp
! ( 1)( 2)...3.2.1nP n n n n   
!
;(0 )
( )!
k
n
n
A k n
n k
  

!
;(0 )
k!( )!
k
n
n
C k n
n k
  

;k n k
n nC C 
 1
1
k k k
n n nC C C 
  
1. z=a+bi âæåüc goüi laì säú phæïc; ,a b trong âoï: a laì pháön thæûc vaì b laì pháön aío.
Âån vë aío: i2
=-1
Khi z=0+bi goüi laì säú aío hay säú thuáön aío
Khi z=0+0i goüi laì säú væìa thæûc væìa aío
Khi z=a+0i goüi laì säú thæûc.
2. Táûp håüp säú phæïc:  coï thãø noïi:        
3. Hai säú phæïc bàòng nhau: z=z’ a+bi=a’+b’i våïi a,b,a’,b’  khi âoï ta coï:
'
'
a a
b b



4. Biãùu diãùn hçnh hoüc säú phæïc: z=a+bi biãøu diãùn båíi âiãøm M(a;b) hay båíi ( ; )u a b

trong mp
phæïc Oxy 2 2
.z a b z z OM    

: mä âun säú phæïc
5. Caïc pheïp toaïn trong säú phæïc:
5.1 säú phæïc z a bi  goüi laì säú phæïc liãn håüp cuía z
- nãúu z laì säú thæûc thç z= z
- nãúu z laì säú aío thç z=- z
5.2 2 2
z a b  laì mä âun cuía säú phæïc. 0;z z   vaì 0 0z z  
5.3 Säú âäúi cuía z =a+bi laì z” =-z = -a-bi; ;a b
5.4 Caïc pheïp toaïn:
* ' 'z z z z   *
' '
z z
z z
 
 
 
* ' ' ; , 'z z z z z z   
* . ' . 'z z z z * . ' . 'z z z z *
' '
0
'
'
zz
z z
z
z
w z wz
z



  

  
* z+z’=(a+a’)+(b+b’)I * z.z’= aa’-bb’+(ab’+a’b)i
* z-z’=(a-a’)+(b-b’)I * 1
2
. '
. '
' '
z z z
z z
z z

 
6. Quyî têch säú phæïc: z=a+bi
Cho 2 säú phæïc z=x+yi vaì z’ =x’+y’i coï âiãøm biãøu diãùn tæång æïng laì M vaì M’ thç

21
2 2
' ( ') ( ')z z x x y y     : khoaíng caïch MM’
6.1 Táûp håüp phæïc: z a b z z a     trung træûc cuía M1; M2 våïi M1(a;0); M2(-a;0)
6.2 Táûp håüp phæïc: z a b  laì âæåìng troìn tám I(a;0) våïi R=b
6.3 Táûp håüp phæïc: z a z a b    laì mäüt elip
6.4 Táûp håüp phæïc: z a z a b    laì mäüt hypebol
7. Càn báûc hai säú phæïc:
Säú phæïc z=x+yi laì càn báûc hai cuía säú phæïc w =a+bi thç w=z2
.
2 2
2 2 2
2
2
a a b
x
x y a
b
xy b y
x
x ai
           

  
Chuï yï:
- Säú 0 coï mäüt càn báûc hai laì 0
- Säú phæïc khaïc 0 coï âuïng 2 càn báûc hai laì 2 säú âäúi nhau
8. Phæång trçnh báûc hai: Az2
+Bz+C=0; (A ≠ 0)
B LEÍ B CHÀÔN (Âàût B’ = B/2)
Láûp 2 2
4B AC   Láûp 2 2
' 'B AC  
0  . Phæång trçnh coï 2 nghiãûm phán biãût
laì
2
B
z
A
  
 . Våïi  laì säú phæïc coï càn
báûc hai laì 
' 0  . Phæång trçnh coï 2 nghiãûm phán biãût
laì
' 'B
z
A
  
 . Våïi ' laì säú phæïc coï càn
báûc hai laì '
0  . Phæång trçnh coï nghiãûm keïp laì
2
B
z
A

 . Våïi  laì säú phæïc coï càn báûc hai laì

' 0  . Phæång trçnh coï nghiãûm keïp laì
'B
z
A

 . Våïi ' laì säú phæïc coï càn báûc hai laì
'
10.Caïc daûng toaïn
10.1 Daûng 1: tçm càn báûc 2 cuía säú phæïc âån giaín a. roî raìng coï 2 nghiãûm laì
1
2
.
.
z a i
z a i
  

  
10.2 Tçm càn báûc hai säú phæïc dæåïi daûng bçnh phæång: vd:
 
22 2
2 2 0 1 1x x x i x i         
10.3 Tçm hai säú phæïc khi biãút täøng vaì têch cuía chuïng:
Ta coï: 1 2
1 2.
z z S
z z P
 


thãú 2 1z S z  vaìo ta coï: 1 1 0z Sz P  
våïi
våïi

22
10.4 Tçm phæång trçnh báûc 2 våïi hãû säú thæûc nháûn  laìm nghiãûm
Giaí sæí phæång trçnh báûc 2 daûng Ax2
+Bx+C=0 vç  laì nghiãûm nãn A2
+B+C=0 ta
tiãún haình âäöng nháút thæïc âæåüc



10.5 Âënh lyï Viet cho nghiãûm phæïc:cho pt Az2
+Bz+C=0 coï 2 nghiãûm phæïc laì z1 vaì
z2 luïc âoï ta coï
1 2
1 2.
B
z z
A
C
z z
A

  

 

10.6 Gàûp daûng 2
z z a  hoàûc z z b  hoàûc 2
z z c  …ta tiãún haình giaíi quyãút
nhæ 9.4 hoàûc âàût z=x+yi
10.7 Tçm pt báûc 2 nháûn 2 säú ;  laìm nghiãûm. Roî raìng ta tháúy ràòng ;  laì
nghiãûm cuía phæång trçnh X2
-SX+P=0 våïi ; .S P     
10.8 DAÛNG LÆÅÜNG GIAÏC CUÍA SÄÚ PHÆÏC:
(cos sin )z r i  
- Luän mang dáúu dæång
- r>0
- z= hàòng säú  khäng coï Acgumen
10.8.1Nhán, chia 2 säú phæïc:
(cos sin )z r i   vaì ' '(cos ' sin ')z r i  
Suy ra:
 
