orthogonal

1. Powerpoint Templates
Page 1
Powerpoint Templates
DOT PRODUCT dan PROYEKSI
ORTHOGONAL
Nama Kelompok :
Route Gemilang 5208100073
Sonnavy R.K. 5209100029
Andhika Putra 5209100147

2. Powerpoint Templates
Page 2
Warsun Najib, 2005 2
Dot Product (Inner Product)...
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua
vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan
cosinus sudut antara keduanya.

cos
|
||
| b
a
b
a 

 adalah sudut yang dibentuk oleh dua vektor dan
|
| a |
| b

3. Powerpoint Templates
Page 3
Con’t…
2
3
2
2
2
1
|
| a
a
a
a 


 Jika a = , maka panjang vektor a ditulis yaitu
)
( 3
2
1 a
a
a 
 a

4. Powerpoint Templates
Page 4
Con’t...
 Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2],
maka :
3
3
2
2
1
1 c
c
b
a
b
a
b
a 



 a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
 a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
 a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

5. Powerpoint Templates
Page 5
Warsun Najib, 2005 5
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot
Product...
• Besar Sudut dapat dihitung dgn:
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a






|
||
|
cos


6. Powerpoint Templates
Page 6
bilqis 6
Teorema
Vektor-vektor a, b, c di Ruang-2 atau di Ruang-3
1. b.b = ||b||2, atau ||b|| = (v.v)1/2
2. Jika u  0, v  0 dan mengapit sudut , maka
  lancip  a .b  0
  tumpul  a .b  0
  = 90o  a .b = 0
3. a . b = b . a
4. a . (b + c) = a .b + a .c
5. Jika k adalah skalar, maka k(a . b) = (ka) . b = a . (kb)
6. a .b  0 jika b  0 dan b . b = 0 jika b = 0

7. Powerpoint Templates
Page 7
bilqis 7
a = (2, -1, 1) and b = (1, 1, 2)
Cari a b dan menentukan θ sudut antara a dan b....
Solution : a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3
.
60
thus, 


Contoh Soal...
6
miliki
kita
yang
u
or tertent
untuk vekt 
 b
a
60
2
1
6
6
3
|
||
|
cos







Jadi
b
a
b
a

8. Powerpoint Templates
Page 8
Proyeksi Orthogonal
• Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA pada ruas garis OE adalah ruas garis
OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC = OA cos .
• ruas-ruas garis berarah dan mewakili vektor-vektor a dan b, sedangkan 
menyatakan sudut antara vektor a dan vektor b. Proyeksi dari titik A pada
ruas garis berarah adalah titik C, sehingga
• Besaran OC = ||a|| cos  dinamakan proyeksi skalar ortogonal (biasanya
disingkat proyeksi skalar saja) vektor a pada arah b.

9. Powerpoint Templates
Page 9
Cont’d
• Nilai proyeksi skalar ortogonal OC = ||a|| cos  bisa positif, nol, atau negatif :
a) tergantung dari besar sudut . Untuk 00   < 900, OC bernilai positif
b) Untuk  = 900, OC bernilai nol
c) Untuk 900   < 1800, OC bernilai negatif

10. Powerpoint Templates
Page 10
Cont’d
• Perhatikan bahwa ruas garis berarah mewakili vektor c, sehingga vektor c
merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan
proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor
saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat
ditentukan bahwa :
• Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l,
dengan ||c|| dirumuskan oleh :
• Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c
dirumuskan oleh :

11. Powerpoint Templates
Page 11
Cont’d
• Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan
menggunakan analisis yang sama. Misalkan proyeksi vektor b pada arah
vektor a adalah vektor d (perhatikan Gambar), maka dapat disimpulkan
bahwa :
1) Proyeksi skalar ortogonal vektor b
pada arah vektor a adalah
2) Proyeksi vektor ortogonal vektor b
pada arah vektor a adalah

12. Powerpoint Templates
Page 12
Contoh Soal
1.
Jawaban :
   
3
12
4
16
4
4
16
2
16
2
16
8
16
8
8
16
16
8
8
16
4
0
4
8
2
-
8
.
c
:
b
vektor
pada
a
vektor
proyeksi
panjang
2
2
2
2
2
2
2
2
2











































p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
b
b
a






…
=
p
Nilai
8.
adalah
4
p
0
=
b
vektor
pada
4
8
2
-
=
a
vektor
proyeksi
panjang
Diketahui





