' '
cos( ' ) sin( ' )
z r
i
z r
        . ' . ' cos( ' ) sin( ' )z z r r i      
Våïi 2 2
;r a b  cos ;sin
a b
r r
   vaì  laì acgumen cuía säú phæïc z
10.8.2Cäng thæïc Moavro
Våïi ; 1n n  thç  (cos sin ) (cosn sinn )
n n
r i r i     
10.8.3Càn báûc 2 säú phæïc daûng læåüng giaïc: säú phæïc (cos sin )z r i   (r>0) coï 2
càn báûc 2 laì
1
2
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
z r i
z r i r i
 
   
 
  
  
 
       
             
      
10.8.4Sæû bàòng nhau cuía 2 säú phæïc daûng læåüng giaïc:
(cos sin )z r i   vaì ' '(cos ' sin ')z r i   thç z=z’
'
' 2
r r
k  

 
 
hoàûc
'
' (2 1)
r r
k  
 

  
våïi k 
Pháön thæûc = Pháön thæûc
Pháön aío = Pháön aío

23
1. Daûng 1:
Gàûp phæång trçnh daûng .u v
a b c våïi a, b, c>0. u, v laì biãøu thæïc chæïa áøn säú ta thæåìng
logarit âæa vãö log log log log logu v
a a a a aa b c u v b c     ta tçm mäúi quan hãû giæîa
loga b vaì loga c räöi âàût nhán tæí chung. Vd: 1
33 .8 36 2 (log 2 1)
x
x x
x x
      
2. Daûng 2:
Trong pt logarit maì cå säú vaì biãøu thæïc dæåïi dáúu logarit coï daûng a x 
thç sæí suûng cäng
thæïc biãún âäøi logarit âãø âæa caïc säú haûng vãö cuìng cå säú a. âàût t= logax
3. Daûng 3:
Khi giaíi phæång trçnh muî maì cå säú coï liãn håüp nhau thç tçm caïch âæa vãö têch caïc cå säú
bàòng 1. Âàût áøn phuû âãø âæa vãö phæång trçnh báûc 2.
4. Daûng 4:
Khi giaíi bpt maì hai vãú cå säú khaïc nhau, sau khi biãún âäøi, ruït goün ta âàût 1 vãú bàòng t 
chuyãøn vãö báút pt muî. Vd: 33 2log (2 1) 1x
x   âàût t= 3log (2 1)x 
3 2 1
3 2 1
t
x
x
t
  
 
 
duìng âaûo
haìm  hãû coï nghiãûm x=t…
5. Daûng 5:
Nãúu trong pt coï chæïa log t
a x x a  chuyãøn vãö phæång trçnh muî. Vd:
2 22log 1 log 3 2
3 2 8 0x
x x
   âàût t=log2 x 2t
x  .
6. Daûng 6: Bpt daûng log loga bu v ta thæåìng giaíi: âàût t=loga u (hoàûc t=logb v ) âæa vãö phæång
trçnh muî räöi sæí duûng chiãöu biãún thiãn haìm säú âãø suy ra nghiãûm
7. Daûng 7: pt daûng log loga bu v âàût t= log loga bu v
t
t
a u
b v
 
 

sæí duûng phæång phaïp thãú
âãø âæa vãö phæång trçnh muî âãø tçm t (thæåìng coï nghiãûm duy nháút) suy ra nghiãûm x
8. Daûng 8: bpt daûng loga
u
u v
v
  våïi u, v >0 ta âàût f(t) = loga t t ( ) ( )f u f v u v   
do haìm âäöng biãún hoàûc nghëch biãún tuìy âãö.
9. Daûng 9: âoaïn nghiãûm vaì chæïng minh nghiãûm naìy duy nháút. Vd: 3 3log log 2
4 2 ;( 0)x
x x  
nháûn tháúy x=3 laì nghiãûm cuía phæång trçnh âaî cho vaì xeït tênh âäöng biãún nghëch biãún bàòng
âaûo haìm Suy ra x=3 laì nghiãûm duy nháút.
10.Daûng 10: bpt daûng nhæ sau:
  ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) 0
g x h x
f x g x h x
f x f x
f x
   
  

chuï yï:    ( )log ( ) ( )log ( )( )
( ) 10 ag x f x g x f xg x
f x a 

24
  ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) 0
( ) ( )
( ) 0
g x h x
f x g x h x
f x f x
f x
   
  

vd:
2
2
( 2) 2
ax x
x x
  
11.Daûng 11: pt daûng log logax cd bx m  ta chuyãøn vãö daûng
log
log
log
c
c
c
d
bx m
ax
   giaíi pt
naìy.
12.Daûng 12: log log
.log 10a ax x n
ax m x 
  ta âàût t loga x ; x>0 thç t
x a >0 ; t 
13.Daûng 13: pt muî daûng 2
. .
x
x x
m a m b c  ; nãúu caïc hãû säú a,b,c liãn quan våïi nhau âoï laì a+b=c2
hoàûc a.b=c thç thæûc hiãûn pheïp chia 2 vãú cho
2
2
x
x
a a

 hoàûc cx
nãúu c > a; räöi chuyãøn vãö
phæång trçnh muî thuáön tuïy. Vd:
2 2
2
15 1
15 1 4 1
16 16
x x
x
x    
       
   
14.Daûng 14: âàût áøn phuû nhæng váùn coìn áøn säú x. ta thæûc hiãûn pheïp âaïnh giaï nháûn xeït âãø suy ra
âæåüc âiãöu phaíi tçm.
15.Daûng 15: pt muî daûng    
x x
x k
a b a b c 
    . Thæåìng coï nghiãûm duy nháút, ta seî chia
2 vãú cho cx
sau âoï duìng âaûo haìm chæïng minh vãú traïi âån âiãûu, tiãún haình âoaïn nghiãûm
bàòng maïy tênh räöi chæïng minh vaì nghiãûm naìy laì duy nháút.
16.Mäüt säú chuï yï cå baín:
- Trong pt coï säú haûng ( )log ( )u x v x thç âiãöu kiãûn tæång æïng laì
0 ( ) 1
( ) 0
u x
v x
 


luïc âoï âàût
( ) ( )
1
log ( ) log ( )u x u xt v x v x
t
  
- log logc cb a
a b ; nãúu x> 0 thç 2
log 2 logn
a ax n x ; nãúu {0}D   thç
2
log 2 logn
a ax n x
1. Phæång phaïp biãún âäøi tæång âæång chæïng minh âãún 1 báút âàóng thæïc âuïng
vd: c/m
a) a2
+ b2
+ c2
 ab + bc + ac våïi moüi a, b, c  R
b) a2
+ b2
+ 1  ab + a + b våïi moüi a, b
2. Biãút xuáút phaït tæì báút âàóng thæïc âuïng, duìng suy luáûn toaïn hoüc  âpcm
vd: cho hai säú dæång a,b thoîa maîn 3a + 2b = 1. C/m
1
24
ab 
3. ÆÏng duûng báút âàóng thæïc tçm Max vaì Min haìm säú
vd: tçm max haìm y=(x+2)(3-x) våïi -2  x  3

25
4. BÂT Cosi:
Cho 2 säú thæûc x, y dæång. Ta coï 2x y xy  dáúu bàòng xaíy ra khi x = y
5. BÂT BunhiaCopski:
Cho 4 säú thæûc a, x, b, y. Ta coï     2 2 2 2 2
ax by a b x y    dáúu bàòng xaíy ra khi ax = by
6. Cho 2 säú thæûc x, y dæång. Ta coï:
1 1 1 1 1
4x y x y
 
   
 
dáúu bàòng xaíy ra khi x= y
7. Våïi moüi säú thæûc x, y thç 2 2
2x y xy xy   dáúu bàòng xaíy ra khi x = y
8. Báút âàóng thæïc trong tam giaïc:
a, b, c laì 3 caûnh cuía tam giaïc thç
 b c a b c   
 c a b a c   
 a b c a b   
   a b c A B C    
1. Hçnh chiãúu cuía âènh xuäúng màût âaïy truìng træûc tám âaïy khi 3 caûnh bãn vuäng goïc nhau
âäi mäüt.
2. Nãúu OA = OB = OC =… thç hçnh chiãúu O lãn ABC,… truìng våïi tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp
âaïy.
1. Phæång phaïp træûc tiãúp.
1.1 cáön chuï yï âæåìng cao vaì diãûn têch âaïy.
1.2 Chuï yï caïc hãû thæïc læåüng trong tam giaïc âàûc biãût laì hãû thæïc læåüng trong tam giaïc
vuäng.
1.3 Våïi khäúi choïp cáön xaïc âënh hoïa vë trê chán âæåìng cao hçnh choïp
1.4 Hçnh choïp coï caïc caûnh bãn bàòng nhau (hoàûc håüp våïi âaïy nhæîng goïc bàòng nhau) thç
chán âæåìng cao laì tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp âaïy.
1.5 Hçnh choïp coï caïc màût bãn taûo våïi âaïy nhæîng goïc bàòng nhau thç chán âæåìng cao laì
tám âæåìng troìn näüi tiãúp âaïy.
B C
c
b

26
1.6 Hçnh choïp coï mäüt màût bãn vuäng goïc våïi âaïy thç chán âæåìng cao nàòm trãn giao
tuyãún cuía màût âoï våïi âaïy.
1.7 Hçnh choïp coï 2 màût bãn kãö nhau vuäng goïc våïi âaïy thç âæåìng cao cuía noï laì giao
tuyãún cuía 2 màût âoï.
1.8 Våïi khäúi làng truû coï thãø têch V thç tênh theo hæåïng trãn hoàûc chia nhoí thaình nhiãöu
khäúi choïp cå baín
1.9 Våïi khäúi âa diãûn phæïc taûp, âãø tênh thãø têch V ta thæåìng chia noï thaình nhiãöu khäúi choïp
âån giaín âãø tênh.
2. Phæång phaïp 2, sæí duûng tè säú diãûn têch, thãø têch.
2.1Vãö tè säú DIÃÛN têch. Cho tam giaïc ABC, ' '
,B AB C AC  Khi âoï ta coï
' ' '
' ' '
.
;
.
B BC AB C
ABC ABC
S SB B AB AC
S AB S AB AC
 
2.2Vãö tè säú THÃØ têch. Cho hçnh choïp S.ABC, ' ' '
,B ,A SA SB C SC   Khi âoï ta coï
' ' ' '
' ' ' '
.A A
. .
SA . . AA
;
. .
S B C ABC
S ABC S ABC
V VSB SC
V SA SB SC V SA
 
A
B'
B
C'
C
s
A'
A
B'
C'
C
B
3. MÄÜT SÄÚ CHUÏ YÏ KHI TÊNH THÃØ TÊCH KHÄÚI ÂA DIÃÛN
3.1 Âãø tênh thãø têch cuía hçnh choïp hoàûc khäúi làng truû thç ta phaíi veî vaì nhçn hçnh tháût chênh
xaïc, nhçn sao cho khoaíng caïch tæì âènh âãún mp âaïy laì âæåìng coï trong hçnh veî hoàûc dãù
daìng veî âæåüc.
3.2 Khi tênh diãûn têch âaïy nãn chuï yï âãún viãûc tênh täøng diãûn têch caïc màût âaïy (coï khi âån
giaín hån caïch tênh thäng thæåìng) räöi tæì âoï tênh diãûn têch màût âaïy cáön xaïc âënh.
3.3 Âãö baìi cho säú liãûu caïc caûnh, yãu cáöu chæïng minh 1 nhán täú báút kç vuäng goïc, ta sæí
duûng âënh lyï Pitago âãø kiãøm tra vaì suy ra âiãöu phaíi chæïng minh.

27
3.4 Chæïng minh 2 mp vuäng goïc nhau, chuï yï aïp duûng âënh lyï Pitago nhæ åí trãn chæïng
minh tam giaïc vuäng hoàûc chuï yï âãún tênh cháút troüng tám tam giaïc âãø suy ra caïc tè lãû
cho baìi toaïn.
3.5 Coï 3 bæåïc cå baín âãø tçm thãø têch V cuía 1 hçnh:
- Xaïc âënh âæåìng cao
- Xaïc âënh diãûn têch âaïy
- Tênh thãø têch khäúi âa diãûn theo cäng thæïc.
3.6 Caïc khäúi âa diãûn quen thuäüc: 3
;VHCN HLPV abc a 
Khäúi âa diãûn Táûp håüp Diãûn têch Thãø têch
Màût cáöu, khäúi
cáöu
 ( , )S O R M OM R  2
4S R
34
3
V R
Màût truû, hçnh
truû, khäúi truû
Âæåìng thàóng  quay quanh
âæåìng thàóng  song song 
?
R
l
2
2 * ;
2
XP
TP XP
S R h
S R S



 
2
V R h
Màût noï, hçnh
noïn, khäúi noïn
?
R
l
h
2
* ;XP
TP XP
S R
S R S



 
 21
3
V R h
Phæång trçnh âæåìng troìn laì táûp håüp caïc âiãøm caïch âãöu 1 âiãøm cäú âënh, noï coï daûng
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 2 0x a y b R x y ax by a b R            Âiãöu kiãûn: 2 2 2
0a b R  
Phæång trçnh Elip laì táûp håüp táút caí caïc âiãøm M sao cho MF1+MF2 = 2a. a laì hàòng säú cho
træåïc khäng âäøi vaì a>c. Hai âiãøm cäú âënh F1,F2 goüi laì tiãu âiãøm. F1F2 = 2c (c>0): tiãu cæû.

28
Phæång trçnh chênh tàõc elip laì:
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
1
1
x y
a a c
x y
a c a

 


  
våïi 2 2 2
0a b
b a c
 

 
 Tám sai: 0 1
c
e
a
  
 Tiãu âiãøm: F1(-c;0); F2(c;0) hoàûc F1(0;-c); F1(0; c)
 Âæåìng chuáøn:
a
x
e
  hoàûc
a
y
e
 
y
xa/eF1 F2
M
-a/e -a a
-b
b
Táûp håüp caïc âiãøm M sao cho 1 2 2MF MF a  vaì a < c.
Hai âiãøm cäú âënh F1,F2 goüi laì tiãu âiãøm. F1F2 = 2c (c>0): tiãu cæû.
Phæång trçnh chênh tàõc elip laì:
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
1
1
x y
a c a
x y
c a a

  

  
våïi 2 2 2
0a b
b a c
 

 
 Tám sai: 1
c
e
a
 
 Tiãu âiãøm: F1(-c;0); F2(c;0) hoàûc F1(0;-c); F1(0; c)
a
x
e
  hoàûc
a
y
e
 
 Phæång trçnh 2 âæåìng tiãûm cáûn: ;
b
y x
a
  hoàûc
b
x y
a
 
Táûp håüp caïc âiãøm caïch âãöu tiãu âiãøm F vaì âæåìng thàóng cäú âënh  ( F  )

29
( , )
( , )
2
:
2
d F thamsotieu
p
d O OF
p
x

  


  


  
Phæång trçnh Parabol nhæ sau:
2
2
2
2
y px
x py
 


(p>0)
 Tám sai: 1
c
e
a
 
 Tiãu âiãøm: F ;0
2
p 
 
 
hoàûc F 0;
2
p 
 
 
2
p
x   hoàûc
2
p
y  
LÆU YÏ KHI GIAÍI BAÌI TOAÏN GIAÍI TÊCH PHÀÓNG
1. Træåïc hãút xeït xem thæí 2 âæåìng thàóng âãö ra coï truìng nhau hay càõït nhau hay song
song nhau.
2. Coï 2 daûng pt âæåìng thàóng: tham säú vaì täøng quaït.
Giaí sæí dt naìy qua 2 âiãøm A, B thç âæåìng thàóng naìy coï vec tå chè phæång laì
( ; ) k ;AB a b u k  
 
 vaì veïc tå phaïp tuyãún laì ( ; )n b a 

nãúu AB

coï a=0 hoàûc b= 0
thç chuyãøn sang pt tham säú.
3. Gàûp pt âæåìng phán giaïc  láúy âäúi xæïng âiãøm qua tia phán giaïc bàòng caïch viãút
phæång trçnh âæåìng thàóng vuäng goïc våïi tia phán giaïc.
4. Nãúu gàûp tam giaïc cán, giaï trë cos cuía 2 goïc åí âaïy bàòng nhau.
1 2 2 2 2 2
. ' . '
cos cos
. ' '
a a bb
a b a b
 

 
 
5. Tam giaïc ABC âãöu thç 3 3 3ABC ABG ACG BCGS S S S  
6. Goüi J laì tám âæåìng troìn näüi tiãúp ABC thç
AB
JA JD
BD
 
 
7. A’ laì chán âæåìng cao haû tæì A thç
'. 0
'
AA BC
BA kBC
 


 
 

30
A
J
B
D C
A
B A' C
8. D laì chán âæåìng phán giaïc trong cuía ABC thç
AB
DB DC
AC
 
 
9. D laì chán âæåìng phán giaïc ngoaìi cuía ABC thç
AB
DB DC
AC

 
10. Cho  1 1 2 2( ; ); ;AB a b AC a b 
 
thç diãûn têch ABC laì 1 2 2 1
1
2
ABCS a b a b 
11. Mäüt säú cäng thæïc tênh quen thuäüc:
* 2
sin sinB sinC
a b c
R
A
   ;
2
a b c
p
 
 : laì næía chu vi tam giaïc ABC
*
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
ABCS ab C ac B bc A   
*
4
ABC
abc
S pr
R
   våïi R, r : baïn kênh ngoaûi tiãúp, näüi tiãúp tam giaïc ABC
*
1 1 1
2 2 2
ABC a b cS ah bh ch   
* ( )( )( )ABCS p p a p b p c    
*
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
 
 *
2 2 2
cos
2
a c b
B
ac
 
 *
2 2 2
cos
2
a b c
C
ab
 

Chiãöu daìi âæåìng phán giaïc trong tam giaïc:
*
2 cos
2
a
A
bc
b c


 *
2 cos
2
b
B
ac
a c


 *
2 cos
2
c
C
ab
a b



Chiãöu daìi âæåìng trung tuyãún trong tam giaïc:
*
2 2 2
2 2( )
4
a
b c a
m
 
 *
2 2 2
2 2( )
4
b
a c b
m
 
 *
2 2 2
2 2( )
4
c
a b c
m
 


31
ma
mc
mbG
B C
A
la
lc lb
r
B C
A
c
a
b
R
12.Phæång phaïp hay sæí duûng: phæång phaïp choün âiãøm, keí âæåìng vuäng goïc, veî thãm
hçnh phuû, keí âæåìng song song hoàûc láúy âäúi xæïng. Nãúu cho goïc giæîa 2 âæåìng thàóng
thç âàût áøn phuû 2 láön.
13. Mäüt säú daûng toaïn:
13.1 Cho âæåìng troìn (C) coï pt: 2 2
2 2 0x y ax by c     vaì âæåìng thàóng d coï
phæång trçnh: a’x + b’y+ c’ =0.
13.1.1 Xaïc âënh tám vaì baïn kênh: giaíi: tám I(-a, -b) vaì baïn kênh
2 2
R a b c  
13.1.2 Âiãöu kiãûn âãø coï âæåìng troìn (C): giaíi: âiãöu kiãûn laì: 2 2
0a b c  
13.1.3 Nãúu âãö coï tham säú m. yãu cáöu tçm quyî têch tám âæåìng troìn: giaíi: viãút x,
y theo tham säú m sau âoï khæí m ta âæåüc âæåìng thàóng cáön tçm
13.1.4 Tçm vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng d vaì âæåìng troìn: giaíi nhæ lyï
thuyãút
13.1.5 Tiãúp tuyãún  cuía âæåìng troìn (C) Tám I (x0, y0) baïn kênh R
 Âæåìng thàóng  qua âiãøm A(xA, yA) thuäüc âæåìng troìn (C) giaíi:
Âæåìng thàóng  qua âiãøm A VAÌ coï veïc tå phaïp tuyãún laì
 0 0;yA AIA x x y  

 Âæåìng thàóng  qua âiãøm A(xA, yA) khäng thuäüc (C) giaíi:
- Âæåìng thàóng  qua âiãøm A VAÌ coï veïc tå phaïp tuyãún laì  ,n a b

nãn
coï pt: a(x-xA)+ b(y-yA) = 0
- Âæåìng thàóng  laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn khoaíng caïch d(I,) = R, tæì
âoï suy ra âæåüc a, b vaì viãút âæåüc pt 
 Âæåìng thàóng  coï phæång âaî biãút vaì   d coï phæång trçnh d:
a’x+b’y+c= 0 giaíi:
- Vç   d nãn coï phæång trçnh: a’x + b’y +c” =0

32
- Vç  laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn d(I,)= R tæì âoï suy ra c” vaì viãút
âæåüc 
 Âæåìng thàóng   d coï phæång trçnh d: a’x+b’y+c’ =0  giaíi:
- Vç Âæåìng thàóng   d nãn nháûn  ', 'n b a 

laìm veïc tå phaïp
tuyãún vaì coï pt: b’x-a’y +c” =0
- Vç  laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn d(I,)= R tæì âoï suy ra c” vaì viãút âæåüc

13.2 Cho âæåìng troìn âi qua 3 âiãøm A, B, C. Viãút phæång trçnh âæåìng troìn vaì tçm
baïn kênh R?  giaíi:
Goüi I (x,y) laì toüa âäü tám cuía âæåìng troìn. Ta coï:
IA IB
IA IC



R vaì pt âæåìng troìn.
13.3 Viãút pt âæåìng troìn (C) âi qua âiãøm M0(x0, y0) vaì giao âiãøm cuía hai âæåìng
troìn (C1) vaì (C2) laì A, B?  giaíi: phæång trçnh giao âiãøm cuía 2 âæåìng troìn
(C1) vaì (C2)    2 2 2 2
1 1 1 2 2 22 2 2 2 0x y a x b y c x y a x b y c           maì
(C) qua M0 nãn thay M0 vaìo pt giao âiãøm trãn tçm âæåüc , tæì âoï viãút âæåüc pt
(C).
Ü
HOAÌN TOAÌN THUÁÖN TUÏY NHÆ HÇNH HOÜC GIAÍI TÊCH TRONG MÀÛT PHÀÓNG
1. Baìi 1:
1.1 Hai vecto cuìng phæång: cho 2 veïc tå  1 1 1; ;u x y z

vaì  2 2 2; ;v x y z

cuìng phæång thç
k  sao cho
2 1
2 2 2
2 1
1 1 1
2 1
x kx
x y z
v ku y ky
x y z
z kz


     
 
 
1.2 Têch coï hæåïng cuía hai veïc tå: ,u v 
 
 
 Nãúu 3 âiãøm A, B, C thàóng haìng thç , 0AB AC   
  
 Nãúu 3 âiãøm A, B, C KHÄNG thàóng haìng thç , 0AB AC   
  

33
1.3 Diãûn têch tam giaïc:
1 1
, . .sin( , )
2 2
ABCS AB AC AB AC AB AC   
     
, . .sin( , )AB AC AB AC AB AC   
     
1.4 Diãûn têch hçnh bçnh haình: ,S AB AD   
 
1.5 Phán têch 1 vec to thaình 3 veïc tå khäng âäöng phàóng
1.6 Goïc giæîa 2 veïc tå:   1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos ; ;
.
x x y y z z
u v
x y z x y z
 

   
 
våïi ; 0u v 
 
1.7 Âiãøm M chia AB theo tyí säú k (k≠1): thç MA kMB
 
våïi ; ;
1 1 1
A B A B A Bx kx y ky z kz
M
k k k
   
 
   
1.8 Veïc tå n

vuäng goïc våïi màût phàóng chæïa a

vaì b

thç:
o n

laì veïc tå phaïp tuyãún cuía màût phàóng chæïa a

vaì b

o
,
n a
n a
a b
 




 
 
 
,n a b
  
  
1.9 Ba veïc tå khäng âäöng phàóng: , ,AB AC AD
  
khäng âäöng phàóng , . 0AB AC AD   
  

A, B, C, D laì 4 âènh cuía mäüt tæï diãûn
1.10 Ba veïc tå u

,v

, w

goüi âäöng phàóng nãúu , . 0u v w   
  
1.11 TÊNH THÃØ TÊCH
1.11.1Thãø têch tæï diãûn:
1
, .
6
ABCDV AB AC AD   
  
1.11.2Thãø têch hçnh häüp: . ' ' ' ' , . 'ABCD A B C DV AB AD AA   
  
1.11.3Chuï yï:
 Goüi G laì troüng tám tæï diãûn ABCD thç 0GA GB GC GD   
    
VAÌ
 1
4
OG OA OB OC OD   
    
khi âoï toüa âäü troüng tám G cuía tæï diãûn laì:
; ;
4 4 4
A B C D A B C D A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z
        
  
 Goüi G laì troüng tám tam giaïc ABC thç 0GA GB GC  
   
VAÌ
 1
3
OG OA OB OC  
   
 , ,a b b a       
   
, 0a a   
 
, ,k ,ka b a b k a b           
     
 ,c a b c a c b              
      
. , . ,a b c c a b      
     
  ; ;u x y z

laì veïc tå âån vë thç 2 2 2
x y z  =1
1.12 Phæång trçnh màût cáöu:
Khäng cuìng phæång

34
 Màût cáöu tám I (a,b,c) baïn kênh R coï phæång trçnh      
2 2 2
x a y b z c R     
 Ngæåüc laûi nãúu phæång trçnh 2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d       laì phæång trçnh
màût cáöu thç âiãöu kiãûn laì 2 2 2
0a b c d   
 Nãúu 2 2 2
0a b c d    thç phæång trçnh xaïc âënh âæåüc 1 âiãøm duy nháút I(-a,-b,-
c)
 Nãúu 2 2 2
0a b c d    khäng coï âiãøm naìo thoîa maîn phæång trçnh màût cáöu
 Baìi toaïn viãút phæång trçnh màût cáöu:
 Cho toüa âäü caïc âiãøm A, B, C,… viãút pt màût cáöu?
Caïch laìm: goüi I (x,y,z) laì tám màût cáöu thç
2 2
2 2 2
, ,z R
...
IA IB
IA IC x y IA
 

   


laì baïn kênh màût cáöu, tæì âoï viãút âæåüc pt màût cáöu
 Âãö baìi Cho tiãúp xuïc hoàûc khäng tçm âæåüc tám I cuía màût cáöu, tçm
ptm/cáöu?
Caïch laìm: láûp phæång trçnh màût cáöu daûng täøng quaït nhæ sau:
2 2 2
2 2 2 0 , , ,x y z ax by cz d a b c d        (Træåìng håüp màût cáöu
ngoaûi tiãúp tæï diãûn)
1.13 Vë trê tæång âäúi giæîa màût cáöu vaì màût phàóng:
Cho màût cáöu (S) tám I(a,b,c) baïn kênh R vaì màût phàóng (): Ax+By+Cz+D=0
 Nãúu d(I, ()) < R thç giao tuyãún cuía (S) vaì () laì âæåìng troìn coï phæång trçnh
     
2 2 2
0
x a y b z c R
Ax By Cz D
      

   
 Nãúu d(I, ()) = R thç () tiãúp xuïc våïi màût cáöu (S) taûi tiãúp âiãøm A, ta coï ( )IA  IA laì
veïc tå phaïp tuyãún cuía ()
 Nãúu d(I, ()) > R thç () khäng càõt màût cáöu (S)
2. Baìi 2: phæång trçnh màût phàóng
2.1 Veïc tå phaïp tuyãún:
Cho veïc tå  1 1 1; ;u x y z

vaì  2 2 2; ;v x y z

thç veïc tå phaïp tuyãún cuía màût phàóng (P) chæïa  ;u v
 
laì ,n u v   
  

35
2.2 Màût phàóng () qua M 0 0 0; ;x y z coï veïc tå phaïp tuyãún  , ,n A B C

laì ():
0 0 0( ) ( ) (z ) 0A x x B y y C z      . Phæång trçnh täøng quaït: (): Ax+By+Cz+D=0 våïi
2 2 2
0 0 0
0
(Ax )
A B C
D By Cz
   

   
2.3 Træåìng håüp âàûc biãût:
2.4 Vë trê tæång âäúi âæåìng thàóng vaì màût phàóng:
Cho màût phàóng ():Ax+By+Cz+D = 0 vaì (’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0
 Nãúu    '  thç
' ' ' '
A B C D
A B C D
  
 Nãúu    '  thç
' ' ' '
A B C D
A B C D
  
 Nãúu    'cat  thç A:B:C  A’: B’ : C’
 Nãúu    '  thç AA’+ BB’ + CC’ =0
2.5 Phæång trçnh âoaûn chàõn: màût phàóng () khäng qua gäúc O càõt Ox taûi A(a,0,0) càõt Oy taûi
B(0,b,0) càõt Oz taûi C(0,0,c) thç coï phæång trçnh laì 1;
x y z
a b c
   våïi a.b.c 0
2.6 Goïc giæîa 2 màût phàóng: 2 2 2 2 2 2
' ' '
cos
. ' ' '
AA BB CC
A B C A B C

 

   
2.7 Khoaíng caïch tæì 1 âiãøm âãún màût phàóng:goüi  M  thç
   0 0 0
0 2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C

  

 
2.8 Khoaíng caïch giæîa 2 mp song song nhau:
Cho 2 màût phàóng ():Ax+By+Cz+D = 0 vaì (’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0, goüi  M  thç khoaíng
caïch giæîa 2 mp laì    2 2 2
'
, '
D D
d M
A B C



 
4. Baìi 3: Phæång trçnh âæåìng thàóng
3.1 Phæång trçnh âæåìng thàóng d qua M 0 0 0; ;x y z coï veïc tå chè phæång ( , , )u a b c

.
3.1.1 Phæång trçnh tham säú âæåìng thàóng d laì:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 

 
  
3.1.2 Phæång trçnh chênh tàõc: 0 0 0x x y y z z
a b z
  
  våïi a.b.c ≠0
3.2 Vë trê tæång âäúi giæîa 2 âæåìng thàóng:

36
Cho âæåìng thàóng d qua M0 coï u

vaì âæåìng thàóng d’ qua M’0 co 'u

ï
3.2.1 d vaì d’ truìng nhau 0 0, ' , ' 0u u u M M        
    
3.2.2
0 0
, ' 0
'
, ' 0
u u
d d
u M M
   
 
   
  
  
3.2.3 d càõt d’
0 0, ' . ' 0
, ' 0
u u M M
u u
   
 
   
   
  
3.2.4 d vaì d’ cheïo nhau thç 0 0, ' . ' 0u u M M   
   
3.3 Khoaíng caïch
3.3.1 Khoaíng caïch Tæì 1 âiãøm M âãún âæåìng thàóng qua M0 coï veïc tå chè phæång u

:
 
0 ,
,
M M u
d M
u
 
 
 
 

3.3.2 Khoaíng caïch Tæì 1 âiãøm M0 âãún màût phàóng (): Ax+By+Cz +D = 0 laì :
  0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C

  

 
3.3.3 Khoaíng caïch giæîa 2 âæåìng thàóng cheïo nhau  våïi  qua M0 coï veïc tå chè phæång u

vaì
’ qua M0’ coï veïc tå chè phæång 'u

laì:  
'
0 0, ' .
, '
, '
u u M M
d
u u
 
 
  
 
 
 
 
3.3.4
Nãúu biãút phæång trçnh 2 âæåìng thàóng d vaì d’ thç ta cuîng coï thãø xeït vë trê tæång âäúi giæîa
chuïng.
Bàòng caïch giaíi phæång trçnh d vaì d’ xaïc âënh giao âiãøm goüi phæång trçnh naìy laì (*)
 Nãúu pt (*) coï 1 nghiãûm thç d vaì d’ càõt nhau.
 Nãúu pt (*) coï vä säú nghiãûm thç d vaì d’ truìng nhau.
 Nãúu pt (*) vä nghiãûm vaì
, ' 0u u   
  
thç d song song våïi d’
 Nãúu pt (*) vä nghiãûm vaì
, ' 0u u   
  
thç d cheïo våïi d’

37
3.3.5 Màût phàóng () qua âæåìng thàóng d vaì vuäng goïc våi màût phàóng (P):

1 2
2
. 0
. 0
n n
n u
 


  
  
 Hçnh chiãúu cuía âæåìng thàóng d lãn mp (P) laì giao tuyãún  = (P)()
 Caïch viãút phæång trçnh giao tuyãún:
o giao tuyãún laì giao cuía 2 màût phàóng sau:
1 1 1 1
2 2 2 2
a x b y c z d
a x b y c z d
  

  
o cho z= 0 suy ra
1 1 1
2 2 2
a x b y d
a x b y d
 

 
o   coï 1 2,u k n n   
  
o Hoàûc tçm 2 âiãøm phán biãût thuäüc  hoàûc cho z = t räöi tçm x, y theo t.
4. Màût phàóng vaì âæåìng thàóng:
4.1 Vë trê tæång âäúi giæîa màût phàóng vaì âæåìng thàóng:
Màût phàóng (P): Ax+ Bx + Cx+D =0
Phæång trçnh tham säú cuía âæåìng thàóng 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 

 
  
Phæång trçnh täøng quaït cuía âæåìng
thàóng : 1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
   

   
Caïc træåìng håüp:
o   (P) thç
A B C
a b c
   hãû coï 1 nghiãûm
o  càõt (P) thç Aa +Bb + Cc ≠ 0 hãû coï 1 nghiãûm
o   (P):
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
  

   
hãû vä
nghiãûm
o   (P):
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
  

   
hãû vä säú
nghiãûm hoàûc hãû coï nghiãûm t khäng
Xeït hãû
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
Ax By Cz D
   

   
    
(*)
o  càõt (P) thç hãû (*) coï nghiãûm duy
nháút.
o   (P): hãû (*) vä nghiãûm
o   (P): hãû (*) vä säú nghiãûm
4.2 Goïc giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng:
Cho âæåìng thàóng  coï veïc tå chè phæång ( , , )u a b c

vaì màût phàóng (P) coï veïc tå phaïp
tuyãún ( , , )n A B C

thç   2 2 2 2 2 2
cos ,
.
Aa Bb Cc
u v
A B C a b c
 

   
 
Goïc nhoün giæîa  vaì (P) laì  våïi
2 2 2 2 2 2
sin cos( , )
.
Aa Bb Cc
u v
A B C a b c

 
 
   
 

38
Giaíi thêch
cos cos( , ) cos( ) sin
2
u v

     
 
5. Mäüt säú daûng toaïn:
5.1 Âæåìng thàóng d thuäüc màût phàóng (P) vaì caïch âãöu 2 âiãøm A, B våïi A hoàûc B thuäüc
(P)
- Goüi () laì màût phàóng trung træûc cuía AB
- d laì giao tuyãún cuía () vaì (P)
- Choün 1 âiãøm âån giaín M thuäüc 2 màût phàóng () vaì (P)
- d coï veïc tå chè phæång laì
,d Pu n n
   
  
d qua M nháûn
u

laìm veïc tå chè phæång.
5.2 Màût phàóng () qua âiãøm M vaì chæïa âæåìng thàóng d. M

d
Choün M1 thuäüc d thç () qua M nháûn laìm
1, dn MM u   
  
veïc tå phaïp tuyãún
5.2 Tçm giao âiãøm cuía 2 âæåìng thàóng càõt nhau: giaíi hãû phæång trçnh tham säú räöi kiãøm
tra tênh âuïng âàõn.
5.3 Tçm phæång trçnh màût phàóng (’) âäúi xæïng våïi () qua âæåìng thàóng d:
- láúy M d, viãút âæåüc phæång trçnh âæåìng thàóng  qua M  () càõt () taûi M1
- M laì trung âiãøm cuía M1M2 våïi M2 (’)
- ()song song våïi (’) vaì qua M2 nãn coï cuìng veïc tå phaïp tuyãún
2n

vaì qua M2
5.4 Viãút phæång trçnh âæåìng vuäng goïc chung khi d1 vaì d2 cheïo nhau vaì vuäng goïc våïi
nhau.
- Láûp mp (P) chæïa d1 vaì  d2
- Láûp mp (Q) chæïa d2 vaì  d1
- Goüi  = (P)(Q) ta coï
   
 
 
 
1
2
2
1( )
P Q
P
d
Q
d
P d
Q d
  


 
  
 

 
våïi  laì âæåìng vuäng goïc chung cuía
d1 vaì d2
5.5 Tçm phæång trçnh màût phàóng:
- C1: Tçm 1 âiãøm vaì 1 càûp veïc tå chè phæång cuía màût phàóng

39
-C2: Tçm 1 âiãøm vaì 1 phaïp veïc tå (veïc tå phaïp tuyãún)
-C3: Duìng phæång trçnh chuìm màût phàóng
5.6 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng:
- C1: Tçm 1 âiãøm vaì 1 veïc tå chè phæång cuía màût phàóng
-C2: Tçm phæång trçnh täøng quaït cuía 2 màût phàóng cáön tçm
Ta thæåìng gàûp caïc daûng nhæ
5.6.1 Viãút pt âæåìng thàóng  qua A càõt âæåìng thàóng d:
Suy ra  nàòm trong mp () qua A chæïa d
5.6.2 Viãút pt âæåìng thàóng  qua A  âæåìng thàóng d:
Suy ra  nàòm trong mp () qua A  d
5.6.3 Viãút pt âæåìng thàóng  song song d1 vaì càõt âæåìng thàóng d2:
Suy ra  nàòm trong mp () chæïa d2 vaì song song våïi d1.
5.7 Hçnh chiãúu cuía 1 âiãøm:
5.7.1 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc H cuía A lãn âæåìng thàóng d
d laì pt tham säú d laì phæång trçnh chênh tàõc d laì pt täøng quaït
* H  d nãn viãút toüa âäü H
theo t
*
. 0dAH u 
 
* H(x,y,z)
*
. 0dAH u 
 
* H  d biãún âäøi tè lãû naìy
duìng âiãöu kiãûn. suy ra x,y,z
* tçm pt màût phàóng ()
qua A  d
* giao âiãøm cuía () vaì d laì
hçnh chiãúu cuía A lãn d
5.7.2 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc H cuía A lãn mp ():
* Goüi H(x,y,z) vç H  () vaì
, 0 , ,AH n x y z
    
 
* Tçm pt âæåìng thàóng d qua A  ()
* Giao âiãøm cuía d vaì () laì H

40
5.7.3 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc  cuía âæåìng thàóng d lãn mp ()?
* Tçm pt mp () chæïa âæåìng thàóng d vaì  () våïi
,dn u n 
   
  
* Hçnh chiãúu cuía  xuäúng () laì giao tuyãún cuía () vaì ().
5.7.4 Tçm hçnh chiãúu H cuía âiãøm A theo phæång âæåìng thàóng d lãn mp ()?
* Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng  qua A song song våïi d, coï
du u 
 
* Hçnh chiãúu H chênh laì giao âiãøm cuía âæåìng thàóng  vaì mp ().
5.7.5 Tçm hçnh chiãúu  cuía âæåìng thàóng d theo phæång âæåìng thàóng D lãn mp ()?
* Tçm phæång trçnh màût phàóng () chæïa d vaì song song våïi D
* Hçnh chiãúu
      
d
?
A
H
  

d
D
?
d
?
A
H
5.8 Âäúi xæïng:
5.8.1 Tçm âiãøm A’ âäúi xæïng våïi A qua âæåìng thàóng d? Giaíi:
 Tçm hçnh chiãúu H cuía A lãn âæåìng thàóng d
 H laì trung âiãøm cuía AA’ nãn coï toüa âäü âiãøm A, H suy ra âæåüc âiãøm A’
5.8.2 Tçm âiãøm A’ âäúi xæïng våïi A qua màût phàóng ()

41
 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d qua A  ()
 Tçm hçnh chiãúu H cuía A lãn màût phàóng ()
 H laì trung âiãøm cuía AA’ nãn coï toüa âäü âiãøm A, H suy ra âæåüc âiãøm A’
5.8.3 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d âäúi xæïng våïi âæåìng thàóng D qua âæåìng thàóng 
 vaì D càõt nhau  vaì D song song  vaì D cheïo nhau
 Tçm giao âiãøm M cuía  vaì
D
 Tçm A  D (A≠M)
 Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng våïi
A qua 
 d laì âæåìng thàóng qua 2
âiãøm M vaì A’
M
delta
d'
D
A
A'
 choün A  D
 Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng
våïi A qua D
 d laì âæåìng thàóng qua A’
vaì d song song våïi 
A
A'
delta
d'
D
 Tçm 2 âiãøm phán
biãût A, B trãn D
 Tçm A’ , B’ laì
âiãøm âäúi xæïng
våïi A, B qua 
 d laì âæåìng
thàóng qua 2 âiãøm
B’ vaì A’
5.8.4 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d âäúi xæïng våïi âæåìng thàóng D qua âæåìng thàóng
mp ().
D càõt () () vaì D song song
 Tçm giao âiãøm M cuía () vaì D
 Tçm A  D (A≠M)
 Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng våïi A qua ()
 d laì âæåìng thàóng qua 2 âiãøm M vaì A’
 choün A  D
 Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng våïi A qua ()
 d laì âæåìng thàóng qua A’ vaì d song song
våïi ()
5.9 Khoaíng caïch:
5.9.1 Khoaíng caïch 2 âæåìng thàóng song song nhau d1 vaì d2

42
1A d    1 2 2, ,d d d d A d AH 
H laì hçnh chiãúu cuía A lãn d2 suy ra
2. 0AH u 
  
5.9.2 Khoaíng caïch giæîa 2 âæåìng thàóng cheïo nhau d1, d2
a) caïch 1:
- Tçm pt mp () chæïa d1 song song d2
- Tçm A d2
- d(d1,d2) = d(A, ())
b) Caïch 2:
- Tçm pt mp () chæïa d1 song song d2
- Tçm pt mp () chæïa d2 song song d1
- d(d1,d2) = d((),()
Hoàûc
1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
u u AB
d d d
u u
 
 

 
 
  
 

Cach giai toan

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Phuoc Truong Xuan

More from Phuoc Truong Xuan (7)

Cach giai toan